3.3.1二次根式的加减
3.3.1二次根式的加减
先把这些式子化为最简二次根式， 由于它们的被开方数相同，所以它 们是同类二次根式． 注意：判断一组式子是否为同类二 次根式，只需看化为最简二次根式 后的被开方数是否相同，与最简二 次式前面的因式及符号无关．
例 题 解 析
例1: 下列各式中,哪些是同类二 次根式?
2
3
75
2 3
1 27
3
1 50
8ab
15 2 2
练一练:
计算:
(1) 50 32 ( 2) 27 2 3 45
巩固练习
计算: (1)5 2
( 2 )3 40 (3) 12 ( 4 )2 12 4 8 7 18 2 1 2 5 10 1 3 1 27
1 3 48 27
6bBiblioteka a 2b同类二次根式也可以合并,方法与合并同类 项类似把根号外系数或字母相加减,根指数 和被开方数不变,因此我们可以说:几个二次 根式相加减先把各个二次根式化成最简二次 根式,再把同类二次根式分别合并
注意:不是同类二次根式的二次根式
(如
2与 3
)不能合并
1、计算:
2 2 3 2
2
2 2 3 2
(1)2 75 3 27 3 2 75 9 3 3 10 3 10 3 0
错在没有 按照二次根式 加减混算从左 向右依次进行 的运算顺序计 算。
3 2 ( 2) 72 18 2 3 2 6 2 3 2 2 3 2 9 2 2
运算不完 全，能合并的 没有合并。
8
75
18 32
50
1 12
45
1 2
你可要细心吆!
1、两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两 列火车共运多少？2x +3x=5x(吨) _______________ 2、两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两 列火车共运多少？_______________ (2x +3y)吨 以下问题你能用同样的方法计算吗？
3.3二次根式的加减(2)
3.3 二次根式的加减(2) 教案备课时间: 主备人:【学习目标】：1、掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用2、正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算【重点难点】：重点：熟练进行二次根式的混合运算。
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。
【知识回顾】填空 ：（1）整式混合运算的顺序是：（2）二次根式的乘除法法则是：（3）二次根式的加减法法则是：（4）回顾整式的乘法公式：多项式乘法公式：平方差公式：完全平方公式：注：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律和乘法公式仍然适用。
【典型例题】例1、计算：（1）（125+23）×15； （2）（3+10）（2-5）；例2、计算：（1）（3+2）（3-2）；（2）2523）（【课堂练习】1、计算：（1）（3+22）×6； （2）5×（10-5）；（3）（6-3+1）×232、计算：（1）（3-22）（23-2）；（2）（22-3）（3+2）；（3）（5-6）（3+2）；（4）（a+ab +b ）（a -b ）（a ≥0，b ≥0）；3、计算：（1）（5+1）（5-1）；（2）（a +b ）（a -b ）（a ≥0，b ≥0）；（3）223）（-；（4）2b a ）（+（a ≥0，b ≥0）；点拨、二次根式在进行运算时要注意： 1、二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一样的，含相同二次根式的项要合并2、运算律同样适用于二次根式的运算3、计算结果要最简【课外练习】1、计算：（1）（23-6）×12； （2）（18-12+2）×26；（3）（23-52）（3-22）；（4）（215+）（215-）；（5）（a2ac 4bb2-+-）+（a2ac 4bb2---）（2b-4ac≥0，a≠0）；（6）（a2ac 4bb2-+-）（a2ac 4bb2---）（2b-4ac≥0，a≠0）；。
重点难点二次根式的教案设计——轻松掌握冲刺高考的技巧
重点难点二次根式的教案设计——轻松掌握冲刺高考的技巧一、教学目标1.知识目标：掌握二次根式的化简方法，熟练计算二次根式相关题目。
2.技能目标：能够熟练运用二次根式相关知识解决实际问题。
3.情感目标：培养学生耐心细心的学习态度，学生间相互配合、协作的意识和团队合作精神。
二、教学重点难点1.教学重点：二次根式的化简方法和计算。
2.教学难点：（1）二次根式的加减运算。
（2）二次根式的分式运算。
三、教学方法1.经验教学法：通过讲述和演示，使学生在实践中掌握二次根式的化简方法和计算。
2.合作学习法：通过小组合作学习，培养学生的相互合作意识和团队意识。
3.情景模拟法：通过模拟实际问题，让学生感受到二次根式在实际问题中的应用。
四、教学过程1.课前预习学生预习二次根式的相关知识，重点预习二次根式的化简方法和加减、分式运算。
2.导入教师带领学生回顾二次根式的相关知识，让学生了解二次根式在数学中的重要作用。
3.正式学习3.1.二次根式的化简方法3.1.1.平方公式的应用：给出一个二次根式的例子，如√(2+3√5)，通过平方公式求解，将其化简为a+b√5的形式。
3.1.2.有理化分母法：给出一个含有分母且分母为二次根式的例子，如(3+2√2)/(1-√2)，通过有理化分母的方法，将其化简为a+b√2的形式。
3.2.二次根式的加减运算3.2.1.同类项合并：给出两个同类项的二次根式，如√5和2√5，让学生将其合并为3√5的形式。
