专题:抛物线中等腰_直角三角形

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压轴题05二次函数与三角形存在性问题(与等腰、直角、等腰直角三角形、相似)-2023年中考

压轴题05二次函数与三角形存在性问题(与等腰、直角、等腰直角三角形、相似)-2023年中考

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题05二次函数与三角形存在性问题(与等腰、直角、等腰直角三角形、相似三角形)题型一:二次函数与等腰三角形存在性问题例1.(2022•百色)已知抛物线经过A(﹣1,0)、B(0,3)、C(3,0)三点,O为坐标原点,抛物线交正方形OBDC的边BD于点E,点M为射线BD上一动点,连接OM,交BC于点F.(1)求抛物线的表达式;(2)求证:∠BOF=∠BDF;(3)是否存在点M,使△MDF为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求ME的长.题型二:二次函数与直角三角形存在性问题例2.(2022•滨州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B(点A在点B 的左侧),与y轴相交于点C,连接AC、BC.(1)求线段AC的长;(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点,当P A=PC时,求点P的坐标;(3)若点M为该抛物线上的一个动点,当△BCM为直角三角形时,求点M的坐标.题型三:二次函数与等腰直角三角形存在性问题例3.(2022•枣庄)如图①,已知抛物线L:y=x2+bx+c经过点A(0,3),B(1,0),过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的关系式;(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连结PE、PO,当△OPE面积最大时,求出P点坐标;(3)将抛物线L向上平移h个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内(包括△OAE的边界),求h的取值范围;(4)如图②,F是抛物线的对称轴l上的一点,在抛物线上是否存在点P,使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.题型四:二次函数与相似三角形存在性问题例4.(2023•宜兴市一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C,连接BC、AC.(1)求二次函数的函数表达式;(2)设二次函数的图象的顶点为D,求直线BD的函数表达式以及sin∠CBD的值;(3)若点M在线段AB上(不与A、B重合),点N在线段BC上(不与B、C重合),是否存在△CMN 与△AOC相似,若存在,请直接写出点N的坐标,若不存在,请说明理由.一.解答题(共20小题)1.(2023•绥宁县模拟)如图,一次函数y=12x+2与x轴,y轴分别交于A、C两点,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、C两点,与x轴交于另一点B,其对称轴为直线x=−3 2.(1)求该二次函数表达式;(2)在y轴的正半轴上是否存在一点M,使以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由;(3)在对称轴上是否存在点P,使△P AC为等腰三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.2.(2023•泗阳县校级一模)如图,二次函数y=ax2+bx+4与x轴交于点A(4,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C.(1)求函数表达式及顶点坐标;(2)连接AC,点P为线段AC上方抛物线上一点,过点P作PQ⊥x轴于点Q,交AC于点H,当PH =2HQ时,求点P的坐标;(3)是否存在点M在抛物线上,点N在抛物线对称轴上,使得△BMN是以BN为斜边的等腰直角三角形,若存在,直接写出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.3.(2023•碑林区校级一模)二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于A(﹣1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC,设运动的时间为t秒.(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式;(2)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标.4.(2023•崂山区开学)如图1,已知二次函数y=ax2+32x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4).与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.(1)请直接写出二次函数y=ax2+32x+c(a≠0)的表达式;(2)判断△ABC的形状,并说明理由;(3)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标;(4)若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标.5.(2023•泰山区校级一模)已知二次函数y=ax2+32x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.(1)求出二次函数表达式;(2)判断△ABC的形状,并说明理由;(3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,求出此时点N的坐标,并说明理由;(4)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标.6.(2023•灞桥区校级二模)如图,二次函数y=−12x2−x+4的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B、C的坐标;(2)若点P在抛物线对称轴上,且在x轴上方,当△PBC为等腰三角形时,求出所有符合条件的点P 的坐标.7.(2023春•仓山区校级期中)如图抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;(2)过定点(1,3)的直线l:y=kx+b与二次函数的图象相交于M,N两点.①若S△PMN=2,求k的值;②证明:无论k为何值,△PMN恒为直角三角形.8.(2023春•兴化市月考)已知:二次函数y=ax2+2ax﹣8a(a为常数,且a>0)的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为点D.(1)分别求点A、B的坐标;(2)若△ABC是直角三角形,求该二次函数相应的表达式;(3)当a=12时,一次函数y=12x+b的图象过B点,与二次函数的对称轴交于Q点,N为一次函数图象上一点,过N点作y的平行线交二次函数图象于M点,当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时,求N点的坐标.9.(2023•广水市模拟)二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣1,0)和点B(﹣3,0),交y轴于点C(0,﹣3).(1)求二次函数的解析式;(2)如图1,点E为抛物线的顶点,点T(0,t)为y轴负半轴上的一点,将抛物线绕点T旋转180°,得到新的抛物线,其中B,E旋转后的对应点分别记为B',E',当四边形BEB'E'的面积为12时,求t的值;(3)如图2,过点C作CD∥x轴,交抛物线于另一点D.点M是直线CD上的一个动点,过点M作x 轴的垂线,交抛物线于点P.是否存在点M使△PBC为直角三角形,若存在,请直接写出点M的坐标,若不存在,请说明理由.10.(2023•江油市模拟)抛物线y=ax2+114x−6与x轴交于A(t,0),B(8,0)两点,与y轴交于点C,直线y=kx﹣6经过点B.点P在抛物线上,设点P的横坐标为m.(1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)如图1,连接AC,AP,PC,若△APC是以CP为斜边的直角三角形,求点P的坐标;(3)如图2,若点P在直线BC上方的抛物线上,过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,求CQ+12PQ的最大值.11.如图,已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A,与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且OC=2.(1)求二次函数的表达式;(2)点M为一次函数下方抛物线上的点,△ABM的面积最大时,求点M的坐标;(3)设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数的图象的另一交点为D,已知P为x轴上的一个动点,且△PBD为直角三角形,求点P的坐标.12.(2023•儋州一模)如图,在直角坐标系中有Rt△AOB,O为坐标原点,A(0,3),B(﹣1,0),将此三角形绕原点O顺时针旋转90°,得到Rt△COD,二次函数y=ax2+bx+c的图象刚好经过A,B,C三点.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;(2)过定点Q的直线l:y=kx﹣k+3与二次函数图象相交于M,N两点.①若S△PMN=2,求k的值;②证明:无论k为何值,△PMN恒为直角三角形;③当直线l绕着定点Q旋转时,△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动,直接写出该抛物线的表达式.13.(2023•保亭县一模)如图,二次函数y=ax2+bx+5的图象经过点(1,8),且与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点A(﹣1,0),M为抛物线的顶点.(1)求二次函数的解析式;(2)求△MCB的面积;(3)在坐标轴上是否存在点N,使得△BCN为直角三角形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.14.(2022秋•蔡甸区期末)如图,一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点,且D点坐标为(1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)在x轴上找一点P,使|PB﹣PC|最大,求出点P的坐标;(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.15.(2023•二道区校级一模)已知一次函数y=x+4的图象与二次函数y=ax(x﹣2)的图象相交于A(﹣1,b)和B,点P是线段AB上的动点(不与A、B重合),过点P作PC⊥x轴,与二次函数y=ax(x﹣2)的图象交于点C.(1)求a、b的值;(2)如图1,M为∠APC内一点,且PM=1,E,F分别为边P A和PC上两个动点,求△MEF周长的最小值;(3)若△P AC是直角三角形,求点C的坐标.16.(2023•靖江市一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点(0,−32),顶点为C(﹣1,﹣2).(Ⅰ)求该二次函数的解析式;(Ⅱ)过A、C两点作直线,并将线段AC沿该直线向上平移,记点A、C分别平移到点D、E处.若点F在这个二次函数的图象上,且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形,求点F的坐标;(Ⅲ)当p+q≥﹣2时,试确定实数p,q的值,使得当p≤x≤q时,p≤y≤q.17.(2023•泰山区一模)二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点A(﹣1,0),点B(4,0)两点,交y 轴于点C.动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC,设运动的时间为t秒.(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式;(2)连接BD,当t=32时,求△DNB的面积;(3)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标.18.(2023•东营区一模)如图,已知二次函数的图象与x轴交于A(1,0)和B(﹣3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),直线y=﹣2x+m经过点A,且与y轴交于点D,与抛物线交于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点M在AE下方的抛物线上运动,求△AME的面积最大值;(3)如图2,在y轴上是否存在点P,使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似,若存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.19.(2023•铁西区模拟)如图①,已知抛物线y=mx2﹣3mx﹣4m(m<0)的图象与x轴交于A、B两点(A 在B的左侧),与y的正半轴交于点C,连结BC,二次函数的对称轴与x轴交于点E,且OC=2OE.(1)求出抛物线的解析式;(2)如图②Q(t,0)是x的正半轴上一点,过点Q作y轴的平行线,与直线BC交于点M,与抛物线交于点N,连结CN,若△MCN与△BQM相似,请求出Q的坐标;(3)如图②Q(t,0)是x的正半轴上一点,过点Q作y轴的平行线,与直线BC交于点M,与抛物线交于点N,连结CN,将△CMN沿CN翻折,M的对应点为M',是否存在点Q,使得M'恰好落在y轴上?若存在,请求出Q的坐标;若不存在,请说明理由.20.(2023•东胜区模拟)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(﹣2,0),B(4,0),C(0,8)三点,点P是直线BC上方抛物线上的一个动点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)动点P运动到什么位置时,△PBC的面积最大,求此时P点坐标及△PBC面积的最大值;(3)在y轴上是否存在点Q,使以O,B,Q为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.。

抛物线综合题——线段最大值,三角形面积最大值,直角三角形,等腰三角形,平行四边形专题

抛物线综合题——线段最大值,三角形面积最大值,直角三角形,等腰三角形,平行四边形专题

抛物线综合题突破线段,三角形面积最大值,直角三角形,等腰三角形,平行四边形专题1.如图,抛物线y=x2+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点•点A的横坐标为-3,点B在y 轴上,点P是y轴左侧抛物线上的一动点,横坐标为m,过点P作PC±x轴于C,交直线AB 于D.(1)求抛物线的解析式;(2)当m为何值时,S四边形OBDC=2S^BPD;(3)是否存在点P,使4PAD是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.2.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与直线AB相交于A (-3, 0), B (0, 3)两点. (1)求这条抛物线的解析式; (2)设C是抛物线对称轴上的一动点,求使N CBA=90°的点C的坐标; (3)探究在抛物线上是否存在点P,使得^APB的面积等于3?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由3.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=-x+3交于A、B两点,点A 在y轴上,点B在x 轴上,抛物线与x轴的另一交点为C,点P在点B右边的抛物线上,PM±x轴交直线AB 于M。

