罗尔中值定理
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《高等数学》
罗尔中值定理
知行合一
微分中值定理
罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 泰勒中值定理
柯西中值定理
y
C
T与x轴平行
y=f(x) A D
a
B
1
2
b
x
一、罗尔中值定理
若函数f(x)满足： （1）在[a,b]上连续；
y
A C
D
y=f(x)
B
（2）在（a,b）内可导； 0 （3）f(a)=f(b).
[f (x) sin x] |x .0 容易验证： g( x )在[0, ]上满足罗尔定理条件 2
由罗尔定理得：至少存 在一点 (0, ), 2 使得 g( ) 0.
证明: 设 g( x) f (x) - sinx
1.做课后第一题。 2.预习拉格朗日中值定理的证明，并思 考它是怎么引入辅助函数的？下节课 咱们请同学分享一下。
a 1
2 b
x
则至少存在一点 （a, b） , 使得f ( ) 0.
证明思想
y fmax
f ( ) 0
A
B
f ( ) 0
fmin 0
a
b
x
证明： f (x)在[a, b]上连续， f (x)在[a, b]上必有最大值 M和最小值m. (1)若M m . 则 f (x) M 由此得f (x) 0，x (a, b).
(a, b), 都有f ( ) 0. (2)若M m. f (a) f (b)
最值不可能同时在端点 处取到 .
不妨设 M f (a)，
则在(a, b)内至少存在一点 ，使得f ( ) M.
f ( x) f ( ) 0
f ( x ) f ( ) 若x 0, 则 0 x
例2
f ( x) x ， x [1,1];
y
(1) [-1,1]上连续；
● ●
(2) (-1,1)内可导； ×
(3) f(-1)=f(1).
-1 0 1
x
不存在 (-1,1),使f ( ) 0.
例3
f ( x) x， x [0,1];
y
●
(1) [0,1]上连续；
(2) (0,1)内可导；
例2
f ( x) x ， x [1,1];
f ( x) x， x [0,1];
例3
例1
x 0 x 1 f ( x) 0 x 1
y
O
(1) [0,1]上连续； ×
(2) (0,1)内可导；
(3) f(0)=f(1).
0
●
1
x
不存在 (0,1),使f ( ) 0.
f ( x ) f ( ) 若x 0, 则 0 x
f ( x ) f ( ) f -( ) lim0 x 0 x f ( x ) f ( ) ( ) lim f 0 x 0 x
f ( )存在 ( ) 0 f ( ) 0 . f -( ) f
(3) f(0)=f(1).
×
0 1 x
不存在 (0,1),使f ( ) 0.
三、罗尔定理的初步应用
例：设函数f ( x )在[0,
2
]上连续, 在(0,
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)内可导, 且f (0) 0,
f ( ) 1. 证明至少存在一点 (0, )，使 f ( ) - cos 0 . 2 2
谢谢各位老师
二、讨论罗尔定理的条件
例如
y
1
x (0, ] sin x， f (x) 1， x 0
0
2
x
取 (0, ), 有f ( ) 0, 即罗尔定理的结论成立 。 2 2
但是f(x)在定义域上不满足罗尔定理的条件(1)和(3)。
例1
x 0 x 1 f ( x) 0 x 1
罗尔中值定理
知行合一
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柯西中值定理
y
C
T与x轴平行
y=f(x) A D
a
B
1
2
b
x
一、罗尔中值定理
若函数f(x)满足： （1）在[a,b]上连续；
y
A C
D
y=f(x)
B
（2）在（a,b）内可导； 0 （3）f(a)=f(b).
[f (x) sin x] |x .0 容易验证： g( x )在[0, ]上满足罗尔定理条件 2
由罗尔定理得：至少存 在一点 (0, ), 2 使得 g( ) 0.
证明: 设 g( x) f (x) - sinx
1.做课后第一题。 2.预习拉格朗日中值定理的证明，并思 考它是怎么引入辅助函数的？下节课 咱们请同学分享一下。
a 1
2 b
x
则至少存在一点 （a, b） , 使得f ( ) 0.
证明思想
y fmax
f ( ) 0
A
B
f ( ) 0
fmin 0
a
b
x
证明： f (x)在[a, b]上连续， f (x)在[a, b]上必有最大值 M和最小值m. (1)若M m . 则 f (x) M 由此得f (x) 0，x (a, b).
(a, b), 都有f ( ) 0. (2)若M m. f (a) f (b)
最值不可能同时在端点 处取到 .
不妨设 M f (a)，
则在(a, b)内至少存在一点 ，使得f ( ) M.
f ( x) f ( ) 0
f ( x ) f ( ) 若x 0, 则 0 x
例2
f ( x) x ， x [1,1];
y
(1) [-1,1]上连续；
● ●
(2) (-1,1)内可导； ×
(3) f(-1)=f(1).
-1 0 1
x
不存在 (-1,1),使f ( ) 0.
例3
f ( x) x， x [0,1];
y
●
(1) [0,1]上连续；
(2) (0,1)内可导；
例2
f ( x) x ， x [1,1];
f ( x) x， x [0,1];
例3
例1
x 0 x 1 f ( x) 0 x 1
y
O
(1) [0,1]上连续； ×
(2) (0,1)内可导；
(3) f(0)=f(1).
0
●
1
x
不存在 (0,1),使f ( ) 0.
f ( x ) f ( ) 若x 0, 则 0 x
f ( x ) f ( ) f -( ) lim0 x 0 x f ( x ) f ( ) ( ) lim f 0 x 0 x
f ( )存在 ( ) 0 f ( ) 0 . f -( ) f
(3) f(0)=f(1).
×
0 1 x
不存在 (0,1),使f ( ) 0.
三、罗尔定理的初步应用
例：设函数f ( x )在[0,
2
]上连续, 在(0,
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)内可导, 且f (0) 0,
f ( ) 1. 证明至少存在一点 (0, )，使 f ( ) - cos 0 . 2 2
谢谢各位老师
二、讨论罗尔定理的条件
例如
y
1
x (0, ] sin x， f (x) 1， x 0
0
2
x
取 (0, ), 有f ( ) 0, 即罗尔定理的结论成立 。 2 2
但是f(x)在定义域上不满足罗尔定理的条件(1)和(3)。
例1
x 0 x 1 f ( x) 0 x 1