第四章 线性模型的扩展
第四章-广义线性回归
p 维向量
。
；其中
此时，对应的检验假说为
。
在 下有
。
假定扰动项服从正态分布，则无约束下的对数似然函数为：
，参数 为
参数 对应的一阶导和二阶导为：
则在 下有
其中， 由于信息矩阵 可构造如下：
，
。
为分块对角阵，则约束
即 LM 统计量的值等于 g 对 Z 回归的回归平方和的一半。 又因为在正态分布设定条件下有
检验统计量计算如下：
(4-14)
其中， 和 通常取
分别为两段样本 LS 回归的残差， 和 ，则上式可简化为：
为对应的样本长度。
(4-15)
注意，计算上式 F 统计量时，必须把较大者放在分子。 Goldfeld-Quandt 检验是 LS 估计框架下最简单的方差检验，它与普通的方差结构变化检
验非常接近，比较容易计算。但它也具有一定的局限性：首先，扰动项假定服从正态分布；
和 ）下，上述的两
5 / 26
第四章 广义线性回归
其中，
。
需要注意的是，当我们假定
时，事实上是假定了一种特殊的非球形扰动形
式，这种假定很有可能是不准确的，因此，基于这种特定形式下的估计结果必须建立在相应
的诊断性检验上。
4.2 异方差
4.2.1 异方差检验
异方差设定具体有两种形式：一般的异方差形式设定各期扰动项的方差都不同，此时通 常会假定这种异方差与某些变量有关；另一种特殊的形式则是设定不同组间存在异方差，即 把数据划分为若干组，并假定各组扰动项的方差不同，但在同一组内方差相同。
如果协方差阵未知，则 FGLS 估计如下：
此时，对 WLS 估计的两步估计可以使用迭代的方法。
3．协方差一致稳健估计
(整理)第四章 多元线性回归模型
第四章 多元线性回归模型在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。
但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。
当解释变量的个数由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。
本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。
一、预备知识（一）相关概念对于一个三变量总体，若由基础理论，变量21,x x 和变量y 之间存在因果关系，或21,x x 的变异可用来解释y 的变异。
为检验变量21,x x 和变量y 之间因果关系是否存在、度量变量21,x x 对变量y 影响的强弱与显著性、以及利用解释变量21,x x 去预测因变量y ，引入多元回归分析这一工具。
将给定i i x x 21,条件下i y 的均值i i i i i x x x x y E 2211021),|(βββ++= （4.1） 定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF ）。
定义),|(21i i i i x x y E y -为误差项（error term ）,记为i μ，即),|(21i i i i i x x y E y -=μ，这样i i i i i x x y E y μ+=),|(21，或i i i i x x y μβββ+++=22110 （4.2）（4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。
其中，21,x x 称为解释变量（explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；y 称为被解释变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项μ解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。
线性模型的推广与应用
线性模型的推广与应用线性模型是统计学和机器学习中最基础也是最广泛应用的模型之一。
然而，线性模型本身的限制性质，使得其在处理复杂问题时存在很大的局限性。
为了克服这些局限性，人们发明了各种各样的线性模型的拓展版。
本文将介绍线性模型的推广与应用的相关内容。
一、广义线性模型广义线性模型（GLM）是对线性模型的一种推广，其基本形式为：$$ g(E(Y|X)) = \eta = X\beta $$其中，$g$是一个已知的非线性函数（也称为联系函数），$E(Y|X)$是响应变量$Y$在给定输入变量$X$的条件下的期望值，$\eta$是关于输入变量的线性预测值，$X$是$n\times p$的设计矩阵，$\beta$是长度为$p$的参数向量。
广义线性模型不再要求响应变量的分布是正态的，而是允许使用多种分布。
在GLM中，$g$的作用是对响应变量的分布进行映射，使得预测值$\eta$落在可行的区间内。
常见的联系函数包括：恒等函数（identity）、对数函数（logarithm）、逆函数（inverse）、逆正弦函数（arcsine）以及普罗比特函数（probit）等。
