罗尔定理

1 x ∴ln(1 + x) − ln1 = [(1 + x) −1] = , 1+ ξ 1+ ξ
由于 < ξ < x，因此 0
1 1 < < 1, 1+ x 1+ ξ
进而知
x x < < x, 1+ x 1+ ξ
即
x < ln(1 + x) < x . 1+ x
说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利 用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明 不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.
作辅助函数
f (b) − f (a) ϕ(x) = f (x) − f (a) − (x − a) b−a
即可.ϕ(x)的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线 弧两端点连线对应的纵坐标之差.
f (b) − f (a) (x − a). 证 令 ϕ(x) = f (x) − f (a) − b−a
由于f(x)在[a,b]上连续，因此 ϕ(x) 在[a,b]上连续. 由于f(x)在(a,b)内可导，因此 ϕ(x) 在(a,b)内可导. 又由于
则至少存在一点 ∈ (a,b)，使f ' (ξ ) = 0. ξ
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
罗尔定理几何意义： 若曲线弧在[a,b]上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧 上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个 端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点， 过该点的切线必定平行于x轴.
上述近似公式有两点不足：源自文库1. 精度往往不能满足实际需要； 2. 用它作近似计算时无法估计误差. 因此希望有一个能弥补上述两个不足的近似公式. 在实际计算中，多项式是比较简单的函数，因此希望 能用多项式
P (x) = a0 + a1(x − x0 ) + a2 (x − x0 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + an (x − x0 ) n
2
3 π C. f (x) = sin x, x ∈[− π, ] . 2 2 D. f ( x) =| x |, x ∈[−1,1] .
分析 注意罗尔定理的条件有三个: (1)函数y=f(x) 在 [a,b]上连续.(2)f(x)在(a,b)内可导.(3)f(a)=f(b).
1 不难发现 f (x) = ，在[－2,0]上不满足连续的 x 条件，因此应排除A.
x, 0 ≤ x ≤ 1, 再如 f (x) = f(x) 在(0,1)内可导， 0, x = 1, f(0)=0=f(1)，但是f(x)在[0,1]上不连续，本例不存在
ξ ∈(0,1), 使f ′(ξ ) = 0.
还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必 要条件.也就是说，定理的结论成立，函数未必满足定 理中的三个条件.即定理的逆命题不成立. 例如 f (x) = (x −1)2 在[0,3]上不满足罗尔定理的条 件 ( f (0) ≠ f (3)), 但是存在 ξ = 1∈(0,3) ，使 f ′(1) = 0 .
第一节 微分中值定理
一、引理 二、罗尔定理 三、拉格朗日中值定理 四、柯西中值定理 五、泰勒公式
一、引理
引理 设f(x)在 x0 处可导,且在 x0 的某邻域内恒有
f (x) ≤ f (x0 )(或f (x) ≥ f (x0 )), 则有 f ′(x0 ) = 0 .
二、罗尔定理
定理4.1 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
f (b) − f (a) 则问题可解决. 能导出 f ′(ξ ) = ， b−a
拉格朗日中值定理的几何意义： 如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直 于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 (ξ , f (ξ )), 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.
弦线的方程为
f (b) − f (a) y = f (a) + (x − a) . b−a
f (x0 + ∆x) − f ( x0 ) = f ′(x0 + θ∆x)∆x, 0 < θ < 1
或
∆y = f ′(x0 + θ∆x)∆x, 0 < θ < 1,
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论： 推论1 若 f ′(x)在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必 为某常数. 事实上，对于(a,b)内的任意两点 x1, x2 ，由拉格朗 日中值定理可得
1 (arctan x)′ = 1+ x2
从而有
arctan b − arctan a =
由于1 + ξ 2 ≥ 1，因此
1 1+ ξ
2
(b − a), a < ξ < b .
| arctan b − arctan a |=
1 1+ ξ
2
| b − a |≤| b − a | .
x < ln(1 + x) < x . 例5 当x>0时,试证不等式 1+ x 分析 ln(1 + x) = ln(1 + x) − ln1
例如f(x)=|x|在[－1,1]上连续，且f(－1)=f(1)=1,但 是|x|在(－1,1)内有不可导的点，本例不存在 ξ ∈(−1,1), 使 f ' (ξ ) = 0. 又如f(x)=x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，但是 f(0)=0，f(1)=1，本例不存在ξ ∈(0,1) ，使 f ′(ξ ) = 0 .
分析 由题目中所给的条件可知，函数y=f(x)在[a,b]上 满足罗尔定理条件，可知至少存在一点 ξ ∈(a, b), 使得 f ′(ξ ) = 0. 又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在 (ξ , f (ξ )) 处的切线斜率为零，即切线平行于x轴.因此本 例应选B.
