高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教B版选修2_2
2020高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理讲义 2-2
2.1。
1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。
高中数学第2章推理与证明2.1.2演绎推理学案新人教B版选修2_2
2．1.2 演绎推理1．掌握演绎推理的基本模式,特别是三段论模式,并学会运用这些推理模式进行推理．2．了解合情推理、演绎推理之间的联系和区别．1．演绎推理根据概念的定义或一些真命题,依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程,叫做________．它的特征是:当前提为____时,结论______为真．演绎推理的特点:( 1 )演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中．( 2 )在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．( 3 )演绎推理是一种收敛性的思维方法,它的创造性较少,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化．[做一做1]演绎推理是( )．A．部分到整体,个别到一般的推理B．特殊到特殊的推理C．一般到特殊的推理D．一般到一般的推理2．演绎推理的四种推理规则( 1 )假言推理:用符号表示这种推理规则就是“如果p q,p真,则q真”．假言推理的本质是,通过验证结论的充分条件为真,判断结论为真．( 2 )三段论推理:用符号表示这种推理规则就是“M是P,S是M,所以______”．( 3 )传递性关系推理:用符号表示推理规则是“如果aRb,bRc,则______”,其中“R”表示具有传递性的关系。
( 4 )完全归纳推理:把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．三段论推理是演绎推理的一般模式,在数学证明中,以上四种演绎推理规则是经常用到的,一道证明题,往往要综合应用这些推理规则．如果违背了这些规则,那么证明就是错误的．[做一做2－1]下面几种推理过程是演绎推理的是( )．A．两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人数都超过50人C．由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D．在数列{a n}中a1＝1,a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n－1＋1a n－1(n≥2 ),由此归纳出{a n}的通项公式[做一做2－2]“因为a⊥α,b⊥α,所以a∥b,又因为b∥c,所以a∥c.”以上推理的两个步骤分别遵循的推理规则是( )．A．第一步遵循假言推理,第二步遵循传递性关系推理B．第一步遵循三段论推理,第二步遵循假言推理C．第一步遵循三段论推理,第二步遵循传递性关系推理D．第一步遵循传递性关系推理,第二步遵循三段论推理合情推理与演绎推理有哪些区别与联系？剖析:区别:从推理形式和推理所得结论的正确性上讲,二者有差异．合情推理演绎推理归纳推理 类比推理 推理形式 由部分到整体或由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理 由一般到特殊的推理结论的正确性结论不一定正确,有待进一步证明 在前提和推理形式都正确的前提下,结论正确联系:从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑,它们是紧密联系、相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的．在数学中,演绎推理可以验证合情推理的结论的正确性,合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．题型一 假言推理[典型例题1]设数列{a n }为等差数列,求证:以b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn为通项的数列{b n }为等差数列．分析:由{a n }为等差数列,推证{b n }为等差数列,只要证得b n ＋1－b n ＝d 为常数即可． 反思:假言推理的规则为“如果p q ,p 真,则q 为真”． 题型二 三段论推理[典型例题2]已知A ,B ,C ,D 四点不共面,M ,N 分别是△ABD 和△BCD 的重心,求证MN ∥平面ACD .分析:应用线面平行的判定定理证明．反思:“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ( 1 )大前提——已知的一般原理； ( 2 )小前提——所研究的特殊情况；( 3 )结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断． 题型三 传递性关系推理[典型例题3]设a ,b ,c 为正实数,求证:a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2＞a ＋b ＋c .分析:应用均值不等式找出a 2＋b 2与a ＋b ,b 2＋c 2与b ＋c ,a 2＋c 2与a ＋c 的关系,再应用同向不等式相加法则可证明．反思:传递性关系推理论证时必须保证各量间的关系能正确传递． 题型四 完全归纳推理[典型例题4]已知函数f ( x )＝( 12x －1＋12)·x 3.( 1 )判断f ( x )的奇偶性； ( 2 )证明f ( x )＞0.反思:完全归纳推理必须把所有情况都考虑在内．完全归纳推理不同于归纳推理,后者仅仅证明了几种特殊情况,它不能说明结论的正确性,而前者则把所有情况都作了证明．题型五 易错辨析易错点:在应用三段论推理证明问题时,应明确什么是问题中的大前提和小前提．在推理的过程中,大前提、小前提和推理形式之一错误,都可能导致结论错误．[典型例题5]如图,在△ABC 中,AC ＞BC ,CD 是AB 边上的高,求证:∠ACD ＞∠BCD .错证:在△ABC 中,因为CD ⊥AB ,AC ＞BC ,所以AD ＞BD ,于是∠ACD ＞∠BCD .1如图,因为AB ∥CD ,所以∠1＝∠2,又因为∠2＝∠3,所以∠1＝∠3.所用的推理规则为( )．A ．三段论推理、假言推理B ．三段论推理、传递性关系推理C ．三段论推理、完全归纳推理D ．三段论推理、三段论推理2“因指数函数y ＝a x 是减函数( 大前提 ),且y ＝3x 是指数函数( 小前提 ),所以y ＝3x是减函数( 结论 )．”上面推理的错误是( )．A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错3下面的推理是传递性关系推理的是( )．A ．在同一三角形中若三角形两边相等,则该两边所对的内角相等,在△ABC 中,AB ＝AC ,所以在△ABC 中,∠B ＝∠CB ．