浙江省杭州市2016-2017学年高中数学 基础练习32 平面向量的数量积(无答案)文 新人教A版必修4
平面向量的数量积(带答案)
专题二 平面向量的数量积1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角．(2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°．(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直．2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0．投影向量：向量a 在向量b 上的投影向量为|a |cos θb |b |＝(a ·b )b |b |2． (2)坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．3．平面向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律)；(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．4．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2．(2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2．(3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2．考点一 求平面向量数量积【方法总结】平面向量数量积的两种求法(1)若已知向量的模和夹角时，则利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos<a ，b >．若未知向量的模和夹角时，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量积进行求解；(2)若已知向量的坐标时，则利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．若未知向量的坐标时，如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标进行求解．【例题选讲】[例1](1)(2018·全国Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0答案 B 解析 a·(2a －b )＝2|a|2－a·b ＝2×1－(－1)＝3．(2)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( )A ．0B ．4C ．－92D ．－172答案 D 解析 由题意得2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12，所以m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172． (3)如图，已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且|AB →－AC →|＝23，|AB →＋AC →|＝26，点D 是△ABC 中边BC 的中点，则AB →·BD →＝________．答案 －3 解析 由(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0得BC →与∠A 的平分线所在的向量垂直，所以AB ＝AC ，BC →⊥AD →．又|AB →－AC →|＝23，所以|CB →|＝23，所以|BD →|＝3，AB →·BD →＝|AB →||BD →|cos(π－B )＝AD 2＋BD 2·3·(－cos B )＝33×(－33)＝－3． (4)(2016·天津)如图，已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18C ．14D ．118答案 B 解析 由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·(12AB →＋34AC →)＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2．因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18． (5)(2018·天津)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0答案 C 解析 连接OA ．在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON→－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6．(6)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC →等于( )A ．16B ．12C ．8D ．－4答案 A 解析 以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4，0)，B (0，0)，C (0，6)，D (2，3)．设E (0，t )，BD →·AE →＝(2，3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，∴t ＝83，即E ⎝⎛⎭⎫0，83，AE →·BC →＝⎝⎛⎭⎫－4，83·(0，6)＝16． (7)已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的中点，则CP →·CB →＋CP →·CA→＝________．答案 4 解析 由题意可建立如图所示的坐标系．可得A (2，0)，B (0，2)，P (1，1)，C (0，0)，则CP →·CB→＋CP →·CA →＝(1，1)·(0，2)＋(1，1)·(2，0)＝2＋2＝4．(8)如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP→＝( )A ．1B ．116C ．14D ．－12答案 B 解析 法一：因为△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，所以OC →＝12OA →＋12OB →，所以OP →＝12OC →＝14(OA →＋OB →)，则AP →＝OP →－OA →＝14OB →－34OA →，所以AP →·OP →＝14(OB →－3 OA →)·14(OA →＋OB →)＝116(OB →2－3OA →2)＝116． 法二：以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，OA →的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(如图)，则A (0，1)，B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，P ⎝⎛⎭⎫12，14，所以OP →＝⎝⎛⎭⎫12，14，AP →＝⎝⎛⎭⎫12，－34，故AP →·OP →＝12×12－34×14＝116．(9)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →＝________．答案 1 解析 因为DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →，DB →＝DA →＋AB →，所以DM →·DB →＝(DA →＋13AB →)·(DA →＋AB →)＝|DA →|2＋13|AB →|2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB →＝73－43|AD →|·|AB →|·cos 60°＝73－43×1×2×12＝1． (10)如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB ＋DC )·(AC ＋BD )＝________．答案 5 解析 由于AB →＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →，所以AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →－BD →．(AB→＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →)＝|AC →|2－|BD →|2＝9－4＝5．(11)在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝3，DC ＝2，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且AD →＝3AE →，BC →＝3BF →，若向量AB →与DC →的夹角为60°，则AB →·EF →的值为________．答案 7 解析 EF →＝EA →＋AB →＋BF → ①，EF →＝ED →＋DC →＋CF → ②，由AD →＝3AE →，BC →＝3BF →，有2EA →＋ED →＝0，，2BF →＋CF →＝0，，①×2＋②得2AB →＋DC →＝3EF →，所以EF →＝23AB →＋13DC →，则AB →·EF →＝AB →·(23AB →＋13DC →)＝23AB →2＋13AB →·DC →＝23×32＋13×3×2cos 60°＝7． (12)如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，设AD →·BC →＝m ，AC →·BD →＝n ．若AB ＝2，EF ＝1，CD ＝3，则( )A ．2m －n ＝1B ．2m －2n ＝1C ．m －2n ＝1D ．2n －2m ＝1答案 D 解析 AC →·BD →＝(AB →＋BC →)·(－AB →＋AD →)＝－AB →2＋AB →·AD →－AB →·BC →＋AD →·BC →＝－AB →2＋AB →·(AD →－BC →)＋m ＝－AB →2＋AB →·(AB →＋BC →＋CD →－BC →)＋m ＝AB →·CD →＋m ．又EF →＝EA →＋AB →＋BF →，EF →＝ED →＋DC →＋CF →，两式相加，再根据点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，化简得2EF →＝AB →＋DC →，两边同时平方得4＝2＋3＋2AB →·DC →，所以AB →·DC →＝－12，则AB →·CD →＝12，所以n ＝12＋m ，即2n －2m ＝1，故选D ． (13)(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ．记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3答案 C 解析 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，∴|OA →||OB →|<|OC →||OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，∴OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3．∴I 3<I 1<I 2．(14)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( ) A ．3 B ．4 C ．－3 D ．－4答案 C 解析 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点，∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝⎛⎭⎫－12－12×4＝－3．【对点训练】1．已知|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，则(a ＋2b )·a ＝________．2．已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a·(a －2b )＝________． 3．已知|a |＝6，|b |＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a ·b 为( )A ．12B ．8C ．－8D ．24．设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( )A ．－6B ．10C ．5D ．105．(2014·全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．56．在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0C ．32D ．3 7．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10，记m i ＝AB 2→·AP i → (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．180B ．603C ．45D ．1538．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )A ．－32B ．－23C ．23D ．329．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，AB ＝1，D 为BC 的中点，E 在斜边AC 上，若AE →＝2EC →，则DE →·AC →＝________．10．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)＝________．11．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．26912．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若OA →＋AB →＋OC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于( )A ．32B ．3C ．3D ．23 13．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →的值为( )A ．23B ．32C ．33D ．3 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________．15．已知O 是△ABC 的外心，|AB →|＝4，|AC →|＝2，则AO →·(AB →＋AC →)＝( )A ．10B ．9C ．8D ．616．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝92，|AC →|＝3，|AB →|＝3，M ，N 分别是BC 边上的三等分点，则AM →·AN →的值是 ( )A ．112B ．132C ．6D ．7 17．在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，BA →·BC →＝BA →2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当P A →2＋PB →2＋PC →2取得最小值时，AP →·BC →＝________．18．已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为______． 19．(2013·全国Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________．20．已知平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，∠DAB ＝60°，则AC →·AB →＝( )A ．1B ．3C ．2D ．2321．在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( )A ．48B ．36C ．24D ．1222．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20B ．15C ．9D ．623．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，P 为CD 上一点，已知|AB →|＝8，|AD →|＝5，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝1120，CP →＝3PD →，则AP →·BP →＝________． 25．