《2.1 等式性质与不等式性质》优秀公开课ppt课件(高中必修第一册)
合集下载
人教A版高中数学必修第一册《等式性质与不等式性质》PPT
例 2．已知 a b 0 , c 0 .求证 c c .
ab
证明：因为 a b 0 ，两边同乘以正数 1 ，得 1 1 ，即 1 1 ，又c 0 ，所
ab
ba
ab
以c c.
ab
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.1 等式性 质与不 等式性 质》第 二课时 （共12 张ppt）
又因为 c d ,所以 b c b d . ②
由①、②及性质 2，得 a c b d .
，即
.
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.1 等式性 质与不 等式性 质》第 二课时 （共12 张ppt）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.1 等式性 质与不 等式性 质》第 二课时 （共12 张ppt）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.1 等式性 质与不 等式性 质》第 二课时 （共12 张ppt）
例题讲解
例 3.已知： a＞b ， e f ， c 0 ，求证： f ac＜e bc ． 证明：因为 a＞b ， c 0 ，所以 ac＞bc，即 ac＜bc ，又 f＜e，由不等式 性质 5 可得： f ac＜e bc ．
学习新知——等式性质
等式的基本性质
（1）如果 a＝b，那么 b=a .
（2）如果 a＝b，b＝c，那么 a=c .
（3）如果 a＝b，那么a±c=b±c .
（4）如果 a＝b，那么 ac=bc .
（5）如果 a＝b，c≠0，那么
ab cc
.
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.1 等式性 质与不 等式性 质》第 二课时 （共12 张ppt）
说明：如果 a b c ，则 a b b c b ，也就是a c b .
等式性质与不等式高中数学必修第一册课件(共25张ppt)
（2）4 2a 6;1 b 2 5 2a b 8
练习
1、（课本第42页练习第2题）用不等号“>”或“<”填空
(1)如果a>b,c<d,那么a-c__>___b-d
(2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac__<___bd
(3)如果a>b>0,那么 1 __<___ 1
< a2
(4)如果a>b>c>0,那么
思考： 你能在这个图中找出些相等关系和不 等关系吗?
探究１：
D
a2 b2
b
G
F
A
aHE
1、正方形ABCD的面积
S=＿a＿2 ＿b＿2
２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a__b_.
C
３、S与S’有什么样的 关系？ S > S′
a2 b2 2ab
B 问：那么它们有相等的情况吗？
D
a2 b2
c
b
_____
2
c
a
b
2、课本第43页习题2.1第8题
b
G
F
A
aH E
D
C
A
a
C b E(FGH)
B
B
重要不等式： 一般地， a,b R,有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。 适用范围： a,b∈R
练习
1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系: (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单
位:m)从地面算起不能超过4m； h 4 (2)a与b的和是非负实数； a b 0 (3)如图,在一个面积小于350m2的矩形地基的中
a___b___c_,_a_.b c
练习
1、（课本第42页练习第2题）用不等号“>”或“<”填空
(1)如果a>b,c<d,那么a-c__>___b-d
(2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac__<___bd
(3)如果a>b>0,那么 1 __<___ 1
< a2
(4)如果a>b>c>0,那么
思考： 你能在这个图中找出些相等关系和不 等关系吗?
探究１：
D
a2 b2
b
G
F
A
aHE
1、正方形ABCD的面积
S=＿a＿2 ＿b＿2
２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a__b_.
C
３、S与S’有什么样的 关系？ S > S′
a2 b2 2ab
B 问：那么它们有相等的情况吗？
D
a2 b2
c
b
_____
2
c
a
b
2、课本第43页习题2.1第8题
b
G
F
A
aH E
D
C
A
a
C b E(FGH)
B
B
重要不等式： 一般地， a,b R,有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。 适用范围： a,b∈R
练习
1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系: (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单
位:m)从地面算起不能超过4m； h 4 (2)a与b的和是非负实数； a b 0 (3)如图,在一个面积小于350m2的矩形地基的中
a___b___c_,_a_.b c
人教高中数学必修一优秀ppt等式性质与不等式性质
如何解不等式呢?与解方程要用等式的性质一 样,解不等式要用不等式的性质.为 此,我们需要先 研究不等式的性质.