因为2是偶数,所以2是素数C ．因为a ∥b ,b ∥c ,所以a ∥cD ．因为2是有理数或无理数,且2不是有理数,所以2是无理数4因为当a ＞0时,|a |＞0；当a ＝0时,|a |＝0；当a ＜0时,|a |＞0,所以当a 为实数时,|a |≥0.此推理过程运用的是演绎推理中的__________推理．5关于函数f ( x )＝lg x 2＋1|x |( x ≠0 ),有下列命题:①其图象关于y 轴对称；②当x ＞0时,f ( x )是增函数；当x ＜0时,f ( x )为减函数；③f ( x )的最小值是lg 2；④当－1＜x ＜0或x ＞1时,f ( x )是增函数；⑤f ( x )无最大值,也无最小值．其中所有正确结论的序号是__________．正确答案:基础知识·梳理1．演绎推理 真 必然 [做一做1]C2．( 2 )S 是P ( 3 )aRc[做一做2－1]A 选项D 是归纳推理,选项C 是类比推理,选项B 既不是合情推理也不是演绎推理．[做一做2－2]C典型典型例题·领悟[典型例题1]证明:设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,因为b n －b n －1＝n a 1＋a n 2·1n －n －1a 1＋a n －12·1n －1＝a 1＋a n 2－a 1＋a n －12＝a n －a n －12＝d2( n ≥2 ),而d2是个常数,所以数列{b n }为等差数列．[典型例题2]证明:如图,连结BM ,BN ,并延长,分别交AD ,DC 于P ,Q 两点,连结PQ .因为M ,N分别是△ABD 和△BCD 的重心,所以P ,Q 分别是AD ,DC 的中点,又因为BM MP ＝2＝BN NQ,所以MN ∥PQ .又因为M N ⃘平面ADC ,PQ ⊆平面ADC ,所以MN ∥平面ACD .[典型例题3]证明:因为a 2＋b 2≥2ab ,a ,b ,c 为正实数,所以2( a 2＋b 2 )≥a 2＋b 2＋2ab ＝( a ＋b )2.所以a 2＋b 2≥a ＋b22.所以a 2＋b 2≥22( a ＋b )．同理a 2＋c 2≥22( a ＋c ).b 2＋c 2≥22( b ＋c ),所以有a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22( 2a ＋2b ＋2c )＝2( a ＋b ＋c )．即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2( a ＋b ＋c )．又2( a ＋b ＋c )＞a ＋b ＋c ,所以a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2＞a ＋b ＋c .[典型例题4]( 1 )解:函数f ( x )的定义域为2x－1≠0,即{x |x ≠0},f ( －x )－f ( x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12( －x )3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－2x ＋12( －x )3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1＋12x 3＝2x2x －1·x 3－12x 3－12x－1x 3－12x 3＝x 3－x 3＝0.所以f ( －x )＝f ( x )． 所以f ( x )是偶函数． ( 2 )证明:因为x ≠0,所以当x ＞0时,2x ＞1,2x －1＞0,x 3＞0, 所以f ( x )＞0；当x ＜0时,－x ＞0,f ( x )＝f ( －x )＞0, 所以f ( x )＞0.[典型例题5]错因分析:错证中由AD ＞BD 得出∠ACD ＞∠BCD 是错误的,因为只有在同一个三角形中才有大边所对的角较大这一结论成立．正确证法:在△ABC 中,因为CD ⊥AB ,所以∠ACD ＋∠A ＝∠BCD ＋∠B ＝90°.又AC ＞BC ,所以∠B ＞∠A ,于是∠ACD ＞∠BCD .随堂练习·巩固 1．B 本题前面证∠1＝∠2用的是三段论推理,后半部分证∠1＝∠3用的是传递性关系推理．2．A y ＝a x( a ＞0,a ≠1 )的单调性与a 有关,若a ＞1,则为增函数；若0＜a ＜1,则为减函数．3．C4．完全归纳5．①③④ 显然f ( －x )＝f ( x ), ∴其图象关于y 轴对称．当x ＞0时,f ( x )＝lg x 2＋1x＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵φ( x )＝x ＋1x在( 0,1 )上是减函数,在( 1,＋∞ )上是增函数,∴f ( x )在( 0,1 )上是减函数,在( 1,＋∞ )上是增函数． ∴f ( x )min ＝f ( 1 )＝lg 2. ∵f ( x )为偶函数,∴f ( x )在( －1,0 )上是增函数．。
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2(2021年最新整理)
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2．1.1 合情推理1．了解推理的结构及合情推理的定义．(易混点）2．了解归纳推理的定义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决问题．（重点)3．了解类比推理的定义与特点,掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决简单的问题．（重点、难点）[基础·初探］教材整理1 推理与合情推理阅读教材P53，完成下列问题．1．推理的定义根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个_______________________，这种思维方式叫做推理．2．推理的结构推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设），叫做__________；一部分是由已知推出的判断，叫做__________．3．推理的分类推理一般分为__________推理与__________推理．4．合情推理前提为真时，结论__________为真的推理，叫做合情推理．【答案】1。
判断2。
前提结论3。
合情演绎4．可能如图2。
1.1所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点）有n(n〉1,n∈N＋）个点,每个图形总的点数记为a n，则a6＝_________________，a n＝________（n>1，n∈N）．＋图2.1。
2018年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件5 新人教B版选修2-2
类ห้องสมุดไป่ตู้推理
由两类对象具有某些类似特征和其 中一类对象的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理称为类 比推理.