在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，则(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝________．26．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC →＝13AB →，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，若AO →·AE → ＝8，则AC →·BD →＝( )A ．－9B ．－293C ．－10D ．－32327．设△ABC 的外接圆的圆心为P ，半径为3，若P A →＋PB →＝CP →，则P A →·PB →＝( )A ．－92B ．－32C ．3D ．9 28．如图，B ，D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中AB ＝t ＋1，AD ＝t ＋2，则AC →·BD →＝( )A ．1B ．2C ．tD ．2t考点二 已知平面向量数量积，求参数的值或判断多边形的形状【例题选讲】[例1](1)在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2．设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ．若BQ ·CP ＝－2，则λ等于( )A ．13B ．23C ．43D ．2 答案 B 解析 BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB→2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23． (2)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝( ) A ．12 B ．1±22 C ．1±102 D ．－3±222答案 A 解析 ∵BQ ＝AQ －AB ＝(1－λ) AC －AB ，CP ＝AP －AC ＝λAB －AC ，又BQ ·CP ＝－32，|AB |＝|AC |＝2，A ＝60°，AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos 60°＝2，∴[(1－λ) AC －AB ]·(λAB －AC )＝－32，即λ|AB |2＋(λ2－λ－1) AB ·AC ＋(1－λ)| AC |2＝32，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝32，解得λ＝12． (3)已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF ．若AE →·BF →＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B 解析 依题意得AE →＝AB →＋BE →＝12BC →－BA →，BF →＝BC →＋1λBA →，因此AE →·BF →＝(12BC →－BA →)(BC →＋1λBA →)＝12BC →2－1λBA →2＋⎝⎛⎭⎫12λ－1BC →·BA →，于是有⎝⎛⎭⎫12－1λ×62＋⎝⎛⎭⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9．由此解得λ＝3，故选B ． (4)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP →＝λAB →，λ∈R ，若BD →·CP →＝－3，则λ的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．13 D ．－13答案 A 解析 法一：由题意可得BA →·BC →＝2×2cos π3＝2，BD →·CP →＝(BA →＋BC →) ·(BP →－BC →)＝(BA →＋BC →)·[(AP →－AB →)－BC →]＝(BA →＋BC →)·[(λ－1)·AB →－BC →]＝(1－λ)BA →2－BA →·BC →＋(1－λ)BA →·BC →－BC →2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝12，故选A ．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2，0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x ，0)，由BD →·CP →＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1．∵AP →＝λAB →，∴λ＝12．故选A ． (5)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C 解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C ．(6)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 的度数成等差数列，且(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( )A ．等腰直角三角形B ．非等腰直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形答案 C 解析 因为(AB →＋AC →)·BC →＝0，所以(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，所以AC →2－AB →2＝0，即|AC →|＝|AB→|，又A ，B ，C 度数成等差数列，故2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝3B ＝π，所以B ＝π3，故△ABC 是等边三角形． (7)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形答案 C 解析 因为AB →＋CD →＝0，所以AB →＝－CD →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．(8)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6．则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A ．23 B ．－23 C ．56 D ．－56答案 B 解析 由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0，0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23． 考点三 平面向量数量积的最值(范围)问题【方法总结】数量积的最值或范围问题的2种求解方法(1)几何法：即临界位置法，结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．(2)代数法：即目标函数法，将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．【例题选讲】[例1](1)若a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最大值为________．答案 1＋2 解析 依题意可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以(a －c )·(b －c )的最大值为1＋2． (2)(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2．若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．答案 12解析 由已知可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |，由于上式对任意单位向量e 都成立．∴6≥|a ＋b |成立．∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b ．即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12．∴a ·b 的最大值为12． (3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1 答案 B 解析 方法一 (解析法) 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32．当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ． 方法二 (几何法) 如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →．图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又当点P 在线段AD 上时，|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32．故选B ． (4)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，A P →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，当且仅当t ＝12时等号成立．∴PB →·PC →的最大值等于13．(5)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为_____．答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，设P (2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC →·P A →取得最小值，为5－213． 另解：设圆心为O ，AB 的中点为D ，由题得AB ＝2×2×sin π6＝2，∴AC ＝3．取AC 的中点M ，由题得⎩⎪⎨⎪⎧P A →＋PC →＝2PM →，PC →－P A →＝AC →，两方程平方相减并化简得PC →·P A →＝PM →2－14AC →2＝PM →2－94，要使PC →·P A →取最小值，则需PM最小，当圆弧AB ︵的圆心与点P ，M 共线时，PM 最小．易知DM ＝12，∴OM ＝⎝⎛⎭⎫122＋(3)2＝132，所以PM 有最小值为2－132，代入求得PC →·P A →的最小值为5－213． (6)(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132 解析 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1．因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16．在四边形ABCD 中，作AO⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332．以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a ，0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1，0)，且－32≤a ≤72．又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN→＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132．所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132． (7) (2020·新高考Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2，6) B ．(－6，2) C ．(－2，4) D ．(－4，6)答案 A 解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2，0)，且－1<x <3．所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2，0)＝2x ∈(－2，6)．另解 AB →的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP →在AB →方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义式，可知AP →·AB →等于AB →的模与AP →在AB →方向上的投影的乘积，所以AP →·AB →的取值范围是(－2，6)，故选A ．(8)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．答案 －92 解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，∵|PO→|＋|PC →|＝3≥2|PO →|·|PC →|，∴|PO →|·|PC →|≤94，即(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2|PO →|·|PC →|≥－92，当且仅当|PO →|＝|PC→|＝32时，等号成立，故最小值为－92． 【对点训练】1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，点P 满足CP ＝2，则P A →·PB →的最大值为( ) A ．9 B ．16 C ．18 D ．252．在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N (不与A ，C 重合)为AC 边上的两个动点，且 满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤32，2B ．⎝⎛⎭⎫32，2C ．⎣⎡⎭⎫32，2D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 3．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，点E 为斜边BC 的中点，点M 在线段AB 上运动，则ME →·MC →的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤716，12B ．⎣⎡⎦⎤716，1C ．⎣⎡⎦⎤12，1 D ．[0，1] 4．在△ABC 中，满足AB →⊥AC →，M 是BC 的中点，若O 是线段AM 上任意一点，且|AB →|＝|AC →|＝2，则OA →·(OB →＋OC →)的最小值为________．5．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，点P 满足AP →＝1a AC →＋a －1a AD →，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值为( )A ．－2B ．－289C ．－258D ．－726．如图，线段AB 的长度为2，点A ，B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，以线段AB 为一边， 在第一象限内作等边三角形ABC ，O 为坐标原点，则OC →·OB →的取值范围是________．7．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为________；DE ·DC 的最大 值为________．8．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ·EM 的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，2 B ．⎣⎡⎦⎤0，32 C ．⎣⎡⎦⎤12，32 D ．[]0，1 9．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从点D 出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ， AB ，BC 运动到点C ，在此过程中DE →·CD →的取值范围为________．10．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．11．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为________．12．如图，在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，点P 在阴影区域(含边界)中运动，则P A →·BD →的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤－12，1B ．⎣⎡⎦⎤－1，12 C ．[－1，1] D ．[－1，0]13．如图，在等腰梯形ABCD 中，已知DC ∥AB ，∠ADC ＝120°，AB ＝4，CD ＝2，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝12λBC →，DF →＝λDC →，则AE →·BF →的最小值是( )A ．46＋13B ．46－13C ．46＋132D ．46－13214．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为________．15．设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( )A ．1＋2B ．1－2C ．2－1D ．116．已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，则a ·b 的最大值为________．。