例3 选择题.函数 f (x) = 2x2 − x +1在区间[－1,3]上满 足拉格朗日中值定理的 ξ =( ). 3 A. − ; B. 0; C. 3; D. 1 . 4 分析 由于 f (x) = 2x2 − x +1在[－1,3]上连续，在(－1,3) 内可导，因此f(x)在[－1,3]上满足拉格朗日中值 定理条件. 由拉格朗日定理可知，必定存在 ξ ∈ (−1,3), 使
对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可 导，因此应排除Ｄ. 综合之，本例应单选Ｃ.
例2 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导， f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线( A.仅有一条； C.不一定存在； B.至少有一条； D.不存在. ).
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
五、泰勒公式
由微分的概念知道，如果y=f(x)在点 x0 处可导， 则有 ∆y = dy + o(∆x)，即
f (x) − f (x0 ) = f ′(x0 )( x − x0 ) + o(x − x0 )
三、拉格朗日中值定理
定理4.2 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
f (b) − f (a) 则至少存在一点 ξ ∈ (a, b)，使f ′(ξ ) = . b−a 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 ϕ(x), 使 ϕ(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由ϕ' (ξ ) = 0
上述结论对b<a也成立.
如果f(x)在(a,b)内可导， 0 ∈(a, b), x0 + ∆x ∈(a, b), 则 x 在以 x0与x0 + ∆x为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日 中值定理，即
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f ′(ξ )∆x,
其中ξ为x0与x0 + ∆x 为之间的点.也可以记为
2
n
来近似表达函数f(x)，并使得当x → x0 时， f ( x) − P ( x) n 为比 (x − x0 )n高阶的无穷小,还希望能写出 f ( x) − P ( x) n 的具体表达式，以便能估计误差.
设f(x)在含x0的某区间(a,b)内有n阶导数，为了使 与f(x)尽可能相近，希望
P (x0 ) = f (x0 ) (在x0处相等) n P′ (x0 ) = f ′(x0 ) (在x0处有相同的切线 ) n P′′(x0 ) = f ′′(x0 ) (x0处两条曲线有相同的弯 曲方向 ) n
[ f (x) − g(x)]′ = f ′(x) − g′(x) = 0.
由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.
例1 选择题.选出符合题意的选项. 下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有 ( ).
1 A. f (x) = , x ∈[−2,0] . x
B. f (x) = (x − 4) , x ∈[−2,4] .
f (x2 ) − f (x1) = f ′(ξ )(x2 − x1) = 0,
ξ 位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性
可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.
推论2 若在(a,b)内恒有 f ′(x) = g′(x) ，则有 f(x)=g(x)+C, 其中C为某常数. 事实上，由已知条件及导数运算性质可得
取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x. 则f(t)=ln(1+t) 在区间[0,x]上满足拉格朗日中值 定理，因此必有一点 ξ ∈ (0, x) 使得.
f (x) − f (0) = f ' (ξ )x.
1 1 Q f (t) = ln(1 + t)， ' (t) = ， ' (ξ ) = , f f 1+ t 1+ ξ
四、柯西中值定理
定理4.3 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续， (2)在开区间(a,b)内都可导， (3)在开区间(a,b)内，g′(x) ≠ 0,
f ′(ξ ) f (b) − f (a) 则至少存在一点ξ ∈ (a,b)，使 = . g′(ξ ) g(b) − g(a)
因此当| x − x0 | 很小时，有近似公式
f (x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )( x − x0 ) .
从几何上看，上述表达式可以解释为:在点x0的附 近用曲线y=f(x)在点 ( x0 , f ( x0 ))处的切线来代替曲线 y=f(x).(简言之，在点x0附近，用切线近似曲线.)
f (b) − f (a) f ′(ξ ) = . b−a 由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(－1)=4,而f ′(ξ ) = 4ξ −1 .
因此有
16 − 4 4ξ −1 = = 3. 3 − (−1)
可解得 ξ = 1 ，因此本例应选D.
例4 试证 | arctan b − arctan a |≤| b − a | . 对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变 量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x. 证 设f(x)=arctan x ,不妨设a<b . 由于arctan x在[a,b]上连续，在(a,b)内可导. 因此arctan x在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件. 可知必定存在一点 ξ ∈(a, b) , 使得 f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) . 由于
ϕ(a) = 0 = ϕ(b),
因此 ϕ(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少 存在一点 ξ ∈(a, b)，使 ϕ′(ξ ) = 0 ，即
f (b) − f (a) f ′(ξ ) − = 0, b−a
f (b) − f (a) ，或表示为 从而有f ′(ξ ) = b−a
f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a).
对于 f (x) = (x − 4)2，在[－2,4]上连续，在(－2,4) 内可导；f(－2)=36，f(4)=0，f (−2) ≠ f (4) ，因此 应排除B.
3 π 3 π 对于f (x) = sin x，在 − π, ]上连续 在(− π, )内 [ , 2 2 2 2 可导,
3 π 3 π f (− π) = 1 = f ( ). 因此sin x在 − π, ]上满足罗 [ 2 2 2 2 尔定理应选C. .