交轨法求轨迹方程
高中数学轨迹方程求轨迹方程的的基本方法关点法参数法交轨法向量法新人教版选修
轨 迹 方 程求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5 ∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ②由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ◎◎双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线1)1(412++-=x y 的焦点，两点A （-3，2）、B （1，2）都在该双曲线上．（1）求点1F 的坐标； （2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．【解析】（1）由1)1(412++-=x y 得)1(4)1(2--=+y x ，焦点1F （-1，0）． （2）因为A 、B 在双曲线上，所以||||||||||||2121BF BF AF AF -=-，|||22||||22|22BF AF -=-．①若||22||2222BF AF -=-，则||||22BF AF =，点2F 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，且当y ＝0时，1F 与2F 重合；当y ＝4时，A 、B 均在双曲线的虚轴上． 故此时2F 的轨迹方程为x ＝-1（y ≠0，y ≠4）．②若22||||2222-=-BF AF ，则24||||22=+BF AF ，此时，2F 的轨迹是以A 、B 为焦点，22=a ，2=c ，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为14)2(8)1(22=-++y x ，（y ≠0，y ≠4） 故2F 的轨迹是直线x ＝-1或椭圆4)2(8)1(22-++y x 1=，除去两点（-1，0）、（-1，4） 评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
求轨迹方程的六种方法
中学数学解题方法讨论-------求轨迹方程的方法道县五中 周昌雪内容提要：求轨迹方程是每年高考的必考内容且分值较高、难度较大，所以能否正确求轨迹方程对高考的成败至关重要。
本篇论文归纳了六种常用的求轨迹方程的方法。
曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程；直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x ,y ，得方程，即为所求动点的轨迹方程，用直译法求解；若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求之；当所求轨迹上的动点P 随着曲线f(x,y)=0而变动时，且Q 的坐标可且动点P 的坐标(x 0，y 0)代入动点Q 的曲线方程即得曲线P 的轨迹方程，这就是所谓的轨迹代入法，即相关点法；若动点坐标满足的等量关系不易直接找到，可选取与动点坐标有密切关系的量（如角、斜率k 、比值等）作参数t ，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t 即得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方程的方法叫参数法；如果动点是某两条动曲线的交点，则可联立两动曲线方程，消去方程中的有关参数，即为所求动点的轨迹方程，“交轨法”实际上也属于参数法，但它不拘于求出动点的坐标后再消参。
曲线与方程包括求曲线的方程和由方程研究曲线的性质两个方面的内容，每年必考。
求曲线方程的一般思路是：在平面直角分会坐标系中找出动点P （x,y ）的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式(),0f x y =，即为曲线方程，其核心步骤是建系、设点、列式、代入、化简、检验。
检验即为由曲线上的点所具备的条件确定x,y 的范围。
、交轨法等求之。
求曲线方程有两类基本题型:其一是曲线形状明确且便于使用标准形式，此时用待定系数法求方程；另一类是曲线形状不明确，或不便用标准形式表示，这时常用直译法、定义法、思恋法、参数法由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式求解，这时要加强等价转化思想的训练。
求轨迹方程-相关点法、交轨法
求曲线方程方法五：交轨法
例：见教材81页，11题 程序： [1]建立适当的坐标系，设出动曲线方程（含参数方程） [2]联立两动曲线方程，消去参数（或由两条动曲线方 程求出交点坐标，再消去参数）
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练习：
直线L1 ，L2分别绕A（a ，0）、B（- a ，0）旋转， 它们再 y 轴的截距分别为 b1 ，b2 ， b1 b2 = a2 ， 求直线L1 ，L2交点P 的轨迹。 答：x2 + y2 = a2
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求曲线方程的方法回顾： [1]直接法五步 [2]待定系数法 [3]定义法 下面还有三种方法 [4]相关点法 [5]交轨法 [6]参数法（留待以后学）
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概念区分： [1]“求轨迹方程”是指求出动 点坐标所满足的方程即可。 [2]“求轨迹”不仅要求出动点 坐标所满足的方程，还要指出 方程所表示的曲线是何种曲线、 在什么位置