平面向量的数量积及应用参考答案
平面向量的数量积及应用参考答案1.【答案】B 【解析】∵(3,3)AC =- ，(1,1)AB = ，∴31310AB AC ⋅=-⨯+⨯= .2.【答案】C【解析】依据向量的投影，可以确定A 、B 、D 都是正确的3.【答案】B 【解析】∵2= a ，∴22222+=+⋅+ a b a a b b =4+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴2+= a b 4.【答案】C 【解析】2(3,n)- a b =，若2- a b 与 b 垂直，则2(2)3+n 0-⋅= a b b =-，即2n 3=，2== a 5.【答案】B【解析】B 设AB 的中点为M ，则1()()()2OP AB OM M P AB OM AB OA OB OB OA ⋅=+⋅=⋅=+⋅- 221()62OB OA =-=- .故选B.8.【解析】如图：∵1==-= a b a b ，∴△OAB 为正三角形，∴2222221-=-⋅+=-⋅= a b a a b b a b ，∴12⋅= a b ，∴2221||211232+=++⋅=++⨯= a b a b a b ，∴||+= a b .9.【答案】3π【解析】由22(2)()22+⋅-=+⋅-=- a b a b a a b b ，得2⋅= a b ，即由||||cos ,2⋅〈〉= a b a b ，1cos ,2〈〉= a b 。
故,3π〈〉= a b .10.【答案】【解析】∵1，2是平面单位向量，且1•2=，∴1，2夹角为60°，∵平衡向量满足•1=•=1∴与1，2夹角相等，且为锐角，∴应该在1，2夹角的平分线上，即＜，1＞=＜，2＞=30°，||×1×cos30°=1，∴||=11.【答案】―25【解析】由0AB BC CA ++= 可得2()0AB BC CA ++= ，∴916252()0AB BC BC CA CA AB +++⋅+⋅+⋅= ，即25AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=- 12.【解析】021cos 20a b a b x x ⊥⇒⋅=⇒++= 12sin 21sin 2,0cos 0662x x b x ππ⎛⎫⎛⎫⇒+=-⇒+=-≠⇒≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 72662x x πππ+=⇒=（舍），1152666x x πππ+=⇒=13.【解析】由题意0⋅= a b 即有1212(2)()0k -⋅+= e e e e ，∴221122(12)20k k +-⋅-= e e e e ，又121== e e ，122,3π〈〉= e e ，∴22(12)cos 03k k π-+-⋅=，∴1222k k --=，∴54k =.14.【解析】（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx ，cosx ）=sinx ﹣cosx=0，即sin x =co sx sin x =cos x ，即tan x =1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sin x ，cos x ）=sin x ﹣cos x ，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sin x ﹣cos x =，则sin （x ﹣）=，∵x ∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x =+=．15.【解析】（1）∵ a 与2- b c 垂直，∴(2)20⋅-=⋅-⋅= a b c a b a c ，即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=.（2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+- b c ，22222sin 2sin cos cos 16cos 32cos sin 16sin b βββββββ+=+++-+ b c 1730sin cos 1715sin 2βββ=-=-，∴2+ b c 最大值为32，∴+ b c 的最大值为.（3）证明：由tan tan 16αβ=，得sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，故 a ∥ b .。
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、选择题（每小题5分，共20分）（2012辽宁）已知向量a = （1,— 1）, b = （2, x ），若a b = 1,则x 等于C.2在^ABC 中，AB = 3, AC = 2, BC = 7i0，则ABAC 等于二、填空题（每小题5分，共15分）5.已知向量a , b 夹角为45°且|a|= 1, |2a —，则|b 匸6.在△ ABC 中，M 是 BC 的中点，AM = 3, BC = 10,则 ABAC =7.已知a = （2,— 1）, b =（入3）,若a 与b 的夹角为钝角，贝U 入的取值范围是三、解答题（共22分）8. (10 分)已知 a = (1,2), b = (-2, n) (n> 1), a 与 b 的夹角是 45°⑴求b ;(2)若c 与b 同向，且a 与C — a 垂直，求c.9. （12分）设两个向量e 1、e 2满足⑹匸2,圉二1, &、e 2的夹角为60°若向量2te 1 + 7e 2与 向量e 1 + te 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.平面向量的数量积A 组专项基础训练1. 2. 3. (2012 重庆)设 x , y € R ,向量 a = (x,1), b = (1, y), c = (2,— 4)，且 a 丄c , b / c , + b|等于() A.励 B.V i0 C .已知向量a = (1,2), 2 砺 D . 10b = (2,— 3).若向量c 满足(c + a)// b , c 丄(a + b)，则 c 等于(则|a7 7A. 9, 37 7 B. — 3，—9C.7, 77 D. —9,4.1.()2. 3. 5. 6. B 组专项能力提升、选择题（每小题5分，共15分）在^ ABC 中，AB = 2, AC = 3, A B B C = 1,贝U BC 等于 A ^/3B.V 7 C . 2逗 D V 23已知|a 匸6, |b| = 3, ab=— 12,则向量a 在向量b 方向上的投影是()A . - 4B . 4C .— 2D . 2|PA|2 + |PB|2在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则 一等C . 5D . 10、填空题（每小题5分，共15分） 设向量 a = (1,2m), b = (m + 1,1), c = (2, m).若(a + c)丄 b ,则 |a|= 如图，在矩形 ABCD 中，AB=（2, BC = 2,点E 为BC 的中点，点 F 在边CD 上，若A B A F 二頁，则AE BF的值是在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1,若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足雪=卑，则AM AN 的取值范围是|BC| |CD| 三、解答题 1 *737. (13分)设平面上有两个向量 a = (cos a sin a (0 a<360°, b = — q ,专.(1)求证：向量a +b 与a — b 垂直；3当向量＞/3&+ b 与a —/sb 的模相等时，求a 的大小.平面向量的数量积参考答案A 组专项基础训练1.答案 D 解析 a b = (1 , — 1) (2, x) = 2 — x = 1? x = 1.2. 答案 B解析 Va = (x,1), b = (1, y), c = (2,— 4), 由 a 丄c 得 a c = 0, 即卩 2x — 4= 0,二 x = 2.由 b II c,得 1 X (— 4)— 2y= 0,y = — 2. — a= (2,1), b= (1, — 2). • a + b = (3, — 1), •••|a + b|^32+ — 1 2 =V 10.3. 答案 D解析 设 c = (x , y),贝U c + a = (x + 1, y + 2)，又(c + a) I b ,二 2(y + 2) + 3(x + 1)=0.①又 c 丄(a + b), • (x , y) (3,— 1) = 3x —y = 0.②联立①②解得 x =— 9, y = — |.4. 答案 D解析 由于 AB AC = AB| | AC| cos / BAC=2(|ABf + AC|2— |B C|2) = 2X(9 + 4 —10) = 3.、填空题（每小题5分，共15分）答案3迈解析 va , b 的夹角为45° |a|= 1,--a b= |a| |b|cos 45 = 2 |b|, |2a — b|2= 4 — 4 X ?解析如图所示,A C =AM+MC=AM — MB , ••• AB A C= (AM + MB) (AM — MB)5. |b| + |b|2= 10, •••|b|= ^2. 6. 答案 —16c=AM2—MB2=|AM|2—||M B|2= 9—25=—16.3 37.答案（— X,— 6） U — 6, 2解析由a b<0，即2入—3<0,解得勺，由all b得:36=—入即?= — 6.因此?<2，且"一6.三、解答题（共22分）& 解(1)a b= 2n —2, |a|=/5, [b"n2+ 4,2n — 2 yJ2 c 2 --cos 45 = = Q , •3n —16n—12= 0, •n= 6 或门=—Tj(舍),—b= (—2,6).取“2+4 2 3⑵由(1)知，a b= 10, |af= 5.又c与 b 同向，故可设c=?b(?>0), (c —a) a= 0,|a|2 5 1 1•-力a—|a|2=0, •-入=ba=10= 2，二c=2b=(—1,3).19.解e1 e2= |e111 e2| cos 60 = 2x 1 x 2= 1,•••(2te i + 7e2)(e i + te2)= 21©+ 7te2+ (2t2+ 7)e i e2= 8t +7t+ 2t2+ 7 = 2t2+ 15t+ 7.1由已知得2t2+ 15t+ 7<0,解得一7<t< — 2.当向量2te1 + 7e2与向量& + te2反向时,2t=入2\H4^/T4设2te1 + 7e2=?(e1 + te2), :<0，贝U ? 2t = 7? t =—2或t = 2 (舍).1 = 72 2故t的取值范围为（—7,—¥¥）u（—晋，一2）B组专项能力提升、选择题（每小题5分，共15分）1.答案 A解析••• AB B C= 1,且AB = 2, • 1 = |AB||BC|cos( -B), •AB||BC|COS B=— 1.在^ABC 中，|AC|2= |AB|2+ |BC|2—2AB||BC|cosB,即卩9 = 4+ |BC|2—2X (- 1).••• |BC| = V3.2.答案 A解析 a b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，得a b= |b||a|cos〈a,b〉, 即一12= 3|a| cos〈 a, b〉,••• |a| cos〈a, b〉= —4.3.答案 D解析••• P A=CA-CP,.・.|PA|2=CA2- 2CP CA + cP2.••• P B= CB-CP, •••|PBj= CB2-2CP CB+CP2•••|PA|2 + IP BI=(CA2+ CB2)- 2CP (CA+ CB) + 2CP2=AB2-2CP 2cD + 2CP2.又AB2 = 16C P2,C D = 2C P,代入上式整理得|R A|2 + IPB I2 = 10|CP|2，故所求值为10.二、填空题(每小题5分，共15分)4.答案頁解析利用向量数量积的坐标运算求解.a+ c= (1,2m) + (2, m) = (3,3m). ■/ (a+ c)丄b,•- (a + c) b= (3,3m) (m+ 1,1)= 6m+ 3 = 0,1•- m=- 2. •a= (1, - 1), •••|a|=>/2.5.答案迈解析方法一坐标法.以A为坐标原点，AB, AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0), B^/2,0), E(迄，1), F(x,2).故AB=(迄，0), AF = (x,2), AE=⑴，1), BF= (x^2, 2),•- A B A F=(迄，O)(X,2)=V2X.又AB AF = 72, •X= 1.A B F =(1—2).•••AE B F=(迈，1)(1—迈，2)=V2—2+ 2=/2.方法用AB, B C表示AE,B F是关键.设D F = X AB,则CF = (x—1)A B.—》—》—》—》—》—》—》—》—》2 —》—》i —1—AB AF = AB (AD + DF) = AB (AD + X AB)= X AB2=2X,又T AB AF=72, •2x=V2,••• x=¥..・.B F=BC+CF=BC+警—1 AB;.AE B F =(AB+BE)就+ 豎—1 AB=AB+^BC B C+豎-1 AB1 AB2+ 1BC2= *—1 X2 + 2^ 4=/2.6.答案[1,4]解析利用基向量法，把AM, A N都用AB, AD表示，再求数量积.如图所示,设|BM|B|C N||BC| |C D|=X0< 疋1)，则BM = BC,CN= ?CD , DN = CN-CD = ( B 1)CD ,••• AM A N=(AB+ BM) (AD + DN) =(AB+ BC)[AD + (入—I)C D]=(入—I)AB CD + BC AD=4(1—B +A 4—3入•••当B 0时，A M AN取得最大值4;当B 1时，AM AN取得最小值i..・.A M ANe [1,4].三、解答题7.(1)证明(a+ b) (a —b)= a2—b2= |a|2—|b|2= (cos2 a+ sin2 o) — 4 + = 0,故向量a+ b与a—b垂直.⑵解由|A/3a+ b| = |a —{3b|，两边平方得3|a|2+ 2屆b+ |b|2= |a|2—^3a b+ 3b|2, 所以2(|a|2— |b|2) + 4屆 b = 0,而|a| = |b|,所以 a b = 0,即卩一亦cos a+f sin a= 0 即cos(a+ 60)= 0, • a+ 60 B k 180 °90° ke Z ,即a k 180 + 30 ° ke Z,又0 ° a<360 , J则a= 30 或a 210 :。
平面向量的数量积练习题(含答案)(K12教育文档)
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平面向量的数量积A组专项基础训练一、选择题(每小题5分,共20分)1．(2012·辽宁)已知向量a＝（1，－1）,b＝（2,x）,若a·b＝1，则x等于（)A．－1 B．－错误! C.错误!D．1 2．（2012·重庆）设x，y∈R，向量a＝(x，1），b＝（1，y)，c＝(2,－4），且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于（)A。
5 B.错误! C．2错误! D．103．已知向量a＝（1,2）,b＝(2，－3)．若向量c满足（c＋a）∥b,c⊥(a＋b)，则c等于( )A。
错误! B.错误! C。
错误! D。