实际上,在初中我们已经通过具体实例归纳出 了一些不等式的性质.那么,这些性质为什么是正确 的?还有其他不等式的性质吗?回答这些问题要用 到关于两个实数大小关系 的基本事实．
人教2019版高中数学必修一课件：2.1 等式性质与不等式性质（1）（共19张pp t）
由题意得,pf 22..35% %
人教2019版高中数学必修一课件：2.1 等式性质与不等式性质（1）（共19张pp t）
§2.1
等式性质与不等式性质
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中
的不 等关系吗?
(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第
三边; 你能写出其他的可能情况吗?
设△ABC的三条边为a,b,c,则a+b>c,a-b<c (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂
§2.1 等式性质与不等式性质
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中 的不 等关系吗? (1)某路段限速40km/h; 设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h,“限速 40km/h”就是狏的大小不能超过40,于是0< v ≤ 40 (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量 f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%;
2.1 等式性质与不等式性质(1)
§2.1 等式性质与不等式性质
在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关 系和不等关系,例如多与少、大与小、长与短、高 与矮、远与近、快 与慢、涨与跌、轻与重、不超 过或不少于等.类似于这样的 问题,反映在数量关 系上,就是相等与不等.相等用等式表 示,不等用不 等式表示．
高中数学人教A版必修第一册课件2.1等式性质与不等式性质(课件共11张PPT)
性质3 若a b,则a c b c 不等式左右两边同时加上(或减去)同一个数,不等号方向不变.
性质3的推论 若a b c,则a c b. 不等式中的项移到另一边时，要改变符号.
性质4 若a b, c 0则ac bc. 若a b, c 0则ac bc.
不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变. 不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变.
探究: 当 a>b 时, 1a与1b的大小关系如何？
一个重要的常用不等式:
a>b,
ab>0
11 a<b
例1
(1)已知a b, c d , 求证：a c b d; (2)已知a b c 0, 求证： b b c .
ab ac ac
练习
(1)已知 a>b>0,c<0, 求证: ac>bc
达式中，从而用f (1)与f (2)来表示f (3)。最后运用已知条
件确定f (3)的取值范围。
解：
f
x
ax2
c
f (1) a c f (2) 4a c
即4aacc
f (1) .
f (2)
解之得ca113[[ff((22))4ff((11))]]
f
(3)
9a c
8 3
f
(2)
5 3
f
例 2 已知 f(x)=ax2－c, 且－4≤ f(1) ≤－1, －1≤f(2)≤5, 求 f(3)的取值范围.
例 2:已知函数f (x) ax2 c, 4 f (1) 1,
1 f (2) 5,求f (3)的取值范围.
分析：利用f (1)与f (2)设法表示a、c然后再代入f (3)的表
性质3的推论 若a b c,则a c b. 不等式中的项移到另一边时，要改变符号.
性质4 若a b, c 0则ac bc. 若a b, c 0则ac bc.
不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变. 不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变.
探究: 当 a>b 时, 1a与1b的大小关系如何？
一个重要的常用不等式:
a>b,
ab>0
11 a<b
例1
(1)已知a b, c d , 求证：a c b d; (2)已知a b c 0, 求证： b b c .
ab ac ac
练习
(1)已知 a>b>0,c<0, 求证: ac>bc
达式中，从而用f (1)与f (2)来表示f (3)。最后运用已知条
件确定f (3)的取值范围。
解：
f
x
ax2
c
f (1) a c f (2) 4a c
即4aacc
f (1) .
f (2)
解之得ca113[[ff((22))4ff((11))]]
f
(3)
9a c
8 3
f
(2)
5 3
f
例 2 已知 f(x)=ax2－c, 且－4≤ f(1) ≤－1, －1≤f(2)≤5, 求 f(3)的取值范围.
例 2:已知函数f (x) ax2 c, 4 f (1) 1,
1 f (2) 5,求f (3)的取值范围.
