第2部分：线性回归(5)-多重共线性问题
多重共线性
解决方法
解决方法
（1）排除引起共线性的变量 找出引起多重共线性的解释变量，将它排除出去，以逐步回归法得到最广泛的应用。 （2）差分法 时间序列数据、线性模型：将原模型变换为差分模型。 （3）减小参数估计量的方差：岭回归法（Ridge Regression）。 （4）简单相关系数检验法
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简介
简介
对线性回归模型 基本假设之一是自变量，之间不存在严格的线性关系。如不然，则会对回归参数估计带来严重影响。为了说 明这一点，首先来计算线性回归模型参数的 LS估计的均方误差。为此。重写线性回归模型的矩阵形式为 其中服从多元正态分布，设计矩阵 X是的，且秩为 p。这时，参数的 LS估计为，而回归系数的 LS估计为。 注意到由此获得的 LS估计是无偏的，于是估计的均方误差为 其中是的特征根。显然，如果至少有一个特征根非常接近于零，则就很大，也就不再是的一个好的估计。由 线性代数的理论知道，若矩阵的某个特质根接近零，就意味着矩阵 X的列向量之间存在近似线性关系。 如果存在一组不全为零的数，使得 则称线性回归模型存在完全共线性；如果还存在随机误差 v，满足，使得 则称线性回归模型存在非完全共线性。 如果线性回归模型存在完全共线性，则回归系数的 LS估计不存在，因此，在线性回归分析中所谈的共线性 主要是非完全共线性，也称为复共线性。判断复共线性及其严重程度的方法主要有特征分析法(analysis of eigenvalue)，条件数法 (conditional numbers)和方差扩大因子法(variance inflation factor)。
产生原因
产生原因
主要有3个方面： （1）经济变量相关的共同趋势 （2）滞后变量的引入 （3）样本资料的限制
影响
影响
实验二__多元线性回归模型和多重共线性范文
实验二__多元线性回归模型和多重共线性范文多元线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究多个自变量与一个因变量之间的关系。
在进行多元线性回归分析时，一个重要的问题是多重共线性。
多重共线性是指多个自变量之间存在高度相关性，这会导致回归模型的不稳定性，参数估计的不准确性，以及对自变量的解释能力下降等问题。
在进行多元线性回归分析之前，首先需要对自变量之间的相关性进行检验。
常用的方法有相关系数、方差膨胀因子（VIF）等。
相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系，其值介于-1和1之间，接近于1表示高度正相关，接近于-1表示高度负相关。
VIF用于衡量一个自变量与其他自变量之间的相关性，其值大于1且越接近于1，表示相关性越强。
如果发现多个自变量之间存在高度相关性，即相关系数接近于1或VIF接近于1，就需采取措施来解决多重共线性问题。
一种常用的方法是通过增加样本量来消除多重共线性。
增加样本量可以提高模型的稳定性，减小参数估计的方差。
但是，增加样本量并不能彻底解决多重共线性问题，只能部分缓解。
另一种常用的方法是通过变量选择来解决多重共线性问题。
变量选择可以将高度相关的自变量从模型中剔除，保留与因变量高度相关的自变量。
常用的变量选择方法包括前向选择、逐步回归和岭回归等。
这些方法都是根据一定的准则逐步筛选变量，直到得到最佳模型为止。
在变量选择中，需要注意在变量剔除的过程中，要确保剩余变量之间的相关性尽可能小，以提高模型的稳定性和准确性。
此外，还可以通过变换变量来解决多重共线性问题。
变换变量可以通过对自变量进行平方项、交互项等操作，以减小相关性。
变换变量的方法需要根据实际情况来选择，具体操作可以参考相关的统计学方法教材。
总之，多元线性回归模型在实际应用中经常遇到多重共线性问题。
通过检验自变量之间的相关性，选择合适的变量和适当的变量变换方法，可以有效解决多重共线性问题，提高模型的稳定性和准确性。
在具体的研究中，应根据实际情况选择适合的方法来解决多重共线性问题，以确保回归分析结果的可靠性和有效性。
(完整word版)多重共线性问题的几种解决方法
多重共线性问题的几种解决方法在多元线性回归模型经典假设中,其重要假定之一是回归模型的解释变量之间不存在线性关系,也就是说，解释变量X1,X2，……,X k中的任何一个都不能是其他解释变量的线性组合。
如果违背这一假定，即线性回归模型中某一个解释变量与其他解释变量间存在线性关系，就称线性回归模型中存在多重共线性。
多重共线性违背了解释变量间不相关的古典假设,将给普通最小二乘法带来严重后果。
这里，我们总结了8个处理多重共线性问题的可用方法，大家在遇到多重共线性问题时可作参考：1、保留重要解释变量，去掉次要或可替代解释变量2、用相对数变量替代绝对数变量3、差分法4、逐步回归分析5、主成份分析6、偏最小二乘回归7、岭回归8、增加样本容量这次我们主要研究逐步回归分析方法是如何处理多重共线性问题的。
逐步回归分析方法的基本思想是通过相关系数r、拟合优度R2和标准误差三个方面综合判断一系列回归方程的优劣，从而得到最优回归方程。