错误!4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝错误!，则错误!·错误!等于（）A．－错误!B．－错误! C.错误!D。
错误!二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知向量a，b夹角为45°，且｜a|＝1，｜2a－b|＝错误!，则｜b｜＝________。
6．在△ABC中,M是BC的中点,AM＝3，BC＝10,则错误!·错误!＝________。
7．已知a＝（2，－1),b＝（λ，3），若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．三、解答题(共22分）8． (10分)已知a＝(1,2），b＝(－2,n) (n>1)，a与b的夹角是45°.(1)求b；（2）若c与b同向，且a与c－a垂直，求c。
高中数学-平面向量的数量积练习
高中数学-平面向量的数量积练习(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.△ABC 中A(2,1),B(0,4),C(5,6),则AB AC u u u r u u u rg =( )A.7B.8C.9D.10【解析】选C.由已知得AB u u u r=(-2,3),AC uuu r =(3,5),所以AB AC u u u r u u u r g =-2×3+3×5=9.2.(·厦门模拟)若向量a =(1,2),b =(1,-1),则2a +b 与a -b 的夹角等于( )A.-B.C.D. 【解析】选C.因为2a +b =(3,3),a -b=(0,3), 设2a +b 与a -b 的夹角为α, 所以cos α===.又α∈[0,π],故α=.3.(·滨州模拟)已知向量a 3,1),b =(0,1),c 3若a +2b 与c 垂直,则k=( )A.-3B.-2C.-1D.1 【解题提示】利用坐标表示a +2b ,再利用垂直条件得方程求解. 【解析】选A.由已知得a +2b 3故(a +2b )·c 3·333解得k=-3.【加固训练】已知平面向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°,则“m=1”是“(a -m b )⊥a ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当m=1时,(a -b )·a =a 2-a ·b =1-1×2×cos 60°=0,故(a -b )⊥a ;反之当(a -m b )⊥a 时,有(a -m b )·a =a 2-m a ·b =1-m ·(1×2×cos 60°)=1-m=0,则m=1.综上“m=1”是“(a -m b )⊥a ”的充要条件.4.( ·铜陵模拟)如图,在圆C 中,点C 是圆心,点A,B 在圆上,·的值( )A.只与圆C 的半径有关B.只与弦AB 的长度有关C.既与圆C 的半径有关,又与弦AB 的长度有关D.是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值 【解析】选B.如图,作CM ⊥AB,则M 是AB 的中点,·=||||cos ∠CAM=||·||=||2.故选B.5.(·宁德模拟)在△ABC 中,∠A=120°,AB AC u u u r u u u r g =-1,则|BC uuu r|的最小值是( )2 B.2 6 D.6 【解析】选C.由当且仅当AC AB =u u u r u u u r时等号成立. 所以|BC uuu r|≥6,故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(·江西高考)已知单位向量e 1,e 2的夹角为α,且cos α=,若向量a =3e 1-2e 2,则|a |= .【解析】a ·a =(3e 1-2e 2)2=9-12e 1·e 2+4 =9-12×+4=9,故|a |=3. 答案:37.在平面直角坐标系xOy 中,已知()()OA 3,1,OB 0,2.OC AB 0,AC OB,=-===λu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg 若则实数λ的值为 .【解析】由已知得AB u u u r=(-3,3),设C(x,y), 则OC AB u u u r u u u rg =-3x+3y=0,所以x=y. AC uuu r=(x-3,y+1).又AC OB =λu u u r u u u r,即(x-3,y+1)=λ(0,2),所以x 30,y 12,-=⎧⎨+=λ⎩由x=y 得,y=3,所以λ=2.答案:28.(·东营模拟)若两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |=2|a |,则向量a +b 与a 的夹角为 .【解析】由|a +b |=|a -b |,得a 2+2a ·b +b 2=a 2-2a ·b +b 2,即a ·b =0,所以(a +b )·a =a 2+a ·b =|a |2.故向量a +b 与a 的夹角θ的余弦值为 cos θ==12.又0≤θ≤π,所以θ=3π.答案: 3π三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知平面向量a =(1,x),b =(2x+3,-x)(x ∈R). (1)若a ⊥b ,求x 的值. (2)若a ∥b ,求|a -b |.【解析】(1)由a ⊥b 得,2x+3-x 2=0,即(x-3)(x+1)=0.解得x=3或x=-1. (2)由a ∥b ,则2x 2+3x+x=0,即2x 2+4x=0,得x=0或x=-2. 当x=0时,a =(1,0),b =(3,0),所以a -b =(-2,0). 此时|a -b |=2.当x=-2时,a =(1,-2), b =(-1,2), 则a -b =(2,-4).故|a -b =10.已知|a |=4,|b |=3,(2a -3b )·(2a +b )=61. (1)求a 与b 的夹角θ. (2)求|a +b |.(3)若AB u u u r=a ,BC uuu r =b ,求△ABC 的面积.【解析】(1)因为(2a -3b )·(2a +b )=61, 所以4|a |2-4a ·b -3|b |2=61.又|a |=4,|b |=3,所以64-4a ·b -27=61, 所以a ·b =-6, 所以cos θ=又0≤θ≤π,所以θ=23π.(2)|a +b |2=(a +b )2=|a |2+2a ·b +|b |2 =42+2×(-6)+32=13,所以|a +b |=13.(3)因为AB BC u u u r u u u r 与的夹角θ=23π,所以∠ABC=2.33πππ-=又|AB u u u r |=|a |=4,|BC uuu r|=|b |=3,所以ABC113S AB BC sin ABC 433 3.22=∠=⨯⨯⨯=V u u u r u u u r g (20分钟 40分)1.(5分)在△ABC 中,AB=4,AC=3,AC BC u u u r u u u rg =1,则BC=( ) A. 3 B. 2 C.2 D.3【解题提示】利用已知条件,求得AB,AC u u u r u u u r夹角的余弦,再用余弦定理求BC.【解析】选D.设∠A=θ,因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r,AB=4,AC=3, 所以2AC BC AC AC AB 9AC AB 1.=-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g2.(5分)(·太原模拟)在△ABC 中,设22AC AB 2AM BC,-=u u u r u u u r u u u u r u u u rg 那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心【解析】选C.假设BC 的中点是O,则()()22AC AB AC AB AC AB -=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg2AO BC 2AM BC,=u u u r u u u r u u u u r u u u rg g 即()AO AM BC MO BC 0,MO BC,-==⊥u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r g g 所以所以动点M 在线段BC的中垂线上,所以动点M 的轨迹必通过△ABC 的外心.【加固训练】(·兰州模拟)若△ABC 的三个内角A,B,C 度数成等差数列,且()AB AC BC +u u u r u u u r u u u rg =0,则△ABC 一定是( )A.等腰直角三角形B.非等腰直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形【解析】选 C.因为()()()AB AC BC 0,AB AC AC AB 0,+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g 所以所以22AC AB -u u u r u u u r =0,即AC AB =u u u r u u u r,又A,B,C 度数成等差数列,故2B=A+C,又A+B+C=π,所以2B=π-B,所以3B=π,B=3π, 故△ABC 是等边三角形.3.(5分)(·日照模拟)已知a =(2,-1),b =,则“向量a ,b 的夹角为锐角”是“λ<1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.若向量a ,b 的夹角是锐角,则a ·b =1-λ>0,且a 与b 不共线同向,即λ<1且λ≠-. 故“向量a ,b 的夹角为锐角”⇒“λ<1”,反之不成立. 所以选A.4.(12分)已知点A(1,0),B(0,1),C(2sin θ,cos θ). (1)若的值.(2)若()OA 2OB OC +u u u r u u u r u u u rg =1,其中O 为坐标原点,求sin θ·cos θ的值.【解析】因为A(1,0),B(0,1),C(2sin θ,cos θ),所以AC uuu r =(2sin θ-1,cos θ),BC uuu r=(2sin θ,cos θ-1).(1)AC BC ,=u u u r u u u r2222(2sin 1)cos (2sin )(cos 1),θ-+θ=θ+θ-化简得2sin θ=cos θ,所以tan θ=12,所以(2)()()OA 1,0,OB 0,1,OC ==u u u r u u u r u u u r=(2sin θ,cos θ),所以OA 2OB +u u u r u u u r =(1,2),因为()OA 2OB OC +u u u r u u u r u u u rg =1,所以2sin θ+2cos θ=1.所以(sin θ+cos θ)2=14, 所以sin θ·cos θ=-38.5.(13分)(能力挑战题)已知平面向量a ,b 满足|a ,|b |=1, (1)若|a -b |=2,试求a 与b 的夹角的余弦值.(2)若对一切实数x,|a +x b |≥|a +b |恒成立,求a 与b 的夹角. 【解析】 (1)因为|a,|b |=1,|a -b |=2.所以|a -b |2=4,即a 2-2a ·b +b 2=4,2-2a ·b +1=4,所以a ·b =-12.设a 与b 的夹角为θ,(2)令a 与b 的夹角为θ.由|a +x b |≥|a +b |,得(a +x b )2≥(a +b )2, 化为(x 2-1)|b |2+(2x-2)|a |·|b |cos θ≥0,因为|a ,|b |=1,所以(x 2cos θ≥0, 当x=1时,式子显然成立;【一题多解】本题(2)还可有如下解法: 令a与b的夹角为θ,由|a+x b|≥|a+b|, 得(a+x b)2≥(a+b)2,因为|a,|b|=1,所以x2xcosθcosθ-1≥0,对一切实数x恒成立,所以Δ=8cos2θcosθ+4≤0,即θ+1)2≤0,故cosθ=-2,因为θ∈[0,π],所以θ=34π.。
平面向量的数量积(三) 练习 含答案
平面向量的数量积1.已知向量a =(x -5,3),b =(2,x ),且a ⊥b ,则由x 的值构成的集合是( )A.{2,3}B.{-1,6}C.{2}D.{6}2.已知向量a =(-5,6),b =(6,5),则a 与b ( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向3.设向量a 与b 的夹角为θ,且a =(3,3),2b -a =(-1,1),则c os θ等于( )A..3101104.已知向量a =(1,2),b =(-2,-4),|c 若(a +b )·c =52,则a 与c 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 5.以原点O 及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使∠A=90°,则AB 的坐标为( )A.(2,-5)B.(-2,5)或(2,-5)C.(-2,5)D.(7,-3)或(3,7)6.已知A(3,1),B(6,1),C(4,3),D 为线段BC 的中点,则向量AC 与DA 夹角的余弦值为 .7.已知等腰△ABC 中,BB ′、CC ′是两腰上的中线,且BB ′⊥CC ′,则顶角A 的余弦值是 .8.若a =(4,2),则与a 垂直的单位向量的坐标是 .9.设a =(m+1,-3),b =(1,m-1),若(a +b )⊥(a -b ),求m 的值.10.已知向量a =(,-1),b =(12,2),存在非零实数k 和t,使得向量x =a +(t 2-3)b ,y=-k a +t b ,且x ⊥y,问2k t t 是否存在最小值？若存在,求出最小值;若不存在,说明理由.11.已知c =m a +n b ,2),a ⊥c ,b 与c 的夹角为120°,且b ·c =-4,|a ,求实数m 、n 的值及a 与b 的夹角θ.12.已知△ABC 中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC 边上的高为AD.(1)求证:AB ⊥AC;(2)求点D 和向量AD 的坐标;(3)设∠ABC=θ,求c os θ.平面向量的数量积1. C2. A3. B4. C5. B6. -457. 458. (5,5-)或(-5,5) 9. m=-2.10.解:由已知得,|a |=2,|b |=1,a ·b =2-2=0.由x ⊥y 得,［a +(t 2-3)b ］·(-k a +t b )=0,即-k a ·a +(t3-3t)b ·b +(t -kt 2+3k)a ·b =0.所以-k|a |2+(t3-3t)|b |2=0.所以-4k+t3-3t=0.所以k=3-34t t .所以2k t t +=14 (t 2+4t -3)= 14 (t+2)2 - 14.所以当t=-2时, 2k t t +有最小值- 74. 11.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又∵c =m a +n b ,∴c ·c =m a ·c +n b ·c .①∴16=-4n,n=-4.∵b ·c =|b ||c |c os120°,∴|b |×4×(-12)=-4. ∴|b |=2.∴a ·c =m a 2-4a ·b .②∴a ·b =2m.又b ·c =m a ·b -4b 2,∴2m 2-16=-4,m 2=6.∴m=.③当时,a ·b ,∴c os θ=a ba b •=.26πθ=.当m=时,同理可求θ=56π.综上知,n=-4时,θ=6π;m=,n=-4时,θ=56π. 12.解:(1)证明: AB =(-3,-6), AC =(2,-1).∵AB ·AC =-3×2+(-6)×(-1)=0, ∴AB ⊥AC.(2)设D 点的坐标为(x ,y), 则AD =(x -2,y -4), BC =(5,5), ∵AD ⊥BC,∴AD ·BC =5(x -2)+5(y -4)=0.① 又BD =(x +1,y+2),而BD 与BC 共线, ∴5(x +1)-5(y+2)=0.②联立①②,解得x =72,y=52, 故D 点坐标为(72,52), ∴AD =(72-2, 52-4)=( 32,-32).(3)c os θ=103BA BC BA BC •==。
平面向量的数量积_图文_图文
我们知道，数量之间可以进行加、 减、乘、除运算，运算的结果依然 是数量。那么向量呢？
前面，我们对向量进行了加减的运算， 发现它们运算的结果还是向量。那么向 量之间能否进行乘除运算呢？如果能的 话，运算的结果还是向量吗？
一 .引入
物理实例如图，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力F 所做的功W=____________
特别地,a ·a (或写成 a 2)=| a |2或| a |=√a ·a .
