平行线与等腰三角形
平行线与等腰三角形
平行线与等腰三角形平行线和等腰三角形是几何学中经常遇到的重要概念。
平行线指的是在同一平面上的两条直线，它们永远不会相交。
等腰三角形则是指具有两条边长度相等的三角形。
本文将探讨平行线与等腰三角形之间的关系以及相关的性质。
一、平行线与等腰三角形的关系平行线与等腰三角形之间存在着紧密的联系。
当一条横截两条平行线的直线与等腰三角形相交时，特定的性质会出现。
我们可以通过以下两方面来详细讨论这一关系。
1.1 线段比例当一条直线横截两条平行线时，它们所截取的线段具有一定的比例关系。
更具体地说，如果我们绘制一条直线与两条平行线相交，构成了两个等腰三角形，那么这些等腰三角形的底边（即两条平行线间的线段）之间的比例将会相等。
1.2 对应角相等另一个有趣的性质是，当一条横截两条平行线的直线与等腰三角形相交时，相应的角度大小也具有特定的关系。
具体而言，对于截取等腰三角形的两条线段，如果这些线段分别与两条平行线的交点构成的角度相等，那么这两个等腰三角形对应的顶角也会相等。
二、平行线与等腰三角形相关性质除了上述的基本关系外，平行线和等腰三角形还存在其他一些相关性质。
我们将在下面的内容中进行探讨。
2.1 平行线截取等腰三角形当一条平行线截取了等腰三角形的底边时，所得到的线段也是等腰的。
具体而言，在等腰三角形中，平行于底边的线段与该等腰三角形的两个侧边之间的距离是相等的。
2.2 平行线截取等腰三角形的高当一条平行线截取等腰三角形的两边时，所得到的线段也是等腰的。
换句话说，当一条平行线截取等腰三角形两边的时候，这个线段和该等腰三角形的高是相等的。
2.3 平行线截取等腰三角形的相似三角形我们还可以发现，平行线还能够截取出与等腰三角形相似的三角形。
这是因为当平行线截取等腰三角形时，所得到的三角形内部的角度大小与原等腰三角形是相等的。
三、平行线与等腰三角形的应用平行线与等腰三角形的概念和性质在实际中有着广泛的应用。
以下是一些例子：3.1 地理测量在地理测量中，我们经常需要计算不同地点之间的距离。
平行四边形——常用模型(二) 平行线、角平分线和等腰三角形.doc
平行四边形——常用模型（二）平行线、角平分线和等腰三角形
“三兄弟”——平行线、角平分线和等腰三角形经常会在平行四边形这一章进行运用，是必须要熟练掌握的模型，作为组合类辅助线，看见其二，还要想到构造另外一个，考察最多的是平行线+角平分线，延长法构造等腰三角形.
下面让我们一起来研究下：
一、平行线+角平分线
如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，则AB=BE.
∵AD∥BC
∴∠EAD=∠BEA
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠EAD
∴∠BAE=∠BEA
∴AB=BE
二、角平分线+等腰三角形
如图，AE平分∠BAD，AB=BE，则AD∥BC.
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠EAD
∵AB=BE
∴∠BEA=∠BAE
∴∠BEA=∠EAD
∴AD∥BC
三、平行线+等腰三角形
如图，AD∥BC，AB=BE，则AE平分∠BAD.
∵AD∥BC
∴∠BEA=∠EAD
∵AB=BE
∴∠BAE=∠BEA
∴∠BAE=∠EAD
∴AE平分∠BAD
四、平行线+角平分线（辅助线）
延长法（延长角平分线）构造等腰三角形
如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，则
延长CE交AB于点F，
易得：△ACF是等腰三角形.