3.2.2.无理数的加减：给出两个不同类的二次根式，如√6和√2，让学生将其加减运算得出结果。
3.3.二次根式的分式运算3.3.1.基本分式的变形：给出一组基本分式的例子，如1/√2和√2/2，让学生熟练掌握二次根式分式的基本变形方式。
3.3.2.分式的通分：给出两个分母不同的二次根式分式，如(2+√3)/√2和(√2-√3)/√6，让学生将其通分运算得出结果。
4.实际应用在以上知识点学习完成后，让学生通过实际问题的解决，进一步理解二次根式的应用。
3.3 二次根式的加减第二课时
3.3 二次根式的加减（2）教学过程：一、情境创设1、二次根式的乘除法是怎样进行的？二次根式的加减法是怎样进行的？2、什么叫同类二次根式？举例说明。
3、回顾整式的乘法公式：多项式乘法公式、平方差公式、完全平方公式。
二、探索活动1、怎样计算：)232)(223(--？小组讨论，全班交流。
类比：怎样计算（a-b ）（a+2b ）？2、怎样计算：)223)(223(--？回顾：（a-b ）（a+b ）＝________3、2)223(-呢？小结：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律仍然适用。
三、例题教学例1 计算： ⑴15)32125(⨯+ ⑵)52)(103(-+ 分析：第1小题可类比单项式乘多项式；第2小题可类比多项式乘多项式。
例2 计算：⑴)23()23(-⨯+ ⑵2)523(+分析：本例是整式的乘法公式的类比应用，其中第1小题可类比“平方差公式”，第2小题类比“完全平方公式”。
小结：多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式乘法四、课堂练习1、P 72 练习1、22、补充：① 50511221832++- ②12)323242731(⋅--③)32)(532(+- ④)()3(33ab ab ab b a ÷+-（a ＞0，b ＞0）五、思维拓展1、在实数范围内分解因式： ①x 4－4 ②x 2－2x －22、化去2323-+分母中的根号3、比较大小，并说明理由5264⨯+与 ()6410642++与 ()10522与⨯ 六、小结本节课学习了二次根式的运算，在进行运算时要注意什么？1、二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一样的，含相同二次根式的项要合并2、运算律同样适用于二次根式的运算3、计算结果要最简七、作业优秀生：P 72 习题3.3 3、4 后进生：P 72 练习 1、2、3八、教后反思：。
二次根式的运算知识点总结
二次根式的运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是非负实数。
在数学中，二次根式的运算是一个重要的知识点，掌握了这个知识点，我们可以更好地理解和利用二次根式。
下面将总结二次根式运算的基本规则和常见的运算方法。
一、二次根式的基本规则1. 二次根式的化简：当被开方数存在平方因子时，可以进行化简。
例如√4×3 = √(4×3) = 2√3。
2. 二次根式的乘法运算：对于两个二次根式的乘法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相乘，根号外的数相乘，并进行化简。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 二次根式的除法运算：对于两个二次根式的除法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相除，根号外的数相除，并进行化简。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。
4. 二次根式的加减运算：对于两个二次根式的加减运算，只能进行同类项相加减，并进行化简。
例如：√2 + √3 无法进行化简，可以写成2√2 + 3√5。
二、二次根式的运算方法1. 二次根式与整数的运算：当二次根式与整数进行运算时，可以将整数视为二次根式的特殊形式。
例如：√2 + 4 = √2 + √(4×4) = √2 + 2√2 = 3√2。
2. 二次根式的有理化：有时候需要将二次根式的分母变为有理数，这个过程称为有理化。
有理化的方法有两种：(1) 乘以共轭根式：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过乘以分母的共轭根式来进行有理化。
例如：(3 + √2)/(1 + √2) = [(3 + √2)/(1 + √2)] * [(1 - √2)/(1 - √2)] = (3 - 3√2 + √2 - 2)/(1 - 2)= (1 - 2√2)/(-1)= 2√2 - 1(2) 分离根号：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过将二次根式的根号部分与非根号部分分离，并进行化简，从而实现有理化。
二次根式的混合运算 (1)
解题方法
本题解题的关键是先利用乘法分配律进行计算，再乘除，后将同类
二次根式进行加减。
乘法分配律： + = + .
加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根式进行合并。
乘除运算法则：乘法法则： × = ≥ 0, ≥ 0
应用练习
3.3 化简：2
−2
−
3−2
2
−
7−1
0
1
+
.
2− 3
应用练习
3.4 化简： 12 +
1 −2
3
− −2
0
+ − 2
2
−
3−3 .
应用练习
3.5 计算：
2012 − 1
0
+
1 −1
−
3
−
2−2 −
1
.