P
M
O
AX
2y = y0 + 0
- [3]所以，x0 = 2x 6 ，y0 = 2y ，代入方程（1）中，得
- （ 2x 6 ）2 + （2y）2 = 9 ，既，（x - 6）2 + y2
=9/4
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分析：
在这个题目中，有两个动点P、 M，其中P为主动点，M为从动点； 主动点P在已知曲线上运动。也 就是说这种问题的辨别特征是：
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求轨迹方程方法[四]相关点法
例1 已知点A（6，0），点P是圆 x2 + y2 =9上的动点，
求线段PA的中点M的轨迹方程
Y
解：[1]设P、M点的坐标分别是P
（x0，y0）、M（x，y），所以
高中数学求轨迹方程的六种常用技法
求轨迹方程的六种常用技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。
学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。
本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。
1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。
解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -，设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3AM y k x x =≠-+，直线BM 的斜率(3)3AM y k x x =≠- 由已知有4(3)339y y x x x •=≠±+- 化简，整理得点M 的轨迹方程为221(3)94x y x -=≠± 练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。
2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
交轨法求轨迹方程 微课
例如：如果两条曲线的方程是 f1x, y 0 和 f2 x, y 0 ，
它们的交点是
P（x0
,
y
）
0
．
证明：f1(x, y) f2 (x, y) 0的曲线也经过P点( R),并求
经过两条曲线 x2 y 2 3x y 0 和 3x2 3y 2 y 0
x2 y2 3x y 0 ① 3x2 3y2 y 0 ②
①X3-②得 9x 4 y 0
所以经过它们交点的直线方程为 9x 4y 0
再例如：(2003年高考第22题变式)已知常数a>0,在矩形ABCD
中，AB=4,BC=4a,O为AB中点，点E,F,G分别在BC、CD、DA上移动， 且 BE CF DG ,P为GE与OF的交点,求点P轨迹方程。
的交点的直线方程．
解: P（x0 , y0）是两曲线的交点，
f1 (x0 , y0 ) 0且f 2 (x0 , y0 ) 0
f1 (x0 , y0 ) f2 (x0 , y0 ) 0
即方程 f1(x, y) f2 (x, y) 0 的曲线经过P
点．
令
f1x, y
的轨迹方程.
参考答案
x2 y2 1 a2 b2
反思感悟
要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问 题通常通过解方程组得出交点（含参数） 的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程 （若能直接消去两方程的参数，也可直接 消去参数得到轨迹方程），该法经常与参 数法并用。
求轨迹方程的交轨法，我就介绍到这里，谢 谢你的观看 .
直线GE的方程为 -a(2k-1)x+y-2a=0…………②
从①②消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程 2a2x2+y2-2ay=0 (去掉（0，0））
交轨法求轨迹方程
⑵ 若直线 与曲线Ｃ相交于两个不同的点Ａ、Ｂ，求曲线Ｃ的离心率的范围．
解: (1)（用交轨法）
过Ａ以 为方向向量的直线方程为： ．．．．．．．①
过Ｂ以 为方向向量的直线方程为： ．．．．．．②
由①②消去 得： ．Ｐ的轨迹为双曲线．．．．．．．．６分
(2)联立方程
一、知识概要：
在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法经常与参数法并用。
二、基本训练：
1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足 ，其中 ，且 ，则点C的轨迹方程为.
三、例题：
例1、（2006年深圳一模）过抛物线y2=4px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦OA和OB。
求AB中点P的轨迹方程。
例2、过点M(-2, 0)作直线L交双曲线x －y = 1于A、B两点，以OA、OB为邻边作
平行四边形OAPB。求动点P的轨迹方程。
例3、已知常数 ，经过定点 以 为方向向量的直线与经过定点 ，且以 为方向向量的直线相交于点Ｐ，其中 ．
(2)设点R形成的曲线为C，直线l y=k(x+ a)与
曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值
8．如图11-5-1，已知圆 ： 点 ， 为圆 上任意一点，直线 与 垂直，并交圆 于另一点 .
（1）求证： ；
（2）若点 在线段 上，且 ，求点 的轨迹方程.
