抛物线与等腰三角形(教师用)
浅析中考试题中抛物线与等腰(等边)三角形的问题
种 重要形式 ． 这类 问题 以抛 物线为 背景 ． 探 索是 否存在一 些点 ． 使其构成 某些特殊 图形 ．
当Ｐ在（ ２ ， ２ 、 ／ 丁） 时， Ｂ ， Ｏ 、 Ｐ－Ａ共线（ 如
图２ ） 。
如 常见 的等腰 （ 等 边） 三 角形 ， 直角三 角形 ， 相 似三 角形 ． 全等 三角形等 ． 这类问题在近 几年 的 中考 中占了很 大的 比例 ．常常作为 中考的
相同的性 质 ： １ ． 对称 轴都为直 线 ＝ ２或顶 点的横 坐标 为２ ： ２ ． 都经过 Ａ （ １ ， ０ ） ， Ｂ （ ３ ， ０ ） 两点 ；
ｘ ＋ ３ 与ｘ 轴交于点 Ｑ ， 点Ｐ 是线段 Ｂ Ｃ 上 的一 个动点 ． Ｐ ＨＩＯ Ｂ于点 Ｈ 。若 Ｐ Ｂ ＝ ５ ｔ ， 且０ ＜ ｔ ＜ ｌ
① 当Ｏ Ｐ ＝ ０ Ｂ ＝ ４时 ， Ｏ Ｐ ２ ＝ １ ６ ，所 以４ ＋ ＝
１ ６ ， 解得 ± ２ 、 ／
通过 以上 例题 的分 析与解答 ． 我们对 这 种 问题 有 了新 的认 识 和 了解 ．对解 决 抛 物 线 与等 腰 三角 形包 括 等边 三 角形 问题 找 到 了 有效 的解 题 途径 ．为今 后解 决 同类 问 题 起 到抛 砖 引玉 的作 用 ．现 为读 者精 选 两 题 起 探讨 。 练习 １ ： （ ２ ０ １ ３年陕西 ）如 果一条抛 物线 ｙ ＝ ｎ ＋ ＋ ｃ ｆ ａ ≠ｏ １ 与 轴有 两个 交点 ， 那么以 该抛 物线 的顶点和这两 个交点为顶点 的三角
例２ ： （ ２ ０ １ ３年江西 ） 如图 ３ ， 已知二 次 函 数Ｌ ｌ ： ｙ ＝ ｘ ＋ ３与 轴交于 Ａ、 Ｂ两点 （ 点Ａ 在点 Ｂ的左边 ） ， 与Ｙ 轴交于点 Ｃ 。
二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)
特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。
2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。
2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。
数学人教版九年级上册抛物线中的动点问题--等腰三角形
抛物线中的动点问题-----等腰三角形上课教师抚顺市五十中学韩福云
教
学
目
标
通过解决二次函数中动点引出的等腰三角形问题，培养学生分类思想；掌握用
等腰三角形的性质、判定解决问题的方法；形成把动态关系转化为静态关系的
观念；达到会用运动变化的观点去观察和研究图形的能力；提高综合分析问题
和解决问题的能力.
谈收获
见学案
板
书
设
计
动点问题-----探究等腰三角形的问题教学反思
（1）（2）（3）（4）
重点
等腰三角形的判定、性质解决问题的方法
难点
动态关系转为静态关系
教学
过程
教学内容
典例
分析
复习：
1.分类：按顶角的位置或者底边的位置分类
2.解决问题的相3）解直角三角形（4）方程思想
（5）坐标、变量、线段长度、解析式之间的转化
3.动点分类（1）一个动点（2）两个动点（3）三个动点
直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
教学
过程
教学内容
典型
分析
归纳
总结
布置
作业
二、两个动点、三个动点
(4)点B向右平移一个单位长度得到点F，作直线CF，点Q是线段OB上的动点，
过点Q作QM⊥x轴，交直线CF于点N，交抛物线于点M.
①连接CM，当△CMN是等腰三角形时，直接写出点Q的坐标.
②连接OM交直线CF于点P，当△PMN是等腰三角形时，直接写出点Q的坐标.
一、一个动点
例.如图，抛物线 经过点A(-1,0),B(3,0),C（0,3），抛物线
的对称轴与BC交于点E.
（1）求抛物线的表达式；
初中数学压轴题(等腰三角形问题)
（1）∵C（0， ），∴OC= .
∵tan ACO= ，∴OA=1.∴A(-1，0). ∵点 A,C 在抛物线 y=ax2-2ax+b 上，
∴
，解得
，
∴此抛物线的解析式为 y= x2-x- ；
∴P(3- ,0)， 综上所述，当△MPQ 为等腰三角形时，点 P 的坐标为(1，0)或(3- ,0).
然后解方程并检验． 2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点 P 重合在一起．
满分解答
（3）抛物线的对称轴是直线 x＝2，设点 P 的坐标为(2, y)． ①当 OP＝OB＝4 时，OP2＝16．所以 4+y2＝16．解得 y 2 3 ． 当 P 在 (2, 2 3) 时，B、O、P 三点共线（如图 2）． ②当 BP＝BO＝4 时，BP2＝16．所以 42 ( y 2 3)2 16 ．解得 y1 y2 2 3 ． ③当 PB＝PO 时，PB2＝PO2．所以 42 ( y 2 3)2 22 y2 ．解得 y 2 3 ． 综合①、②、③，点 P 的坐标为 (2, 2 3) ，如图 2 所示．
满分解答
图2
图3
图4
②我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形，0≤t＜4．
如图 1，在△AOB 中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7， AB 4 2 ，所以 OB＞AB．因此∠OAB＞∠
AOB＞∠B．
如图 4，点 P 由 O 向 C 运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以 PQ//x 轴．
图2
图3
考点伸展
如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．
由 y 3 x(x 4) 3 (x 2)2 2 3 ，得抛物线的顶点为 D(2, 2 3 ) ．
【高考】2020年高考数学一轮复习对点提分专题8.8 抛物线及其几何性质 (文理科通用)(教师版)
第八篇 平面解析几何 专题8.08 抛物线及其几何性质【考试要求】1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 【知识梳理】 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准 方程 y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px(p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离性 质顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2 y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【解析】 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a. (3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 【教材衍化】2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________. 【答案】 y 2＝－92x 或x 2＝43y【解析】 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .3. (选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________. 【答案】 2【解析】 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 【真题体验】4.(2019·黄冈联考)已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( ) A.5 B.－3或5C.－2或6D.6【答案】 B【解析】 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，它与直线x ＝m 的距离为d ＝|m －1|＝4，∴m ＝－3或5. 5.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6C.8D.12【答案】 B【解析】 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B.6.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________. 【答案】 [－1，1]【解析】 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1，因此k 的取值范围是[－1，1]. 【考点聚焦】考点一 抛物线的定义及应用【例1】 (1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，其上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2，则y 1＋x 21－y 2－x 22＝( )A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2B.135 C.145D.3【答案】 (1)B (2)A【解析】 (1)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋12，|BF |＝y 2＋12，∴|AF |－|BF |＝y 1－y 2＝2，又知x 21＝2y 1，x 22＝2y 2，∴x 21－x 22＝2(y 1－y 2)＝4，∴y 1＋x 21－y 2－x 22＝(y 1－y 2)＋(x 21－x 22)＝2＋4＝6. (2)由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1，0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.【规律方法】 应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋p2或|PF|＝|y0|＋p2.【训练1】(1)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.【答案】(1)y2＝4x(2)6【解析】(1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝12|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.考点二抛物线的标准方程及其性质【例2】(1)(2018·晋城模拟)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当|MA||MF|＝2时，△AMF的面积为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝855，则抛物线C2的方程为()A.y 2＝85xB.y 2＝165xC.y 2＝325xD.y 2＝645x【答案】 (1)C (2)C【解析】 (1)过M 作MP 垂直于准线，垂足为P ， 则|MA ||MF |＝2＝|MA ||MP |＝1cos ∠AMP， 则cos ∠AMP ＝22，又0°<∠MAP <180°， 则∠AMP ＝45°，此时△AMP 是等腰直角三角形， 设M (m ，4m )，由|MP |＝|MA |，得|m ＋1|＝4m ， 解得m ＝1，M (1，2)，所以△AMF 的面积为12×2×2＝2.(2)由题意，知直线AB 必过原点， 则设AB 的方程为y ＝kx (易知k >0)， 圆心C 1(0，2)到直线AB 的距离d ＝|－2|k 2＋1＝22－⎝⎛⎭⎫4552＝255，解得k ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋（y －2）2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝165，把⎝⎛⎭⎫85，165代入抛物线方程， 得⎝⎛⎭⎫1652＝2p ·85，解得p ＝165， 所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x . 【规律方法】 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)(2019·济宁调研)已知点A (3，0)，过抛物线y 2＝4x 上一点P 的直线与直线x ＝－1垂直相交于点B ，若|PB |＝|PA |，则P 的横坐标为( ) A.1B.32C.2D.52【答案】 (1)y 2＝3x (2)C【解析】 (1)设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1， 由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线的斜率为3， 故|AC |＝2|AA 1|＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4， 故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x . (2)由抛物线定义知：|PB |＝|PF |，又|PB |＝|PA |，所以|PA |＝|PF |，所以x P ＝x A ＋x F 2＝2(△PFA 为等腰三角形).考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】 (2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程. 【答案】见解析【解析】(1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py 得y ′＝x p，则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p ＝－1，则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1p x ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p，切线AN 的方程为y AN ＝x 1p x －x 212p ，同理切线BN 的方程为y BN ＝x 2p x －x 222p.又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎨⎧y ＝x 1p x －x 212p，y ＝x 2p x －x 222p ，解得N ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22p . ∴N (pk ，－1).|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 24p 2k 2＋8p ， 点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .【规律方法】 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.【提醒】：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10【答案】 A【解析】 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 2直线的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2≥8＋216＝16.当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号.故|AB |＋|DE |的最小值为16. 【反思与感悟】1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p .【易错防范】1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0). 2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式. 