2018年高三最新 北京市朝阳区2018学年度第一学期期末统一考试高三数学(文科) 精品

北京市朝阳区2018—2018学年度第一学期期末统一考试高三数学（文科）（考试时间120分钟, 满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知a =（－2，3），b =（x ，－6）, 若a ∥b ，则x 的值是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 2．函数2log (1)(1)y x x =->的反函数的表达式为 （ ）A ．y=)(21R x x ∈+B ．y=)(21R x x ∈-C ．y=)(12R x x ∈-D ．y=)(12R x x ∈+3．函数()cos f x x x =-的值域是（ ）A ．]3,3[-B ．[0，2]C ．[－1，1]D ．[－2，2]4．在等差数列｛a n ｝中，若a 1+ a 2+…+ a 49=0，且公差0d ¹，则有 （ ）A ．1490a a +>B ．1490a a +<C ．1490a a +=D ．500a =5．要从其中含有40个黄球的800个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取60个进行质量检验，则应抽取黄球的个数为 （ ） A ．3个 B ．5个 C ．6个 D ．9个 6．已知点P 是曲线C:321y x x =++上的一点，过点P 与此曲线相切的直线l 平行于直线23y x =-，则切线l 的方程是（ ）A ．112y x =-+ B ．21y x =+ C ．2y x =D ．21y x =+或2y x =7．已知点P 是以1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支上一点，且满足121210tan 3PF PF PF F ·，∠==，则此双曲线的离心率为 （ ）A ．2B C ．2D 8．设0A >，0ω>，02φπ≤<，函数()sin(),f x A x ωφ=+()sin(2),g x A x ωφ=+ 则函数()f x 在区间(,)32ππ内为增函数是函数()g x 在区间(,)64ππ内为增函数的（ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分必要条件第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中横线上. 9．函数sin cos y x x =的最小正周期是 .10．若5()x a -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 .11．由数字1，2，3，4这四个数字，组成个位数字不为2的没有重复数字的四位数，共有个.（用数字作答） 12．在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，=AB a , =AD b ，用a 、b 表示BE 为 .13．已知曲线C 的参数方程为θθθ(sin 1cos 1⎩⎨⎧+=+-=y x 为参数，则曲线C 的普通方程是 ；点A 是曲线C 的对称中心，点(,)P x y 在不等式2≥+y x 所表示的平面区域内，则AP 的取值范围是 .14．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在)1,21(上单调递增，且满足()(1)f x f x -=-，给出下列结论：①(1)0f =；②函数()f x 的周期是2；③函数()f x 在 )0,21(-上单调递增；④函数(1)f x +是奇函数. 其中正确的命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知集合A ={}2,0x x a a -<>，集合}1|322|{<+-=x x x B . （Ⅰ）若1a =，求B A ⋂；（Ⅱ）若A ⊂≠B ，求实数a 的取值范围.16．（本小题满分13分）某班要从5名男生和3名女生中任选4名同学参加奥运知识竞赛. （I ）求所选的4人中恰有2名女生的概率； （Ⅱ）求所选的4人中至少有1名女生的概率； （Ⅲ）若参加奥运知识竞赛的选手获奖的概率均为13，则恰有2名选手获奖的概率是多少?17．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos 5C =. （Ⅰ）求)4sin(π+C 的值；（Ⅱ）若,1=⋅CB CA a b +=c 的长及△ABC 的面积.18．（本小题满分13分）设函数3221()31(0)3f x x ax a x a =--+>. （I ）求)(x f '的表达式；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间、极大值和极小值.（Ⅲ）若]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f 3)(->'，求实数a 的取值范围. 19．（本小题满分14分）设动点M 的坐标为(,)x y （x 、)R y ∈），且动点M 到定点1(2,0)F -，2(2,0)F 的距离之和为8.（I ）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)N 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，若+=（O 为坐标原点），是否存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形，若存在,求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：111,21,.n n a a a n n N *+==++∈（Ⅰ）设2n n b a n =++，证明数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n a 和n S ； （Ⅲ）试比较n a 与()22n +的大小.参考答案一、选择题1—5ADDCA 6—8BCD 二、填空题9．π 10．±11．18 12．=b 12-a 13．22(1)(1)1x y ++-=，),2[+∞ 14．①②④ 三、解答题15．解：（Ⅰ）当1a =时，21x -<，解得13x <<. ……………………2分则}31|{<<=x x A .由2213x x -<+，得35x -<<. 则B =}.53|{<<-=x x B . ………………………………………………5分所以}.31|{<<=⋂x x B A .………………………………………………7分（Ⅱ）由2(0)x a a -<>，得22a x a -<<+.