二、广义加性模型广义加性模型（GAM）是对线性模型的另一种推广，其基本形式为：$$ g(E(Y|X)) = \alpha + f_1(X_1) + f_2(X_2) + \cdots +f_p(X_p) $$其中，$\alpha$是常数，$f_1$、$f_2$、$\cdots$、$f_p$是已知的光滑函数。
在GAM中，通过将输入变量对响应变量的影响分解成对应的光滑函数，使得模型能够更好地处理非线性问题。
GAM也可以使用GLM中的联系函数来对输出进行映射。
通常情况下，$f_1$、$f_2$、$\cdots$、$f_p$可以使用样条或者核平滑函数进行拟合。
GAM的核心思想是建立高阶非线性关系，从而更好地拟合数据。
三、广义线性混合模型广义线性混合模型（GLMM）是广义线性模型与线性混合模型的结合体。
河北工业大学教学大纲
河北工业大学教学大纲— 1 —计量经济学课程教学大纲课程名称：计量经济学 英文名称：Econometrics 课程类别：学科基础课总学时：48（包括实验：16） 学分：3 适应对象：国际经济与贸易、经济学专业 一、课程性质、目的和任务计量经济学是以经济理论为基础、以统计数据为依据、以数学为方法研究经济变量之间定量关系的一门科学，是本校经济类各专业的学科基础课程。
本课程的主要目的是使学生掌握计量经济分析的基本原理、方法和技巧，培养学生较熟练地利用计量经济方法分析和解决实际经济问题的能力，为相关专业课程的定量分析奠定坚实的理论基础。
二、教学基本要求任课教师应具有扎实的经济学理论知识和数理统计功底；要严格按照本教学大纲所规定的教学目的、任务及内容撰写教案，吸收大量的国内外新理论和案例分析，给学生打下良好的计量经济学理论基础；根据教学大纲认真编写实验指导书，协助实验室管理人员安装调试Eviews 软件，保证实验教学的顺利进行。
通过本课程的学习，应使学生掌握多元线性回归、异方差、序列相关、多重共线性、虚拟变量、模型的设定误差分析、联立方程模型等计量经济学的核心内容；通过上机操作培养和提高解决实际问题的能力。
三、课程内容本课程的主要内容有：计量经济学的基本概念、一元线性回归模型、多元线性回归模型、非线性回归模型、异方差、序列相关、多重共线性、虚拟变量、模型的设定误差、联立方程组模型的基本概念及模型识别理论等。
四、学时分配 学时内容要求6第一章 导 言第一节 什么是计量经济学第二节 计量经济学的研究对象与特点第三节 计量经济学研究的步骤 第四节 计量经济学软件简介 第五节 数理统计基础1使学生了解计量经济学的产生发展过程； 2熟悉计量经济学的基本概念，计量经济学的研究对象、内容体系、与其他学科的关系；3掌握建立计量经济学模型的过程分析经济问题的步骤；4了解常用的几种计量经济学软件，并能够初步掌握Eviews 的使用。
线性模型知识点总结
线性模型知识点总结一、线性模型概述线性模型是统计学中一类简单而又常用的模型。
在线性模型中，因变量和自变量之间的关系被描述为一个线性方程式。
线性模型被广泛应用于各种领域，如经济学、医学、社会科学等。
线性模型的简单和普适性使得它成为数据分析中的一种重要工具。
线性模型可以用来建立预测模型、对变量之间的关系进行建模和推断、进行变量选择和模型比较等。
在实际应用中，线性模型有多种形式，包括简单线性回归、多元线性回归、广义线性模型、岭回归、逻辑回归等。
这些模型在不同的情况下可以更好地满足数据的特点和要求。
二、线性回归模型1. 简单线性回归简单线性回归是最基本的线性模型之一，它描述了一个因变量和一个自变量之间的线性关系。
简单线性回归模型可以用如下的方程式来表示：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1分别是截距项和斜率项，ε是误差项。
简单线性回归模型基于最小二乘法估计参数，从而得到最优拟合直线，使得观测值和拟合值的离差平方和最小。
简单线性回归模型可以用来分析一个自变量对因变量的影响，比如身高和体重的关系、学习时间和考试成绩的关系等。
2. 多元线性回归多元线性回归是在简单线性回归的基础上发展而来的模型，它能够同时描述多个自变量对因变量的影响。
多元线性回归模型可以用如下的方程式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε其中，X1、X2、...、Xp是p个自变量，β0、β1、β2、...、βp分别是截距项和各自变量的系数，ε是误差项。
多元线性回归模型通过估计各系数的值，可以得到各自变量对因变量的影响情况，以及各自变量之间的相关关系。
3. 岭回归岭回归是一种用来处理多重共线性问题的线性回归方法。
在多元线性回归中，如果自变量之间存在较强的相关性，会导致参数估计不准确，岭回归通过对参数加上一个惩罚项来避免过拟合，从而提高模型的稳定性和泛化能力。
岭回归模型可以用如下的方程式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε - λ∑(β^2)其中，λ是岭参数，用来平衡参数估计和惩罚项之间的关系。