3*. 过抛物线y2= 4p x(p> 0 )的顶点作互相垂直的
两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
《求动点轨迹方程的五种方法》
求动点轨迹方程的五种方法一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．例1 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．解：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有 λ=MQ MN，即 λ=-MQONMO 22， λ=+--+2222)2(1y x y x ．整理得0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ，这就是动点M 的轨迹方程．若1=λ，方程化为45=x ，它表示过点)0,45(和x 轴垂直的一条直线； 若λ≠1，方程化为2222222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（，它表示以)0,12(22-λλ为圆心，13122-+λλ为半径的圆．二、代入法若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．例2 已知抛物线12+=x y ，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P在线段AB 上，且有BP :P A =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．解：设),(),,(11y x B y x P ，由题设，P 分线段AB 的比2==PBAP λ， ∴ .2121,212311++=++=y y x x 解得2123,232311-=-=y y x x . 又点B 在抛物线12+=x y 上，其坐标适合抛物线方程，∴ .1)2323()2123(2+-=-x y 整理得点P 的轨迹方程为),31(32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线．三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．例3 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（A ）012122=+-x y（B ）012122=-+x y（C ）082=+x y（D ）082=-x y解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．例4 一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为（A ）抛物线 （B ）圆（C ）双曲线的一支 （D ）椭圆解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支，选（C ）．四、参数法若动点P （x ，y ）的坐标x 与y 之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x 、y 关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．例5 设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ．（A ）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且12-=t t OQ OP ，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解：（1）设所求椭圆方程为).0(12222＞＞b a b x a y =+ 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t ba b a解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a所以椭圆方程为222222)1()1(t y t x t t =-+-．(2)设点),,(),,(11y x Q y x P 解方程组⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 由12-=t t OQ OP 和1x x OQ OP =得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222t y t x t y t x 或 其中t ＞1．消去t ，得点P 轨迹方程为)22(222>=x y x 和)22(222-<-=x y x ． 其轨迹为抛物线y x 222=在直线22=x 右侧的部分和抛物线y x 222-=在直线22-=x 在侧的部分．