竖直面内的圆周运动集锦

竖直面内的圆周运动

1、如图1所示，是绳子牵引下的小球在竖直面内作圆周运动，如图2所示，是在轨道约束下在竖直面内作圆周运动的小球，它们的共同特点是，在运动到最高点时均没有物体支承小球，下面讨论小球在竖直平面内作圆周运动通过最高点的情况：

（1）临界条件；绳子和轨道对小球没有力的作用

根据牛顿第二定律得

即

这个速度可理解为恰好转过或恰好转不过的速度．

（2）能过最高点的条件：（当时绳、轨道对球分别产生拉力、压力）

（3）不能过最高点的条件：（实际上球还没有到最高点就脱离了轨道）

2、如图3所示，是杆子约束下的小球在竖直面内作圆周运动，如图4所示，是在轨道约束下在竖直面内作圆周运动的小球，它们的共同特点是，在运动到最高点时均有物体支承小球，下面讨论小球在竖直平面内作圆周运动通过最高点的情况：

（1）临界条件：（支承物对物体的支持力等于mg）

（2）当，即，如图5所示支承物对物体既没有拉力也没有支持力．

当，即，如图3所示支承物对物体产生拉力、且拉力随v增大而增大．如图4所示，小球将脱离轨道作平抛运动，因为轨道不能对它产生拉力．

当，即，如图5所示支承物对物体产生支持力，且支持力随v减少而增大，范围是0~mg。

火车转弯

如图1所示，如果火车转弯处内外轨无高度差，火车行驶到此处时，由于火车惯性的缘故，会造成外轨内侧与火车外轮的轮缘相互挤压现象，使火车受到外轨内侧的侧压力作用．迫使火车转弯做圆周运动．但是这个侧压力的反作用力，作用在外轨上会对外轨产生极大的破坏作用，甚至会引起外轨变形，造成翻车事故．

其实火车转弯的向心力并不是侧压力提供的，那么是什么力作为向心力的呢？如图2所示，在转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车

的支持力的方向不再是竖直的，而是斜向弯道内侧，它与重力G的合力指向

圆心，成为使火车转弯的向心力．

设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车

转弯的规定速度为．由图2所示力的三角形得向心力为：

由牛顿第二定律得：

所以：

即火车转弯的规定速度：

讨论（1）当火车行驶速率v等于规定速度时，，内、外轨道对

轮缘都没有侧压力．

（2）当火车行驶速度v 大于规定速度

时， ，外轨道对轮缘有侧压力．

（3）当火车行驶速度v 小于规定速度

时， ，内轨道对轮缘有侧

压力． 重力场中竖直面内圆周运动的最小速度

只在重力场中竖直面内的圆周运动是典型的非匀速圆周运动，对于物体通过最高点的临界速度，即最小速度问题，是高一学生学习的难点，下面我们将它分为两种情况进行分析。

一、 没有支撑物的物体在竖直面内做圆周运动时，通过最高点的情况。

1．轻质绳：当做圆周运动的物体受绳牵拉时，绳对物体的作用力可以有，可以无，如果有作用力只能是拉力。在竖直面内运动到最高点时绳有无拉力要依据速度判定。如图，在最高点：小球重力和绳子拉力的合力提供向心力。

2T v F mg m R += , 2T v F m mg R

=- 由上式可知，当v 减小时，F T 随v 的减小而减

小；

当F T = 0时，小球做圆周运动的向心力只由重力m

g 提供，此时向心力最小，则速度具有最小值min v 。 由2min v mg m

R =可得：min v 。当

v ≥

2．外轨道：当物体是沿只有外侧轨道做圆周运动时（如过山车），如果轨道提供作用力，只能是垂直支撑面向内的压力，也可以不提供作用力。

例题：过山车是常见的刺激娱乐项目，可以简

化为下面问题。竖直平面内的圆形轨道半径为R 。

过山车从倾斜轨道滑下进入圆形轨道，在竖直轨道

上做圆周运动，求在圆形轨道最高点车的最小速

度。

解析：过山车在竖直圆形轨道做圆周运动时，小车所受的支持力与重力的合力充当向心力，而车经最高点恰好不掉下来，就是车没有离开圆轨道，又对轨道

无压力，则 即过山车的最小速度至少为。

点评：当车速小于

，重力大于向心力，车就要在到达最高点之前脱离轨道而作斜抛运动。 当车速大于则轨道的支持力与重力的合力充当向心力，轨道给车有向下的压力，车可以做完整的圆周运动。

上述球绳模型与外轨道模型的受力情况相同，分析方法也是一样的。

二、有支撑物的物体在竖直平面内做圆周运动时，过最高点的情况。

1．轻质杆：当物体与杆的一端固定连接，绕杆的另一端为轴在竖直面内做圆周运动时，杆对物体的作用力可以有拉力，可以有压（推）力，也可以没有，

要视物体在该点的速度大小而定。即 2

N v m g F m R

±=

2．管道轨道：当物体沿光滑管道做圆周运动时，管道

提供的作用力可以是只由内侧提供（指向上），也可

以是只由外侧提供（指向下），也可以内外侧均不提

供作用力。

球杆模型与竖直面内光滑管道中的小球的运动

也具有相同的受力特点，由于杆（或管壁）对球可以产

生向上的支持力作用，当0N mg F -=时，此时向心力最小，因此小球能到达最高点的临界速度min 0v =。所以球要作完整圆周运动，最高点速度0v 〉。

思考：请同学们试着分析球以不同速度过最高点时，轻杆（管道）对球产生的弹力情况？

小结：只在重力场中做竖直面内的圆周运动的物体，分析它的最小速度时，关键是要根据题意，对物体在最高点进行受力分析．．．．

，确定向心力，建立向心力方程，并讨论最小向心力，根据最小向心力，推导出最小速度。

竖直平面内的圆周运动及实例分析

竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。

一、两类模型——轻绳类和轻杆类

1．轻绳类。运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高