目标规划整数规划第三、四、五章
第4章 整数规划
第4章 整数规划判断:用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的下界；指派问题数学模型的形式同运输问题十分相似，故也可以用表上作用法求解；效率矩阵的任一行（或列）减去（或加上）任一常数，指派问题最优解不会受到影响； 匈牙利法只能用于平衡分配问题；对于极大化问题，匈牙利法不能直接求解。
整数规划问题解的目标函数值优于其相应的线性规划问题的解的目标函数。
用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。
用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界值，在进行比较剪枝。
分配问题的每个元素都加上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。
分配问题的每个元素都乘上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。
分配问题域运输问题的数学模型结构形式十分相似，故也可以用表上作业法求解。
隐枚举法也可以用来求解分配问题简答试述分枝定界法求解问题的主要思想。
试述隐枚举法的步骤。
试讲述割平面方法的基本原理. 试例举三种应该剪枝的情况。
计算题分枝定界法用分枝定界法求解下列整数规划问题12max Z x x =+1212129511414123,x x x x x x +≤-+≤≥0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 32Z x x =+121212231429,x x x x x x +≤+≤≥0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 2010Z x x =+1232312312324434323,,x x x x x x x x x x x ++≤≤+≤≥－--0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 79Z x x =+121212136735,x x x x x x x +≤+≤≥－0，且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题123max 33Z x x x =++123231231231324432323,,,x x x x x x x x x x x x x ++≤≤+≤≥－--0，且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题：1212121212232478188..3219,0MaxZ x x x x x x s t x x x x =+-+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题1212121212250..6221,0MaxZ x x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题12312121225231050..7228,0,MaxZ x x x x x s t x x x x x =-+-+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩为整数用分枝定界法解下列整数规划问题12312341234345272222..0,1,2,3,4,5,j MaxZ x x x x x x x x x x x s t x j x x =-+-⎧-+-+=⎪⎪⎪-++=⎨⎪≥=⎪⎪⎩为整数用分枝定界法求解下列整数规划模型12max 23z x x =+121257354936x x x x +≤+≤12,0x x ≥且为整数有如下整数规划问题12max z x x =+12129511414123x x x x +≤-+≤12,0x x ≥且为整数试用分枝定界法求其最优解。
第五章整数规划
第五章 整数规划主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。
重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。
要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。
§1 问题的提出要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。
如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。
例1 求解下列整数规划问题211020m ax x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为：96m ax ,0,8.421===z x x 。
