例题(一)：直线方程
直线方程经典例题及解析
直线方程经典例题及解析直线是我们在几何学中经常遇到的基本概念之一，研究直线方程是数学中的一个重要分支。
本文将介绍几个经典的直线方程例题，并逐步解析它们的求解过程。
例题1：求过两点的直线方程已知直线上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，请求出通过这两个点的直线方程。
解析：我们知道，直线的方程可以表示为y = kx + b的形式，其中k是斜率，b是与y 轴交点的纵截距。
首先我们需要计算斜率k，根据斜率公式：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)然后，我们可以使用其中一个点（例如A点），将点坐标带入方程：y1 = kx1 + b可以得到b的值：b = y1 - kx1因此，通过这两个点的直线方程为：y = (y2 - y1) / (x2 - x1) * x + (y1 - (y2 - y1) / (x2 - x1) * x1)这就是通过两个已知点求直线方程的方法。
例题2：求与两直线的交点已知直线L1的方程为y = k1x + b1，直线L2的方程为y = k2x + b2，求两直线的交点坐标。
解析：假设L1和L2的交点坐标为(x, y)。
那么根据直线方程，我们可以得到：k1x + b1 = k2x + b2整理后可得：(k1 - k2)x = b2 - b1从而得到交点横坐标x的值：x = (b2 - b1) / (k1 - k2)将x的值带入任意一条直线方程中，可以求出交点纵坐标y的值。
综上所述，我们可以通过以上步骤求得直线L1和L2的交点坐标。
例题3：已知截距和斜率求直线方程已知直线L的斜率为k，与y轴的截距为b，请求直线L的方程。
解析：根据直线方程y = kx + b，我们已知直线L的截距和斜率。
根据已知信息，我们可以直接写出直线L的方程：y = kx + b就是这么简单！我们只需将已知的斜率k和截距b带入直线方程即可求得直线L的方程。
例题4：已知直线与坐标轴的交点已知直线L与x轴和y轴的交点分别为A(2,0)和B(0,3)，求直线L的方程。
直线方程典型例题
【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1．直线cos 20x α+=的倾斜角的范围是A ．5,,6226ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【变式】已知动直线21y kx k =++ 与直线l : 122y x =-+的交点在第一象限，求k 的取值范围。
类型二：两直线的位置关系例2．四边形ABCD 的顶点为(22A +，，(22)B -，，(02C -，，(42)D ，，试判断四边形ABCD 的形状．【举一反三】【变式1】直线l 1: ax+(1-a)y=3与直线l 2: (a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求a 的值。
类型三：直线的方程例3．过点P(2，1)作直线l 与x 轴、y 轴正半轴交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程.【变式1】求通过点(1，-2)，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线；【变式2】直线l 过点(1,4)P -，且在两轴上的截距之和为零，求l 的方程。
类型三：对称问题例4．求直线:240a x y +-=关于直线:3410l x y +-=对称的直线b 的方程。
【举一反三】【变式】由点P （2，3）发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．类型五：综合应用例5.（2014秋 渝中区校级期中）已知点A （1，1），B （2，2），C （4，0），D （，），点P 在线段CD 垂直平分线上，求：（1）线段CD 垂直平分线方程；（2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P 点的坐标．【举一反三】【变式】（2014秋 渝中区校级期中）已知三角形的顶点是A （﹣5，0）、B （3，﹣3）、C （0，2），（1）求直线AB 的方程；（2）求△ABC 的面积；（3）若过点C 直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的范围．。
直线方程题型及解题方法
直线方程题型及解题方法直线方程是数学中的常见题型，往往需要用到代数、几何和图像的知识进行解答。
本文将介绍几个常见的直线方程题型，并提供相应的解题方法。
一、点斜式方程点斜式方程是直线方程中最常见的一种形式。
它可以通过给定直线上的一点和直线的斜率来确定直线的方程。
具体的表示形式为：y - y₁ = m(x - x₁)其中(x₁, y₁)是直线上的一点坐标，m是直线的斜率。
以下是使用点斜式方程解题的步骤：步骤 1：根据题目给出的信息，确定直线上的一点(x₁, y₁)和直线的斜率m。
步骤 2：代入点斜式方程，计算直线的方程。
例题 1：已知直线上的一点为 P(2, 4)，斜率为 3，求直线的方程。
解题步骤：步骤 1：将 P 的坐标代入点斜式方程，得到y - 4 = 3(x - 2)。
步骤 2：展开并化简方程，得到y - 4 = 3x - 6。
最终答案为y = 3x - 2。
二、截距式方程截距式方程是直线方程的另一种常见形式。
它可以通过给定直线在 x 轴和 y 轴上的截距来确定直线的方程。
具体的表示形式为：y = yy + y其中m是直线的斜率，b是直线在 y 轴上的截距。
以下是使用截距式方程解题的步骤：步骤 1：根据题目给出的信息，确定直线在 x 轴和 y 轴上的截距，即(0, b)和(a, 0)。