结语：
平行线，角平分线，等腰三角形就像三兄弟，他们形影不离，题目中出现其中二个，要想到另外一个，如果没有，可以通过添加辅助线得到另外一个。
只有熟练掌握了，我们才能提高做题效率。
练习：。
模型平行线角平分线等腰三角形三者知二推一
模型“平行线”、“角平分线”、“等腰三角形”三者知二推一【几何模型】“角平分线”、“平行线”、“等腰三角形”三者知其二必推出其一。
初中数学学习难在几何题没有思路当然了，有了思路就感觉简单了，那么为什么没有思路？关键是没有掌握几何证明题的本质，他是一个推理过程，就是具备什么条件，一定会具有一个结论。
往往对推理过程不熟练，思考不到条件下结论存在性，挖空心思也写不出步骤。
这就需要训练做题，思考总结出具备什么条件会有什么结论，做题时直奔主题，不用再思考了，日积月累，书到渠成，再解决几何问题就不难了。
在△ABC中，∠BAC=α[定值]，BC=a[定值]，可得“定弦定角”模型，找隐圆；【例题】：挖掘定角与定线背景内涵，思考最值问题第25题初审可知第三问考查定角定中线模型（附尺规作图）及解法；联想到定角定高模型（参考题:2020年沈河一模第25题）；最后小编原创题考查定角定角平分线。
【思维教练3】—“知识储备”前文已更新：倍长中线，构造“定弦定角”模型，找到隐圆求解。
亦可构造等边三角形转化线段，得：“共顶点的两个等边三角形”；其中，方法二：根据“垂线段最短”得：CK≤CG，则CK的最大值为2√(3)，CM+CN=EF+EN=FN；【你看出思路了吗】小编原创试题“考查定角定角平分线”，1．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD平分∠BAC．若∠B O C＝120°，则∠C AD的度数为．2．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径．若∠BCA＝50°，则∠AD B的度数为．3．已知圆锥的底面半径为1cm，高为cm，则它的侧面展开图的面积为cm²．4．如图，AB是半圆O的直径．弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离为．5．如图，在⊙O中，点A在弧BC上．若∠B O C＝100°，则∠BA C的度数为．▱ABCD的6．如图，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径是．7．如图，已知锐角△ABC内外接于半径为2的⊙O．若OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝．8．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径．若∠BAD＝40°，则∠AC B的度数为．9．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则该圆锥的侧面展开图的面积为．10．已知圆锥的底面圆半径为3，侧面面积为12，则该圆锥的母线长为．11．在⊙O中，若弦BC垂直平分半径O A，则弦BC所对的圆周角等于．12．如图，已知AB是⊙O的直径．P A切⊙O于点A，线段P O交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝36°，则∠B＝．13．用一个圆心角为90°，半径为20 cm的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径是．14．已知圆锥的底面圆半径为2.5，母线长为9，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数为．15．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为点O，分别以点A、C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留）16．如图，在△A BC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以A C所在直线为轴，把△A BC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面面积是．17．如图，在△A BC中，若∠A CB＝45°，A B＝6．则△A BC的面面积的最大值是．18．如图，在扇形△AO B中，OA＝O B＝2，∠AO B＝90°，点C为弧A B上一点．∠AO C＝30°，连接BC，过点C作OA的垂线交OA于点D，则图中阴影部分的面积为．19．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠AD B＝18°，则这个正多边形的边数为．20．如图，在半径为6的⊙O中．若∠AO B＝60°，则图中阴影部分的面积为．21．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形制作一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则此圆锥的底面圆半径是．3一．圆典型基本模型图模型1图形：⑴如图，A B是⊙O的直径，点C、E是⊙O上的两点．基本结论有：①A C平分∠B AE是；②A D⊥CD；③CD是⊙O的切线；三个论断，知二推一．⑵⑶⑷⑸⑹④⑤⑥如图，A B是⊙O的直径，点C、E是⊙O上的两点．20．如图，在半径为6的⊙O中．若∠AO B＝60°，则图中阴影部分的面积为．接圆的直径．若∠BCA＝50°，则∠AD B的度数为．∠A BACDB O＝90°，2．