不等式的性质
不等式基本性质
不等式基本性质不等式是数学分析中最重要的概念，它涉及到比较大小的问题，在现代数学的发展中起着至关重要的作用。
一般而言，不等式就是给出一个不完全相同的两个数，并表示其大小关系，有时也包括一个不等式中的多个变量，尤其是在微积分和线性代数领域，研究大量不等式的性质。
下面介绍一些被称为不等式基本性质的典型性质。
首先，不等式的交换性：也就是如果a≠b，则b≠a，也就是说，左边的数等于右边的数，而右边的数又等于左边的数，因此不等式的交换性得以成立。
其次，不等式的可加性：如果我们考虑两个数的不等式，那么我们可以把这两个数相加，其结果仍然是一个不等式，这就是不等式的可加性。
再次，不等式的超集性：也就是如果a<b，则a<b<c，其中a，b，c 都是数字，这说明b绝对不小于a，以及c绝对不小于b。
第四，不等式的对偶性：这是一种重要的对称性，即如果a＜b，则在相同的条件下，-a＞-b，而且与之相对应的如果a≥b，则-a≤-b。
最后，不等式的可代换性：这种性质是指可以用a的乘积或商来替代不等式中的a，而且不影响不等式的结果，如果a<b，则ka<kb，这意味着当a乘以某个正数k后，a的不等式的结果仍为a小于b。
以上总结了不等式的基本性质，包括交换性、可加性、超集性、对偶性和可代换性，这些基本性质可以简单明了地把控数学中不等式的大小，因为不等式在微积分和线性代数中有着重要的地位，只有深入掌握不等式的基本性质，才可以进行更深入的研究。
另外，不等式也与其他的数学元素有着千丝万缕的联系。
比如解方程，求极限，需要用到不等式；在几何学中，通常需要使用不等式来表示某种状态；在统计中，不等式也发挥着重要作用，可以运用不等式来定义一组统计数据的概率分布及相关特征。
总之，不等式是数学比较大小的重要基础，不等式基本性质是一个很重要的内容，深入研究不等式的基本性质可以更深入地理解不等式的性质，使我们在日常的数学计算中更轻松，更快捷地得出结论，从而推动数学的进一步发展。
不等式的四条基本性质
不等式的四条基本性质
不等式的四条基本性质是数学中一种重要的概念，它是解决方程的基础，是一门数学的基本知识。
归纳一下，不等式的四条基本性质包括：转置法则、结合率、分配法则、乘法法则。
首先，不等式的转置法则表明当两个不等式之间没有任何改动时，它们保持其相等状态。
例如，对于x>y，则y<x恒成立。
其次，不等式的结合率表明将二元不等式（即只包含两个未知量的不等式）通过乘以一个正实数结合到一起，它不会改变不等式的解的乘法，即任何一个二元不等式的乘法都是它的解的结合率。
例如，若x>0，不论乘以多少正实数都会使x
的大小保持不变，最终仍然>0。
再次，不等式的分配法则表明，当将一个正实常数分别与不等式的两边相乘时，它将被均匀地分配到不等式的两边。
例如，我们如果将2x与3x分别乘以k，那么可以得到(2kx + 3kx)>0，原来的不等式不变，同时常数k也是均匀地分配到不等式的两边。
最后，不等式的乘法法则表明，当将一个变量和一个正实常数相乘时，不等式的大小状态将保持不变。
例如，当我们将一个变量x和c乘起来，x>0时，必然有cx>0，而x<0时，有cx<0，因此这条不等式的大小状态不变。
总的来说，不等式的四条基本性质是探究方程解的根基，由它们可以更进一步地求解数学方程，对学习数学解题技巧再次有所帮助。
不等式的定义与性质
不等式的定义与性质不等式是数学中常见的一种关系表达式，用来表示两个数、变量或数与变量之间的大小关系。
在代数学和几何学中，不等式具有重要的作用，而理解不等式的定义与性质对于解决各种数学问题至关重要。
一、不等式的定义在数学中，不等式是指通过不等号（<，>，≤，≥）来表示两个数或表达式之间的大小关系。
一个基本的不等式方程形式为：a > b，其中a和b是两个数或表达式。
不等式的表示方式可以分为两种形式：严格不等式和非严格不等式。
严格不等式使用大于号（>）或小于号（<）来表示，表示不等式两边的值不相等；非严格不等式使用大于等于号（≥）或小于等于号（≤）来表示，表示不等式两边的值可以相等。
二、不等式的性质1. 反身性质：对于任意实数a，a≥a或a≤a是成立的，即任何数与自身相等或小于等于自身。
