罗尔中值定理及其应用
中值定理及其应用
第三章 中值定理及其应用一．基础题１．验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间［65,6ππ］上的正确性．证 函数x x f s i n ln )(=在［65,6ππ］上连续，在（65,6ππ）内可导，又1()ln sin ln 662f ππ==，21ln 65sin ln )65(==ππf 即)65()6(ππf f =，故)(x f 在［65,6ππ］上满足罗尔定理条件，由罗尔定理知至少存在一点)65,6(ππξ∈，使0)('=ξf ．又，x x x x f cot sin cos )('==，令0)('=x f 得2ππ+=n x （ ,2,1,0±±=n ）． 取0=n ，得)65,6(2πππξ∈=．因此罗尔定理对函数x y sin ln =在区间]65,6[ππ上是正确的．２．试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间．证 任取数值a ，b ，不妨设b a <，函数r qx px x f ++=2)(在区间［b a ,］上连续，在（b a ,）内可导，故由拉格朗日中值定理知至少存在一点),(b a ∈ξ，使))(()()('a b f a f b f -=-ξ，即 ).)(2(22a b q p r qa pa r qb pb -+=---++ξ 经整理得2ba +=ξ．即所求得的ξ总是位于区间的正中间． ３．不用求出函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)('=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间．解 函数)(x f 分别在]4,3[],3,2[],2,1[上连续，分别在)4,3(),3,2(),2,1(内可导，且0)4()3()2()1(====f f f f ．由罗尔定理知至少存在)4,3(),3,2(),2,1(321∈∈∈ξξξ，使 0)()()(3'2'1'===ξξξf f f ．即方程0)('=x f 至少有三个实根，又方程0)('=x f 为三次方程，故它至多有三个实根，因此方程0)('=x f 有且仅有三个实根，它们分别位于区间)4,3(),3,2(),2,1(内．４．证明恒等式：)11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π．证 取函数()arcsin arccos ,(1,1)f x x x x =+∈-．因01111)(22'≡---=xxx f ，故C x f ≡)(．取0=x ，得2)0(π==C f ．从而当(1,1)x ∈-时,有arcsin arccos 2x x π+=.又1,1x =-时, 也有arcsin arccos 2x x π+=,因此2arccos arcsin π=+x x ，]1,1[-∈x ．５．若方程01110=+++--x a x a x a n n n 有一个正根0x x =，证明方程0)1(12110=++-+---x a x n a nx a n n n 必有一个小于0x 的正根．证 取函数x a x a x a x f n n n 1110)(--+++= ．)(x f 在],0[0x 上连续，在),0(0x 内可导，且0)()0(0==x f f ，由罗尔定理知至少存在一点),0(0x ∈ξ，使0)('=ξf ，即方程0)1(12110=++-+---x a x n a nx a n n n 必有一个小于0x 的正根．６．若函数)(x f 在（b a ,）内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中b x x x a <<<<321．证明：在（31,x x ）内至少有一点ξ，使得0)(''=ξf ．证 根据题意知函数)(x f 在],[],,[3221x x x x 上连续，在),(),,(3221x x x x 内可导且)()()(321x f x f x f ==，故由罗尔定理知至少存在点)(),,(3,22211x x x x ξξ∈，使0)()(2'1'==ξξf f又)('x f 在],[21ξξ上连续，在),(21ξξ内可导，故由罗尔定理知至少存在点),(),(2121x x ⊂∈ξξξ使0)(''=ξf ．７．设0>>b a ，1>n ，证明：)()(11b a na b a b a nbn n n n -<-<---．证 取函数nx x f =)(，)(x f 在],[a b 上连续，在),(a b 内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点),(a b ∈ξ，使))(()()('b a f b f a f -=-ξ， 即 )(1b a n b a n nn-=--ξ．又 1,0><<<n a b ξ故1110---<<<n n n a b ξ．因此 )()()(111b a na b a n b a nbn n n -<-<----ξ， 即 )()(11b a na b a b a nbn n n n -<-<---．８．设0>>b a ，证明：bba b a a b a -<<-ln ． 证 取x x f ln )(=，)(x f 在],[a b 上连续，在),(a b 内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点),(a b ∈ξ，使))(()()('b a f b f a f -=-ξ，即 )(1ln ln b a b a -=-ξ．又a b <<<ξ0，故ba 1110<<<ξ， 因此 b ba b a a b a -<-<-ξ， 即 bba b a a b a -<<-ln ． ９．证明：当1>x 时，x e e x ⋅>．证 取函数te tf =)(，)(t f 在],1[x 上连续，在),1(x 内可导．由拉格朗日中值定理知，至少至少存在一点),1(x ∈ξ，使),1)(()1()('-=-x f f x f ξ即 )1(-=-x e e e xξ．又，x <<ξ1，故e e >ξ，因此)1(-=-x e e e x，即 x e e x⋅>．10．设)(x f 、)(x g 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，证明在),(b a 内有一点ξ，使)()()()(b g a g b f a f ＝)()()()()(''ξξg a g f a f a b -． 证 取)()()()()(x g a g x f a f x F =，由)(x f 、)(x g 在［b a ,］上连续，在（b a ,）内可导 知)(x F 在［b a ,］上连续，在（b a ,）内可导，由拉格朗日中值定理知至少存在一点),(b a ∈ξ，使))(()()('a b F a F b F -=-ξ．而 )()()()()(b g a g b f a f b F =，0)()()()()(==b g a g b f a f a F ，)(0)(0)('x g x f x F =＋)()()()(''ξξg a g f a f ＝)()()()(''ξξg a g f a f 故)()()()()()()()()(''a b g a g f a f b g a g b f a f -=ξξ 11．证明：若函数)(x f 在),(+∞-∞内满足关系式)()('x f x f =，且(0)1,f =则()e x f x =．证 取()()ex f x G x =，则由2()e e ()()()()0e e x x x x f x f x f x f x G x ''--'===，得()G x C =．又(0)()1G C f x ===，因此()1G x =．即()1ex f x =．12.设函数()y f x =在0x =的某邻域内具有n 阶导数，且(1)(0)(0)(0)0n f f f -'====，试用柯西中值定理证明：()()(),(01)!n n f x f x x n θθ=<<．证 取()ng t t =，则由假设()f t 及()g t 的表达式知，()f t 及()g t 在由0与x 组成的区间上满足柯西中值定理的条件，因此有111()()()(0)0n n n n f f x f x f x x n ξξ-'-==-，其中1ξ在0与1之间． 又 1121112112()()(0)()0(1)n n n n f f f f n n n n n ξξξξξξ----'''''-==--， 其中2ξ能在0与1ξ之间． 如此类推，得()1)(1)(1)1111()()()(0)!!!0!n n n n n n n f f f f n n n n ξξξξξ------==-， 其中n ξ能在0与1n ξ-之间． 因此 ()()(),(01)!n n f x f x x n θθ=<<． 13．设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且对(,)a b 内的一切x ，有()()()()0f xg x f x g x ''-≠ 证明：若()f x 在(,)a b 内有两个相邻的零点，则介于这两个零点之间，()g x 至少有一个零点．证 采用反证法．