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，AB与网格交于点D．AD的长为；OP．AB2A2B，A′B′OP．AB2A2B，A′B′OP．AB2A2B，A′B′（2）点P是边AC上一点，当△APD∽△ABC时，仅用无刻度的直尺确定点P的位置，简单说明作图方法（不要求证明）．≌≌≌1．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点O、点A在格点上，⊙O的半径为3，点B、点C在⊙O上．½∥⅓⅔¼°²³ⁿ∵∴⑥⑦½∥⅓⅔¼°²³ⁿ∵∴⑥⑦½∥⅓⅔¼°²³ⁿ∵∴⑥⑦´＇´＇´＇（1）若∠⊥CAO＝90°，ADAC的长为；①②③B．②④①②③B．②④（2）若∠BAO＝60°，仅用无刻度的直尺确定点B的位置，简单说明作图方法．⊙O上．2．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，AB与格交于点D．（2）点P是边AC上一点，当△APD∽△ABC时，仅用无刻度的直尺确定点P的位置，简单说明作图方法（不要求证明）．过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP．AB2A2B，BD＝n•BF，沿A→B→C→D→A方向运动到点A 处停止．过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB∏于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，cm BD＝n•BF，沿A→B→C→①②⑤①②⑤①②⑤精选试题解析（1）。
初中数学知识归纳平行线与三角形的性质
初中数学知识归纳平行线与三角形的性质初中数学知识归纳——平行线与三角形的性质在初中数学中，平行线与三角形是两个重要的概念。
了解平行线与三角形的性质，对于解决与它们相关的数学问题非常重要。
本文将对平行线与三角形的性质进行归纳总结，旨在帮助读者更好地理解和应用这些数学知识。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线。
对于平行线的性质，我们可以总结如下：1. 定义：如果两条平行线被一条横线所截，那么它们对应的内角相等，而对应的外角相等。
2. 同位角性质：两条平行线被一条横线截断，那么同位角相等。
3. 内错角性质：两条平行线被一条横线截断，那么内错角相等。
4. 全等三角形性质：如果三角形的一对边分别平行于另一个三角形的一对边，并且对应边的长度相等，那么这两个三角形全等。
除了以上性质，学生们还需要了解平行线的判定方法。
常用的判定方法包括：通过证明两条线段的斜率相等、通过证明线段的夹角相等、通过证明两组对应角相等等。
熟练掌握这些方法，能够解决与平行线相关的问题。
二、三角形的性质三角形是由三条线段组成的图形，是初中数学中最基本的二维图形之一。
初中数学中，我们通常关注三角形的边长、角度和面积等性质。
1. 三角形的内角和性质：三角形的三个内角之和为180度。
这个性质在解决与三角形的角相关的问题时非常有用。
2. 等腰三角形：如果一个三角形的两边长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
等腰三角形的特点是两个底角相等。
3. 直角三角形：如果一个三角形有一个内角是90度，那么这个三角形就是直角三角形。
直角三角形中，斜边的长度可以通过勾股定理来计算。
4. 等边三角形：如果一个三角形的三条边长度都相等，那么这个三角形就是等边三角形。
等边三角形的三个内角都是60度。
5. 相似三角形：如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比例相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质在比例和面积计算中经常使用。
以上仅是平行线与三角形性质的一部分，通过深入学习这些性质，我们可以掌握更多与平行线和三角形相关的数学知识，并且能够灵活运用这些知识解决问题。
等腰三角形、角平分线、平行线知二推一(2013年广州中考压轴题)
△OEC内部有三个等腰三角形。
马上CA和CE割线定理：CD*CE=CB*CA
ED x 5 1, AE 5 1
所以AE*ED=4
广州数学江志兴
（2）当OC＞时，CD所在直线于圆O相交，设另一交点为E，连接AE．
①当D为CE中点时，求△ACE的周长；
E
E
2
D
D
2
2
A 2 O 2B C
A 2 O 2B C
方法二：连OE,OD得到径弦三角形，从 OE=OD=ED=DC，多等长想圆，马上知道 △EOC为直角三角形。从EO=2，EC=4， 知道∠C=30°，从而计算出AE,AC
AEC周长 2
22 36
广州数学江志兴
（2）当OC＞2 2 时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．
①当D为CE中点时，求△ACE的周长；
②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此
时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．
Ex D
（2）②本题第一个知识链接：过等腰三角形 一腰上一点，作腰或底的平行线，都得到一 个新年等腰三角形。
时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．
Ex
a
D
Aa
a
axa
2
a
2 O 2 BC
（2）②本题第二个知识链接：等腰三角形 平行线，角平分线，三者知二推一 现在△AEC为等腰，OD平行AE，所以连接