用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点方向移动，当第一次遇到“+”号点（1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，最优值为z=90。
由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。
下面介绍几种常用解法。
§2 分枝定界法分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是A 的最优值*z的上界，记为z ；而A 的任意可行解的目标函数值是*z的一个下界z ，采取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最终求得*z 。
现举例说明： 例2 求解A219040m ax x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,702075679x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解=1x 4.81, =2x 1.82,①② ③ ④ ⑤=0z 356（见下图）。
管理运筹学 易错判断题整理
2 网络图的线路与关键路线。 3 最早时间，最迟时间，作业的最早开始，最早结束，最迟开始， 最迟结束时间，作业的总时差，自由时差的概念及计算方法。
判断题： 1 在任一图G中，当点集V确定后，树图是G中边数最少的连通图。 √ 2 一个具有多个发点和多个收点的求网络最大流问题一定可以转化为 求具有单个发点和单个收点的求网络最大流问题。
√ 6. 任何线性规划总可用大M单纯形法求解。
√ 7. 凡能用大M法求解也一定可用两阶段法求解。
√ 8. 两阶段法中第一阶段问题必有最优解。
√ 9. 两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量,则原问题有最优 解。
× 10. 人工变量一旦出基就不会再进基。
√ 11. 当最优解中存在为零的基变量时,则线性规划具有多重最优解。 ×
× 5 如果运输问题或者转运问题模型中，Cij 都是产地i到销地j的最小 运输费用，则运输问题同转运问题将得到相同的最优解。
√
第三章：目标规划
主要内容： 1 描述目标规划建模的思路以及他的数学模型同一般线性 数学模型的相同和不同点。 2 解释下列变量：1正负偏差变量 2绝对约束和目标约束 3 优先因子与权系数。 3 目标规划图解法的步骤。 4 目标规划 目标函数特点。 判断题： 1 目标规划模型中，可以不含有绝对约束但是必须含有目 标约束。
1 最优对策中，如果最优解要求一个人呢采取纯策略，则另一个人也必须采取纯策 ×
2 在两人零和对策支付矩阵的某一行或某一列上加上常数k 将不影响双方各自的最优 ×
3 博弈的纳什均衡是博弈双方达到均势平衡的解，也是使博弈双方得到最好结果的 ×
运筹学复习考点
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• （4）动态规划的基本方程是将一个多阶段的决策问题转化为一系列具 有递推关系的单阶段决策问题。
• 正确。 • （5）建立动态规划模型时，阶段的划分是最关键和最重要的一步。 • 错误。 • （6）动态规划是用于求解多阶段优化决策的模型和方法，这里多阶段
• 错误。
• 唯一最优解时，最优解是可行域顶点，对应基本可行解；无穷多最优 解时，除了其中的可行域顶点对应基本可行解外，其余最优解不是可 行域的顶点。
• （12）若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划 问题最多具有有限个数的最优解。
• 错误。
• 如果在不止一个可行解上达到最优，它们的凸组合仍然是最优解，
结束时间不允许有任何延迟。 • 正确。 • （10）网络关键路线上的所有作业，其总时差和自由时差均为零。 • 正确。 • （11）任何非关键路线上的作业，其总时差和自由时差均不为零。 • 错误。
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• （12）若一项作业的总时差为零，则其自由时差一定为零。 • 正确。 • （13）若一项作业的自由时差为零，则其总时差比为零。 • 错误。 • （14）当作业时间用a,m,b三点估计时，m等于完成该项作业的期
既可以是时间顺序的自然分段，也可以是根据问题性质人为地将决策 过程划分成先后顺序的阶段。
• 正确。
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•
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5 3 6 -6 0
0
801001
5
14 1 2 0 0 0
-6
4 0 1 -1 1 0
第四章 整数规划
√
√
27
17
结论： 结论： 最优解为x 最优解为 1=1、x2=1、x3=0，即对Ⅰ和Ⅱ两个 、 、 ，即对Ⅰ 项目投资，利润最大为27万元 万元。 项目投资，利润最大为 万元。
18