若()g x 在12(,)x x 之间没有零点，其中1212,()x x x x <为()f x 在(,)a b 内有两个相邻的零点．显然12()0,()0g x g x ≠≠，若不然由11()()0g x f x ==或22()()0g x f x ==，得1111()()()()0f x g x f x g x ''-≠或2222()()()()0f x g x f x g x ''-≠，这与假设矛盾．取()()()f x F xg x =，则()F x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，又 111()()0()f x F x g x ==，222()()0()f x F xg x ==． 即12()()F x F x =，从而()F x 在12[,]x x 上满足罗尔定理条件，于是存在12(,)(,),x x a b ξ∈⊂使得2()()()()()0()f g f g F g ξξξξξξ''-'==． 即 ()()()()0f g f g ξξξξ''-=．这与假设矛盾．故结论成立．14．用洛必达法则求下则极限：（1）1ln(1)lim arc t x x co x→+∞+； （2）2120lim e x x x →； （3）sin 0e e lim sin x x x x x →--； （4）e 2arctan lim e x x x x x x π→∞+-；（5）lim(1)x x a x →∞+；（6）sin 0lim xx x +→；（7）tan 01lim xx x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭． 解（1）2222211111ln(1)111lim lim lim lim 111arc t 11x x x x x x x x x co x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭++++====+-++． （2）22221111220000221e ()e lim e limlim lim e 11()x x x x x x x x x x x x →→→→'⋅====+∞'． （3）sin sin sin sin sin 0000e e e 1e 1lim lime lime lim sin sin sin x x x xx x x xx x x x x x x x x x --→→→→---==⋅---sin sin 00e (1cos )limlim e 11cos x x x x x x x x--→→-===-． （4）因为当x →+∞时，e x→+∞，arctan 2x π→．当x →-∞时，e 0x→，arctan 2x π→-，所以碰到当x →∞，被求极限函数含有e x或arctan x 时，应分别求x →+∞及x →-∞时的函数极限，并以此判断当x →∞时函数是否有极限．22e 2arctan e 2arctan 1lim lim e e x x x x x x xx x x x x ππ→+∞→+∞++++=-- ＝22e 12arctan 1lim11e xxx x x x π--→+∞+++=-． 22e 2arctan e 2arctan 1lim lim 1e e x xx x x x xx x x x x ππ→-∞→-∞++++==--．故e 2arctan lim 1e x x x x xxπ→∞+=-． （5）221()1ln(1)ln(1)limlimlimlim111lim ln(1)1lim(1)eee eee x x x x x aa aa x a x x x aa x x a xxx xxx a x→∞→∞→∞→∞→∞-+++-++→∞+======．（6）sin 0lim xx x +→002001sin ln limlim11lim sin ln lim 0eeeee 1x x x x x xx x x xxxx ++→→++→→--======．（7）00201tan ln limlim tan 111lim tan ln lim 001lim eeee e 1x x x x x xx xx x xx xx x x ++→→++→→+--⋅-→⎛⎫======⎪⎝⎭．15.验证极限201sinlimsin x x x x →存在,但不能用洛必达法则得出.解 因为2111(sin )2sin coslimlim (sin )cos x x x x x x x x x →∞→∞'-='不存在,所以只能说不能用洛必达法则来求极限cos lim x x xx→∞+,但不能说该极限不存在.事实上,此极限可用下面方法来求:200001sin11limlim(sin )lim limsin 100sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x→→→→=⋅=⋅=⋅=. 16.讨论函数11120,(1),e ()e ,0xxx x f x x -⎧>⎡⎤+⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎪⎪⎪≤⎪⎩在点0x =处的连续性.解 因为 10011(1)1lim ln 11e limln(1)100(1e lim()lim e eex x x x xx xx x x x x f x +→+→++⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦→→⎡⎤+⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦2000111ln(1)11limlimlim 2(1)22eeee x x x x xx x xx+++→→→--+-+-+====.112200lim ()lim e e x x f x ----→→==.所以12lim ()lim ()e x x f x f x -+-→→==,故函数()f x 在点0x =处连续.17.按所给条件,解答下列各题:(1) 求函数()ln f x x =按(2)x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式; (2) 求函数()tan f x x =的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式.;(3) 验证当102x <≤时,按公式23e 126xx x x ≈+++计算e x 的近似值时,所产生误差小于0.01的,,使误差小于0.01.(4) 应用三阶泰勒公式求sin18的近似值,并估计误差.解 (1) 2131231112!()(ln )(,()()(1),()(1)f x x f x f x x x x x --'''''''''====-=- (4)4143!()(1)f x x -=-,一般地有()1(1)!()(1)k k kk f x x--=-(1,2,,)k n =. 于是 ()1(1)!(2)(1)2k k k k f --=- (1,2,,)k n =.故 ()2(2)(2)ln (2)(2)(2)(2)(2)[(2)]2!!n n n f f x f f x x x x n ο'''=+-+-++-+- 23331111ln 2(2)(2)(2)(2)[(2)]22322n nx x x x x n ο=+---+-++-+-⋅⋅.. (2) 因为22()(tan )sec ,()2sec tan ,f x x x f x x x ''''===224(4)234()4sec tan 2sec ,()8sec tan 16sec tan ,f x x x x f x x x x x '''=+=+ 所以(0)0,(0)1,(0)0,(0)2,f f f f ''''''====从而(4)2234345(0)(0)()1(sin 2)sin tan (0)(0)2!3!4!33cos f f f x f f x x x x x x x ξξξξ'''''+'=++++=++其中ξ介于0,x 之间.(3)设()e ,x f x =则()()()e ,(0)1n x n f x f ==,故数()f x 的3阶麦克劳林公式为234e e 1,2!3!4!xx x x x ξ=++++其中ξ介于0,x 之间.按23e 126x x x x ≈+++计算e x的近似值,其误差为3()R x =4e 4!x ξ.当102x <≤时,102ξ<<, 142331()0.00450.014!2R x ⎛⎫≤≈< ⎪⎝⎭,23111111()() 1.64522262≈+++≈.(4)sin x 的三阶泰勒公式为355sin()2sin ,3!5!x x x x ξπ+=-+其中ξ介于0,10π之间.故 355411sin18sin 0.3090, 2.551010103!105!10R ππππ-⎛⎫⎛⎫==-=≤≈⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.