探究
试将平面上的圆与空间的球进行类比.
.
.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定
长的点的集合.
球的定义：空间中到一个定点的距离等于定
长的点的集合.
圆
球
弦
截面圆
直径
大圆
周长
表面积
=641 6700417
四色猜想：“任何一张地图只用四种颜色 就能使具有共同边界的国家着上不同的颜 色。”也就是说在不引起混淆的情况下一 张地图只需四种颜色来标记就行。
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
具有发现的功能;
结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
n＝1时，a 1 ＝1 第1个圆环从1到3.
2
1
3
设 a n 为把 n个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n＝1时，a 1 ＝1 第1个圆环从1到3.
n＝2时，a 2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
第1个圆环从2到3.
2
1
3
设 a n 为把 n个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的圆 的方程为(x-x0)2＋(y-y0)2=r2.
以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半 径的球的方程为
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
高中数学第2章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教B版选修2_2
2.1.1 合情推理1．理解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理． 2．体会并认识合情推理在数学发现中的重要作用．1．推理的结构与合情推理(1)从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做______；一部分是由已知推出的判断，叫做______．(2)前提为真时，结论______为真的推理，叫做合情推理．推理也可以看作是用连接词将前提和结论逻辑的连接，常用的连接词有：“因为……所以……”；“根据……可知……”；“如果……那么……”等．【做一做1】下列说法正确的是( )． A ．由合情推理得出的结论一定是正确的 B ．合情推理必须有前提有结论 C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论无法判定正误 2．归纳推理(1)根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做________(简称______)．(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；(2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的；(3)人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一不定期的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；(4)归纳推理能够发现前的事实、获得新结论，是科学发现的重要手段。
【做一做2－1】数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( )． A ．28 B ．32 C ．33 D ．27【做一做2－2】已知等式sin 230°＋sin 230°＋sin 30°·sin 30°＝34，sin 240°＋sin 220°＋sin 40°·sin 20°＝34，下面的等式中具有一般性且包含了已知等式的是( )．A ．sin 2α＋sin 2(60°－α)＋sin α·sin(60°－α)＝34B ．sin 2α＋sin 2(60°＋α)＋sin α·sin(60°＋α)＝34C ．sin 2(60°＋α)＋sin 2(60°－α)＋sin(60°＋α)·sin(60°－α)＝34D ．sin 2α＋sin 2α＋sin α·sin α＝343．类比推理(1)根据____________之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做________(简称______)．它属于合情推理．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．类比推理有以下几个特点：(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； (3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．【做一做3－1】在平面内，两条相交直线将整个平面分成四部分，类似地，在空间，两个相交平面将整个空间分成________．【做一做3－2】十进制中，2 004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在五进制中，数码2 004折合成十进制为( )．A ．29B ．254C ．602D ．2 004归纳推理的一般步骤是什么？剖析：(1)实验、观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．(2)概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．(3)猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性结论．题型一 归纳推理【例题1】在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1，b 2，b 3，并归纳出b n 的计算公式．反思：归纳法是获得数学结论的一条重要途径，运用不完全归纳法通过观察、实验，从特例中归纳出一般性结论，形成猜想．题型二 类比推理【例题2】在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，且cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．分析：考虑到平面几何中为长方形，故可联想到立体几何中的长方体．反思：(1)类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳，提出猜想．(2)也可类比为：长方体的体对角线与同顶点出发的三个面所成的角分别为α，β，γ，则有cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.(3)(2)中的结论是不对的，实际上此时cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2，由此可知类比的结论不是唯一的，也不一定正确．题型三 易错辨析易错点：在进行类比推理时，由于类比的相似性少或被一些表面现象迷惑导致类比结论错误，解决这类问题的关键是：先充分认识两类事物的相同(或相似)之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比．错解一：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的3.错解二：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的12.1已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33等于( )． A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－62已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝12×底×高，可推知扇形的面积公式S 扇等于( )．A ．r 22B ．l 22C ．12lr D ．不可类比 3对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是正四面体内任意一点到各面的距离之和( )．A ．为定值B ．为变数C ．有时为定值，有时为变数D ．与正四面体无关的常数4如图所示，由火柴杆拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n 个图形中，火柴杆有________根．5设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．答案：基础知识·梳理1．(1)前提 结论 (2)可能 【做一做1】B2．(1)归纳推理 归纳【做一做2－1】B ∵5＝2＋3×1,11＝5＋3×2,20＝11＋3×3，∴x ＝20＋3×4＝32. 【做一做2－2】A 等式右边为34，左侧两角和为60°.3．(1)两类不同事物 类比推理 类比 【做一做3－1】四部分【做一做3－2】B 找到十进制与五进制的相似之处．十进制中由低到高的单位依次为100,101,102，…，五进制中由低到高的单位依次为50,51,52，…，那么在五进制中2 004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝4＋2×53＝4＋250＝254，∴五进制中的数码2 004折合成十进制为254.故选B.典型例题·领悟【例题1】解：由题意可得，b 1＝a ·r 100＋a 4·p100a ＋a 4＝1100⎝ ⎛⎭⎪⎫45r ＋15p ， b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫452r ＋15p ＋452p ，b 3＝a ·b 2＋a 4·p100a ＋a 4＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ，所以归纳得b n ＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p . 【例题2】解：在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：如图，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1. 【例题3】错因分析：错解一中“三角形周长”的类比错误，错解二中“12”的类比错误．“三角形周长”应类比为“三棱锥的各面面积之和”；“12”应类比为“13”．正解：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的13.随堂练习·巩固1．A 由题意可得，a 1＝3，a 2＝6，a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，a 8＝6，归纳出每6项一个循环，则a 33＝a 3＝3.2．C 由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高，可得S 扇＝12lr .3．A4．13 3n ＋15．3 2 ∵f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12x ＋2＋2x2＋2·2x＝12， ∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝6×12＝3 2.。