分析：利用f (1)与f (2)设法表示a、c然后再代入f (3)的表
2.1等式性质与不等式性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第二章
一元一次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
生活中的不等关系有哪些？能不能举例？
• 不少于、不低于、至多、至少
表达了什么数量关系？
1.不等式与不等关系
不等式的定义所含的两个要点．
≤
≥
(1)不等符号<，>，_____，_____或≠.
不等关系
(2)所表示的关系是___________.
意一点，连接线段CE，则CD＜CE.
问题2：你能用不等式表示并解决下面的问题吗？
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万
本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可
能减少2000本. 如何定价才能使提价后的销售总收入不
低于20万？
不等关系：销售总收入不低于20万.
解：设提价后每本杂志的定价为 x 元.则销售总收
(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
（1）某路段限速40 km/h；
解： 设在该路段行驶的汽车的速度为 v
km/h，“限速40 km/h”就是 v 的大小不能超过40，
于是0 ＜v ≤ 40.
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不少
于2.5%，蛋白质的含量 p 应不少于2.3%；
性质5
ac>bc
a>b，c>0⇒_________，(乘正保序性)
a>b，c<0⇒ ac＜bc ；(乘负反序性)
性质6
ac>bd
a>b>0，c>d>0⇒_________；(正数同向相乘保序性)
性质7
an>bn
a>b>0⇒_________(n∈N，n≥2)．(非负乘方保序性)
一元一次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
生活中的不等关系有哪些？能不能举例？
• 不少于、不低于、至多、至少
表达了什么数量关系？
1.不等式与不等关系
不等式的定义所含的两个要点．
≤
≥
(1)不等符号<，>，_____，_____或≠.
不等关系
(2)所表示的关系是___________.
意一点，连接线段CE，则CD＜CE.
问题2：你能用不等式表示并解决下面的问题吗？
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万
本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可
能减少2000本. 如何定价才能使提价后的销售总收入不
低于20万？
不等关系：销售总收入不低于20万.
解：设提价后每本杂志的定价为 x 元.则销售总收
(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
（1）某路段限速40 km/h；
解： 设在该路段行驶的汽车的速度为 v
km/h，“限速40 km/h”就是 v 的大小不能超过40，
于是0 ＜v ≤ 40.
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不少
于2.5%，蛋白质的含量 p 应不少于2.3%；
性质5
ac>bc
a>b，c>0⇒_________，(乘正保序性)
a>b，c<0⇒ ac＜bc ；(乘负反序性)
性质6
ac>bd
a>b>0，c>d>0⇒_________；(正数同向相乘保序性)
性质7
an>bn
a>b>0⇒_________(n∈N，n≥2)．(非负乘方保序性)
2.1等式性质与不等式性质课件——高中数学人教A版必修第一册
[注意] 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号” 是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式 分解法、配方法、有理化法等．
1．若 x∈R，y∈R，则( ) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
解析：选 A.因为 x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋ 1>0，所以 x2＋y2>2xy－1，故选 A.
bc 的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由 ac2>bc2，知 c≠0，故 c2>0，所以 a>b 成立，故②正
确．
③中，a<b，⇒a2>ab，a＜b，⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2，故③
a<0
b<0
正确．故填②③.
(2)证明：因为 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为 c>a，所以 c－a>0，所以 0<c－a<c－b. 上式两边同乘（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又因为 a>b>0，所以c－a a>c－b b.
用不等式(组)表示不等关系
(1)某车工计划在 15 天里加工零件 408 个，最初三天中， 每天加工 24 个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规 定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工 x 个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． (2)用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙 长 18 m，要求菜园的面积不小于 110 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系．
1．若 x∈R，y∈R，则( ) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
解析：选 A.因为 x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋ 1>0，所以 x2＋y2>2xy－1，故选 A.
bc 的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由 ac2>bc2，知 c≠0，故 c2>0，所以 a>b 成立，故②正
确．
③中，a<b，⇒a2>ab，a＜b，⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2，故③
a<0
b<0
正确．故填②③.
(2)证明：因为 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为 c>a，所以 c－a>0，所以 0<c－a<c－b. 上式两边同乘（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又因为 a>b>0，所以c－a a>c－b b.