利用泰勒公式求下列极限:(1)lim ;x →+∞(2)[]2220cos elimln(1)x x x x x x -→-+-;解(1)lim lim x x x →+∞→+∞= 131121lim 1()1()34x x x x x x οο→+∞⎡⎤=+⋅+-+⋅+⎢⎥⎣⎦1()33lim 122x x x ο→+∞⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2) []22422424222002211()1()()()cos e 24!222lim lim ln(1)()2x x x x x x x x x x x x x xx x x x οοο-→→-++-----+-=+-⎡⎤⎛⎫+--+⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦ 4444400444111()1()14!81212lim lim 111()6()222x x x x x x x x x xοοοο→→⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭====-+--+. 19.确定下列函数的单调区间:(1)3210496y x x x=-+;(2)0)y a =>; (3)sin 2y x x =+. 解 (1)所给函数除0x =外在(,)-∞+∞处处可导,且22222221120()(1)10(12186)2(496)(496)x x x x y x x x x x x -----+'==-+-+. 令0,y '=得驻点121,12x x ==.由驻点121,1x x ==及0x =划分区间(,)-∞+∞列表如下:由上表可知给函数在(,0),(0,],[1,)2-∞+∞内单调减少,在[,1]2上单调增加.(2) 所给函数在(,),(,22a a a -∞）,(,)a +∞内可导,当12,2ax x a ==时,函数不可导,26a x y ⎛⎫-- ⎪'=. 令0,y '=得驻点323a x =.由点12,2a x x a ==323ax =划分区间(,)-∞+∞列表如下:由上表可知给函数在(,),[,)3a a -∞+∞内单调增加,在[,]3a a 上单调减少. （3）所给函数的定义域为(,)-∞+∞,且sin 2,,2(0,1,2,)sin 2,(1),2x x n x n y n x x n x n ππππππ⎧+≤≤+⎪==±±⎨⎪-+<≤+⎩ 12c o s 2,,2(0,1,2,)12c o s 2,(1),2x n x n y n x n x n ππππππ⎧+<<+⎪'==±±⎨⎪-+<<+⎩ 令0,y '=得驻点3x n ππ=+及56x n ππ=+(0,1,2,)n =±±,按照这些驻点划分区间(,)-∞+∞为55(,),(,),(,),(,(1))332266n n n n n n n n ππππππππππππππ+++++++其中0,1,2,n =±±.当5,326n x n n x n πππππππ<<++<<+时,0y '>,因此函数在[,]223k k πππ+上单调增加(0,1,2,)k =±±;当5,(1)326n x n n x n πππππππ+<<++<<+时,0y '<,因此函数在[,]2322k k ππππ++上单调减少(0,1,2,)k =±±. 20.证明下列不等式: (1) 当02x π<<时,sin tan2x x x +>； (2) 当02x π<<时,31tan 3x x x >+; (3) 当4x >时,22x x >;(4) 当01x <<时,22(1)ln (1)x x x ++<;(5) 当02x π<<时,2sin x x x π<<.证 (1) 当02x π<<时,令()f x =sin tan 2x x x +-,则221()cos sec 2cos 2220cos f x x x x x '=+-=+-≥=>. 因此当02x π<<时,()f x 单调增加,从而()(0)0f x f >=,即当02x π<<时,sin tan 2x x x +-0>,也就是sin tan 2x x x +>.(2) 当02x π<<时,令()f x =31tan 3x x x --,则2222()sec 1tan f x x x x x '=--=-.取()tan g x x x =-.当02x π<<时,由22()sec 1tan 0g x x x '=-=>知()g x 单调增加,因此()tan 0g x x x =->,即当02x π<<时,tan x x >,从而22tan x x >.于是()0f x '>,故当02x π<<时,()f x 单调增加,从而()(0)f x f >=,即当02x π<<时, 31tan 03x x x -->0>,也就是31tan 3x x x >+.(3) 当4x >时,令()f x =22x x -,则()2ln 22x f x x '=-, 222()2ln 222(ln 4)2x x f x -''=-=- .当4x >时,()0f x ''>,()f x '单调增加,从而3()(4)2ln 480f x f ''>=->,故当4x >时,()f x 单调增加,从而()(4)0f x f >=.即当4x >时,即22x x >.(4) 当01x <<时,令()f x =22(1)ln(1),x x x ++-,则(0)0f =.2()ln (1)2ln(1)2,(0)0f x x x x f ''=+++-=1()[ln(1)]0ln(1)f x x x x ''=+-<+ .所以当01x <<时,()f x '单调减少,从而()(0)0f x f ''<=,故当01x <<时, ()f x 单调减少,从而()(0)0f x f <=.即当01x <<时,即22(1)ln (1)x x x ++<.(6) 先证当02x π<<时, sin x x <.令()f x =sin x x -, 则当02x π<<时,有()1cos 0f x x '=->.因此当02x π<<时,()f x 单调增加,从而()(0)0f x f >=,即当02x π<<时, sin x x >0>.再证当02x π<<时,2sin x x π<,即证sin 2x x π>. 令sin 2()x g x x π=-, 则当02x π<<时,有22cos sin cos ()(tan )0x x x xg x x x x x-'==-<. 因此当02x π<<时,()g x 单调减少,从而()()02g x g π<=,即当02x π<<时,sin 2x x π>, 亦2sin x x π<.21.讨论方程ln x ax =(其中0a >)有几个实根.解 取()ln ,(0,),f x x ax x =-∈+∞则1()f x a x '=-.令()0f x '=,得驻点1x a=. 当10x a <<时,()0f x '>,因此函数()f x 在1(0,)a 内单调增加,当1x a<<+∞时,()0f x '<,因此函数()f x 在1(,)a +∞内单调减少.从而1()f a为最大值,由0lim (),lim ()x x f x f x +→+∞→=-∞=-∞,知(i)在11()ln10f a a =-=即1ea =时, 曲线()ln f x x ax =-与x 轴仅有一个交点,这时方程ln x ax =有惟一实根.(ii)在11()ln 10f a a =->即10ea <<时, 曲线()ln f x x ax =-与x 轴有两个交点,这时方程ln x ax =有两个实根.(iii)在11()ln 10f a a =-<即1ea >时, 曲线()ln f x x ax =-与x 轴没有交点,这时方程ln x ax =没有实根.22.求下列函数图形的拐点及凹或凸区间.(1)2ln(1)y x =+: (2)arctan e xy =.解 由22222(1)(1),1(1)x x x y y x x -+'''==++,令0y ''=得121,1x x =-=.当1x -∞<<-时,0y ''<,因此曲线在(,1]-∞-内是凸的; 当11x -<<时,0y ''>,因此曲线在[1,1]-内是凹的; 当1x <<+∞时,0y ''<,因此曲线在[1,]+∞内是凸的; 故所给曲线有两个拐点(1,ln 2),(1,ln 2)-.(2) 由arctan arctan 22212()12e,e 1(1)x x x y y x x --'''==++,令0y ''=得12x =. 当12x -∞<<时, 0y ''>,因此曲线在1(,]2-∞内是凹的;当12x <<+∞时,0y ''<,因此曲线在1[,]2+∞内是凸的; 故所给曲线有两个拐点为1arctan 21(,e)2. 23.利用函数图形的凹凸性,证明下列不等式:(1)1()(0,0,,1);22nn n x y x y x y x y n +⎛⎫+>>>≠> ⎪⎝⎭(2)ln ln ()ln(0,0,).2x yx x y y x y x y x y ++>+>>≠ 证 (1)令(),(0,)n f t t t =∈+∞,则12(),()(1)n n f t nt f t n n t --'''==-.从而当1n >且(0,)t ∈+∞时,()0f t ''>.因此函数()n f t t =在(0,)+∞内图形是凹的,故对于任意0,0,x y x y >>≠,恒有1[()()](),22x yf x f y f ++>即 1()(0,0,,1)22nn n x y x y x y x y n +⎛⎫+>>>≠> ⎪⎝⎭.