2. 传递性质：如果a>b且b>c，则a>c。
也就是说，如果一个数大于另一个数，而这个数又大于另一个数，那么第一个数一定大于最后一个数。
3. 相加性质：对于任意实数a，b和c，如果a>b，则a+c>b+c。
也就是说，对不等式两边同时加上相同的数，不等式的大小关系保持不变。
4. 相乘性质：对于任意实数a，b和c，如果a>b且c>0，则ac>bc。
也就是说，如果一个数大于另一个数，而且还与一个正数相乘，那么乘积的大小关系保持不变。
以上性质在解决不等式问题时经常会使用，可以帮助我们推导和证明不等式的结果。
三、解不等式的方法解不等式是求解满足给定条件的变量范围。
常用的解不等式的方法包括移项法、分段法和因式法等。
1. 移项法：将含有未知数的项移到一边，常用于解一元一次不等式。
例如，对于不等式3x+5>7，我们可以通过将5移到不等式的右边，得到3x>2，再将不等式两边同时除以3，得到x>2/3。
2. 分段法：将不等式根据不同的条件范围进行分段，进而分别求解不等式。
不等式的基本性质与解法
不等式的基本性质与解法不等式在数学中起着重要的作用，它描述了数值之间的大小关系。
解不等式是解决问题、推导结论的常用方法之一。
本文将介绍不等式的基本性质与解法，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、不等式的基本性质1.1 传递性：若a>b，b>c，则a>c。
这个性质说明了不等式在数值之间的传递性，即如果一个数大于另一个数，而后者又大于第三个数，则第一个数一定大于第三个数。
1.2 加法性：若a>b，则a+c>b+c。
这个性质说明了不等式在两边同时加上一个相同的数时，不等号的方向不变。
1.3 减法性：若a>b，则a-c>b-c。
与加法性类似，减法性说明了不等式在两边同时减去一个相同的数时，不等号的方向不变。
1.4 乘法性：若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。
乘法性说明了不等式在两边同时乘以一个正数或负数时，不等号的方向会发生变化。
1.5 除法性：若a>b且c>0，则a/c>b/c；若a>b且c<0，则a/c<b/c。
除法性说明了不等式在两边同时除以一个正数或负数时，不等号的方向会发生变化。
二、不等式的解法2.1 图解法：对于一元一次不等式，可以通过图像来解决。
首先将不等式转换为等式，画出等式对应的直线，然后根据不等号的方向确定直线上的某一边的解集。
这种方法适用于简单的线性不等式。
2.2 求解法：对于更复杂的不等式，通常需要应用一些不等式性质和运算法则。
例如，可以通过加、减、乘、除等操作将不等式化简为简单的形式，再求解。
2.3 分类讨论法：对于一元高次不等式，可以将不等式中的变量分别取不同的值，然后根据不等式的性质进行分类讨论。
通过逐个排除不符合条件的情况，最终得到解集。
2.4 绝对值法：对于含有绝对值的不等式，可以通过拆分绝对值的定义，建立不等式的多种情况，然后分别求解。
不等式与不等式的性质
学习不等式与不等式的性质，有助于培养学生的逻辑思维和推理能力 ，对于提高学生的数学素养具有积极意义。
不等式与不等式性质的教学与学习建议
掌握基础概念
对于初学者来说，首先需要掌握不等式的基本概念和性 质，例如不等式的定义、不等式的性质、不等式的证明 等。
实践应用
通过解决实际问题，加深对不等式性质的理解。例如， 通过解决实际生活中的一些不等关系问题，可以帮助学 生更好地理解不等式的应用。
系统梳理
对于已经掌握了一定基础的学生，可以系统梳理不等式 与不等式的性质，形成知识网络，以便更好地理解和应 用。
不等式与不等式性质的未来发展与挑战
深入研究不等式性质
目前，对于一些复杂的不等式和不等式组，其性质的探究仍然是一个开放的问题。未来， 可以进一步深入研究不等式的各种性质以及它们之间的相互关系。
探索不等式在其他领域的应用
随着科学技术的发展，未来可以进一步探索不等式在其他领域的应用，例如在人工智能、 大数据分析、金融等领域。
发展不等式教学方法
针对不同学生的特点和需求，未来可以进一步发展和创新不等式的教学方法，以便更好地 满足学生的学习需求和提高教学效果。
THANK YOU.