用不等式(组)表示不等关系
(1)某车工计划在 15 天里加工零件 408 个，最初三天中， 每天加工 24 个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规 定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工 x 个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． (2)用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙 长 18 m，要求菜园的面积不小于 110 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系．
高数数学必修一《2.1.2等式性质与不等式性质》教学课件
bn > 0，n ∈ ∗ ，则a1a2…an>b1b2…bn.
(5)不等式的性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”
是单向的还是双向的，即符号“⇔”表示等价关系，可以互相推出，
而符号“⇒”只能从左边推右边，该性质不具备可逆性，尤其在证明
不等式时，要注意是否可逆．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
由于(－3)2>(－2)2，但－3<|－2|，故D选项错误．故选C.
题型 2 利用不等式的性质证明不等式
例2 已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：
证明：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，
1
1
c
c
所以a－c>b－c>0，所以0<a−c<b−c，所以a−c>b−c.
c
c
> .
a−c b−c
同向
同向
同正
微点拨❷
(1)性质3说明不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原
不等式同向．性质3是不等式移项法则的基础．不等式中任何一项改
变符号后，可以把它从一边移到另一边．
(2)性质4证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘
得负”的法则来完成的，一定要注意性质4中c的符号，因为c的符号
第2课时
等式性质与不等式性质
预学案
共学案
预学案
一、等式性质❶
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
a b
(5)不等式的性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”
是单向的还是双向的，即符号“⇔”表示等价关系，可以互相推出，
而符号“⇒”只能从左边推右边，该性质不具备可逆性，尤其在证明
不等式时，要注意是否可逆．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
由于(－3)2>(－2)2，但－3<|－2|，故D选项错误．故选C.
题型 2 利用不等式的性质证明不等式
例2 已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：
证明：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，
1
1
c
c
所以a－c>b－c>0，所以0<a−c<b−c，所以a−c>b−c.
c
c
> .
a−c b−c
同向
同向
同正
微点拨❷
(1)性质3说明不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原
不等式同向．性质3是不等式移项法则的基础．不等式中任何一项改
变符号后，可以把它从一边移到另一边．
(2)性质4证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘
得负”的法则来完成的，一定要注意性质4中c的符号，因为c的符号
第2课时
等式性质与不等式性质
预学案
共学案
预学案
一、等式性质❶
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
a b
新教材高中数学第二章等式与不等式2.1不等式及其性质课件新人教B版必修第一册(共21张PPT)
破疑典例
(
)(1)已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围;
(2)已知-1<a<b<1,求a-b的取值范围;
x2
x3
(3)已知x、y∈R,且3≤xy2≤8,4≤ y ≤9,求 y4 的取值范围.
思路点拨:
先将待求范围的代数式用条件中的代数式表示出来,再利用已知范围进行不等关
系的运算求未知代数式的取值范围.
x
y 2
+2
3y>2 0,
4
所以2x2+y2>x2+xy.
2.(
)已知<b,试比较a3与b3的大小.
解析
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)
a
b 2
2
3b2 4
,
因为a<b,所以a-b<0,
又
a
b 2
2
≥0,
3b2 4
≥0,当且仅当a=b=0时同时取等号,但a<b,所以
数(式)的大小不明显,作差后可 化为积或商的形式
a>0,b>0且 a >1⇒a>b;
a>0,b>0且 b<1⇒a<b;
a
a>0,b>0且 b=1⇒a=b
a
b
同号两数比较大小
①作差; ②变形; ③判断符号; ④下结论
①作商; ②变形; ③判断商与1的大小关系; ④下结论
①分解因式; ②平方后再作差; ③配方法; ④分子(分母)有理化
解析 (1)设m(a+b)+n(a-b)=4a-2b,整理得(m+n)a+(m-n)b=4a-2b,
高中必修第一册《2.1 等式性质与不等式性质》名师优质课ppt课件
栏目导航
不等关系的实际应用 【例3】 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说： “如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们 属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试 根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
栏目导航
[解] 设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元， 坐乙车需花y2元，
栏目导航
1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表 示其中的不等关系．
栏目导航
[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以
0<x≤18，
这时菜园的另一条边长为302－x＝15－2x(m)．
栏目导航
C [限重就是不超过，可以直接 1．大桥头竖立的“限重 40 吨” 建立不等式 T≤40.] 的警示牌，是指示司机要安全通过该 桥，应使车货总重量 T 不超过 40 吨， 用不等式表示为( ) A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40
栏目导航
2．某高速公路要求行驶的车辆
A [v 的最大值为 120 km/h，
的速度 v 的最大值为 120 km/h，同一 即 v≤120 km/h，车间距 d 不得小于
车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用 10 m，即 d≥10 m，故选 A.]