(2) 令()ln ,(0,)f t t t t =∈+∞,则1()ln 1,()0f t t f t t'''=+=>..因此函数()ln f t t t =在(0,)+∞内图形是凹的,故对于任意0,0,x y x y >>≠,恒有1[()()](),22x yf x f y f ++>即1(ln ln )ln (0,0,)222x y x y x x y y x y x y +++>>>≠, 亦即ln ln ()ln (0,0,).2x yx x y y x y x y x y ++>+>>≠24.解答下列各题:(1) 证明曲线211x y x -=+的三个拐点在同一条直线上; (2) 问a 、b 为何值时，(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点？(3) 试决定曲线32y ax bx c d =+++中的a 、b 、c 、d ，使得2x =-处曲线有水平切线，(1,10)-为拐点，且点(2,44)-在曲线上．(4) 试决定22(3)y k x =-中k 的值，使曲线的拐点处的法线过原点；(5) 设()y f x =在0x x =的某个邻域内具有三阶连续导数，如果0()0,f x ''=而0()0,f x '''≠试问00(,())x f x 是否为拐点？为什么？解（1）22221,(1)x x y x -++'=+32232326622(1)[(2(2(1)(1)x x x x x x y x x --++--''==++． 令0y ''=，得1231,22x x x =-==当1x -∞<<-时，0y ''<，因此曲线在(,1]-∞-内是凸的，当12x -<<0y ''>，因此曲线在(1,2--内是凹的，当22x -<+0y ''<，因此曲线在(22内是凸的，当2x +<<+∞时，0y ''>，因此曲线在(2)+∞内是凹的，由上可知点(1,1),(2--+为曲线的三个拐点．又14==，因此这三个拐点在同一条直线上．（２）由232,626()3b y ax bx y ax b a x a '''=+=+=+，令0y ''=，得03b x a=-．当3b x a -∞<<-时，0y ''<，因此曲线在(,]3b a -∞-内是凸的；当3bx a-<<+∞时，0y ''>，因此曲线在(,)3b a -+∞内是凹的；当03b x a=-时，3230223327b b b y a b a a a⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故点322(,)327b b a a -为曲线的惟一的拐点．因此要使(1,3)为拐点，必须321,32 3.27b a ba ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解之得39,22a b =-=． （3）232,62y ax bx c y ax b '''=++=+．依题中条件有(2)44,(2)0,(1)10,(1)0y y y y '''-=-==-=．即84244,1240,10,620.a b c b a b c a b c d a b -+-+=⎧⎪-+=⎨+++=-⎪+=⎩解之得1,3,24,16a b c d ==-=-=．（４）222(3)24(3),12(1))(1).y k x x kx x y k x x '''=-⋅=-=-+令0y ''=，得121,1x x =-=．当1x -∞<<-时，0y ''>，因此曲线在(,1]-∞-内是凹的， 当11x -<<时，0y ''<，因此曲线在(1,1]-内是凸的， 当1x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在(1,)∞内是凹的， 故(1,4),(1,4)k k -为由线的拐点．从而由18x y k ='=-得过点(1,4)k 的法线方程为14(1)8y k x k-=-，要使该法线过原点，则(0,0)在法线方程上，从而有104(01),8k k-=-解之得8k =±． 又由18x y k ='=得过点(1,4)k -的法线方程为14(1)8y k x k-=-+，要使该法线过原点，则(0,0)在法线方程上，从而有104(01),8k k-=-+解之得k =所以，当8k =±时，所给曲线的拐点处的法线过原点．（５）由0()0f x '''≠，我们不妨设0()0f x '''<．又()f x '''在0x x =的某个邻域内连续，所以必存在0δ>，当00(,)x x x δδ∈-+时()0f x '''<，故在00(,)x x δδ-+内()f x ''单调减少．而由0()0f x ''=知：当00(,)x x x δ∈-时，0()()0f x f x ''''>=，即函数()f x 在00(,)x x δ-内的图形是凹的；当00(,)x x x δ∈+时，0()()0f x f x ''''<=，即函数()f x 在00(,)x x δ-内的图形是凸的，因此点00(,())x f x 是拐点．2５．求下列函数的极值：（1）223441x x y x x ++=++； （2）e cos xy x =； （3）1x y x =； 解 （１）函数的定义域为(,)-∞+∞，在(,)-∞+∞内可导，且()()222222(64)(1)(21)(344)(2)11x x x x x x x x y xx xx +++-+++-+'==++++。
罗尔中值定理应用举例
罗尔中值定理应用举例
1:中值定理简介
中值定理是数学中一个重要的定理。
它说，如果一个曲线在两个点上的切线相等，那么在这两点之间，这个曲线必须经过这两点的中点，也就是中值点。
在复变函数中，如果在给定的两点之间存在一个曲线，使得这两个点的求导值相等，那么这个曲线于这两点之间必过一点。
这点就是所谓的中点。
象征性地说，这个定理可以帮助我们在决定函数特征时找到最优解。
2:马罗尔中值定理
马罗尔中值定理，也称为“表示定理”，是由维也纳数学家安东尼·马罗尔提出的数学定理之一。
这个定理的主要意思是：对任意一个函数，如果它在两点之间满足一定条件，那么它存在一组参数，这组参数可以表示函数在两个点之间的任意曲线。
马罗尔中值定理使用了中值定理，它补充和推广了中值定理，它重要地指出在两者之间存在什么样的曲线，以及它们如何实现最优曲线。
3:马罗尔中值定理的应用
马罗尔中值定理在工程应用中非常广泛。
在几何中，马罗尔中值定理可以用来构造色系和材料的拉伸型的曲线，这也是工程设计中最常用的曲线。
它还可用于计算曲线和折线之间的最佳近似关系，以及求解不通过曲线的椭圆的空间位置问题。
除此之外，马罗尔中值定理
也被应用在分析几何学，几何重建和光照建模中。
比如，它可用于构造几何重建中的单双峰物体，以及几何光照建模中的室内软着色器。
总而言之，马罗尔中值定理在工程应用中具有重要意义，可以极大提升工程设计效率，为工程实践提供科学依据。
罗尔中值定理例题
罗尔中值定理例题罗尔中值定理是微积分中的一个重要定理，它是微积分中的基本定理之一，也是求解微积分问题的基础。
本文将以罗尔中值定理的例题为基础，详细阐述罗尔中值定理的概念、定理及其应用。
一、罗尔中值定理的概念罗尔中值定理是微积分中的基本定理之一，它是指在某一区间内，如果一个函数在两个端点上取相同的值，那么这个函数在这个区间内必然存在一个点，使得这个点的导数等于零。
更具体地说，如果一个函数f(x)在区间[a,b]上满足以下两个条件：1. f(a) = f(b)2. f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
二、罗尔中值定理的定理罗尔中值定理的定理可以用如下的方式来表述：设函数f(x)在区间[a,b]上满足以下两个条件：1. f(a) = f(b)2. f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
三、罗尔中值定理的应用罗尔中值定理的应用非常广泛，它可以用来证明一些数学定理，也可以用来求解一些实际问题。
下面我们将介绍一些罗尔中值定理的应用。
1.证明定理罗尔中值定理可以用来证明一些数学定理，比如费马定理。
费马定理是指在一个函数的极值点处，该函数的导数等于零。
如果一个函数在某一个区间内没有极值点，那么就可以用罗尔中值定理来证明费马定理。
2.求解实际问题罗尔中值定理可以用来求解一些实际问题，比如汽车行驶中的速度问题。
假设一辆车在某一个路段上行驶，它的速度在两个端点上相同，那么就可以用罗尔中值定理来求解这个路段上的平均速度。
四、罗尔中值定理的例题下面我们将介绍一些罗尔中值定理的例题，以帮助读者更好地理解罗尔中值定理的概念和应用。
例题1：证明函数f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[-1,1]上至少有一个零点。
解法：首先，我们可以计算出f(-1) = -3和f(1) = -1，因此f(-1) = f(1)。
微分中值定理的证明以及应用