(4)| a ·b |≤| a || b |.
向量a与b共线
| a ·b |=| a || 算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c（分配律）;
2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时 , △ ABC各是什么三角形.
钝角三角形
直角三角形
4、P108 Ex1
六、运算律
实数之间的乘法满足哪些运算律？你能类比得出向
量的数量积的运算律吗？
从力的做功来
(1) a ·b = b ·a (交换律);
看若力增大n倍
A 2
a
bB
1
O A1 c B1 C
例2 辨析题:
向量的数量积 不满足消去律
1.若a≠0,且a ·b=0,则b=0. （ X ）
2.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.（ X ）
3.(a ·b) ·c=a ·(b ·c（). X ）
┐
4.若a2=0,则a=0（ √ ） 5.若a2+b2= 0,则a=b= （ √ ） 6若 |a ·b|≥|a| ·|b|， 则a∥b.（ √ ）
平面向量的数量积与立体几何练习题
平面向量的数量积与立体几何练习题前言：平面向量的数量积（又称内积、点积）是向量运算中的一个重要概念，它可以用来描述向量之间的夹角关系，以及计算向量的长度和方向等。
在立体几何中，数量积也被广泛应用于求解线段、平行四边形、三角形等几何问题。
本文将通过一些练习题来巩固和扩展读者对平面向量的数量积与立体几何的理解。
第一题：已知平面向量a = (3, -2, 1)和b = (2, 1, 4)，求向量a与向量b的数量积。
解答：向量a与向量b的数量积定义为a·b = |a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量的模长，θ表示向量a和向量b所夹的夹角。
根据定义，我们可以计算向量a和向量b的模长：|a| = √(3² + (-2)² + 1²) = √14，|b| = √(2² + 1² + 4²) = √21。
同时，根据数量积的性质，我们可以得到a·b = b·a，因此不妨计算b·a。
b·a = (2)(3) + (1)(-2) + (4)(1) = 6 - 2 + 4 = 8因此，向量a与向量b的数量积为8。
第二题：已知平面向量a = (1, -2, 3)和向量b = (4, -3, 2)，求向量a与向量b所围成平行四边形的面积。
解答：根据平行四边形的性质，平行四边形的面积等于以向量a和向量b为邻边的平行四边形的面积。
而平行四边形的面积可以通过法向量的模长来计算。
因此，我们需要先计算平行四边形的法向量，再求其模长。
设平行四边形的法向量为n，可以通过向量a和向量b的叉积得到：n = a × b = (1)(-3) - (-2)(4), (-3)(2) - (1)(-4), (1)(-3) - (-2)(4) = (-11, -2, -5)平行四边形的面积等于法向量n的模长，即S = |n| = √((-11)² + (-2)² + (-5)²) = √150因此，向量a与向量b所围成平行四边形的面积为√150。
【推荐下载】最新学年高二数学《平面向量的数量积》练习题及答案
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A. B. C. D.(1，0) 考查目的：考查平面向量数量积的坐标运算. 答案：B. 3.(2010 四川理)设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，
4
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， ，则 ( ). A.8 B.4 C.2 D.1 考查目的：考查平面向量加、减法运算的几何意义，以及数结合思想. 答案：C. .二、填空题 4.已知 ，则与
1
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的夹角为( ). A. B. C. D. 考查目的：考查平面向量的数量积的意义.
2
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答案：C. 2.已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 等于( ).
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.⑴求 的最小值及相应的 值; ⑵若 与 共线，求实数
10
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考查目的：考查平面向量的坐标运算与求函数最值等的综合运算. 为大家提供的平面向量的数量积练习题及答案，大家仔细做了吗?希望够帮助到大 家。
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6.(2009 天津文)若等边 的边长为，平面内一点 M 满足 ，则 = . 考查目的：考查平面向量的加、减法运算和平面向量的数量积运算. 答案：-2. 三、解答题 7.已知
8
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，若 ，试求实数的值. 考查目的：考查平面向量的数量积运算和平面向量垂直的性质等. 答案： 8.已知向量 ， ，
5
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方向相同的单位向量 为 . 考查目的：考查方向相同的单位向量的求法和运算. 答案： 5.已知： ，
6
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与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为 . 考查目的：考查平面向量投影的概念与计算. 答案：
练习题及答案数学是一个要求大家严谨对待的科目有时一不小心一个小小的小数点都会影响最后的结果
平面向量的数量积(一轮复习)
＝________；特殊地|，a|a|·ba|＝|a|2 或|a|＝ a·a.
C D (4)cos θ＝________．
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
B
A 3．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)分配律：(a＋b)·c＝________．
(3)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
2、（2016 年浙江高考）已知向量 a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量
1
题型五：平面向量的范围问题 e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ 6 ,则 a·b 的最大值是
．【答案】 2
3、（2016 年上海高考）在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），P 是
曲线 y 1 x2 上一个动点，则 BP BA 的取值范围是
01
平面向课量堂总向结量：的模
02
、转化为坐标
向量的夹角 cos 0 3 a b
ab
转化思想、数形结合
1 、（ 2013 年 高 考 四 川 卷 ） 在 ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 且
2 cos2
A B cos B sin( A B)sin B cos( A C) 2
（2）已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cos α＝13.若向量
a＝3e1－2e2，则题|a|＝型__二___：___平． 面向量的[答模案] 3
变式练习 (1) [2014·全国卷] 若向量 a, b 满足：| a | 1， (a b) a ，
(2a b) b ，则 | b | （ ）
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高考数学浙江版5.2 平面向量的数量积及其应用
从而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC为锐角.
从而∠AOB为钝角.故I1<0,I3<0,I2>0.
又OA<OC,OB<OD,
故可设 OD
=-λ1 OB
(λ1>1), OC
=-λ2 OA(λ2>1),
从而I3= OC
·O D
=λ1λ2 OA
· OB
=λ1λ2I1,
又λ1λ2>1,I1<0,I3<0,∴I3<I1,∴I3<I1<I2.故选C.
x2 y2 10,
故可转化为线性规划问题“已知 1 x 3, 求x+y的最大值和最小值.”
1 y 3,
其可行域为图中弧AB,平移直线x+y=0,显然过A、B点时,x+y有最小值4. 与圆弧相切时,切点为C( 5 , 5 ),x+y有最大值2 5 ,则|a+b|+|a-b|的最小值为4,最大值为2 5 .
答案 C 本题考查向量的数量积,共线向量定理,解三角形,考查运算能力和逻辑推理能力.
如图,建立直角坐标系,则B(0,0),A(0,2),C(2,0). 设D(m,n), 由AD=2和CD=3,
得
m2
(m
(n 2)2 2)2 n2
4, 9,
从而有n-m= 5 >0,∴n>m.
离减去圆的半径,所以|a-b|min= 3 -1.选A.
一题多解 将b2-4e·b+3=0转化为b2-4e·b+3e2=0,
即(b-e)·(b-3e)=0,∴(b-e)⊥(b-3e).