高中数学第2章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教B版选修2_2
2.1.1 合情推理1．理解合情推理的含义,能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理． 2．体会并认识合情推理在数学发现中的重要作用．1．推理的结构与合情推理( 1 )从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实( 或假设 ),叫做______；一部分是由已知推出的判断,叫做______．( 2 )前提为真时,结论______为真的推理,叫做合情推理．推理也可以看作是用连接词将前提和结论逻辑的连接,常用的连接词有:“因为……所以……”；“根据……可知……”；“如果……那么……”等．[做一做1]下列说法正确的是( )． A ．由合情推理得出的结论一定是正确的 B ．合情推理必须有前提有结论 C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论无法判定正误 2．归纳推理 ( 1 )根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做________( 简称______ )．( 2 )归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题( 猜想 )．归纳推理的特点:( 1 )归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理； ( 2 )归纳推理的前提是部分的、个别的事实,因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然性的,而是或然性的,所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的；( 3 )人们在进行归纳推理的时候,总是先搜集一不定期的事实材料,有了个别性的、特殊性的事实作为前提,然后才能进行归纳推理,因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；( 4 )归纳推理能够发现前的事实、获得新结论,是科学发现的重要手段。
[做一做2－1]数列2,5,11,20,x,47,…中的x 等于( )． A ．28 B ．32 C ．33 D ．27[做一做2－2]已知等式sin 230°＋sin 230°＋sin 30°·sin 30°＝34,sin 240°＋sin 220°＋sin 40°·sin 20°＝34,下面的等式中具有一般性且包含了已知等式的是( )．A ．sin 2α＋sin 2( 60°－α )＋sin α·sin ( 60°－α )＝34B ．sin 2α＋sin 2( 60°＋α )＋sin α·s in( 60°＋α )＝34C ．sin 2( 60°＋α )＋sin 2( 60°－α )＋sin( 60°＋α )·sin ( 60°－α )＝34D ．sin 2α＋sin 2α＋sin α·sin α＝343．类比推理 ( 1 )根据____________之间具有某些类似( 或一致 )性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似( 或相同 )的性质的推理,叫做________( 简称______ )．它属于合情推理．( 2 )类比推理的一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题( 猜想 )．类比推理有以下几个特点:( 1 )类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中,推测正在研究中的事物的属性,它以旧有认识作基础,类比出新的结果；( 2 )类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； ( 3 )类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却具有发现的功能．[做一做3－1]在平面内,两条相交直线将整个平面分成四部分,类似地,在空间,两个相交平面将整个空间分成________．[做一做3－2]十进制中,2 004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103,那么在五进制中,数码2 004折合成十进制为( )．A ．29B ．254C ．602D ．2 004归纳推理的一般步骤是什么？剖析:( 1 )实验、观察:通过观察个别事物发现某些相同性质．( 2 )概括、推广:从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题,并且在一般情况下,如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越可靠．( 3 )猜测一般性结论:通过实例去分析、归纳问题的一般性结论．题型一 归纳推理[典型例题1]在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升,注入浓度为p %的溶液14a 升,搅匀后再倒出溶液14a 升,这叫一次操作,设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ( 每次注入的溶液浓度都是p % ),计算b 1,b 2,b 3,并归纳出b n 的计算公式．反思:归纳法是获得数学结论的一条重要途径,运用不完全归纳法通过观察、实验,从特例中归纳出一般性结论,形成猜想．题型二 类比推理[典型例题2]在长方形ABCD 中,对角线AC 与两邻边所成的角分别为α,β,且cos 2α＋cos 2β＝1,则在立体几何中,给出类比猜想．分析:考虑到平面几何中为长方形,故可联想到立体几何中的长方体．反思:( 1 )类比推理应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比、归纳,提出猜想．( 2 )也可类比为:长方体的体对角线与同顶点出发的三个面所成的角分别为α,β,γ,则有cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.( 3 )( 2 )中的结论是不对的,实际上此时cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2,由此可知类比的结论不是唯一的,也不一定正确．题型三 易错辨析易错点:在进行类比推理时,由于类比的相似性少或被一些表面现象迷惑导致类比结论错误,解决这类问题的关键是:先充分认识两类事物的相同( 或相似 )之处,充分考虑其中的本质联系,再进行类比．错解一:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的3.错解二:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的12.1已知a 1＝3,a 2＝6,且a n ＋2＝a n ＋1－a n ,则a 33等于( )． A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－62已知扇形的弧长为l ,半径为r ,类比三角形的面积公式:S ＝12×底×高,可推知扇形的面积公式S 扇等于( )．A ．r 22B ．l 22C ．12lr D ．不可类比 3对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是正四面体内任意一点到各面的距离之和( )．A ．为定值B ．为变数C ．有时为定值,有时为变数D ．与正四面体无关的常数4如图所示,由火柴杆拼成的一列图形中,第n 个图形由n 个正方形组成:通过观察可以发现:第4个图形中,火柴杆有________根；第n 个图形中,火柴杆有________根．5设f ( x )＝12x ＋2,利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法,可求得f ( －5 )＋f ( －4 )＋…＋f ( 0 )＋…＋f ( 5 )＋f ( 6 )的值为________．正确答案:基础知识·梳理1．( 1 )前提 结论 ( 2 )可能 [做一做1]B2．( 1 )归纳推理 归纳[做一做2－1]B ∵5＝2＋3×1,11＝5＋3×2,20＝11＋3×3,∴x ＝20＋3×4＝32. [做一做2－2]A 等式右边为34,左侧两角和为60°.3．( 1 )两类不同事物 类比推理 类比 [做一做3－1]四部分[做一做3－2]B 找到十进制与五进制的相似之处．十进制中由低到高的单位依次为100,101,102,…,五进制中由低到高的单位依次为50,51,52,…,那么在五进制中2 004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝4＋2×53＝4＋250＝254,∴五进制中的数码 2 004折合成十进制为254.故选B.典型典型例题·领悟[典型例题1]解:由题意可得,b 1＝a ·r 100＋a 4·p100a ＋a 4＝1100⎝ ⎛⎭⎪⎫45r ＋15p , b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫452r ＋15p ＋452p ,b 3＝a ·b 2＋a 4·p100a ＋a 4＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ,所以归纳得b n ＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p . [典型例题2]解:在长方形ABCD 中,cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α,β,γ,则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下:如图,cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.[典型例题3]错因分析:错解一中“三角形周长”的类比错误,错解二中“12”的类比错误．“三角形周长”应类比为“三棱锥的各面面积之和”；“12”应类比为“13”．正解:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的13.随堂练习·巩固1．A 由题意可得,a 1＝3,a 2＝6,a 3＝3,a 4＝－3,a 5＝－6,a 6＝－3,a 7＝3,a 8＝6,归纳出每6项一个循环,则a 33＝a 3＝3.2．C 由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高,可得S 扇＝12lr .3．A4．13 3n ＋15．3 2 ∵f ( x )＋f ( 1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12x ＋2＋2x2＋2·2x＝12, ∴f ( －5 )＋f ( －4 )＋…＋f ( 0 )＋…＋f ( 5 )＋f ( 6 )＝6×12＝3 2.。