五、交轨法 一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．例6 已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y =x ，设长为2的线段AB 在直线λ上移动，求直线P A 和QB 交点M 的轨迹方程．解：P A 和QB 的交点M （x ，y ）随A 、B 的移动而变化，故可设)1,1(),,(++t t B t t A ，则P A ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t ，得.082222=+-+-y x y x当t =－2，或t =－1时，P A 与QB 的交点坐标也满足上式，所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．。
求点的轨迹方程的六种常见方法讲解
变式：外切改为相切呢？
相关点法
• 如果动点P（x,y）依赖于已知曲线上另一动点Q （u,v）(这种点叫相关动点)而运动，而Q点的坐标u、 v可以用动点P的坐标表示，则可利用点Q的轨迹方程， 间接地求得P点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法 叫做变量代换法或相关点法.此类问题的难度属中档 水平，可能在选择题或填空题出现，也可能在解答 题中出现，属于小题中较难的题目但属于大题中较 易的题目。
整理得
x2 1
(y a)2 a2
1.
2
当a2 1 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点 2
当a2 1 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长. 2
当a2 1 时，点P到椭圆两个焦点( 1 a2 , a)和( 1 a2 , a)的距离之和为定值 2.
• 以下举一个例子说明：
6.几何法
【例8】已知圆的方程为x2 y2 6x 6y 14 0，求过点A(3, 5)的直线 交圆的弦的中点的轨迹.
解：圆的方程为(x 3)2 ( y 3)2 4，则圆心C的坐标为(3,3).
设过点A的直线交圆于P、Q两点，M (x, y)是PQ的中点，连CM，则CM PQ，故有：
五类参数：点坐标，斜率，比例，角度，长度等
且 BE CF DG .P为GE与OF的交点（如图）. BC CD DA
问：是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在， 求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
y
DF
C
E P
G
A
O
Bx
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两点，
求轨迹方程的方法
求轨迹方程的方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法．2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程．3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g （t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0．4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程．5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单．6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用．（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．2. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解．（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形．3．求轨迹方程还有整体法等其他方法．。
交轨法求轨迹方程例题
交轨法求轨迹方程例题
交轨法求轨迹方程例题是一种常用的数学解决方案，它能够使用计算机对轨迹方程进行计算。
在轨迹跟踪系统中，它可以用来解决许多关于跟踪物体的问题。
交轨法求轨迹方程例题的原理是将轨迹分解为一系列折线段，然后通过解折线段上的交点，求出轨迹方程。
下面就以一个具体的例子来说明交轨法求轨迹方程：假设我们要求轨迹方程y=2x^2 + 3x + 4。
首先，我们将轨迹分解为4段折线，即：
第一段折线：0≤x≤0.5，y=2x^2 + 3x + 4
第二段折线：0.5≤x≤1，y=3x-1
第三段折线：1≤x≤2，y=2x+2
第四段折线：2≤x≤3，y=4x-4
接下来，我们用交轨法来求解轨迹方程：