微分中值定理的证明以及应用1 微分中值定理的基本内容微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的三个定理 ,它们分别是罗尔(R olle )中值定理 、拉格朗日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理 .具体内容如下 :1.1 罗尔中值定理[2]如果函数f 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续 ; (2)在开区间(,)a b 内可导 ;(3)在区间端点的函数值相等,即()f a f b （）=,那么在区间(,)a b 内至少有一点a b ξξ（<<）,使函数()y f x =在该点的导数等于零,即'()0f ξ=. 1.2 拉格朗日中值定理[2]如果函数f 满足： (1)在闭区间[,]a b 上连续;(2)在开区间,a b （）内可导.那么,在,a b （）内至少有一点a b ξξ（<<）,使等式()()()=f a f b f b aξ-'-成立.1.3 柯西中值定理[2]如果函数f 及g 满足: (1)在闭区间[,]a b 上都连续; (2)在开区间,a b （）内可导; (3)'()f x 和'()g x 不同时为零; (4)()()g a g b ≠则存在,a b ξ∈（）,使得 ()()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ'-='-2 三定理的证明2.1 罗尔中值定理的证明[2]根据条件在闭区间[,]a b 上连续和闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,若函数()f x 在闭区间上连续,则函数()f x 在闭区间[,]a b 上能取到最小值m 和最大值M ,即在闭区间[,]a b 上存在两点1x 和2x ,使12(),()f x m f x M==且对任意[,x a b ∈],有()m f x M ≤≤.下面分两种情况讨论:①如果m M =,则()f x 在[,]a b 上是常数,所以对(,)x a b ∀∈,有()=0f x '.即,a b （）内任意一点都可以作为c ,使()=0f c '. ②如果m M <,由条件()=()f a f b ,()f x 在[,]a b 上两个端点a 与b 的函数值()f a 与()f b ,不可能同时一个取最大值一个取最小值,即在开区间,a b （）内必定至少存在一点c ,函数()f x 在点c 取最大值或最小值,所以()f x 在点c必取局部极值,由费尔马定理,有'()=0f c .2.2 拉格朗日中值定理的证明[2]作辅助函数()()()()f b f a F x fx a b x f a a--=-（）-（-） 显然,()()(0)F a F b ==,且F 在[,]a b 满足罗尔定理的另两个条件.故存在,a b ξ∈（）,使 ()()''()f b f a F f b aξξ--（）=-=0移项即得()()'()=f b f a f b aξ--2.3 柯西中值定理的证明[2]作辅助函数()()()g()-g()()g(f b f a F x f x f a x a g b a --（）=-()-（））易见F 在[,]a b 上满足罗尔定理条件,故存在(,)a b ξ∈,使得()()''()g'()=0()g(f b f a F f g b a ξξξ--（）=-）因为g'()0ξ≠(否则由上式'()f ξ也为零）,所以把上式改写成()'()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ-='-证毕3 三定理的几何解释和关系3.1 几何解释[1]罗尔中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦(或x轴).拉格朗日中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦.柯西中值定理在曲线()()f xyxg x=⎧⎨=⎩(其中x为参数,a x b<<)存在一点,使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点((),()),((),())A f a g aB f b g b的弦.综上所述,这三个中值定理归纳起来,用几何解释为:在区间[,]a b上连续且除端点外每一点都存在不垂直于x轴的切线的曲线,它们有个共同的特征()y f x=在曲线上至少存在一点,过该点的切线平行于曲线端点的连线.3.2 三定理之间的关系[3]从这三个定理的内容不难看出它们之间具有一定的关系.利用推广和收缩的观点来看这三个定理.在拉格朗日中值定理中,如果()()f a f b=,则变成罗尔中值定理,在柯西中值定理中,如果()F x x=,则变成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.反之,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例.总的来说,这三个定理既单独存在,相互之间又存在着联系.从上面的讨论中可以总结得到,罗尔中值定理是这一块内容的基石,而拉格朗日中值定理则是这一块内容的核心,柯西中值定理则是这一块内容的推广应用.4 三定理的深层阐述4.1 罗尔中值定理4.1.1 罗尔中值定理结论[8](1) 符合罗尔中值定理条件的函数在开区间,a b （）内必存在最大值或最小值. (2) 在开区间,a b （）内使'()=0f x 的点不一定是极值点. 例如 函数3()(53)4xf x x =-在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理的三个条件, 由25'()3()4f x x x =- ,显然0x =,有'(0)=0f 成立,但0x =不是()f x 的极值点.如果加强条件, 可得如下定理:定理 1 若函数在闭区间,a b []上满足罗尔中值定理的三个条件,且在开区间,a b （）内只有唯一的一个点,使()=0f x '成立,则点x 必是()f x 的极值点.完全按照罗尔中值定理的证法,即可证得使()'=0f x 成立的唯一点x 就是()f x 在,a b （）内的最值点,当然是极值点. 4.1.2 逆命题不成立[3]罗尔中值定理的逆命题 设函数()y=f x 在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,若在点x 在,a b （）处,有()=0f x ',则存在,[,]p q a b ∈,使得()()=fp f q .例 函数3y x =,[,](0)x a a a ∈->,显然3y x =在,a a [-]上连续,在a a (-,)内可导,()=0f x ',但是不存在,[,]p q a a ∈- ,p q <,使得()()=f p f q .但如果加强条件,下述定理成立:定理2 设函数y ()f x =在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,且导函数()f x '是严格单调函数,则在点(,)x a b ∈处,有()=0f x '的充分必要条件是存在,[,]p q a b ∈,p q<,使得()()=f p f q .4.2 拉格朗日中值定理4.2.1 点x 不是任意的[7]拉格朗日中值定理结论中的点x 不是任意的. 请看下例:问题 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim ()x f x c →+∞=(c 为常数),则lim ()0x f x →+∞=这一命题正确吗?证明 设x 为任意正数,由题设知()f x 在闭区间[,2]x x 上连续,在开区间(,2)x x 内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点(,2)x x ξ∈,使得()(2)()=f x f x f xξ-',又因为li m ()x f x c →+∞=,故(2)()limx f x f x x→+∞-=.由于ξ夹在x与2x 之间,当x +→∞时,ξ也趋于+∞,于是lim '()lim '()0x x f x f ξ→+∞→+∞==.上述证明是错误的,原因在于ξ是随着x 的变化而变化,即()g x ξ=,但当+x →∞时,()g x 未必连续地趋于+∞,可能以某种跳跃方式趋于+∞,而这时就不能由()f ξ'趋于0推出lim ()0x f x →+∞=了.例如 函数()2s i n =x f x x满足l i m ()0x f x→+∞=,且2221'()2cos sin f x x xx=-在+∞（0，）内存在,但2221lim '()lim [2cos sin ]x x f x x x x→+∞→+∞=-并不存在,当然li m '()0x f x →+∞=不会成立.4.2.2 条件补充[5]定理 3 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim '()x f x →+∞存在,若lim '()x f x c→+∞=(c 为常数),则lim '()0x f x →+∞=.4.3 柯西中值定理柯西中值定理的弱逆定理[8]设()()f x g x ，在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,且'()'()f g ξξ严格单调,'()0g x ≠,则对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）, ,使得2121'()'()=[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ--成立.