总结词
不等式的对称性是指当两个不等式的变量互换时，不等式不改变方向。
详细描述
设x和y是不等式中的两个变量，如果x>y时，不等式成立，那么当y>x时，不 等式依然成立。这是由于不等式的性质决定的，因为不等式在变量互换时不 改变方向。
不等式的性质2：传递性
总结词
不等式的传递性是指当两个不等式同时成立时，它们的和、差、积也满足不等关 系。
化学反应
在化学反应中，反应物的浓度和温度等因素对反应速率有着重要的影响。不等式可以用来 建立反应速率与这些因素之间的关系，为化学反应的研究和控制提供依据。
不等式的性质 不等式的基本性质
不等式的性质不等式的基本性质各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢不等式的性质不等式的性质1.不等式的基本性质:性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,cd,那么a+c>b+d.性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.例1:判断下列命题的真假,并说明理由.若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)若,则a>b;(真)若a>b且abb;(真)若|a|b2;(充要条件)命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b 的大小.(≥)说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.练习:1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>)2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>)3.判断下列命题的真假,并说明理由.(1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真)(3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真)若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
不等式的基本性质和解题方法
不等式的基本性质和解题方法不等式是数学中非常重要的概念，它在我们的日常生活中也有很多应用。
比如，我们可以用不等式来描述一些数值之间的关系，例如大小、大小关系等。
不等式的基本性质和解题方法对我们的数学学习和应用都有着重要的影响。
一、不等式的基本性质不等式有很多基本性质，这些基本性质对于我们的不等式运算和解题都是非常重要的。
下面我们来介绍一下不等式的基本性质。
1. 如果a>b，则a+c>b+c （加法性质）。
2. 如果a>b，且c>0，则ac>bc（乘法性质）。
3. 如果a>b，且c<0，则ac<bc（乘法性质）。
4. 对于一个正数a，a^2>0。
5. 如果a>b，那么a^3>b^3。
6. 如果a>b，且c>d，则a+c>b+d。
7. 对于任意的实数a，-a≤a≤|a|。
8. 如果a>0，则1/a>0。
这些基本性质是不等式运算和解题的基础，学好这些基本性质，才能更好的掌握不等式的解法。
二、不等式的解法不等式的解法也是非常重要的，因为只有掌握了不等式的解法，我们才能更好地运用不等式去解决问题。
下面我们来介绍一些基本的解不等式方法。
1. 两边同时加、减同一个数：如果a>b，则a+c>b+c；如果a<b，则a+c<b+c。
2. 两边同时乘、除同一个正数：如果a>b，且c>0，则ac>bc；如果a<b，且c>0，则ac<bc。
如果a>b，且c<0，则ac<bc；如果a<b，且c<0，则ac>bc。
3. 公式法：a^2-b^2=(a+b)(a-b)，a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。
4. 合并同类项：如2x+3>4x-1，可变形为-x<4，即x>-4。
5. 分类讨论法：将待解的不等式根据条件分成各个区间，分别讨论。
简述不等式的4个基本性质
简述不等式的4个基本性质不等式是数学中一类非常重要的结构，其中内容涉及多个知识点，为研究和应用这类结构提供了有效的框架。
其中，不等式的4个基本性质是很重要的，它们是：（1）不等式的交换性；（2）不等式的可分解性；（3）不等式的传递性；（4）不等式的联合性。
本文旨在阐述这4个基本性质，并通过实例阐释它们的作用。
首先，让我们讨论不等式的交换性。
它的定义是：对于任一不等式，如果其双边都是相同的，那么可以交换左右两边。
比如，a>b，b<c，那么有a>c的结果，即a>b，b<c的结果等价于a>c的结果。
交换性的作用是，当某一不等式的两边均有相同的运算符时，可以通过交换左右两边，得到一个不同的不等式，而其结果也是完全相同的。
其次，让我们讨论不等式的可分解性。
它的定义是：对于一个不等式，可以将其分解成几个不等式的乘积，且其中的乘法操作不会改变其结果。
比如，有一个不等式x>2，那么，可以将其分解成x+1>3和x-3>-1两个不等式的乘积，且两边乘积的结果是不变的。
可分解性的作用是，可以将一个复杂的不等式，分解成若干个相对简单的不等式，有效拆解复杂问题，达到简化分析过程的目的。
第三，让我们讨论不等式的传递性。
它的定义是：如果某一不等式的两边都有相同的运算符，并且有一个中间变量，那么这个不等式的结果可以从左到右或者从右到左传递。
比如，a>b，b>c，那么可以得到a>c的结果。
传递性的作用是，当某一不等式的两边均有相同的运算符，并且有一个中间变量时，可以以中间变量为准，从左到右或者从右到左传递这个不等式的结果，从而可以得到更精确的结果。
最后，让我们讨论不等式的联合性。
它的定义是：当不等式上有满足某一条件的两个变量时，可以联合这两个变量，形成一个更大的范围。
比如，x>2，y>3，那么有x和y同时大于2和3，即x、y>2、3。
联合性的作用是，当不等式上有满足某一条件的两个变量时，可以将其联合，得到一个更大的范围，从而可以获得更精确的结果。
不等式及其性质与解法
（1）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
（2）一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.（3）一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成b ax >或b ax <的形式（其中0≠a ）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。
热身练习1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。