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理(一)学案 新人教B版选修22
2．1.1 合情推理(一)明目标、知重点 1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发展中的作用．1．推理根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理．推理一般由两部分组成：前提和结论．2．合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．3．归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)．4．归纳推理具有如下的特点(1)归纳推理是从特殊到一般的推理；(2)由归纳推理得到的结论不一定正确；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．[情境导学]佛教《百喻经》中有这样一则故事．从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园去买，并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买．”仆人拿好钱就去了．到了果园，园主说：“我这里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看．”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠．”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去．带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了．想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？学习了下面的知识，你将清楚是何道理．探究点一归纳推理的定义思考1 在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？答 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理． 思考2 观察下面两个推理，回答后面的两个问题： (1)哥德巴赫猜想： 6＝3＋3 8＝3＋5 10＝5＋5 12＝5＋7 14＝7＋7 16＝5＋11 ……1 000＝29＋971 1 002＝139＋863 ……猜想：任何一个不小于6的偶数都可写成两个奇质数之和．(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电． 问题： ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？ ②其结论一定正确吗？答 ①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称为归纳推理) ②其结论不一定正确． 探究点二 归纳推理的应用例1 已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．解 当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12；当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14.通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出a n ＝1n.反思与感悟 归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项找出数列项的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前n 项和公式．跟踪训练1 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…) (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n .解 (1)当n ＝1时，知a 1＝1，由a n ＋1＝2a n ＋1得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31.(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n－1(n ∈N ＋)．例2 在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则f (3)＝______；f (n )＝______(答案用含n 的代数式表示)．答案 10n n ＋1n ＋26解析 观察图形可知：f (1)＝1，f (2)＝4，f (3)＝10，f (4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f (2)＝f (1)＋3；f (3)＝f (2)＋6；f (4)＝f (3)＋10；…；f (n )＝f (n －1)＋n n ＋12.将以上(n －1)个式子相加可得f (n )＝f (1)＋3＋6＋10＋…＋n n ＋12＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12[16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n n ＋12]＝n n ＋1n ＋26.反思与感悟 解本例的关键在于寻找递推关系式：f (n )＝f (n －1)＋n n ＋12，然后用“叠加法”求通项，而第一层的变化规律，结合图利用不完全归纳法可得，即为正整数前n 项和的变化规律．跟踪训练2 在平面内观察： 凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 凸六边形有9条对角线， …由此猜想凸n (n ≥4且n ∈N ＋)边形有几条对角线？ 解 凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条， 凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条， ……于是猜想凸n 边形比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线．因此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4且n ∈N ＋)．1．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若 6＋a b ＝6a b(a 、b 均为实数)．请推测a ＝______，b ＝________. 答案 6 35解析 由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35.2．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．答案n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个， 即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n2＋3个，即为n 2－n ＋62.[呈重点、现规律] 归纳推理的一般步骤(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想，注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围．。
高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理预习导航新人教B版选修1-2
高中数学第二章推理与证明 2。
1.1 合情推理预习导航新人教B版选修1-21．合情推理前提为真时,结论可能为真的推理，叫做合情推理．归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．思考1你能举出日常生活中应用合情推理的例子吗？提示：在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞,蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断--天要下雨了;张三今天没来上课，我们会推断-—张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”等．特别提醒（1）合情推理的根据是已有的事实和正确的结论（包括定义、定理、公理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验等．（2)合情推理的结论具有偶然性，既可能为真，也可能为假．（3)合情推理不能作为数学证明的工具，但它能为我们提供证明的思路方向,对于数学的创新和发现十分有用．2．归纳推理(1）概念根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理(简称归纳）．归纳是从特殊到一般的过程．(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．特别提醒(1）归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围．(2）归纳是依据若干已知的现象推断未知的现象,因而结论具有猜测性．(3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上,提出带有规律性的结论．思考2古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：其中（1）中的数称为三角形数,(2）中的数称为正方形数，你能举出一个既是三角形数，又是正方形数的数吗？提示:可先归纳出通项公式，（1）中a n＝错误!，(2)中b m＝m2，令m2＝错误!（n＋1)，其中m,n∈N＋，可探索出m＝35，n＝49能满足，此时对应的数为 1 225，当然这样的数不唯一．3．类比推理(1）概念:根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同)的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）．（2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想)．特别提醒 (1)如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．(2)类比的结论具有偶然性，既可能真，也可能假．思考3归纳推理和类比推理有何区别与联系？提示：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的．归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．两种推理在探索未知数学领域都具有重要作用．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件3 新