具体方法分为两步：第一步，先将被解释变量y对每个解释变量作简单回归:对每一个回归方程进行统计检验分析（相关系数r、拟合优度R2和标准误差),并结合经济理论分析选出最优回归方程，也称为基本回归方程。
第二步，将其他解释变量逐一引入到基本回归方程中，建立一系列回归方程,根据每个新加的解释变量的标准差和复相关系数来考察其对每个回归系数的影响，一般根据如下标准进行分类判别：１.如果新引进的解释变量使R2得到提高,而其他参数回归系数在统计上和经济理论上仍然合理,则认为这个新引入的变量对回归模型是有利的，可以作为解释变量予以保留。
２。
如果新引进的解释变量对R2改进不明显，对其他回归系数也没有多大影响,则不必保留在回归模型中。
３.如果新引进的解释变量不仅改变了R2,而且对其他回归系数的数值或符号具有明显影响，则认为该解释变量为不利变量，引进后会使回归模型出现多重共线性问题。
不利变量未必是多余的,如果它可能对被解释变量是不可缺少的，则不能简单舍弃，而是应研究改善模型的形式，寻找更符合实际的模型，重新进行估计.如果通过检验证明回归模型存在明显线性相关的两个解释变量中的其中一个可以被另一个很好地解释，则可略去其中对被解释变量影响较小的那个变量，模型中保留影响较大的那个变量。
多重共线性问题及解决方法
多重共线性问题及解决方法概念所谓多重共线性（Multicollinearity）是指线性回归模型中的解释变量之间由于存在精确相关关系或高度相关关系而使模型估计失真或难以估计准确。
一般来说，由于经济数据的限制使得模型设计不当，导致设计矩阵中解释变量间存在普遍的相关关系。
后果参数估计失去其意义检验与检验目前常用的多重共线性诊断方法有：1.自变量的相关系数矩阵R诊断法：研究变量的两两相关分析，如果自变量间的二元相关系数值很大，则认为存在多重共线性。
但无确定的标准判断相关系数的大小与共线性的关系。
有时，相关系数值不大，也不能排除多重共线性的可能。
2.方差膨胀因子（the variance inflation factor，VIF)诊断法：方差膨胀因子表达式为：VIFi=1/（1-R2i)。
其中Ri为自变量xi对其余自变量作回归分析的复相关系数。
当VIFi很大时，表明自变量间存在多重共线性。
该诊断方法也存在临界值不易确定的问题，在应用时须慎重。
3.容忍值（Tolerance，简记为Tol）法：容忍值实际上是VIF的倒数，即Tol＝1/VIF。
其取值在0～1之间，Tol越接近1，说明自变量间的共线性越弱。
在应用时一般先预先指定一个T ol值，容忍值小于指定值的变量不能进入方程，从而保证进入方程的变量的相关系数矩阵为非奇异阵，计算结果具有稳定性。
但是，有的自变量即使通过了容忍性检验进入方程，仍可导致结果的不稳定。
4.多元决定系数值诊断法：假定多元回归模型p个自变量，其多元决定系数为R2y（X1，X2,…，Xp）。
分别构成不含其中某个自变量（Xi,i=1,2,…，p）的p个回归模型，并应用最小二乘法准则拟合回归方程，求出它们各自的决定系数R2i（i=1,2,…，p）。
如果其中最大的一个R2k与R2Y很接近，就表明该自变量在模型中对多元决定系数的影响不大，说明该变量对Y总变异的解释能力可由其他自变量代替。
它很有可能是其他自变量的线性组合。
线性相关与回归(简单线性相关与回归、多重线性回归、Spearman等级相关)
何平平
北大医学部流行病与卫生统计学系 Tel：82801619
线性相关与回归
内容：
多重线性回归分析 简单线性相关与回归
特例
Spearman等级相关
一、简单线性相关与回归 （一）直线回归（linear regression）
1.定义：用直线方程表达X（自变量，independent variable；解释变量，explanatory variable；预测变量， predictor variable ）和Y （因变量，dependent variable；响应变量，response variable；结局变量， outcome variable ）之间的数量关系。
ˆ 0.05/ 2, n 2 Y Y
（二）直线相关（linear correlation）
1.定义
描述具有直线关系的两个变量之间的相互关系。 r：相关系数，correlation coefficient 用来衡量有直线关系的两个变量之间相关的密切程度和 方向。-1r1 r>0，正相关；r=1为完全正相关 r <0，负相关；r=-1为完全负相关
变量说明：X:体重指数；Y:收缩压（mmHg）。 1.绘制散点图
散点图显示：收 缩压与体重指数 之间有线性相关 趋势，因此可以 进一步做直线回 归与相关
2.直线回归与相关分析
Regression, 回归
Linear, 线性
2.直线回归与相关分析
因变量
自变量
相关 系数r
调整r2 决定 系数r2
F值
4.b的假设检验： b为样本回归系数，由于抽样误差， 实际工作中b一般都不为0。要判断直线回归方程是否成 立，需要检验总体回归系数是否为0。 H0：=0 H1：0 方法一：t检验
回归分析中的多重共线性问题及解决方法(六)
回归分析中的多重共线性问题及解决方法回归分析是统计学中常用的一种分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
然而，在进行回归分析时，常常会遇到多重共线性的问题。