计量经济学-1-绪论
数据类型
❖ 时间序列数据（time series data）： 由不同时点或时期观测值所构成，其特点在于： 往往不能满足回归分析的基本假定。
❖ 混合横截面数据（pooled cross-sectional data）： 不同年份的横截面数据混合，但不同年份的样本 点不同
❖ 时序横截面数据（panel data）： 不同年份的横截面数据混合且每年样本点相同
统计图
1、散点图 2、折线图 3、条形图与直方图
1、散点图
经常用以观察两个变量之间的关系 利用散点图可以判断用以拟合的函数形式
Y
X
1、散点图
Y
X
Y a bln X
2、折线图
经常用以观察一个变量随时间发生变化的规律并进 行不同观察对象的比较
GDP指数（%） 118 116 114 112 110 108 106 104 102 100 98
1996 1555
1993
增加值用水系数 直接用水系数 完全用水系数 考虑占用的完全用水系数 对本地区的完全用水系数（考虑占用）
1500
1000 500 0
农业
662
561
543
241 62
一般工业
267 387 302 25 12
服务业
二、建立计量经济学模型的步骤和要点
理论模型的设计
样本数据的收集
1000.0
1500.0
2000.0
2500.0
3000.0
3500.0
250.0
750.0
1250.0
1750.0
2250.0
2750.0
3250.0
各省级固行定政资产区投投资 资数量的分布
第四章第四节 多重共线性的补救措施
其中， Yt 为商品的消费量， X 2t 为商品的价格，X3t 为消费者收入，若通过抽样调查得到截面数据从而
求得消费者收入的边际消费倾向估计量 ˆ3 ，则上式
变为：
Yt ˆ3 X3t 1 2 X2t ut
令 Yt* Yt ˆ3X3t ，则 Yt* 1 2 X 2t ut
如果原模型(4.4.13)式存在严重的多重共 线性，那么一般情况下，经过差分变换后 会对减轻或消除多重共线性。但是在对一 阶差分式的估计中极有可能会出现 ut 序 列相关的问题，将不满足高斯－马尔可夫 定理（古典假设）。所以，一般情况下， 差分形式应慎用。
五、逐步回归法
基本做法：1.将被解释变量Y对每一个解 释变量 Xi (i 1,2,, k) 分别进行回归，对每一个 回归方程根据经济理论和统计检验进行综合分 析判断，从中挑选出一个最优的基本回归方程。 2.在此基础上，再逐一引入其他解释变量，重 新作回归，逐步扩大模型的规模，直至从综合 情况看出现最好的模型估计形式。
但是劳动力的增长同资本的增长随时间的变换呈高
度相关。如果已知规模报酬不变，即 1 ，则 生产函数变为：
Qt
ALt
K
1 t
从而有：
ห้องสมุดไป่ตู้
Qt Kt
A( Lt ) Kt
Qt
Lt
其中 Kt 为资本产出率， Kt 为劳动对资本的
投入率。将上式两边去对数得：
ln( Qt ) ln A ln( Lt )
1
* 2
X 3t X 2t
ut
可回避原模型的多重共线性。
计量地理学第四章——线性规划和多目标规划
目标：用料最少
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划数学模型
以上例子表明，线性规划问题具有以下特征： ①每一个问题都用一组未知变量（x1，x2，…，xn）表示某一规 划方案，其一组定值代表一个具体的方案，而且通常要求这些未 知变量的取值是非负的。
②每一个问题的组成部分：一是目标函数，按照研究问题的不同， 常常要求目标函数取最大或最小值；二是约束条件，它定义了一 种求解范围，使问题的解必须在这一范围之内。
二 线性规划的标准形式
（二）化为标准形式的方法
2.约束方程化为标准形式的方法
若第k个约束方程为不等式，即
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn ()bk
引入松弛变量 x nk 0, K个方程改写为：
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn () xnk bk
则目标函数标准形式为：
非负约束
xij 0(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
mn
z
cij xij min
i1 j1
目标：总运费最小
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例 资源利用问题 假设某地区拥有m种资源，其中，第i种资源在规
划期内的限额为bi(i=1，2，…，m)。这m种资源可用 来生产n种产品，其中，生产单位数量的第j种产品需 要 消 耗 的 第 i 种 资 源 的 数 量 为 aij(i=1 ， 2 ， … ， m ； j=1,2, …,n)，第j种产品的单价为cj(j=1，2， …，n)。 试问如何安排这几种产品的生产计划，才能使规划期 内资源利用的总产值达到最大?