【核心素养提升】【数学抽象】——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点). 【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5D.6【一般解法】 【答案】 B【解析】易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.【应用结论】 法一由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92.法二 因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p＝1， 解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.94【一般解法】 【答案】 D【解析】由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0. 与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.[应用结论]由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.【例3】 (2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A.5B.6C.163 D.203【一般解法】【答案】 C【解析】如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3，23)，又F (1，0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C. 【应用结论】法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163. 法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( )A.2B.1C.14D.18【答案】 D【解析】 由y ＝4x 2得x 2＝14y ，所以2p ＝14，p ＝18，则抛物线的焦点到准线的距离为18. 2.(2019·抚顺模拟)已知点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若|MF |＋|NF |＝4，则线段MN 的中点的横坐标为( )A.32B.2C.52D.3 【答案】 A【解析】 ∵点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，∴F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线方程为x ＝－12， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴|MF |＋|NF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝4， ∴x 1＋x 2＝3，∴线段MN 中点的横坐标为32. 3.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|FA |＝3，则直线FA 的倾斜角为( )A.π3B.π4C.π3或2π3D.π4或3π4【答案】 C【解析】 如图，作AH ⊥l 于H ，则|AH |＝|FA |＝3，作FE ⊥AH 于E ，则|AE |＝3－32＝32，在Rt △AEF 中，cos ∠EAF ＝|AE ||AF |＝12，又0＜∠EAF ＜π，∴∠EAF ＝π3，即直线FA 的倾斜角为π3，同理点A 在x 轴下方时，直线FA 的倾斜角为2π3.4.(2019·德州调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( )A.x 2＝8yB.x 2＝4yC.y 2＝8xD.y 2＝4x【答案】 C 【解析】 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋p 2⎝⎛⎭⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .5.(2019·河南中原联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( )A.2B.3C.4D.5【答案】 B【解析】 由题意知p 2＝2，即p ＝4.过点N 作准线l 的垂线，垂足为N ′，交抛物线于点M ′，则|M ′N ′|＝|M ′F |， 则有|MN |＋|MF |＝|MN |＋|MT |≥|M ′N ′|＋|M ′N |＝|NN ′|＝1－(－2)＝3.二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.【答案】 2 6【解析】 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0).由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米.7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足.若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________.【答案】 6【解析】 由抛物线方程为y 2＝6x ，所以焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫32，0，准线方程为x ＝－32，因为直线AF 的斜率为－3，所以直线AF 的方程为y ＝－3⎝⎛⎭⎫x －32，当x ＝－32时，y ＝33，所以A ⎝⎛⎭⎫－32，33， 因为PA ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为33， 可得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫92，33， 根据抛物线的定义可知|PF |＝|PA |＝92－⎝⎛⎭⎫－32＝6. 8.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.【答案】 x 2＝16y【解析】 因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以2＝c a ＝1＋b 2a 2，所以b a＝3，所以渐近线方程为3x ±y ＝0，因为抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，所以F 到双曲线C 1的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪p 23＋1＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y .三、解答题9.(2019·天津耀华中学模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.【答案】见解析【解析】(1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以直线AB 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，即5p 4＋p ＝9，所以p ＝4.所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由p ＝4知，方程4x 2－5px ＋p 2＝0，可化为x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4，故y 1＝－22，y 2＝4 2.所以A (1，－22)，B (4，42).则OC →＝OA →＋λOB →＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(1＋4λ，－22＋42λ).因为C 为抛物线上一点，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)，整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.10.(2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.【答案】见解析【解析】(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4.于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由y ＝x 24，得y ′＝x 2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1).设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1.从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3 【答案】 D【解析】 设|AF |＝m ，|BF |＝n ，∵|AF |＋|BF |＝233|AB |， ∴233|AB |≥2mn ，∴mn ≤13|AB |2， 在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝m 2＋n 2－|AB |22mn ＝（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn ＝13|AB |2－2mn 2mn ≥－12， ∴∠AFB 的最大值为2π3. 12.(2019·武汉模拟)过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )A.32B.33C.12D.34【答案】 C【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点A ，B 处的切线方程为x 1x ＝2(y ＋y 1)，x 2x ＝2(y ＋y 2)，所以 E ⎝⎛⎭⎫2y 1x 1，0，F ⎝⎛⎭⎫2y 2x 2，0，即E ⎝⎛⎭⎫x 12，0，F ⎝⎛⎭⎫x 22，0，因为这两条切线都过点P (2，－1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝2（－1＋y 1），2x 2＝2（－1＋y 2），所以l AB ：x ＝－1＋y ，即l AB 过定点(0，1)， 则S △PEF S OAB ＝12×1×⎪⎪⎪⎪x 12－x 2212×1×|x 1－x 2|＝12. 13.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.【答案】 655－1【解析】 如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.14.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32. (1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值.【答案】见解析【解析】(1)因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32，所以p ＝2， 所以C 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≥0)，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0<b ≤1，S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b （x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝12b 16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0<b ≤1)， 设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b >0，函数单调递增，所以b ＝1时，△OPQ 的面积最大，最大值为2.【新高考创新预测】15.(思维创新)已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.14B.2C.4D.8【答案】 B【解析】 过点M 作抛物线的准线的垂线，垂足为点M ′，则易得|MM ′|＝|MF |，所以cos ∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝|MF| |MN|＝55，则k AM＝－tan∠NMM′＝－1－cos2∠NMM′cos2∠NMM′＝－2，则直线AM的方程为y－2＝－2x，令y＝0得抛物线的焦点坐标F(1，0)，则p＝2×1＝2，故选B.。
(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之等腰三角形(含解析)
中考数学抛物线压轴题之等腰三角形（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．3．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．6．如图，已知二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．（1）函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是．（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+1）2+1=0的解．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B 的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．8．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l 经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m 为何值时，△OPQ是等腰三角形．10．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A （﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E．（1）求经过点D、B、E的抛物线的解析式；（2）将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交（1）中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF=DG能成立吗？请说明理由；（3）过（2）中的点F的直线交射线CB于点P，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使△PFE 为等腰三角形，求Q点的坐标．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．13．如图1，抛物线y=ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式．（2）如图1，当点P的横坐标为时，求证：△OBD∽△ABC．（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积．（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．14．如图，已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．16．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．（1）求该抛物线的函数关系表达式．（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．