例2：用完全枚举法求解 型整数规划 ：用完全枚举法求解0-1型整数规划
max f = 3x1 − 2 x2 + 5 x3 x1 + 2 x2 − x3 ≤ 2 x + 4x + x ≤ 4 2 3 1 x1 + x2 ≤ 3 4x + x ≤ 6 1 3 x1 , x2 , x3 = 0或1
① ② ③ ④
16
点
过滤条件 f≥16 × √ × √ f≥26 × √ √ f≥27 √
约束条件 ① ② ③ ④
f值 值
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
√ √
√ √
√ √
√ √
16 26
√ √ ×
× √
35
min
第二步： 第二步：检验
行检验 列检验
0 * 8 11 0 * 2 3 0 11
第5章 整数线性规划-第1-4节
现设想，如能找到像CD那样的直线去切割域R(图 5-6)，去掉三角形域ACD，那么具有整数坐标的C 点(1，1)就是域R′的一个极点，
如在域R′上求解①～④， 而得到的最优解又恰 巧在C点就得到原问题 的整数解，所以解法 的关键就是怎样构造 一个这样的“割平 面”CD，尽管它可能 不是唯一的，也可能 不是一步能求到的。 下面仍就本例说明：
例 2
求解A
max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数
① ② ③ (5.2) ④ ⑤
解 先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④ (见图5-2)，得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
可见它不符合整数条件⑤。 这时z0是问题A的最优目标函数值 z*的上界，记作z0= z 。 而在x1=0，x2=0时， 显然是问题A的一个整数可行解， 这时z=0，是z*的一个下界， z 记作 =0，即0≤z*≤356 z。
第3节 割平面解法
在原问题的前两个不等式中增加非负松弛 变量x3、x4，使两式变成等式约束： -x1+x2+x3 =1 ⑥ 3x1+x2 +x4=4 ⑦ 不考虑条件⑤，用单纯形表解题，见表5-2。
表5-2
CB 0 0 1 1 cj XB x3 x4 cj-zj x1 x2 cj-zj b 1 4 0 3/4 7/4 -5/2 1 x1 -1 3 1 1 0 0 1 x2 1 1 1 0 1 0 0 x3 1 0 0 -1/4 3/4 -1/2 0 x4 0 1 0 1/4 1/5 -1/2
第二步：比较与剪支
各分支的最优目标函数中若有小于 z 者，则剪 掉这支(用打×表示)，即以后不再考虑了。若大 于 z ，且不符合整数条件，则重复第一步骤。一直 到最后得到z*为止，得最优整数解xj* ，j=1，…，n。 用分支定界法可解纯整数线性规划问题和混合 整数线性规划问题。它比穷举法优越。因为它仅在 一部分可行解的整数解中寻求最优解，计算量比穷 举法小。若变量数目很大，其计算工作量也是相当 可观的。
运筹学教程 胡运权 第5版
运筹学教程胡运权第5版1. 简介《运筹学教程》是一本经典的运筹学教材，由胡运权教授编写，已经出版了第5版。
本教程旨在介绍运筹学的基本概念、方法和应用，帮助读者掌握运筹学的基本原理和技巧。
2. 内容概述本教程分为十个章节，涵盖了运筹学的主要内容。
第一章：运筹学概述本章介绍了运筹学的基本概念和发展历程，阐述了运筹学在现代管理决策中的重要作用。
第二章：线性规划本章介绍线性规划的基本概念、模型和求解方法，包括单纯形法和对偶理论等内容。
第三章：整数规划本章介绍整数规划的基本概念和求解方法，包括分枝定界法和割平面法等内容。
第四章：非线性规划本章介绍非线性规划的基本概念和求解方法，包括梯度法和牛顿法等内容。
第五章：动态规划本章介绍动态规划的基本概念和求解方法，包括最优子结构和状态转移方程等内容。
第六章：网络优化本章介绍网络优化的基本概念和求解方法，包括最小生成树和最短路问题等内容。
第七章：多目标规划本章介绍多目标规划的基本概念和求解方法，包括帕累托最优解和权衡法等内容。
第八章：排队论本章介绍排队论的基本概念和模型，包括利用泊松分布和指数分布建模等内容。
第九章：库存管理本章介绍库存管理的基本概念和模型，包括经济订货量和安全库存等内容。
第十章：决策分析本章介绍决策分析的基本概念和方法，包括决策树和期望值法等内容。
3. 学习目标通过学习本教程，读者可以掌握以下技能：•理解运筹学的基本概念和方法；•掌握线性规划、整数规划、非线性规划等方法的应用；•学会运用动态规划、网络优化、多目标规划等方法解决实际问题；•掌握排队论、库存管理、决策分析等方法的应用。
4. 使用说明读者可以将本教程作为自学资料，按照章节顺序逐步学习。
每个章节都包括基本概念的讲解、求解方法的介绍和案例分析。
在阅读本教程时，读者可以使用Markdown文本格式进行标注和整理笔记。
Markdown具有简单易学、格式清晰的特点，适合用于文档编写和批注。
5. 结语《运筹学教程》是一本经典的运筹学教材，适合作为运筹学的入门教材或者参考资料。
运筹学课程常见疑难问题及解答
的练习熟练掌握原问题与对偶问题的对应关系。