步骤 2：利用截距式方程，代入相应的截距和斜率，计算直线的方程。
例题 2：已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 2 和 -3，求直线的方程。
解题步骤：步骤 1：将 x 轴上的截距代入截距式方程，得到y = mx + 2。
步骤 2：将 y 轴上的截距代入方程，得到-3 = m * 0 + 2。
解方程得到m = -3/2。
最终答案为y = -3/2x + 2。
三、两点式方程两点式方程是直线方程的一种形式，用于通过直线上的两点来确定直线的方程。
具体的表示形式为：(y - y₁) / (x - x₁) = (y - y₂) / (x - x₂)其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点。
直线方程(学生版)
直线与直线方程一、直线的倾斜角和斜率（1）倾斜角定义：平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把__x 轴(正方向)_按__逆时针__方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角， 叫作直线l 的倾斜角。
（0°≤α<180°）（2）斜率k=tan α=1212x x y y -- （0°≤α＜180°），当α=90时，k 不存在。
（两种求法，注意21x x =的情况）（3）函数y=tanx 在)90,0[0增加的，在)180,90(00也是增加的。
例1：过点M （-2，m ）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 。
例3：已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k 的取值范围。
练习：1经过点P (2，m )和Q (2m ，5)的直线的斜率等于12，则m 的值是( )A ．4B ．3C ．1或3D ．1或42. 已知直线l 过P(－1，2)，且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围． 点二、两直线的平行与垂直1.平行的判定：2. 垂直的判定：。
练习：的值平行，求实数与直线已知直线a ay x a l ay x l 01)13(:012:.121=---=-+的值平行，求实数与直线已知直线a y a x a l ay x a l 03)2()2(:013)2(:.221=-++-=+++3.求a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？4.求过点P (1，－1)，且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程．三、直线的方程1、点斜式: y-y 0=k (x －x 0) (斜率存在，可为0)1、 斜截式： y=kx +b (b 是与y 轴的交点) (斜率存在，可为0)2、 两点式:121y y y y --=121x x x x -- (斜率存在，不能为0)3、 一般式：A x +B y +C=0 (任意直线)4、 截距式：a x +by=1 (斜率存在且不过原点且不为0)典型例题表示b ＋kx ＝y 的直线直线都可以用b)，A(0．经经过定D 1表表by x 可以用方程．不经不经过原点的直C 表示)y －)(y x －(x ＝)x －)(x y －(y 程 的直线直线都可以)y ，(x P 、)y ，(x P ．经经过任意两个不同B 表示)x －k(x ＝y －y 的直线直线都可以用)y ，(x P ．经经过定A ) (四种种法中正确的1.下12112122211100000=+a 面例例2.求过定点P (2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．例4.方程(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6满足下列条件，请根据条件分别确定实数m 的值．(1)方程能够表示一条直线；(2)方程表示一条斜率为－1的直线．例5.直线l 的方程为(a －2)y ＝(3a －1)x －1(a ∈R)． (1)求证：直线l 必过定点；(2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (3)若直线l 不过第二象限，求实数a 的取值范围．（答案：分斜率存在与不存在）练习：1.若直线7x ＋2y －m ＝0在两坐标轴上的截距之差等于5，则m ＝( ) A ．14 B ．－14 C ．0 D ．14或－14 2、直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
直线与方程经典例题
>tan(45° )=1，解得-1<a<- 。
2
1
<0，解得 a<-1#43;∞）
变式
已知过定点 p（2，0）的直线 l 与曲线 y= 2 − ������ 2 相交于 A,B 两点，O 为坐标原点， 当∆AOB 的面积取最大值时， 直线了 l 的倾斜角为多少？
经典例题
1， 直线的倾斜角与斜率
例， 直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45° ， 则 a 的取值范围是多少？ 解： 已知倾斜角取值范围是[0° ,180° ） ， 当倾斜角的斜率在[0° ,90° )之间 时递增，在（90° ，180° ）递增（小于 0） 。 所以，当倾斜角在[0° ,90° )时，− 当倾斜角在（90° ，180° ）时，−
P(1, 1) ，则直线 l 的斜率是＿。
6，求直线的方程
例：求适合下列条件的直线方程：
（3， 2） （1） 经过点 P ，且在两坐标轴上的截距相等；