首先，我们需要求出第一段折线和第二段折线之间的交点，即x=0.5，y=2.5。
接着，我们需要求出第二段折线和第三段折线之间的交点，即x=1，y=3。
然后，我们需要求出第三段折线和第四段折线之间的交点，即x=2，y=6。
最后，我们将上述结果代入轨迹方程，得出：y=2x^2 + 3x + 4。
以上就是交轨法求轨迹方程的例题的详细说明。
通过交轨法求轨迹方程，不仅可以简化轨迹跟踪的工作，而且可以有效节省时间。
它也是很多轨迹跟踪系统中解决跟踪问题的重要方法。
求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的常用方法知识梳理：（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律符合我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义尚难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
选修里面有专门的参数方程专题。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
交轨法求轨迹方程
杨忠 盘 、 、 、 ~ 、 ~ 、 ~ 、
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交 轨 法 即 轨 迹 交 点法 之 简 称 它 是平 面 几 何 中常 用 的 作 图 方法 之 一 我 们 借 用 交 轨 法 的 基 本 思 想 在平 面 解 析 几 何里 求 一 些 第三 类型 轨 迹 问题 的轨 迹 方程 颇 为 见 效 交 轨法 的 基 本 思 想 是 什 么 呢 ? 我 们知 道 一 个 动点 在 平 面 上 生 成 的 轨 迹 是 该 动点满 足 某 些 条 件的 点的集 合 我 们 把 动点 所 满 足 的条 件 分 为 条 件 甲和 条 件 乙 首 先取 条 件 甲 放 弃 条件 乙 引 进 参数 求 出 动 点 应满 足 甲条 件 的 曲线 族 方 程 f ( x y r ) = o ( t 为 参数 ) 再 取 条 件 乙 放弃 条件 甲 引 同 一 参数 文 ; 求 出 动 点 应 满 足 条 件 乙 的 曲线 族 方程 甲 (二 夕 t ) 二 o ( t 为 参数 ) 显 然 动 点 是 两 曲线 族 集合 内 的 点 亦 即 两 个 曲线 族 的 交 点 ( 因 两 曲线 族 用 同 一 参数 若动 点 的轨 迹 存 在 则 两 曲线 族 必 相 交 ) 动 点 即 是 两 曲 线 族 分 别 叫 做动 点 的 第 一 轨 迹 和 第 二 轨 迹 两 个轨 迹 组 成的 方程 组 f (x 刀 t ) = o ( t 为 参数 ) 甲( x 从 t ) 一 。 就 是所 求 动 点轨 迹 的 参 数方程 消 去 参数便 得轨 迹 的普 通 方 程 F ( 二 刀 ) 二 0 我们 把 这 种求 动点 轨 迹 的 方 法 叫 做 交轨 法 从 广 义 上 讲 交 轨 法 亦 即参 数 法 但 二 者 又 不 完全 等 同 交 轨 法 是 明 显 地 将动 点置 于 具有 同 ; 一 参 数 的 两 曲 线 族 的 交 点 上 而参 数 法 不 一定 就 是交 轨 法 既 使 用 了 交 轨 法 的 思 想 也 是 比 较 隐 蔽 的 不 易 被 中学 生 所 觉 察 本 文将 把 交 轨 法 与 参 数 法 有 机 地结合 起来 求动点 的 轨 迹 方程 ’ “ 。 r “ 例 1 由 圆 外一 定 点 Q ( b ) 向圆 x + 夕 ~ B 作 割 线 交 圆周 于 A 求弦 A B 中 点的 轨 迹 解 法 一 设 割 线的 斜 率 为 k ( 参 数 ) 其 方
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等，圆锥曲线标准方程的推导。
1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，求点P 的轨迹。
26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。
运用交轨法探求轨迹方程问题