2+1
应用练习
3.6 化简：
3−2
2015
∙
3+2
2016
− − 2
0
+ −
1 −1
①加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根式进行合并。
②乘除运算法则：乘法法则： × = ≥ 0, ≥ 0
除法法则： ÷ =
≥ 0, > 0
知识讲解
三、相关知识点
①二次根式的性质:(1)
②分母有理化： (1)
1
(或先去掉括号).与整式的混合运算顺序相同.
易错点：
例题讲解
2.计算：
3.3二次根式的加减(1)
3.3二次根式的加减(1) (教案)备课时间: 主备人:【学习目标】：1、了解同类二次根式的概念，掌握判断同类二次根式的方法2、能正确合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算【重点难点】：重点：同类二次根式的概念及掌握合并同类二次根式的方法难点：同类二次根式的概念【预习指导】1、什么是同类项？2、如何进行整式的加减运算？3、计算：（1）2x-3x+5x （2）2223a b ba ab +- 4、下列3组二次根式，各有什么共同特征？（1）2，23，22 ，215，232…… （2）3，35 ，36，317，3132…… （3）2，8，18，32，21…… ，称为同类二次根式。
思考：（1）要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？（2）怎样合并同类二次根式：（3）二次根式加减运算的步骤:【典型例题】例1 ：计算：1、23 + 32 － 22 + 32、12 + 18 － 8 － 323、40 － 1015 + 10例2：如图，两个圆的圆心相同，面积分别为8㎝2、18㎝2，求圆环的宽度（两圆半径之差）【课堂练习】1、计算：（1）36-5-216+25+2； （2）27-45-20+75；（3）4ab +5ab -23ab -ab 4（a ≥0，b ≥0）（4）2a a 2-323a 8+6a 52a2（a ＞0）2、（1）两个正方形的面积分别为22cm 、82cm ，求这两个正方形边长的和；（2）两个正方形的面积分别为s 2cm 、4s 2cm （s ＞0），求这两个正方形边长的和；【课外练习】1、计算：（1）23-35-5+55+73；（2）12-27-20+50；（3）x 4+2x 2-21x 8-4x （x ≥0）；（4）21-8+21-81；2、计算： （1）50511221313832++--；（2）（3118-2112）-（331-221）；。
二次根式运算法则
二次根式运算法则二次根式运算法则是指在进行二次根式的加减、乘除运算时所遵循的一些规则和方法。
掌握了这些规则，可以帮助我们简化和求解二次根式的运算，提高计算的准确性和效率。
一、二次根式的加减法则1. 同类项相加减法则对于同类项的二次根式，可以直接对其系数进行相加或相减。
例如：√2 + √3 = √2 + √32√5 - 3√5 = -√52. 不同类项的相加减法则对于不同类项的二次根式，不能直接进行相加或相减。
需要通过化简的方式将其转化为同类项，然后再进行运算。
例如：√2 + 2√3 = √2 + 2√3(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - √6二、二次根式的乘除法则1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法运算可以通过将根号内的数相乘，并合并同类项的方式进行。
例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -12. 二次根式的除法法则二次根式的除法运算可以通过将根号内的数相除，并合并同类项的方式进行。
例如：√6 ÷ √2 = √3(√6 + √2) ÷ √2 = (√6 + √2) × (√2 ÷ √2) = √3 + 1三、二次根式的化简法则对于复杂的二次根式，可以通过化简的方法将其简化为更简单的形式。
常用的化简法则有以下几种：1. 合并同类项法则将同类项的二次根式合并为一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 提取公因数法则将二次根式中的公因数提取出来，使其成为一个单独的因子。
例如：2√2 + 3√2 = 5√24√5 + 6√5 = 10√53. 有理化分母法则将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号消去。
例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/3四、二次根式的运算顺序在进行二次根式的复合运算时，需要注意运算的顺序。
一般按照先乘除后加减的原则进行。
二次根式运算法则
二次根式运算法则1.二次根式的加减法则：当二次根式的根数和被开方数相同时，可以直接合并同类项。
例如：√2+√2=2√22.二次根式的乘法法则：当相同根数的二次根式相乘时，可以将根号内的被开方数相乘，并保留相同的根号。
例如：√2*√3=√(2*3)=√63.二次根式的除法法则：当相同根数的二次根式相除时，可以将根号内的被开方数相除，并保留相同的根号。
例如：√6/√2=√(6/2)=√34.二次根式的乘方法则：当一个二次根式乘以它自身时，可以将根号内的被开方数进行乘方运算，并保留相同的根号。
例如：(√2)²=25.二次根式的化简法则：当一个二次根式的被开方数是一个完全平方数时，可以将二次根式化简为一个整数。
例如：√4=2当一个二次根式与一个无理数相乘或相除时，无法进行化简。
例如：√2*π或(√2)/π通过以上的二次根式运算法则，我们可以更方便地进行复杂二次根式的计算。
下面通过例题来进一步说明二次根式运算法则的应用。
例题1：计算√5+√5+2√5解：根据二次根式的加减法则，合并同类项得到4√5例题2：计算(√3+1)(√3-1)解：根据二次根式的乘法法则，将根号内的被开方数相乘得到3-1=2例题3：计算√18/√6解：根据二次根式的除法法则，将根号内的被开方数相除得到√(18/6)=√3例题4：计算(√2+√3)²解：根据二次根式的乘方法则，将根号内的被开方数进行乘方运算得到2+2√6+3=5+2√6例题5：将√50化简解：根据二次根式的化简法则，将被开方数50化简为25*2，然后提取出完全平方数得到5√2通过以上的例题，我们可以看到二次根式运算法则的应用，能够帮助我们简化计算，使二次根式的运算更加方便快捷。