(1)求抛物线解析式.(2)当PM=2BC时,求M的坐标.(3)点P运动过程中,4APM能否为等腰三角形?若能,求点P的坐标,若不能说明理由.4. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示,A点的坐标(-6,0), B点的坐标(4, 0) 点D为BC中点,点E为线段AB上一动点,连接DE经过点A,B,C三点的抛物线的解析式y=ax2+bx+8(1)求抛物线的解析式(2)如图①,将Z BDE以DE为轴翻折,点B的对称点为点G,当点G 恰好落在抛物线的对称轴上时,求G点的坐标; (3)如图②,当点E在线段AB上运动时,抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F,使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.5.如图①,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于O、A两点直线y=-x+3与y轴交于B点,与该抛物线交于A, D两点,已知点D横坐标为-1.(1)求这条抛物线的解析式(2)如图①,在线段OA上有一动点H (不与O、A重合),过H作x轴的垂线分别交AB 于P 点,交抛物线于Q点,若x轴把4POQ分成两部分的面积之比为1:2,请求出H点的坐标;(3)如图②,在抛物线上是否存在点C,使4ABC为直角三角形?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由图①图②备用图6.如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3, 5).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE±x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P的横坐标为m (m>0),当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由.(3)当点P运动到抛物线的顶点时,请在直线PE上找到一点Q,使OQ+CQ最小.并求出点Q 的坐标.7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A (-1, 0)、B (3, 0)两点,直线y=x-2与x轴交于点D,与y轴交于点C.点P是x轴下方的抛物线上一动点,过点P 作PF±x轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)若PE=3EF,求m的值;(3)连接PC,是否存在点P,使4PCE为等腰直角三角形?若存在,请直接写出相应的点P的横坐标m的值8.如图,抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),直线l与抛物线交于A、C亮点,其中C的横坐标为2.(1)求A、C两点的坐标及直线AC的函数解析式;(2) P是线段AC上的一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点E,求4ACE面积的最大值;(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.9.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3, 0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)连接PO、PC,并把4POC沿CO翻折,得到四边形POP’ C,那么是否存在点P,使四边形POP' C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.10.如图,抛物线y=ax2+bx与直线l交于点A (1, 5)、B (6, 0),点C是l上方的抛物线上的一动点,过C作CD±x轴于点D,交直线l于点E.连结AC、BC.(1)求抛物线的解析式;(2)设点C的横坐标为n,△ABC的面积为S,求出S的最大值;(3)在抛物线上是否存在点P,使得4PAB是直角三角形,且始终满足AB边为直角边?若存在,求出所有符合条件的P 的坐标;若不存在,简要说明理由11.在平面直角坐标系xoy中,y=ax2-2ax-3a(@<0)与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),经过A的直线l:y=kx+b与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示);5(2)点E是直线l上方的抛物线上的一点,若4ACE的面积的最大值为4,求a的值(3)设P是抛物线对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.112.已知抛物线y= - x2 - 2x+a(aW0)与y轴交于点A,顶点为M,直线y= -x - a分别与x 轴,y轴交于点B,C,并且与MA交于点N点(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点,求a的取值范围,并用a表示交点M,A的坐标;(2)将4NAC沿着y轴翻转,若点N的对称点P恰好落在抛物线上,AP与抛物线的对称轴相交于点D,连接CD,求a的值及4PCD的面积;(3)在抛物线y=-x2-2x+a (a>0)上是否存在点P,使得以P,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.。

中考数学专题抛物线中的角度问题(初三数学压轴题讲解)

中考数学专题抛物线中的角度问题(初三数学压轴题讲解)

中考数学压轴题专题一:利用抛物线中的角度求点的坐标(原创)二次函数中的角度问题通常要构造直角、相似、全等三角形把角度问题转化为边的问题,求抛物线中的点坐标方法一般采用两种方法,第一种是求线与线的交点,这时需要联立方程;第二种是几何法,过点做坐标轴的垂线,再利用三角函数或者是相似三角形去求解!例1.抛物线y=﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A,B,C三点,P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m.连接CP,是否存在点P,使得∠BCO+2∠PCB=90°,若存在,求m 的值,若不存在,请说明理由.解题思路:1.利用∠BCO+2∠PCB=90°和∠BCO+∠CBO=90°推出∠CBO=2∠PCB2.得出∠CMB=∠MCB得到BC=BM3.求出M的坐标,进而求出直线CM的直线解析式4.联立直线CM方程和抛物线方程,求交点坐标例2.已知抛物线y=x2+x﹣3与x轴交于点A(1,0)和点B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线点第三象限上一动点(不与点A,B,C重合),作PD⊥x轴,垂足为D,连接PC.且∠CPD=45°,求点P的坐标;解题思路:45度可以联想到等腰直角三角形1.延长PC交x轴于点E,得出等腰直角三角形2.求出E点坐标,进而求出直线CE的解析式3.联立直线CE方程和抛物线方程,求交点坐标例3.抛物线y=x2﹣4x与直线y=x交于原点O和点B,与x轴交于另一点A,顶点为D.连接OD,P为x轴上的动点,当tan∠PDO=时,求点P的坐标;解题思路1.分情况讨论,分P在原点的左右侧进行讨论2.P在原点右侧比较简单3.P在原点左侧要结合P在原点右侧的情况,可以得出等腰△OGD,求出G点坐标4.利用GD的直线直线方程或相似三角形求出P点坐标例4.已知抛物线y=﹣x2﹣6x﹣5与x轴交于点A(﹣1,0)和B(﹣5,0),与y轴交于点C,顶点为P,点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方,连AN交抛物线于M,连AC、CM.tan ∠ACM=2时,求M点的横坐标;解题思路:1.构造一线三垂直利用相似求出点F坐标2.求出直线CF的解析式3.联立直线CF方程和抛物线方程,求交点坐标(求交点可以利用韦达定理)例5.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,与y轴交于点C,顶点D的坐标为(1,﹣4).点P在抛物线上且满足∠PCB=∠CBD,求点P 的坐标;解题思路:1.分情况讨论,P在直线BC的上方和下方2.P在直线BC上方,利用∠PCB=∠CBD得出PC平行BD,利用斜率相等求出直线PC解析式联立PC方程和抛物线方程,求交点坐标3.P在直线BC的下方,∠PCB=∠CBD得出等腰三角形CFB,4.可以得出△BCD为直角三角形,,推出F为BD的中点5.求出直线CF的方程,再联立抛物线方程求出交点坐标例6.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线经过A,B两点且与x轴的负半轴交于点C.点D为直线AB上方抛物线上的一个动点,当∠ABD=2∠BAC时,求点D的坐标;解题思路:1.过点B做OA平行线2.∠ABD=2∠BAC得出∠ABD=2∠EBA,得出∠FBD=∠BAC3.利用tan∠FBD=tan∠BAC求出D点做坐标例7.已知抛物线y=(x﹣1)2,D为抛物线的顶点,直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点.求证:∠PDQ=90°;解题思路思路1.构造一线三垂直思路2.证明直线PD和直线DQ斜率之积为-1思路3.利用勾股定理逆定理证明例8.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣6与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其对称轴交抛物线于点D,交x轴于点E,已知OB=OC=6.连接BD,F为抛物线上一动点,当∠F AB =∠EDB时,求点F的坐标;解题思路:1.分点F在x轴下方时和上方时进行分类讨论2.AB在x轴上,利用tan∠FAB=tan∠EDB去求最简便例9.如图,已知抛物线C1:交x轴于点A,B,交y轴于点C.在抛物线上存在点D,使,求点D的坐标.解题思路:1.分D在BC上方和下方讨论2.找到特殊点发现tan∠OBC=3.利用角平分线的性质去求F坐标4.求联立直线BF和抛物线方程求D点坐标例10,平面直角坐标系中,已知抛物线y=﹣x2+5x﹣4与x轴交于点A,B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.D为抛物线x轴上方一点,连接BD,若∠DBA+∠ACB=90°,求点D的坐标;解题思路:利用tan∠ACB=tan∠FDB去求解例11.已知抛物线y=﹣x2﹣x+2,BC平分∠PCO时,求点P的横坐标.解题思路:1.角平分线联想到角平分线+平行线得到等腰三角形2.利用PE=PC去求解(两点之间的距离公式)例12.抛物线y=x2﹣1,M(﹣4,3),N是抛物线上两点,N在对称轴右侧,且tan∠OMN =,求N点坐标;解题思路:构造一线三垂直课后练习1.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+4ax+4a﹣6(a>0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为点D.直线DC交x轴于点E,tan∠AED=,求a的值和CE的长;2.已知抛物线y=(x+1)2+1,点A(﹣1,2)在抛物线的对称轴上。

专题11 存在性-等腰直角三角形(解析版)

专题11 存在性-等腰直角三角形(解析版)

中考数学压轴题--二次函数--存在性问题第11节等腰直角三角形的存在性方法点拨第一步:易证ΔBAD∽ΔECB,如果再加一个条件BD=BE,此时ΔBAD≌ΔECB (AAS)所以,AB=CE,AD=CB第二步:根据点坐标来表示线段长度,列等式求解。