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例
资源利用问题
设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，n)，则上述资源问题就是：
第四章--多元线性回归模型
第四章 多元线性回归模型在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。
但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。
当解释变量的个数由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。
本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。
一、预备知识（一）相关概念对于一个三变量总体，若由基础理论，变量21,x x 和变量y 之间存在因果关系，或21,x x 的变异可用来解释y 的变异。
为检验变量21,x x 和变量y 之间因果关系是否存在、度量变量21,x x 对变量y 影响的强弱与显著性、以及利用解释变量21,x x 去预测因变量y ，引入多元回归分析这一工具。
将给定i i x x 21,条件下i y 的均值i i i i i x x x x y E 2211021),|(βββ++= （4.1） 定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF ）。
定义),|(21i i i i x x y E y -为误差项（error term ）,记为i μ，即),|(21i i i i i x x y E y -=μ，这样i i i i i x x y E y μ+=),|(21，或i i i i x x y μβββ+++=22110 （4.2）（4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。
其中，21,x x 称为解释变量（explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；y 称为被解释变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项μ解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。
使用SAS进行统计建模与预测分析
使用SAS进行统计建模与预测分析第一章：引言统计建模与预测分析是数据科学领域中最为重要的应用之一。
通过数据的收集、整理和分析，可以找出隐藏在数据中的规律和关联性，以及对未来事件的预测。
在本章中，我们将介绍使用SAS进行统计建模与预测分析的重要性和应用领域。
第二章：SAS统计分析基础在进行统计建模与预测分析之前，我们需要了解SAS软件的基础知识。
在本章中，我们将介绍SAS的安装和配置，以及基本的数据处理和统计分析方法。
涉及的内容包括数据导入、数据清洗、数据变量的描述统计分析等。
第三章：探索性数据分析探索性数据分析是统计建模的第一步，它通过可视化和描述统计方法来揭示数据中的模式和趋势。
在本章中，我们将介绍如何使用SAS进行探索性数据分析，包括绘图方法、数据聚类和主成分分析等。
第四章：线性回归模型线性回归是统计建模中最常用的方法之一，它用于建立自变量和因变量之间的线性关系模型。
在本章中，我们将介绍如何使用SAS进行线性回归分析，包括变量的选择、模型的建立、参数估计以及模型的检验和诊断。
第五章：广义线性模型广义线性模型是对线性回归模型的扩展，它能够处理非正态分布的因变量和非线性关系。
在本章中，我们将介绍如何使用SAS 进行广义线性模型的建模和分析，包括二项回归、泊松回归和logistic回归等方法。
第六章：时间序列分析时间序列分析是一类特殊的统计建模方法，用于分析时间序列数据中的趋势、季节性和周期性等特征。
在本章中，我们将介绍如何使用SAS进行时间序列分析，包括平稳性检验、ARIMA模型和季节性模型等。
第七章：非参数统计方法非参数统计方法是一类不依赖于总体分布的统计建模方法，它可以处理非正态分布和缺乏参数假设的情况。
在本章中，我们将介绍如何使用SAS进行非参数统计分析，包括Wilcoxon符号秩检验、Kruskal-Wallis检验和Mann-Whitney U检验等。
第八章：预测建模与模型评估预测建模是统计分析的重要应用之一，它用于对未来事件进行预测和估计。
第四章 扩展原理
扩展原理 II
f ( A )
f ( A) ~
[0,1]
扩展原理 I
f ( A) f (
~
[0,1]
H A( ))
第四章
扩展原理
(2)
设
B
~
F
(Y
),
B
•
HB()
B
f 1(B ) f 1(HB ( )) f 1(B )
•
f 1(B ) f 1( HB ( )) f 1(B ), [0，1]
O
A
x
f ( A) { yY x A, 使得f ( x) y}
称f ( A)为A的像.