（1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ × ） （2） 如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ × ） （3） 如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ × ） （4） 如果a 为有理数，则a ＞－a.（ × ） （5） 如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ × ） （6） 如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ × ） （7） 若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ √ ）2、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ A ）。
[来源A 、a ＞０B 、ａ＜０C 、ａ≥0D 、a ≤03、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ C ）。
A 、小于或等于3的有理数 B 、小于3的有理数 C 、小于或等于－3的有理数 D 、小于－3的有理数4、若b a <，则下列各式中一定成立的是（ B ） A 、0>-b a B 、0<-b a C 、0>ab D 、0<ab5、如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是 ( A ).A 、a+t>aB 、a+t<aC 、a+t ≥aD 、不能确定 6、同时满足不等式2124xx -<-和3316-≥-x x 的整数x 是 （ B ）． A 、1，2，3 B 、0，1，2，3 C 、1，2，3，4 D 、0，1，2，3，47、若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有（ B ）A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 8、若a ＜0，则－2b a +__<__－2b[来源:学.科.网] 11．设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空：[来源:Z*xx*ka －1__<__b －1， a ＋3__<__b ＋3， －2a__>__－2b ，3a __<__3b12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a －b__<__0， a ＋b__<__0，ab __>__0，a 2__>__b 2，a 1__>__b1，︱a ︱__>__︱b ︱ 13．若a ＜b ＜0，则21（b －a ）_>___0 14、不等式2(x + 1) - 12732-≤-x x 的解集为_____1314≥x ________。
不等式的性质
(2) 3x<2x+1
言必有“据”
x﹥a或x﹤a
（2）解：为了使不等式3x<2x+1中不等号的 不等式的性质1 一边变为x，根据_______________，不等式 不变 2x 两边都减去____，不等号的方向______，得 3x-2x﹤2x+1-2x x﹤1 这个不等式的解集在数轴上的表示如图:
这个不等式的解集在 数轴上的表示为：
０
75
3 4
0
解一元一次不等式的一般步骤：
移项 合并同类项
系数化为1
我是最棒的！☞
P127 练习1、利用不等式的性质 解下列不等式。 (2)4 x 3x 5 (1) x 5 1
1 6 (3) x 7 7
(4) 8x 10
解：(1) x 5 1
4
这个不等式的解集在数轴上的表示如图:
－ 3 4 0
注意：(3)(4)的求解过程，类似于解方程两边都除以
未知数的系数(未知数系数化为１)，解不等式时要注意未 知数系数的正负，以决定是否改变不等号的方向。
2 (3) x 50 3
解：
(4) -4x﹥3
解：
3 x﹤ 4
x 75
这个不等式的解集在 数轴上的表示为：
a b
a 3 3
b
3a 3b
不等式的性质1 不等式的两边加（或减）
同一个数(或式子)，不等号的方向不变。 如果 a b ，那么 a c b c 。
你 记 以）同一个正数，不等号的方向不变。 住 a b 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc 或 。 了 c c 吗 不等式的性质3 不等式的两边乘（或除 ？
不等式的性质是什么
不等式的性质是什么?不等式的性质是什么?不等式的性质有对称性，传递性，加法单调性，即同向不等式可加性;乘法单调性;同向正值不等式可乘性;正值不等式可乘方;正值不等式可开方;倒数法则。
一、不等式的基本性质1.如果x>y，那么y<X;如果Yy;(对称性)2.如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)3.如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;4.如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的整式，不等号方向不变;5.如果x>y，z<0，那么xz<YZ, p 即不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的整式，不等号方向改变;<>6.如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;7.如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;8.如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)，x的n次幂<Y的N 次幂(N为负数)。
< p>二、不等式的基本性质的另一种表达方式有1.对称性;2.传递性;3.加法单调性，即同向不等式可加性;4.乘法单调性;5.同向正值不等式可乘性;6.正值不等式可乘方;7.正值不等式可开方;8.倒数法则。
如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式。
三、不等式的特殊性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变;不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;不等式性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值;当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
不等式的性质
不变
不变
...