例题演练1.如图所示,抛物线y=a(x+1)(x﹣5)(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.(1)当a=﹣时,①求点A、B、C的坐标;②如果点P是抛物线上一点,点M是该抛物线对称轴上的点,当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时,求出点P的坐标;(2)点D是抛物线的顶点,连接BD、CD,当四边形OBDC是圆的内接四边形时,求a 的值.【解答】解:对于y=a(x+1)(x﹣5)(a≠0),令y=a(x+1)(x﹣5)=0,解得x =5或﹣1,令x=0,则y=﹣5a,故点A、B、C的坐标分别为(5,1)、(﹣1,0)、(0,﹣5a),当x=2时,y=a(x+1)(x﹣5)=﹣9a,顶点的坐标为(2,﹣9a).(1)①当a=﹣时,函数的表达式为y=﹣(x+1)(x﹣5),则点A、B、C的坐标分别为(5,1)、(﹣1,0)、(0,2);②过点P作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点F,交x轴于点E,设点P的坐标为(x,﹣(x+1)(x﹣5)),∵∠MPO=90°,∴∠MPF+∠OPE=90°,∵∠OPE+∠POE=90°,∴∠POE=∠MPF,∵∠PFM=∠OEP=90°,PM=PO,∴△PFM≌△OEP(AAS),∴PE=MF,则﹣(x+1)(x﹣5)=x﹣2,解得x=﹣或4,故点P的坐标为(﹣,﹣)或(4,2);(2)点B、C的坐标分别为(﹣1,0)、(0,﹣5a),顶点D的坐标为(2,﹣9a).当四边形OBDC是圆的内接四边形时,则BC的中点为该圆的圆心,设BC的中点为点Q,由中点坐标公式得,点Q(,﹣a),则OQ=DQ,即()2+(﹣)2=(2﹣)2+(﹣9a+a)2,解得a=±.2.如图,已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0,1)和点B(3,4).(1)求该抛物线的解析式;(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点,当△ABC的面积最大时,求点C的坐标;(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点D,是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)将A、B两点代入到解析式中,得,,解得,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x+1;(2)设直线AB为:y=k1x+1,代入点B,得,3k1+1=4,解得k1=1,∴直线AB为:y=x+1,设C(m,﹣m2+4m+1),过C作CM∥y轴交AB于M,如图1,则M(m,m+1),∴CM=﹣m2+4m+1﹣m﹣1=﹣m2+3m,∴S△ABC=S△ACM+S△BCM==,∵C为直线AB上方抛物线上一点,∴0<m<3,∴时,△ABC的面积最大值为,此时C();(3)∵抛物线y=﹣(x﹣2)2+5,∴将抛物线向右平移2个单位后得到的抛物线为:y=﹣x2+5,联立,解得,∴D(1,4),①如图2,当DA=DE,∠EDA=90°,E在AD右侧时,过D作x轴平行线交y轴于N,过E作y轴平行线,两线交于F点∵∠DAN+∠NDA=∠NDA+∠EDF=90°∴∠DAN=∠EDF,又∠DNA=∠EFD=90°,DA=DE,∴△DNA≌△EFD(AAS),∴DN=EF=1,AN=DF=3,∴E(4,3),②当DA=DE,∠EDA=90°,E在AD左侧,同理可得,E(﹣2,5),③当AD=AE,∠DAE=90°,E在AD左侧时,同理可得,E(﹣3,2),④当AD=AE,∠DAE=90°,E在AD右侧时,同理可得,E(3,0),综上所述,E(4,3)或(﹣2,5)或(﹣3,2)或(3,0).3.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(﹣1,0),C(0,3).(1)求该抛物线的函数表达式;(2)抛物线与直线y=﹣x﹣1交于A、E两点,P是x轴上点B左侧一动点,当以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似时,求点P的坐标;(3)若F是直线BC上一动点,在抛物线上是否存在动点M,使△MBF为等腰直角三角形,若存在,请直接写出点M的坐标;否则说明理由.【解答】解:(1)把A(﹣1,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,得:,解得:,∴抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3;(2)联立直线AE和抛物线的函数关系式成方程组,得:,解得:,,∴点E的坐标为(4,﹣5),∴AE==5,在y=﹣x2+2x+3中,令y=0,得:﹣x2+2x+3=0,解得:x1=3,x2=﹣1,∴点B的坐标为(3,0),∵C(0,3),∴OB=OC=3,∵∠BOC=90°,∴∠CBO=45°,BC=3,∵直线AE的函数表达式为y=﹣x﹣1,∴∠BAE=45°=∠CBO.设点P的坐标为(m,0),则PB=3﹣m,∵以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似,∴=或=,∴=或=,解得:m=或m=﹣,∴点P的坐标为(,0)或(﹣,0);(3)∵∠CBO=45°,∴存在两种情况(如图2).①取点M1与点A重合,过点M1作M1F1∥y轴,交直线BC于点F1,∵∠CBM1=45°,∠BM1F1=90°,∴此时△BM1F1为等腰直角三角形,∴点M1的坐标为(﹣1,0);②取点C′(0,﹣3),连接BC′,延长BC′交抛物线于点M2,过点M2作M2F2∥y 轴,交直线BC于点F2,∵点C、C′关于x轴对称,∠OBC=45°,∴∠CBC′=90°,BC=BC′,∴△CBC′为等腰直角三角形,∵M2F2∥y轴,∴△M2BF2为等腰直角三角形.∵点B(3,0),点C′(0,﹣3),∴直线BC′的函数关系式为y=x﹣3,联立直线BC′和抛物线的函数关系式成方程组,得:,解得:,,∴点M2的坐标为(﹣2,﹣5),综上所述:点M的坐标为(﹣1,0)或(﹣2,﹣5).4.如图,抛物线y=ax2+bx﹣3(a>0)与x轴交于A、B两点,交y轴于点C,OB=3,抛物线经过点(2,5).(1)求该抛物线解析式;(2)如图1,该抛物线顶点D,连接BD、BC,点P是线段BD下方抛物线上一点,过点P作PE∥y轴,分别交线段BD、BC于点F、E,过点P作PG⊥BD于点G,求2PG+EF 的最大值,及此时点P的坐标;(3)如图2,在y轴左侧抛物线上有一动点M,在y轴上有一动点N,是否存在以AN 为直角边的等腰直角三角形AMN?若存在,请直接写出点M的坐标.【解答】解:(1)∵OB=3,∴B(﹣3,0)把C(﹣3,0)和点(2,5),代入抛物线y=ax2+bx﹣3,得,解得,∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3;(2)延长PE与x轴交于点M,FM⊥x轴,PG⊥BD,如图所示,∠FMB=90°,∠PGF=90°,∵∠BFM=∠PFG,∴∠MBF=∠GPF,∴B(﹣3,0),D(﹣1,﹣4),B、D两点的横坐标距离为2,纵坐标距离为4,由勾股定理得BD==2,∴cos∠MBF=cos∠GPF=,∴2PG+EF=EF+2FP,∴C(0,﹣3),设直线BC解析式为l BC:y=kx+b(b≠0),把B(﹣3,0)和C(0,﹣3)代入得,,解得,∴l BC:y=﹣x﹣3,同理,直线BD得解析式为:y=﹣2x﹣6,设E(m,﹣m﹣3),P(m,m2+2m﹣3),F(m,﹣2m﹣6),∴EF+2FP=[﹣m﹣3﹣(﹣2m﹣6)]+2[(﹣2m﹣6)﹣(m2+2m﹣3)]=﹣2(m+)2+,∴当m=﹣时,EF+2FP有最大值,∵2PG+EF=EF+2FP,∴此时,P点坐标为P(﹣,﹣);(3)存在,设N(0,y1),M(x2,+2x2﹣3),当y=0时,代入抛物线y=x2+2x+3中,解得两根为﹣3和1,A在y轴右侧,∴A(1,0),∴AN2=OA2+ON2=1+y12,AM2=(x2﹣1)2+(+2x2﹣3)2,MN2=+(+2x2﹣3﹣y1)2,①当AN⊥MN时,此时由AN=MN,等腰直角三角形各边比为1:1:,∴M点横坐标为﹣﹣1或﹣3﹣1,将M的横坐标为﹣﹣1或﹣3﹣1,代入y=x2+2x﹣3中得,∴M点坐标为(﹣﹣1,﹣2)或(﹣3﹣1,14),②由AN⊥MA得:M点横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2,将M点横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2代入y=x2+2x+3中,得M点坐标为(﹣2﹣2,17+8﹣4﹣4)或(﹣2﹣2,33+8﹣4﹣4),综上所述,M点坐标为(﹣﹣1,﹣2)或(﹣3﹣1,14),(﹣2﹣2,17+8﹣4﹣4)或(﹣2﹣2,33+8﹣4﹣4),5.如图,抛物线C1:y=x2+bx+c经过原点,与x轴的另一个交点为(2,0),将抛物线C1向右平移m(m>0)个单位得到物度C2,C2交x轴于A、B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C.(1)求抛物线C1的解析式及顶点坐标;(2)以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD,当点D落在抛物线C2的对称轴上时,求抛物线C2的解析式及D点坐标.【解答】解:(1)∵抛物线C1经过原点,与x轴的另一个交点为(2,0),∴,解得,∴抛物线C1的解析式为y=x2﹣2x,∴抛物线C1的顶点坐标(1,﹣1).(2)如图,∵抛物线C1的向右平衡m(m>0)个单位得到抛物线C2,∴C2的解析式为y=(x﹣m﹣1)2﹣1,∴A(m,0),B(m+2,0),C(0,m2+2m),过点C作CH⊥对称轴DE,垂足为H,∵△ACD为等腰直角三角形,∴AD=CD,∠ADC=90°,∴∠CDH+∠ADE=90°,∴△HCD=△ADE,∵∠DEA=90°,∴△CHD≌△DEA,∴AE=HD=1,CH=DE=m+1,∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2,由OC=EH得m2+2m=m+2,解得m1=1,m2=﹣2(舍去),∴抛物线C2的解析式为:y=(x﹣2)2﹣1,∴D点坐标(2,2).6.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点B(6,0),C(﹣2,0),与y轴交于点A,点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)如图,连接P A、PB.设△P AB的面积为S,点P的横坐标为m.请说明当点P运动到什么位置时,△P AB的面积有最大值?(2)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点B(6,0),C(﹣2,0),∴可设抛物线的表达式为:y=a(x+2)(x﹣6),∴﹣12a=6,解得a=﹣,∴抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+6,∴A(0,6)∴直线AB的表达式为:y=﹣x+6,点P的横坐标为m,则P(m,﹣m2+2m+6),过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,则D(m,﹣m+6),∴S=×OB×PD=×6×(﹣m2+2m+6+m﹣6)==﹣(m﹣3)2+,∴当m=3时,S的值取最大,此时P(3,);(2)存在,理由如下:由题意可知,PD⊥PE,若△PDE是等腰直角三角形,则PE=PD,由(1)可得,PD=﹣m2+2m+6+m﹣6=﹣m2+3m,∵PE∥x轴,∴E(4﹣m,﹣m2+2m+6),∴PE=|2m﹣4|,∴|2m﹣4|=﹣m2+3m,解得m1=﹣2(舍),m2=4,m3=5+(舍),m4=5﹣,∴当△PDE是等腰直角三角形时,点P的坐标为(4,6),(5﹣,3﹣5).7.如图1.二次函数y=﹣x2+6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求出点A,B,C的坐标;(2)连接AC,求直线AC的表达式;(3)如图2,点D为线段AC上的一个动点,连接BD,以点D为直角顶点,BD为直角边,在x轴的上方作等腰直角三角形BDE,若点E在y轴上时,求点D的坐标;(4)若点D在线段AC上,点D由A到C运动的过程中,以点D为直角顶点,BD为直角边作等腰直角三角形BDE,当抛物线的顶点C在等腰直角三角形BDE的边上(包括三角形的顶点)时,请直接写出顶点E的坐标.【解答】解:(1)当x=0时,y=6.∴C点坐标为(0,6).当y=0时,.解得x1=﹣4,x2=4.∵A点在B点左侧,∴点A坐标为(﹣4,0),点B坐标为(4,0).(2)设直线AC的表达式为:y=kx+b.∵点A坐标为(﹣4,0),点C坐标为(6,0).∴.解得.∴直线AC的表达式为.(3)如答图1,过点D分别作DF⊥x轴于点F,DG⊥y轴于G. ∴四边形DGOF为矩形,∠FDG=90°.∵△BDE为等腰直角三角形,BD为直角边.∴BD=ED,∠EDB=90°.∴∠EDB﹣∠GDB=∠FDG﹣∠GDB.即∠EDG=∠BDF.在△BDF和△EDG中,.∴△BDF≌△EDG(AAS).∴DF=DG.设点D的坐标为(m,).∴.解得m=,∴点D的坐标为().(4)由(2)可得直线AC的表达式为.∵点D在直线AC上,∴设点D坐标为().设直线BC的解析式为:y=kx+b.将B(4,0),C(0,6)代入得.解得.∴直线BC的解析式为.①当C位于斜边BE上时,∵点E在直线BC上,∴设点E坐标为(b,).如答图2所示.作EM⊥x轴于点M,DQ⊥x轴于点Q,DN⊥EM于点N.易知四边形DQMN为矩形.∴∠QDN=90°.∵△BDE为等腰直角三角形,BD为直角边.∴BD=ED,∠EDB=90°.∴∠EDB﹣∠NDB=∠QDN﹣∠NDB.即∠EDN=∠BDQ.在△BDQ和△EDN中,.∴△BDQ≌△EDN(AAS).∴DN=DQ,EN=BQ.∵E坐标为(b,),D坐标为().∴DN=b﹣a,EN=.DQ=,BQ=4﹣a.∴.解得.∴=.∴点E的坐标是().②当点D在直角边DE上时,BD交y轴于点F,如答图3所示.∵∠CDF=∠BOF=90°,∠CFD=∠BFO.∴∠DCF=∠OBF.∴tan∠DCF=tan∠OBF.即.亦即.∴OF=.∴点F坐标为(0,).设直线BF解析式为y=kx+b.将B(4,0),F(0,)代入得.解得.∴直线BF解析式为y=.∵B、F、D三点共线,亦即直线BD解析式为y=.联立直线AC解析式得解得.故点D坐标为().∵BD⊥AC,BD=DE,∴BD2=DE2.∴.解得b=.∴=.∴点E的坐标为().③当点D与点C重合时,即点C为直角顶点时.如答图4所示.作EG⊥y轴于点G.∵∠BCE=90°.∴∠ECG+∠BCO=90°.又∵∠ECG+∠GEC=90°∴∠BCO=∠GEC.在△GEC和△OCB中,.∴△GEC≌△OCB(AAS).∴GE=OC=6,GC=OB=4.∴点E的坐标为(6,10).由图知点E关于点C对称的点E'亦满足题意.则由中点坐标公式可得点E'的横坐标为2×0﹣6=﹣6,纵坐标为2×6﹣10=2.故点E'坐标为(﹣6,2).综上所述,点E的坐标为()或()或(6,10)或(﹣6,2).8.如图,抛物线y=ax2+bx+5交x轴于A(﹣1,0)、B(5,0)两点,交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是对称轴上一点,当P A+PC达到最小值时,求点P的坐标;(3)M、N为线段BC上两点(N在M的右侧,且M、N不与B、C重合),MN=2,在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R,使△MNR为等腰直角三角形?若存在,求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+5交x轴于A(﹣1,0),B(5,0),∴,解得:,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x+5;(2)当x=0时,y=5,∴C(0,5),∵A与B关于抛物线的对称轴对称,∴直线BC与对称轴的交点就是点P,此时P A+PC达到最小值,∵y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9,∴抛物线对称轴为直线x=2,设直线BC的解析式为:y=kx+b(k≠0),∵点B坐标为(5,0),则,解得:,∴直线BC的解析式为y=﹣x+5,与对称轴的交点为(2,3),∴点P的坐标(2,3);(3)分三种情况:①以点M为直角顶点,如图1,∵MN=2,∴RN=MN=4,∵C(0,5),B(5,0),∴OC=OB=5,∴∠OCB=∠OBC=45°,∵∠RNM=45°=∠BCO,∴RN∥OC,由(2)知:直线BC的解析式为y=﹣x+5,设R(m,﹣m2+4m+5),则N(m,﹣m+5),则RN=(﹣m2+4m+5)﹣(﹣m+5)=4,解得m1=4,m2=1,∵点N在点M右侧,∴m=4,∴R(4,5);②以点R为直角顶点,如图2,∵MN=2,∴RN=MN=2,设R(m,﹣m2+4m+5),则Q(m,﹣m+5),∴RN=(﹣m2+4m+5)﹣(﹣m+5)=2,解得m1=,m2=,∵点N在点M右侧,∴m=,∴R(,);③以点N为直角顶点,如图3,∵MN=2,∴RM=MN=4,∵∠RMN=∠OBC=45°,∴MR∥OB,设R(m,﹣m2+4m+5),则M(m﹣4,﹣m2+4m+5),把M(m﹣4,﹣m2+4m+5)代入y=﹣x+5,得﹣(m﹣4)+5=﹣m2+4m+5,解得m1=4,m2=1,此时点M(0,5),因为点M在线段BC上运动,且不与B、C重合,所以不存在以N为直角顶点的情况;综上所述:当R(4,5)或(,)时,△MNR为等腰直角三角形.9.抛物线y=ax2﹣6ax+4(a≠0)交y轴正半轴于点C,交x轴负半轴于点A,交x轴正半轴于点B,且AB=10.(1)如图(1),求抛物线的解析式;(2)如图(2),连接BC,点P为第一象限抛物线上一点,设点P横坐标为t,△PBC 的面积为S,求S与t之间的函数关系式(不用写出自变量t的取值范围);(3)如图(3),在(2)的条件下,连接P A交y轴于点D,过点P作x轴的垂线,交x轴于点E,交BC于点F,连接DF,当∠APE+∠CFD=90°时,在抛物线上是否存在点Q,使得点Q、PE的中点N、点C、是构成以CN为斜边的等腰直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)如图1中,设A(m,0),B(n,0),由题意:,解得,∴A(﹣2,0),B(8,0),把A(﹣2,0)代入y=ax2﹣6ax+4,得到a=﹣,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4.(2)如图2中,连接OP.设P(t,﹣t2+t+4),∵B(8,0),C(0,4),∴OB=8,OC=4,∴S=S△POC+S△POB﹣S△OBC=×4×t+×8×(﹣t2+t+4)﹣×4×8=﹣t2+8t(0<t<8).(3)存在.理由:如图3中,设P(t,﹣t2+t+4),∵A(﹣2,0),B(8,0),C(0,4),∴直线P A的解析式为y=﹣(t﹣8)x﹣t+4,直线BC的解析式为y=﹣x+4,∵PE⊥x轴,∴F(t,﹣t+4),∵D(0,﹣t+4),∴FD∥AB,∴∠CFD=∠CBA,∵∠APF+∠CFD=90°,∠APF+∠P AE=90°,∴∠P AB=∠CFD=∠CBO,∴tan∠CBO=tan∠P AB==,∴=,∵OA=2,∴OD=1,∴﹣t+4=1,∴t=6,∴P(6,4),E(6,0),∵PN=NE,∴N(6,2),∵C(0,4),△CNQ是等腰直角三角形,CN是斜边,当点Q在CN的上方时,如图3,过点Q作x轴的平行线交y轴于点G,交EP的延长线于点H,设点Q(s,k),易证△QGC≌△NHQ(AAS),则GC=QH,GQ=HN,即s=k﹣2,k﹣4=6﹣s,解得,∴点Q的坐标为(4,6),∵当x=4时,y=﹣×42+×4+4=6,∴点Q在抛物线y=﹣x2+x+4上,∴满足条件的点Q的坐标为(4,6).10.如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.(1)求抛物线的表达式;(2)直接写出点C的坐标和△ABC的面积.(3)点P是抛物线对称轴上一点,且使得P A﹣PC最大,求点P的坐标.(4)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时△CMN的面积.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,∴,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x.(2)如图1中,∵y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,∴对称轴x=2,∵B,C关于对称轴对称,B(1,3),∴C(3,3),∴S△ABC=×2×3=3.(3)如图1中,∵A(4,0),C(3,3),∴直线AC的解析式为y=﹣3x+12,∵P A﹣PC≤AC,∴当点P在直线AC上时,P A﹣PC的值最大,此时P(2,6).(4)如图4﹣1中,如图,当∠CNM=90°,NC=NM时,可知N(4,0),M(1,﹣1),CN=NM=,∴S△MNC=×CN×MN=5.如图4﹣2中,当∠CMN=90°,MN=MC时,M(1,﹣2),N(﹣4,0),可知MN =MC==,∴S△MNC=.如图4﹣3中,当∠CMN=90°,MC=MN时,可知M(1,2),N(2,0),MN=CM ==,∴S△MNC=××=,如图4﹣4中,当∠CNM=90°,CN=MN时,N(﹣2,0),M(1,﹣5),可得S△MNC =17.综上所述,满足条件的△MNC的面积为5或或或17.。