（ 1， 3） （2） 过点 A ，斜率是直线 y=3x 的斜率的 ；
1 4
x y a a x y 所以，直线的方程为 1 。 5 5
变式
设两条直线的方程分别为 x+y+a=0， x+y+b=0,已知 a， b 是方程 x2+x+c=0 的两个不等的实根，且 0≤c≤ ，则两条直线之间距离的最大值与最
8 1
小值分别是多少？
4，
中心对称
例，求直线 A:y=x+3 关于点 C（1，1）中心对称的直线 B 的方程。 解，在直线 A 上任取两点 T1（0，3）,T2（1，4）,因为直线 A,B 关于点 C 对称，所以存在直线 B 上的两点 T3(a,b),T4(c,d)，使得
直线恒过定点专题
直线恒过定点专题一、直线恒过某个定点问题1．直线方程：y=kx+b ，若k 为参数，则直线恒过定点（0，b ），若b 为参数，则直线是一系列平行线；2．直线方程：y=k （x - x 0）+y 0，则直线恒过定点（x 0，y 0）；3．已知直线：l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0。
则直线A 1x+B 1y+C 1+m （A 2x+B 2y+C 2）=0恒过定点的求法是：解方程组：⎩⎨⎧0=C +y B +x A 0=C +y B +x A 222111，解得：⎩⎨⎧==00y y x x 那么定点是（x 0，y 0）。
例题一：求直线y=kx+ - k 恒过定点的坐标。
解：方程可化为y=k （x - 1）+3，解得：⎩⎨⎧==-301y x 得⎩⎨⎧==31y x ，所以过定点是（1，3）。
例题二：不论m 为何实数，直线（m - 1)x - y+2m - 1=0恒过定点？解：化简方程可以为m （x+2) - x - y=0 - 1)x - y+2m - 1=0得⎩⎨⎧=---=+0102y x x 得⎩⎨⎧=-=12y x 恒过定点为（ - 2，1） 二、动点在某条定直线上的问题1．动点P （a ，b ），若a 为常数，b 为参数，则点P 在直线x=a 上，若a 为参数，b 为常数，则点P 在直线y=b 上。
2．动点P （f （m)，g （m ））可令⎩⎨⎧==)()(m g y m f x 消去m 可得x 、y 方程。
例题一、 动点P （1，n ），则P 在直线1=x 上，动点P （m ，1），则P 在直线1=y 上， 例题二 、函数y 1=kx 2+ax+a 的图象与 x 轴交于点 A ， B (点 A 在点 B 的左侧)， 函数y 2=kx 2+bx+b 的图象与 x 轴交于点 C ， D (点 C 在点 D 的左侧)，其中k≠0，a≠b 。
（1）求证： 函数 y 1与 y 2的图象交点落在一条定直线上；（2）若 AB ＝CD ，求 a 、b 和k 应满足的关系式；（3）是否存在函数y 1与 y 2 ， 使得 B 、C 为线段 AD 的三等分点? 若存在，求a 、b 的值；若不存在，说明理由．（1）解：联立⎩⎨⎧++=++=bbx kx y a ax kx 22y 解得，⎩⎨⎧=-=k y x 1所以交点在直线x= - 1． 例题三：已知无论m 为任何实数，二次函数y=(x - 2m)+m 的图像的顶点总在定直线上，则此直线的解析式?解：依题意得，顶点坐标是（2m ，m ）),2m m （即⎩⎨⎧==m y m x 2消去m 得直线x - 2y=0。
经典直线方程练习题及答案
第1讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率:对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800)直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系是αtan =k ；α090=时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是1212x x y y k --=；三点C B A ,,共线的充要条件是AC AB k k = 2.直线方程的五种形式:点斜式方程是()y y k x x -=-00；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线 斜截式方程为b kx y +=；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线两点式方程为121121x x x x y y y y --=--；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线截距式方程为1=+bya x ；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. 一般式方程为0=++c by ax . 3.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为x=a;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为y=b ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=; ③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=; ④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y=kx★重难点突破★重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程 难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程★热点考点题型探析★考点1 直线的倾斜角和斜率题型1 ：已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)或已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围) [例1 ]已知经过),12,(),2,(--m m B m A 的直线的倾斜角为α，且o o 13545<<α，试求实数m 的取值范围。