17．如图1，抛物线y=﹣x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：①t为何值时△MAN为等腰三角形；②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y＝﹣++2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C，对称轴与x轴相交于点H，与AC相交于点T．（1）点P是线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ∥AC交抛物线的对称轴于点Q，当△AQH面积最大时，点M、N在y轴上（点M在点N的上方），MN＝，点G在直线AC上，求PM+NG+GA的最小值．（2）点E为BC中点，EF⊥x轴于F，连接EH，将△EFH沿EH翻折得△EF'H，如图所示，再将△EF'H沿直线BC平移，记平移中的△EF'H为△E'F″H'，在平移过程中，直线E'H'与x轴交于点R，则是否存在这样的点R，使得△RF'H'为等腰三角形？若存在，求出R点坐标．20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣4交x轴于A、B两点，交y轴于点C．（1）点P为线段BC下方抛物线上的任意一点，一动点G从点P出发沿适当路径以每秒1个单位长度运动到y轴上一点M，再沿适当路径以每秒1个单位长度运动到x轴上的点N，再沿x轴以每秒个单位长度运动到点B．当四边形ACPB面积最大时，求运动时间t的最小值；（2）过点C作AC的垂线交x轴于点D，将△AOC绕点O旋转，旋转后点A、C的对应点分别为A1、C1，在旋转过程中直线A1C1与x轴交于点Q．与线段CD交于点I．当△DQI是等腰三角形时，直接写出DQ的长度．1.抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3．（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；∵点A、B关于直线l对称，∴PA=PB，∴BC=PC+PB=PC+PA设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：，解得：∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3；当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：MA2=m2+4，MC2=（3﹣m）2+1=m2﹣6m+10，AC2=10；①若MA=MC，则MA2=MC2，得：m2+4=m2﹣6m+10，得：m=1；②若MA=AC，则MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±；③若MC=AC，则MC2=AC2，得：m2﹣6m+10=10，得：m1=0，m2=6；当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．方法二：（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3．（2）连接BC，∵l为对称轴，∴PB=PA，∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x=1代入l BC：y=﹣x+3，得P（1，2）．（3）设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），∵△MAC为等腰三角形，∴MA=MC，MA=AC，MC=AC，（1+1）2+（t﹣0）2=（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t=1，（1+1）2+（t﹣0）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t=±，（1﹣0）2+（t﹣3）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1=6，t2=0，经检验，t=6时，M、A、C三点共线，故舍去，综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，），M2（1，﹣），M3（1，1），M4（1，0）．（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，作HG⊥AO，垂足为G，∴∠AHG+∠GHO=90°，∠AHG+∠GAH=90°，∴∠GHO=∠GAH，∴△GHO∽△GAH，∴HG2=GO•GA，∵A（﹣1，0），C（0，3），∴l AC：y=3x+3，H（﹣，），∵H为OO′的中点，∴O′（﹣，），∵D（1，4），∴l O′D：y=x+，l AC：y=3x+3，∴x=﹣，y=，∴Q（﹣，）．2.（1）抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，（2）由（1）知，抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4），∵B（3，0），A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴BC=3，BE=2，CE=，∵直线y=﹣x+1与y轴交于点D，∴D（0，1），∵B（3，0），∴OD=1，OB=3，BD=，∴，，，∴，∴△BCE∽△BDO，（3）存在，理由：设P（1，m），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC=3，PB=，PC=，∵△PBC是等腰三角形，①当PB=PC时，∴=，∴m=﹣1，∴P（1，﹣1），②当PB=BC时，∴3=，∴m=±，∴P（1，）或P（1，﹣），③当PC=BC时，∴3=，∴m=﹣3±，∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）3．（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）此抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（3）存在；如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△P′OD中，∠P′DO=90°，sin∠P′OD==，∴∠P′OD=60°，∴∠P′OB=∠P′OD+∠AOB=60°+120°=180°，即P′、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2）．方法二：（3）设P（2，t），O（0，0），B（﹣2，﹣2），∵△POB为等腰三角形，∴PO=PB，PO=OB，PB=OB，（2﹣0）2+（t﹣0）2=（2+2）2+（t+2）2，∴t=﹣2，（2﹣0）2+（t﹣0）2=（0+2）2+（0+2）2，∴t=2或﹣2，当t=2时，P（2，2），O（0，0）B（﹣2，﹣2）三点共线故舍去，（2+2）2+（t+2）2=（0+2）2+（0+2）2，∴t=﹣2，∴符合条件的点P只有一个，∴P（2，﹣2）．（4）∵点B，点P关于y轴对称，∴点M在y轴上，设M（0，m），∵⊙M为△OBF的外接圆，∴MO=MB，∴（0﹣0）2+（m﹣0）2=（0+2）2+（m+2）2，∴m=﹣，M（0，﹣）．4．（1）∵该抛物线经过点A（5，0），O（0，0），∴该抛物线的解析式可设为y=a（x﹣0）（x﹣5）=ax（x﹣5）．∵点B（4，4）在该抛物线上，∴a×4×（4﹣5）=4．∴a=﹣1．∴该抛物线的解析式为y=﹣x（x﹣5）=﹣x2+5x．（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大．①当0＜x＜4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示．∵B（4，4），∴易知直线OB的解析式为：y=x．设M（x，﹣x2+5x），过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E（x，x），∴ME=（﹣x2+5x）﹣x=﹣x2+4x．S△OBM=S△MEO+S△MEB=ME（x E﹣0）+ME（x B﹣x E）=ME•x B=ME×4=2ME，∴S△OBM=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8∴当x=2时，S△OBM最大值为8，即四边形的面积最大．②当4＜x＜5时，点M在抛物线AB段上时，图略．可求得直线AB解析式为：y=﹣4x+20．设M（x，﹣x2+5x），过点M作ME∥y轴，交AB于点E，则E（x，﹣4x+20），∴ME=（﹣x2+5x）﹣（﹣4x+20）=﹣x2+9x﹣20．S△ABM=S△MEB+S△MEA=ME（x E﹣x B）+ME（x A﹣x E）=ME•（x A﹣x B）=ME×1=ME，∴S△ABM=﹣x2+x﹣10=﹣（x﹣）2+∴当x=时，S△ABM最大值为，即四边形的面积最大．比较①②可知，当x=2时，四边形面积最大．当x=2时，y=﹣x2+5x=6，∴M（2，6）．（3）由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上．设P（m，﹣m2+5m），则Q（m，m）当△PQB为等腰三角形时，①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2﹣1所示．过点B作BE⊥PQ于点E，则点E为线段PQ中点，∴E（m，）．∵BE∥x轴，B（4，4），∴=4，解得：m=2或m=4（与点B重合，舍去）∴m=2；②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2﹣2所示．易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，则△PQB为等腰直角三角形．∴PB∥x轴，∴﹣m2+5m=4，解得：m=1或m=4（与点B重合，舍去）∴m=1；③若点Q为顶点，即QP=QB，如答图2﹣3所示．∵P（m，﹣m2+5m），Q（m，m），∴PQ=﹣m2+4m．又∵QB=（x B﹣x Q）=（4﹣m），∴﹣m2+4m=（4﹣m），解得：m=或m=4（与点B重合，舍去），∴m=．综上所述，当△PQB为等腰三角形时，m的值为1，2或．5．（1）．（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．∴解得：，∴直线AB的解析式为．∴C点坐标为（0，）∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），∴直线OB的解析式为y=﹣x．∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．设P（x，﹣x），（i）当OC=OP时，．解得，（舍去）．∴P 1（，）．（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P2（，﹣）．（iii）当OC=PC时，由，解得，x 2=0（舍去）．∴P3（，﹣）．∴P点坐标为P 1（，）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．设Q（x，﹣x），D（x，）．S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ•OG+DQ•GH，=DQ（OG+GH），=，=，∵0＜x＜3，∴当时，S取得最大值为，此时D（，﹣）．方法二：（1）略．（2）①由A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）得l AB：y=﹣x﹣，∴C（0，﹣），l OB：y=﹣x，设P（t，﹣t），O（0，0），C（0，﹣），∵△OPC为等腰三角形，∴OP=OC，OP=PC，PC=OC，（t﹣0）2+（﹣t﹣0）2=（0﹣0）2+（0+）2，∴t1=，t2=﹣（舍），（0﹣0）2+（0+）2=（t﹣0）2+（﹣t+）2，∴t1=，t2=0（舍），（t﹣0）2+（﹣t﹣0）2=（t﹣0）2+（﹣t+）2，∴t=，∴P点坐标为P 1（，）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．②过D作x轴垂线交OB于Q，∵B（3，﹣3），∴l OB：y=﹣x，设D（t，﹣t2+t），Q（t，﹣t），∵S△OBD=（D Y﹣Q Y）（B X﹣O X），∴S△OBD=（﹣t2+t+t）•（3﹣0）=﹣t2+t，当t=时，S有最大值，D（，﹣）．（3）∵△FAB是以AB为斜边的直角三角形，∴∠GOA+∠BOH=90°，∵BH⊥OH，∴∠OBH+BOH=90°，∴∠GOA=∠OBH，∴△GOA∽△OBH，∵点F为x轴上一动点，∴设F（m，0），∵A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3），∴，∴m2﹣2m=0，∴m=0或2，∴F 1（0，0），F2（2，0）．6．（1）∵二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3=a（x﹣1）2+3，∴顶点M坐标为（1，3），∵a＞0，∴函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为3，∵二次函数L1的对称轴为x=1，当x＜1时，y随x的增大而减小；二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1的对称轴为x=﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；∴当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是﹣1≤x≤1；。
专题 二次函数与等腰三角形有关的问题(知识解读)-中考数学(全国通用)
专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。
【解题思路】等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线”（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．以点C1 为例，具体求点坐标：过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C类似可求点 C 2 、C 3、C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法．【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C总结：【典例分析】【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A （﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式11】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c （a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y＝ax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【典例2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【变式2-1】（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【变式2-1】（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B 两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。
(完整版)二次函数中的存在性问题(等腰三角形的存在性问题)