浅析中考试题中抛物线与等腰(等边)三角形的问题

浅析中考试题中抛物线与等腰(等边)三角形的问题

种 重要形式 . 这类 问题 以抛 物线为 背景 . 探 索是 否存在一 些点 . 使其构成 某些特殊 图形 .
当P在( 2 , 2 、 / 丁) 时, B , O 、 P-A共线( 如
图2 ) 。
如 常见 的等腰 ( 等 边) 三 角形 , 直角三 角形 , 相 似三 角形 . 全等 三角形等 . 这类问题在近 几年 的 中考 中占了很 大的 比例 .常常作为 中考的
相同的性 质 : 1 . 对称 轴都为直 线 = 2或顶 点的横 坐标 为2 : 2 . 都经过 A ( 1 , 0 ) , B ( 3 , 0 ) 两点 ;
x + 3 与x 轴交于点 Q , 点P 是线段 B C 上 的一 个动点 . P HIO B于点 H 。若 P B = 5 t , 且0 < t < l
① 当O P = 0 B = 4时 , O P 2 = 1 6 ,所 以4 + =
1 6 , 解得 ± 2 、 /
通过 以上 例题 的分 析与解答 . 我们对 这 种 问题 有 了新 的认 识 和 了解 .对解 决 抛 物 线 与等 腰 三角 形包 括 等边 三 角形 问题 找 到 了 有效 的解 题 途径 .为今 后解 决 同类 问 题 起 到抛 砖 引玉 的作 用 .现 为读 者精 选 两 题 起 探讨 。 练习 1 : ( 2 0 1 3年陕西 )如 果一条抛 物线 y = n + + c f a ≠o 1 与 轴有 两个 交点 , 那么以 该抛 物线 的顶点和这两 个交点为顶点 的三角
例2 : ( 2 0 1 3年江西 ) 如图 3 , 已知二 次 函 数L l : y = x + 3与 轴交于 A、 B两点 ( 点A 在点 B的左边 ) , 与Y 轴交于点 C 。