高考数学专题复习 专题5 平面向量 第32练 平面向量的数量积练习 理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题5 平面向量 第32练 平面向量的数量积练习 理训练目标 (1)平面向量数量积的概念；(2)数量积的应用．训练题型 (1)向量数量积的运算；(2)求向量的夹角；(3)求向量的模．解题策略 (1)数量积计算的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义；(2)求两向量的夹角时，要注意夹角θ为锐角和cos θ＞0的区别，不能漏解或增解；(3)求向量的模的基本思想是利用|a |2＝a ·a ，灵活运用数量积的运算律.1．(2017·玉溪月考)若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为________．2．(2016·淄博期中)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC →·DB →＝________. 3．(2016·镇江模拟)在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，AB ＝4，AC ＝3，则AD →·BC →＝________.4．(2017·吉林东北师大附中三校联考)如图，已知△ABC 外接圆的圆心为O ，AB ＝23，AC ＝22，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则AM →·AO →＝________.5．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．6．(2015·安徽改编)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列正确结论的个数为________． ①|b |＝1；②a ⊥b ；③a ·b ＝1；④(4a ＋b )⊥BC →.7．(2015·福建改编)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于________．8．(2016·吉林长春质检)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(0，t 2＋1)，则当t ∈[－3，2]时，|a －t b|b ||的取值范围是________．9．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝________.10．(2016·浙江余姚中学期中)已知OA →与OB →的夹角为60°，|OA →|＝2，|OB →|＝23，OP →＝λ OA →＋μOB →，若λ＋3μ＝2，则|OP →|的最小值为________．11．(2016·开封冲刺模拟)若等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则MA →·MB →＝________.12．(2016·盐城模拟)设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，且AC 2－2AC ＋AB 2＝0，则BC →·AO →的取值范围是____________．13．(2016·徐州质检)如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M ，N 分别为半径OP ，OQ 的中点，A 为弧PQ 上任意一点，则AM →·AN →的取值范围是________．14．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，当2x ＋y ＝t (t ＞0)时，|xAB →＋yAC →|≥22t 恒成立，则△ABC的面积为____，在上述条件下，对于△ABC 内一点P ，PA →·(PB →＋PC →)的最小值是________．答案精析1.3π42.13.－72 4.5 5．4解析 由题意可得a·b＝3cos θ－sin θ ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b|＝2a －b2＝4|a|2＋|b|2－4a·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0,4]，所以|2a －b|的最大值与最小值的和为4. 6．1解析 如图，在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a ＋b)·BC →＝(4a ＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b)⊥BC →，故正确结论只有④. 7．13 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当1t ＝4t ，即t ＝12时取等号．8．[1，13]解析 由题意，b |b|＝(0,1)，∴|a－t b|b||＝|(1，3)－t (0,1)|＝|(1，3－t )| ＝1＋3－t2＝t －32＋1.∵t ∈[－3，2]， ∴t －32＋1∈[1，13]，即|a －t b|b||的取值范围是[1，13]．9.56 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (0，－3)，C (1,0)，D (0，3)． 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE →＝λBC →，得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3λ－1，即点E (λ，3(λ－1))． 由DF →＝μDC →，得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝31－μ.即点F (μ，3(1－μ))．又AE →·AF →＝(λ＋1，3(λ－1))·(μ＋1，3(1－μ))＝1，① CE →·CF →＝(λ－1，3(λ－1))·(μ－1，3(1－μ))＝－23，②由①－②，得λ＋μ＝56.10．2 3解析 由题意得OA →·OB →＝2 3.因为OP →＝λOA →＋μOB →，所以OP →2＝(λOA →＋μOB →)2＝λ2OA →2＋μ2OB →2＋2λμOA →·OB →＝4λ2＋12μ2＋43λμ.又因为λ＋3μ＝2，所以λ＝2－3μ，所以OP →2＝4(2－3μ)2＋12μ2＋43(2－3μ)μ＝4(3μ－1)2＋12，所以当3μ－1＝0，即μ＝33时，|OP →|min ＝2 3. 11．－89解析 由于MA →＝CA →－CM →＝－13CB →＋12CA →，MB →＝CB →－CM →＝23CB →－12CA →，故MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13CB →＋12CA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →＝－29CB →2－14CA →2＋12CB →·CA →＝－29×22－14×22＋12×2×2×cos 60°＝－89.12．[－14，2)解析如图．设BC 的中点为D ，则BC →·AO →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(－AB →＋AC →) ＝12(|AC →|2－|AB →|2)． 设|AC →|＝b ，|AB →|＝c ，则b 2－2b ＋c 2＝0， 所以BC →·AO →＝12(b 2＋b 2－2b )＝b 2－b .又b 2－2b ＝－c 2＜0，所以0＜b ＜2. 所以BC →·AO →∈[－14，2)．13．[32，52]解析 建立如图所示的平面直角坐标系，连结AO ，设∠AOQ ＝θ，则A (2cos θ，2sin θ)(0°≤θ≤120°)． 由已知得M (－12，32)，N (1,0)，则AM →＝(－12－2cos θ，32－2sin θ)，AN →＝(1－2cos θ，－2sin θ)，所以AM →·AN →＝(－12－2cos θ)(1－2cos θ)＋(32－2sin θ)·(－2sin θ)＝72－2sin(θ＋30°)，因为0°≤θ≤120°， 所以30°≤θ＋30°≤150°， 故12≤sin(θ＋30°)≤1， 所以32≤AM →·AN →≤52.14．1 －58解析 因为|xAB →＋yAC →| ＝x 2AB →2＋y 2AC →2＋2xyAB →·AC →＝4x 2＋y 2＋4xy cos A ≥22t 恒成立，则由两边平方， 得x 2AB →2＋y 2AC →2＋2xyAB →·AC →≥12t 2，又t ＝2x ＋y ，则4x 2＋y 2＋4xy (2cos A －1)≥0， 则Δ＝16y 2(2cos A －1)2－16y 2≤0，则cos A (cos A －1)≤0，则cos A ≥0，A 的最大值为π2. 当cos A ＝0时，|xAB →＋yAC →|＝4x 2＋y 2≥22(2x ＋y )满足题意，所以此时S △ABC ＝12·AB ·AC＝1；在Rt△ABC 中，取BC 的中点D ，连结PD ， 则PB →＋PC →＝2PD →，即PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →，当A ，P ，D 三点共线时，PA →·PD →＜0，又此时AD ＝12BC ＝52，即有2PA →·PD →＝－2|PA →||PD →|≥－2×⎝⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝－58，即有最小值为－58.。
三年高考两年模拟(浙江版)2017届高考数学一轮复习 第四章 平面向量 4.3 平面向量的数量积
§4.3平面向量的数量积及平面向量的应用Ａ组基础题组1.(2015北京,6,5分)设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( )A.1B.2C.3D.53.(2015杭州一模文,4,5分)已知向量e1,e2的模分别为1,2,它们的夹角为60°,则向量e1-e2与-4e1+e2的夹角为( )A.60°B.120°C.30°D.150°4.(2014大纲全国,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( )A.2B.C.1D.5.(2013浙江,7,5分)设△ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B=AB,且对于边AB上任一点P,恒有·≥·.则( )A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC6.已知O是△ABC所在平面内的定点,动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )A.内心B.外心C.垂心D.重心7.(2015湖北,11,5分)已知向量⊥,||=3,则·= .8.(2015杭州学军中学仿真考文,12,6分)已知向量a、b满足|a|=2,|b|=3,且|2a-b|=,则|2a+b|= ,向量a在向量b方向上的投影为.9.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cosα=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cosβ= .10.若△ABC满足(2-)·(-2)=0,则= .11.(2016超级中学原创预测卷六,5,5分)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等,则a,b的夹角为,|a+b|= .12.(2016山东淄博12月摸底,14,5分)如图,AB是圆O的直径,P是圆弧AB上的点,M、N是AB上的两个三等分点,且AB=6,则·= .13.(2016领航高考冲刺卷一文,15,4分)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-2b|≤2,则b在a上的投影的取值范围是.14.(2016超级中学原创预测卷三,12,6分)如图,在正三角形ABC中,AB=2,P是AB边上一点,则·的最大值是,最小值是.15.(2014湖南,16,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是.16.(2015台州一模,14,4分)若△ABC的外接圆是半径为1的圆O,且∠AOB=120°,则·的取值范围为.17.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|和|a-b|.B组提升题组1.(2015山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=( )A.-a2B.-a2C.a2D.a22.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中的是( )A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b23.(2015浙江宁波十校联考,4)设向量a,b满足:|a|=1,|b|=2,a·(a+b)=0,则a与b的夹角是( )A.30°B.60°C.90°D.120°4.(2015浙江名校(柯桥中学)交流卷三,5)已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,则λ=( )A. B. C. D.5.(2016超级中学原创预测卷五,7,5分)在△ABC中,若(4-)⊥,则sinA的最大值是( )A. B. C. D.6.(2016超级中学原创预测卷六,9,6分)如图,在边长为a的菱形ABCD中,∠BAD=,AC与BD 相交于点O,点E在线段BD上,且BE=ED,若·=-2,则实数a的值为( )A.1B.2C.3D.47.(2014浙江冲刺卷六,10)已知△ABC为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心8.(2015浙江模拟评估测试卷二,10,5分)对于两个不共线的单位向量a,b,有下列四个命题:①(a+b)⊥(a-b);②2<|a+b|+|a-b|≤2;③a与b在a+b方向上的投影相等;④记a在a+b方向上的投影为m,a在a-b方向上的投影为n,则m2+n2=1.其中正确的命题个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个9.(2015嘉兴测试二,11,6分)若向量a与b满足|a|=,|b|=2,(a-b)⊥a.则向量a与b的夹角等于;|a+b|= .10.(2016余姚中学期中,13,4分)已知与的夹角为60°,||=2,||=2,=λ+μ,若λ+μ=2,则||的最小值为.11.(2016领航高考冲刺卷二,14,4分)如图,已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,E为线段BC上一动点,延长AE交圆O于点F,则·的取值范围是.12.(2015浙江冲刺卷五,13)设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=a cosθ-b sinθ,若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=,则向量f(e1,e2)的模为,向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为.13.(2013浙江, 17,4分)设e1,e2为单位向量,非零向量b=x e1+y e2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于.14.(2015金丽衢一联,16,4分)已知△ABC是边长为2的正三角形,EF为△ABC的外接圆O的一条直径,M为△ABC的边上的动点,则·的最大值为.15.(2015浙江,15,6分)已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2=.若空间向量b满足b·e1=2,b·e2=,且对于任意x,y∈R,|b-(x e1+y e2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则x0= ,y0= ,|b|= .Ａ组基础题组1.A 设a与b的夹角为θ.