不等式表示为( )
A．v≤120 km/h 且 d≥10 m
B．v≤120 km/h 或 d≥10 m
C．v≤120 km/h
栏目导航
当堂达标 固双基
栏目导航
1．思考辨析 (1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( ) (2)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．( ) (3)若a>b，则ac>bc一定成立．( )
2.1.2等式性质与不等式性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件 (共28张PPT)
ba
改变方向
由c < 0,得 c > c .
ab
还可以利用作差法证明吗？ 证明:
已知b克糖水中含有a克糖 （b＞a＞０），再添加m克 糖 （m＞０）（假设全部溶 解），糖水变甜了．
请将这一事实表示为一个不 等式，并证明这个不等式成 立．
(1)当0≤a<8时0≤ a <4；
b
(2)当－6<a<0时－3< a <0.
21.0．已知三个不等式：①ab>0；②ac>db；③bc>ad.若以其中两 个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并 写出推理过程．
解：答案不唯一． 命题一：若 ab>0，且ac>db，则 bc>ad. 证明：因为ac>db，且 ab>0， 所以ac·ab>db·ab，即 bc>ad. 命题二：若 ab>0，且 bc>ad，则ac>db. 证明：因为 ab>0，所以a1b>0，又 bc>ad， 所以 bc·a1b>ad·a1b，即ac>db.
反例：不一定，如3>1，－1>－10， 则3－(－1)>1－(－10)不成立．
2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？
不可以．两个不同向不等式的两 边不能分别相除，在需要商时，可利 用不等式性质转化为同向不等式相 乘．
练习
用不等号 “＞”或 “＜”填空：
（１）如果a＞b，c＜d，那么a－c
b－d；
d＝－2.
则
a c
＝－1，
b d
＝－1，排除选项
A B.
又
a d
＝－
3 2
数学人教A版(2019)必修第一册2.1等式性质与不等式性质(共64张ppt)
新知识打下坚实的基础.
01
探究新知1——实数的大小比较
1、利用数轴法比较两数的大小
P
－4
－3
B
－2
A
－1
0
1
2
3
4
5
x
(1)实数与数轴上的点是一一对应的．
点 A 表示实数 3，点 B 表示实数－2 ,点 A 在点 B 右边，那么 3 ＞-2 ．
(2)数轴法比较大小：数轴上的任意两点中，①右边的点对应的
人教A版必修第一册
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.1《等式性质与不等式性质》
（ 2课时 ）
教
学
目
标
学习目标：1.了解与认识不等式的定义与解集的概念（数学抽象）;
2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）；
3.牢固掌握比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能
证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）.
（1）某路段限速 Τ；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，
蛋白质的含量 应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
01
复习旧知
3.问题探究：用不等式（组）表示不等关系
质、一元一次不等式（组）等知识，你们现在还能对这些知识
进行阐述并运用吗？
那么，到了高中我们还将继续学习不等式的那些新知识？
相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题.