中考数学各类计算题型专练 二次函数特殊三角形(等腰_直角)存在性问题

中考数学各类计算题型专练 二次函数特殊三角形(等腰_直角)存在性问题

中考数学各类计算题型专练二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)【一】如图,抛物线y=ax2+bx+c 经过A(-1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P 的坐标;(3)在直线L上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.【二】如图,抛物线y=ax2+bx+c 经过点A(-3,0),B(1.0 ),C(0,-3 ).(1)求抛物线的解析式;(2)若点P 为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC 的面积为S,求S 的最大值并求出此时点P 的坐标;(3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y 轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【三】在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C (1,0),如图所示,抛物线y=ax2−ax−2经过点B.(1)求点B的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由。

【四】如图,抛物线y=ax 2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x 轴上,点C 在y 轴上,且AC=BC.(1)求抛物线的对称轴;(2)写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式;(3)探究:若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点,是否存在△PAB是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P 坐标;不存在,请说明理由.【五】如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C。

(1)求这个二次函数的表达式;(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点,求△BCP面积的最大值;(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当△BMN是等腰三角形时,直接写出m的值【六】如图,已知A(﹣2,0),B(4,0),抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点,并与过A点的直线y= -1/2x ﹣1交于点C.(1)求抛物线解析式及对称轴;(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使四边形ACPO的周长最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;(3)点M为y轴右侧抛物线上一点,过点M作直线AC的垂线,垂足为N.问:是否存在这样的点N,使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似,若存在,求出点N的坐标,若不存在,请说明理由.【七】如图,已知抛物线于x轴交于A(-1,0)、B (3,0)两点,与y轴交于点C(0,3)。

二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)

二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)

特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景:平面内有点A、B,要找到点P使得△ABP为等腰三角形。

2、思想:分类讨论(1)A为顶点:AB=AP(以A为圆心、AB长为半径画圆)(2)B为顶点:AB=BP(以B为圆心、AB长为半径画圆)(3)P为顶点:PA=PB(AB中垂线)【注】:1.利用两圆一线,找到符合要求的点,如P在抛物线对称轴上,在x轴上等;然后将问题转化为,求线段等长。

2.求线段等长:两点间距离(最笨的方法);向坐标轴做垂线,构造一线三等角例1.如图,抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为______.练习1.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,−3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式;(2)在直线BC找一点Q,使得△QOC为等腰三角形,写出Q点坐标.练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.练习3.如图,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)的顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且BO=OC=3AO,直线y=﹣x+1与y轴交于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)证明:△DBO∽△EBC;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PBC是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的P点坐标,若不存在,请说明理由.练习4.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点,与y轴交于点C(0,−3),其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式;(2)动点M从点D出发,沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动,运动时间为t,连接OM,BM,当t为何值时,△OMB为等腰三角形?练习5.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n (m<n)分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E 两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标;②求△BOD 面积的最大值,并写出此时点D的坐标.25.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过原点O,与x轴交于点A(5,0),第一象限的点C(m,4)在抛物线上,y轴上有一点B(0,10).(Ⅰ)求抛物线的解析式及它的对称轴;(Ⅱ)点P(0,n)在线段OB上,点Q在线段BC上,若OP=2BQ,且P A=QA.求n 的值;(Ⅲ)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.19-红桥一模25.(10分)如图,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C(0,﹣4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0).(1)求该抛物线的解析式.(2)若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值.(3)若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD为等腰三角形,求M点的坐标.(17河北一模)25(10分)如图,己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A(﹣1,0),B(0,﹣3),抛物线与x轴的另一个交点为C.(1)求这个抛物线的解析式:(2)若抛物线的对称轴上有一动点D,且△BCD为等腰三角形(CB≠CD),试求点D的坐标;二、直角三角形1.情景:平面内有点A、B,要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想:分类讨论(1)A为顶点:∠A(过A做垂线)(2)B为顶点:∠B(过B做垂线)(3)P为顶点:∠C(AB为直径的圆)【注】1.等腰直角三角形,只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A,B与x 轴交于点E,F且B,E两点的坐标分别为B(2,32)E(−1,0)(1)求二次函数的解析式;(2)在抛物线上是否存在点Q,使△QBF为直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.练习1.如图,抛物线y=x2+bx+3顶点为P,且分别与x轴、y轴交于A、B两点,点A在点P的右侧,tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标.(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D,使△ABD为直角三角形?如果存在,求点D 的坐标;如果不存在,请说明理由.例2.如图,抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点,与y 轴相交与点C,且点B与点CC 的坐标分别为(3,0),C(0,3),点M是抛物线的顶点.(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P,过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由练习2.如图,在平面直角坐标系中,直线y=−13x+2交x轴点P,交y轴于点A.抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0),并与直线相交于A、B两点.(1)求抛物线的解析式(关系式);(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C,求点C的坐标;(3)除点C外,在坐标轴上是否存在点M,使得△MAB是直角三角形?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.练习3.如图,抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点,其中点A在y轴上,点B坐标为(﹣4,﹣5),点P为y轴左侧的抛物线上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交AB于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)以O,A,P,D为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.(3)当点P运动到直线AB下方某一处时,过点P作PM⊥AB,垂足为M,连接PA使△PAM为等腰直角三角形,请直接写出此时点P的坐标.(18东丽-一模)25.如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,1)、(1,2),过点A、B分别作y轴的垂线,垂足为D、C,得到正方形ABCD,抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点,点P为第一象限内抛物线上一点(不与点A重合),过点P分别作x轴y轴的垂线,垂足为E、F,设点P的横坐标为m,矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l.(1)直接写出抛物线所对应的函数表达式.(2)当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时,求m的值.(3)当m<2时,求L与m之间的函数关系式.(4)设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q,当△FDQ为等腰直角三角形时,直接写出m的取值范围.三、平行四边形存在性问题类型一:1.情景:一直平面内三点A、B、C,求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想:分类讨论(1)以AC为对角线:ABCP1(2)以AB为对角线:ACBP3(3)以BC为对角线:ACP2B【注】找到P点后,用平行四边形的判定定理,求等长线段,或利用等角度、平行线求坐标即可。

二次函数与几何综合专题 等腰直角三角形存在性问题

二次函数与几何综合专题 等腰直角三角形存在性问题
故不存在M坐使 是以AM为斜边的等腰直角三角形;
III、若 是等腰直角三角形,当DM为斜边时,则: ,
即: ,解得 ,
此时: ,
故不存在M坐使 是以DM为斜边的等腰直角三角形;
综上所述:点M坐标为(0,-1).
(3)解:∵ ,
∴ ,
以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形,有3种情况,
I.当 时,则 ,
∵四边形OHGQ是矩形,
∴ ,
∴ ,
设 ,其中 ,则P点坐标为(x,-x)
∵P在抛物线 上,即 ,解得: (不合题意舍去), ,
故此时P坐标为 ,
综上所述:点P在x轴上方的抛物线上,点Q在y轴正半轴上,当 是以AQ为斜边的等腰直角三角形时,符合条件的点P的坐标 或 .
易得: (AAS)
∴ , ,
∵四边形OHGQ是矩形,
∴ ,
∴ ,
设 ,则P点坐标为(x,x)
∵P在抛物线 上,即 ,解得: , (不合题意舍去),
此时点P坐标为
II、点P在y轴左侧的抛物线上时,如图:
以等腰 构造K字形,过P点作PH⊥x轴,垂足为H,过Q点作QG⊥PH,垂足为G,
易得: (AAS)
∴ , ,
(2)在y轴上是否存在点M,使得 是等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)直线AC下方的抛物线上有一动点P,直线AC上有一动点Q,若以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形,求出点Q的坐标.
(4)点P在x轴上方的抛物线上,点Q在y轴正半轴上,当 是以AQ为斜边的等腰直角三角形时,求出符合条件的点P的坐标.
(2)解:如图,设M点坐标为(0,y)
∵点A坐标为(-3,0),点D坐标为(-1,-4),

抛物线内接直角三角形的一个性质及应用

抛物线内接直角三角形的一个性质及应用

抛物线内接直角三角形的一个性质及应用抛物线内接直角三角形是几何学中一个重要的定理,它告诉我们:如果一个直角三角形的一个顶点在抛物线上,那么其它两个顶点的坐标也会在这个抛物线上。

本文将简要介绍抛物线内接直角三角形的定义、性质及其应用。

首先,抛物线内接直角三角形定义为:一个直角三角形,其中一个顶点在抛物线上,另外两个顶点也在抛物线上,且抛物线的准线和直角三角形的两条腰都相交。

因此,抛物线内接直角三角形的性质有以下三点:
1)直角三角形的一个顶点在抛物线上,另外两个顶点也在同一
条抛物线上;
2)抛物线的准线与直角三角形的腰相交;
3)抛物线内接直角三角形的面积小于等于抛物线面积的一半。

此外,抛物线内接直角三角形还有一些其它特性:抛物线内接直角三角形的高度等于抛物线的端点之间的距离;两点定理说明了任何一点到抛物线上的点的距离等于直角三角形的斜边的长度。