证明:对,a b ξ∀∈（）,作辅助函数 '()'()F x f x f g x ξξ（）=()-()g().显然,()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,并且由()()f x g x ，严格单调易知'()F x 也严格单调.由拉格朗日定理知,对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）,,使得 2121()()'()()F x F x F x x ξ-=-成立.而'()='()('()'())'()0F f f g g ξξξξξ-=所以有21()()0F x F x -=即2211['()('()'())'()]['()('()'())'()]0f x f g g x f x f g g x ξξξξ---=整理得2121'()'()[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ=--证毕.5 定理的应用三个定理的应用主要有讨论方程根的存在性、求极限、证明等式不等式、求近似值等.以下主要以例题的形式分别展示三个定理的应用.5.1 罗尔中值定理的应用例1 设(1,2,3,,)i a R i n ∈= 且满足1200231n a a a a n ++++=+ ,证明：方程2012++++0n n a a x a a x x = 在（0,1）内至少有一个实根. 证明: 作辅助函数23+1120231n n a a a F x a x x x xn +++++ （）=则=0(0F （）,=(1)F 0,Fx （）在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,故满足罗尔中值定理条件,因此存在(0,1)ξ∈,使'()0F ξ=,又2012'()++++0nn F x a a x a x a x==由此即知原方程在(0,1)内有一个实根.例2 设函数()f x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且()()0f a f b ==.试证: 在[,]0a b a >（）内至少存在一点ξ,使得'()f f ξξ=（）. 证明：选取辅助函数()()x F x f x e -=,则F x （）在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,(a)()0F F b ==,由R olle 定理,至少存在一点,a b ξ∈（）,使'()'()e['()()]0F f f f f ξξξξξξξξ---=-=-=（）e e因 0e ξ-> 即'()()=0f f ξξ-或'()=()f f ξξ.例 3 设函数()f x 于有穷或无穷区间,a b （）中的任意一点有有限的导函数()f x ',且0lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=,证明:'()0f c =,其中c 为区间,a b （）中的某点.证明: 当,a b （）为有穷区间时,设()(,)(),f x x a b F x A x a b ∈⎧=⎨=⎩，当时，当与时，其中0lim ()lim ()x a x b A f x f x →+→-==.显然()F x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且有()()F a F b =,故由R o l l e 定理可知,在,a b （）内至少存在一点c ,使'()=0F c .而在,a b （）内,'()'()F x f x =,所以'()=0F c .下设,a b （）为无穷区间,若,a b =-∞=+∞,可设tan ()22x t t ππ=-<<,则对由函数()f x 与tan x t=组成的复合函数g()(tan )t f t =在有穷区间()22ππ-，内仿前讨论可知:至少存在一点0t (,)22ππ∈-,使20g '()'()sec 0t f c t =⋅=,其中t a n c t =,由于20s e c 0t ≠,故'()=0f c .若a 为有限数,b =+∞,则可取0m a x {,0}b a >,而令00()b a t x b t-=-.所以,对复合函数00()g()()b a t t f b t-=-在有穷区间0,a b （）上仿前讨论,可知存在00t ,a b ∈（）使000200()g '()'()=0)b b a t fc b t -=⋅-（,其中0000()b a t c b t -=-,显然a c <<+∞由于00200())b b a b t ->-（,故'()=0fc .对于a =-∞,b 为有限数的情形,可类似地进行讨论.5.2 拉格朗日中值定理的应用例 4 证明0x >时,ln(1)1x x x x<+<+证明： 设()ln(1)f x x =+ , 则()f x 在[0,]x 上满足Lagrange 中值定理1ln(1)ln(10)ln(1)'(),(0,)10x x f x x xξξξ+-++===∈+-又因为111x ξ<+<+所以1111+1xξ<<+所以1ln(1)11+x xx+<<即ln(1)1x x xx<+<+例 5 已知()()()11112na n n n n n n n =++++++ ,试求lim n x na →.解： 令()2f x x=,则对于函数()f x 在()(),1n n k n n k +++⎡⎤⎣⎦上满足L a g r a n g e定理可得： ()()()()21211n n k n n k n n k n n k ξ++-+=++-+ ,()()()(),1n n k n n k ξ∈+++所以()()111221n k n k nnn n k n n k +++<-<+++当0,1,,1k n =- 时,把得到的上述n 个不等式相加得：()()()()211111222121n n n n n n n n n n+++<-<+++++ ()()11221n n n n ++++-即112222n n a a n n<-<+-故11022212n a n ⎛⎫<--<- ⎪⎝⎭所以lim 222n n a →∞=-例 6 求0.97的近似值. 解： 0.97是()f x x=在0.97x =处的值, 令001,0.97x x x x ==+∆=,则0.03x ∆=-, 由Lagrange 中值定理,存在一点0.97,1ξ∈（）(1)(0.97)'()0.03f f f ξ-=可取1ξ≈近似计算,得110.971+)'(0.03)1(0.03)0.9852x x =≈⋅-=+-=（5.3 柯西中值定理的应用例 7 设0x >,对01α<<的情况,求证1xx ααα-≤-.证明：当1x =时结论显然成立,当1x≠时,取[],1x 或[]1,x ,在该区间设()f x xα=,()F x x α=由Canchy 定理得：()()()()()()11f x f f F x F F ξξ'-='- (),1x ξ∈或()1,x ξ∈ 即111x x ααααξξααα---==-当1x >时,(),1x ξ∈,11αξ->即11x x ααα->-又()10x x ααα-=-<故1x x ααα->-即11x αα-<-当1x >时,()1,x ξ∈,11αξ-<则()10x x ααα-=->故1x x ααα->-即11x αα-<-证毕例 8 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,a b ≤≤（0）,()()f a f b ≠ ,试证 ,a b ξη∃∈，（）,使得'()'()2a b f f ξηξ+= .证明： 在等式'()'()2a b f f ξηξ+=两边同乘b a -,则等价于22'()'()()2f f b a b a ηξξ-=-（）,要证明此题, 只需要证明上式即可.在[,]a b 上,取()()F x f x =,G x x （）=,当,a b ξ∈（）时,应用Cauchy 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ξξ-=-即()()'()1f b f a f b aξ-=-在[,]a b 上,再取()()F x f x =,2G x x （）= ,当,a b η∈（）时,应用C a u c h y 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ηη-=-即22()()'()2f b f a f b aηη-=-即22'()'()()()2f f b a b a ηξξ-=-即'()'()2a b f f ξηξ+=例 9 设函数f 在[,]0a b a >（）上连续,在(,)a b 上可导.试证:存在(,)a b ξ∈使得()()'()lnb f b f a f aξξ-=证明： 设()ln g x x =,显然它在[,]a b 上与()f x 一起满足柯西中值定理条件,所以存在,a b ξ∈（）,使得 ()()'()1ln ln f b f a f b aξξ-=-整理后即得()()'()lnb f b f a f aξξ-=6 定理的应用总结 6.1 三定理的应用关系一般来说, 能用R o l l e 定理证得的也可用Lagrange 定理或C a u c h y 定理证得,因此,在解题的过程中根据问题本身的特点能选取合适的中值定理,以取得事半功倍的效果.