2
1
3
解:设an表示移动n块金属片时的移动次数.
当n=1时,a1=1
当n=2时,a2= 3 当n=3时,a3= 7
猜想 an= 2n -1
当n=4时,a4= 15
2
1
3
孪生素数猜想 ;叙拉古猜想 ; 蜂窝猜想;四色
•
3 4 5 6 7 25
4 5 6 7 8 9 10 49
照此规律第n个式子为
n (n 1) (n 2) (3n 2) (2n 1)2
观察下列等式
3+7=10， 10=3+7 ，
3+17=20， 20=3+17，
根据这四所学校的情况,你能判断该市高中生对 数学的普遍印象吗?
已知 判断
前提
新的 判断
结论
1.由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，
合 情 推
猜想:一切金属都能导电.
归
2.由三角形内角和为 18,凸0 四边形内角和为
凸五36边0 形内角和为
540
,
纳 推
理
理 猜想:凸n边形内角和为 (n 2) 180 .
221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537, 都是质数
猜想：22n 1是质数.
半个世纪之后，欧拉发现：
225 1 4294967297 6416700417
后来人们发现 226 1,227 1,228 1都是合数.
新的猜想：形如 22n 1（ n 5 ）的数都是合数.
整体
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案(含解
2.1.1 合情推理[学习目标]1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．了解合情推理在数学发现中的作用．[知识链接]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．[预习导引]1．归纳推理和类比推理定义特征归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理类比推理是由特殊到特殊的推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想要点一归纳推理的应用例1 观察如图所示的“三角数阵” 1............第1行 2 2............第2行 3 4 3............第3行 4 7 7 4............第4行 5 1114115 (5)…………记第n (n ＞1)行的第2个数为a n (n ≥2，n ∈N *)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________； (2)依次写出a 2、a 3、a 4、a 5； (3)归纳出a n ＋1与a n 的关系式．解 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数． (1)6,16,25,25,16,6(2)a 2＝2，a 3＝4，a 4＝7，a 5＝11 (3)∵a 3＝a 2＋2，a 4＝a 3＋3，a 5＝a 4＋4 由此归纳：a n ＋1＝a n ＋n .规律方法 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1 根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1； (2)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n；(3)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1. 解 (1)由已知可得a 1＝3＝22－1，a 2＝2a 1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *.(2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ， a 4＝12－a 3＝3－2a4－3a.猜想a n＝n－1－n－2an－n－1a(n∈N*)．(3)∵2S n＝a n＋1，∴2S1＝a1＋1，即2a1＝a1＋1，∴a1＝1.又2S2＝a2＋1，∴2a1＋a2＝a2＋1，∴a22－2a2－3＝0.∵对一切的n∈N*，a n>0，∴a2＝3.同理可求得a3＝5，a4＝7，猜想出a n＝2n－1(n∈N*)．要点二类比推理的应用例2 如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c 分别为角A，B，C的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如右图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.规律方法(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比平面图形空间图形点线线面边长面积面积体积线线角二面角三角形四面体00过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝p y，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③答案 C解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．1．下列说法正确的是( )A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误答案 B解析根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案 A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．3．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．答案n2－n＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个， 即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示为________． 答案 (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4解析 由已知四个式子可分析规律：(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4.1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明． 2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x ＝26＋1＝65. 2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 3．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n ＝( )A ．2cos θ2nB ．2cos θ2n －1C ．2cos θ2n ＋1D ．2 sin θ2n答案 B解析 法一 ∵a 1＝2cos θ，a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2， a 3＝2＋a 2＝21＋cosθ22＝2cos θ4，…，猜想a n ＝2cos θ2n －1.法二 验n ＝1时，排除A 、C 、D ，故选B.4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心 答案 D解析 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________． 答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析 观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152. 6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________． 答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面PAB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”． 证明 设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥PA ，PC ⊥PB 得PC ⊥面PAB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α， cos α＝sin ∠PCO ＝hPC ，cos β＝h PA ，cos γ＝h PB∵V P －ABC ＝16PA ·PB ·PC ＝13⎝ ⎛12PA ·PB cos α＋12PB ·⎭⎪⎫PC cos β＋12PC ·PA cos γ·h ，∴⎝⎛⎭⎪⎫cos αPC ＋cos βPA ＋cos γPB h ＝1即cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. 二、能力提升8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C 解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A －BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.9．