第四章
扩展原理
B P(Y ),令 f 1(B) {x X y B, 使得y f ( x)}
称f 1(B)是B的逆像. y
f
B
O
x
f 1(B)
第四章
扩展原理
二、扩展原理
集合套的观点
设映射f : X Y , x f ( x). A F ( X ). ~ [0,1], A P( X ), f ( A ) P(Y ).
扩展原理
扩展原理 III
设映射f : X Y , x f ( x)
(1)若 A F ( X ), A H A( ) A , [0,1],则
~
•
f ( A)
~
[0,1]
f (H A( ))
(2)若 B F (Y ), B HB ( ) B , [0,1]，则
~
•
f 1(B)
~
f
1 ( B ) ~
f
[0,1]
1 (B
)
第四章
扩展原理
定理1 设映射f : X Y , x f ( x)
回归模型的扩展
弹性网络回归结合了L1和L2正则化，通过调整正则化参数，可以在特征选择和模型稳定性之间取得平 衡。与Lasso回归相比，弹性网络回归在某些情况下可以提供更准确的预测结果，因为它在选择特征 时考虑到了特征之间的相关性。
02
CATALOGUE
非线性回归模型的扩展
支持向量回归
01
02
03
支持向量回归（ Support Vector Regression，SVR）是 一种基于支持向量机（ Support Vector Machine，SVM）的非 线性回归模型。
回归模型的扩展
目录
• 线性回归模型的扩展 • 非线性回归模型的扩展 • 时间序列回归模型的扩展 • 回归模型的应用场景 • 回归模型的评价指标
01
CATALOGUE
线性回归模型的扩展
多项式回归
总结词
多项式回归是一种线性回归模型的扩展，通过引入多项式特征来拟合非线性关 系。
详细描述
多项式回归允许自变量和因变量之间存在非线性关系，通过将自变量进行多项 式变换，构建多个新的特征，使得模型能够更好地拟合数据。在建模过程中， 需要确定多项式的阶数，以避免过拟合或欠拟合。
02
股票市场情绪分析
03
行业发展趋ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ预测
通过分析社交媒体数据，利用回 归模型预测市场情绪变化，为投 资者提供情绪参考。
通过分析行业数据，利用回归模 型预测行业未来发展趋势，为投 资者提供行业选择依据。
05
CATALOGUE
回归模型的评价指标
均方误差
总结词
均方误差（Mean Squared Error，MSE）是回归模型预测误差的平方的平均值，用于 衡量模型预测的准确性。
部分多元线性回归模型及扩展
医学研究
疾病风险预测
01
基于患者的年龄、性别、生活习惯等特征，利用部分多元线性
回归模型预测疾病发生风险，为预防和治疗提供依据。
药物效果评估
02
通过分析不同药物对患者的影响数据，利用部分多元线性回归
模型评估药物疗效，为临床用药提供指导。
流行病传播预测
03
基于历史流行病传播数据，利用部分多元线性回归模型预测未
无异方差性
假设误差项的方差是恒定的， 并且与解释变量无关。
无自相关
假设误差项之间不存在自相关 ，即每个误差项都是独立的。
参数估计
最小二乘法
使用最小二乘法来估计模型的参数，最小化残差平方和。
梯度下降法
可以使用梯度下降法来优化模型的参数，以找到最佳拟合数据的 结果。
迭代算法
可以使用迭代算法来估计模型的参数，通过反复迭代直到收敛。
对自变量间的多重共线性处理不足
当自变量间存在多重共线性时，模型的表现可能会受到影响，但部分 多元线性回归模型在处理这一问题上可能不够有效。
05 部分多元线性回归模型的 未来研究方向
模型改进
模型复杂度调整
研究如何根据数据特性调整部分多元线性回归模型的复杂度，以更 好地适应不同规模和特性的数据集。
模型泛化能力
通过最小化残差平方和来估计模型的 参数，并使用这些参数来预测响应变 量的值。
部分多元
与多元线性回归模型相比，部分多元 线性回归模型只考虑部分解释变量对 响应变量的影响，而不是所有解释变 量。
模型假设
线性关系
假设解释变量与响应变量之间 存在线性关系。
无多重共线性
假设解释变量之间不存在多重 共线性，即每个解释变量在模 型中都是独立的。
对数线性模型剖析课件
与逻辑回归模型比较
对数线性模型和逻辑回归模型都适用于处理 二分类问题。逻辑回归模型在对数几率尺度 上建模，而标准对数线性模型在概率单位尺 度上建模。逻辑回归模型通常更易于解释， 并且在数据不平衡时表现更好，但对数线性 模型在某些情况下可能提供更好的拟合。
对数线性模型在未来的应用前景
自然语言处理
随着深度学习和自然语言处理技术的不断发展，对数线性模型在文本分类、情感分析等领 域的应用前景广阔。通过结合先进的特征提取方法和深度学习技术，对数线性模型有望在 自然语言处理领域取得更好的效果。
对数线性模型剖析课件
contents
目录
• 对数线性模型概述 • 对数线性模型的原理 • 对数线性模型的建立与实现 • 对数线性模型的应用案例 • 对数线性模型的扩展与展望
01
对数线性模型概述
对数线性模型的定义
总结词
对数线性模型是一种统计模型，用于 研究分类变量之间的关联。