直线的一般式方程例题及答案
直线的一般式方程例题及答案直线的一般式方程是一种描述直线位置关系的方程形式。
对于给定直线，一般式方程可以唯一地确定它的位置和方向。
在这篇文章中，我们将会讲解一些常见的直线方程例题以及它们的答案，希望能对大家理解直线的一般式方程有所帮助。
例题1：给出点P(-3, 4)和直线L: 3x + 4y + 5 = 0，求P到L的距离。
解法：我们需要用到一个公式，即点到直线的距离公式。
该公式为：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)其中，(x0, y0)为点P的坐标，Ax + By + C = 0为直线L的一般式方程。
将点P和直线L的值代入公式中，可得：d = |3(-3) + 4(4) + 5| / √(3^2 + 4^2) = 25 / 5 = 5因此，点P到直线L的距离为5。
例题2：求过点A(1, 2)且与直线L1: 2x - 3y + 1 = 0垂直的直线L2的一般式方程。
解法：由于直线L2与直线L1垂直，所以它们的斜率乘积为-1。
因此，我们需要先求出直线L1的斜率，然后求出直线L2的斜率。
将L1的一般式方程转化为斜截式方程，可得：y = (2/3)x + 1/3因此，L1的斜率为2/3。
由于L2与L1垂直，所以L2的斜率为-3/2。
因此，直线L2的一般式方程为：3x + 2y + c = 0需要求出常数c。
将点A的坐标代入该方程中，可得：3(1) + 2(2) + c = 0解出c，可得c = -9。
因此，直线L2的一般式方程为：3x + 2y - 9 = 0例题3：求直线L1: 2x - y + 3 = 0和直线L2: 3x + ky - 1 = 0的交点坐标。
解法：我们可以将L1的一般式方程转化为y = 2x + 3的斜截式方程。
然后将该方程代入L2中，得到一个只含有x的方程。
解出x之后，再代入y = 2x + 3，即可求出交点坐标。
将L1的一般式方程转化为斜截式方程，可得：y = 2x + 3将该方程代入L2中，可得：3x + k(2x + 3) - 1 = 0化简得到：(3 + 2k)x + 3k - 1 = 0因为L1和L2有交点，所以该方程有解。
直线的方程典型例题
直线的方程典型例题直线是平面上最基本的元素之一，它在几何学和代数学中都有重要的应用。
对于一条直线而言，我们通常需要确定它的方程来描述其性质和特征。
本文将介绍一些关于直线方程的典型例题，并给出解法和详细说明。
例题1：已知两点求直线方程题目描述：已知直线上两点A(1, 2)和B(3, 4)，求直线的方程。
解法：为了求得直线的方程，我们需要先找到直线的斜率k。
根据两点间的斜率公式，可以得到：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)将A(1, 2)和B(3, 4)的坐标代入公式中，可以得到：k = (4 - 2) / (3 - 1) = 2 / 2 = 1得到斜率k为1。
接下来，我们使用点斜式来表示直线的方程。
点斜式是通过一个点的坐标和直线的斜率来表示直线方程的形式。
对于已知点A(1, 2)和斜率k=1的直线，直线方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)将A(1, 2)和k=1代入方程中，可以得到：y - 2 = 1(x - 1)简化得到直线方程：y - 2 = x - 1进一步整理得到最终的直线方程为：y = x + 1因此，直线的方程为y = x + 1。
例题2：已知截距求直线方程题目描述：已知直线截x轴的截距为3，截y轴的截距为2，求直线的方程。
解法：对于已知直线的截距，我们可以采用截距式来表示直线的方程。
截距式是通过直线与坐标轴的截距来表示直线方程的形式。
对于已知直线与x轴的截距为3和与y轴的截距为2的情况，直线方程可以表示为：x / a + y / b = 1将已知的截距代入方程中，得到：x / 3 + y / 2 = 1为了去除分数，我们可以将方程两边同时乘以6，得到：2x + 3y = 6因此，直线的方程为2x + 3y = 6。
例题3：已知垂直直线的方程求直线方程题目描述：已知直线x + y = 5，求与该直线垂直的直线的方程。
解法：两条直线的垂直性意味着它们的斜率之积为-1。
人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.2 直线的方程习题(1)
1．直线10x y -+=的倾斜角为 ． 【答案】45︒ 【解析】试题分析：方程10x y -+=可化为斜截式1+=x y ，所以斜率1=k ，所以倾斜角 45 考点：直线方程、直线的倾斜角与斜率2．已知ABC ∆的三个顶点分别是()2,2A ，(0,1)B ，()4,3C ，点(,1)D m 在边BC 的高所在的直线上，则实数m ＝________. 【答案】52【解析】试题分析：因为，ABC ∆的三个顶点分别是()2,2A ，(0,1)B ，()4,3C ，点(,1)D m 在边BC 的高所在的直线上，所以，高线的斜率为12122AD BC k m k -==-=--，故m=52. 考点：直线斜率的坐标计算公式，直线垂直的条件。
点评：简单题，两直线垂直，斜率乘积等于-1，或一条直线的斜率为0，另一直线的斜率不存在。