多重共线性指的是自变量之间存在高度相关性，这会导致回归系数估计不准确，模型预测能力下降，甚至使得结果产生误导。
本文将探讨回归分析中的多重共线性问题及解决方法。
多重共线性问题的产生多重共线性问题通常是由于自变量之间存在高度相关性所导致的。
当自变量之间存在线性相关关系时，回归模型的系数估计变得不稳定，可能会产生较大的标准误差，从而影响对因变量的预测能力。
多重共线性问题的影响多重共线性问题会使得回归系数的估计产生偏离，导致模型的稳定性下降。
此外，多重共线性还会对回归模型的解释能力产生影响，使得模型的可信度下降。
解决多重共线性的方法为了解决多重共线性问题，可以采取以下几种方法：1. 增加样本量增加样本量可以减少参数估计的方差，从而提高估计的精确度。
通过增加样本量，可以减轻多重共线性对参数估计的影响。
2. 删除相关自变量当自变量之间存在高度相关性时，可以考虑删除其中一个或多个相关自变量，以减轻多重共线性的影响。
通过删除相关自变量，可以减少模型的复杂性，提高模型的解释能力。
3. 合并相关自变量另一种解决多重共线性问题的方法是合并相关自变量。
通过将相关自变量进行合并或者构建新的自变量，可以降低自变量之间的相关性，从而减轻多重共线性的影响。
4. 使用主成分分析主成分分析是一种常用的多重共线性处理方法。
通过主成分分析，可以将相关自变量进行线性组合，从而得到一组新的无关自变量，使得回归模型的稳定性得到提高。
5. 使用正则化方法正则化方法是另一种处理多重共线性问题的有效手段。
通过对回归系数进行惩罚，可以有效地控制多重共线性对参数估计的影响，从而提高模型的稳定性。
结语多重共线性是回归分析中常见的问题，对回归模型的稳定性和预测能力都会产生负面影响。
因此，处理多重共线性问题是非常重要的。
第五 多重共线性(共54张PPT)
▪ 但是应注意：
▪ 如果研究的目的仅在于预测被解释变量Y，而各个解释变量X之间的 多重共线性关系的性质在未来将继续保持，这时虽然无法精确估计 个别的回归系数，但可估计这些系数的某些线性组合，因此多重共 线性可能并不是严重问题。
第三节 多重共线性的检验
多重共线性检验的任务是：
1）检验多重共线性是否存在；
4、变量的显著性检验失去意义
存在多重共线性时
参数估计值的方差与标准差变大
容易使通过样本计算的t值小于临界值， 误导作出参数为0的推断
可能将重要的解释变量排除在模型之外
5、模型的预测功能失效
▪ 变大的方差容易使区间预测的“区间”变大，使预测
失去意义。
▪其次，由于参数估计量的方差变大，因而对样本值的 反映十分敏感，即当样本观测值稍有变化时，模型参数 就有很大差异，致使模型难以应用。
2）估计多重共线性的范围，即判断哪些变量之间存在
共线性。
一、 检验多重共线性是否存在
1．简单相关系数检验法
利用解释变量之间的线性相关程度去判断是否存在严重多重 共线性的一种简便方法。
一般而言，如果每两个解释变量的简单相关系数比较高，如 大于0.8，则可认为存在着较严重的多重共线性。
注意 较高的简单相关系数只是多重共线性存在的充分条件， 而不是必要条件。特别是在多于两个解释变量的回归模型中， 有时较低的简单相关系数也可能存在多重共线性。因此并不 能简单地依据相关系数进行多重共线性的准确判断。
如果拟合优度变化显著，则说明新引入的变量是一个独立的解释 变量；
如果拟合优度变化很不显著，则说明新引入的变量不是一个独立 的解释变量，它可以用其他变量的线性组合代替，也就是说它与其 他变量之间存在多重共线性。
回归分析中的多重共线性问题及解决方法(七)
回归分析是统计学中常用的一种方法，它用于研究自变量和因变量之间的关系。
然而，在实际应用中，经常会遇到多重共线性的问题，这给回归分析带来了一定的困难。
本文将讨论回归分析中的多重共线性问题及解决方法。
多重共线性是指独立自变量之间存在高度相关性的情况。
在回归分析中，当自变量之间存在多重共线性时，会导致回归系数估计不准确，标准误差增大，对因变量的预测能力降低，模型的解释能力受到影响。
因此，多重共线性是回归分析中需要重点关注和解决的问题之一。
解决多重共线性问题的方法有很多种，下面将介绍几种常用的方法。
一、增加样本量增加样本量是解决多重共线性问题的一种方法。
当样本量足够大时，即使自变量之间存在一定的相关性，也能够得到较为稳健的回归系数估计。
因此，可以通过增加样本量来减轻多重共线性对回归分析的影响。
二、使用主成分回归分析主成分回归分析是一种常用的处理多重共线性问题的方法。
主成分回归分析通过将原始自变量进行线性变换，得到一组新的主成分变量，这些主成分变量之间不存在相关性，从而避免了多重共线性问题。
然后，利用这些主成分变量进行回归分析，可以得到更为准确稳健的回归系数估计。
三、岭回归岭回归是一种经典的解决多重共线性问题的方法。
岭回归通过对回归系数施加惩罚项，从而减小回归系数的估计值，进而降低多重共线性对回归分析的影响。
岭回归的思想是在最小二乘估计的基础上加上一个惩罚项，通过调节惩罚项的系数来平衡拟合优度和模型的复杂度，从而得到更为稳健的回归系数估计。
四、逐步回归逐步回归是一种逐步选择自变量的方法，可以用来解决多重共线性问题。
逐步回归可以通过逐步引入或剔除自变量的方式，来得到一组最优的自变量组合，从而避免了多重共线性对回归系数估计的影响。
以上所述的方法都可以用来解决回归分析中的多重共线性问题。