详细描述
对数线性模型是一种统计模型，用于 研究分类变量之间的关联。它通过对 数函数将概率与解释变量相联系，从 而分析变量之间的关系。
总结词
对数线性模型具有简单易用、可解释性强等优点，但 也存在对数据分布和样本量要求较高、无法处理非线 性关系等局限性。
详细描述
对数线性模型具有简单易用、可解释性强等优点，能够 方便地分析分类变量之间的关系，并给出概率估计值。 此外，它还可以用于探索性数据分析，帮助研究者了解 数据分布和变量之间的关系。然而，对数线性模型也存 在一些局限性，如对数据分布和样本量要求较高，无法 处理非线性关系等。此外，当数据存在违反独立性假设 的情况时，对数线性模型可能产生偏差。因此，在使用 对数线性模型时需要注意其适用条件和局限性。
线性模型的名词解释
线性模型的名词解释线性模型是统计学和机器学习领域中常见的一种模型。
它假设特征和目标变量之间存在线性关系，并通过拟合这种关系来进行预测或解释。
在本文中，我们将对线性模型的各个方面进行解释，包括基本概念、应用领域、优缺点以及相关的扩展方法。
1. 基本概念线性模型的核心概念是线性关系。
在统计学中，线性关系指的是变量之间可以用直线表示的关系。
对于一个简单的线性模型，我们可以用以下表达式表示：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε其中，y是目标变量，x1, x2, ..., xn是特征变量，β0, β1, β2, ..., βn是模型的参数，ε是误差项。
该公式中的每一项都表示了一个特征变量与目标变量之间的线性关系，而误差项则表示了模型无法完美拟合数据的部分。
2. 应用领域线性模型在许多领域都有广泛的应用。
在经济学中，线性回归模型被用于解释经济现象的关系，例如GDP与生产要素之间的关系。
在医学研究中，线性模型可以用于分析药物剂量与患者反应之间的关系。
此外，线性模型还可以应用于图像处理、自然语言处理和金融风险分析等领域。
3. 优缺点线性模型具有一些优点和缺点。
首先，线性模型参数的估计和推断相对简单直观，计算效率较高。
此外，线性模型对于特征之间的关联性要求较低，可以处理高维数据。
然而，线性模型的缺点是它对非线性关系的拟合能力较差，无法捕捉到复杂数据中的非线性关系。
此外，线性模型容易受到异常值的影响，对数据分布的假设（例如误差项的正态分布）也要求较高。
4. 相关的扩展方法为了克服线性模型的局限性，研究者们提出了许多扩展方法。
其中一种常见的方法是使用多项式回归模型。
多项式回归模型允许特征变量的指数大于1，从而能够更好地拟合非线性关系。
另一种方法是引入交互项，通过特征之间的相互作用来拟合更复杂的关系。
此外，还有一些非线性模型，如决策树和神经网络，可以用于解决非线性问题。
5. 结论线性模型是一种常见且重要的统计学和机器学习模型。
第四章 方差分量线性回归模型
第四章 方差分量线性回归模型本章考虑的线性模型不仅有固定效应、随机误差，而且有随机效应。
我们先从随机效应角度理解回归概念，导出方差分量模型，然后研究模型三种主要解法。
最后本章介绍关于方差分量模型的两个前沿研究成果，是作者近期在《应用数学学报》与国际数学杂志《Communications in Statistics 》上发表的。
第一节 随机效应与方差分量模型一、随机效应回归模型前面所介绍的回归模型不仅都是线性的，而且自变量看作是固定效应。
我们从资料对npi i i X X Y 11},,{ 出发建立回归模型，过去一直是把Y 看作随机的，X 1，…，X p 看作非随机的。
但是实际上，自变量也经常是随机的，而并不是我们可以事先设计好的设计矩阵。
我们把自变量也是随机变量的回归模型称为随机效应回归模型。
究竟一个回归模型的自变量是随机的还是非随机的，要视具体情况而定。
比如一般情况下消费函数可写为)(0T X b C C -+=（4.1.1）这里X 是居民收入，T 是税收，C 0是生存基本消费，b 是待估系数。
加上随机扰动项，就是一元线性回归模型ε+-+=)(0T X b C C（4.1.2）那么自变量到底是固定效应还是随机效应?那要看你采样情况。
如果你是按一定收入的家庭去调查他的消费，那是取设计矩阵，固定效应。
如果你是随机抽取一些家庭，不管他收入如何都登记他的收入与消费，那就是随机效应。
对于随机效应的回归模型，我们可以从条件期望的角度推导出与最小二乘法则等价的回归函数。
我们希望通过X 预测Y ，也就是要寻找一个函数),,()(1p X X M X M Y ==，当X 的观察值为x 时，这个预测的误差平均起来应达到最小，即22)]([min )]([X L Y E X M Y E L-=-（4.1.3）这里min 是对一切X 的可测函数L(X)取极小。
由于当)|()(X Y E X M =（4.1.4）时，容易证明0)]()()][([=--X L X M X M Y E（4.1.5）故当)|()(X Y E X M =时，222)]()([)]([)]([X L X M E X M Y E X L Y E -+-=-（4.1.6）要使上式左边极小，只有取)|()()(X Y E X M X L ==。