如上面例9 利用R olle 中值定理.令()[()()]ln ()(ln ln )F x f b f a x f x b a =---,则()()F a F b -,所以存在,a b ξ∈（）使得'()0F x =, 即()()'()lnf b f a b f aξξ--=整理后即得所欲证明.上面的这个例子还不难看出在利用R olle 中值定理和Cauchy 中值定理证明的同一个不等式中,用R olle 中值定理时辅助函数的构造显然需要更多的观察和技术.相比之下,用Cauchy 中值定理则要简单得多.6.2 定理的应用方法技巧从定理应用的例题中不难发现,微分中值定理大多都是通过构造辅助函数来完成证明的.有的可以从函数本身出发构造辅助函数,有的需要利用指数、对数、三角函数等初等函数来构造辅助函数,还有的要根据需要证明的目标出发适当构造辅助函数.可见,在微分中值定理的应用中,广泛地使用辅助函数是做证明题的关键,在学习时应该掌握一些常用的构造辅助函数方法.在做证明题时一般先从要证的结论出发,观察目标式的特征,分析目标式可能要用的辅助函数,然后对目标式作相应的变形,这是构造辅助函数的关键.有了辅助函数就可以直接对辅助函数应用微分中值定理得到结论.7 结束语本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习,和一些相关学科内容知识的学习,并结合一些相关的参考图书资料,以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容,其中还包括自己对这些内容的理解,还通过多方面的了解和研究,且在和老师及同学们的一起探讨下,了解到微分中值定理的内在联系,也对微分中值定理深层进行了探讨,还对微分中值定理的应用做了归纳总结.本课题主要是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个微分中值定理,感受到了定理来解决数学问题的方便快捷,学以致用得到充分体现.微分中值定理是微分学的基本定理,而且它是微分学的理论核心,有着广泛的应用.本课题主要是对微分中值定理证明等式不等式,方程根的存在性,求极限以及求近似值等的应用.应用微分中值定理证明命题的关键是构造辅助函数,构造满足某个微分中值定理的条件而得到要证明的结论.而构造辅助函数技巧性强,构造合适的辅助函数往往是困难的.因此,在构造辅助函数上本文没有深入系统论述,有待于研究.9 参考文献[1] 党艳霞. 浅谈微分中值定理及其应用[J]. 廊坊师范学院学报(自然科学版).2010,(1): 28-31.[2] 陈传璋. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社. 2007.[3] 刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社. 1982.[4] 林源渠, 方企勤等. 数学分析习题集[M]. 北京：高等教育出版社. 1986.[5] 赵香兰. 巧用微分中值定理[J]. 大同职业技术学院学报. 2004,（2）：64-66.[6] 刘章辉. 微分中值定理及其应用[J]. 山西大同大学学报（自然科学版）.2007.23(2): 12-15.[7] 何志敏. 微分中值定理的普遍推广[J]. 零陵学院学报. 1985. (1): 11-13.[8] 李阳, 郝佳. 微分中值定理的延伸及应用[J]. 辽宁师专学报. 2011.(3): 13-18.。
3.1.2罗尔中值定理 应用(1)
第三章罗尔( Rolle )中值定理的应用1. 与零点定理结合解决方程根的唯一性;2. 用罗尔定理研究导函数的零点;3. 证明含一个中值的等式.第三章例1.证明方程,15)(5+−=x x x f ,0)(0=x f 有且仅有一个小于1 的正实根.证:(1) 存在性则)(x f 在[0,1] 连续,且由零点定理知存在,)1,0(0∈x 使即方程有小于 1 的正根(2) 唯一性假设另有()这样在以f x 10,x x 为端点的区间上满足罗尔定理条件,01,所以在之间x x 至少存在一点但矛盾,故假设不真!设1.与零点定理结合解决方程根的唯一性例2设有几个根, 它们分别在什么区间内.(3,4)内.(1,2),(2,3),不求导问方程解：(1)(2)(3)(4)0f f f f 又，====首先我们注意到函数在实数范围内连续且可导，()f x [][][]()1,22,33,4f x 即函数分别在闭区间，，上满足罗尔定理条件，()()()1231,22,33,4所以至少存在，，，ξξξ∈∈∈123()()()0()0f f f f x 使得===，即至少有三个根，ξξξ''''=()f x 又是三次多项式函数，在实数范围内最多有三个根，'()0f x 所以=恰好有三个根，'它们分别在区间2.用罗尔定理研究导函数的零点[]()2()0,1(0)(1)0()(),0,1()0.f x f f F x x f x F 例3设函数在闭区间上有二阶导数，且==，又证明在开区间内至少存在一点，使ξξ''==()0F F x F x 分析，要证明存在一点，使，应先对（）用罗尔定理，验证其一阶导数在不同的两点相等，再对一阶导函数（）用罗尔定理.ξξ''='[]()0,10,1F x 证明：由题设知（）在上连续，内可导，(0)(1)0f f 且==，()0,1F 由罗尔定理知存在一点，使得（）=0，ηη'∈[]()00在，上连续，在，内可导，ηηFF 且（0）=（）=0，η''()()0,0,1由罗尔定理知存在一点，使得（）=0.F ξηξ''∈⊂2()()Fx xf x x f x 又（）=2''+第三章例4.设函数f (x ) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且,1)3(,3)2()1()0(==++f f f f 使,)3,0(∈ξ.0)(='ξf分析:所给条件可写为1)3(,13)2()1()0(==++f f f f 试证必存在想到找一点c , 使3)2()1()0()(f f f c f ++=证:因f (x ) 在[0, 3]上连续,所以在[0, 2]上连续, 且在[0, 2]上有最大值M 与最小值m ,故M f f f m ≤≤)2(),1(),0(M m f f f ≤≤++3)2()1()0(由介值定理, 至少存在一点使,]2,0[∈c (0)(1)(2)3()f f f f c ++=1=()(3)1,因f c f ==,)3,(,]3,[)(内可导在上连续在且c c x f 由罗尔定理知, 必存在.0)(,)3,0()3,(='⊂∈ξξf c 使。
中值定理及导数的应用(一)
的极大值点
中值定理及应用
2、若对于该邻域内任意的x(x x0 )
总有f (x) f (x0). 则称 f (x0)为函数
f (x) 的极小值，并称点 x0是 f (x)
的极小值点 函数的极大值与极小值统称为函 数的极值，极大值点与极小值点统
称为函数的极值点。
D、若函数 f (x)在点 x0 连续，则 f (x0)
一定存在
中值定理及应用
四、函数的最大值与最小值
定义
设函数y f (x) 在闭区间[a,b]上有定
义，设 x0 [a,b], 若对于任意 x [a,b], 恒有f (x) f (x0)[或f (x) f (x0) ]，则称 f (x0)
为函数f (x)在闭区间[a,b]上的最大(小) 值。称 x0为f (x) 在闭区间[a,b]上的最
x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极大值 f (x0 );
2、若当 x (x0 , x0)时，f (x) 0, x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极小值 f (x0 );
中值定理及应用
3、若当x (x0 , x0 ) 和 x (x0, x0 ) 时，f (x) 的符号相同，则函数 f (x)
故函数 y x 4 的单调区间是
x (2,0),(0,2)
应选D
中值定理及应用
用函数的单调性证明不等式是一种 常用的方法。
一般步骤为： 假设证明 f (x) g(x)(x D)成立。
1、设 F(x) f (x) g(x) 2、求导数F ( x)并根据已知条件
判断F ( x)的正负。 从而判断 F ( x)的增减性。
中值定理的一些应用
微分中值定理及其应用我们已经学习了导函数的定义以及一些基本性质，就导数的定义来看，导数是一个新的函数的极限，从而它反映的是函数的局部性质，在这一讲中，我们将学习利用导数来建立一些函数的整体性质。
所用的工具就是所谓的中值定理。
罗尔中值定理定理6.1（罗尔中值定理）设函数在区间上满足：1. 在闭区间上连续；2. 在开区间上可导；3. ，那么，在开区间内必是（至少）存在一点，使罗尔定理的几何意义因为，所以是水平线，用中学学过的推平行线的几何方法，可以直观地看出曲线上至少有一点的切线也应该是平行的。
条件分析定理中的三个条件都很重要，缺少任何一个条件，命题都不能成立。
i) 函数在区间满足条件2和条件3，该函数在上的导数恒为1。
ii)函数满足条件1和条件3，但是条件2却遭到破还（在不可导），结论也不成立。
iii)函数满足条件1和条件2,但条件3不满足，该函数在的的导数恒为1。