01
复习旧知
1.不等式的定义是什么？
用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）连接表示不等
人教版高中数学必修第一册第二章2.1.1等式性质与不等式性质(1)【课件】
列、三角函数、解析几何和实际应用的背景呈现，考查大小比较
、不等式的证明、最值和范围的求解，考查学生对数形结合、分
类讨论、等价转，考查运算求解、推理论证和数学建模等数学素养．
3. 在呈现方式上,有单独以不等式相关知识为背景的试题,这类试
题通常以选择题或填空题的形式呈现;也有将不等式作为工具的
会用不等式(组)表示实际问题中
的不等关系
在实际问题中发现不等关系，并
表示出不等关系，发展数学抽象
及数学建模素养
会用比较法比较两数(式)的大小
借助比较两数(式)的大小，培养
逻辑推理及数学运算素养
情境导学
某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往．甲车
队说：“若领队买全票一张，则其余人可享受七五折优
惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的八折优惠。”
态氮含量为z g，非糖固形物含量为w g．则本题中的不等关系
0 x 15.0,
可用不等式组表示为
y 14.5%,
z 0.2,
w 5.0
.
【解】
设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根，
课时1
等式性质与不等式性质(1)
教学目标
1. 通过实际问题情境,了解不等关系与不等式(组)的实际背
景,感受现实世界和日常生活中存在着不等关系,会用不等式
表示现实生活中的不等关系,培养数学抽象素养.
2. 正确理解不等式的意义,灵活运用作差法比较两数(式)的
大小,培养数学运算素养.
学习目标
课程目标
学科核心素养
用等于一体，体现数学知识之间的有机联系和不等式的广泛应用
性，充分地发挥出不等式的工具作用．运用导数研究函数的性质
、不等式的证明、最值和范围的求解，考查学生对数形结合、分
类讨论、等价转，考查运算求解、推理论证和数学建模等数学素养．
3. 在呈现方式上,有单独以不等式相关知识为背景的试题,这类试
题通常以选择题或填空题的形式呈现;也有将不等式作为工具的
会用不等式(组)表示实际问题中
的不等关系
在实际问题中发现不等关系，并
表示出不等关系，发展数学抽象
及数学建模素养
会用比较法比较两数(式)的大小
借助比较两数(式)的大小，培养
逻辑推理及数学运算素养
情境导学
某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往．甲车
队说：“若领队买全票一张，则其余人可享受七五折优
惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的八折优惠。”
态氮含量为z g，非糖固形物含量为w g．则本题中的不等关系
0 x 15.0,
可用不等式组表示为
y 14.5%,
z 0.2,
w 5.0
.
【解】
设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根，
课时1
等式性质与不等式性质(1)
教学目标
1. 通过实际问题情境,了解不等关系与不等式(组)的实际背
景,感受现实世界和日常生活中存在着不等关系,会用不等式
表示现实生活中的不等关系,培养数学抽象素养.
2. 正确理解不等式的意义,灵活运用作差法比较两数(式)的
大小,培养数学运算素养.
学习目标
课程目标
学科核心素养
用等于一体，体现数学知识之间的有机联系和不等式的广泛应用
性，充分地发挥出不等式的工具作用．运用导数研究函数的性质
新版高中数学必修一课件：2.1等式性质与不等式性质
(2)(多选)下列命题为真命题的有( ) A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则1a＜b1 D．若a＞b＞0，c＜0则ac＞bc
答案：BD
解析： 选项A：当c＝0时，ac2＝bc2，判断错误；
选项B: 推导符合不等式性质，判断正确；
选项C：1a
−
b1＝ba−ba，由a＜b＜0，可知ab＞0，b－a＞0，则ba−ba＞0，即1a＞b1.判断错误；选项D：ac
巩固训练1 大小关系为(
A．p＞q C．p＜q
(1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的
) B．p≥q D．p≤q
答案：C
解析：由题意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4) ＝－1<0，所以p－q<0，即p<q.
(2)已知b＞a＞0，m＞0，比较ba++mm与ba的大小．
解析：作差：b+m
a+m
−
b＝ab+am−ab−bm＝m a−b
a
a a+m
a a+m
.∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，a＋m>0，∴ma
a−b a+m
＜0，∴ba++mm
＜ba.