二次根式的加减运算
二次根式的加减运算一、教材分析1、内容分析：本节内容共一课时。
主要内容是学习二次根式的加减运算。
2、地位与作用：二次根式属于“数与代数”领域的内容，它是在学生在学习了勾股定理、平方根、立方根、实数等概念的基础上进行的，是对“实数”“代数式”内容的延伸和补充。
在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；这说明了前后知识之间的内在联系。
同时本部分内容还是后面学习“锐角三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”的基础.二、学情分析学生已经学习了二次根式的概念及性质等知识，已具备了学习二次根式加减运算的知识基础和心理基础，本节课主要是采用类比的思想来学习二次根式的加减运算，难度不大。
班级学生课堂上能积极参与、有一定的自学能力，好奇心、求知欲、表现欲都非常强；在前面学习的基础上，他们具有一定的观察能力、分析能力、归纳能力，学习新知识速度快模仿能力强，具备一定的探索知识自主创新的能力，但经常因为粗心而出错，同时课后复习巩固的效果较差。
结合以上分析，为了加强他们的自学能力，提高课堂学习效率，根据他们的特点，本节课采用启发引导，讲练结合的方式完成学习,选择联系生活中的实际问题，适合学生的习题，由浅入深的引导，注重培养学生的自学能力，通过一定练习，激发学生的求知欲和提高学生的自信心。
三、目标分析1、了解同类二次根式的概念，会辨别同类二次根式。
2、经历探索二次根式的加法和减法运算法则的过程，理解二次根式的加法和减法算理，进一步发展学生的类比推理能力。
3、能熟练地进行二次根式的加法和减法运算。
四、教学重难点【重点】会辨别同类二次根式，熟练掌握二次根式的加减运算。
【难点】探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算。
五、教具准备多媒体投影、实物展台、课件、学案、六、活动流程《数学课程标准》明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。
”为了向学生提供更多从事数学活动的机会，我将本节课的教学过程设定为以下六个环节：活动3：探索交流活动4：例题分析活动5：随堂练习活动6：课堂小结，活动7：达标测试先独立完成，再探索交流，得出新的概念和法则运用法则进行计算，加深对运算法则的理解通过练习，巩固所学知识学生归纳小结，教师评价，形成系统学生测试，检验本节课的掌握情况教学过程问题与情境师生行为设计意图【活动一】情境引入如图，两个长方形的宽都是a m，它们的长分别是2 m和3 m，用不同的方法求这两个长方形的面积的和。
3.3 二次根式的加减(3)
3.3二次根式的加减(3)班级 姓名 学号教学目标：1、能较熟练地运用乘法公式进行有关二次根式加、减、乘混合运算；2、在运算中进一步体会运用乘法公式计算的简捷性和有效性. 例题分析： 例1 计算：(1)()()18342334-+ (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x 52352322 (3)236223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 分析：第(1)题把2318写成后，可直接用平方差公式，第(2)题可把232+x 看成整体，用平方差公式，第(3)题可直接用完全平方公式.解 (1)原式＝301848)23()34()2334)(2334(22=-=-=-+.(2)原式＝(232+x )2－(5x )2＝3x 2＋2－25x 2＝－22x 2＋2.(3)原式＝2236362232223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝32631323229-=+-. 说明：判断一个二次根式的计算能否用乘法公式是解题的关键.有时，初看起来不能用，但略加变形后则可用公式.例如，计算())12(623-+时，原式＝6)12(6)12)(12(6=-=-+.例2 计算：(1))6322)(6322(-++- (2)910)103()103(+-(3)22)632()623(+---+分析：第(1)题的两个因式中都有三项，且它们或相等或互为相反数，故可用平方差公式.第(2)题无法求得910)103()103(+-和的值，此时可先逆用积的乘方公式后再计算.第(3)题如分别求出两个三项式的平方比较复杂，但如把它看成两数平方差，则逆用平方差公式较简单.解 (1)原式＝)]632(2)][632(2[-+--＝()22)632(2--＝2－(12－122＋6)＝－16＋122.(2)原式＝9229]103[)103()]103)(103[(-=-+-)103(-⋅ ＝310)103(1-=-⋅-.(3)原式＝)]632()623)][(632()623[(+---++-+-+ ＝(3864)63(24623222-=-=-⋅.说明：熟练运用乘法公式进行二次根式的计算是检测运算能力的重要标准之一，解题时的“整体意识”显得尤为重要.如第(1)题中632-应看成“整体”；第(3)题中的两个多项式都应看成整体.类似地，通过思考下面的计算也比较容易：()1235+-+()1235++-；)6315)(6210(-+-+；()()()()22y x y x y x yx ++-+等.同学们不妨一试.例3 计算：(1)23233223223++⨯-- (2)yx xy y x yx y x 24439--+-+-分析：对于分母中含多项的二次根式的化简，目的还难以完成.但若注意到分子和分母的关系，可通过先约分，再计算. 解 (1)原式＝623)23(6)32(623-=++⨯--初三数学教学案(2)原式＝()()yx y xy x yx y x 2)2(4)(332222-+--+-＝yx y x yx y x y x 2)2(3)3)(3(2---+-+＝y x y x 23+-- ＝y -.