3．.经过点(0,1)P -作直线l ,若直线l 与连接(1,2),(2,1)A B -的线段没有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围为 . 【答案】()()+∞-∞-,11, 【解析】略4．已知点P （0，-1），点Q 在直线01=+-y x 上，若直线PQ 垂直于直线052=-+y x ，则点Q 的坐标是 . 【答案】(2,3) 【解析】试题分析：根据点Q 在直线x-y+1=0上设Q （x ，x+1），由已知的直线方程求出斜率，再利用两直线垂直斜率之积为-1，以及两点间的斜率公式求出x 的值，再求出点Q 的坐标。
解：由于点Q 在直线x-y+1=0上，故设Q （x ，x+1），∵直线x+2y-5=0的斜率为-12，且与直线PQ 垂直，∴k PQ =2=1(1)x x +--- ，解得x=2，即Q （2，3）．故答案为(2,3)考点：两条直线垂直点评：本题考查了点与直线关系，以及直线的一般方程，主要利用斜率都存在的两条直线垂直，斜率之积等于-1，求出点的坐标 5．已知直线ax －y +2a =0与(2a －1)x +ay +a =0互相垂直 ,则a 的值= 【答案】1,0 【解析】略6．已知直线2x+my+1=0与直线y=3x-1平行，则m= _______.【解析】因为已知直线2x+my+1=0与直线y=3x-1平行，则斜率相等，即7_______________【解析】试题分析：直斜率，即tan α，所以，直线考点：本题主要考查直线的斜率与直线的倾斜角。
直线方程
知识点梳理一、直线方程：1、确定直线的条件：⑴ 两个点；⑵ 一点和直线的方向。
2、直线的斜率：⑴ 直线的倾斜角：将直线l 绕它与x 轴的交点逆时针旋转形成的最小的正角称为直线的倾斜角。
一般的，直线的倾斜角θ满足：0180θ︒≤<︒。
⑵ 直线的斜率：已知点1P 11(,)x y ，2P 22(,)x y ，若经过这两点的直线l 的斜率k 存在（即12x x ≠），则：2121y y k x x -=- ⑶ 若直线的斜率为k ，倾斜角为α()2πα≠，则：k=tan α3、直线在坐标轴的截距是坐标，不是距离。
如直线0Ax By C ++=在x 轴的截距为C A -，在y 轴的截距为C B-。
4、直线方程的形式：⑴ 点斜式：经过点00(,)x y ，斜率为k00()y y k x x -=-点斜式方程不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线⑵ 斜截式：经过点(0,)b ，斜率为ky kx b =+斜截式方程不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线⑶ 两点式：经过点1P 11(,)x y ，2P 22(,)x y ，112121y y x x y y x x --=-- 两点式方程不能表示垂直于x 轴和y 轴的直线⑷ 截距式：经过点(,0)a ，(0,)b1x y a b+= 截距式方程不能表示垂直于x 轴、y 轴、经过原点的直线佛山学习前线教育培训中心直线方程⑸ 一般式：0Ax By C ++=22(0)A B +≠二、两条直线的位置关系：1、平行⑴ 1:l 11y k x b =+，2:l 22y k x b =+12//l l ⇔ 12k k =，且12b b ≠⑵ 1:l 1110A x B y C ++=，2:l 2220A x B y C ++=12//l l ⇔ 12210A B A B -=，且12210AC A C -≠，12210B C B C -≠⑶ 与直线0Ax By C ++=平行的直线的方程为'0Ax By C ++=(')C C ≠2、垂直⑴ 1:l 11y k x b =+，2:l 22y k x b =+12l l ⊥ ⇔ 121k k ⋅=- 211()k k =-， ⑵ 1:l 1110A x B y C ++=，2:l 2220A x B y C ++=12l l ⊥ ⇔ 12120A A B B +=⑶ 与直线0Ax By C ++=的直线的方程为'0Bx Ay C -+=5、距离：两点之间的距离公式:点P 00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的距离： 0022||Ax By C d A B ++=+两条平行直线0Ax By C ++=与'0Ax By C ++=的距离： 22|'|C C d A B -=+6、对称⑴ 点关于点的对称点：中点问题若点A (,)x y ，P (,)a b ，则点A 关于点P 的对称点B 的坐标为：(2,2)a x b y --。
例题_直线的点斜式方程
∵直线l在y轴上的截距等于2，
∴点（0，2）在直线l上，代入直线l的方
程得2=-3×0+b，得b=2．
因此所求直线的方程为y=-3x+2．
故答案为：y=-3x+2
直线的斜截式方程_____．
解：∵倾斜角为45°， ∴斜率k=tan45°=1． 由点斜式可得：y-3=（x+2）， 化为斜截式：y=x+5． 故答案为：y=x+5．
题型 2 直线的斜截式方程
【例 2】在y轴上的截距为2，且与直线y=-3x-4平 行的直线的斜截式方程为_____．
解：设所求直线为l，可得 ∵直线l与直线y=-3x-4平行，∴设直线l的 方程为y=-3x+b，
题型 1 直线的点斜式方程
【例 1】 求下列直线的方程：
(1)经过点 A(1,2)，斜率是 4；
(2)经过点 A(1,2)，倾斜角为 45°；
(3)经过点 A(1,2)，且与 x 轴平行；
(4)经过点 A(1,2)，且与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx 轴垂直.
解：(1)直线方程为 y－2＝4(x－1).
(2)∵倾斜角为 45°，∴斜率为 1.
∴直线方程为 y－2＝1×(x－1)，即 y－2＝x－1.
(3)经过点 A(1,2)，且与 x 轴平行，直线方程为 y＝2.
(4)经过点 A(1,2)，且与 x 轴垂直，直线方程为 x＝1.
总结：使用直线的点斜式方程必须注意“斜率 存在”这一前提条件.