果如下表所示.类㊀别四㊀人㊀的㊀位㊀置㊀情㊀况以ａ为排头ａｂｃｄａｂｄｃａｃｂｄａｃｄｂａｄｂｃａｄｃｂ以ｂ为排头ｂａｃｄｂａｄｃｂｃａｄｂｃｄａｂｄａｃｂｄｃａ以ｃ为排头ｃａｂｄｃａｄｂｃｂａｄｃｂｄａｃｄａｂｃｄｂａ以ｄ为排头ｄａｂｃｄａｃｂｄｂａｃｄｂｃａｄｃａｂｄｃｂａ㊀㊀由上表可知ꎬ四人随机排成一列ꎬ共有２４种等可能的结果ꎬ即ｎ＝２４ꎬ两位女同学相邻的情况有１２种等可能的结果ꎬ即ｍ＝１２.根据古典概型计算公式可得两位女同学相邻的概率为Ｐ＝１２２４＝１２.故选Ｄ.点评㊀在求解古典概型的概率时ꎬ经常先将总的基本事件用列表法表示ꎬ使我们更直接㊁更精确地找到某个事件所包含的基本事件的个数ꎬ从而很轻松地利用古典概型计算公式求出相应的概率.解法四(排列组合法)㊀由于是四人随机排成一列ꎬ与顺序有关系ꎬ所以是排列问题.用捆绑法将两个女生捆绑在一起作为一个人ꎬ有Ａ３３ Ａ２２＝１２种排法ꎬ所有４个的全排列有Ａ４４＝２４种排法ꎬ根据古典概型计算公式可得两位女同学相邻的概率为Ｐ＝１２２４＝１２.故选Ｄ.点评㊀本解法是用排列的知识求出ｎ＝２４ꎬｍ＝１２.有一些题目既要用到排列知识ꎬ又要用到组合知识ꎬ但要注意两者的区别.㊀㊀参考文献:[１]张天宇.一题多变吃透古典概型[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１７(０６):６９.[责任编辑:杨惠民]运用交轨法探求轨迹方程问题武增明(云南省玉溪第一中学㊀６５３１００)摘㊀要:运用交轨法探求轨迹方程问题的关键是参数的选取.本文主要对如何选取参数及选取参数的依据是什么作一些归纳㊁总结㊁探究.关键词:交轨法ꎻ轨迹方程ꎻ选取参数ꎻ消去参数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３４－００４０－０３收稿日期:２０１９－０９－０５作者简介:武增明(１９６５.５－)ꎬ男ꎬ云南省玉溪人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学及其研究.㊀㊀如果一个动点是两条动曲线的交点ꎬ那么选取参数并把参数看成已知数ꎬ写出这两条动曲线的方程ꎬ再联立两动曲线的方程ꎬ消去参数ꎬ或者动曲线的方程与定曲线的方程联立ꎬ消去ｘ或ｙꎬ转化为一元二次方程ꎬ再消去参数ꎬ便得到动点的轨迹方程.这种求动点的轨迹方程的方法ꎬ我们称之为交轨法.运用交轨法探求轨迹方程问题ꎬ主要是把选取的参数看成已知数ꎬ写出两条动曲线方程ꎬ关键是参数的选取ꎬ困难是参数的消去.怎么把选取的参数看成已知数ꎬ写出两条动曲线方程?如何选取参数?怎样消去参数?在这里ꎬ笔者重点对如何选取参数及选取参数的思维途径有哪些作一些归纳㊁总结㊁探究ꎬ以飨读者.㊀㊀一㊁选取动点(ｘ０ꎬｙ０)为参数如果动点(ｘ０ꎬｙ０)影响动点Ｐ(ｘꎬｙ)的轨迹ꎬ起制约作用ꎬ那么就选取动点(ｘ０ꎬｙ０)为参数.例１㊀已知圆Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝４与ｘ轴交于ＡꎬＢ两点ꎬ点Ｍ为圆Ｏ上异于ＡꎬＢ的任意一点ꎬ圆Ｏ在点Ｍ处的切线与圆Ｏ在点ＡꎬＢ处的切线分别交于点ＣꎬＤꎬ直线ＡＤ和ＢＣ交于点Ｐꎬ设Ｐ点的轨迹为曲线Ｅꎬ求曲线Ｅ的方程.解㊀设Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则把ｘ０和ｙ０看成已知数ꎬ可得在点Ｍ处的切线方程为ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝４ꎬ于是Ｃ(－２ꎬ４＋２ｘ０ｙ０)ꎬＤ(２ꎬ４－２ｘ０ｙ０)ꎬ如图１.０４故直线ＡＤ的方程为ｙ＝４－２ｘ０４ｙ０(ｘ＋２)ꎬ直线ＢＣ的方程为ｙ＝４＋２ｘ０－４ｙ０(ｘ－２).因为动点Ｐ是动直线ＡＤ和ＢＣ的交点ꎬ所以由ｙ＝２－ｘ０２ｙ０(ｘ＋２)ꎬｙ＝２＋ｘ０－２ｙ０(ｘ－２)ꎬìîíïïïï消去ｘ０ꎬｙ０即得所求.由上述两式相乘ꎬ得ｙ２＝４－ｘ２０－４ｙ２０(ｘ２－４)ꎬ又ｘ２０＋ｙ２０＝４ꎬ所以ｙ２＝ｙ２０－４ｙ２０(ｘ２－４)ꎬ即ｘ２４＋ｙ２＝１(ｙʂ０)ꎬ从而Ｅ的方程为ｘ２４＋ｙ２＝１(ｙʂ０).例２㊀(２０１２年高考辽宁卷 文２０)如图２ꎬ动圆Ｃ１:ｘ２＋ｙ２＝ｔ２ꎬ１<ｔ<３ꎬ与椭圆Ｃ２:ｘ２９＋ｙ２＝１相交于ＡꎬＢꎬＣꎬＤ四点ꎬ点Ａ１ꎬＡ２分别为Ｃ２的左㊁右顶点.(１)当ｔ为何值时ꎬ矩形ＡＢＣＤ的面积取得最大值?并求出其最大面积ꎻ(２)求直线ＡＡ１与直线Ａ２Ｂ交点Ｍ的轨迹方程.解㊀(１)设Ａ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则矩形ＡＢＣＤ的面积Ｓ＝４｜ｘ０｜｜ｙ０｜.由ｘ２０９＋ｙ２０＝１ꎬ得ｙ２０＝１－ｘ２０９ꎬ从而ｘ２０ｙ２０＝ｘ２０(１－ｘ２０９)＝－１９(ｘ２０－９２)２＋９４.当ｘ２０＝９２ꎬｙ２０＝１２时ꎬＳｍａｘ＝６.从而ｔ＝５时ꎬ矩形ＡＢＣＤ的面积最大ꎬ最大面积为６.(２)由Ａ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬＢ(ｘ０ꎬ－ｙ０)ꎬＡ１(－３ꎬ０)ꎬＡ２(３ꎬ０)知ꎬ直线ＡＡ１的方程为ｙ＝ｙ０ｘ０＋３(ｘ＋３)ꎬ①直线Ａ２Ｂ的方程为ｙ＝－ｙ０ｘ０－３(ｘ－３).㊀②由①②ꎬ得ｙ２＝－ｙ２０ｘ２０－９(ｘ２－９).㊀③又点Ａ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆Ｃ上ꎬ故ｙ２０＝１－ｘ２０９.㊀④将④代入③ꎬ得ｘ２９－ｙ２＝１(ｘ<－３ꎬｙ<０).因此点Ｍ的轨迹方程为ｘ２９－ｙ２＝１(ｘ<－３ꎬｙ<０).㊀㊀二㊁选取动直线的斜率ｋ为参数如果动直线的斜率ｋ影响动点Ｐ(ｘꎬｙ)的轨迹ꎬ起制约作用ꎬ那么就选取动直线的斜率ｋ为参数.