，得OD为∠EOB的平分线！ 圆中有角平分线，就等于有弧中点，所以连 BD，必然有DB=ED=x,然后∠BDC四边形 AEDB的外角等于内对角∠A，所以这个
2013年广州中考压轴题
技巧知识点全剖析
已知AB是圆O的直径，AB＝4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在圆O上运动（不 与点B重合），连接CD，且CD＝OA
灵活运用角平分线、平行线、等腰三角形知二推一解中考题
回回
画
４ ｃ ｍ， ＡＤ ＝ ５ ｃ ｍ， ￣ Ｉ Ｉ Ｊ Ａ曰 ＝
—
决 问题 。
由点Ｄ、 盼 别是Ｂ Ｃ、 ＡＢ 的中点 ，利用 三角形 中
位 线的 性质， ｇ ｈ ； ｔ ． ￣ Ｄ Ｆ ＝ Ｌ Ａ Ｃ ＝ ÷６ ，Ｆ Ｇ ＝ Ｂ Ｇ — Ｂ Ｆ ， 可
求 得Ｄ Ｆ ＝ Ｆ Ｇ，又 由 Ｄ Ｅ＃Ａ Ｂ， 即 可 求 得 Ｄ Ｃ平 分
‘ ．
衙 旧 凰
—
ｃｍ
。
角 对 等边 ， Ｂ Ｄ ： Ｄ Ｇ ： ｃ Ｄ， 即可 证 明 。
【 分析】 这个 图形 中 出现 了角平 分线Ａ Ｃ 和平 行
【 解答 】 （ １ ） ・ ． ・ Ｄ、 Ｃ、 盼 别是 ＡＡ Ｂ Ｃ ￣ 边中点 ， ＿
・
Ｄ Ｅ ／ ／ Ａ Ｂ ＤＦ ／ ／ Ａ Ｃ
厶Ｆ ＤＧ ＝ ／Ｅ Ｄ ＧＩ Ｏ Ｄ Ｇ 平 分 厶Ｅ ＤＦ
（ ３ ） 在 △Ｄ Ｆ Ｇ 中， ／Ｆ ＤＧ ＝ Ｆ Ｇ Ｄ，
・ ．
． ・
・ ．
【 例２ 】 （ ２ ０ １ ２ 年 安徽 省 第 ２ ２
△Ｄ １ Ｇ 是等腰三角形 ， △Ｂ ＤＧ 与 ＡＤ Ｆ Ｇ ￣ Ｉ 似， ＡＢ ＤＧ 是等腰 三角形 ，
题可以结合前面问题来做 。这里证 明 ＡＤ Ｆ Ｇ为等腰 三 角 形 是 关键 。
（ 作 者单 位 ： 贵 州 省 安 顺 市教 育科 学研 究所 ）
备考方 略
囝
厨 碴 厕 厕
■ 李 志均
２
国 画 量 厕
Ｂ Ｇ ＝ （ Ａ 曰 “ Ｃ） ＝ （ ｃ ＋ ｂ ）
２
（ ２ ） 由于这里 要证 明 的是Ｄ Ｇ平 分 ／ ＿Ｅ Ｄ Ｆ， 而由
“角平分线、等腰三角形、平行线”的转化模型研究
“角平分线、等腰三角形、平行线”的转化模型研究一、研究背景初中课程的教学活动，是基于基础知识、基本技能、基本思想的教学，在和学生探究到等腰三角形的性质等边对等角这一节知识时，课后练习涉及到等腰三角形、角平分线得出平行线，经过后面给学生不断的讲解练习，发现三者之间存在一些转化的关系，再经过不断的做题，经过不断的总结、提炼，得出解题规律，建立数学模型。
“平行线、角平分线、等腰三角形”三者相互组合成新的图形是初中阶段研究几何中常见图形，它将渗透到特殊的四边形以及圆之中，在初中学业水平考试中经常出现。
数学的学习是综合性的，单一的知识点的考察都相对简单，多个知识点综合运用就需要掌握一定的规律和解题技巧，学会知识的联想，从题目已知提炼出更多的已知条件，将所有的已知条件结合，就会为我们解题提供很大帮助。
二、转化模型分析几何数学题目，表面上看题目所给的条件和所要证的结论毫无关联，但结合所学的公式、定理把题目已知信息放大，通过推理得到更多的已知条件，你就会发现它们之间的内在联系，通过自己的总结归纳，便找到规律，当得到共性的结论后，便可用这个共性结论去指导解决类似的题目，看下面转化问题。
转化模型一：角平分线+等腰三角形推出平行线如图1所示，AE平分∠BAC，且AD=ED，求证：DE∥AB证明：∵ AE平分∠BAC，∴ ∠CAE=∠BAE又∵ AD=ED，∴ ∠CAE=∠AED.∴ ∠BAE=∠AED.∴ DE∥AB知角平分线、等腰三角形，得平行线（即知二得一），将此转化的图形记为转化模型一。
转化模型二：平行线+等腰三角形推出角平分线如图1所示，DE∥AB，且AD=ED，求证：AE平分∠BAC证明：∵DE∥AB,∴ ∠BAE=∠AED.又∵ AD=ED,∴∠CAE=∠AED.∴∠CAE=∠BAE.∴ AE平分∠BAC知平行线、等腰三角形，得角平分线（即知二得一），将此转化的图形记为转化模型二。
转化模型三：平行线+角平分线推出等腰三角形如图1所示，DE∥AB，AE平分∠BAC，求证：AD=ED（或者△ADE是等腰三角形）证明：∵DE∥AB,∴ ∠BAE=∠AED.又∵ AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE.∴ ∠CAE=∠AED.∴ AD=ED.知平行线、角平分线，得等腰三角形（即知二得一），将此转化的图形记为转化模型三以上就是三者在同一个图中的转化问题，上图看似简单，但在平时解题的过程中常见其阴影，在解题中利用此模型，快速解题，为证明提供便捷。
平行线与等腰三角形的性质
平行线与等腰三角形的性质平行线和等腰三角形是几何学中常见的概念。
通过研究平行线和等腰三角形的性质，我们可以进一步认识它们之间的关系。
本文将从不同的角度探讨平行线和等腰三角形的性质，让我们一起来看看吧！一、平行线的性质1. 平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条线。
记作AB ∥CD，即线段AB与CD平行。
2. 平行线的判定两条直线平行的判定有多种方法，其中一种是使用同位角定理。
当两条直线被一直线交叉切分时，如果同位角相等，那么这两条直线是平行的。
3. 平行线的性质（1）平行线之间的距离相等。
即若AB ∥ CD，则直线AB到直线CD的距离与直线EF到直线CD的距离相等。
（2）平行线之间的夹角相等。
即若AB ∥ CD，则∠BAD = ∠CDE。
（3）平行线与直线之间的夹角是对应角，对应角相等。
即若AB∥ CD，则∠BAD = ∠BCD。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的定义等腰三角形是指两边边长相等的三角形。