因为a·b=|a|·|b|cosθ=|a|·|b|,所以cosθ=1,即a与b的夹角为0°,故a∥b;而当a∥b时,a与b的夹角为0°或180°,所以a·b=|a|·|b|cosθ=±|a|·|b|,所以“a·b=|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条件,故选A.2.A 由|a+b|=得a2+b2+2a·b=10,①由|a-b|=得a2+b2-2a·b=6,②①-②得4a·b=4,∴a·b=1,故选A.3.B设向量e1-e2与-4e1+e2的夹角为θ.由已知可得(e1-e2)·(-4e1+e2)=-4|e1|2-|e2|2+5e1·e2=-3,又|e1-e2|2=|e1|2+|e2|2-2e1·e2=3,|-4e1+e2|2=16|e1|2+|e2|2-8e1·e2=12,故有cosθ===-,所以θ=120°,故选B.4.B 由题意得⇒-2a2+b2=0,即-2|a|2+|b|2=0,又|a|=1,∴|b|=.故选B.5.D 如图,在△ABC中取BC的中点D,AB的中点E,连结CE,DP0.故·=(-)·(-)=·-·(+)+=·+,同理,·=·+.由·≥·得≥,故DP0⊥AB.由作图知CE∥DP0,所以CE⊥AB,又E为AB的中点,所以AC=BC.选D.6.B 设BC边上的中点为D,则+=2,所以=+λ+,即=λ+,因为·=λ+·=λ+=0,所以⊥,所以点P在BC的垂直平分线上,所以点P的轨迹一定经过△ABC的外心,故选B.7.答案9解析∵⊥,∴·=0,即·(-)=0,∴·==9.8.答案;1解析|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4×22-4a·b+32=13,解得a·b=3.因为|2a+b|2=4a2+4a·b+b2=4×22+4×3+32=37,所以|2a+b|=.向量a在向量b方向上的投影为==1.9.答案解析a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9+2-9×1×1×=8.∵|a|2=(3e1-2e2)2=9+4-12×1×1×=9,∴|a|=3.∵|b|2=(3e1-e2)2=9+1-6×1×1×=8,∴|b|=2,∴cosβ===.10.答案 3解析由(2-)·(-2)=0得2+2-5·=0,即+=.因为=-,所以====9,所以=3.11.答案;解析根据题意得|a|cos<a,b>=|b|cos<a,b>,因为|a|=2,|b|=1,所以cos<a,b>=0,所以a⊥b,则a,b的夹角为,则|a+b|==.12.答案8解析·=(+)·(+)=-=8.13.答案解析由|a-2b|≤2得a2+4b2-4a·b≤4,所以4+4-4a·b≤4,即a·b≥1.又b在a上的投影为=≥,=|b|cos<a,b>≤1,所以b在a上的投影的取值范围是.14.答案2;-解析如图所示,设AB的中点为O,连结CO.当P在线段AO上时,·=||||=||(||+1),容易得到当||=1时,(·)max=2,当点P与点O重合时,(·)min=0.当点P在线段OB上时,·=-||||=-||(1-||),而||(1-||)=||-||2=-+≤,∴当P为线段OB的中点时,(·)min=-,当点P与点O或B重合时,(·)max=0.综上,·的最大值是2,最小值是-.15.答案+1解析解法一:设D(x,y),则由||=1,得(x-3)2+y2=1,从而可设x=3+cosα,y=sinα,α∈R.而++=(x-1,y+),则|++|====,其中sinφ=,cosφ=.显然当sin(α+φ)=1时,|++|有最大值=+1.解法二:++=+++,设a=++=(2,),则|a|=,从而++=a+,则|++|=|a+|≤|a|+||=+1,当a与同向时,|++|有最大值+1.16.答案∪解析因为·=||·||cos∠AOB=1×1×=-,所以|+|====1.·=(-)·(-)=-·-+·(+)=-1+||·|+|·cosθ=-+cosθ,θ为与+的夹角.因为当C 与A(或B)重合时,θ=,所以由-1≤cosθ≤1且cosθ≠,得-≤-+cosθ<0或0<-+cosθ≤,则·的取值范围为∪.17.解析(1)由(2a-3b)·(2a+b)=4|a|2-4a·b-3|b|2=61及|a|=4,|b|=3得a·b=-6,∴cosθ===-.又θ∈[0,π],∴θ=.(2)|a+b|====.同理,|a-b|==.B组提升题组1.D ·=(+)·=·+=a2+a2=a2.2.B |a·b|=|a|·|b|·|cos<a,b>|≤|a|·|b|,故A正确;由向量的运算法则知C,D也正确; 当b=-a≠0时,|a-b|>||a|-|b||,B错误.故选B.3.D 设a与b的夹角是θ,∵|a|=1,|b|=2,a·(a+b)=0,∴a·a+a·b=0,即|a|2+|a||b|cosθ=0,也即12+1×2×cosθ=0,∴cosθ=-,故θ=120°.故选D.4.A ∵||=||=2,<,>=60°,∴·=||·||cos60°=2.∵=-=(1-λ)-,=-=λ-,且·=-,∴[(1-λ)-]·(λ-)=-,即λ||2+(λ2-λ-1)·+(1-λ)||2=,∴4λ+2(λ2-λ-1)+4(1-λ)=,解得λ=.5.C 设角A,B,C的对边分别为a,b,c,由题意得(4-)·(-)=0,∴4+-5·=0,∴4c2+b2-5bccosA=0,∴cosA=≥=(当且仅当b=2c时取等号),又A∈(0,π),∴sinA=≤,故sinA的最大值为.6.B 因为菱形ABCD的边长为a,且∠BAD=,所以BD=a,∠ABD=.因为BE=ED,所以=+,所以·=·=·+=a·acos+(a)2=-a2=-2,得a=2.7.C 依题意有=λ,则·=λ=λ+=×-+.而在△ABC中,由正弦定理得||×sinB=||sinC,则·=0,故选C.8.D 解法一:设=a,=b,=a+b,则四边形ABCD是边长为1的菱形,设其对角线AC,BD交于点O.由AC⊥BD,得(a+b)⊥(a-b),故①正确.由||+||>||=1,得+>1,即|a+b|+|a-b|>2.又≤==,∴|a+b|+|a-b|≤2,故②正确.由菱形ABCD可知a与b在a+b方向上的投影都为||,即③正确.由菱形ABCD可知m=||,n=||,由||2+||2=||2=1,得m2+n2=1.故④正确.故选D.解法二:∵|a|=|b|=1,∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故①正确.设a与b的夹角为θ,因为a与b是不共线向量,所以θ∈(0,π).从而有|a+b|===2cos,|a-b|===2sin,则|a+b|+|a-b|=2cos+2sin=2sin,而0<<,则<+<,从而有<sin≤1,故2<|a+b|+|a-b|≤2,故②正确.∵a·(a+b)=a2+a·b=1+a·b,b·(a+b)=a·b+b2=a·b+1,∴a·(a+b)=b·(a+b).而a在a+b方向上的投影为,b在a+b方向上的投影为,由上知=,故③正确.m2===,n2===,则m2+n2=1,故④正确.故选D.9.答案;解析因为(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=a2-a·b=0,所以a·b=2,所以cos<a,b>===,所以<a,b>=.因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=2+2×2+4=10,所以|a+b|=.10.答案 2解析=(λ+μ)2=λ2+2λμ·+μ2=4λ2+4λμ+12μ2,由λ+μ=2,得λ=2-μ,所以=12μ2-8μ+16=12+12,最小值为12,所以||的最小值为2.11.答案[0,6]解析∵正三角形ABC内接于半径为2的圆O,∴△ABC的边长为2.过点C作CD⊥AB于点D,∵△ABC为正三角形,∴D为AB的中点.·===-3,又=(+)2∈[3,9],∴·∈[0,6].12.答案;解析∵e1·e2=,且e1,e2均为单位向量,∴向量e1与e2的夹角为30°,∴f(e1,e2)=e1cos30°-e2sin30°=e1-e2,∴|f(e1,e2)|===.∵向量e1与e2的夹角为30°,∴向量e2与-e1的夹角为150°,∴f(e2,-e1)=e2cos150°+e1sin150°=e1-e2,∴f(e1,e2)·f(e2,-e1)=·=-e1·e2+=0,故向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为.13.答案 22+y2+xy(x、y不全为0),∴=.解析∵|b|2=x2+y2+2xy e当x=0时,=0.当x≠0时,==≤=4,当=-时取等号.故的最大值为2.14.答案 3解析由题意可得,圆O的半径R=××2=2,且当点M为一边的中点时,OM垂直于此边,此时||min=1.·=(+)·(+)=(-)·(+)=||2-||2=R2-||2≤4-1=3,即·的最大值为3.15.答案1;2;2解析∵e1,e2是单位向量,e1·e2=,∴cos<e1,e2>=,又∵0°≤<e1,e2>≤180°,∴<e1,e2>=60°.不妨把e1,e2放到空间直角坐标系O-xyz的平面xOy中,设e1=(1,0,0),则e2=,再设=b=(m,n,r),由b·e1=2,b·e2=,得m=2,n=,则b=(2,,r).而x e1+y e2是平面xOy上任一向量,由|b-(x e1+y e2)|≥1知点B(2,,r)到平面xOy的距离为1,故可得r=1.则b=(2,,1),∴|b|=2.又由|b-(x e1+y e2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1知x0e1+y0e2=(2,,0),解得x0=1,y0=2.。
(浙江通用)2017版高考数学一轮复习 第四章 平面向量 4.3 平面向量的数量积
【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第四章 平面向量4.3 平面向量的数量积1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 2．平面向量的数量积3.平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.特别地，a ·a ＝|a |2或|a |(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到： (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形．( × ) (4)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．( × )(5)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (6)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )1．已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b |等于( ) A. 6 B. 5 C. 3 D. 2 答案 C解析 由题意可得a·b ＝|b |cos 30°＝32|b |,4a 2－4a·b ＋b 2＝1，即4－23|b |＋b 2＝1，由此求得|b |＝3，故选C.2．(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2 答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.3．已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.答案 3解析 ∵|a |2＝a ·a ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－2e 2)＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9－12×1×1×13＋4＝9.∴|a |＝3.4．已知O 是△ABC 外心，若AO →＝25AB →＋15AC →，则cos∠BAC ＝________.答案64解析 ∵O 为三角形的外心，∴AO →·AB →＝12AB →2，AO →·AC →＝12AC →2，由AO →·AB →＝25AB →2＋15AC →·AB →，整理得AB →2＝2AC →·AB →，同理AO →·AC →＝25AB →·AC →＋15AC →2，整理得AC →2＝43AB →·AC →，∴cos∠BAC ＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝12×43＝64. 5．(教材改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________． 答案 －2解析由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.题型一 平面向量数量积的运算例1 (1)(2015·四川)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( ) A ．20 B. 15 C ．9 D ．6(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC→的最大值为________． 答案 (1)C (2)1 1 解析 (1)AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9， 故选C.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.思维升华 (1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →＝________.(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 (1)22 (2)2解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22. (2)由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →) ＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.题型二 用数量积求向量的模、夹角 命题点1 求向量的模例2 (1)已知向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，则|a ＋b |等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2(2)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 答案 (1)C (2)7＋1解析 (1)因为向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，所以|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2cos π3＋1＝ 3.(2)设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又O A →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝x －2＋y ＋32.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为－2＋＋32＝7，故x －2＋y ＋32的最大值为7＋1.命题点2 求向量的夹角例3 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．答案 (1)A (2)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ， 即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0，∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0，∴cos θ＝22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0， 即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0， ∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3. 思维升华 (1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．(1)已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝23，若|a ＋b |＝33，则向量a ，b 夹角的余弦值为________．