………………………9分若A ⊂≠B ，则⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-≥-.0,52,32a a a 解得30≤<a .…………………………………………12分所以实数a 的取值范围是}30|{≤<a a . ………………………………13分16．解：（I ）设所选的4人中恰有2名女生为事件A ，则2235483()7C C P A C ==.…………………………………………………4分 （Ⅱ）设所选的4人中至少有1名女生为事件B ，则454813()1()114C P B P B C =-=-=. ………………………………8分（Ⅲ）设参加奥运知识竞赛恰有2名选手获奖为事件C ，则2224128()()()3327P C C ==. …………………………………13分17．解：（Ⅰ）由22sin cos 1C C +=，得sin 5C =.………………2分则4sincos 4cossin )4sin(πππC C C +=+.10234225122562+=⨯+⨯=…………………………6分 （Ⅱ）因为1cos ||||==⋅C ，则5ab =. ………………8分又a b +=222()227a b a b ab +=+-=.…………9分所以2222cos 25c a b ab C =+-=.则 5c =. ……………………………………………………………11分所以.6sin 21==∆C ab S ABC . ……………………………………13分 18．解：（I ）2232)(a ax x x f --='. ……………………………………3分 （Ⅱ）032)(22=--='a ax x x f ,3x a x a =-=得或. …………5分则当x 变化时，()f x 与()f x ¢的变化情况如下表：可知：当),(a x --∞∈时，函数)(x f 为增函数.当),3(+∞∈a x 时，函数)(x f 也为增函数，………………………………………6分当)3,(a a x -∈ 时，)(x f 为减函数………………………………………………7分35,()13x a f x a =-+当时的极大值为； …………………………………8分33,()x a f x a =当时的极小值为-9+1. ……………………………………9分（Ⅲ）因为2232)(a ax x x f --='的对称轴为x a =， 且其图象的开口向上， 所以)(x f '在区间[]1,2a a ++上是增函数.……10分 则在区间[]1,2a a ++上恒有a x f 3)(->'等价于)(x f '的最小值大于－a 3成立. 所以.3143)1(2)1()1(222a a a a a a a f ->+-=-+-+=+'. ………12分 解得114a -<<. 又0a >，则a 的取值范围是（0，1）. ……………………………………………………13分19．解：（I ）由已知可得，动点M 的轨迹是到定点1(2,0)F -，2(2,0)F 的距离之和为8的椭圆.则曲线C 的方程是2211612x y +=. ………………………………………3分 （Ⅱ）因为直线l 过点(0,2)N ，若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为0x =，与椭圆的两个交点A 、B 为椭圆的顶点. 由+=，则P 与O 重合，与OAPB 为四边形矛盾.………………………5分若直线l 的斜率存在，设方程为2y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y .由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,11216,222y x kx y 得22(43)16320k x kx ++-=. ………………………7分0)34(12825622>++=∆k k 恒成立.由根与系数关系得：1221643k x x k +=-+，1223243x x k -=+. …………………9分因为+=，所以四边形OAPB 为平行四边形.若存在直线l 使四边形OAPB 为矩形，则0,=⋅⊥即. 所以12120x x y y +=. ………………………………………………………11分 所以21212(1)2()40k x x k x x ++++=. 即0434162)3432)(1(222=++⋅-+-+k kk k k . 化简得： 21250k +=. 与斜率存在矛盾.……………………………13分则不存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形. …………………………14分20．（Ⅰ）证明：由2n n b a n =++，则11122112222n n n n n n b a n a n n b a n a n ++++++++++===++++.所以数列{}n b 是以11124b a =++=为首项，公比为2的等比数列.………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得124-⋅=n n b =12+n . ……………………5分则122n n a n +=--. ………………………………………………………7分 所以n n a a a S +++= 21)243(222132++++-+++=+n n22(21)(5)212n n n -+=--225242n n n ++=--. ………………………………………8分 （Ⅲ）解：当1n =时，11a =，2(12)9+=，则19a <；当2n =时，24a =，2(22)16+=，则216a <；当3n = 时，311a =，2(32)25+=，则325a <；当4n = 时，426a =，2(42)36+=，则436a <；当5n = 时，557a =，2(52)49+=，则549a >；…………10分 当5n ≥时，要证()()22112222225 6.n n n a n n n n n ++>+⇔-->+⇔>++而()1012101231111111122n n n n n n n n n n C C C C C C C C ++++++++++=++++≥+++()()()()()()()()()()221122116221111656325 6.n n n n n n n n n n n n n n n n n n -⋅⋅+=+++++≥+++++-⋅+≥=+++-->++⎡⎤⎣⎦所以当5n ≥时，()22.n a n >+………………………………………13分 因此当)(41*N n n ∈≤≤时,2(2)n a n <+；当5n ≥()*N n ∈时，()22.n a n >+ ………………14分注：（1）2个空的填空题，第一个空给3分，第二个空给2分. （2）如有不同解法，请阅卷老师酌情给分.。