在实际应用中，应该根据具体的情况选择合适的方法来处理多重共线性问题，从而得到准确可靠的回归分析结果。
总之，多重共线性是回归分析中需要重点关注的问题，通过合适的方法来处理多重共线性问题，可以得到更为准确稳健的回归系数估计，从而提高回归分析的预测能力和解释能力。
线性回归分析
一元线性回归分析1.理论回归分析是通过试验和观测来寻找变量之间关系的一种统计分析方法。
主要目的在于了解自变量与因变量之间的数量关系。
采用普通最小二乘法进行回归系数的探索，对于一元线性回归模型,设（X1，Y1），（X2，Y2），…，（X n，Y n）是取至总体（X,Y）的一组样本。
对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。
要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。
综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。
由此得回归方程：y=β0+β1x+ε其中Y为因变量，X为解释变量（即自变量），ε为随机扰动项，β0，β1为标准化的偏斜率系数，也叫做回归系数。
ε需要满足以下4个条件：1.数据满足近似正态性：服从正态分布的随机变量。
2.无偏态性：∑（εi）=03.同方差齐性：所有的εi 的方差相同，同时也说明εi与自变量、因变量之间都是相互独立的。
4.独立性：εi 之间相互独立，且满足COV（εi，εj）=0（i≠j）。
最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。
用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。
最常用的是普通最小二乘法（OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。
线性回归分析根据已有样本的观测值，寻求β0，β1的合理估计值^β0，^β1，对样本中的每个x i，由一元线性回归方程可以确定一个关于y i的估计值^y i=^β0+^β1x i，称为Y关于x的线性回归方程或者经验回归公式。
^β0=y-x^β1，^β1=L xy/L xx，其中L xx=J12−x2，L xy=J1−xy，x=1J1 ，y=1J1 。
再通过回归方程的检验：首先计算SST=SSR+SSE=J1^y−y 2+J1−^y2。
其中SST为总体平方和，代表原始数据所反映的总偏差大小；SSR为回归平方和（可解释误差），由自变量引起的偏差，放映X的重要程度；SSE为剩余平方和（不可解释误差），由试验误差以及其他未加控制因子引起的偏差，放映了试验误差及其他随机因素对试验结果的影响。
回归模型中多重共线性的情形及其处理
丫= 1+ 8人-4人+ 3为=1 + 8人-（3X2+ 2）+ 3为=7+ 8人-9%（1.5）在（1.4）中，X2的系数为12,表示丫与为成正比例关系，即正相关；而在（1.5）中,X2的系数为-9,表示丫与X?成负比例关系，即负相关。
如此看来，同一个方程丫= 1+ 4片+ 3X2变换出的两个等价方程，由于不同的因式分解和替换，导致两个方程两种表面上矛盾的结果。
实际上，根据X1 = 3为+ 2式中的X1与为的共线性，X1约相当于3X2, 在（1.4）减少了3人，即需要用9个X2来补偿；而在（1.5）增加了4人, 需要用12个X2来抵消，以便保证两个方程的等价性，这样一来使得（1.5）中为的系数变为了负数。
从上述分析看来，由于X i与勺的共线性，使得同一个方程有不同的表达形式，从而使得丫与为间的关系难以用系数解释。
2•对多重线性关系的初步估计与识别如果在实际应用中产生了如下情况之一，则可能是由于多重共线性的存在而造成的，需作进一步的分析诊断。
①增加（或减去）一个变量或增加（或剔除）一个观察值，回归系数发生了较大变化。
②实际经验中认为重要的自变量的回归系数检验不显著。
③回归系数的正负号与理论研究或经验相反。
④在相关矩阵中，自变量的相关系数较大。
⑤自变量回归系数可信区间范围较广等。
3•对多重共线性本质的认识多重共线性可分为完全多重共线性和近似多重共线性（或称高度相关性），现在我们集中讨论多重共线性的本质问题。
多重共线性普遍被认为是数据问题或者说是一种样本现象。
我们认为，这种普遍认识不够全面，对多重共线性本质的认识，至少可从以下几方面解解。
（3）检验解释变量相互之间的样本相关系数。
假设我们有三个解释变量X i、X2、X3，分别以「12、「13、「23 来表示X i 与X2、X i 与X3、X2与X3之间的两两相关系数。
假设r i2 = 0.90,表明X i与X2之间高度共线性，现在我们来看相关系数「12,3，这样一个系数我们定义为偏相关系数，它是在变量X3为常数的情况下，X i与X2之间的相关系数。
多元线性回归——多重共线性
不可区分）
0 ˆ β = ▲ 从OLS估计式看：可以证明此时 2 0
2）参数估计值的方差无限大
OLS估计式的方差成为无穷大： Var( ˆ ) 2
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2、不完全多重共线性产生的后果
1 ˆ X X 0则 （X X） X Y
ˆ仍满足线性，无偏性和 最小方差性。