说明：运用约分方法常能使类似例3的计算变得非常容易，这一点实际上都与乘法公式密切相关，同学们如对这一些公式的变式，如x －y ＝()()22y x -，a ＋b 2)(2b a a ±=±，x 2＋()))((q x p x pq x q p +++=+等很熟悉的话，运用也就得心应手了.备注：1、公式用错，如计算⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2213222132时，应该用完全平方公式，不能用平方差公式.2、没有用公式的意识，而直接计算，造成过程繁锁导致错误.如计算(633-+)(1＋32-)时，看不出可用平方差公式. 课后作业： 1、填空题：(1))154)(154(-+＝ .(2))2)(2(y x y x +-＝ .(3)22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x xy ＝ . (4))3)(2(++x x ＝ . 2、计算题：(1)22)32()32(++- (2)22)37()37(+--(3))83)(322(-- (4)2)23()122)(4818(---+(5))4)(4(22q q p q p p ----+-3、计算题：(1)2)352(-+ (2))875)(5227(-+-+(3))32524)(52432(+--- (4))1632)(1632(+---+-4、计算题(1)1312)52()52(-+(2)22)321()321(+---+(3))21)(21)(21)(21(-+--+++-x x x x(4)22)12()22(+-x x完成《100分闯关》P49-50。
二次根式的加减
2
（3）10 2 + (3 8 − 7 2) =9_______；
4 3−6 2
（4）5 12 − 3 8 + 2 27 = __________.
随堂训练
8.若最简根式
2+1
3 − 2 与 3 可以合并，求 的值.
2 + 1 = 2,
解：积为（2+3） 2=5 2（2 ）.
2 2+3 2= （2+3） 2
也可由分配律得出：
2 2+3 2= （2+3） 2= 5 2.
新课导入
议一议
问题2：如果两个正方形的面积分别是18和8，那么大正
方形的边长比小正方形的边长大多少？
此问题需要计算 18 − 8，但由于 18， 8不是最简二次根式，先把它们
上面提到的3 2与2 2， 18与 8都是同类二次根式.
同类二次根式可以像同类项那样进行合并.
知识讲解
思考： 观察新课导入两个问题的计算过程，你能总结出二次根式
加减计算的过程吗？
二次根式的加减
一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根
式，然后再将同类二次根式分别合并.有括号时，要先去括号.
1
1
＝ 48 − 4
−3
+ 4 0.5
8
3
＝2 11 − 3 11 − 11 2
2
3
2
＝4 3 − 4 ×
−3×
+4×
4
3
2
＝ − 11 − 11 2.
＝4 3 − 2 − 3 + 2 2
＝3 3 + 2.
随堂训练
二次根式基本运算(根式加减)分母有理化讲义
二次根式基本运算、分母有理化中考要求内容基本要求略高要求较高要求二次根式的理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根化简和运算式的混合运算（不要求分母有理化）例题精讲板块一二次根式的乘除最简二次根式：二次根式 a （ a 0 ）中的 a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：⑴ 被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）⑵ 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶ 分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．二次根式的乘法法则： a bab （ a 0 ， b 0 ）二次根式的除法法则： a a（ a 0 ，b 0 ）b b利用这两个法则时注意a 、 b 的取值范围，对于aba b ， a 、 b 都非负，否则不成立，如 (7)(5)(7) ( 5)一、二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．合并同类二次根式： a x b x (a b) x ．同类二次根式才可加减合并．【例 1】若最简二次根式3a 5 与 a 3 是可以合并的二次根式，则 a ____ 。
【例 2】下列二次根式中，与 a 是可以合并的是（）A ．2a B．3a 2C．a3D． a 4【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式：⑴2x3 y和 2x3 yz ⑵2b和aa 2b⑶27 x和 3xy ⑷ 4 a3 b2 和 a2 b34 y85 5【例 3】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）127 ；48 ；20；1125；1y； y x ．5 2 x x y【例 4】若最简二次根式 a b 2a b与 a 2b 是同类根式，求a2b的值．【巩固】若 a ，b 为非负数， a b 4b 与3a b 是可以合并的二次根式，则 a ，b 的值是（）A ． a 0 ，b 2 B． a 1，b 1 C． a 0，b 2 或 a 1，b 1 D． a 2 ，b 0【例 5】已知最简根式 a2a b与a b 7 是同类二次根式，则满足条件的a ,b 的值（）A ．不存在B．有一组C．有二组D．多于二组【巩固】若a b4与最简二次根式3a b 为同类二次根式，其中a，b为整数，则a ______，b________；b【例 6】方程x y 1998 的整数解有组 .【巩固】在 1 ， 2 ， 3 ，⋯，1999 这 1999 个式子中，与2000 是同类二次根式的共有多少个？2.二次根式的加减【例 7】化简：a26a 9a210a 25【例 8】计算：48 1 2 17527 81 1【巩固】 (3 0.5 4 1.5)( 0.24 4 )2 2【例 9】3x y y x x3 yxy3x y【例 10】计算： 5 2 8 7 18【巩固】计算：1 1 2 12315348 3 3【巩固】计算：2 1 240.5 2 63 8【例 11】计算：8 2 0.251150 2 728 31 1【巩固】(27) (12 45)3 5【例 12】先化简后求值。
