罗尔中值定理
高等数学：第五讲 罗尔中值定理
解： （1） f(x)= x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上连续；
1
（2） f (x)=3x2+8x-7在（-1,2）内存在；
（3）f (-1)=f (2)= 0；
所以 f(x)满足定理的三个条件.
令f (x)=3x2+8x-7=0
解得 x 4 37 3
则 37 4 (1 , 2) 就是要找的点，显然有f (ξ)=0.
3
不求函数 y ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数，说明方程
2 f ( x) 0 有几个实根，并指出它们所在的区间．
分析： 该类问题主要说明函数满足罗尔定理的条件，
且寻找函数值相等的若干个点．
本题（1） （2）
所以有
，至少两个根； 为一元二次方程，至多两个根．
．
谢谢
罗尔中值定理
问题引入
y
C
f (a) A
Oa
B
可能不唯一
bx
罗尔中值定理
满足: (1) 在区间 (2) 在区间
上连续 内可导
(3)
在 内至少存在一点
y
f (a) A
y f (x) B
O a
bx
使 f ( ) 0.
补充说明
1）罗尔定理的条件是充分非必要条件．
例如,
y
1
结论成立！
O
π
2
f ( π ) 0. 2
πx
但 y f (x) 在[0, π]上不连续； 不满足定理条件（1）和（明
2) 如果定理三个条件不全满足，结论未必成立． 例如,
y
结论均不成y 立！
O 1x
1 O 1 x
y O 1x
罗尔定理与微分中值定理
罗尔定理与微分中值定理罗尔定理（Rolle's theorem）是微积分中的一个重要定理，它是微分中值定理的特殊情况。
罗尔定理是由法国数学家米歇尔·罗尔在17世纪提出的，它建立了函数在某个区间内满足一定条件时，必然存在一个点使得函数在该点处的导数等于零的关系。
罗尔定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且满足f(a) = f(b)，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理的证明思路是利用了连续函数在闭区间上的最大值和最小值定理。
根据最大值和最小值定理，函数f(x)在闭区间[a, b]上必然存在一个最大值和一个最小值。
如果函数在区间内的最大值和最小值都等于f(a) = f(b)，那么根据连续函数的介值定理，函数在区间内必然存在一个点c，使得f(c) = f(a) = f(b)，即满足罗尔定理的条件。
如果函数在区间内的最大值和最小值不等于f(a) = f(b)，那么根据最大值和最小值定理，函数在区间内必然存在一个点c，使得f'(c) = 0，即满足罗尔定理的条件。
罗尔定理的应用非常广泛，它为证明其他定理提供了重要的工具。
例如，利用罗尔定理可以证明柯西中值定理和拉格朗日中值定理，这两个定理是微分中值定理的推广和拓展。
微分中值定理（Mean Value Theorem）是微积分中的另一个重要定理，它是由法国数学家奥古斯丁-路易·柯西在19世纪提出的。
微分中值定理是罗尔定理的推广，它描述了函数在某个区间内的平均变化率与函数在该区间内某一点的瞬时变化率之间的关系。
微分中值定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
微分中值定理的证明思路是利用了导数的几何意义。
中值定理
F ( b ) F (a ) = b a , F ′( x ) = 1,
f (b ) f (a ) = f ′(ξ ). ba
f ( b ) f ( a ) f ′( ξ ) = F ( b ) F ( a ) F ′( ξ )
例4 设函数 f ( x )在[0,1]上连续 , 在( 0,1)内可导, 证明 :
则在(a , b )内至少存在一点 ξ, 使得 ′(ξ ) = 0.
即 f ′( ξ ) f (b) f (a ) F ′ ( ξ ) = 0, F (b ) F (a )
f ( b ) f ( a ) f ′( ξ ) . ∴ = F ( b ) F ( a ) F ′( ξ )
当 F ( x) = x,
y
C
y = f ( x)
M
N
D
B
A
o a
ξ1
x
ξ2 b
x
证 分析 条件中与罗尔定理相差 f (a ) = f (b ). 分析:
f (b) f (a ) 弦AB方程为 y = f (a ) + 方程为 ( x a ). ba 曲线 f ( x ) 减去弦 AB ,
所得曲线 a , b两端点的函数值相等 .