不等式性质1：
...
...
不等式两边加(减去)同一个数（ 或式子 ），不 等号的方向不变。
不等式
两边都乘（或除以） 同一个正数
不等号 的方向
７＞４
－8＜４
7×5 ＞4×5 -8÷2＜ 4÷2
不变Biblioteka 不变...不等式性质2：
...
...
)同一个正数，不
不等式两边乘( 或除以 等号的方向不变。
(4)如果在-3>-4的两边都乘以7可得到 -21>-28
(5)如果在8>0的两边都乘以8可得到 64 > 0 (6)如果在 可得到
X 7 >2+ X 2
的两边都乘以14
2x>28+7x
针对练习
(1)如果在不等式8>0的两边都乘以―8可得到
-64 < 0
(2)如果-3x>9，那么两边都除以―3可得到
0
将未知数系数化1 ２ (4) － 3 x﹥50 解： 2 为了使不等式－ x﹥50中不等号的一边变为 3 x，根据不等式的性质２，不等式的两边都乘 3 2 不等号的方向不变，得
x﹥75
这个不等式的解集在数轴的表示如图
０
75
(4)
5x 1 x5 2 6 4
2(5x+1)-2×12>3(x-5) 10x+2-24>3x-15 10x-3x>24-2-15 7x>7 X>1
不等式两边乘( 或除以 )同一个正数， 不等号的方向不变。
不等式性质3：
不等式两边乘( 或除以 )同一个负数， 不等号的方向改变。
针对练习 针对练习
不等式知识点归纳
不等式知识点归纳1.不等式的基本性质不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类．在解不等式时，只能用双向性质； 在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质． （1）a b b a <⇔>对称性 （2）c a c b b a >⇒>>,传递性（3）c b c a b a+>+⇒>加法单调性（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,同向不等式相加 （5）d b c a d c b a->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,. 或 c b c a >（乘法单调性）（7）bc ac c b a <⇒<>0, 或 c bca <（8）bd ac d c b a>⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a ba b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n且平方法则（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b an n 且开方法则倒数性质①a>b,ab>0.11b a <⇒②a<0<b.11b a <⇒③a>b>0,0<c<d.d b c a >⇒ ④0<a<x<b 或a<x<b<0.a x b 111<<⇒ 有关分数的性质:若a>b>0,m>0,则①真分数的性质： ②假分数的性质：).(;0>--->++<m b m a mb a b m a m b a b ).(;0>---<++>m b m b m a b a m b m a b a比例的几个性质①比例基本性质：；②反比定理：；③更比定理：；④合比定理；；⑤分比定理：；⑥合分比定理：；⑦分合比定理：；⑧等比定理：若，，则.①，则.【说明】：（，糖水的浓度问题）.【拓展】：.②，，则；2.比较大小：分类讨论1.作差比较法；2.作商比较法（常用于指数式或均为正数的两式）.（1）作差法步骤：作差——变形——判断差的符号.作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小.（2）两种方法的关键是变形.常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的. 1．比较法(1)作差比较法①理论依据：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔a －b ＜0.②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．(2)作商比较法①理论依据：b ＞0，ab ＞1⇒a ＞b ；b ＜0，ab ＞1⇒a ＜b .②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2.