二次函数中的存在性问题(等腰三角形)[07福建龙岩]如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =． （1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点， 是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条 件的点P 坐标；不存在，请说明理由． 解：（1）抛物线的对称轴5522a x a -=-= （2）(30)A -， (54)B ， (04)C ，把点A 坐标代入254y ax ax =-+中，解得16a =-215466y x x ∴=-++（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ．过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =， 5.5AN =，2BM = ① 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．222228480AB AQ BQ ∴=+=+= 在1Rt ANP △中，1PN ==== 152P ⎛∴ ⎝⎭ ② AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △．在2Rt BMP △中，22MP ==== 252P ⎛∴ ⎝⎭③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3Rt Rt PCK BAQ △∽△．312P K BQ CK AQ ∴==． 3 2.5P K = 5CK ∴= 于是1OK = 3(2.51)P ∴-，[07广西河池]如图，已知抛物线224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ， 求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以BQ 等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．（1）把x =0代入224233y x x =-++得点C 的坐标为C （0，2） 把y =0代入224233y x x =-++得点B 的坐标为B （3，0）（2）连结OP ，设点P 的坐标为P （x ，y ）OBPC S 四边形=OPC S △+OPB S △ =112322x y ⨯⨯+⨯⨯= 3223x ⎛+- ⎝∵ 点M 运动到B 点上停止，∴03x ≤≤∴23324S x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（03x ≤≤）（3）存在． BC=13 ① 若BQ = DQ∵ BQ = DQ ，BD = 2 ∴ BM = 1 ∴OM = 3-1 = 2 ∴2tan 3QM OC OBC BM OB ∠=== ∴QM =23 所以Q的坐标为Q （2，23） ． ② 若BQ =BD =2 ∵ △BQM ∽△BCO ，∴BQ BC =QM CO =BMBO∴=2QM∴ QM∵BQ BC =BM OB ∴ 3BM∴ BM ∴ OM = 3 ··················································· 11分 所以Q 的坐标为Q （313-，13） ··················································· 12分[07年云南省]已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ）， 请求出△CBE 的面积S 的值；（3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并 写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由． 解：（1）∵抛物线经过点(1,0)A 、(5,0)B ∴(1)(5)y a x x =--． 又∵抛物线经过点(0,5)C ∴55a =，1a =．∴抛物线的解析式为2(1)(5)65y x x x x =--=-+．（2）∵E 点在抛物线上， ∴m = 42–4×6+5 = -3．∵直线y = kx +b 过点C （0， 5）、E （4， –3）， ∴5,4 3.b k b =⎧⎨+=-⎩解得k = -2，b = 5．设直线y =-2x +5与x 轴的交点为D ，当y =0时，-2x +5=0，解得x =52．∴D 点的坐标为（52，0）． ∴S =S △BDC + S △BDE =1515(5)5+(5)32222⨯-⨯⨯-⨯=10．（3）∵抛物线的顶点0(3,4)P -既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，∴点0(3,4)P -为所求满足条件的点．（4）除0P 点外，在抛物线上还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形．理由如下：∵220024254AP BP ==+=>，∴分别以A 、B 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线 交于点B 、1P 、2P 、3P 、A 、4P 、5P 、6P ， 除去B 、A 两个点外，其余6个点为满足条件的点． （说明：只说出P 点个数但未简要说明理由的不给分）xyC B AE–1 1 O[07山东威海]如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式． （3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如21y x =+，2y x x =+，2(1)2y x =-+或223y x x =-+，2(1)y x =+，2(1y x =-．（2）设抛物线2l 的函数表达式为2y x bx c =++，点(12)A ，，(31)B ，在抛物线2l 上，12931b c b c ++=⎧∴⎨++=⎩，解得9211.2b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线2l 的函数表达式为291122y x x =-+． （3）229119722416y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，C ∴点的坐标为97416⎛⎫⎪⎝⎭，．过A B C ，，三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为D E F ，，， 则2AD =，716CF =，1BE =，2DE =，54DF =，34FE =． ABC ADEB ADFC CFEB S S S S ∴=--△梯形梯形梯形117517315(21)22122164216416⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．x图①x图②x图③x延长BA 交y 轴于点G ，设直线AB 的函数表达式为y mx n =+， 点(12)A ，，(31)B ，在直线AB 上，213.m n m n =+⎧∴⎨=+⎩，解得125.2m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB 的函数表达式为1522y x =-+．G ∴点的坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设K 点坐标为(0)h ，，分两种情况： 若K 点位于G 点的上方，则52KG h =-．连结AK BK ，． 151553122222ABK BKG AKG S S S h h h ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯--⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△． 1516ABK ABC S S ==△△，515216h ∴-=，解得5516h =．K ∴点的坐标为55016⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若K 点位于G 点的下方，则52KG h =-．同理可得，2516h =．K ∴点的坐标为25016⎛⎫⎪⎝⎭，． （4）作图痕迹如图③所示． 由图③可知，点P 共有3个可能的位置．注：作出线段AB 的中垂线得1分，画出另外两段弧得1分．x[07山东泰安]如图，在OAB △中，90B ∠=，30BOA ∠=，4OA =，将OAB △绕点O 按逆时针方向旋转至OA B ''△，C 点的坐标为（0，4）． （1）求A '点的坐标； （2）求过C ，A '，A 三点的抛物线2y ax bx c =++的解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P ，使以O A P ，，为顶点的三角形 是等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）过点A '作A D '垂直于x 轴，垂足为D ,则四边形OB A D ''为矩形 在A DO '△中，A D OA ''=sin 4sin 6023A OD '∠=⨯=2OD A B AB''=== ∴点A '的坐标为(2 （2）(04)C ，在抛物线上，4c ∴= 24y ax bx∴=++(40)A ，，(2A '，在抛物线24y ax bx =++上 16440424a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，3a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴所求解析式为23)42y x x =++． （3）①若以点O 为直角顶点，由于4OC OA ==，点C 在抛物线上，则点(04)C ，为满足条件的点． ②若以点A 为直角顶点，则使PAO △为等腰直角三角形的点P 的坐标应为(44)，或(44)-，，经计算知；此两点不在抛物线上．③若以点P 为直角顶点，则使PAO △为等腰直角三角形的点P 的坐标应为(22)，或(22)-，，经计算知；此两点也不在抛物线上．综上述在抛物线上只有一点(04)P ，使OAP △为等腰直角三角形[08广东梅州]如图11所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ， AD =DC =CB ，AB =4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于 AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ． （3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使∆PDB 为等腰三角形的点P 有几个?（不必求点P 的坐标，只需说明理由）解： （1） DC ∥AB ，AD =DC =CB ， ∴ ∠CDB =∠CBD =∠DBA ， ∠DAB =∠CBA ， ∴∠DAB =2∠DBA ，∠DAB +∠DBA =90 ， ∴∠DAB =60 ， ∠DBA =30 ， AB =4， ∴DC =AD =2， R t ∆AOD ，OA =1，OD =3，.∴A （-1，0），D （0， 3），C （2， 3）．（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A （－1，0），B （3，0）， 故可设所求为 y =a （x +1）（ x -3） 将点D （0，3）的坐标代入上式得， a =33-． 所求抛物线的解析式为 y =).3)(1(33-+-x x ···································· 7分 其对称轴L 为直线x =1． ········································································· 8分 （3） ∆PDB 为等腰三角形，有以下三种情况：①因直线L 与DB 不平行，DB 的垂直平分线与L 仅有一个交点P 1，P 1D =P 1B ，∆P 1DB 为等腰三角形； ·········································································· 9分 ②因为以D 为圆心，DB 为半径的圆与直线L 有两个交点P 2、P 3，DB =DP 2，DB =DP 3， ∆P 2DB ， ∆P 3DB 为等腰三角形；③与②同理，L 上也有两个点P 4、P 5，使得 BD =BP 4，BD =BP 5． ··················· 10分 由于以上各点互不重合，所以在直线L 上，使∆PDB 为等腰三角形的点P 有5个．[08福建南平]如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC ，O 为原点，点A C ，分别在x 轴，y 轴上，点B 坐标为(2)m ，（其中0m >），在BC 边上选取适当的点E 和点F ，将OCE △沿OE 翻折，得到OGE △；再将ABF △沿AF 翻折，恰好使点B 与点G 重合，得到AGF △，且90OGA ∠=．（1）求m 的值；（2）求过点O G A ，，的抛物线的解析式和对称轴； （3）在抛物线的对称轴．．．上是否存在点P ，使得OPG △是 等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出．．．． 所有满足条件的点P 的坐标（不要求写出求解过程）． （1）(2)B m ，，由题意可知2AG AB ==2OG OC ==OA m =90OGA ∠=，222OG AG OA ∴+= 222m ∴+=．又0m >，2m ∴=（2）过G 作直线GH x ⊥轴于H ，则1OH =，1HG =，故(11)G ，．又由（1）知(20)A ，， 设过O G A ，，三点的抛物线解析式为2y ax bx c =++ 抛物线过原点，0c ∴=．又抛物线过G A ，两点，1420a b a b +=⎧∴⎨+=⎩解得12a b =-⎧⎨=⎩∴所求抛物线为22y x x =-+ ∴它的对称轴为1x =．（3）答：存在,满足条件的点P 有(10)，，(11)-，，(112)，，(112)+，．[08湖南株洲]如图（1），在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，-2），点B 的坐标为（3，-1），二次函数2y x =-的图象为1l .（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A 、B 两点，记抛物线为2l ，如图（2），求抛物线2l 的函数解析式及顶点C 的坐标.（3）设P 为y 轴上一点，且ABC ABP S S ∆∆=，求点P 的坐标.（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点Q ，使QAB ∆为等腰三角形. 若存在，请判断点Q 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.（1）222345y x x y x x =-+-=-+-或等 （满足条件即可） ……1分（2）设2l 的解析式为2y x bx c =-++，联立方程组21193b c b c-=-++⎧⎨-=-++⎩， 解得：911,22b c ==-，则2l 的解析式为291122y x x =-+-， ……3分点C 的坐标为（97,416-） ……4分（3）如答图23-1，过点A 、B 、C 三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则2AD =，716CF =，1BE =，2DE =，54DF =，34FE =.得：1516ABC ABED BCFE CFD S S S S ∆=--=梯形梯形梯形A . ……5分延长BA 交y 轴于点G ，直线AB 的解析式为1522y x =-，则点G 的坐标为（0，52-），设点P 的坐y ox 图（1）yo x 图（2） l 1l 2标为（0，h ）①当点P 位于点G 的下方时，52PG h =--，连结AP 、BP ，则52ABP BPG APG S S S h ∆∆∆=-=--，又1516ABC ABP S S ∆∆==，得5516h =-，点P 的坐标为（0，5516-）. …… 6分②当点P 位于点G 的上方时，52PG h =+，同理2516h =-，点P 的坐标为（0，2516-）.综上所述所求点P 的坐标为（0，5516-）或（0，2516-） …… 7分(4) 作图痕迹如答图23-2所示.由图可知，满足条件的点有1Q 、2Q 、3Q 、4Q ，共4个可能的位置. …… 10分答图23-2EF 答图23-1[08浙江温州]如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在， 请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=． 点D 为AB 中点，132BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△，DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=．（2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．C C ∠=∠，RQC ABC ∴△∽△，RQ QC AB BC ∴=，10610y x-∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． （3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=，290C ∠+∠=，1C ∴∠=∠．84cos 1cos 10C ∴∠===，45QM QP ∴=，1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=．②当PQ RQ =时，312655x -+=，6x ∴=． ③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．tan QR BA C CR CA ==， 366528x -+∴=，152x ∴=．综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形．A BCD ER P H QA BCD ER P H QM2 1 HA B CDE RPHQ二次函数中的存在性问题(直角三角形)[08辽宁十二市]如图16，在平面直角坐标系中，直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．x。