(完整版)二次根式的加减法
二次根式的加减法一、知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．三、典型例题讲解例1、计算：．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．解：．例2、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．例3、计算下列各题：．思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．例4、计算下列各题．解：例5、化简：总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样则为1，继续运算可避免错误．例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．解：，于是即a＋b=3∴a=2，b=1或a=1，b=2，故x=222，y=888或x=888，y=222．∴x＋y=1110，总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．思路分析：由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．解：原等式两边分别乘以，得两式相加得，所以．A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是( )A．B．C．D．2、下列计算正确的是( )A．B．C．D．3、下列各式化简结果不正确的是（）A．B．C．D．4、下列计算正确的是（）A．B．C．D．5、计算等于（）A．·1 B．3C．D．6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）A．A B．BC．A、B的中点D．不能确定B 卷二、填空题7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．8、若成立，则xy的值为______．9、若，则______．10、已知正数a、b，有下列结论：(1)若a=1，b=1，则；(2)若，则；(3)若a=2，b=3，则；(4)若a=1，b=5，则．根据以上几个命题提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则______．三、解答题11、计算或化简下列各题：12、计算：13、已知，求代数式的值．14、计算．[15、先观察下列等式，再回答问题：（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．一．选择题DDCBDB二．填空题7、△ABC的周长大于6且小于10．8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．9、．10、=13．三．解答题11.12.13..14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为（2）换元法：设，两边同时平方得，所以x2=10，又因为x＞0，所以，即．15.。
3.3 二次根式的加减(1) 课件(苏科版九年级上)
例1 1． 2． 3．
计算：
3 2＋4 3－2 2＋ 3 ；
12＋ 18－ 8－ 32 ；
1 40－5 ＋ 10 ． 10
例2
如图，两个圆的圆心相同，半径分别为R、
r，面积分别是18cm2、8cm2.求圆环的宽度（两圆
半径之差）.
本节课我们学习了同类二次根式及二次根式
的加减，那什么是同类二次根式？二次根式怎样
3.3 二次根式的加坪的长是10
米，宽是 2 2 米，第二块草坪的长是20米，宽也是 2 2
米．你能告诉运动场的负责人要准备多少面积的草皮
吗？ 问题：20
2 ＋40
2 是什么运算？
3.3 二次根式的加减（1）
思考： 下列3组二次根式各有什么特征？
2 －2 2 ， 2 ，15 2 ； （1） 2 ，3 2 ， 3
2 3 ； （2） 3 ， －5 3，6 3 ，17 3 ， 13
1 （3 ） 5 ， ． 3 20 ， 125 ， 5
经过化简以后，被开方数相同的二次根式， 叫做同类二次根式．
3.3 二次根式的加减（1）
尝试计算：
1． 20
2＋40 2 ；
1 2． 5－3 20＋ 125＋ ． 5
归纳结论： （1）二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同 的能合并. （2）二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后 合并同类二次根式.
进行加减呢？
你还有哪些困惑？
二次根式的加减（1）
二次根式的加减运算
2 3
4
1 8
6 .
解：
2
1 2
24
0.5 2
2 3
4
1 8
6
1 2
2
6
22 23
6 4
2 4
6
6 2 1 6 24 6 43
61 3
64
6
2 4
2
16 6 5 2. 34
课堂小结
1.化：将二次根式化成最简二次根式
二 次
步骤
2.找：找出被开方数相同的二次根式
( 4 ) 5 12 -(3 82 27)_4_3__-6__2_.
6.计算：
1 2 8 3
4
1 3 75; 27
2
1 2
24
0.5 2
2 3
4
1 8
6 .
解：1 2 8 3 1 3 75
4 27
4 2 3 15 3 12
4 2 179 3 ; 12
2
1 2
24
0.5 2
根 式
3.合：类比合并同类项，将被开方数相同的二次根式合并
加
减 运
二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再
算 法则
将被开方数相同的二次根式进行合并．即：
m a＋n a＝m＋n a.