抛物线内接直角三角形有许多实际应用,其中最为重要的是在机械设计中,抛物线被用来设计螺旋形线路,使得机械运动更加均匀,减少了摩擦力,减少了损耗。

在建筑过程中,抛物线也被用来设计电梯的曲线,使其运行曲线十分柔和,降低了电梯的震动,减少了乘客的不适感受。

另外,抛物线内接直角三角形也被用于医学领域中的X 射线成像技术,使得X射线的扫描更加准确,精确诊断病症。

综上所述,抛物线内接直角三角形是几何学中一个重要的定理,它描述了三角形和抛物线之间的关系,它的定义、性质和应用在许多不同的领域中有广泛的应用,它能够减少摩擦力、降低震动,使X射线扫描更准确,为人类带来科学和技术上的进步。

抛物线中的等腰三角形课件

抛物线中的等腰三角形课件
底边。
性质3
等腰三角形的对称轴是其底边 的中垂线。
等腰三角形的判定定理
01
02
03
判定定理1
若一个三角形有两个角相 等,则这两个角所对的边 也相等,即该三角形为等 腰三角形。
判定定理2
若一个三角形的中线和高 线重合,则该三角形为等 腰三角形。
判定定理3
若一个三角形的一边垂直 于另一边,且垂足是该边 的中点,则该三角形为等 腰三角形。
疑难
如何快速确定等腰三角形的存在。
解析
除了按照判定定理逐步进行外,还可以通过观察法、 数形结合法等方法快速判断。在实际操作中,可以结合 图像和计算,更直观地得出结论。
05
CATALOGUE
典型例题与练习题
典型例题解析
例题1
给定抛物线y = x^2和点A(1,1),在抛物线上找两 点B、C,使得三角形ABC为等腰三角形。
等腰三角形的顶角平分线、中线以及高 线三线合一,这条线同样与抛物线的对 称轴重合。
性质
由于抛物线本身的对称性,所以等腰三 角形的两个底角相等。Βιβλιοθήκη 抛物线中等腰三角形的判定方法
方法一
利用定义判定。若抛物线内一三角形满足两腰相等,且底边 与抛物线对称轴平行,则此三角形为抛物线中的等腰三角形 。
方法二
利用性质判定。若一三角形在抛物线中满足两个底角相等, 且顶角平分线、中线以及高线三线合一,并与抛物线的对称 轴重合,则此三角形为抛物线中的等腰三角形。
2. 找两个与对称轴平 行的线,使得这两条 线到抛物线的距离相 等。
3. 确定这两条线与抛 物线的交点,以及抛 物线的顶点。这三个 点构成的三角形即为 等腰三角形。
如何求解抛物线中等腰三角形的参数

2015年上海中考数学专题-等腰相似直角三角形存在性问题试题一和参考答案

2015年上海中考数学专题-等腰相似直角三角形存在性问题试题一和参考答案

2015年上海中考数学专题-等腰相似直角三角形存在性问题试题一和参考答案研究创造才智,知识成就未来。

以下是上海市初中数学考试的几道题目。

题目一:等腰相似直角三角形存在性问题给定顶点为P(4,-4)的二次函数图像,经过原点,并且点A在该图像上。

连接OA与对称轴l的交点为M,点M和N 关于点P对称,连接AN和ON。

1) 求该二次函数的关系式。

2) 若点A的坐标是(6,-3),求△ANO的面积。

3) 当点A在对称轴l右侧的二次函数图像上运动时,请回答以下问题:①证明:∠ANM=∠XXX。

②△ANO能否为直角三角形?如果能,请求出所有符合条件的点A的坐标,如果不能,请说明理由。

题目二:等腰三角形的存在性问题在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△XXX与△XXX重合在一起,△XXX不动,△DEF运动,并满足:点E在边BC上沿B到C的方向运动,且DE、始终经过点A,EF与AC交于M点。

1) 求证:△ABE∽△ECM。

2) 探究:在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能,请求出BE的长;若不能,请说明理由。

3) 当线段AM最短时,求重叠部分的面积。

题目三:抛物线问题已知抛物线y=3/2x^2+bx+63经过A(2,0)。

设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B。

1) 求b的值,求出点P、点B的坐标。

2) 如图,在直线y=3x上是否存在点D,使四边形OPBD 为平行四边形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。

3) 在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使△AMP≌△AMB?如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理由。

题目四:三角形问题在△ABC中,∠ABC=45°,tan∠ACB=1.把△XXX的一边BC放置在x轴上,有OB=14,OC=AC与y轴交于点E。

1) 求AC所在直线的函数解析式。

2) 过点O作OG⊥AC,垂足为G,求△OEG的面积。

抛物线与直角三角形结合的解题方法

抛物线与直角三角形结合的解题方法

抛物线与直角三角形结合的解题方法【最新版3篇】篇1 目录1.引言:抛物线与直角三角形的结合问题在数学题目中十分常见,本文将探讨如何利用抛物线的性质和直角三角形的特征来解题。

2.抛物线的基本性质:介绍抛物线的定义、标准方程和顶点坐标等基本概念。

3.直角三角形的特征:介绍直角三角形的定义、直角边和斜边的关系等特征。

4.抛物线与直角三角形结合的解题方法:通过实例分析,讲解如何利用抛物线和直角三角形的性质求解相关问题。

5.结论:总结抛物线与直角三角形结合的解题方法,并鼓励读者在实际解题中灵活运用。

篇1正文一、引言在数学题目中,抛物线与直角三角形的结合问题常常出现,这类问题不仅考验了学生的计算能力,还考验了他们的几何直观和逻辑思维能力。

为了更好地解决这类问题,本文将从抛物线的基本性质和直角三角形的特征出发,探讨如何利用它们来解题。

二、抛物线的基本性质抛物线是平面上到定点距离与到定直线距离相等的点的轨迹。

它有以下基本性质:1.抛物线的定义:设焦点 F 和直线 l,满足到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线。

2.标准方程:抛物线的标准方程为 y^2=2px,其中 p 为焦点到准线的距离。

3.顶点坐标:抛物线的顶点坐标为 (0, p)。

三、直角三角形的特征直角三角形是指有一个内角为 90 度的三角形,它有以下特征:1.定义:有一个内角为 90 度的三角形称为直角三角形。

2.直角边和斜边的关系:直角三角形的两条直角边的长度满足勾股定理,即 a^2 + b^2 = c^2,其中 a、b 为直角边,c 为斜边。

四、抛物线与直角三角形结合的解题方法在解决抛物线与直角三角形结合的问题时,我们可以利用抛物线的性质和直角三角形的特征,通过以下几个步骤来求解:1.画图:首先画出抛物线和直角三角形,标出已知条件。

2.寻找关键点:观察图形,找到可能对解题有帮助的关键点,如抛物线的顶点、直角三角形的直角顶点等。

中考数学微专题6 等腰三角形、直角三角形形存在性问题

中考数学微专题6 等腰三角形、直角三角形形存在性问题

如图 4,当∠BDC=90°时, 线段 BC 的中点 T3,-32,BC=3 5, 设 D(3,m),∵DT=21BC, ∴|m+23|=3 2 5, ∴m=325-32或 m=-325-23, ∴D3,325-32或 D3,-325-23; 综上所述:△BCD 是直角三角形时,D 点坐标为(3,6)或(3,-9)或3,-325-32或3,325-32.
解:(1)对直线 y=-34x+3,当 x=0 时,y=3,当 y=0 时,x=4, ∴点 B(4,0),C(0,3), ∵抛物线过点 A(-2,0),点 B(4,0), ∴抛物线为 y=a(x+2)(x-4), 将点 C(0,3)代入得:-8a=3, ∵a=-38,
∴抛物线为:y=-38(x+2)(x-4)=-38x2+34x+3, ∵x=4-2 2=1 时,y=287.
∴DBHG=CBGH,即33=B6G, ∴BG=6,∴D(3,6);
如图 3,当∠BCD=90°, 过点 D 作 DK⊥y 轴交于点 K, ∵∠KCD+∠OCB=90°,∠KCD+∠CDK=90°, ∴∠CDK=∠OCB, ∴△OBC∽△KCD, ∴KOCB=OKCD,即K6C=33, ∴KC=6,∴D(3,-9);
解:(1)∵抛物线C:y=(x-2)2向下平移6个单位 长度得到抛物线C1, ∴C1∶y=(x-2)2-6, ∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2. ∴C2∶y=(x-2+2)2-6,即y=x2-6;
(2)过点A作AC⊥x轴于点C,过B作BD⊥AC于点D, 设A(a,(a-2)2-6),则BD=a-2,AC=|(a-2)2-6|, ∵∠BAO=∠ACO=90°, ∴∠BAD+∠OAC=∠OAC+∠AOC=90°, ∴∠BAD=∠AOC, ∵AB=OA,∠ADB=∠OCA, ∴△ABD≌△OAC(AAS), ∴BD=AC, ∴a-2=|(a-2)2-6|, 解得,a=4或a=-1(舍),或a=0(舍),或a=5, ∴A(4,-2)或(5,3);