题型 2 直线的斜截式方程
【例 2】直线经过点P(-2，3)且倾斜角为45°，求
直线方程及常考题型
直线的方程经典例题一 定点问题3.已知直线l 的方程为：（2m-3）x+y-m+6=0，则对于任意的m ∈R ，直线l 恒过定点____4方程()()()14232140k x k y k +--+-=表示的直线必经过点.A ()2,2 .B ()2,2- .C ()6,2- .D 3422,55⎛⎫ ⎪⎝⎭7求证：不论m 取何实数，直线()()1215m x m y m -+-=-总通过一定点二直线系方程1当210<<k 时，直线k x ky l k y kx l 2,1:21=--=-：直线的交点在（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限B2若直线l ：3y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 （） .A ,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.B ,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.D ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5 已知定点()2,1P --和直线l ：()()()1312250x y λλλ+++-+=()R λ∈求证：不论λ取何值，点P 到直线l 的距离不大于13 9三 截距问题1.直线mx+ny=1(mn ≠0)与两坐标轴围成的面积是（ ） A12mn B 1||2mn C 12mn D 12||mn 6 求过点(34)M -，，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．7．在过点(35)P ，的所有直线中，求到原点的距离最远的直线方程 35340x y +-=．8.已知直线L 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线L 的方程。
9三 最值问题1 若直线l 过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l 有（ ）条A 1B 2C 3D 43.过点P(2,1) 作直线l 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，求|PA|·|PB|取最小值时直线l 的方程.4.位于第一象限的点A 在直线y=3x 上，直线AB 交x 轴的正半轴于点C ，已知点B （3,2），求△OAC 面积的最小值，并求此时A 点坐标5．已知点M(1,3),N(5,-2),在x 轴上取一点P ，使得||PM|-|PN||最大，则P 点坐标是（ ）A （5,0）B （13,0）C （0,13）D （3.4,0）6已知点()3,5A -，()2,15B ，试在直线l ：3440x y -+=上找一点P ，使PA PB + 最小，并求出最小值.7810已知点M （3，5），在直线l ：x －2y +2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小四、对称问题1.点A （4,5）关于直线l 的对称点为B （-2,7），则l 的方程为____________2.点A （1,2）关于直线x-2y-2=0的对称点B 的坐标是_________3.已知M （a ，b ）与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线x+y=0对称，则点Q 的坐标为（ ）A （a ，b ）B （b ，a ）C （-a ，-b ）D （-b ，-a ）5直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是（）.A 3220x y -+=.B 2370x y ++=.C 32120x y --=.D 2380x y ++=10已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=.若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程为.A 210x y -+=.B 210x y --=.C 10x y +-=.D 210x y +-=15求点P ()1,1关于直线l ：20x y ++=的对称点Q 的坐标17求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程.2021。
高中数学例题：直线方程的实际应用
高中数学例题：直线方程的实际应用例6．一条光线从点(3,2)A 出发，经x 轴反射，通过点(1,6)B -，求入射光线和反射光线所在直线的方程．【思路点拨】利用对称的知识来求解。
【答案】240x y --= 240x y +-= 【解析】点(3,2)A 关于x 轴的对称点为'(3,2)A -，∴由两点式可得直线'A B 的方程为612631y x -+=--+ ∴入射光线所在直线方程为240x y --=反射光线所在直线方程为240x y +-=【总结升华】一般地，点(,)A a b 关于x 轴的对称点的坐标为'(,)A a b -，关于y 轴的对称点的坐标为''(,)A a b -．例7．如图，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到1 m 2）【答案】6017【解析】 建立坐标系，则B （30，0），A （0，20）．∴由直线的截距方程得到线段AB 的方程为13020x y +=（0≤x ≤30）． 设点P 的坐标为（x ，y ），则有2203y x =-．∴公寓的占地面积为2(100)(80)(100)(8020)3S x y x x =-⋅-=-⋅-+2220600033x x =-++（0≤x≤30）．∴当x=5，503y =时，S 取最大值，最大值为222205560006017(m )33S =-⨯+⨯+≈． 即当点P 的坐标为50(5,)3时，公寓占地面积最大，最大面积为6017 m 2．【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点P 的位置由两个条件确定，一是A 、P 、B 三点共线，二是矩形的面积最大．借三点共线寻求x 与y 的关系，利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．举一反三：【变式1】由点(2,3)P 发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点(1,1)Q ，则反射光线所在直线的一般方程为 .【解析】设点P 关于直线1x y +=-的对称点()'00,P x y ，则()'00,P x y 满足条件000023122312x y y x ++⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得()'4,3P -- 所以由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为311(1)41y x ---=---，即4510x y -+=.。
直线的参数方程及其应用举例
-.直线的参数方程及应用问题1：〔直线由点和方向确定〕求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向〕过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点.1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P| 那么P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos αQ P ＝0y y -∴0y y -=t sin α 即⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从点P 0(00,y x )到点P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t|① 当t>0时，点P 在点P 0的上方；② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合；③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方；特别地，假设直线l 的倾斜角α＝0⎧+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合；⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系.xx- . 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ，那么P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t－t ∣问题4：假设P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，P 1、P 2 参数分别为t 1、t 2 ，那么t 1、t 2 根据直线l 参数方程t 的几何意义，P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，∴|P 1P|＝|P 2P| P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2<0 一般地，假设P 1、P 2、P 3是直线l 上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2 那么t 3＝221t t +〔∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t 的几何意义，∴P 1P 3= t 3－t 1,P 2P 3=t 3－t 2,∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) 〕总结：1、 直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 〔t 为参数〕t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点.