知识回顾
1.实数的加减运算法则是什么？ 加法法则:(1)同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相 加;(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值 减去较小的绝对值. 减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数. 2.合并同类项的实质是什么？ 乘法分配律的逆向运用. 3.最简二次根式的两个条件是什么？ ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
3.3二次根式的加减(2)
二次根式的加减（2）教学目标 ：1．理解分母有理化与除法的关系． 2．掌握二次根式的分母有理化．3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想 教学重点、难点解决办法： 1．教学重点：分母有理化． 2．教学难点：分母有理化的技巧一、新课：例1：计算：（1）6)35278(⋅-（2）)3225)(65(-+例2：计算：（1）)2332()2332(-⋅+ （2）2)534(+（3）2)336(-二、随堂练习：（1）)63)(63(-+（2）)52)(52(by ax by ax +-（5）50511221832++- （6）．12)323242731(⋅--（7）．)32)(532(+- （8）．)()3(33ab ab ab b a ÷+- （a>0,b>0）三、提高题1 ）A ．①和③B ．②和③C ．①和④D ．③和④2已知y=x 3－3，且y 的算术平方根为4，则x= ．3 如果最简根式b-a3b 和2b-a+2 是同类二次根式，那么a 、b 的值为 （ ） A ．a ＝0，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝0 C ．a ＝－1．b ＝1 D . a ＝1，b ＝－24 05计算:2233121--+6计算:62)21218(⨯+- 7计算:)0,0)()((≥≥++-b a b ab a b a二次根式的加减（2）一、弹性练习：1、)13)(12)(21)(31(-+-+2、)62332)(62332(---+3、2)2332()3527)(3223(+++-二、前面我们在讲完二次根式的除法后就引入了分母有理化，我们知道，将分母中的根号化去，就叫做分母有理化。
1练习：将下列各式分母有理化：（1）403 （2）63 （3）xxy 242、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。
二次根式的运算根式的加减乘除法则
二次根式的运算根式的加减乘除法则根式是数学中的一种特殊表示形式，用来表示不能精确表示的数值。
在根式中，二次根式是一种常见形式，它的运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
一、二次根式的加法法则当我们进行二次根式的加法时，要求根号下的数相同，即根号下的数应该是相同的。
例如，要计算√2 + √2，可以将它们合并为2√2。
同理，如果要计算3√5 + 4√5，可以将它们合并为7√5。
这种合并相同根号下数值的方法，使我们可以简化计算过程，得到更简洁的结果。
二、二次根式的减法法则二次根式的减法法则和加法法则类似，也要求根号下的数相同。
例如，要计算√3 - √2，我们无法直接合并，因为它们的根号下的数不同。
在这种情况下，我们可以保持根号下的数不变，得到√3 - √2。
这就是二次根式的减法的最简形式。
三、二次根式的乘法法则当我们进行二次根式的乘法时，可以将根号下的数相乘，然后再把它们的根号提取出来。
例如，要计算√2 × √3，我们可以先把2和3相乘得到6，然后再提取根号，得到√6。
同理，如果要计算2√5 × 3√7，我们可以先将5和7相乘得到35，然后再提取根号，得到6√35。
四、二次根式的除法法则二次根式的除法法则和乘法法则相反，我们可以将根号下的数相除，然后再把它们的根号提取出来。
例如，要计算√5 ÷ √2，我们可以先把5除以2得到2.5，然后再提取根号，得到√2.5。
同理，如果要计算5√10 ÷ 2√3，我们可以先将10除以3得到3.33，然后再提取根号，得到1.83√2。
总结：二次根式的加减乘除法则为：1. 加法法则：要求根号下的数相同，将相同根号下的数值合并，得到最简形式。
2. 减法法则：要求根号下的数相同，保持根号下的数不变，得到最简形式。
3. 乘法法则：将根号下的数相乘，然后提取根号，得到最简形式。
4. 除法法则：将根号下的数相除，然后提取根号，得到最简形式。
这些法则可以帮助我们在进行二次根式的运算时，简化计算过程，得到最简形式的结果。
二次根式的运算规则
二次根式的运算规则二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数运算中起着重要的作用。
二次根式即指的是含有根号的数，如√2、√3等。
在进行二次根式的运算时，我们需要遵循一定的规则，下面将详细介绍二次根式的运算规则。
首先，我们来讨论二次根式的加减运算。
对于同类项的二次根式，我们可以直接进行加减运算。
例如，√2 + √3可以简化为√2 + √3。
但是对于不同类项的二次根式，我们无法进行直接的加减运算，需要通过合并同类项的方式进行简化。
例如，√2 + 2√3不能直接进行加减运算，我们可以将其简化为√2 + 2√3= √2 + √2√3 = √2(1 + √3)。