(2)已知O 为△ABC 的外心，|AB →|＝16，|AC →|＝102，若AO →＝xAB →＋yAC →，且32x ＋25y ＝25，则|OA →|等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14答案 (1)36(2)B 解析 (1)由已知有|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝32＋2a·b ＋(23)2＝(33)2，∴a·b ＝3， ∴cos θ＝a·b |a||b |＝33×23＝36.(2)根据O 为△ABC 的外心，以及向量数量积的几何意义可得AO →·AB →＝12×16×16＝16×8，同理可得AO →·AC →＝12×102×102＝102×5 2.又因为AO →·AO →＝xAB →·AO →＋yAC →·AO →＝x ×16×8＋y ×102×52＝4(32x ＋25y )＝100，故选B.题型三 平面向量与三角函数例4 (2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( ) A ．－43B ．－45C.45D.34答案 A解析 由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则tan α＜0，解得tan α＝－43，故选A.5．向量夹角范围不清致误典例 (14分)若两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2所成的角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2所成的角为钝角，求实数t 的取值范围．易错分析 两个向量所成角的范围是[0，π]，两个向量所成的角为钝角，容易误认为所成角π为钝角，导致所求的结果范围扩大． 规范解答解 设向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为θ，由θ为钝角，知cos θ＜0，故 (2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7＜0， 解得－7＜t ＜－12.[6分]再设向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向， 则2t e 1＋7e 2＝k (e 1＋t e 2)(k ＜0)，[8分]从而⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝k ，7＝tk ，且k ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－142，k ＝－14，即当t ＝－142时，两向量所成的角为π.[12分] 所以t 的取值范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．[14分] 温馨提醒 (1)两个非零向量的夹角范围为[0，π]，解题时要注意挖掘题中隐含条件． (2)利用数量积的符号判断两向量的夹角取值范围时，应该注意向量夹角的取值范围，不要忽视两向量共线的情况．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉∈(π2，π]；若a ·b ＞0，则〈a ，b 〉∈[0，π2)．[方法与技巧]1．计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． [失误与防范]1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( ) A ．22＋ 3 B ．2 3 C ．4 D ．12答案 B解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |co s 60°＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3.2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3 答案 B解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ，a ·b ＝12＋32×32＋m 2×co s π6，∴3＋3m ＝12＋32×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.3．设向量e 1，e 2是夹角为2π3的单位向量，若a ＝3e 1，b ＝e 1－e 2，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.32 B.12 C ．－12D ．1答案 A解析 ∵向量e 1，e 2是夹角为2π3的单位向量，∴|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝1×1×cos 2π3＝－12.又|a |＝|3e 1|＝3，a·b ＝3e 1·(e 1－e 2)＝3e 21－3e 1·e 2＝3－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝92， ∴向量b 在a 方向上的投影为b·a |a |＝923＝32.故选A.4.在△ABC 中，如图，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →等于( )A.89B.109 C.259 D.269答案 B解析 若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0.E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC→＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109.故选B. 5．设向量a ，b 满足|a |＝1，a 与a －b 的夹角为150°，则|b |的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 D解析 如图，令AB →＝a ，AD →＝b ，则∠ABD ＝150°，DB →＝a －b .点D 可以是射线BE 上(点B 除外)的任意一点，而|a |＝1，所以|b |>1，即|b |∈(1，＋∞)．故选D.6．已知六边形ABCDEF 为正六边形，若向量AB →＝(3，－1)，则|DC →－DE →|＝________；EC →＋FE →＝________.(用坐标表示) 答案 2 3 (23，－2)解析 由AB →＝(3，－1)知|AB →|＝2，而|DC →－DE →|＝|EC →|.由正六边形的性质知，|EC →|＝3|AB →|＝23，故|DC →－DE →|＝|EC →|＝2 3.因为EC →＋FE →＝FC →，AB →＝(3，－1)，且易知FC →＝2AB →，所以FC →＝(23，－2)，即EC →＋FE →＝(23，－2)．7.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案132解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|co s 60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12(AB→＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，所以AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132. 8．在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)． 答案 垂心解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线． 同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心． 9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. 又∵|a |＝4，|b |＝3， ∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3， ∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得asin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，故向量BA →在BC →方向上的投影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，所以AC 为圆直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，所以x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.12．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，点P 在线段BC 上运动，且满足CP →＝λCB →，当PA →·PC →取到最小值时，λ的值为( )A.14B.15C.16D.18 答案 D解析 如图所示，建立平面直角坐标系．不妨设BC ＝4，P (x,0) (0≤x ≤4)，则A (3，3)，C (4,0)，∴PA →·PC →＝(3－x ，3)·(4－x,0)＝(3－x )(4－x )＝x 2－7x ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722－14. 当x ＝72时，|CP →|＝12，∴CP →＝18CB →，λ＝18.13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是( )A. 2 B ．2 C ．0 D ．1答案 A解析 依题意得AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(AF →－AB →)＝AB →·AF →－AB →2＋BE →·AF →－BE →·AB →＝2－2＋1×2－0＝2，故选A.14．已知△ABC 中，BC →·CA →＝CA →·AB →，|BA →＋BC →|＝2，且B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，则BA →·BC →的取值范围是____________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，23解析 因为BC →·CA →＝CA →·AB →，所以CA →·(BC →－AB →)＝(BA →－BC →)·(BC →＋BA →)＝0，即BA →2＝BC →2，可得AB ＝BC .由|BA →＋BC →|＝2，可得BA →2＋2BA →·BC →＋BC →2＝4，设AB ＝BC ＝a ，则有2a 2＋2a 2cos B ＝4⇒a 2＝21＋cos B .因为B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，可得cos B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，所以BA →·BC →＝a 2cos B ＝2cos B 1＋cos B ＝2－21＋cos B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，23，故答案为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，23. 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足4cos C ＋cos 2C ＝4cos C ·cos 2C2.(1)求角C 的大小；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪CA →－12CB →＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由4cos C ＋cos 2C ＝4cos C ·cos 2C2，得4cos C ＋2cos 2C －1＝2cos C (1＋cos C )， 解得cos C ＝12，由0<C <π，得C ＝π3.(2)取BC 的中点D ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪CA →－12CB →＝2＝|DA →|，在△ADC 中，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ，即4＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－ab2≥2a 2b 24－ab 2＝ab2，∴ab ≤8，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号， 此时S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ，其最大值为2 3.。
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基础练习31--------平面向量的数量积
1、在ABC ∆中，若()()
0=+⋅-BC CA BC BA ，则ABC ∆一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
2、已知,1||||==b a 且a , b 的夹角为 90,,4,32b a k d b a c -=+=又⊥，求k （ ） A ．-6 B ．6 C ．3 D ．-3
3、设是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是（ ） A.的方向相反与λ- B.||||≥-λ C.与2λ D.⋅=-||||λλ
4、若向量a 与b 的夹角为120° ，且||1,||2,a b c a b ==
=+，则有 （ ） A ． // B ． // C ． b c ⊥ D ． c a ⊥
5、设向量, b 满足:1||=a , 2||=b , 0)(=+⋅b a a , 则与b 的夹角是 （ ）
A ． 30 B. 60 C. 90 D.
120 6、已知在ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB
CD r AB sAC ==+，，则r s +的值是（ ） Ａ．23 Ｂ．43 Ｃ．3- D.0
7、下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A ．①
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
8、非零向量a ，b 的夹角为2
π，则a b +与a b -的大小关系是 9、已知向量a , b 的夹角为60, 且||2a =, ||1b =,求⋅= ||a b += 10、向量b a ,
满足12==a ，()
34-=+⋅b a a ，则向量b a ,的夹角 大小为 .
11、判断以下命题的正误
（1）若b a ,是单位向量，则b a =或b a -=
（2）若b a ,是单位向量，则)(b a +⊥)(b a -
（3）对于实数λ，向量a ，则||||||a a ⋅=λλ （4）对于向量b a ,，||||||b a b a ⋅=⋅
（5）若向量,同向，且b a b a >=则|,|||
- 2 - A
B C D E
（6）若)3,2(),2,1(== 则 b a ,可作为基底
（7）),(),,(2211y x b y x a ==,b a //,则一定2
1
21y y x x =
（8）若,0=⋅a λ则=或0=λ （9）若,0=⋅b a 则=或=
（10）若,22=则b a =或b a -= （11）若,=⋅λ则0=a 或0=λ
(12)若,⋅=⋅则= (13)若=或=，则0=⋅b a
(14)三角形ABC 中，BC 和AB 夹角是角B
12、已知,5||,4||==b a 求以下情况下b a ⋅的值（1）b a // （2）b a ⊥(3) 150夹角
13、已知,7|,4||==b （1）14-=⋅，求夹角
（2）10||=+，求 的夹角与b a 的余弦
14、在A B C ∆中，2||=AC ,1||=AB , 60=∠BAC ,D 是三等分点，E 是中点，以AC AB ,为基底，表示DE ,AD 并求DE AD ⋅。