(2)假设P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，那么P 1P 2=t 2－t 1∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 假设P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3那么P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)假设P 0为P 1P 2的中点，那么t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<02、 直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为ab k =的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 〔t 为参数〕 x例题：1、参数方程与普通方程的互化例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义.解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－31=－33 设倾斜角为α，tg α=－33,α=π65, cos α =－23, sin α=21 1l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231 〔t 为参数〕t 是直线1l 上定点M 0〔1，0〕到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的数量.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-(2) 21(1) 231t y t x (1)、(2)两式平方相加,得222)1(t y x =+-∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣是定点M 0〔1，0〕到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2：化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t 313y t x 〔t 为参数〕为普通方程，并求倾斜角， 说明∣t ∣的几何意义.解：原方程组变形为⎩⎨⎧=-=+ (2) t31 (1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ， 得)3(31+=-x y (点斜式) 可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3π 普通方程为 01333=++-y x(1)、(2)两式平方相加,得2224)1()3(t y x =-++∴∣t ∣=2)1()3(22-++y x ∣t ∣是定点M 0〔3，1〕到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长的一半.点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231即⎪⎩⎪⎨⎧=+=ππ65sin 65cos 1t y t x 是直线方程的标准形式，(-23)2+(21)2=1, t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.直线2l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-= t 313y t x 是非标准的形式，12＋(3)2=4≠1，此时t 的几何意义是有向线段M M 0的数量的一半.你会区分直线参数方程的标准形式吗？例3：直线l 过点M 0〔1，3〕，倾斜角为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211〔t 为参数〕和方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x 〔t 为参数〕是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l 的的普通方程 0333=+--y x ，所以，以上两个方程都是直线l 的参数方程，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211 cos α =21, sin α=23，是标准形式，参数t 是有向线段M M 0的数量.，而方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x 是非标准形式，参数t 不具有上述的几何意义. 点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能区分其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.问题5：直线的参数方程⎩⎨⎧+=+= t 331y t x 能否化为标准形式？ 是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)⎩⎨⎧+=+= t 331y t x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=))3(1()3(13 3))3(1()3(11122222222t y t x 令t '=t 22)3(1+ 得到直线l 参数方程的标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t 233211y t x t '的几何意义是有向线段 M M 0的数量.2、直线非标准参数方程的标准化一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00〔t 为参数〕， 斜率为a b tg k ==α(1)当22b a +＝1时，那么t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.(2) 当22b a +≠1时，那么t 不具有上述的几何意义.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+ 那么可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a b y y t b a a x x 220220 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量.例4：写出经过点M 0〔－2，3〕，倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且 求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标. 解：直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=ππ43sin 343cos 2t y t x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 223222〔t 为参数〕〔1〕 设直线l 上与点M 0相距为2的点为M 点，且M 点对应的参数为t, 那么| M 0M|＝|t| =2, ∴t=±2 将t 的值代入(1)式当t=2时，M 点在 M 0点的上方，其坐标为〔－2－2，3＋2〕；当t=-2时，M 点在 M 0点的下方，其坐标为〔－2＋2，3－2〕.点拨：假设使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦， 而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较 容易.例5：直线⎩⎨⎧-=+= 20cos 420sin 3t y t x 〔t 为参数〕的倾斜角 . 解法1：消参数t,的34--x y ＝－ctg20°=tg110°解法2：化为标准形式：⎩⎨⎧-+=-+= 110sin )(4110cos )(3t y t t x 〔－t 为参数〕 ∴此直线的倾斜角为110°根底知识测试1：1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、 直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-=25cos 225sin 1t y t x 〔t 为参数〕，那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°3、 直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 521511〔t 为参数〕的斜率和倾斜角分别是( ) A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21) C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 21 4、 直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 〔t 为参数〕上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P 分线段BA 所成的比为λ〔λ≠－1〕，那么P 所对应的参数是.5、直线l 的方程： ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 〔t 为参数〕A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣ B22b a +∣t 1－t 2∣ C 2221b a t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣ 6、 直线l ：⎩⎨⎧+-=+= t 351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离.