中考数学复习总结探究抛物线中特定三角形的存在性问题

中考数学复习总结探究抛物线中特定三角形的存在性问题

探究抛物线中特定三角形的存在性以抛物线为载体、满足某种条件的几何图形是否存在的问题,是中考的热点和难点.解决这类问题的关键是,弄清函数与几何图形之间的联系,在解题过程中将函数问题几何化,几何问题数量化,数形统一,同时要学会将大题分解为小题,各个击破,本文选取“抛物线中特定三角形的存在性”为例,说明这类问题的解题策略.一、抛物线中等腰三角形的存在性例1(湖南湘西州中考题)如图1,已知抛物线y =-14x 2+bx +4与x 轴相交于A 、B 两点,与y 轴相交于点C ,若已知A 点坐标为A (-2,0).(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程;(2)求C 点坐标,连结AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式;(3)试判断△AOC 与△COB 是否相似?并说明理由;(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使△ACQ 为等腰三角形,若存在,求出符合条件的Q 点坐标;若不存在,请说明理由.解 (1)易得抛物线解析式为配方得,y =()2125344x --+, 所以对称轴方程为x =3;(2)在213442y x x =-++中,令x =0, 则y =4,所以点C(0,4).令y =0,则2134042x x -++= 解得x 1=8,x 2=-2,∴A (-2,0),B(8,0).设直线BC 的解析式为y =kx +b ,把B(8,0),C(0,4)的坐标分别代入解析式,解得直线BC 的解析式为142y x =-+; (3) △AOC ∽△COB .理由:在△AOC 与△COB 中∵OA =2,OC =4,OB =8, ∴2141,4282OA OC OC OB ==== ∴OA OC OC OB =.又∠AOC =∠BOC =90°,∴△AOC ∽△COB ;(4)因为抛物线的对称轴方程为x =3,Q 点在对称轴x =3上,如图2.点评 本题点的移动贯穿始终,其中对于等腰三角形的确定需要分类讨论,在具体求点Q 坐标时,还要充分注意图形的几何特点,利用数形结合思想.二、抛物线中的直角三角形的存在性例2 (广州市中考题)如图3,抛物线y =-38x 2-34x +3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C .(1)求点A 、B 的坐标;(2)设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时,求点D 的坐标;(3)若直线l 过点E(4,0),M 为直线l 上一动点,当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l 解析式.解 (1)A (-4,0),B(2,0)(过程略);(2)因为抛物线y =-38x 2-34x +3的对称轴为x =-1, 与y 轴交点C 的坐标为(0,3),所以直线AC 的解析式为y =34x +3.且当x =-1时,有y =94,所以直线AC 与对称轴x =-1的交点H 的坐标为(-1,94). 因为AB =6,CO =3,所以△ACB 的面积为,S △ACE =9.不妨设点D 的坐标为(-1,m ),如图4,则△ACD 的面积为S △ACD =12×DH ×AO =9.当点D 位于AC 上方时,DH =m -94, 代入解得m =274; 当点D 位于AC 下方时,DH =94-m , 代入解得m =-94.所以点D 的坐标为 (-1,274),或(-1,-94) (3)如图5,以AB 为直径作⊙P ,当且仅当直线l 与⊙P 相切时符合题意.因为Rt △PME 中,∠PME =90°,PM =3,PE =5,所以由勾股定理,可得ME =4.利用三角形相似可以求得点M 的坐标M (45,125) 设直线l 的解析式为y=kx+b ,代入M (45,125),E(4,0),解得 4125540k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,即343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以直线l 的解析式为y =-34x +3 同理可得直线l 的另一个解析式为y =34x -3. 点评 此题借助于几何图形的知识考查函数的综合应用,这是初中阶段的重点,解答这类题型时要注意数形结合、综合分析思考,第3问具有较高的区分度,对学生的能力要求特别高,学生必须具有较强的观察能力、分析能力和综合运用知识的能力.三、抛物线中相似三角形的存在例3 (山东日照中考题)已知,如图6,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(x1,0),B(x2,0),C(0,-2),其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F,过点E作⊙M的切线交x轴于点N.∠ONE=30°,128x x-=.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)连结AD、BD,在(1)中的抛物线上是否存在一点P,使得△ABP与△ADB相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由;(3)如图7,点Q为弧EBF上的动点(Q不与E、F重合),连结AQ交y轴于点H,问:AH·AQ是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.(2)如图8,由抛物线的对称性可知:AD=BD,△ADB为等腰三角形.若在抛物线对称轴的右侧图象上存在点P,使△ABP与△ADB相似,必须有∠BAP=∠BPA=∠BAD.设AP交抛物线的对称轴于D’点,显然同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得与△PAB与△ADB相似;点评解决存在性问题的基本思路是:先假设存在,然后根据问题的已知条件去探索,但对于按部分条件得出的结论,还需要验证是否满足题目的全部要求.。

抛物线与三角形知识点

抛物线与三角形知识点

抛物线与三角形知识点引言在数学中,抛物线和三角形是两个重要的几何概念。

抛物线是一种特殊的曲线,具有许多有趣的特性和应用。

三角形则是由三条线段组成的多边形,是几何学中最基本的形状之一。

本文将以“抛物线与三角形知识点”为主题,分步骤介绍这两个概念。

抛物线抛物线是由平面上到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹。

它有一个对称轴和一个焦点。

下面是抛物线的一些重要概念和性质: 1. 焦点和直线:抛物线上的每个点到焦点的距离等于该点到直线的距离。

这是抛物线定义的基本特性。

2. 对称轴:抛物线的对称轴是通过焦点和垂直于直线的一条直线。

抛物线上的任意两个点关于对称轴对称。

3. 标准方程:抛物线的标准方程是y = ax^2 + bx + c,其中a、b、c是常数。

通过调整这些常数的值,可以改变抛物线的形状和位置。

4.抛物线的焦距:焦距是焦点到对称轴的距离。

焦距与抛物线的形状相关,可以用来描述抛物线的“胖瘦”程度。

三角形三角形是由三条线段组成的多边形。

它有三个顶点、三条边和三个内角。

下面是三角形的一些重要概念和性质: 1. 内角和:三角形的三个内角之和是180度。

这是三角形的基本性质。

2. 三边关系:三角形的三边之间有一些特殊的关系。

例如,三边关系定理中的余弦定理和正弦定理可以用来计算三角形的边长和角度。

3. 直角三角形:一个角为90度的三角形被称为直角三角形。

直角三角形有一些特殊的性质,例如勾股定理,它描述了直角三角形的边长之间的关系。

4. 等边三角形:三个边长相等的三角形被称为等边三角形。

等边三角形的三个内角均为60度。

抛物线与三角形的关系抛物线与三角形之间存在一些有趣的关系。

以下是其中两个重要的关系: 1. 贝塞尔曲线:贝塞尔曲线是由一组控制点和插值点定义的曲线,其中控制点位于抛物线上。

贝塞尔曲线在计算机图形学和设计等领域有广泛的应用。

2. 斜抛运动:当我们以一定的初速度和角度将物体抛出时,它的运动轨迹将是一个抛物线。

2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题9二次函数综合之等腰直角三角形和等边三角形的判定

2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题9二次函数综合之等腰直角三角形和等边三角形的判定

等边三角形的判定【经典例题1】如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O ,矩形ABCD 的顶点A ,D 在抛物线上,且AD 平行x 轴,交y 轴于点F ,AB 的中点E 在x 轴上,B 点的坐标为(2,1),点P (a ,b )在抛物线上运动.(点P 异于点O )(1)求此抛物线的解析式.(2)过点P 作CB 所在直线的垂线,垂足为点R ,①求证:PF=PR ;②是否存在点P ,使得△PFR 为等边三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;③延长PF 交抛物线于另一点Q ,过Q 作BC 所在直线的垂线,垂足为S ,试判断 △RSF 的形状.【解析】(1)∵抛物线的顶点为坐标原点,∴A 、D 关于抛物线的对称轴对称;∵E 是AB 的中点,∴O 是矩形ABCD 对角线的交点,又B(2,1)∴A(2,−1)、D(−2,−1);由于抛物线的顶点为(0,0),可设其解析式为:y=ax 2,则有:4a =−1,a =−41 ∴抛物线的解析式为:y=−41x 2.(2)①证明:由抛物线的解析式知:P(a ,−41a 2),而R(a ,1)、F(0,−1), 则:PF=222)141()0(+-+-a a ,PR=1−(−41a 2)=41a 2+1. ∴PF=PR.②由①得:RF=42+a ;若△PFR 为等边三角形,则RF=PF=PR ,得:42+a =41a 2+1,即:161a 4−21a 2−3=0,得: a 2=−4(舍去),a 2=12;∴a =±23,−41a 2=−3; ∴存在符合条件的P 点,坐标为(23,−3)、(−23,−3).③同①可证得:QF=QS ;在等腰△SQF 中,∠1=21(180°−∠SQF); 同理,在等腰△RPF 中,∠2=21(180°−∠RPF); ∵QS ⊥BC 、PR ⊥BC ,∴QS ∥PR ,∠SQP+∠RPF=180°∴∠1+∠2=21(360°−∠SQF−∠RPF)=90° ∴∠SFR=180°−∠1−∠2=90°,即△SFR 是直角三角形。