vi)函数在闭区间上，三个条件是充分条件，但不是必要条件。
定理的证明因为在上连续，所以由连续函数的最大最小值定理，在上取到最大值和最小值，下面分两种情况讨论：1. ，这就是说恒为常数，此时该函数的导数恒等于零。
可以在上随意取一点，当然有。
2. ，既然最大最小值不等，而两个端点的函数值相等，从而至少有一个最值不在端点取到。
不妨设最大值不在端点取到。
得到：存在，使得。
因为区间内部取到的最值一定是极值，所以由费马定理，。
范例例1：设是一个多项式，且方程没有实零点，则方程至多有一个重数为1的实根。
证：设有两个实根，可以验证：在上满足罗尔定理的条件，从而存在，使得。
这与条件矛盾。
设有一个重根，则。
因为，则，矛盾。
拉格朗日定理及其应用定理6.2 设函数区间上满足：1. 在闭区间上连续；2. 在开区间上可导；那么在开区间内（至少）存在一点，使得拉格朗日定理的几何意义拉格朗日定理是罗尔定理的一个推广，推广所以它们的几何意义几乎是一致的。
（如果）这里，。
知识点29罗尔定理拉格朗日中值定理的应用
知识点29罗尔定理拉格朗日中值定理的应用罗尔定理和拉格朗日中值定理是微积分中的两个重要定理，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
下面将详细介绍这两个定理及其应用。
一、罗尔定理罗尔定理是微积分中的基本定理之一，它是拉格朗日中值定理的一个特殊情况。
罗尔定理是由法国数学家迪尔勒·罗尔在17世纪提出的。
罗尔定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，并且满足f(a)=f(b)，则在开区间(a，b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。
也就是说，如果一个函数在闭区间两个端点处的函数值相等，且在闭区间内可导，则在开区间内至少存在一个点使得函数的导数为0。
罗尔定理的应用非常广泛，以下是一些典型的应用场景：1.判断函数的极值点：对于一个函数f(x)在一个闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在两个端点处的函数值相等，根据罗尔定理，至少存在一个点c使得f'(c)=0。
因此，可以通过判断函数的导数为0的点来确定函数的极值点。
2.判断函数的单调性：对于一个函数f(x)在一个闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在两个端点处的函数值相等，根据罗尔定理，至少存在一个点c使得f'(c)=0。
如果f'(x)>0，表示函数在这个点的导数大于0，即函数在这个点附近是单调递增的；如果f'(x)<0，表示函数在这个点的导数小于0，即函数在这个点附近是单调递减的。
3.解方程：对于一些特定的方程，可以通过罗尔定理来证明方程在一些区间内存在解。
例如，对于方程f(x)=0，在一个开区间(a，b)内，如果f(a)=f(b)，则根据罗尔定理，至少存在一个点c使得f'(c)=0，即方程存在解。
二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它是由法国数学家约瑟夫·拉格朗日在18世纪提出的。
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罗尔定理 若函数f ( x)满足: (1)在 闭 区间[a, b]上 连 续; (2)在开区 间(a, b)内 可 导;
(3)f (a) f (b),则在开区间(a, b)内至少存在一点 ,
使得 f ( ) 0.
注：(1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立.
y
y
y
1
O1
O 1x
1 O 1 x
基本思路是令待证等式中的常数为k，通过 恒等变形将含有的式子写成 F(a) F(b)的形式， 则 F( x)就是需要的辅助函数, 然后用罗尔定理 进行证明.
例5 设 f ( x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明
在(a,b)内至少存在一点 ,使得
bf (b) af (a) f ( ) f ( )
x
f ( x) x (0 x 1) f ( x) | x |, x [1,1] f ( x) x3, x [1,1]
(1),(2)满足 (3)不满足 结论不成立.
(1),(3)满足 (2)不满足 结论不成立.
(1),(2)满足 (3)不满足 结论成立.
例1. 验证函数 f ( x) x2 2x 3 在区间[1, 3] 上满足罗尔定理条件, 并求出一个 .
例6 设 f ( x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 f (1) 0, 证明在(0,1)内至少存在一点 ,使得
分析: 问题转化为证 f ( ) 2 f ( ) 0, [ x2 f ( x)]x 0
证 设辅助函数 F(x) x2 f (x),
F ( x)在[0, 1]上用罗尔定理, (0,1) , 使得
至少存在一个 (介 于 x0 , x1 之 间), 使 得
f ( ) 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1))矛盾, 故假设不真！
有 唯 一 实 根.
例4 若 在[0, 1]上二阶可导, 且 F( x) xf ( x), 则在 内至少存在一点
使得 F ( ) 0.
f (x)
证设
f (x)
c0 x
c1 2
x2
cn n1
x n1 ,
f ( x)在[0,1]上连续, 在(0, 1)内可导,
且 f (0) f (1) 0,
由罗尔定理
在(0,1)内至少存在一个实根 , 使得 f ( ) 0,
即 c0 c1 cn n 0,
即 x 为所求实根.
例3. 证明方程x5 5x 1 0 有且仅有一个小于1 的 正 实 根.
f ( x) 在 以x0 , x1 为 端 点 的 区 间 上 满 足 罗尔 定 理
例3. 证明方程x5 5x 1 0 有且仅有一个小于1 的 正 实 根.
证: (2)唯一性
假 设 另 有x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x) 在 以x0 , x1 为 端 点 的 区 间 上 满 足 罗尔 定 理
证: (1)存在性
设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连 续,
且 f (0) 1, f (1) 3. 由零点定理 x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即方程有小于1的正实根. (2)唯一性
假 设 另 有x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
F ( ) 2 f ( ) 2 f ( ) 0
即有
x1 1, 取 1 (1,3) 符合要求. 即 f ( ) 0.
例2 设常数c0 , c1 , , cn 满足:
c0
c1 2
cn n1
0
试证方程 c0 c1x cn xn 0
在(0, 1)内至少存在一个实根.
分析： 注意到
c0
x
c1 2
x2
cn n1
xn1
c0 c1 x cn x n
(1) 若M m, 则x [a,b], f ( x) M ,
(a, b), 有 f ( ) 0.
(2) 若M m,则最大、最小值有一个在(a,b)内取得,
设 M f ( ), (a, b), 则x [a,b], f ( x) f ( ),
由费尔马引理 f ( ) 0.
推论: 可微函数 f ( x) 的任意两个零点之间至少有 f ( x) 的一个零点．
证 对 F ( x) xf ( x)在[0,1]上 使用罗尔定理,
1 (0,1), 使得 F (1 ) 0. F( x) f ( x) xf ( x), F(0) F(1 ) 0 对 F( x)在[0,1]上使用罗尔定理, (0,1) (0,1), 使得 F ( ) 0.
两种常用的构造辅助函数的方法： 1. 常数k 法构造函数
ba
2. 通过对待证等式的恒等变形寻找辅助函数
因为等式中出现的中值 一定是对某个函数 使用中值定理得到的, 因此, 可以首先把 还原为 x，
然后再观察所得函数是哪个函数的导数，这个函数 就是我们需要的辅助函数. 如果待证等式出现 f ( x)u( x) f ( x)v( x) 的形式，
则可以考虑形如 F( x) f ( x)g( x)的 (a) k, 整理得 bf (b) kb af (a) ka,
ba
证 设F ( x) xf ( x) kx，对 F ( x)在[a,b]上使用
罗尔定理, (a ,b), 使得 F( ) 0. 即 f ( ) f ' ( ) k 0， 故 bf (b) af (a) f ( ) f ( ).
解: (1) 验证定理的假设条件满足 因 为 f ( x) 在 [1,3] 上 连 续, 在(1,3)上 可 导,
又因为 f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1),
所以 f (1) f (3) 0, 所以满足罗尔定理条件. (2)结论正确
方程 f ( x) 0 即 f ( x) 2( x 1) 0, 有实根