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第四章 线性模型的扩展
第一节 模型的类型与变换
2013年7月16日星期二
一、变量取倒数的模型
Phillips曲线
1 W 1 2 u UN W : 工资上涨率，UN : 失业率 1 可以做变换：X , 运用OLS。 UN
第四章 线性模型的扩展
第一节 模型的类型与变换
2013年7月16日星期二
第四章 线性模型的扩展
第一节 模型的类型与变换
2013年7月16日星期二
在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂 的，直接表现为线性关系的情况并不多见。 如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂 函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 （Pillips cuves）表现为双曲线形式等。 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简 单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从 而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面 的处理。
例1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为
Q f ( X , P1 , P0 )
(*)
Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额 P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。 零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同 一比例变动时，需求量保持不变
Q (1990年价) 318.3 325.0 337.0 350.5 408.4 437.8 490.3 613.8 702.2 693.8 731.3 809.5 943.1 1265.6 1564.3 1687.9 1689.6 1637.2 1566.8 1529.2 1539.9
P0 (1990=100) 70.7 71.5 75.3 81.0 87.1 96.7 98.3 101.7 95.9 100.0 108.2 114.5 124.6 134.6 143.0 145.6 150.8 157.0 169.5 182.1 192.1
P1 (1990=100) 132.1 132.9 137.7 146.7 86.1 95.7 96.5 92.4 94.0 100.0 107.0 109.3 112.2 112.4 112.9 112.8 115.0 117.7 123.3 128.1 130.8
(当年价) (当年价) (上年=100) (上年=100) 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 456.8 471.0 505.9 559.4 673.2 799.0 884.4 1104.0 1211.0 1278.9 1453.8 1671.7 2110.8 2851.3 3537.6 3919.5 4185.6 4331.6 4615.9 4998.0 5309.0 420.4 432.1 464.0 514.3 351.4 418.9 472.9 567.0 660.0 693.8 782.5 884.8 1058.2 1422.5 1766.0 1904.7 1942.6 1926.9 1932.1 1958.3 2014.0 102.5 102.0 102.0 102.7 111.9 107.0 108.8 120.7 116.3 101.3 105.1 108.6 116.1 125.0 116.8 108.8 103.1 99.4 98.7 100.8 100.7 102.7 102.1 103.7 104.0 116.5 107.2 112.0 125.2 114.4 98.8 105.4 110.7 116.5 134.2 123.6 107.9 100.1 96.9 95.7 97.6 100.7
2013年7月16日星期二
1-6期 ˆ Y 2.924 0.7357 X (-0.453) ( 5.64 ) R 2 0.888 1-7期 ˆ Y 35.02 0.06858 X (0.952) (0.090) R 2 0.00162 S 16.9 DW 0.766 S 2.69 DW=2.27
1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 Q
特征： 消费行为在 1981~1995年间表 现出较强的一致性 1995年之后呈现出 另外一种变动特征。
建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费需求模型:
Q f ( X / P0 , P1 / P0 )
(**)
为了进行比较，将同时估计（*）式与（**）式。
第四章 线性模型的扩展
首先,确定具体的函数形式
2013年7月16日星期二
根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居 民的总支出间呈幂函数的变化关系:
Q AX
1
P1 2 P0 3
对数变换:
X：人均消费 X1：人均食品 消费
GP：居民消费 价格指数
FP：居民食品 消费价格指数
XC：人均消费 （90年价）
Q：人均食品消 费（90年价）
P0：居民消费 价格缩减指数 （1990=100）
P：居民食品消 费价格缩减指 数（1990=100
第四章 线性模型的扩展
2013年7月16日星期二
中 国 城 镇 居 民 人 均 食 品 消 费
例如，S型曲线模型:
1 Y a be x
1 / Y a be x
Y * 1 / Y , X * e x
则原方程变换为
Y* = a + bX*
第四章 线性模型的扩展
2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法
2013年7月16日星期二
例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 Q = AKL Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动 方程两边取对数： ln Q = ln A + ln K + ln L Q* = A* + K* + L*
第四章 线性模型的扩展
3、复杂函数模型与级数展开法
2013年7月16日星期二
例如，常替代弹性CES生产函数
Q A( 1 K
2 L ) e
1
(1+2=1)
Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入 ：替代参数， 1、2：分配参数 方程两边取对数后，得到：
1 LnQ LnA Ln( 1 K 2 L )
第四章 线性模型的扩展
第二节 特殊变量的使用
2013年7月16日星期二
一、一时期虚拟变量
某地消费与收入数据
1 2 3 4 5 6 7
Yt 20 30 35 35 38 40 70
Xt 35 40 50 55 56 57 40
Dt 0 0 0 0 0 0 1
第四章 线性模型的扩展
第二节 特殊变量的使用
三、通过变换可以划成线性模型的几种非线性模型
几种非线性形式参见教材118页。
其中非线性模型
e Y X 1 e
称为Logit模型
X
第四章 线性模型的扩展
几种类型的变换
2013年7月16日星期二
1、多项式模型、倒数模型等与变量的直接置换 法 例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线 s = a + b r + c r2 c<0 s：税收； r：税率 设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b X1 + c X2 c<0
第四章 线性模型的扩展
2013年7月16日星期二
例如，倒数模型: 1/Y = a + b/X 设U=1/Y，V = 1/X， 则原方程变换为 U=a+bV
第四章 线性模型的扩展
2013年7月16日星期二
例如，半对数模型: Y = a + blnX 设X*=lnX， 则原方程变换为
Y = a + bX*
例如，
lnY = a + bX
设Y*=lnY， 则原方程变换为
Y* = a + bX
第四章 线性模型的扩展
2013年7月16日星期二
例如，双对数模型: lnY = a + blnX 设Y*=lnY ,X*=lnX， 则原方程变换为
Y* = a + bX*
第四章 线性模型的扩展
2013年7月16日星期二
ln(Q ) 0 1 ln X 2 ln P1 3 ln P0
(***) (****)
考虑到零阶齐次性时
ln(Q ) 0 1 ln( X / P0 ) 2 ln( P1 / P0 )
(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得 1 2 3 0
将式中ln(1K- + 2L-)在=0处展开泰勒级数,取关于 的线性项，即得到一个线性近似式。
如取0阶、1阶、2阶项，可得
K 1 ln Y ln A 1 m ln K 2 m ln L m 1 2 ln 2 L
线性模型的扩展
计量经济学 第四章
重点问题
2013年7月16日星期二
参数的最小二乘估计 虚拟变量的使用 期望模型、分布滞后模型、柯依克分布 滞后模型、阿尔蒙分布滞后模型
第四章 线性模型的扩展
主要内容
2013年7月16日星期二
第一节 第二节 第三节 第四节
模型的类型与变换 特殊变量的使用 结构变化的检验 分布滞后模型
二、对数线性模型 Cobb-Douglas 生产函数
Q AK L e
2
3 u
其中：Q 产出量；K 资本投入量； L 劳动投入量；A, 2 , 3 未知参数。 可以通过作对数变换， 使之线性化，运用 OLS。