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利用松弛性质求解对偶问题最优解时应注 意什么？
注意给出的线性规划问题是否具备原问题或者对偶问题的标
准形式。对于具备标准形式的线性规划问题，可以直接利用
松弛性质中的描述进行计算。
对于不具备标准形式的线性规划问题，不可以直接利用松弛
以单位矩阵对应的变量作为基变量时，求出的基本解一 定是基本可行解。
迭代时以单位矩阵对应的变量作为基变量，还可以从单
纯形表中直接读出各变量的值。
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应用大M法时应注意什么问题？
应用大M法时应注意：
在约束方程中加入人工变量以后，一定要在目标函数中
增加罚函数项；
在求极大的目标函数中，人工变量系数应为-M，相反在
第八章—目标规划
第九章—排队论 第十章—存贮论 第十一章—决策论 第十二章—多目标决策方法 第十三章—在民航应用案例
一般性问题的解答
运筹学在民航运输中的应用情况
参见第十三章内容及平台上的学术文献
如何学好运筹学课程
同一问题求解方法的选择
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如何学好运筹学课程？
i=1 m
n m a kj x j b k时, y k 0； a ij yi c j , j 1, , n j=1 的最优解，当且仅当 i=1 m y 0,i 1, , m a y c 时, x 0. i l l il i i=1
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什么是满秩矩阵？
如果方阵的行列式非零，则该方阵是满秩矩阵。 某方阵是满秩矩阵时，以该方阵各列作为系数的各变量作为
基变量，其他变量取为常数（计算基本解时取为0）时，则
《运筹学》教案-目标规划数学模型
《运筹学》教案-目标规划数学模型第一章：目标规划概述1.1 目标规划的定义与意义1.2 目标规划与其他规划方法的区别1.3 目标规划的应用领域1.4 目标规划的发展历程第二章：目标规划的基本原理2.1 目标规划的基本假设2.2 目标规划的数学模型2.3 目标规划的求解方法2.4 目标规划的评估与决策第三章：目标规划的数学模型3.1 单一目标规划模型3.2 多目标规划模型3.3 带约束的目标规划模型3.4 动态目标规划模型第四章：目标规划的求解方法4.1 线性规划求解方法4.2 非线性规划求解方法4.3 整数规划求解方法4.4 遗传算法求解方法第五章：目标规划的应用案例5.1 生产计划目标规划案例5.2 人力资源规划目标规划案例5.3 投资组合目标规划案例5.4 物流配送目标规划案例第六章：目标规划的高级应用6.1 目标规划在供应链管理中的应用6.2 目标规划在项目管理中的应用6.3 目标规划在金融管理中的应用6.4 目标规划在能源管理中的应用第七章：目标规划的软件工具7.1 目标规划软件工具的介绍7.2 常用目标规划软件工具的操作与应用7.3 目标规划软件工具的选择与评估7.4 目标规划软件工具的发展趋势第八章：目标规划在实际问题中的应用8.1 目标规划在制造业中的应用案例8.2 目标规划在服务业中的应用案例8.3 目标规划在政府决策中的应用案例8.4 目标规划在其他领域的应用案例第九章：目标规划的局限性与挑战9.1 目标规划的局限性分析9.2 目标规划在实际应用中遇到的问题9.3 目标规划的发展趋势与展望9.4 目标规划的未来研究方向10.1 目标规划的意义与价值10.2 目标规划在国内外的发展现状10.3 目标规划在未来的发展方向10.4 对运筹学领域的发展展望重点和难点解析重点环节一：目标规划的数学模型补充和说明：在讲解目标规划的数学模型时，重点关注单一目标规划模型和多目标规划模型的构建。
整数规划_精品文档
整数规划引言：整数规划是一类特殊的数学优化问题，其中一部份或者全部变量被限制为整数。
整数规划问题在许多领域都有广泛的应用，如物流、生产计划、金融投资等。
随着科技的不断发展，整数规划的应用场景和求解方法也在不断扩展和深化。
一、整数规划的定义与分类定义：整数规划是一种特殊的数学优化问题，其目标是最小化或者最大化一个数学表达式（目标函数），同时满足一系列约束条件，且一部份或者全部决策变量被限制为整数。
分类：根据问题的特性，整数规划可以分为以下几种类型：0-1背包问题：决策变量只能取0或者1。
彻底背包问题：决策变量可以取任意非负整数。
整数线性规划：线性规划的变种，要求部份或者全部决策变量为整数。
二次整数规划：目标函数或者约束条件包含二次项。
二、整数规划的应用场景生产计划：在创造业中，整数规划可以用于优化生产流程、物料需求计划等。
物流优化：通过整数规划可以解决货物配送路线、车辆调度等问题。
金融投资：整数规划在投资组合优化、风险管理等领域有广泛应用。
资源分配：整数规划可用于解决资源分配问题，如人员调度、设备配置等。
组合优化：如旅行商问题（TSP）、装箱问题等，都是整数规划的典型应用场景。
三、整数规划的求解算法穷举法：通过逐个测试所有可能的解来找到最优解，但只适合于小规模问题。