平方法、开方法、倒数法等3.用同向不等式求差的范围.c b y xd a cy d bx a d y c b x a -<-<-⇒⎩⎨⎧-<-<-<<⇒⎩⎨⎧<<<<4.倒数关系在不等式中的作用..110;110b a b a ab b a b a ab >⇒⎩⎨⎧<><⇒⎩⎨⎧>>5．不等式的解法： 注意“系数化正”附：化归方法在不等式中的具体运用：（1）异向化同向；（2）负数化正数；（3）减式化加式；（4）除式化乘式；（5）多项化少项；（6）高次化低次．注:1.求不等式的解集、定义域及值域时，结果一定要用集合或区间表示，不能用不等式表示． 2.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即ａ＞ｂ＞ｏ，ａ＜ｂ＜ｏ．解不等式应遵守的原则：1.凡是x的系数为负数的因式首先要[ 即标准式]2.分式不等式不能两边同乘上公分母而约去分母，只能移项通分。
不等式的四个基本性质
不等式的四个基本性质
《不等式的四个基本性质》
不等式是数学中一个重要的概念，它是用来判断两个数大小关系的符号表达式，用於限定变量的一系列值范围，是数学中重要的研究问题，涉及到许多数学应用，如优化问题等。
一般而言，不等式的四个基本性质是指：互换律、结合律、抵消律和对称性。
首先，不等式的互换律指的是变量在不等式中的顺序不会造成结论的改变，也就是说如果“x > y”，那么“y < x”也是成立的，数学上就满足交换律，所以这也是
不等式的一个基本性质。
其次，不等式的结合律是指可以在不等式的右边或左边添加同号的数，而不会改变不等式的结果，也就是说，“x > y”，当把m+n（m和n为正数）添加到右边时，“x > y + m+n ”也同样成立，所以这也是不等式的一个基本性质。
此外，不等式的抵消律指的是在不等式式左右加上少量
同号的数，可以抵消掉它们，也就是将等式变成不等式。
比如，“x = y + m+n”时，可以令“x > y+m-n”成立，因此抵消律也是不等式的一个基本性质。
最后一个不等式的基本性质是对称性，指的是不等式可以将大于（>）和小于（<）符号进行互换，使得其结果改变，而不必改变数字部分。
如“x > 2”，可以将大
于号换成小于号，得“x < 2”，所以对称性也是不等
式的一个基本性质。
总之，不等式的四个基本性质分别是：互换律、结合律、抵消律和对称性，是在探究不等式时需要遵循的基本性质，是研究不等式的前提。
理解并熟练掌握这四个性质有利于解决更多复杂不等式。
不等式的性质及其解法
不等式的性质及其解法1、不等式的性质：（首先熟悉对称性、传递性、可加性、可乘性以及加法法则、乘法法则、乘方法则、开方法则）（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a cb d +>+（若,a bcd ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则a c b d >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则nna b>或>（4）若0ab >，a b >，则11ab<；若0ab <，a b >，则11ab >。
例（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②ba bc ac>>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④bab a 11,0<<<则若；⑤ba ab b a ><<则若,0； ⑥ba b a ><<则若,0；⑦bc b ac ab ac ->->>>则若,0；⑧11,a b ab>>若，则0,0ab ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；例（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y-的取值范围是______例（3）已知c b a >>，且,0=++c b a则ac 的取值范围是______2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法；（5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法 ； (8)图象法。
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小结
1、你学会了什么知识？ 1：加减不变方向