中考数学复习:专题3-11 抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略

中考数学复习:专题3-11 抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略

抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略【专题综述】动态问题是近几年来中考数学的热点题型,常与存在性问题结合,这类问题综合性较强,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,解题时要特别关注运动和变化过程中的不变量、不变关系和特殊关系.本文以中考题为例,对二次函数背景下,一些特殊三角形存在性问题的解题策略进行探究.【方法解读】一、探究等腰三角形的存在性例1 如图1,已知抛物线y=ax2+b x+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)易得y=-x2+2x-3;(2)分析由图知,A,B两点关于抛物线的对称轴对称,那么根据对称性以及两点之间线段最短可知,若连结BC,那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点.易求得BC的函数关系式为y=-x+3,当x=1时,y=2,所以P(1,2);评注例1(3)中,由于△MAC的腰和底不明确,因此要分上述三种情况来讨论.可先设出M的坐标,然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长,再分别按三种情况列式求解.同学们可根据上述解题思路分析解决下题:如图2,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒53个单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t>0).(1)当t=3秒时,直接写出点Ⅳ的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;(2)在此运动的过程中,△MNA的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由;(3)当t为何值时,△MNA是一个等腰三角形?二、探究直角三角形的存在性例2 如图3,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)求直线BC的函数表达式;(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限.①当线段PQ=34AB时,求tan∠CED的值;②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.评注例2(3)②中直角三角形的存在性问题有三部曲:先罗列三边,再分类列方程,后解方程检验.罗列三边时,应将三边由同一变量的表达式进行表示,分类列方程的分类标准为直角顶点的不同,求解后注意取舍.三、探究相似三角形的存在性例3 如图4,已知二次函数y=148(x+2)(a x+b)的图象过点A(-4,3),B(4,4).(1)求二次函数的解析式:(2)求证:△ACB是直角三角形;(3)若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直戈轴于点H,是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.评注由动点产生的相似三角形问题的一般解题途径为:①若两个三角形各边均未给出,则应先设所求点的坐标,进而用变量表达式来表示各边的长度,再利用相似关系列方程求解.②求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出其是否为特殊三角形,再根据未知三角形中,已知边与已知三角形中边的对应情形分类讨论.【强化训练】1.(2017辽宁省辽阳市)如图,抛物线223y x x =--与y 轴交于点C ,点D 的坐标为(0,﹣1),在第四象限抛物线上有一点P ,若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形,则点P 的横坐标为( )A .12+B .12-C . 21-D .12-或12+2.(2017山东省莱芜市)二次函数2y ax bx c =++(a <0)图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣3,1,与y 轴交于点C ,下面四个结论: ①16a ﹣4b +c <0;②若P (﹣5,y 1),Q (52,y 2)是函数图象上的两点,则y 1>y 2;③a =﹣13c ;④若△ABC 是等腰三角形,则b =﹣273.其中正确的有 (请将结论正确的序号全部填上) 3.如图,二次函数2y ax bx c =++(a >0)图象的顶点为D ,其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1和3,则下列结论正确的是( )A .2a ﹣b =0B .a +b +c >0C .3a ﹣c =0D .当a =12时,△ABD 是等腰直角三角形 4.已知直线33y x =-+与坐标轴分别交于点A ,B ,点P 在抛物线21(3)43y x =--+上,能使△ABP为等腰三角形的点P 的个数有( )A .3个B .4个C .5个D .6个5. 如图,抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ,点D (0,1),点P 是抛物线上的动点.若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形,则点P 的坐标为 .6. 如图1,抛物线23[(2)]5y x n =--+与x 轴交于点A (m ﹣2,0)和B (2m +3,0)(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,连结BC . (1)求m 、n 的值;(2)如图2,点N 为抛物线上的一动点,且位于直线BC 上方,连接CN 、BN .求△NBC 面积的最大值; (3)如图3,点M 、P 分别为线段BC 和线段OB 上的动点,连接PM 、PC ,是否存在这样的点P ,使△PCM 为等腰三角形,△PMB 为直角三角形同时成立?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 7.(2017辽宁省盘锦市)如图,直线y =﹣2x +4交y 轴于点A ,交抛物线212y x bx c =++ 于点B (3,﹣2),抛物线经过点C (﹣1,0),交y 轴于点D ,点P 是抛物线上的动点,作PE ⊥DB 交DB 所在直线于点E . (1)求抛物线的解析式;(2)当△PDE 为等腰直角三角形时,求出PE 的长及P 点坐标;(3)在(2)的条件下,连接PB ,将△PBE 沿直线AB 翻折,直接写出翻折点后E 的对称点坐标.8.(2017四川省雅安市)如图,已知抛物线2y x bx c =++的图象经过点A (l ,0),B (-3,0),与y 轴交于点C ,抛物线的顶点为D ,对称轴与x 轴相交于点E ,连接BD . (1)求抛物线的解析式.(2)若点P 在直线BD 上,当PE =PC 时,求点P 的坐标.(3)在(2)的条件下,作PF ⊥x 轴于F ,点M 为x 轴上一动点,N 为直线PF 上一动点,G 为抛物线上一动点,当以点F ,N ,G ,M 四点为顶点的四边形为正方形时,求点M 的坐标.9.(2017四川省眉山市)如图,抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,已知A (3,0),且M (1,83-)是抛物线上另一点. (1)求a 、b 的值;(2)连结AC ,设点P 是y 轴上任一点,若以P 、A 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形,求P 点的坐标; (3)若点N 是x 轴正半轴上且在抛物线内的一动点(不与O 、A 重合),过点N 作NH ∥AC 交抛物线的对称轴于H 点.设ON =t ,△ONH 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式.10.(2017内蒙古包头市)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线232y x bx c =++与x 轴交于A (﹣1,0),B (2,0)两点,与y 轴交于点C . (1)求该抛物线的解析式;(2)直线y =﹣x +n 与该抛物线在第四象限内交于点D ,与线段BC 交于点E ,与x 轴交于点F ,且BE =4EC . ①求n 的值;②连接AC ,CD ,线段AC 与线段DF 交于点G ,△AGF 与△CGD 是否全等?请说明理由;(3)直线y =m (m >0)与该抛物线的交点为M ,N (点M 在点N 的左侧),点 M 关于y 轴的对称点为点M ',点H 的坐标为(1,0).若四边形OM 'NH 的面积为53.求点H 到OM '的距离d 的值.。

抛物线中的直角三角形存在性问题

抛物线中的直角三角形存在性问题
y P2
P1 x
A
PC
y
P2
P3 A
P1 x
例2、(2015•枣庄)如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A( , )
和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物
线于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若
中考压轴题分类专题 抛物线中的直角三角形
科目:初中数学
基本题型
已知线段AB,抛物线 y ax2 bx ca 0,点P在抛物线上(或坐标
轴上,或抛物线的对称轴上),若 ABP 为直角三角形,求点P坐标。 分两大类进行讨论:
所需知识点
一、任意两点的斜率公式:
已知两点 P(x1, y1), Q(x2 , y2), 则直线PQ的斜率:
kPQ

y1 y2 x1 x2
二、(与坐标轴不垂直的)两直线垂直的斜率关系:
y1 k1x b1, y2 k2 x b2, 若y1 y1,则k1 k2 -1.
例1、(2009•成都)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=a(x+1)2+c(a>0)与x轴交
于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为M,若直线MC的函数表达式为
c=﹣3,那么要求抛物线的解析式还缺少一个点的坐标,可根据OC=3,
以及∠BCO的余弦值在直角△BCO中运用勾股定理求出OB的长,也就
得出了B的坐标,进而可求出抛物线的解析式.
1 O1
(2)假设存在这样的点P,那么要分两种情况进行讨论: x ①当PN是另外一条直角边时,可先求出直线MC的函数解析式,再求出
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在抛物线y=x2-x-2上是否存在点P ,使△PAC是以AC 为直角边的三角形?若存在,求出所有符合条件的点 P的坐标;
①当PCA 90 时
0
y=x2-x-2
1 7 P 1 ( , ) 2 4
②当PAC 90 时
0
1 3 P2 ( , ) 2 4
(-1,0) A
O
(0,-2)C
1.已知:如图一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交于点A, 与y轴交于点B;二次函数y=0.5x2+bx+c的图象与一 次函数的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D 点坐标为(1,0) (1)求二次函数的解析式; (2)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是直角三角形?若 存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由.
题型1.一动点类型
C
C
C
C
自学检测2(5分钟)
如图,已知抛物线y=-1/4x2+bx+4与x轴相交于A、B两 点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(-2,0) (1 ( 4)求抛物线的解析式及它的对称轴方程; )在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ (2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线 为等腰三角形?若存在,求出符合条件的 Q点坐标; 的解析式; 若不存在,请说明理由 (3)试判断△AOC与△COB是否相似?并说明理由
自学指导2(6分钟)
已知:O为坐标原点,A(2, 1),点P是x轴上一 动点,当△AOP直角三角形求P点坐标y
A
0
x
已知:O为坐标原点,A(2,4),点P是直线x=3 上一动点,当△AOP是直角三角形求P点坐标.
A A
P1
0
P3
P4
0
3 3
P2
两线一圆
4.如图,已知二次函数y=ax2+2x+3的图象与x轴交 于点A、点B,与y轴交于点C,其顶点为D, tan∠OBC=1 (1 4)求点 )在该二次函数的图象上是否存在点 P(点P ( B的坐标; 2+2x+3 与点 B、a C的值和二次函数 不重合),使得△ PBC 是以BC 为一条直 ( 2)求 y=ax 的顶点坐标; 角边的直角三角形?若存在,求出点 P的坐标, ( 3)求直线DC的解析式; 若不存在,请你说明理由
当堂训练(10分钟)
2.如图9,抛物线 y ax 8ax 12a(a 0) 与轴交 于A,B两点(点A在点B的左侧),抛物线上另有一 点C在第一象限,满足∠ACB为直角,且恰使 △OCA∽△OBC. y (1)求线段OC的长.: (2)求该抛物线的函数关系式.
2
(3)在X轴上是否存在点P, 使△BCP为等腰三角形? 若存在,求出所有符合 条件的点P的坐标;若不 O 存在,请说明理由.
3.如图矩形OABC中,A(0,8),C(6,0) 抛物线y=-4/9x2+bx+c经 过A、C两点,与AB边交于点D. (1)求抛物线的函数表达式; (2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一 个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S. ①求S关于m的函数表达式,并求出m为何值时,S取得最大值; ②当S最大时,在抛物线y=-4/9x2+bx+c的对称轴l上若存在点F, 使△FDQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的F的坐标; 若不存在,请说明理由.
B
C
P3 M A
x
P4
1.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、 C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴. (1)求抛物线的函数关系式; (2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最 小时,求点P的坐标; (3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形? 若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不 存在,请说明理由.
y
9 8 7 6 5
3
4
2 1
3 2 1
0
1 2 3 4 5 1 2
二次函数存在性
——等腰和直角三角形问题
回顾:
1、如图,0为坐标原点,D(4,3),在x轴上找一点P使得 与O点,D点构成等腰三角形,这样的等腰三角形能画 多少个?并求出P点坐标.
y
D x
O
①当OD=OP时
y D
②当DO=DP时
y D
③当PO=PD时
y
E
D x
P1
O
P2
x O
B
P4
x
O
P3 F
OP OD 3 4 5
2 2
P1 5,0, P2 5,0
PB OB 4
P 8,0
4
5 OP 5 25 OE OP 8 2 5 4
①利用两腰相等
②利用“三线合一”
25 ,0 P3 8
③利用图形相似或 勾股定理
2
两圆一线
2、如图,已知点A(1,0)、点B (-3,0)和点C(0,3). 直线x=-1与x轴交于点M ,问在直线x=-1上是否存在 点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出 所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由
P1
y
先找点,后求解
P2
找点方法:两圆一线
C
AD
B
x
图9
1. 已知抛物线y=ax 2+bx+c(a>0)的图象经过点B(12, 0)和C(0,-6),对称轴为直线x=2. (1)求该抛物线的解析式: (2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段 AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某 一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使 线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒) 和点Q的运动速度;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的结论 下,直线x=1上是否 存在点M,使△MPQ 为等腰三角形?若存在, 请求出所有点M的坐标; 若不存在,请说明理 由.
2.如图,抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A、B两点(点A在 点B的左侧),与y轴交于点C,点C与点F关于抛物线的 对称轴对称,直线AF交y轴于点E,|OC|:|OA|=5:1. (1)求抛物线及直线AF的解析式; (2)在直线AF上是否存在 点P,使△CFP是直角三角形? 若存在,求出P点坐标;若不 存在,说明理由. (3)在抛物线上是否存在点M, 使△ACM是以AC为直角边的三 角形?若存在,求出M点坐标; 若不存在,说明理由.
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