接下来，我们来讨论二次根式的乘法运算。
对于二次根式的乘法运算，我们可以利用分配律进行简化。
例如，(√2 + √3)(√2 - √3) = (√2)^2 - (√3)^2 = 2 - 3 = -1。
在进行乘法运算时，我们需要注意一些特殊情况。
例如，√2 * √2 = (√2)^2 = 2，即同类项的平方根可以简化为原来的数。
除了加减乘法运算，我们还需要了解二次根式的除法运算规则。
对于二次根式的除法运算，我们需要将除数和被除数都进行有理化处理。
有理化处理是指将含有根号的数进行合理的变形，使得分母中不再含有根号。
例如，将√2除以√3，我们可以进行有理化处理得到√2/√3 = (√2/√3) * (√3/√3) = (√6)/3。
此外，我们还需要了解二次根式的化简规则。
对于含有二次根式的复合表达式，我们可以通过合并同类项、分解因式等方式进行化简。
例如，√2 + √8可以化简为√2 + 2√2 = 3√2。
在进行化简时，我们需要注意一些常见的二次根式的简化公式。
例如，√4 = 2，√9 = 3等。
最后，我们需要注意二次根式的乘方运算规则。
对于含有二次根式的乘方运算，我们可以将其转化为含有整数指数的乘方运算。
例如，(√2)^2 = 2，(√3)^3 = 3√3等。
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拓展与延伸：
15
2 8 7 18
4 2 8 2
1
2
交流 归纳
二次根式加减法的步骤：
（2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
一化
二找
三合并
小结
1．同类二次根式是相对于一组二次根 式而言的．判断几个二次根式是否为同 类二次根式，首先要把这几个二次根式 化为最简二次根式，然后再看它们的被 开方数，如果被开方数相同，那么原来 的几个二次根式就是同类二次根式． 2．同类二次根式不一定是最简二次根 式．如: 2 ， 8 ， 50 等.
4 27 4 12
观察
以下是什么运算？如何计算？
4(2 2 2 )
4 27 4 12
二次根式 的加法.
1、满足哪些条件的二次根式， 叫做最简二次根式？
（1）被开方数不含分母；
也就是被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
化简二次根式的一般步骤： 化去根号下的分母，并把被开方 数中能开得尽方的因数或因式用 它的算术平方根代替后移到根号 外面，化简时，依照二次根式的 有关性质进行。
15 2 2
练一练:
计算:
(1) 50 32 ( 2) 27 2 3 45
巩固练习
计算: (1)5 2
( 2 )3 40 (3) 12 ( 4 )2 12 4 8 7 18 2 1 2 5 10 1 3 1 27
1 3 48 27
8
75
18 32
50
1 12
45
1 2
你可要细心吆!
1、两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两 列火车共运多少？2x +3x=5x(吨) _______________ 2、两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两 列火车共运多少？_______________ (2x +3y)吨 以下问题你能用同样的方法计算吗？
6b
a 2b
同类二次根式也可以合并,方法与合并同类 项类似把根号外系数或字母相加减,根指数 和被开方数不变,因此我们可以说:几个二次 根式相加减先把各个二次根式化成最简二次 根式,再把同类二次根式分别合并
注意:不是同类二次根式的二次根式
(如
2与 3
)不能合并
1、计算:
2 2 3 2
2
2 2 3 2
3.几个二次根式相加减先把各个二次 根式化成最简二次根式,再把同类二次 根式分别合并.
=(2+3) =5
2
82 2
②
8 18
18 3 2
2 2 3 2
(2 3) 2 5 2
3、计算: 3 2 3 2 2 3 3
解： 2 3 2 2 3 3 3 3 2 解答是否正确？为什么？
(1)2 75 3 27 3 2 75 9 3 3 10 3 10 3 0
错在没有 按照二次根式 加减混算从左 向右依次进行 的运算顺序计 算。
3 2 ( 2) 72 18 2 3 2 6 2 3 2 2 3 2 9 2 2
运算不完 全，能合并的 没有合并。
13
2 4 2
2
5 2
3
8 18 4 2
运用以前所学知识进行总结
几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几 个二次根式就叫做同类二次根式.
判断同类二次根式的关键是什么？ 化成最简二次根式，被开方数相同, 根指数相同(都等于2).
如何判断一组式子是否为同类二次根式
数学九年级上册 苏科版
3.3.1 二次根式的加减
如图，学校要砌一个正方形花坛， 已知外边的正方形边长为 2 2 cm，里面 的正方形的边长为 2cm，两个正方形的 周长和为多少？ 两个正方形的周长和为： 2 2
2
4(2 2 2 ) 8 2 4 2
若两个正方形的面积分别为 27cm2、12cm2，则两正方形的周 长和为多少？ 两个正方形的周长和为：
先把这些式子化为最简二次根式， 由于它们的被开方数相同，所以它 们是同类二次根式． 注意：判断一组式子是否为同类二 次根式，只需看化为最简二次根式 后的被开方数是否相同，与最简二 次式前面的因式及符号无关．
例 题 解 析
例1: 下列各式中,哪些是同类二 次根式?
2
3
75
2 3
1 27
3
1 50
8ab