【代数法】存在性问题之等腰三角形
【代数法】存在性问题之等腰三角形一、两点间距离公式设两个点A、B以及坐标分别为，则A和B两点之间的距离为：二、例题讲解例1、如图，已知抛物线解析式为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。
在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△PCB为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的P点坐标；若不存在说明理由？分析：根据题意我们可以求出B、C点坐标，分别为(3,0)，(0,3)，P点是抛物线对称轴上一动点，所以需要先设P点坐标，既然P点在x=1这条直线上，所以横坐标为1，则设P点坐标为(1,m)，分别计算BC、PC、PB的长度，使用两点间距离公式，但是一般我们使用平方来表示，即：下面分别以不同的点为顶点进行分类讨论：①当PB=PC时（以P点为顶点），则:②当BC=PB时（以B点为顶点），则:③当BC=PC时（以C点为顶点），则$$:计算上面三种情况下m的值，但是还需要进行检验，可能求出的P点刚好与B、C共线呢？所以还需要求出BC所在直线的解析式，将上面的点代入到解析式中进行验证即可。
解：由题意得，B、C点坐标分别为(3,0)，(0,3)，设P点坐标为(1,m)，则：（1）当PB=PC时，即：解得：m=1∴ P(1,1)（2）当BC=PB时，即：解得：∴（3）当BC=PC时，即：解得：∴∵ B、C点坐标分别为(3,0)，(0,3)∴ BC所在直线的解析式为：y=-x+3∴经检验，以上各点都不在直线BC上综上所述：满足△BCP是等腰三角形的P点坐标为：例2、如图，抛物线交x轴于A（-3,0），B（4,0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；分析：本题中A、C都是定点，P是抛物线第一象限内的一动点，则Q点也是一动点，且在线段BC（不含B、C两点）上运动，所以本题需要先求出BC所在直线的解析式，然后根据等腰三角形存在性问题代数法求解即可。
1抛物线(二次函数)中的等腰三角形
抛物线中的等腰三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ∆为等腰三角形，求点P 坐标。
分两大类进行讨论：（1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。
利用中点公式求出AB 的中点M ；利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ；利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式；将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。
（2）AB 为腰时，分两类讨论：①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。
②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以AB 为半径的圆上。
所需知识点：一、 两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-=。
二、 中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。
三、 任意两点的斜率公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2121x x y y k PQ --=。
典型例题：例一（深圳）如图9，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC . (1)求线段OC 的长.(2)求该抛物线的函数关系式． (3)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由.例二 如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．例三（龙岩）：已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上是否还存在这样的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P ；若不存在这样的点P ，请说明理由．例四：如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式．（3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标． （4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明由．x 图①x 2 图②x 图③同步训练：1、（08年临沂市中考题）如图，已知抛物线与x 轴交于(1,0),(3,0)A B -两点，与y 轴交于点(0,3)C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得PDC ∆是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
二次函数 专题一 拓展题(6)-教师版
∴﹣ = ，
∴m= ；
（2）由勾股定理，得
CD= ，当CD=DP= 时，P（ ， ），（ ，﹣ ），
当CD=CP时，设P点坐标为（ ，b），
∴ = ，
解得b=4，P（ ，4），
综上所述：P1（ ， ），P2（ ，﹣ ），P3（ ，4）；
（3）四边形OCFE是平行四边形，
②当 ，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC．
即 ，解得：QB= ．
∵OB=3，∴OQ=OB﹣QB=3﹣ = ，∴Q2的坐标是（ ，0）．
③当Q在B点右侧，则∠PBQ=180°﹣45°=135°，∠BAC＜135°，故∠PBQ≠∠BAC．
则点Q不可能在B点右侧的x轴上．
综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（ ，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【解析】
试题分析：（1）根据二次函数的对称性，已知对称轴的解析式以及B点的坐标，即可求出A的坐标，利用抛物线过A、B、C三点，可用待定系数法来求函数的解析式
（2）首先利用各点坐标得出得出△PBC是直角三角形，进而得出答案；
（3）本题要先根据抛物线的解析式求出顶点P的坐标，然后求出BP的长，进而分情况进行讨论：
（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），点M的坐标为M（4，5），作点H（2，9）关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1（﹣2，9），作点M（4，5）关于x轴的对称点HM1，则点M1的坐标为M1（4，﹣5），连结H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，所以H1M1+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F、E即为所求，设直线H1M1解析式为y=k1x+b1，直线H1M1过点M1（4，﹣5），H1（﹣2，9），根据题意得方程组： ，解得： ，∴ ，∴点F，E的坐标分别为（ ，0），（0， ）．
与抛物线有关的两个重要三角形
与抛物线有关的两个重要三角形刘伟 重庆市北碚区江北中学（400714）二次函数是初等函数中最为重要的一个函数，其图象抛物线，进一步加强了代数与几何的联系，其中蕴含的数学思想和方法，对学生观察问题、研究问题、解决问题是十分有益的。
二次函数的图象抛物线与坐标轴交点构成的有关线段、三角形面积等代数与几何综合问题，是历年中考数学压轴题的重点和热点。
抛物线c bx ax y ++=2，当△=b 2-4ac >0时，抛物线与x 轴必有两个交点为)0,(1x A 、)0,(2x B ；当0=x 时，抛物线与y 轴相交于点C （0，c ）。
设抛物线的顶点为P ，此时我们得到与抛物线有关的两个重要三角形：△ABC 与△ABP 。
那么这两个三角形的面积、形状与抛物线的系数a,b,c, 有怎样的内在联系呢？下面就此问题作如下探讨：一、关于△ABC∵抛物线与x 轴的两个交点为)0,(1x A 、)0,(2x B ，则02=++c bx ax 。
根据一元二次方程根与系数的关系有：ac x x a b x x =-=+2121, 所以A 、B 两点间的距离.4444)()(22222121221212aa acb a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-=⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-= 即 aAB ∆= …………………………………………（1） 这就是抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式。
而|OC|=|y c |=|c|, 所以S △ABC =.212121∆⋅=⋅∆⋅=⋅a c c a OC AB 即 S △ABC =.2∆⋅ac ……………………………………（2） 这就是抛物线与两坐标轴交点构成三角形的面积公式。
二、关于△ABP由抛物线的对称性可知，它的形状、大小由P ，A ，B 三点坐标确定。
由（1）知：aAB ∆=. 设D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，则|PD|=|y p |=.4442aa b ac ∆=- 设∠PAB=α，在Rt △PAD 中，..4:,21242ααtg a a AD PD tg =∆∆=∆⋅∆==平方整理得 于是我们得到：①当α=600时，△ABP 为等边三角形，此时α24tg =∆02604tg ==12；②当α=450时，△ABP 为等腰直角三角形，此时α24tg =∆02454tg ==4。
初中数学等腰三角形的存在性问题(word版+详解答案)
等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点． （1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA 所在直线的函数解析式是 ；（2）设平移后抛物线的顶点M 的横坐标为m ，问：当m 为何值时，线段PA 最长？并求出此时PA 的长． （3）若平移后抛物线交y 轴于点Q ，是否存在点Q 使得△OMQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．5．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ∆的面积S 最大时，求此时PAB ∆的面积S 及点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，11AM AN均为定值，并求出该定值．13．（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2019·辽宁中考模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．15．（2020·浙江初三期末）如图，抛物线y＝﹣12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．16．（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2019·吉林初三）如图1，抛物线与y ＝﹣211433x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +10CQ 的最小值； （2）将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．18．（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于点A,B ( A 在B的左侧)(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线3,4x AB =-= .①点A 的坐标为( ， )，点B 的坐标为( ， ); ②求抛物线的函数表达式;(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若OCP ∆是等腰直角三角形，求点P 的坐标.等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
抛物线中的等腰三角形课件
性质3
等腰三角形的对称轴是其底边 的中垂线。
等腰三角形的判定定理
01
02
03
判定定理1
若一个三角形有两个角相 等，则这两个角所对的边 也相等，即该三角形为等 腰三角形。
判定定理2
若一个三角形的中线和高 线重合，则该三角形为等 腰三角形。
判定定理3
若一个三角形的一边垂直 于另一边，且垂足是该边 的中点，则该三角形为等 腰三角形。
疑难
如何快速确定等腰三角形的存在。
解析
除了按照判定定理逐步进行外，还可以通过观察法、 数形结合法等方法快速判断。在实际操作中，可以结合 图像和计算，更直观地得出结论。
05
CATALOGUE
典型例题与练习题
典型例题解析
例题1
给定抛物线y = x^2和点A(1,1)，在抛物线上找两 点B、C，使得三角形ABC为等腰三角形。
等腰三角形的顶角平分线、中线以及高 线三线合一，这条线同样与抛物线的对 称轴重合。
性质
由于抛物线本身的对称性，所以等腰三 角形的两个底角相等。Βιβλιοθήκη 抛物线中等腰三角形的判定方法
方法一