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔 定理
尔 Rolle） 定 罗 （ olle） 理 如 函 f (x)在 区 [a, b] 果 数 闭 间 (2) (3) ( 上连续, 内可导, 上连续,在开区间 a, b) 内可导,且在区间端点的函数 ( 值相等， 值相等，即 f (a) = f (b),那末在 a, b) 内至少有一点 ξ(a < ξ < b),使 函 f (x)在 点 导 等 得 数 该 的 数 于零 ，
罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式等与导数的应用
内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。
令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。
（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。
令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。
又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：(01),ξ=，∴(01),ξ∃=，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
罗尔Rolle中值定理
[ f ( x) sin x ] x 0 解题关键
证明至少存在一点 ( 0 ,
2
), 使
f ( ) cos 0.
容易验证: g( x ) 在 [ 0, ] 上满足罗尔定理条件. 2 由罗尔定理得: 至少存在一点 ( 0, ), 使得 2 g( ) 0
即
f ( ) cos 0.
证明: 设 g( x ) f ( x ) sin x
0
1
x
例2 f ( x ) x , x [1,1];
y
(1) f ( x ) C[1,1]; ( 2) f ( x ) D( 1,1); ( 3) f ( 1) f (1).
1
0
1 x
不存在 ( 1,1), 使 f ( ) 0.
例3 f ( x ) x , x [0,1];
罗尔（Rolle）中值定理
主讲：潘 洁
安徽理工大学
微分中值定理
罗尔中值定理
泰勒中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
问题的引出：
y
C
T 与x轴
这样的 可能有多个
a
1
2
b
x
一、罗尔(Rolle)中值定理
y
D
若函数 f ( x ) 满足：
(1) 在 [a , b] 上连续；
f ( x )在 [a , b] 上 连续， f ( x)在 [a, b] 上必有最大值 M 和最小值 m.
(1)若 M m.则 f ( x) M . 由此得 f ( x ) 0, x (a, b). (a, b),都有 f ( ) 0.
f (a ) f (b), (2)若 M m. 最值不可能同时在端点处取得. 不妨设 M f (a ),
罗尔中值定理
点x处都可导. 且f (–1)=f (1),
但是, 不存在(–1, 1), 使 得f '()=0. 如图
1 0 1
x
例1. 设函数 f (x) = (x1)(x2)(x3), 试判断方程 f 'x 有几个实根, 分别在何区间? 解: 因为 f (1)= f (2)= f (3), 且f (x)在[1, 2]上连续, 在(1,2)内可导, 由罗尔定理, 1(1, 2),使 f(1;
即可. 因f (x)在(a, b)内可导, 从而在(a, b)内连续. 故 f (x)在[x0, x] (a, b)(或[x, x0] (a, b))上满足
拉格朗日定理的条件.
f (x)–f (x0) = f ' (x – x0)=0, 介于x 和x0之间. 即, x(a, b), 有f (x)=f (x0)
中值定理的正确性. 解: (1) f (x) = x2 + x在[–1, 1]上连续, 在(–1, 1)内可导.
(2)看是否存在(–1,1), 使得f (1)–f (–1)=f '() · 2 即 2(2 +1) = 2–0
或 4 = 0. = 0 (–1,1).
故 = 0 (–1,1), 使得f (1)–f (–1)=f '() · 2.
注1. 几何意义: 如图 若连续曲线y = f (x)
y M A y = f ( x) M B
除端点外处处有不垂直
于x轴的切线. 且两端点 的纵坐标相等. 则在曲
线上至少存在一点M.
在M点的切线平行于x
0
a
x0
x0
b x
轴. 也就是平行于弦AB.