等腰三角形的两条边叫做腰，未与腰相对的边叫做底边。
2. 等腰三角形的性质（1）等腰三角形的底角相等。
即若△ABC是等腰三角形，且AB = AC，则∠B = ∠C。
（2）等腰三角形的腰上的高相等。
即若△ABC是等腰三角形，且AB = AC，则BD = CD。
（3）等腰三角形的底边上，离底边等距离的两个点连线与腰垂直且相等。
即若△ABC是等腰三角形，且AB = AC，则DE = DF，并且∠EDF = 90°。
三、平行线与等腰三角形的关系1. 平行线与等腰三角形全等的关系若两条平行线分别截取等腰三角形的两个边，则这两个等腰三角形全等。
2. 平行线与等腰三角形的一些性质（1）平行线与等腰三角形的腰之间的距离相等。
即若AB ∥ CD，且△ABC是等腰三角形，则直线AB到直线CD的距离等于直线BC上的高。
（2）平行线与等腰三角形的顶角相等。
即若AB ∥ CD，且△ABC 是等腰三角形，则∠B = ∠C。
10 专题 作平行线构造等腰三角形
专题作平行线构造等腰三角形
（一）作腰的平行线构造等腰三角形
基本图形:若AB=AC，DE//AC，则△BDE为等腰三角形．
1．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证:DF=EF．
（二）作底边的平行线构造等腰三角形
基本图形:若AB=AC，DE//BC，则△ADE为等腰三角形．
2．如图，△ABC中，AB=AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD=AE，连DE，
求证:DE⊥BC．
（三）利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形
方法技巧:有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行，从而构造等腰三角形．基本图形:若∠1=∠2，AC//OB，则△OAC为等腰三角形．
3．如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF//BC交BD于F，求证：AB=EF．。
平行线与等腰三角形的性质解析
平行线与等腰三角形的性质解析平行线与等腰三角形是几何学中常见的概念，它们之间存在一些有趣的性质和关系。
本文将对平行线和等腰三角形的性质进行解析和探讨。
1. 平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面中，不相交的两条直线，它们具有以下定义和性质：（1）定义：两条平行线的任意一对相交线与这两条平行线所夹角的对应角度相等。
（2）同位角性质：平行线切割的两个平行线之间的任意一对同位角相等。
（3）内错角性质：由两条平行线与一条截线形成的内错角是对应角，也即是相等的。
（4）外错角性质：同位角的补角是外错角，外错角也是相等的。
2. 等腰三角形的定义与性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，它们具有以下定义和性质：（1）定义：等腰三角形的两条边相等。
（2）底角性质：等腰三角形的底角（指底边两侧的角）相等。
（3）顶角性质：等腰三角形的顶角（指底角对面的角）也相等。
（4）高线性质：等腰三角形的高线（从顶角垂直于底边的线段）也是高线相等。
通过上述定义和性质，我们可以得出以下结论。
3. 平行线与等腰三角形的性质（1）若平行线切割等腰三角形，则切割出的两个线段是相等的。
证明：设平行线AB与等腰三角形ADC的两边AD和AC相等。
连接BD，我们可以得到三角形ADB和ADC，由等腰三角形的顶角性质可知，∠ADB=∠ADC。
又由于平行线AB和DC之间的角∠BDA和∠DCA是对应角，根据平行线的对应角性质可知∠BDA=∠DCA。
综上所述，我们可以得出结论：线段BD和线段CA相等。
（2）若等腰三角形的顶角相等，则底边上的对应线段平行。
证明：设等腰三角形ABC的顶角∠BAC=∠BCA。
连接AD和CE，我们可以得到三角形ADC和BEC。
根据等腰三角形的底角性质可知∠ACD=∠BCE。
由于∠BAC=∠BCA且∠ACD=∠BCE，根据角的对应角性质可知，AB与DC平行。
通过上述性质的论述和证明，我们可以看出平行线和等腰三角形之间的关系。
它们在几何学中有着密切的联系，并且可以相互运用来解决一些几何问题。
利用平行线构造等腰三角形
利用平行线构造等腰三角形知识纵横：等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键。
常用构造等腰三角形方法有：①.“角平分线+ 平行线”②.“角平分线+垂线”③.“垂直平分线”④.“三角形中角的2倍关系”一．作腰的平行线构造等腰三角形基本图形：如图，若AB=AC，DE//AC ,则BDE为等腰三角形例1.如图，△ABC中，AB=AC，点D为AB上一点，延长AC至E，使CE=BD，连接DE交BC于F，求证：DF=EF练习1.如图，等边三角形ABC中，AD=CE，DE交AC于点F，求证DF=EF二．作底边（或高）的平行线构造等腰三角形例2.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在AC上，点D在BA的延长线上，且AD=AE，连接DE，求证：DE⊥BC练习2.如图，已知：BAC CBF ∠∠与的平分线相交于P ，联结CP ，分别过点B 、C 作PC 、PB 的垂线交AC 、AB 的延长线于E 、F ，G 、H 为垂足。