分支定界法：一种基于树结构的搜索算法，能够处理较大规模的问题。
遗传算法：摹拟生物进化过程的优化算法，适合处理大规模问题。
摹拟退火算法：借鉴物理中退火过程的优化算法，具有避免陷入局部最优解的能力。
蚁群算法：摹拟蚂蚁觅食行为的优化算法，适合于求解具有离散变量的优化问题。
元胞遗传算法：将遗传算法和元胞自动机结合，能够处理更复杂的问题。
粒子群算法：摹拟鸟群觅食行为的优化算法，具有简单易实现的特点。
深度学习算法：利用神经网络进行求解，特别在处理大规模、高维度的问题时表现出色。
四、整数规划软件介绍CPLEX：由IBM开辟的商业优化软件，支持整数规划、线性规划、混合整数规划等多种优化问题。
运筹学-第三章-整数规划
于是，对原问题增加两个新约束条件，将原问题分为两个 子问题，即有
max z 40x1 90x2
max z 40x1 90x2
9x1 7x2 56
s.t
7 x1
20 x2
70
x1 4
x1, x2 0
（LP1）
9x1 7x2 56
和
s.t
7
x1
20
x2
70
（LP2）
x1 5
表 3.1
货物 体积（米 3/箱） 重量（百公斤/箱） 利润（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制 24 米 3
13 百公斤
解： 设x1，x2 分别为甲、乙两种货物的托运箱数，则数 学模型可以表示为：
max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24 2x1 5x2 13 x1, x2 0, x1, x2整数
其中，目标函数表示追求最大的卫星实验价值；第1,2个约
束条件表示体积和重量的限制；第3-5个约束条件表示特定的卫
星装载要求,该问题的决策变量是0-1整数变量。
3.2.3隐枚举法 从上面两个例子可以看出，此类型问题是整数规划中的特
殊情形，其中决策变量 xi 的取值只能为0或1，此时变量 xi 称 为0-1变量，这类问题被称为0-1整数规划。对于 xi 的取值的 0-1约束，可以转化成下述整数约束条件：xi 1, xi 0, xi Z
目前对于整数规划问题的求解主要有两种方法：分支 定解法和割平面法。本章仅介绍分枝定界法，该方法在上 世纪60年代由Land Doig和Dakin等人提出，其具有灵活 且便于计算机求解的优点，所以现在已成为解决整数规划 问题的重要方法。下面通过例子说明分支定界方法的算法 思想和步骤。
整数规划
√
√ × √
×
√ × ×
√
√ √ √
√
√ √ √ √ 8 8
（二）0－1 整数规划——隐枚举法
首先，找到一个可行解，并计算其目标函数值；然后，以其目标值作为
一个过滤条件，优于其值的再判断约束条件，直到找到最优解。
满足约束条件（是∨ x1 . x2. x3 ( 0. ( 0. 0. 0. 0 ) 1) √ √ (1) √ √ (2) √ √ (3) √ √ 否×） (4)
目标函数： Max z = 2x1 +3 x2 约束条件： 195 x1 + 273 x2 ≤1365 4 x1 + 40 x2 ≤140 x1 ≤4 x1≥3 x2≥3 x1，x2 ≥ 0
无可行解
（四）比较子问题的最优解，判断是否还要继续分枝 因为Z21=14大于Z1=13.90，所以x1=3，x2=2是原 问题的最优整数解
过滤 条件
0 5 -2 3 3
max Z 3 x1 2 x2 5 x3 x1 2 x2 x3 2 (1) x1 4 x2 x3 4 (2) 3 (3) x1 x2 4 x2 x3 6 (4) x1 , x2 , x3 0或1
第五章 整数规划
在整数规划中，如果所有的变量都为非负整数，则 称为纯整数规划问题；如果有一部分变量为负整数，则 称之为混合整数规划问题。在整数规划中，如果变量的 取值只限于0和1，这样的变量我们称之为0-1变量。在 纯整数规划和混合整数规划问题中，如果所有的变量都 为0-1变量，则称之为0-1规划。 求整数解的线性规划问题，不是用四舍五入法或去 尾法对线性规划的非整数解加以处理都能解决的，而要 用整数规划的方法加以解决。
运筹学知识点
运筹学知识点：绪论1.运筹学的起源2.运筹学的特点第一章线性规划及单纯形法1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。
2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。
3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。
线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。
4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解8.用图解法只有解决两个变量的决策问题9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。
10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。