(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n正方形数 N (n,4)＝n 2五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 答案 1 000解析 由归纳推理可知：n 2和n 前面的系数，一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，所以N (n ，k )＝k －22n 2－12n (k －4)，所以N (10,24)＝24－22×102－12×10(24－4)＝1 100－100＝1 000.10．(2013·陕西)观察下列等式： 12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律， 第n 个等式可为________． 答案 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝－1n ＋12n (n ＋1)解析 分n 为奇数、偶数两种情况．当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n n ＋12.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n n －12＋n 2＝n n ＋12.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝－1n ＋12n (n ＋1)．11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sinα)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)． 解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a ) 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)，11 所以直线PA 的方程为y＝y 0x 0＋a (x ＋a)． 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a ，同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b2＝1， 因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)－(a 2＋b 2)．三、探究与创新13.如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想． 解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. 证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。
2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2
2．1。
1 合情推理1.了解合情推理的含义及作用．2。
理解归纳推理与类比推理的特点及步骤．3。
会利用归纳和类比的方法进行推理．1．推理（1)定义：根据一个或几个已知事实（或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理．（2）结构:推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提；一部分是由已知判断推出的新判断,叫做结论．(3)分类：推理错误!2．合情推理(1)合情推理①定义：当前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．②分类：归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．（2）归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同）的性质的推理，叫做类比推理特征归纳是从特殊到一般的过程类比是从特殊到特殊的过程1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）归纳推理是由一般到一般的推理过程．( )（2）归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．( ）（3）类比推理得到的结论可以作为定理应用．（)答案：(1）×（2)√(3)×2．数列5,9，17,33，x，…中的x等于（)A．47B．65C．63D．128答案：B3．各项都为正数的数列｛a n}中，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10,…,求数列{a n｝的通项公式．答案：a n＝错误!数与式的推理（1）由下列各式:13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…请你归纳出一般结论．（2）已知数列｛a n｝的第1项a1＝1，且a n＋1＝错误!(n＝1,2，3,…),试归纳出这个数列的通项公式．［解］（1）由左、右两边各项幂的底数之间的关系：1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，可得一般结论:13＋23＋33＋…＋n3＝（1＋2＋3＋…＋n）2，即13＋23＋33＋…＋n3＝错误!错误!.（2)当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝错误!＝错误!；当n＝3时，a3＝错误!＝错误!;当n＝4时，a4＝错误!＝错误!。
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2．1.1 合情推理1．了解推理的结构及合情推理的定义．(易混点)2．了解归纳推理的定义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决问题．(重点)3．了解类比推理的定义与特点，掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决简单的问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 推理与合情推理阅读教材P53，完成下列问题．1．推理的定义根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个_______________________，这种思维方式叫做推理．2．推理的结构推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做__________；一部分是由已知推出的判断，叫做__________．3．推理的分类推理一般分为__________推理与__________推理．4．合情推理前提为真时，结论__________为真的推理，叫做合情推理．【答案】 1.判断 2.前提结论 3.合情演绎4．可能如图211所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝_________________，a n＝________(n>1，n∈N＋)．图211【解析】依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n＝3n－3(n>1，n∈N＋)．【答案】15 3n－3教材整理2 归纳推理与类比推理阅读教材P54～P58，完成下列问题．1．归纳推理(1)定义根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做________________________________________________(简称__________)．(2)归纳推理的一般步骤①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．【答案】 1.(1)归纳推理归纳2．类比推理(1)定义：根据__________之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做________(简称__________)．它属于合情推理．(2)类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．【答案】 2.(1)两类不同事物类比推理类比1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( )(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )【答案】(1)×(2)×(3)√2．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到( )A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行【解析】利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)已知f (x )＝1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 017(x )的表达式为________．(2)观察下列等式： (1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …照此规律，第n 个等式可为________． (3)已知f (x )＝x1－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n >1，且n ∈N ＋)，则f 3(x )的表达式为__________，猜想f n (x )(n ∈N ＋)的表达式为________.【导学号：05410038】【精彩点拨】 结合数或式子的结构特征，提炼结论． 【自主解答】 (1)由题意f 1(x )＝f (x )＝x1＋x，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1＋x 1＋x1＋x＝x1＋2x， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1＋2x 1＋x1＋2x＝x1＋3x，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝…＝x1＋nx， 故f 2 017(x )＝x1＋2 017x.(2)从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n 个等式可为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)．