2 1 ˆ） 而 X X 0，Var Cov（ （ X X）
二、 多重共线性产生的后果
基本内容: ●完全多重共线性产生的后果 ●不完全多重共线性产生的后果
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1、完全多重共线性产生的后果
X X 0即 X X 不存在
1 1 ˆ 而 （X X） X Y ˆ无法估计 导致
15
1）参数的估计值不确定
当解释变量完全线性相关时 ——OLS 估计式不确定 ▲ 从偏回归系数意义看：在 X 2 和 X 3完全共线性时，无法保 持 X 3 不变，去单独考虑 X 2 对Y 的影响（ X 2 和 X 3 的影响
建筑业增加值JZZ
总人口TPOP 最终消费CUM 受灾面积SZM
-1.527089
0.151160 0.101514 -0.036836
1.206242
0.033759 0.105329 0.018460
-1.265989
4.477646 0.963783 -1.995382
0.2208
0.0003 0.3473 0.0605
截距项
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid
-11793.34
0.995015 0.993441 481.5380 4405699.
第5章多重共线性的情形及其处理
记
C=(cij)=(X*′X*)-1 称其主对角线元素VIFj=cjj为自变量xj的方差扩大因子(Variance Inflation Factor,简记为VIF)。根据OLS性质3可知，
var(ˆ j ) cjj 2 / Ljj , j 1,, p
外，除非我们修改容忍度的默认值。
§5.2 多重共线性的诊断
以下用SPSS软件诊断例3.2中国民航客运量一例中的多重共线性问题。
Coeffi ci entsa
Unst andardized Coef f icients
Std.
B
Error
(C onstant ) 450. 909 178. 078
X1
每个数值平方后再除以特征值，然后再把每列数据 除以列数据之和，使得每列数据之和为1，这样就 得到了输出结果6.2的方差比。
再次强调的是线性回归分析共线性诊断中设计 阵X包含代表常数项的一列1，而因子分析模块中 给出的特征向量是对标准化的设计阵给出的，两者 之间有一些差异。
三、 等级相关系数法 (Spearman Rank Correlation )
根据矩阵行列式的性质，矩阵的行列式等于其 特征根的连乘积。因而，当行列式|X′X|≈0时, 矩 阵X′X至少有一个特征根近似为零。反之可以证明， 当矩阵X′X至少有一个特征根近似为零时，X 的列 向量间必存在复共线性，证明如下：
记X =（X0 ，X1，…，Xp），其中 Xi为X 的列向量， X0 =（1，1，…，1）′是元素全为1的n维列向量。 λ是矩阵X′X的一个近似为零的特征根，λ≈0 c=(c0,c1, …,cp)′是对应于特征根λ的单位特征向量，则
解决多元线性回归中多重共线性问题的方法分析
解决多元线性回归中多重共线性问题的方法分析谢小韦，印凡成河海大学理学院，南京 (210098)E-mail ：xiexiaowei@摘 要：为了解决多元线性回归中自变量之间的多重共线性问题，常用的有三种方法: 岭回归、主成分回归和偏最小二乘回归。
本文以考察职工平均货币工资为例，利用三种方法的SAS 程序进行了回归分析，根据分析结果总结出三种方法的优缺点，结果表明如果能够使用定性分析和定量分析结合的方法确定一个合适的k 值，则岭回归可以很好地消除共线性影响；主成分回归和偏最小二乘回归采用成份提取的方法进行回归建模，由于偏最小二乘回归考虑到与因变量的关系，因而比主成分回归更具优越性。
关键词：多重共线性；岭回归；主成分回归；偏最小二乘回归1. 引言现代化的工农业生产、社会经济生活、科学研究等各个领域中，经常要对数据进行分析、拟合及预测，多元线性回归是常用的方法之一。
多元线性回归是研究多个自变量与一个因变量间是否存在线性关系,并用多元线性回归方程来表达这种关系，或者定量地刻画一个因变量与多个自变量间的线性依存关系。
在对实际问题的回归分析中，分析人员为避免遗漏重要的系统特征往往倾向于较周到地选取有关指标，但这些指标之间常有高度相关的现象，这便是多变量系统中的多重共线性现象。
在多元线性回归分析中，这种变量的多重相关性常会严重影响参数估计，扩大模型误差，破坏模型的稳健性，从而导致整体的拟合度很大，但个体参数估计值的t 统计量却很小，并且无法通过检验。
由于它的危害十分严重，存在却又十分的普遍，因此就要设法消除多重线性的不良影响。
常用的解决多元线性回归中多重共线性问题的模型主要有主成分回归、岭回归以及偏最小二乘回归。
三种方法采用不同的方法进行回归建模，决定了它们会产生不同的效果。
本文以统计职工平均货币工资为例，考察一组存在共线性的数据，运用SAS 程序对三种回归进行建模分析，并对结果进行比较，总结出它们的优势与局限，从而更好地指导我们解决实际问题。
计量经济学试题计量经济学中的多重共线性问题与解决方法
计量经济学试题计量经济学中的多重共线性问题与解决方法计量经济学试题-多重共线性问题与解决方法在计量经济学中，多重共线性是一个重要的问题。