例３㊀(２０１４年高考广东卷 文２０理２０)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的一个焦点为(５ꎬ０)ꎬ离心率为５３.(１)求椭圆Ｃ的标准方程ꎻ(２)若动点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为椭圆Ｃ外一点ꎬ且点Ｐ到椭圆Ｃ的两条切线相互垂直ꎬ求点Ｐ的轨迹方程.解㊀(１)椭圆Ｃ的标准方程为ｘ２９＋ｙ２４＝１(过程略).(２)设两切线为ｌ１ꎬｌ２ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０).当ｌ１ʅｘ轴或ｌ１ʊｙ轴时ꎬ对应ｌ２ʊｙ轴或ｌ２ʅｘ轴ꎬ可知Ｐ(ʃ３ꎬʃ２)ꎬ当ｌ１与ｘ轴不垂直且不平行时ꎬｘ０ʂ３ꎬ设ｌ１的斜率为ｋꎬ则ｋʂ０ꎬｌ２的斜率为－１ｋꎬｌ１的方程为ｙ－ｙ０＝ｋ(ｘ－ｘ０)ꎬ联立ｘ２９＋ｙ２４＝１ꎬ得(９ｋ２＋４)ｘ２＋１８(ｙ０－ｋｘ０)ｋｘ＋９(ｙ０－ｋｘ０)２－３６＝０ꎬ因为直线与椭圆相切ꎬ所以Δ＝０ꎬ得９(ｙ０－ｋｘ０)２ｋ２－(９ｋ２＋４)[(ｙ０－ｋｘ０)２－４]＝０ꎬʑ－３６ｋ２＋４[(ｙ０－ｋｘ０)２－４]＝０ꎬʑ(ｘ２０－９)ｋ２－２ｘ０ｙ０ｋ＋ｙ２０－４＝０ꎬ所以ｋ是方程(ｘ２０－９)ｋ２－２ｘ０ｙ０ｋ＋ｙ２０－４＝０的一个根ꎬ同理－１ｋ是方程(ｘ２０－９)ｋ２－２ｘ０ｙ０ｋ＋ｙ２０－４＝０的另一个根ꎬʑｋ (－１ｋ)＝ｙ２０－４ｘ２０－９ꎬ得ｘ２０＋ｙ２０＝１３ꎬ其中ｘ０ʂʃ３ꎬ所以点Ｐ的轨迹方程为ｘ２＋ｙ２＝１３(ｘʂʃ３)ꎬ因为Ｐ(ʃ３ꎬʃ２)满足上式.综上知ꎬ点Ｐ的轨迹方程为ｘ２＋ｙ２＝１３.评注㊀本题第二问ꎬ抓住相切ꎬ则判别式等于零是关键.㊀㊀三㊁选取动直线在ｙ轴上的截距ｂ为参数如果动直线在ｙ轴上的截距ｂ影响动点Ｍ(ｘꎬｙ)的轨迹ꎬ起制约作用ꎬ那么就选取动直线在ｙ轴上的截距ｂ为参数.例４㊀(２０００年高考春季招生考试北京ꎬ安徽卷 文２３理２２)如图３ꎬ设点Ａ和Ｂ为抛物线ｙ２＝４ｐｘ(ｐ>０)上原点以外的两个动点ꎬ已知ＯＡʅＯＢꎬＯＭʅＡＢ.求点Ｍ的轨迹方程ꎬ并说明它表示什么曲线.１４解㊀设直线ＯＭ的方程为ｙ＝ｋｘꎬ直线ＡＢ的方程为ｙ＝－１ｋｘ＋ｂꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则由ＯＡʅＯＢꎬ得ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝０.于是ｙ１ｙ２＝－１６ｐ２.由ｙ＝－１ｋｘ＋ｂꎬｙ２＝４ｐｘꎬ{消去ｘꎬ得ｙ２＋４ｐｋｙ－４ｐｂｋ＝０ꎬ根据韦达定理ꎬ得ｙ１ｙ２＝－４ｐｋｂꎬ从而ｋｂ＝４ｐ.因为Ｍ是直线ＯＭ与ＡＢ的交点ꎬ所以由ｙ＝４ｐｂｘꎬｙ＝－ｂ４ｐｘ＋ｂꎬìîíïïïï消去参数ｂꎬ得ｘ２＋ｙ２－４ｐｘ＝０(ｘʂ０).故点Ｍ的轨迹方程是(ｘ－２ｐ)２＋ｙ２＝(２ｐ)２(ｘʂ０)ꎬ它表示以(２ｐꎬ０)为圆心ꎬ２ｐ为半径的圆ꎬ去掉原点.评注㊀找到ｋ与ｂ的关系式ｋｂ＝４ｐ后ꎬ直线ＯＭ的方程和直线ＡＢ的方程都可以用ｋ来替换ｂꎬ这样两直线方程联立ꎬ消去参数ｋꎬ即得所求.㊀㊀四㊁选取两线段之比λ为参数如果两条线段之比λ影响动点Ｐ(ｘꎬｙ)的轨迹ꎬ起制约作用ꎬ那么就选取两条线段之比λ为参数.例５㊀已知常数ａ>０ꎬ在矩形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝４ꎬＢＣ＝４ａꎬＯ为ＡＢ的中点ꎬ点Ｅ㊁Ｆ㊁Ｇ分别在ＢＣ㊁ＣＤ㊁ＤＡ上移动ꎬ且ＢＥＢＣ＝ＣＦＣＤ＝ＤＧＤＡꎬＰ为ＧＥ与ＯＦ的交点(如图４)ꎬ求点Ｐ的轨迹方程.解㊀由题意ꎬ得Ａ(－２ꎬ０)ꎬＢ(２ꎬ０)ꎬＣ(２ꎬ４ａ)ꎬＤ(－２ꎬ４ａ).设ＢＥＢＣ＝ＣＦＣＤ＝ＤＧＤＡ＝λ(０ɤλɤ１)ꎬ则Ｅ(２ꎬ４ａλ)ꎬＦ(２－４λꎬ４ａ)ꎬＧ(－２ꎬ４ａ－４ａλ).设Ｐ(ｘꎬｙ)ꎬ则有ＯＰ＝(ｘꎬｙ)ꎬＯＦ＝(２－４λꎬ４ａ)ꎬＧＰ＝(ｘ＋２ꎬｙ－４ａ＋４ａλ)ꎬＧＥ＝(４ꎬ８ａλ－４ａ)ꎬ由ＯＰʊＯＦꎬ得４ａｘ＝ｙ(２－４λ)ꎬ㊀①ＧＰʊＧＥꎬ得(ｘ＋２)(８ａλ－４ａ)＝４(ｙ－４ａ＋４ａλ)ꎬ㊀②由①②消去参数λꎬ得点Ｐ的坐标满足方程为２ａ２ｘ２＋ｙ２－２ａｙ＝０.所以点Ｐ的轨迹方程为２ａ２ｘ２＋ｙ２－２ａｙ＝０.㊀㊀五㊁选取动直线的倾斜角为参数如果动直线的倾斜角α影响动点Ｐ(ｘꎬｙ)成迹ꎬ起制约作用ꎬ那么就选取动直线的倾斜角α为参数.例６㊀定直线ｌ与ｘ轴的距离为ａꎬ交ｙ轴于点Ｎꎬ设过原点Ｏ作一直线交ｌ于点Ｑꎬ在直线ＯＱ上任取一点Ｐꎬ过点Ｐ作ＰＭʅｘ轴ꎬ垂足为Ｍꎬ且使｜ＭＰ｜＝｜ＮＱ｜ꎬ求Ｐ点的轨迹方程.解㊀因为ａ>０ꎬ所以为方便起见ꎬ设直线ｌ在ｘ轴上方ꎬＰＭ也在ｘ轴上方ꎬ如图５.设直线ＯＰ的倾斜角为αꎬ设Ｐ(ｘꎬｙ)ꎬ则直线ＯＰ的方程为ｙ＝ｘ ｔａｎα.㊀①又在ＲｔәＰＯＭ中ꎬｔａｎα＝ＰＭｘꎬ在ＲｔәＯＱＮ中ꎬｔａｎα＝ａＮＱꎬ于是ｔａｎ２α＝ａｘ.故直线ＰＭ的方程为ｘ＝ａｔａｎ２α.㊀②由①②联立消去参数αꎬ得ｙ２＝ａｘ.直线ｌ在ｘ轴下方也符合题意.故Ｐ点的轨迹方程为ｙ２＝ａｘ.运用交轨法探求轨迹方程问题ꎬ为什么要选取参数?