例6：直线l 过点P 〔2，0〕，斜率为34，直线l和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M,求： (1)P 、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|解：(1)∵直线l 过点P 〔2，0〕，斜率为34,设直线的倾斜角为α，tg α=34 cos α =53, sin α=54∴直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 54532〔t 为参数〕* ∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程x y 22=中，整理得 8t 2－15t －50＝0 Δ=152+4×8×50>0,设这个二次方程的两个根为t 1、t 2,由韦达定理得 t 1＋t 2＝815, t 1t 2＝425- ，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得| PM|＝221t t +＝1615 ∵中点M 所对应的参数为t M =1615,将此值代入直线的标准参数方程*， M 点的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧=•==•+=4316155416411615532y x 即 M 〔1641，43〕 (3) |AB|＝∣t 2－t 1∣＝ 222114)(t t t t -+＝7385 点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t 的几何意义，在解决诸如直线l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比拟灵活和简捷. 例7：直线l 经过点P 〔1,－33〕,倾斜角为3π， (1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ|；(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.解：(1)∵直线l 经过点P 〔1,－33〕,倾斜角为3π,∴直线l 的标准参数方 程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=3sin 333cos 1ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 2333211〔t 为参数〕代入直线l '：32-=x y 得032)2333()211(=-+--+t t 整理，解得t=4+23 t=4+23即为直线l 与直线l '的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几 何意义可知：|t|=| PQ|,∴| PQ|=4+23.(2) 把直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 2333211〔t 为参数〕代入圆的方程22y x +＝16，得16)2333()211(22=+-++t t ,整理得：t 2－8t+12=0， Δ=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t 1、t 2 那么t 1t 2=12根据参数t 的几何意义，t 1、t 2 分别为直线和圆22y x +＝16的两个交点A, B 所对应的参数值，那么|t 1|=| PA|,|t 2|=| PB|,所以| PA|·| PB|=|t 1 t 2|=12点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘- . 积〔或商〕的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右， 直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为〔a ，2〕 方程为(y ―2)2=2P(x －a ) (P>0) ①∵点B(－1,－2)在抛物线上，∴(―2―2)2=2P(－1－a )a P=－8－P 代入① 得(y ―2)2=2P x ＋2P+16 ②将直线方程y=2x +7化为标准的参数方程tg α=2,α为锐角，cos α =51, sin α=52 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 525511〔t 为参数〕 ③ ∵直线与抛物线相交于A ，B, ∴将③代入②并化简得：75212542--+t P t ＝0 ，由Δ=355)6(42+-P >0,可设方程的两根为t 1、t 2， 又∵|AB|=∣t 2－t 1∣＝ 222114)(t t t t -+＝4104354]4)212(5[2⨯+-P =(410)2 化简，得(6－P)2=100 ∴ P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y ―2)2=32x ＋48点拨：(1)〔对称性〕由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程〔含P 一个未知量，由弦长AB 的值求得P 〕.(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。
直线方程(一)
直线方程（一）教学要求：掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式及一般式）的特点与适用范围，能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系；2010年考试说明要求C知识点回顾：基础训练：1. 已知三角形的顶点是A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，则AB 边所在直线方程为______________、BC 边所在直线方程为________________、AC 边所在直线方程为________________2. 已知两点A （3，2），B （8，12），则直线AB 的方程为___________；若点C(-2，a)在直线AB 上，则实数a=_________3. 直线0233=++x y 的倾斜角是 ____4. 已知菱形的两条对角线长分别为8和6，以菱形的中心为坐标原点，较长对角线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，则菱形各边所在的直线方程为_______________________典型例题过点M （0，1）作直线，使它被两已知直线082:,0103:21=-+=+-y x l y x l 所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程。
一根铁棒在400C 时，长12.506m,在C 080时长12.512m ，已知长度l(m)和温度t(C 0) 之间的关系可以用直线方程来表示，试写出直线方程，并求出铁棒在0100时的长度。
课堂检测：1. 直线L 经过点（3，-1），且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线L 方程为___________2．已知点P 在直线,042上=+-y x 且到x 轴的距离是到y 轴的距离的32倍， 则点P 的坐标为__________3.已知一根弹簧挂4kg 的物体时，长20cm.在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg ，弹簧伸长1.5cm ，则弹簧的长度L 与所挂物体质量m 之间的关系为_____________4.在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的中心坐标为(3，2)，其一边AB 所在直线的方程为x-y+1=0，则边AB 的对边CD 所在直线的方程为5. 已知向量1(3,1),(2,),2a b ==- 直线l 过点(1,2)A 且与向量2a b + 垂直，则直线L 的一般方程是 .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线的方程
例题（一）
［例1］一条直线经过点M (2，-3)，倾斜角α=135°，求
这条直线的方程，并画出图形.
解：这条直线经过点M (2，-3)，斜率是k =tan135°=-1.
代入点斜式得y -(-3)=-(x -2)，
即x +y +1=0.这就是所求的直线方程，图形如图7—3所示.
说明:在用直线的点斜式方程y -y 1＝k （x －x 1）时不要把
“y -(-3)”写成“y -3”而把所求直线方程误写为y -3=-(x -2).
［例2］求倾斜角是直线y =-3x +1的倾斜角的41
，且分别满足下列条件的直线方程 图7—3
(1)经过点(3，-1)；
(2)在y 轴上的截距是-5.
解：∵直线的方程为y =-3x +1,
∴k =-3,倾斜角α=120°.
由题意得所求直线的倾斜角为30°.
(1)∵直线的斜率tan30°＝
33，且经过点(3，-1)， ∴所求直线方程是y +1=
33(x -3), 即3x -3y -６=0.
(2)∵直线的斜率是33
，直线在y 轴上的截距为-5，
∴所求直线的方程是y =
33
x -5, 即3x -3y -15=0. 说明：由直线方程的斜截式方程y ＝kx ＋b 知直线方程y ＝-3x ＋1中x 的系数-3为直线的斜率.
［例3］直线l 过点P (3，2)，倾斜角是直线x -4y +3=0的倾斜角的2倍，求直线l 的方程.
解：设已知直线的倾斜角为α，则所求直线l 的倾斜角为２α，
由方程x －4y ＋3＝0得y ＝43
41
x
∴直线x -4y +3=0的斜率为41
即tan α＝
41 ∴tan ２α＝αα2tan 1tan 2- =158)4
1(14122=-⨯ ∴所求直线l 的方程为y －２＝
158（x －3）
即8x -15y +6=0为所求. 说明：求直线x -4y +3=0的斜率和截距时，可以把直线的方程写成斜截式y =kx +b 来求.因为b 是直线与y 轴交点的纵坐标，所以求b 时也可在直线的方程中令x =0，求得y 值即为b .
一般地，直线与y 轴交点的纵坐标叫做直线的纵截距，直线与x 轴交点的横坐标叫做直线的横截距.。