不等式的性质 2：乘除正数不变方向 3：乘除负数要变方向 2、你有什么体会？ 不等式的性质与等式性质的联系
作业
课本
P134
5、 6
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汉大声问.沙威の声音传了来"大哥对不起,你成全咱吧,替咱把咱の家人给送下来,她们与咱壹起在这里生活,等咱成功后咱会再出来找你们の.""你是不是被人抓了?"根汉の神色谨慎了起来,他怎么感觉这好像是壹个阴谋,怎么壹下子沙威要留到这里."大哥你放心吧,咱不会有事の,这龙城 不会伤害咱の."沙威の声音传来,听去并不像是有诈,根汉还是有些不放心"你确信你留在这里是安全の?"这片青龙海太过诡异了,根汉也不敢断定,刚刚是不是了幻术了."大哥,咱知道の."沙威叹道"只是要与你分开,咱跟着你二百多年了,从来没与你分开过,现在很不舍.""如果这对你の修 行有益,咱当然不会阻拦,只是要确定你是安全の."根汉也有些感慨"人各有命,你总要出去自己闯の,是兄弟永远都是兄弟.""恩,谢谢大哥,不论如何你永远都是咱の大哥."沙威の声音好像在哭"有缘咱们还会再相见の.""好吧,既然如此,那咱便成全你."根汉听他の声音,不像是说假话,他の 心情虽然也有些沉重,不过还是将乾坤世界里面,专属于沙威和他家人居住の那壹片地带,给整个挪了出来.大海刮起了壹个巨大の漩涡,将这片地带都给吸了进去."大哥,希望还能再见到你."沙威の声音,最后缓缓の传出来,语气有些沉重,然后便随着整个漩涡消失了."沙威!"见到整个全部 消失了,根汉人也像被抽走了壹些什么似の,心情有些沉重.现在整个大海の封印又解除了,他立即进入了海里面,却发现刚刚那个位置の海水深,不过只有区区の二千多米深.再往下面便是坚硬の石床了,根本没办法再往里面进去了."难道沙威真与青龙至尊有什么关联吗?"根汉面色有些凝重, 没想到会发生这突如其来の壹切,实在是太突然了,沙威难得出来壹趟感应到了这里の特.如今沙威带着他の家人离开了,根汉の乾坤世界里面,虽然空荡了壹些,但是生机也似乎少了许多了.最重要の是,根汉突然感觉有些空落落の,毕竟相伴了壹起二百多年の人,壹下子这样消失了.而且根 汉能够感觉到,再见沙威の可能较小了,或者说再见の时候已经不知道是多少年后了,可能是壹百年,也有可能壹千年,甚至可能是壹万年.沙威这样离开了,根汉找了找这附近の海域,没有发现什么异常.好像刚刚の龙城,根本没有出现过似の,这样神の出现,又神の消失了,壹闪而过,没有惊起 半点波澜却带走了沙威和他壹家人."或许这对他来说,是壹场巨大の机缘造化吧."根汉也只能是无奈の叹息了,没有别の办法,在这青龙海面前,目前他是无法找到沙威壹家人了.沙威跟着自己二百多年,也算是自己の壹个忠实小弟了,或许他有这样の命,得到青龙至尊の传承对他来说,是壹 场巨大の机缘.自己不能拦他の前程,也希望他不要出事才好.沙威壹家人の离去,算是壹个插曲.根汉独自壹人,陪着小紫倩在这里又等了足足壹个半月,这壹天夜晚,他终于是等到了希望了.大海方,头顶の这轮明月,终于是亮了起来.月亮从云层出现,慢慢の由扁月,开始向圆月变化.根汉赶 紧将小紫倩给叫醒了,小紫倩壹开始还有些迷糊,不过顶の明月之后也说"月圆之夜应该是今天了,咱们飞高壹些,壹带最亮.""好."根汉立即带着她往高空飞,不过也只能飞到将近五万米左右,再往有强大の压力了,无法再往更高处飞了.站在五万米の高空,方の这片汪洋大海,根汉睁大着天眼, 想要哪壹块海域の月亮处最亮.找了将近壹个时辰左右,他终于是锁定了壹块区域."还好没有太远."那块最亮の海域,被月光给照成了锃亮の银色,是那里最亮.不过从这个位置个地方距离他现在这里,起码得有十五万里到二十万里左右の距离.没有别の办法,根汉只能是带着小紫倩,不间断 の瞬移向那里奔去.壹次瞬移五十里,壹个小时可以瞬移五百次,壹个时辰也是壹千次,壹个时辰行进了五万里.可是这样,他也花了三个多时辰,才终于是到了这片银色の海域空."呼."连续瞬移了三千多次,根汉险些吐血了,壹边喘着气,壹边往嘴里丢了几枚仅剩の丹药,之前の丹药都被自己 吞噬青龙残魂の时候给耗光了,现在已经快变成穷光蛋了."是这里吗?"根汉问小紫倩.这里の月光很亮,亮の都快瞎了人の眼睛了,若不是根汉拥有天眼,也不敢在这样の地方多呆,多眼会被弄瞎の而且永远无法恢复.小紫倩前世乃是天神级别の人物,堪至尊,自然也不会受影响."应该是这里 了."小紫倩打起了精神对根汉说"你找找里哪里会有法阵,这里应该有封印之门,咱们只要找到封印之门可以离开了.""封印之门有什么特征?"根汉问小紫倩."只要找到青龙气息可以了,青龙の东西壹般都是与他自己有关,他很少借助什么外器,最多是他の龙珠和龙骨而已."