题型 2 利用不等式的性质判断命题的真假
例2 (1)[2022·山东青岛高一期末]已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，
要点四 等式性质与不等式性质的比较
等式的性质 a＝b⇔b＝a a＝b，b＝c⇒a＝c a＝b⇔a＋c＝b＋c
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
自主预习，回答问题
阅读课本37-38页，思考并完成以下问题 1. 举例说明生活中的不等关系. 2.不等式的基本性质是？ 3. 比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
知识清单
1、不等式的基本性质
AB
B
A
gg ab
b>a
g
g
b
a
a>b
所以(x+1)(x+2)>(x+1)(x+4)
解题方法（比较法的基本步骤）
比较法的基本步骤： 1.作差(或作商) 2.变形 3.定号(与0比较或与1比较).
2.对于直角三角形的研究,中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四
弦五”勾股定理的特例,而西方直到公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯
才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5,那么这
（5）×
（6） √
（3）× （7 ）×
（4）√
解题方法（不等式性质应用）
可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证.
[跟踪训练一]
答案：（1） > （2） <
（3） <
（4） <
题型二 比较大小
例2：(1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小。
解：因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) =x2+5x+6-(x2+5x+4) =2>0，
当且仅当 a b 时，等号成立.
一般的，a, b R, 有 ab a2 b2 2
当且仅当 a b 时，等号成立.
4、不等式的基本性质
①、对称性：a b b a传递性：a___b_,_b___c_ a c ②、 a b, c R，a+c＞b+c （可加性） ③、a＞b， c 0， 那么ac＞bc； （可乘性）
答案：A
答案：A
3. 用不等号填空:
(1)若a>b,则ac2
bc2.
(2)若a+b>0,b<0,则b
a.
(3)若a>b,c<d,则a-c
b-d.
答案(1)≥ (2)< (3)>
题型分析 举一反三
题型一 不等式性质应用
例1 判断下列命题是否正确: (1) a b, c b a c ( )
0).
a b
1
a
__<__ b
自主预习，回答问题
阅读课本39-42页，思考并完成以下问题 1.重要不等式是？ 2.等式的基本性质？ 3. 类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可量，最终选出代表回答问题。
知识清单 3、重要不等式
一般的，a, b R, 有 a2 b2 2ab
a＞b， c 0，那么ac＜bc
④、a＞b＞0，c d 0那么，ac＞bd （乘法法则）
⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件 n N, n 2 ） （乘方性） ⑥、 a＞b＞0 那么 n a n b（条件 n N, n 2 ）（开方性）
小试身手
1.完成一项装修工程,请木工共需付工资每人 400 元,请瓦工共需付 工资每人 500 元,现有工人工资预算不超过 20 000 元,设木工 x 人, 瓦工 y 人,x,y∈N*,则工人满足的关系式是( ) A.4x+5y≤200 B.4x+5y<200 C.5x+4y≤200 D.5x+4y<200
个直角三角形面积的最大值等于
.
解题方法（重要不等式的应用及多项式的取值范围）
1、利用已知条件列出满足的等式和不等式，然后利用重要不等式解 决相应的问题。（注意等于号满足的条件） 2、多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相 乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）
1.某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2只玫瑰与1只康乃馨 所需费用之和大于8元,而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之 和小于22元.设购买2只玫瑰花所需费用为A元,购买3只康乃馨所 需费用为B元,则A,B的大小关系是( )
A.A>B
B.A<B
C.A=B D.A,B的大小关系不确定
答案：A
(2) a b ac2 bc2 ( )
(3) a b, c d ac bd ( (5) a b a2 b2 ( )
)
(4)
a b ab c2 c2
(
)
(6)a b a2 b2 ( )
(7) a b 0, c d 0 a b ( ) cd
答案：（1）× （2） ×
a>ba-b>0
基本不等式
a<ba-b<0
b=a b-a=0
注:是比较两个数大小的依据
2、两个实数比较大小的方法
a b 0 a __>__ b 作差法a b 0 a __=__ b(a,b R);
a b 0 a __<__ b
a
b
1
a
__>__
b
a
作商法
b
1
a
__=__b(a R，b
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
课程目标
1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其 解决简单的问题． 2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数 的大小． 3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐 于探究的良好思维品质。
数学学科素养
1.数学抽象：不等式的基本性质； 2.逻辑推理：不等式的证明； 3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用； 4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围 之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将 除法转化为乘法）； 5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测 不等式的基本性质。