求证：BF=CE三．利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形例3. 如图，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，点E 为CD 上一点，且AD=DE ，EF//BC 交BD 于点F ，求证：AB=EF 。
练习3.．如图，△ABC 中，CE 为△ABC 的角平分线，交AB 于点E ，过点E 作EF//BC 交AC 于点O ，交△ABC 外角∠ACD 的平分线于点F ，求证：OE ＝OF练习4. 如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 的延长线于D ，DE ∥AC•交AB 于E ，求证：AE=BE ．四．等腰直角三角形中的双垂线构造基本图形例4，如图，在四边形ABCE中，AB=BC，AB⊥BC，CE⊥AE，BD⊥AE于点D，求证：BD - CE=AD练习5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC上一点，过点D作DE⊥AD，且DE=AD，连接BE，求∠DBE的度数。
数学人教版八年级上册角平分线和平行线构成等腰三角形的探究
角平分线和平行线构成等腰三角形的探究-----李春蕊北京市育英学校一、教材分析：《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛。
这一单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，尤其是等腰三角形的性质和判定，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据.学情分析：本节课在学生已经学习了轴对称、等腰三角形性质及判定基础上，进一步探究角平分线和平行线形成等腰三角形的问题。
学生具有一定说理能力，整体几何感观比较清晰，在探究活动中，能够根据老师的问题进行有切入的思考。
二、教学目标：（1）掌握角平分线和平行线形成等腰三角形的基本规律；（2）体会研究问题中用到的分类思想，经历由特征图形问题的解决，发展对问题的进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系可得出一定数量关系，特殊的数量关系也能推出一定位置关系.（3）通过交流和研讨，使学生在探索的同时获得解决问题的一种方法，提高学生学习数学的兴趣和信心.教学重点：掌握角平分线+平行线能形成等腰三角形这个基本规律，利用这个规律解决等腰三角形方面的有关问题.教学难点：灵活运用角平分线和平行线形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题.突出重点方法:观察，思考，证明.突出难点方法:自主探究教学方法：启发与探究相结合教学准备：PPT，课本，作图工具三、教学设计：（一）复习等腰三角形相关知识1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾：（由学生先进行回顾，教师补充）（二）探究过程问题1：已知∠ABC，BD平分∠ABC，ED//BC.思考：△EBD是等腰三角形吗？解：是；EB=ED发现：无论点D 在BD 上如何运动，△EBD 都是等腰三角形结论：角平分线+平行线 等腰三角形我们在几何证明中，一般不单独研究角，大多数都是借助图形，比如在三角形中研究问题，上面问题如果放在三角形中，我们可以作三角形中一个角的角平分线，然后过角平分线上一点，作这个角的一边的平行线。
例谈角平分线、平行线、等腰三角形三者关系
龙源期刊网 例谈角平分线、平行线、等腰三角形三者关系
作者：杨斌
来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第12期
在几何教学中，我们常常会发现图形之间并非孤立的，而是你中有我，我中有你的一种感觉，有时甚至有“我的世界离不开你”的共生共存的依恋之情。
而让我们的学生真正能读懂复杂图形中隐含的这种关系，着实是一项必须训练的思维和能力，同时对数学成绩提高有很大的帮助作用。
下面我们从人教新版初中数學八年级上册82页一道课本练习题说起，例谈角平分线、平行线、等腰三角形三者之间的关系。
一、模型来源。
19.D专题 作平行线构造等腰三角形
专题作平行线构造等腰三角形
（一)作腰的平行线构造等腰三角形
基本图形：若AB＝AC，DE∥AC，则△BDE为等腰三角形．
E C
1．如图，△ABC中，AB＝AC，点D有AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE 交BC于F，求证：DF＝EF．
第1题图
【解答】：
证法一：作DM∥AC交BC于M，证△DMF≌△ECF；
证法二：作EN∥AB交BC的延长线于N，证△DBF≌△ENF；
证法三：作DG⊥BC于G，EH⊥BC于H，证△BDG≌△CEH，△DGF≌△EHF．
（二)作底边的平行线构造等腰三角形
基本图形：若AB＝AC，DE∥BC，则△ADE为等腰三角形．
C C
B
2．如图，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连DE，求证：DE⊥B C．
第2题图
B
C
【解答】： 证法一：作EF ∥BC 交AB 于F ，再证DE ⊥EF ； 证法二：作AM ∥BC 交DE 于M ，再证DE ⊥AM ；
证法三：作DN ∥BC 交CA 的延长线于N ，再证DE ⊥DN ．
（三)利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形 方法技巧：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，从而构构造等腰三角形． 基本图形：若∠1＝∠2，AC ∥OB ，则△OAC 为等腰三角形．