利用定义判定。若抛物线内一三角形满足两腰相等，且底边 与抛物线对称轴平行，则此三角形为抛物线中的等腰三角形 。
方法二
利用性质判定。若一三角形在抛物线中满足两个底角相等， 且顶角平分线、中线以及高线三线合一，并与抛物线的对称 轴重合，则此三角形为抛物线中的等腰三角形。
2. 找两个与对称轴平 行的线，使得这两条 线到抛物线的距离相 等。
3. 确定这两条线与抛 物线的交点，以及抛 物线的顶点。这三个 点构成的三角形即为 等腰三角形。
如何求解抛物线中等腰三角形的参数
抛物线中动点问题讲义
文档根源为:从网络采集整理.word版本可编写.支持.第一讲抛物线中的动点问题一、利用动点（图形）地点进行分类，把运动问题切割成几个静态问题，而后运用转变的思想和方法将几何问题转变为函数和方程问题二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转变为函数或方程。
一、平行四边形与抛物线【例】如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣．1）求抛物线对应的函数分析式；2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上；3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数分析式，并求当t为什么值时，以M、N、C、E为极点的四边形是平行四边形．变式操练【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，而且OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标．（2）求当t为什么值时，△APQ与△AOB相像，并直接写出此时点Q的坐标．（3）当t=2时，在座标平面内，能否存在点M，使以A、P、Q、M为极点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明原因．【变式】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与向来线订交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其极点为D．文档根源为:从网络采集整理.word版本可编写.支持.（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC订交于点B，E为直线AC上的随意一点，过点E作EF∥BD 交抛物线于点F，以B，D，E，F为极点的四边形可否为平行四边形？若能，求点若不可以，请说明原因；E的坐标；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．二、梯形与抛物线【例】已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，成立如下图的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标；2（2）若抛物线y=ax+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的分析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：能否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，恳求出此时点P的坐标；若不存在，请说明原因．变式操练【变式】如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不一样的两点P、Q．（1）求h的值；（2）经过操作、察看，算出△POQ的面积的最小值（不用说理）；（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ能否为梯形？假如，请说明原因；若不是，请指出四边形的形状．【变式】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的极点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不包含端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包含端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2 ．（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围．（2）连结AQ并延伸交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延伸线于点F，连结EF，则△AEF的面积S能否随t的变化而变化？若变化，求出 S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．（3）在（2）的条件下，t为什么值时，四边形APQF是梯形？三、等腰三角形、菱形与抛物线【例】在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角极点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B 、C ；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完整同样的三角板DEF（此中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把极点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．①设AE=x，当x为什么值时，△OCE∽△OBC；②在①的条件下研究：抛物线的对称轴上能否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明原因．变式操练【变式】如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的极点A、B分别落在座标轴上．O为原点，点A 的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以文档根源为:从网络采集整理.word版本可编写.支持.每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点抵达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的分析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积能否存在最大值？若存在，恳求出最大值；若不存在，请说明原因；（3）当t为什么值时，△MNA是一个等腰三角形？【变式】如图，直线l1经过点A（﹣1，0），直线l2经过点B（3，0），l1、l2均为与y轴交于点C（0，），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴挨次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G．求证：DE=EF=FG；（3）若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出切合条件的点P 的坐标，并简述原因．【变式】如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12 ，点C的坐标为（﹣18，0）．（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的分析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在座标平面内能否存在点Q，使以O、E、P、Q为极点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明原因．【变式】如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线极点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线对应的分析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有切合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内随意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，能否能使以 Q、A、E、M四点为极点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不可以，请说明原因．四、直角三角形与抛物线【例】如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的随意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为极点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的分析式．【变式】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直均分线和BC所在的直线成立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点．文档根源为:从网络采集整理.word版本可编写.支持.（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、PB．设直线l挪动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上能否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，恳求出点P的坐标；若不存在，请说明原因．【变式】如图，极点为P（4，﹣4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N对于点P对称，连结AN、ON，（1）求该二次函数的关系式；（2）若点A在对称轴l右边的二次函数图象上运动时，请解答下边问题：①证明：∠ANM=∠ONM；②△ANO可否为直角三角形？假如能，恳求出全部切合条件的点A的坐标；假如不可以，请说明原因．【变式】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线订交于A、B两点．（1）求抛物线的分析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在座标轴上能否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，恳求出点M的坐标；若不存在，请说明原因．五、相像三角形与抛物线2（1）求抛物线的分析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，获得的直线与抛物线只有一个公共点值及点D的坐标；D，求m的（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出全部知足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．变式操练【变式】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其极点B的坐标为（3，﹣）．（1）求抛物线的函数分析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上能否存在点Q，使△AQO与△AOB相像？假如存在，恳求出Q点的坐标；假如不存在，请说明原因．【变式】如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴订交于点B、C，与y轴订交于点E，且点B在点C的左边．（1）若抛物线C1过点M（2，2），务实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上能否存在点F，使得以点B、C、F为极点的三角形与△BCE相像？若存在，求m的值；若不存在，请说明原因．文档根源为:从网络采集整理.word版本可编写.支持.【变式】如图，已知二次函数的图象过点A（﹣4，3），B（4，4）．（1）求二次函数的分析式：（2）求证：△ACB是直角三角形；（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，能否存在以P、H、D为极点的三角形与△ABC相像？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明原因．【变式】如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连结DA，∠DAC=90°．（1）直接写出直线AB的分析式；（2）求点D的坐标；（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连结CE．能否存在点P，使△BPF与△FCE相像？若存在，恳求出点P的坐标；若不存在，请说明原因．【变式】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系分析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，能否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明原因；（3）在平面直角坐标系中，能否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明原因；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．能否存在点Q，使以点B、Q、E为极点的三角形与△AOC相像？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明原因；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上能否存在点Q，使以A、C、M、Q为极点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明原因．六、抛物线中的翻折问题【例】如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线分析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为极点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．能否存在点P，使Q′恰巧落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明原因．变式操练【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数点在原点的左边，B点的坐标为（3，0），与y抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A轴交于C （0，﹣3）点，点P是直线BC下方的（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，获得四边形POP′C，那么能否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，恳求出此时点P的坐标；若不存在，请说明原因．（3）当点P运动到什么地点时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．。
抛物线中由动点产生的特殊三角形的存在性问题