11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。
12.单纯形法的计算过程，可能出计算题13.入单纯形表前首先要化成标准形式。
14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。
15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。
16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合配料问题等）第二章对偶问题1.原问题和对偶问题数学模型的对应关系，可能出填空题和数学模型题2.每一个线性规划必然有与之相伴而生的对偶问题3.对偶问题的性质：弱对偶性、无界性、强对偶性、最优性、互补松弛性，其中互补松弛性可能出计算题4.原问题与其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题变量5.影子价格的定义，用互补松驰性理解影子价格的含义6.影子价格与企业的生产任务、产品结构、技术状况等相关，与市场需求无关7.理解影子价格是机会成本第三章运输问题1.运输问题的数学模型，出建模题2.掌握三个数字：m+n、m*n、m+n-13.解的退化及处理4.运输规划问题本质仍然是线性规划，系数矩阵的特殊性，利用表上作业法求解，核心依然是单纯形法5.表上作业法的计算过程，可能出大题6.什么是基格和空格及含义以及检验数的经济意义7.初始方案的方法，计算检验数的方法，调整方案的方法8.检验数的含义及检验规划与一般线性规划问题的差别9.产销不平衡问题的处理，包括产大于销和销大于产，假想地的单位运价设为零第四章整数规划1.整数规划的分类：纯整数、混合整数、0-1整数2.指派问题的数学模型，可能出建模题3.匈牙利法的计算过程4.解矩阵的特点：n个解1位于不同行不同列上5.分枝定界法分枝和定界的依据以及如何分枝和如何定界6.整数规划问题的求解方法及适用条件7.整数规划问题与其松弛问题解的关系第五章目标规划1.线性规划的局限：严格约束、单目标、约束同等重要2.目标规划问题的数学模型，可能会出建模题，强调目标函数由偏差变量、优先因素和权系数构成3.偏差变量的含义及特点，成对出现，非负且至少有一个为零4.目标约束是等式，等式左边添加一对偏差变量相减5.目标规划问题求解的单纯形表计算停止的规划：要么所有行的检验数均为非负，要么前i行检验数为非负，第i+1行存在负的检验数，但在负检验数上面存在正检验数6.目标规划的达成函数中的偏差变量的选择第六章图论与网络优化1.图论中的图研究对象间的关系，只关心图中有多少个点及点间有线相连2.树的定义及性质3.最小树的求解方法：避圈法和破圈法4.狄克斯屈拉算法的特点：不仅求出从始点到终点的最短路，还求出从始点其他任何各点的最短路5.有向图（点弧）非对称关系和无向图（点边）对称关系的应用6.可行流的定义：两大类的三个条件7.增广链的定义及特点8.最大流最小割定理9.用ford-fulkerson算法求网络中的最大流的计算过程10.算法的核心和实质是判断是否存在增广链，，即网络达到最大流的条件是网络中不存在增广链第七章网络计划技术1.关键路线的定点：持续时间最长、节点时差为零、不止一条2.工作持续时间的确定方法及使用条件3.节点最早时间、节点最迟时间的理解4.工作时间参数着重理解总时差和自由时差，即总时差是若干项工作共同拥有的机动时间，自由时差是某项工作单独拥有的机动时间5.绘制网络技术图的规则第八章动态规划1.动态规划是研究多阶段决策问题的理论和方法2.状态必须具备无后效性，及无后效性的定义3.动态规划和顺序解法和逆序解法的路径及应用条件。
运筹学知识点总结
运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、线性规划的图解法1.基本概念线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2.线性规划的标准形式约束条件为等式（=）约束条件的常数项非负（b j≥0）决策变量非负（x j≥0）3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。
4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。
第二章、线性规划问题在工商管理中的应用1.人力资源分配问题（P41）设x i为第i班次开始上班的人数。
2.生产计划问题（P44）3.套材下料问题（P48）下料方案表（P48）设x i为按各下料方式下料的原材料数量。
4.配料问题（P49）设x ij为第i种产品需要第j种原料的量。
“管理运筹学”教学大纲
“管理运筹学”教学大纲一、课程简介“管理运筹学”是一门研究企业管理中决策与优化问题的课程。
本课程旨在让学生掌握运筹学的基本理论和方法，学会运用运筹学工具解决企业管理中的实际问题，提高决策效率和创新能力。
二、课程目标1、掌握运筹学的基本概念和原理，了解运筹学在企业管理中的应用。
2、掌握线性规划、整数规划、动态规划等常用运筹学方法，能够运用相关软件进行求解和分析。