(3)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x 1－2×x1－2x＝x1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x1－4x 1－4×x1－4x＝x1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x1－8x 1－8×x1－8x＝x1－16x， 根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.【答案】 (1)f 2 017(x )＝x1＋2 017x(2)(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n－1)(3)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x1－2n －1x进行数、式中的归纳推理的一般规律1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论． 2．数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．[再练一题]1．(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n(a ∈N ＋)，则可归纳猜想{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝1nD ．a n ＝1n ＋1(2)已知23＜2＋13＋1，23＜2＋23＋2，23＜2＋33＋3，…，推测猜想一般性结论为________.【导学号：05410039】【解析】 (1)由已知得a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝432＋23＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝2×122＋12＝25，…，由此可猜想a n ＝2n ＋1. (2)每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数，因此可猜测：b a ＜b ＋m a ＋m(a ，b ，m 均为正数，且a ＞b )． 【答案】 (1)B (2)b a ＜b ＋ma ＋m(a ，b ，m 均为正数，且a ＞b )(1)第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．图212(2)根据图213中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为__________．①②③④图213【精彩点拨】(1)观察图案知，每多一块白色地面砖，则多5块黑色地面砖，从而每个图案中白色地面砖的块数，组成首项为6，公差为5的等差数列．(2)先求出前4个图形中线段的数目，再归纳．【自主解答】(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n ＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.【答案】(1)5n＋1 (2)509归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：[再练一题]2．观察分析下表中的数据：【解析】 观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2. 【答案】 F ＋V －E ＝23．根据如图214的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第n 个图形有多少个圆圈．(1) (2) (3) (4) (5)图214【解】 法一：图(1)中的圆圈数为12－0，图(2)中的圆圈数为22－1，图(3)中的圆圈数为32－2，图(4)中的圆圈数为42－3，图(5)中的圆圈数为52－4，…，故猜测第n 个图形中的圆圈数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1.法二：第2个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2×(2－1)＋1个圆圈；第3个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3×(3－1)＋1个圆圈；第4个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有4×(4－1)＋1个圆圈；第5个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5×(5－1)＋1个圆圈；……由上述的变化规律，可猜测第n 个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n 个方向，每个方向有(n －1)个圆圈，因此共有n (n －1)＋1＝(n 2－n ＋1)个圆圈．[探究共研型]探究1 间有什么关系？【提示】 四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．探究 2 三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？【提示】 四面体的体积等于底面积与高的积的13.(1)在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．可类比得到的结论是_________________________________________________________________________. (2)在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【精彩点拨】 (1)等比数列中的商类比等差数列中的差．(2)三角形类比四面体，三角形中的边类比四面体中的面，三角形中的高类比四面体中的高．【自主解答】 (1)因为等差数列{a n }的公差d ＝3， 所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300. 即结论为：数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300. 【答案】 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300 (2)如图①所示，由射影定理得①AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝CD ·BC ，所以1AD2＝1BD ·DC＝BC 2BC ·BC ·BD ·DC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2， 所以1AD2＝1AB2＋1AC 2.类比猜想：四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ， 则1AE＝1AB＋1AC＋1AD .如图②，连接BE 交CD 于F ，连接AF ，②因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面ACD ，而AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF ， 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， 所以1AE2＝1AB2＋1AF 2，易知在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， 所以1AF 2＝1AC2＋1AD 2， 所以1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，猜想正确．1．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：2.圆与球等等．[再练一题]4．上例(1)中条件不变，试写出一个更为一般的结论(不必证明)．【解】对于任意的k∈N＋，都有数列S2k－S k，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.[构建·体系]1．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图215)．图215则第n个正方形数是( )A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2【解析】观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.【答案】 C2．如图216所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )图216A．a n＝3n－1B．a n＝3nC ．a n ＝3n －2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3【解析】 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1.【答案】 A 3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________. 【导学号：05410040】【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】 1∶84．观察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，…照此规律，第五个等式应为________．【解析】 每行最左侧数分别为1,2,3，…，所以第n 行最左侧的数应为n ；每行的个数分别为1,3,5，…，所以第n 行的个数应为2n －1.所以第5行的数依次是5,6,7，…，13，其和为5＋6＋7＋…＋13＝81.【答案】 5＋6＋7＋…＋13＝815．已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3. (1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2)猜想a n .【解】 (1)a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37， 同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38，a 4＝39，a 5＝310. (2)由a 2＝32＋5，a 3＝33＋5，a 4＝34＋5，a 5＝35＋5，可猜想a n ＝3n ＋5.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。