抛物线中由动点产生的特殊三角形的存在性问题解析二次函数的图像与三角形的结合是代数与平面几何生成的综合性问题的一种重要形式.其呈现方式多以抛物线为载体、探索满足某种条件的三角形的存在性.这类试题旨在全面考查学生分析问题、解决问题的能力和创新思维能力.由于其涉及的知识面广,内容丰富,综合性和灵活性以及解题技巧性都较强,因而对大多数考生来说常感到束手无策.解决这类问题的关键是,弄清函数与几何图形之间的关系,在解题过程中将函数问题几何化,几何问题数量化,数形统一.一般步骤是：先假设其存在,再画出相应的图形,然后根据所画的图形进行解答,得出某些结论；最后,如果结论符合题目要求或定义、定理,则假设成立;如果出现与题目要求或定义、定理相悖的情况,则假设错误,所设不存在.一.由抛物线上的动点产生的等腰三角形用代数方法探求等腰三角形问题一般分三步：按腰相等分三种情况,再根据两点间距离列方程,解之并检验.有些等腰三角形当角度特殊时,三种情况下的动点可能会重合在一起.例1.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x 轴,y 轴相交于A,B 两点,点C 的坐标是(8,4),连接AC,BC ．(1)求过O,A,C 三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状；(2)动点P 从点O 出发,沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；同时,动点Q 从点B 出发,沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒,当t 为何值时,PA=QA ？(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】(1)先确定出点A,B 坐标,再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC 是直角三角形；(2)根据运动表示出OP=2t,CQ=10﹣t,判断出Rt△AOP ≌Rt△ACQ ,得到OP=CQ 即可；(3)分三种情况用平面坐标系内,两点间的距离公式计算即可.【解答】(1)∵直线y=﹣2x+10与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点,∴A(5,0),B(0,10).∵抛物线过原点, ∴设抛物线解析式为y=ax 2+bx,∵抛物线过点B(0,10),C(8,4),∴2550,6484a b a b +=⎧⎨+=⎩ ∴16,56a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩图1∴抛物线解析式为y=16x 2﹣56x, ∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),∴AB 2=52+102=125,BC 2=82+(8﹣5)2=100,AC 2=42+(8﹣5)2=25, ∴AC 2+BC 2=AB 2, ∴△ABC 是直角三角形．(2)如图2,当P,Q 运动t 秒,即OP=2t,CQ=10﹣t 时,由(1)得,AC=OA,∠ACQ=∠AOP=90°,在Rt△AOP 和Rt△ACQ 中,,AC OA PA QA=⎧⎨=⎩ ∴Rt△AOP ≌Rt△ACQ , ∴OP=CQ, ∴2t=10﹣t, ∴t=103, ∴当运动时间为103时,PA=QA ； (3)存在,∵y=16x 2﹣56x, ∴抛物线的对称轴为x=52, ∵A(5,0),B(0,10), ∴AB=55 如图3,设点M(52,m), 按边相等分为三种情况： ①当BM=BA 时, ∴(52)2+(m ﹣10)2=125, ∴m 1=205192+,m 2=205192-, ∴M 1(52,205192+),M 2(52,205192-). ②当AM=AB 时, ∴(52)2+m 2=125, ∴m 3=5192, m 4=﹣5192, ∴M 3(52,5192),M 4(52,﹣5192). ③当MA=MB 时,∴(52﹣5)2+m 2=(52)2+(10﹣m)2, ∴m=5, ∴M 5(52,5),此时点M 恰为线段AB 的中点,构不成三角形,舍去. x OA 2M 1M C3M 4M B y 图3 图2∴综合上所述点M 的坐标为：M 1(52,205192+),M 2(52,205192-),M 3(52,5192),M 4(52,﹣5192) 【点评】本题作为压轴题,立意新颖,具有较强的综合性.试题主要考查一次函数、二次函数的性质,待定系数法求函数解析式,三角形全等的性质和判定,等腰三角形、直角三角形的性质.解本题第三问的关键是分情况讨论,这也是本题的难点．二.由抛物线上的动点产生的直角三角形对于直角三角形问题,若用代数方法探求,也需先按直角分三种情况,再根据两点间的距离列方程,然后解方程并检验.但下面例题中已指明斜边,故不需讨论.例2.如图4,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线l 与抛物线y=mx 2+nx 相交于A(1,33),B(4,0)两点．(1)求出抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD 是以线段AB 为斜边的直角三角形？若存在,求出点D 的坐标；若不存在,说明理由；(3)点P 是线段AB 上一动点,(点P 不与点A 、B重合),过点P 作PM ∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M 作MC ⊥x 轴于点C,交AB 于点N,若△BCN 、△PMN 的面积S △BC N 、S △P MN 满足S △B C N =2S △PMN ,求出MN NC的值,并求出此时点M 的坐标． 【分析】(1)由A 、B 两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)分D 在x 轴上和y 轴上,分别向不同的坐标轴坐垂线段.用点D 的坐标表示出AD 、BD ，列出关于d 的方程,即可求得D 点的坐标；(3)过P 作PF ⊥CM 于点F,利用Rt △ADO ∽Rt △MFP 以及三角函数,可用PF 分别表示出MF 和NF,从而可表示出MN,设BC=a,则可用a 表示出CN,再利用S △BC N =2S △PMN ,可用PF 表示出a 的值,从而可用PF 表示出CN,可求得MN NC的值；借助a 可表示出M 点的坐标,代入抛物线解析式可求得a 的值,从而可求出M 点的坐标．【解答】(1)∵A(1,33),B(4,0)在抛物线y=mx 2+nx 的图象上,∴33,1640m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得3,43m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ∴抛物线解析式为y=﹣3x 2+43x ；图4(2)存在三个点满足题意,理由如下：①当点D 在x 轴上时,如图4,过点A 作AD ⊥x 轴于点D,∵A(1,33), ∴D 坐标为(1,0)；②当点D 在y 轴上时（图略）,设D(0,d),则AD 2=1+(33﹣d)2,BD 2=42+d 2,且AB 2=(4﹣1)2+(33)2=36,∵△ABD 是以AB 为斜边的直角三角形,∴AD 2+BD 2=AB 2, 即1+(33﹣d)2+42+d 2=36,解得d=33112±, ∴D 点坐标为(0, 33112+)或(0, 33112-)； 综上可知存在满足条件的D 点,其坐标为(1,0)或(0,33112+) 或(0,33112-)； (3)如图5,过P 作PF ⊥CM 于点F,∵PM ∥OA, ∴Rt △ADO ∽Rt △MFP,∴MF AD PF OA==33, ∴MF=33PF, 在Rt △ABD 中,BD=3,AD=33,∴tan ∠ABD=3,∴∠ABD=60°,设BC=a,则CN=3a,在Rt △PFN 中,∠PNF=∠BNC=30°,∴tan ∠PNF=33PF FN =, ∴FN=3PF, ∴MN=MF+FN=43PF,∵S △BC N =2S △P MN , ∴32a 2=2××43PF 2, 图5∴a=22PF,∴NC=3a=26PF,∴4326MN PF NC PF==2, ∴MN=2NC=2×3a=6a, ∴MC=MN+NC=(6+3)a, ∴M 点坐标为(4﹣a,(6+3)a),又M 点在抛物线上,代入可得﹣3(4﹣a)2+43(4﹣a)=(6+3)a, 解得a=3﹣2或a=0(舍去), OC=4﹣a=2+1,MC=26+3, ∴点M 的坐标为(2+1, 26+3)．【点评】本题是二次函数综合题,主要考查待定系数法求函数解析式,相似三角形、全等三角形以及直角三角形的性质.本题已指明了直角三角形的斜边是线段AB,不需要讨论；但需按点D 的位置分类讨论,这是解本题（2）的关键,也是本题之难点所在.三.由抛物线上的动点产生的等腰直角三角形此类问题可仿问题一、二的方法讨论.例3.如图6,已知点A 的坐标为(﹣2,0),直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 和点C,连接AC,顶点为D 的抛物线y=ax 2+bx+c 过A 、B 、C 三点．(1)请直接写出B 、C 两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2),设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E,P 是第一象限内抛物线上一点,过点P 作x 轴的垂线,交线段BC 于点F,若四边形DEFP 为平行四边形,求点P 的坐标；(3)设点M 是线段BC 上的一动点,过点M 作MN ∥AB,交AC 于点N,点Q 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A 运动,运动时间为t(秒),当t(秒)为何值时,存在△QMN 为等腰直角三角形？【分析】(1)由 y=﹣34x+3易得B 和C 的坐标,然后设抛物线的交点式为y=a(x+2)(x ﹣4),把C 的坐标代入抛物线解析式即可求出a 的值和顶点D 的坐标；(2)若四边形DEFP 为平行四边形,则DP ∥BC,设直线DP 的解析式为y=mx+n,则m=﹣34,求出直线DP 的解析式后,联立抛物线解析式和直线DP 的解析式即可求出P 的坐标；(3)由题意可知,0≤t≤6,若△QMN 为等腰直角三角形,则共有三种情况,①∠NMQ=90°；②∠MNQ=90°；③∠NQM=90°．【解答】(1)B(4,O),C(0,3)．抛物线的解析式为233 3.84y x x =++顶点D 的坐标为)827,1( .(2)如图6,把x=1代入,49343=+-=y x y 得， 9(1,),4E ∴,8949827=-=∴DE 因点P 为第一象限内抛物线上一点,所以可设点P 坐标为),34383,(2++-x x m 点F 的坐标为(m,-43m+3)． 若四边形DEFP 为平行四边形,则PF=DE. 即-83m 2+43m+3-(-43m+3)=89. 解之,得m 1=3,m 2=1(不合题意,舍去)．∴当点P 坐标为(3,815)时,四边形DEFP 为平行四边形. (3)设点M 的坐标为(m,-343+m ),MN 交y 轴于点G ． ,//AB MN ∴∆MNC ∽∆BAC, COCG AB MN =∴ ①如图图7-①,当∠QMN=90°,MN=MQ=OG 时,,336MN MN -=解之,MN=2． ,2343=+-∴m 解之,⋅=)2,34(,34M m ⋅=-=∴38344),0.34(t Q 即 ②如图7-②,当∠QNM=90°,MN=NQ=OG 时∵,336MN MN -=解之,MN=2． ,2343=+-∴m 解之,⋅=)2,34(,34M m ∴GM=43,NG=23, ⋅-)0,32(Q ⋅=--=∴314)32(4t ③如图7-③当∠MQN=90°,QM=QN 时,OG= QK= 21NM, ,32136MN MN -=∴解之,得MN=3．⋅=∴23OG ,23343=+-∴x 解之,得x=2,即).23.1(),23,2(-N M MN 的中点K 的坐标为⋅⋅)2321().0,21(Q ∴即.27214=-=t ∴当t 为38或314或27时,存在△QMN 为等腰直角三角形． 图7-① G 图7-② G 图7-③ K G【点评】本题考查待定系数法求函数的解析式,及一次函数中k 值和点的坐标的求法,抛物线的对称性,相似三角形、等腰直角三角形等知识. 是一道综合性较强的试题.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系．由于本题未指明三角形的直角,故需按直角分类讨论.例4.如图8,抛物线y=﹣53[(x﹣2)2+n]与x轴交于点A(m﹣2,0)和B(2m+3,0)(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连结BC．(1)求m、n的值；(2)如图9,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；(3)如图10,点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM、PC,是否存在这样的点P,使△PCM为等腰三角形,△PMB为直角三角形同时成立？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】(1)易知抛物线的对称轴为直线x=2,由对称性得2﹣(m﹣2)=2m+3﹣2,解得m的值,即得A(﹣1,0),B(5,0),然后把A点坐标代入y=﹣35 [(x﹣2)2+n]可求n的值；(2)作ND∥y轴交BC于D,如图9,由抛物线解析式确定C(0,3),再利用待定系数法求出BC的解析式为y=﹣35x+3,设N(x,﹣35x2+125x+3),则D(x,﹣35x+3),根据三角形面积公式,利用S△NBC=S△NDC+S△NDB可得S△BCN=﹣32x2+152x,然后利用二次函数的性质求解；(3)先由勾股定理求出BC=34,再分类讨论:当∠PMB=90°,则∠PMC=90°,△PMC为等腰直角三角形,MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,证明△BMP∽△BOC,利用相似比可求出BP的长,再计算OP后可得到P点坐标；当∠MPB=90°,则MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,证明△BMP∽△BCO,利用相似比求出BP的长,再计算OP后可得P点坐标．【解答】解：(1)∵抛物线的解析式为y=﹣35[(x﹣2)2+n]=﹣35(x﹣2)2﹣35n,∴抛物线的对称轴为直线x=2,∵点A和点B为对称点, ∴2﹣(m﹣2)=2m+3﹣2,解得m=1, ∴A(﹣1,0),B(5,0),把A(﹣1,0)代入y=﹣35[(x﹣2)2+n]得9+n=0,解得n=﹣9；图8(2)作ND ∥y 轴交BC 于D,如图9,抛物线解析式为y=﹣35[(x ﹣2)2﹣9]=﹣35x 2+125x+3, 当x=0时,y=3,则C(0,3),设直线BC 的解析式为y=kx+b,把B(5,0),C(0,3)代入得 50,3k b b +=⎧⎨=⎩ 解得3,53k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为y=﹣35x+3, 设N(x,﹣35x 2+125x+3),则D(x,﹣35x+3), ∴ND=﹣35x 2+125x+3﹣(﹣35x+3)=﹣35x 2+3x, ∴S △NBC =S △NDC +S △NDB =12•5•ND=﹣32x 2+152x=﹣(x ﹣52)2+758, 当x=52时,△NBC 面积最大,最大值为758； (3)存在．∵B(5,0),C(0,3),∴BC=223534,+=①如图10,当∠PMB=90°时,亦有∠PMC=90°,而MP=M,故△PMC 为等腰三角形,∴△PMC 为等腰直角三角形,MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,∵∠MBP=∠OBC, ∴△BMP ∽△BOC ,∴,PM BM BP OC OB BC == 即 34,3534t t BP -== 解得 334,8t =17,4BP = ∴OP=OB ﹣BP=5﹣174=34, 此时P 点坐标为(34,0)； ②如图11,当∠MPB=90°时,则MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,∵∠MBP=∠CBO, ∴△BMP ∽△BCO ,∴ ,MP BM BP OC BC BO == 即34,3534t t BP -== 图10 M 图11M解得10225t -= 345BP -=∴OP=OB ﹣BP=5 , 此时P 点坐标为,0). 综上所述,P 点坐标为(34,0)或 (34,0). 评析：本题中虽然有“△PCM 为等腰三角形”, 但结合”△PCM 为等腰三角形,△PMB 为直角三角形同时成立”进行分析, 故不需对“等腰”分类,只需对“直角”讨论,解题过程迅速得以简化.通过对以上例题的分析与解答,我们对这类问题有了新的认识与了解,对解决抛物线中的等腰三角形及直角三角形问题寻求到了有效的解题途径,为今后九年级师生解决同类问题起到了抛砖引玉的作用.。