3、理解运筹学在决策分析、资源优化配置、风险管理等方面的应用，能够运用运筹学方法解决实际问题。
4、培养学生的创新思维和综合分析能力，提高其在实际工作中运用运筹学的能力。
三、课程内容1、运筹学概述：介绍运筹学的定义、发展历程和应用领域，阐述运筹学在企业管理中的重要性。
2、线性规划：介绍线性规划的基本概念、数学模型、求解方法和实际应用，重点讲解线性规划在生产计划、资源分配等问题中的应用。
3、整数规划：介绍整数规划的基本概念、数学模型、求解方法和实际应用，重点讲解整数规划在排班安排、仓库管理等问题中的应用。
4、动态规划：介绍动态规划的基本概念、数学模型、求解方法和实际应用，重点讲解动态规划在最优路径选择、生产策略制定等问题中的应用。
5、决策分析：介绍决策分析的基本概念和方法，包括风险决策、不确定决策和多目标决策等，重点讲解如何运用运筹学方法进行决策分析。
6、资源优化配置：介绍资源优化配置的基本概念和方法，包括供应链优化、库存管理和排班安排等，重点讲解如何运用运筹学方法进行资源优化配置。
7、风险管理：介绍风险管理的基本概念和方法，包括风险识别、评估和控制等，重点讲解如何运用运筹学方法进行风险管理。
本课程总计36学时，分为理论授课和实践操作两个环节。
理论授课主要讲解运筹学的基本理论和常用方法，实践操作则通过案例分析和软件操作等方式加深学生对运筹学应用的理解和实践能力。
具体安排如下：1、理论授课：32学时，每周2学时，共16周。
2、实践操作：4学时，集中安排在学期末进行。
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销地 产地 A1 A2 4
B1
B2
B3 2
B4
B5
产量
3
11 3 6 4 3
12 7 5
5
3 2 5 1 4
6
4 2 9 2 5
4
0 8 0 5 0 9
A3
销量
当产大于销时，即
a b
i 1 i j 1 m
m
n
j
加入假想销地（假想仓库），销量为
a b
i 1 i j 1
n
(二)对偶变量法（位势法） 1.基本原理
检验数的计算： 一般问题：σj = C j- CBB-1 Pj = Cj - Y Pj 运输问题： σij = C ij- CBB-1 Pij = Cij - Y Pij = Cij - (u1,u2, …,um, v1, v2, …,vn) Pij = Cij - ( ui+ vj ) 当xij 为基变量时， σij = Cij - ( ui+ vj )=0 由此，任选一个对偶变量为0，可求出其余所有 的ui， vj 。 再根据σij = Cij - ( ui+ vj )求出所有非基变量的检验 数。
A 1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
产量
16 10 2 3 9 10 8 2 8 14 5 11 8 6 22 8 14 12 14 48
10
4
6
11
z 0 8 2 14 5 10 4 2 3 6 11 8 6 246 优点：就近供应，即优先供应运价小的业务。
4. 计划利润不少于48元。
- , P d + , P d -} Min{ P1 d16 maxZ= x1 +8 2 2x2 3 3 5x1 + 10x2 60 • 原材料使用不得超过限额 x1 - 2x2 +d1- -d1+ =0 • 产品II产量要求必须考虑 - -d + =36 4x + 4 x +d 1 2 2 2 • 设备工时问题其次考虑
4
j 1 ij
x ai i=1,2,3
3
i 1 ij
x b j j =1, 2, 3,4
xij 0
其中，a (16,10,22)' b (8,14,12,14)'
x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34 1 1 1 1 t1 个 1 1 1 1 t 1 1 1 1 2 t3 1 1 1 t4 1 1 1 个 t5 1 1 1 1 1 1 t6 t7 t 1 (1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0) t 4 (1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0) t 5 (0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0) t 2 (0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0) t 6 (0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0) t 3 (0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1) t (0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1) 7 t1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 0 7个条件线性相关 基变量6个 任6个线性无关