它指的是当两个或多个自变量之间存在高度相关性时，会导致模型估计的结果不准确或者不可靠。
多重共线性问题在经济学研究中经常出现，因此探索解决方法是非常必要的。
一、多重共线性问题的原因多重共线性问题通常由于样本中的自变量之间存在强烈的线性相关性而引发。
例如，当一个自变量可以通过其他自变量的线性组合来表示时，就会出现多重共线性问题。
这种情况下，模型估计的结果会变得不稳定，标准误差会变得很大，使得对自变量的解释变得困难。
二、多重共线性问题的影响多重共线性问题对计量经济模型的影响是多方面的。
首先，它会导致模型估计结果的不稳定性。
当自变量之间存在高度相关性时，即使是微小的样本误差也会导致模型估计结果的显著变化。
其次，多重共线性问题会导致标准误差的上升，使得参数的显著性检验变得困难。
最后，多重共线性问题还会导致模型解释力的下降，使得对自变量对因变量的影响进行准确的解释变得困难。
三、解决多重共线性问题的方法1. 删除变量：当发现自变量之间存在高度相关性时，一种解决方法是删除其中一个变量。
如果某个自变量可以用其他变量线性表示，就可以考虑将其删除。
然而，删除变量的过程需要谨慎，以免造成结果的失真。
2. 采用主成分分析：主成分分析是一种常用的处理多重共线性问题的方法。
它通过对自变量进行线性组合，生成新的主成分变量，从而消除原始自变量之间的相关性。
通过采用主成分分析，可以得到一组无关的自变量，从而解决多重共线性问题。
3. 利用岭回归：岭回归是一种通过增加正则化项来减小模型参数估计标准误差的方法。
通过岭回归，可以有效地解决多重共线性问题。
岭回归对相关自变量的系数进行惩罚，从而减小系数估计的方差。
这种方法可以提高模型的准确性和稳定性。
4. 使用其他估计方法：在实际应用中，还可以采用其他估计方法来解决多重共线性问题。
回归分析中的多重共线性问题及解决方法(八)
回归分析是统计学中的重要方法之一，它用来研究自变量与因变量之间的关系。
然而，在进行回归分析时，研究人员往往会遇到多重共线性的问题。
多重共线性是指自变量之间存在高度相关性的情况，这会导致回归系数估计不准确，甚至失去解释力。
本文将探讨回归分析中的多重共线性问题及解决方法。
1. 多重共线性问题的影响多重共线性问题会造成回归系数的估计不准确，导致参数估计的标准误较大，t统计量较小，从而影响回归模型的显著性检验。
此外，多重共线性还会导致回归系数的符号与理论预期相悖，使得模型的解释能力大大减弱。
2. 多重共线性问题的诊断为了解决回归分析中的多重共线性问题，首先需要进行诊断。
常用的诊断方法包括：方差膨胀因子（VIF）、特征根分析、条件数等。
其中，VIF是应用最为广泛的一种方法，它通过计算自变量之间的相关系数来判断是否存在多重共线性问题。
一般来说，如果自变量之间的相关系数较高（大于），则可以认为存在多重共线性问题。
3. 解决多重共线性的方法一旦发现回归分析中存在多重共线性问题，就需要采取相应的解决方法。
常用的解决方法包括：删除相关性较高的自变量、合并相关自变量、使用主成分回归等。
其中，删除相关自变量是最为直接的方法，但需要谨慎选择，以免丢失重要信息。
合并相关自变量则是将相关自变量进行线性组合，从而减少共线性的影响。
主成分回归则是通过将相关自变量进行主成分提取，来解决多重共线性问题。
这些方法各有优劣，需要根据具体情况来选择合适的方法。
4. 实例分析为了更好地理解多重共线性问题及解决方法，我们可以通过一个实例来进行分析。
假设我们要研究一个人的身高与体重之间的关系，我们选择了身高、体重和BMI指数作为自变量，而体脂率作为因变量。
通过回归分析，我们发现身高、体重和BMI指数之间存在较高的相关性，从而导致回归系数的估计不准确。
为了解决这一问题，我们可以采取合并相关自变量或主成分回归的方法，从而得到更为准确的回归系数估计。
多重共线性问题课件
多重共线性的表现形式
相关性矩阵
通过计算自变量之间的相关性矩阵，可以发现高度相关的自变量 。
特征值
在多重共线性情况下，某些特征值的绝对值会接近于0，这表明自 变量之间存在高度相关。
方差膨胀因子
数据收集阶段预防
总结词
在数据收集阶段，预防多重共线性的关键是保证 数据的准确性和完整性，以及合理的数据样本量 。
总结词
在数据收集阶段，可以通过增加样本量来降低多 重共线性的影响。
详细描述
数据的质量直接关系到模型的准确性和可靠性， 因此需要确保数据的准确性和完整性。此外，合 理的数据样本量可以降低随机误差的影响，提高 模型的稳定性和可靠性。
多重共线性问题的
03
诊断
特征值诊断法
总结词
通过计算模型中自变量的特征值来判断是否存在多重共线性问题。
详细描述
特征值诊断法是通过计算自变量的特征值来判断自变量之间的相关性。如果自变量的特征值接近于零 ，说明该自变量与其他自变量高度相关，存在多重共线性问题。
条件指数法
总结词
通过计算自变量之间的条件指数来判断 是否存在多重共线性问题。
VS
详细描述
条件指数是一种衡量自变量之间相关性的 指标，如果条件指数大于一定阈值，说明 自变量之间存在多重共线性问题。
方差膨胀因子法
总结词
通过计算自变量的方差膨胀因子来判 断是否存在多重共线性问题。
详细描述
方差膨胀因子是衡量自变量对因变量 影响的放大程度，如果方差膨胀因子 大于一定阈值，说明自变量之间存在 多重共线性问题。
Байду номын сангаас