双等腰三角形教师版
双等腰三角形等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？共腰双等腰首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。
共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。
模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。
A ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵AD=AE，∴设∠ADE=∠AED=β，E其中两个等腰三角形的一条腰AE与AC共线，那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角∠EDC=β-α，B CD那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角∠BAD=∠ADC-∠ABC=2β-2α，∴∠BAD=2∠EDC。
模型一变式、①如图，AB=AC，∠BAD=2∠EDC，求证：AD=AE。
②如图，AD=AE，∠BAD=2∠EDC，求证：AB=AC。
A AE EB CD B CD模型二、如图，AB=AC=A，D求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC。
∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α，A ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β，其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角∠DBC=β-α，那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角∠CAD=∠BAD-∠BAC=2β-2α，∴∠CAD=2∠CBD。
同理可证，∠∠。
BAC=2BDC模型二变式、①如图，，∠∠，求证：。
AB=AC CAD=2CBD AB=AD BCD②如图，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，求证：AB=AC。
模型二思考、等腰△ABC与等腰△ACD也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？模型三、如图，AB=AC=A，D求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC；（3）∠BAD=2∠BCD。
专题9二次函数的抛物线与特殊三角形的存在性问题(原卷版)
专题9 二次函数的抛物线与特殊三角形的存在性问题（原卷版）类型一 抛物线与等腰三角形1．（2023•钦州一模）定义：由两条与x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线C 1：y ＝﹣x 2+2x +3与抛物线C 2：y ＝ax 2﹣2ax +c 组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线C 1与抛物线C 2与x 轴有相同的交点M ，N （点M 在点N 左侧），与y 轴的交点分别为点A ，B （0，1）．（1）求出点M ，N 的坐标和抛物线C 2的解析式；（2）点P 是x 轴上方抛物线C 1上的点，过点P 作PQ ⊥x 轴于点E ，交抛物线C 2于点Q ，试证明：PQ QE 的值为定值，并求出该定值；（3）如图②，点D 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，连接AD ，在x 轴上是否存在点F ，使得△ADF 是以AD 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2021秋•重庆期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y 轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．3．（2023秋•宁陵县期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．类型一抛物线与直角三角形4．（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG 的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．5．（怀化中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•于洪区二模）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y＝ax2+bx+4经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使DE＝2PE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．类型三抛物线与等腰直角三角形7．（2021•罗湖区校级模拟）如图一，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；在四边形AOPE面积最大时，在线段OE上取点M，在y轴上取点N，当PM+MN+√22AN取最小值时，求出此时N点的坐标．（3）如图二，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2013•大连）如图，抛物线y=−45x2+245x﹣4与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M．P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．（1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明△MDE是等腰三角形；（2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．。
【精品】双等腰三角形教师版
【关键字】精品双等腰三角形等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？共腰双等腰首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。
共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。
模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。
∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵AD=AE，∴设∠ADE=∠AED=β，其中两个等腰三角形的一条腰AE与AC共线，那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角∠EDC=β-α，那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角∠BAD=∠ADC-∠ABC=2β-2α，∴∠BAD=2∠ED C。
模型一变式、①如图，AB=AC，∠BAD=2∠EDC，求证：AD=AE。
②如图，AD=AE，∠BAD=2∠EDC，求证：AB=AC。
模型二、如图，AB=AC=AD，求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC。
∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α，∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β，其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角∠DBC=β-α，那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角∠CAD=∠BAD-∠BAC=2β-2α，∴∠CAD=2∠CBD。
同理可证，∠BAC=2∠BDC。
模型二变式、①如图，AB=AC，∠CAD=2∠CBD，求证：AB=AD。
②如图，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，求证：AB=AC。
模型二思考、等腰△ABC与等腰△ACD也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？模型三、如图，AB=AC=AD，求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC；（3）∠BAD=2∠BCD。
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M P2 P1
x
BD OC 1，CD OA 2 ············3 分
点 B 的坐标为(3，1) ； ········4 分
（2）抛物线 y ax2 ax 2 经过点 B(3，1) ，则得到1 9a 3a 2， 5
分
解得 a 1 ，所以抛物线的解析式为 y 1 x2 1 x 2 ；7 分
同理可证△AP2N≌△CAO，
3
∴NP2=OA=2，AN=OC=1， ∴P2（﹣2，1），经检验 P2（﹣2，1）也在抛物线 y= x2 ﹣ x﹣2 上； ③若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 AP3⊥CA，且使得 AP3=AC， 得到等腰直角三角形 ACP3，过点 P3 作 P3H⊥y 轴，如图 （3）， 同理可证△AP3H≌△CAO， ∴HP3=OA=2，AH=OC=1， ∴P3（2，3），经检验 P3（2，3）不在抛物线 y= x2﹣ x ﹣2 上； 故符合条件的点有 P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．
过点 作 P1 P1M x 轴， ； CP1 BC，MCP1 BCD，P1MC BDC 90°
△MP1C ≌△DBC ········································10 分
5
CM CD 2，P1M BD 1，可求得点 ； P1(1，-1) ······11 分 ② 若以点 A为直角顶点； 则过点 A 作 AP2 CA ，且使得 AP2 AC ，得到等腰直角三角形 △ACP2， ··············································12 分 过点 P2 作 P2N y 轴，同理可证△AP2N ≌△CAO ； ···13 分 NP2 OA 2，AN OC 1，可求得点 P2(2，1) ； ·········14 分
(1)求点 C 的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
(2)抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2 和 x 轴依次 截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理
由。
(难）(3)当直线l2绕点 C 旋转时，与抛物线的另一个交点 为 M，请找出使△MCK 为等腰三角形的点 M，简述理
由，并写出点 M 的坐标。
∴1=9a﹣3a﹣2， 解得：a= ， ∴抛物线的解析式为 y= x2﹣ x﹣2；
2
（3）假设存在点 P，使得△ACP 是直角三角形，
①若以 AC 为直角边，点 C 为直角顶点， 则延长 BC 至点 P1 使得 P1C=BC，得到等腰直角三角形 ACP1，过点 P1 作 P1M⊥x 轴，如图（1）， ∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC， ∴CM=CD=2，P1M=BD=1， ∴P（1 ﹣1，﹣1），经检验点 P1 在抛物线 y= x2﹣ x﹣2 上； ②若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 AP2⊥CA，且使得 AP2=AC， 得到等腰直角三角形 ACP2，过点 P2 作 P2N⊥y 轴，如图 （2），
2．（2009 年广西崇左市）在平面直角坐标系中，现将一 块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴 上，且点 A(0，2) ，点 C(1，0) ，如图所示：抛物线 y ax2 ax 2 经 过点 B ． （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外），使△ACP仍
抛物线与等腰三角形(教师用)
抛物线与等腰三角形
(简单)1、（2011•东营）在平面直角坐标系中，现将一块 等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且 点 A（0，2），点 C（1，0），如图所示，抛物线 y=ax2 ﹣ax﹣2 经过点 B． （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外），使△ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求 所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
y 4
A（ 0 B
然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（1）过点 B 作 BD x 轴，垂足为 D ， y
BCD ACO 90°，ACO CAO 90°
； BCD CAO ·················1 分 又 ， BDC COA 90°；CB AC ， △BCD≌△CAO ·················2 分
解：（1）过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为 D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°， ∴∠BCD=∠CAO， 又∵∠BDC=∠COA=9°，CB=AC， ∴△BDC≌△CAO， ∴BD=OC=1，CD=OA=2， ∴点 B 的坐标为（3，1）；
（2）∵抛物线 y=ax2﹣ax﹣2 过点 B（3，1），
2
22
（3）假设存在点 P ，使得△ACP仍然是以 AC 为直角边的等
腰直角三角形：
① 若以点C 为直角顶点；
则延长 BC 至点 P1 ，使得 P1C BC ，得到等腰直角三角形△ACP1， ························································8 分
y
K DC
l2
6
E: x
3、(1)解法 1：由题意易知：△BOC∽△COA
∴ CO AO ，即 CO 1
BO CO
经
检
验
，
点
P1(1，1)
与
点
P2 (2，1)
都
在
抛物
线
y
1 2
x2
1 2
x2
上
．
·······················································16 分 3、(2011 年浙江省衢州市)
已知两直线l1，l2 分别经过点 A(1，0)，点 B(3，0) ，并且当 两直线同时相交于 y 正半轴的点 C 时，恰好有l1 l2 ，经 过点 A、B、C 的抛物线的对称轴与直线l2 交于点 K，如 图所示。