通过解答上述例题ꎬ我们更进一步清楚ꎬ所求的曲线是两条动曲线的交点Ｐ(ｘꎬｙ)所形成的ꎬ既然是动曲线ꎬ所以这两条动曲线的方程一定含有参数.如何选取参数?选取参数的思维途径有哪些?选取参数的依据是什么?通过解答上述例题ꎬ我们可以发现ꎬ应该选取影响动点成迹ꎬ起制约作用的那些关键量作为参数ꎬ如斜率㊁点㊁截距㊁长度㊁角度㊁两线段之比等ꎬ具体怎样选取参数ꎬ要根据题目所给条件ꎬ结合图形特点进行分析判断选取.㊀㊀参考文献:[１]符海龙.怎样选择参数求轨迹方程[Ｊ].中学数学研究(华南师大 高中)ꎬ２００３(８):８－９.[２]杨忠鑫.交轨法求轨迹方程[Ｊ].中学数学(高中)ꎬ１９８３(１):１４－５.[３]谢伟.轨迹方程的求法综述[Ｊ].中学数学研究(华南师大 高中)ꎬ２０１２(５):４４－６.[４]董安妮.探析曲线与方程的求解方法[Ｊ].数理化学习(高中)ꎬ２０１８(１):１７－８.[责任编辑:杨惠民]２４。
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一、知识概要：
在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法经常与参数法并用。
二、基本训练：
1、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中,R αβ∈，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为 .
三、例题：
例1、（2006年深圳一模）过抛物线y 2 = 4 px ( p > 0 )的顶点作互相垂直的两弦OA 和OB 。
求AB 中点P 的轨迹方程。
例2、过点M( -2, 0)作直线L 交双曲线x 2－y 2 = 1于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作
平行四边形OAPB 。
求动点P 的轨迹方程。
例3、已知常数0a >，经过定点(0,)A a -以(,)m a λ=为方向向量的直线与经过定点(0,)B a ，且以(1,2)n a λ=为方向向量的直线相交于点Ｐ，其中R λ∈．
⑴ 求点Ｐ的轨迹Ｃ的方程，它是什么曲线；
⑵ 若直线:1l x y +=与曲线Ｃ相交于两个不同的点Ａ、Ｂ，求曲线Ｃ的离心率的范围． 解: (1) （用交轨法）
过Ａ以m 为方向向量的直线方程为：a
y a x λ+=．
．．．．．．① 过Ｂ以n 为方向向量的直线方程为：2y a ax λ-=．．．．．．②
由①②消去λ得：22
2112
y x a
-=．Ｐ的轨迹为双曲线．．．．．．．．６分 (2)联立方程2
22211y x a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩
消去y得222
(12)210
a x x a
--+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８分
依题意有
2
120
a
⎧-≠
⎨
∆>
⎩
，即
2
22
120
44(12)(1)0
a
a a
⎧-≠
⎨
--->
⎩
∴0
22
a a
<<≠
又c
e e
a
====>≠．．．．．．．．．．．．．１２分
课外作业：
1．设A 1、A 2是椭圆4
92
2y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点， 则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( ) A. 14
92
2=+y x B. 14922=+x y C. 14
92
2=-y x D. 14
922=-x y
2．已知椭圆22a x +22
b
y = 1（a>b>0）和定点A(0, b), B(0, -b), C 是椭圆上的动点, 求ΔABC 的垂心H 的轨迹方程。
影M的轨迹。
5*．已知椭圆22
22b
y a x =1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外
角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R
(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；
(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l y =k (x +2a )与
曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值
8．如图11-5-1，已知圆O ：2225,x y += 点(3,0),(3,0)A B -，C 为圆O 上任意一点，直线CD 与BC 垂直，并交圆O 于另一点D .
（1）求证：AD BC λ=；
（2）若点P 在线段CD 上，且PAD PBC ∠=∠，求点P 的轨迹方程.
图11-5-1。