二. 典型的运输问题：
产地
a1 a2 …
am
共产i1 a i
m
销地
B1
b1
cij
A1
A2 … Am
B2
…
b2 … bn
共销 j1 b j
n
Bn
求最小运费的运输方案？？
销地 产地 A1 A2
B1
B2
…
Bn x1n c1n x2n c2n
产量 a1 a2
x11 c11 x12 c12 … x21 c21 x22 c22 …
第三章 运输问题 第四章 目标规划
第五章 整数规划
1
一、引例
某部门三个工厂生产同一产品的产量、四个销售 点的销量及单位运价如下表： 销地 产地 A1 B1 4 2 8 8 14 B2 12 10 5 12 B3 4 3 11 14 B4 产量 11 16 9 10 6 22 48
A2
A3 销量
求运费最小的运输方案。
运输问题图示：
销地
cij B1 B2 B3 8 14 12 14
产地
16 10 22 A1
A2
A3
B4
共产48
求最小运费的运输方案？？
共销48
minZ = 4x11 + 12x12+4x13+11x14+2x21 +10x22 +3x23+9x24+8x31 +5x32 +11x33+6x34
x11 +x12+x13 +x14 = 16 x21+x22+x23 +x24 = 10 x31+x32+x33 +x34 = 22 x11 +x21+ x31 = 8 x12 +x22+x32 = 14 x13 +x23+ x33 = 12 x14 +x24+ x34 = 14 xij 0
σ31=8-2+3-4+11-6=10
σ33=11-6+11-4=12
设对偶变量向量为
Y=(u1,u2, …,um, v1, v2, …,vn)
对偶规划为
max W a iu i b j v j
i 1 j 1
m
n
ui+vj≤cij
对应的变量xij
ui+vj无约束i=1,2,3 …m， j=1,2,3 …n
第三节 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题
例 1：
销地 产地 A1 A2 B1 3 11 B2 12 2 B3 3 5 B4 产量 4 8 9 5
A3
销量 4
6
3
7
5
1
6
5 9
销地 产地 A1 A2
B1
B2
B3
B4
B5
产量
3
11
12
2
3
5
4
9
0 8 0 5 0 9
4
A3
销量 4
6
3
7
5
1
6
5
西北角法初始方案：
销地
产地
A1 8
B1 4 8 2 6 8 8 14
B2 12 10 4 5 8 12
B3 4 3
B4
产量 11 16 9 10 6 22 48
A2
A3 销量
11 14 14
z 0 8 4 8 12 6 10 4 3 优点： 缺点： 8 11 14 6 简单易行 没有考虑运费 372
9 10 6 22 8 48
8 14 14
列罚数
2
5
11 8 12 14 1 2
解运输问题基本步骤：
初始基本 可行解
是否为最优解
N
Y
结束
换基
最优解的判别（计算空格检验数）
两种方法： 闭回路法、对偶变量法（位势法）
(一)闭回路法
闭回路：从空格出发，遇到数字格可以旋转90度，最 后回到空格所构成的回路。 思想： 初始基可行解的目标值与相邻基可行解目标值比较；
产品
原材料 (Kg/件) 设备工时(h/件 )
I
5 4
II
10 4
限量
60 40
利润(元)
6
8
问题：制定一个获利最大的计划.
解:设两种产品产量分别为x1 、 x2 max Z= 6x +8x 1 2
s.t 5x1 + 10x2 60
实际情况：
1. 物资部门
4x1 + 4x2 40 x1，x2 0
由检验数体现。
销地 产地 A1
B1 4
B2
B3 4 6 3 11 8 12
B4
产量
A2
A3 销量
8
8
2
8 14
12 10 10 2 5 14
11 16 9 10 6 22 14 48
σ11=4-4+3-2=1
σ24=9-11+4-3=-1
σ22=10-3+4-11+6-5=1
σ12=12-11+6-5=2
初始方案的求法（二） ：最小元素法
(优先考虑表中运费最低运输。)
A 1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
产量
6 0 16 10 2 3 9 10 0 8 2 2 8 14 5 11 8 6 22 8 0 0 10 0 06 48 8 12 14 0 14 10
4
6
11
最小元素法初始方案
缺点：会出现顾此失彼
（三）沃格尔法 1.罚数=次小费用-最小费用 2.找出最大的罚数行或列所对应的最 小费用优先安排。 3.重复计算步骤1和2。
销地 产地 A1
B1 4 8
8 2
B2
B3 4 4 3 2
B4
产量 行罚数 0 1 3
A2 A3
销量
12 12 10
5
11 16
9 10 6 22 8 48
3 4
系数矩阵的特点：
(1)约束条件的系数矩阵的元素只有两个：0、1。
(2)元素 xij 对应于每一个变量在前3个约束方程中(
第i个方程中)出现1次，在后四个约束方程中 （第3+j 个方程中）也出现1次。