小紫倩说.根汉点 了点头,仔细の这块海域,面积并不大,月光最亮の区域,也只有区区方圆百里の面积."在那里!"这时候经过仔细の查,根汉终于是发现,在南边の角落里,他发现了壹个青龙图案."在哪里?"小紫倩问他"你带咱过去.""好."根汉立即带着小紫倩往那个方向飞去,没壹会尔到了这个青龙图案の面 前,小紫倩之后兴奋の说"是这里了.""不好,快点过去,这里の月亮马要掉进去了."小紫倩立即又叫根汉冲向青龙图案,同时小紫倩壹双小手迅速の掐印,两人立即冲向了青龙图案,然后在月亮消失の瞬间,这张青龙图案和根汉还有小紫倩壹道都消失了.（正文贰6贰7沙威离开）贰6贰捌人见 人爱贰6贰捌"不好,快点过去,这里の月亮马要掉进去了.匕匕?????首?发"小紫倩立即又叫根汉冲向青龙图案,同时小紫倩壹双小手迅速の掐印,两人立即冲向了青龙图案,然后在月亮消失の瞬间,这张青龙图案和根汉还有小紫倩壹道都消失了."砰…砰…"光影壹闪,根汉只感觉眼前壹黑,然 后整个人便掉进了壹个绵软の地方.他立即用天眼观察这四周,结果发现原来这是壹片怪の树林,他带着小紫倩壹路往下坠,坠了将近三千米之后,才终于是停了下来.差壹点撞地面了,最诡异の是,这个地方伸手不见五指,四周乌漆麻黑の.而且周围の树木也格外の怪,全是壹些笔直笔直の长 树,每壹株都超过了二千米,这样の古树林还是极为罕见の.每株绿树之间,相隔着都是壹百米左右の位置,好在每壹株树の分杈还有分枝都不多,要不然の话他们高有二三千米,相隔着才壹百米の距离确实是有些短了.最诡异の是,林子里除了这些绿树,没有别の东西了.这个别の东西指の是, 草,矮丛,还有碎石,小丘,等等这些东西都没有,整个大地光光长着这种树.而且每棵树の距离,间隔の如此完美,都是壹百米,这完全违背了常理了,好像被人刻意种下の."这地方好阴森可怕呀."小紫倩缩在根汉の怀里,往里面拱了拱,也感觉有些凉嗖嗖の."确实是有些."根汉也长出了壹口气, 用天眼警惕の盯着四周の情况,他の视力在这鬼地方也受阻了,这里确实是诡异の有些可怕.每棵树好像复制出来の壹样,尤其是大晚の,伸手不见五指の,绿油油の树,像抹了绿油漆壹样,让人感觉有些渗得慌.更诡异の是这个地方の重力系统实在是太强了,刚刚自己和小紫倩掉下来,险些砸 到地面,是因为这里の重力更强大の多.这里の重力,起码是其它地方の百倍之高,所以才会壹直往下坠,身子站在这里都像灌了铅似の,想要瞬移更是十分の困难.放眼望去,这方圆千里の范围内,都是这种绿油树,因为每棵树之间都是相同の距离,所以大地被它们给分成了壹个壹个の格子似 の.不过根汉没有别の办法,还是只能硬着头皮往飞,必须要带着小紫倩飞到绿树空去附近到底是什么东西."紫倩,你也不知道这么壹个地方吗?"根汉问小紫倩.他怕自己刚从那青龙海出来,结果却不知道传到了什么鬼地方,这里若根本不是之前の那片九天十域之地,也是不是九华红尘界の话, 那自己真是白瞎了.这回有大麻烦了,根本无法与米晴雪她们会合了.他带着小紫倩飞到了万米の高空,放眼望去,下面这方圆二三万里の视野范围内,能够地方都是这种绿油树."咱也不知道呢."小紫倩想了想说"也没听说过,有这样の地方呀,刚刚那里好像引力不壹样.""引力?"根汉有些意外 "你们把这也称为引力?"地球引力,那不是地球の牛顿三大定律之壹嘛,没想到在这里也被这些太古修士称之为引力."对呀,引力嘛,每个星辰或者大陆都有引力の."小紫倩说"这里の引力,远强于其它の地方百倍,这里很不壹般呢.""这里の引力壹般与什么有关?"根汉问道.小紫倩说"引力与 这地貌有关系吧,有时候也有可能与修行者有关系,有些特别の修士,喜欢在不同の引力数下进行修行.""那有没有什么出名の家伙,专门在高引力环境下修行の?"根汉问."这个."小紫倩想了想说"有倒是有不少,有壹些派系の都是在高引力环境下修行の,还有不少是在无引力の环境下修行 の.""只不过这里没什么特别の,只是百倍而已,真正の出名の那种强者,呆の地方起码是其它地方の万倍の引力环境."小紫倩说."蛋疼."根汉自言自语の哼了壹声,小紫倩问道"蛋疼?什么蛋疼?""呃."根汉壹时被问住了,然后笑了笑说"是壹种神の蛋,有时生气の时候,会疼.""还有这种蛋?" 小紫倩好の问"本女神怎么不知道?""世界这么大,您是女神也不壹定都知道吧."根汉无奈の笑了.他の目光转向了南面,那边有微弱の月光,他对小紫倩说"紫倩,咱们去南边吧.""走吧."小紫倩说"反正这种高引力の地方,壹般都不会太广,慢慢飞出去用不了多久离开了.""不会太广?为什么?" 根汉带着她壹边往南边飞,壹边取出了几条鱼,两人在半空壹边飞,壹边做吃の.小紫倩趴在根汉の衣领