B
3．如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD ＝DE ，EF ∥BC 交BD 于F ，求证：AB ＝EF ．
第3题图
B
C
【解答】：作AM ∥EF 交BD 的延长线于M ，则AM ＝AB ，证△ADM ≌△EDF ．∴EF ＝AM ，∴AB ＝EF ．。
平行线与等腰三角形推导与证明
平行线与等腰三角形推导与证明平行线是几何学中一个常见而重要的概念，它对于其他几何形状的性质有着重要的影响。
在本文中，我们将探讨平行线与等腰三角形之间的关系，并对其进行推导与证明。
首先，什么是平行线？在平面几何中，如果两条直线在同一个平面上没有相交点，我们称这两条直线是平行线。
在符号上，我们用双竖杠 "||" 表示平行的关系。
现在，让我们来研究平行线与等腰三角形之间的联系。
我们先假设有一条直线l和一条经过直线l上一点A的直线m。
如果我们选择直线m上的另一点B，并通过点B作直线l的一条平行线n，那么我们可以得到一个等腰三角形。
为了简化问题，我们将直线l和直线m分别标记为（1）和（2），平行线n标记为（3）。
首先，让我们考虑点A、B、C，其中点C位于直线m上。
由于n是l的平行线，我们可以得到∠BAC和∠ABC是同位角。
又因为同位角的性质，我们知道这两个角度是相等的。
接下来，我们需要证明线段AC和线段BC是相等的。
我们可以通过构造一个平行四边形来证明这一点。
通过连接线段AB和线段AC，我们可以得到一个平行四边形ABCD。
由于平行四边形的性质，我们知道对角线AC和BD相等。
因此，我们可以得出结论，线段AC和线段BC相等。
根据等腰三角形的定义，等腰三角形是具有两条相等边的三角形。
在这个特定的情况下，我们已经证明了线段AC和线段BC相等，所以我们可以得出结论，三角形ABC是一个等腰三角形。
从上面的推导可以看出，当我们选择直线l上的一点A和经过A的一条平行线n时，我们可以得到一个等腰三角形ABC，其中∠BAC和∠ABC相等，线段AC和线段BC相等。
接下来，让我们通过一个例子来验证我们的推导与证明。
假设直线l是平面上的一条水平直线，直线m是平面上的一条斜线，线段AC和线段BC是与直线m相交的两条线段。
如果我们选择直线m上的一点B，并通过点B作直线l的一条平行线n，那么根据我们之前的推导与证明，三角形ABC就是一个等腰三角形。
解几何问题的平行线性质和等腰三角形性质的应用
解几何问题的平行线性质和等腰三角形性质的应用几何学是一门古老而有趣的学科，它研究的是空间中的图形、形状和位置关系。
在几何学中，平行线性质和等腰三角形性质是两个基本概念，它们在解决几何问题中起着重要的作用。
首先，让我们来看看平行线性质。
平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
平行线性质告诉我们，如果两条直线被一组平行线所截断，那么它们之间的对应角是相等的。
这个性质在解决平行线相关问题时非常有用。
例如，我们可以利用平行线性质证明两个三角形相似，从而推导出它们的边长比例关系。
此外，平行线性质还可以用来证明一些关于四边形的性质，比如对角线互相平分的条件。
接下来，我们来讨论等腰三角形性质的应用。
等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
等腰三角形性质告诉我们，等腰三角形的底角（即两边之间的夹角）是相等的。
这个性质在解决三角形相关问题时非常有用。
例如，我们可以利用等腰三角形性质证明两个三角形相似，从而推导出它们的角度比例关系。
此外，等腰三角形性质还可以用来证明一些关于三角形内角和外角之间关系的定理，比如内角和等于外角和。
在实际应用中，平行线性质和等腰三角形性质经常被用来解决各种问题。
例如，在建筑设计中，我们经常需要确定两个线段是否平行，以便确定建筑物的平面结构。
通过利用平行线性质，我们可以轻松地判断两条线段是否平行，从而有效地进行设计。
另外，等腰三角形性质在地图制作中也有广泛的应用。
通过观察地图上的等腰三角形，我们可以测量出地图上的距离和角度，从而绘制出准确的地图。
此外，平行线性质和等腰三角形性质还可以用来解决一些有趣的几何问题。
例如，我们可以利用平行线性质证明梅涅劳斯定理，即平行线截断两个等腰三角形，所得到的线段比等于这两个三角形的底边之比。
这个定理在解决一些复杂的几何问题时非常有用。
综上所述，平行线性质和等腰三角形性质是解决几何问题的重要工具。
它们不仅可以用来证明一些基本的几何定理，还可以应用于实际问题的解决。
平行线与等腰三角形的应用解析
平行线与等腰三角形的应用解析平行线和等腰三角形是几何学中常见的概念，它们在解决实际问题时有着广泛的应用。
本文将就平行线和等腰三角形在几何学中的应用进行解析。
平行线的应用平行线是指在同一平面内永远不会相交的两条直线。
它在几何学的应用中可以帮助我们解决与位置、形状以及角度相关的问题。
应用一：平行线的判定平行线的判定是几何学中的基础知识，我们可以通过以下几种方法来判定两条直线是否平行：1. 直线与直线的平行判定：如果两条直线上的任意一对对应角相等，则这两条直线平行。
2. 直线与平行线的平行判定：如果一条直线与一组平行线的对应角相等，则这条直线与这组平行线平行。
这些判定方法为我们构建平行线间的关系提供了基础。
应用二：平行线的性质平行线的性质可以帮助我们解决与角度、距离等相关的问题。
1. 平行线的交角性质：当一条直线与一对平行线相交时，所对的内角互相相等，所对的外角互相相等。
这个性质可以帮助我们求解各种角度相关的问题。
2. 平行线的距离性质：两条平行线之间的距离是它们上面任意一点到另一条直线的垂直距离。