计量经济学【多重共线性】
四、多重共线性的解决方法
（三）逐步回归法( Frisch综合分析法) ◆ 从所有解释变量中间先选择影响最为显著的变量 建立模型，然后再将模型之外的变量逐个引入模型； 每引入一个变量，就对模型中的所有变量进行一次显 著性检验，并从中剔除不显著的变量；逐步引入—— 剔除——引入，直到模型之外所有变量均不显著时为 止。这种消除多重共线性的方法称为逐步回归法，也 称 Frisch 综合分析法。
◆ 根据前页表中的数据，回归结果如下所示：
◆ 回归结果表明，在 5%显著性水平下，收入(GNP) 和价格(CPI) 的系数各自均不是统计显著的。模型 通过 F 检验。我们可以断定上述方程存在严重的多 重共线性。为解决这个问题，我们可以用实际进口 额 (IM/CPI) 对实际收入 (GNP/CPI) 进行回归，得到 如下结果：
根据理论分析，可支配收入应该是服装需求最主要的
影响因素，相关系数检验也表明，可支配收入与服装
需求的相关性最强。所以，以
作为最基
本的模型。
(2) 加入服装价格指数 ，对服装需求 关于 建立二元回归模型：
可以看出，加入 后， 值稍微有所减少，参数估 计值的符号也正确，并没有影响 系数的显著性， 所以在模型中保留 。
如果两个解释变量完全相关，如 回归模型退化为一元线性回归模型
，该二元线性
这时，只能确定综合参数 定 各自的估计值。
的估计值，却无法确
二、多重共线性造成的影响
◆ 注意：除非是完全共线性，多重共线性并不意味 着任何基本假设的违背；因此，即使出现较高程度 的多重共线性，OLS 估计量仍具有线性性等良好的 统计性质。问题在于，即使 OLS 法仍是最好的估计 方法，它却不是“完美的”，尤其是在统计推断上
五、案例分析
线性回归模型的多重共线性问题
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安徽大学经济学院
计量经济学讲义
8.6 多重共线性的诊断
多重共线性的诊断方法： 1. R2较高但t值统计显著的不多。 2. 解释变量两两高度相关。 3. 从属回归(auxiliary regression)或辅助回归 (subsidiary regression) 考虑Y对X2、X3、X4、X5、X6、X7这6个解释变量的回归， 如果回归结果表明存在多重共线性，比如R2值很高， 但解释变量的系数很少是统计显著的，那么可以判定 有些解释变量可能与其它解释变量存在共线性问题。
2
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
8.2 什么是多重共线性？
例8.1 产品价格、收入、工资对商品需求量的影响
Y（需求量） 需求量） 49 45 44 39 38 37 34 33 30 29
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5
方差扩大因子检验
分析已知
σ2 σ2 = Var [bk ] = x ′k M k x k x ′k x k x ′k X k (X ′k X k )1 (X ′k x k ) = σ2
1 x ′k X k (X ′k X k ) X ′k x k x ′k x k 1 x ′k x k
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（一）增加样本容量
原理：样本容量越大，变量相关性越小， 相关越难。 注意局限，且不一定解决问题。
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（二）差分方程
线性回归模型为 Yi = β 0 + β1 X 1i + β 2 X 2i + ε i 且已知 X 1和 X 2之间存在多重共线性问题。 Yi = Yi Yi 1 作如下变换：
log Y log K = log A + α (log L log K ) + ε Y L log = log A + α log + ε K K
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（四）岭回归方法
设一个多元线性回归模型为 Y = Xβ + ε 普通最小二乘估计的公式为 B = (X′X )1 X′Y X 当解释变量间存在严重的多重共线性时， ′X 矩阵 接近于奇异。 用 X′X + λD 代替 X′X 代入最小二乘估计的公式，得 到： β(λ ) = (X′X + λD)1 X′Y 其中 λ 称为“岭回归参数”，一般 0 < λ < 1 ，D 2 2 dk2 = ∑Xki (k =1,2,L, K) 是用 X′X 矩阵对角线上元素 d 0 = n 和 i 构成的对角线矩阵 。
2 k
σ2 Var [b k ] = SST
2 k
k
2 k
σ 1 σ2 > 2 SSTk 1 Rk SSTk
VIF (bk ) = 1 1 Rk2
方差扩大因子，记作 常以方差扩大因子是否大于10来判断第 k 个解释变量是否存在较强的、必须加以处理 的多重共线性。
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状态数检验