这些性质的应用可以帮助我们求解各种位置和角度相关的几何问题。
等腰三角形的应用等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
等腰三角形在几何学中有着广泛的应用。
应用一：等腰三角形的判定我们可以通过以下两种方法来判定一个三角形是否为等腰三角形：1. 两边相等：如果三角形的两边长度相等，则这个三角形是等腰三角形。
2. 两角相等：如果三角形的两个角度相等，则这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形的判定方法可以帮助我们在解决几何问题时快速判断三角形的性质。
应用二：等腰三角形的性质等腰三角形的性质可以帮助我们解决与角度、边长等相关的问题。
1. 等腰三角形的底角性质：等腰三角形的底角相等，即两边相等的那两个角是底角。
2. 等腰三角形的高性质：等腰三角形的高是顶角的高线，也是底边的垂直平分线。
这些性质的应用可以帮助我们求解等腰三角形各个部分的长度和角度。
平行线与三角形角度计算综合知识点
平行线与三角形角度计算综合知识点一、平行线有关的角度计算1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.判定：（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角相等，两直线平行。
（4）垂直于同一直线的两直线平行。
3.性质：(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
(2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。
(3)两直线平行，同位角相等。
(4)两直线平行，内错角相等。
(5)两直线平行，同旁内角互补。
1、猪蹄形（M形）内错角的应用，朝左角之和=朝右角之和2、铅笔形同旁内角的应用，（角数-1）×180°=总角之和3、前扬后翻角型同位角+三角形外角和定理应用4、角平分线模型角平分线与平行线的结合5、入射角=反射角余角性质推出∠1=∠26、折叠角相等二、三角形有关的角度计算1、一般三角形的性质角与角的关系：三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°；三角形外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
（并且大于任何—个和它不相邻的内角）边与边的关系：三角形中两短边之和大于第三边，两长边之差小于第三边。
边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。
三角形的主要线段的性质(见下表)：2、几种特殊三角形的特殊性质等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个底（边）角相等；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段（三线合一），这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。
等边三角形的特殊性质：①等边三角形每个内角都等于60°；②等边三角形外心、内心合一。
直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（其逆命题也成立）；④直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
平行线班型分类
平行线班型分类平行线是指在同一个平面内，永不相交且始终保持相同距离的两条直线。
在几何学中，平行线是一个重要的概念，其应用广泛，尤其在分类学中。
根据平行线的性质和特点，我们可以将平行线班型分为以下几类：等边三角形、全等三角形、相似三角形、直角三角形和等腰三角形。
1. 等边三角形等边三角形是一种特殊的三角形，其三条边相等。
在等边三角形中，三条边都是平行线。
等边三角形具有一些独特的性质，例如，它的三个内角都是60度，且三条高线、三条中线和三条角平分线都重合于同一点。
等边三角形在几何学中有重要的应用，例如建筑设计和计算机图形学中的多边形绘制。
2. 全等三角形全等三角形是指具有相同大小和形状的三角形。
在全等三角形中，对应的三条边和三个内角都是相等的。
因为全等三角形的对应边和角都相等，所以它们的边是平行线。
全等三角形的性质和应用也是几何学中的重要内容，例如在测量角度和距离时的应用。
3. 相似三角形相似三角形是指具有相似形状但不一定相等大小的三角形。
在相似三角形中，对应的角度相等，而对应的边长成比例。
因为相似三角形的边长成比例，所以它们的边也是平行线。
相似三角形在几何学中有广泛的应用，例如在地图测量和尺寸放大缩小时的应用。
4. 直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
在直角三角形中，直角边与斜边之间的关系是平行线。
直角三角形的性质和应用也是几何学中的重要内容，例如勾股定理和三角函数的定义。
5. 等腰三角形等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，两条等边对应的角度也相等，而另一边则是平行线。
等腰三角形在几何学中也有广泛的应用，例如建筑设计中的金字塔和计算机图形学中的多边形绘制。
根据平行线的性质和特点，我们可以将平行线班型分为等边三角形、全等三角形、相似三角形、直角三角形和等腰三角形。
每种班型都有其独特的性质和应用，通过深入研究和理解这些班型，我们可以更好地理解和应用几何学中的各种概念和定理。