1、 状态指数 将 X 矩阵的每一列 X 用其模 X = X′ X 相除以实现标准化，然后再求 X′X 矩阵的 特征值，取其中最大的除以最小的后再求 平方根，得到该矩阵的“状态数”，记为： λmax γ= λmin 通常当 γ 大于20或30时，认为存在较 明显的多重共线性。
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先验信息参数约束 例：生产函数 Y = ALα K β ，经对数变换为：
log Y = log A + α log L + β log K + ε
如果预先知道所研究的经济有规模报酬不 变的性质，即函数中的参数满足 α + β = 1 就可以克服多重共线性。
log Y = log A + α log L + (1 α ) log K + ε
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（四）岭回归方法
d 02 D = d 12 O d k2
估计量的数学期望为：
1 E β(λ ) = (X′X + λD) X′E [Y ] 1 = (X′X + λD) X′Xβ
[ ]
1 = (X′X + λD) (X′X + λD λD)β
= β - λ (X′X + λD) Dβ
X 1i = X 1i X 1i 1
X 2i = X 2i X 2i 1
改用差分方程 Yi = β1X 1i + β 2 X 2i 1 + ε i′ 进行回归，受多重共线性的影响比较小。
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（三）模型修正
1、删减解释变量（利用检验结论、 经验等），但从模型中删减解释 变量可能导致“模型设定误差”。 2、重新考虑模型（利用原模型回归 信息、经验等） 3、变量变换 4、先验信息参数约束
1
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实例：Eviews数据表中是1950-1987年 间美国机动车汽油消费量和影响消费量的 变量数值。其中格变量表示：QMG为机动 车汽油消费量（单位：千加仑）；CAR为 汽车保有量；PMG为机动车汽油零售价格； POP为人数；RGNP为按1982年美元计算 的GNP（单位：十亿美元）；PGNP为 GNP指数（以1982年为100）。以汽油 消费量为因变量，其他变量为自变量，建 立回归模型。
k
k k
8
确定哪些解释变量的系数受到多重共线性的 影响： 先计算各个特征值的“状态指数”
λi λ min
这些状态指数的水平在1到 之间，很 可能有好几个超过20-30的“危险”水平。
λ max λ min
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四、多重共线性的克服和处理
（一）增加样本容量 （二）差分方程 （三）模型修正 （四）岭回归方法、主[x k X k ] 根据分块矩阵的运算法则有
x ′x X′X = k k X k ′x k
1
′ xk Xk ′ Xk Xk
1
其逆矩阵 (X′X ) 左上角的首项为
1 ′ ′ ′ ′ 1 x k x k x k X k X k X k X k x k = (x′k M k x k )
记
x′k xk
为 SST ，
k
1 x′k X k (X′k X k ) X′k x k
为
SSRk
。
σ2 Var [bk ] = = SST k 1 R k2 SSR k SST k 1 SST k
σ2
(
)
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当 R = 0 时， 当 0 < R < 1 时，Var[b ] =
多重共线性问题
一、问题的性质和种类 二、多重共线性的危害 三、多重共线性的测定 四、多重共线性的克服和处理
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一、问题的性质和种类
1、完全多重共线性 模型设定问题 识别问题 2、近似多重共线性 主要是数据问题，也有模型设定问题
2
近似） 二、 （近似）多重共线性的危害
1、普通最小二乘法估计量的方差和标准差变大，即 精确度下降；2、置信区间变宽；3、t值不显著； 4、R平方值较高，但t值并不都显著； 5、OLS估计量及其标准差对数据的微小变化非常敏感， 即它们趋于不稳定；6、回归系数符号有误； 7、难以衡量各个解释变量对回归平方和（ESS）或者 R2的贡献。 总之，随着多重共线性程度的提高，参数方差会急剧 上升到很大的水平，理论上使最小二乘法估计的有效 性、可靠性和价值都受到影响，实践中参数估计的稳 定性和可靠程度下降。
X ′k 其中 M k k 因此参数β k 的最小二乘估计 b 的方差为
k
′ = I XkXk X
1
σ2 Var [bk ] = x′k M k x k
4
三、多重共线性的测定
1、R2较高但t值显著的不多； 2、解释变量两两高度相关； 3、检验解释变量相互之间的样本相关系数； 4、从属（subsidiary）or辅助（auxiliary）回归。 5、方差扩大（膨胀）因子检验。 6、状态数检验 注意：没有一种检验方法能够使我们彻底解决多 重共线性问题。多重共线性是一个程度问题。