注2. 从方程的角度看, f ' 表示是方程 f ' x的根.因此, 罗尔定理的意义是若
中值的定理
中值的定理中值定理是微积分中的一个重要定理，用于描述函数的平均变化率与函数的增减情况之间的关系。
它是由数学家罗尔斯提出的，也被称为罗尔定理。
中值定理是微积分中的一个基本概念和理论工具，常用于证明其他的定理和推导其他的公式。
它的核心思想是在一个区间上存在某个点，使得函数在这个点的瞬时变化率等于平均变化率。
具体而言，中值定理分为洛必达中值定理和拉格朗日中值定理两种形式。
洛必达中值定理是指，如果一个函数在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，并且在(a,b)内取得两个不同的值f(a)和f(b)，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]。
这个定理说明了一个函数有两个不同的值，那么它在这个区间内一定存在一个切线。
拉格朗日中值定理是指，如果一个函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]。
这个定理说明了一个函数在某个区间内的平均变化率等于这个区间内某一点的瞬时变化率。
中值定理的几何意义是，如果一个函数在某个区间内具有连续性和可导性，那么必然存在一条导数对应着该函数在该区间上的切线。
也就是说，函数在某个区间上的平均变化率和瞬时变化率之间存在着一个等价关系。
中值定理在实际问题中有着广泛的应用。
比如，我们可以利用中值定理来证明函数的单调性，寻找函数的最大值和最小值，判断函数的凹凸性，研究函数的增长趋势等。
这些应用都是基于中值定理所提供的函数变化率的信息。
总而言之，中值定理是微积分中重要的概念和定理，它通过平均变化率和瞬时变化率之间的关系，描述了函数在一个区间内存在切线的性质。
它不仅在理论推导中具有重要的作用，也在实际问题的分析和求解中发挥着关键的作用。
因此，中值定理是微积分学习的基础，对于理解函数的变化规律和解决实际问题有着重要的意义。
中值定理是微积分中的基本定理之一，它可以将函数的平均变化率与瞬时变化率联系起来，从而帮助我们更好地理解函数的性质和求解实际问题。
第一节 罗尔定理与微分中值定理
件,
? 至少存在一个? (在 x0, x1 之间),使得 f ?(?) ? 0.
但 f ?(x) ? 5(x 4 ? 1)? 0, (x ? (0,1)) 矛盾,
? 为唯一实根 .
例2设f (x) ? (x ? 1)(x ? 1)(x ? 2)(x ? 3),证明方程
值相等，即f (a) ? f (b),那末在(a,b) 内至少有一点
?(a ? ? ? b),使得函数f (x)在该点的导数等于零，
即f ' (?) ? 0
几何解释:
y
在曲线弧 AB 上至少有一
C
点C , 在该点处的切线是
水平的 .
o a ?1
y ? f (x)
?2 b x
例如, f (x) ? x2 ? 2x ? 3 ? (x ? 3)(x ? 1).
在 [? 2,2] 上除 f ?(0) 不存在外 ,满足罗尔定理
的一切条件 , 但在区间 [-2，2]内找不到一点能
使 f ?( x ) ? 0.
又例如 ,
? x, x ? [0,2)
y ? ??0,
; x?2
(不满足第一个条件)
y ? x2, x? [1,2]. (不满足第三个条件)
例1 证明方程 x 5 ? 5 x ? 1 ? 0 有且仅有一个小于
f ?( x ) ? 0有三个实根，并指出他 们所在的区间 .
证 显然, f ( x )在区间[? 1,1],[1,2],[ 2,3]上都满足
罗尔定理条件, 所以至少有 ? 1
?
(? 1,1),? 2
?
(1,2),
? 3 ? (2,3)使f ?(? 1 ) ? 0, f ?(? 2 ) ? 0, f ?(? 3 ) ? 0,即方
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谢谢各位老师
《高等数学》
罗尔中值定理
知行合一
微分中值定理
罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 泰勒中值定理
柯西中值定理
y
C
T与x轴平行
y=f(x) A D
a
B
1
2
b
x
一、罗尔中值定理
若函数f(x)满足： （1）在[a,b]上连续；
y
A C
D
y=f(x)
B
（2）在（a,b）内可导； 0 （3）f(a)=f(b).
(3) f(0)=f(1).
×
0 1 x
不存在 (0,1),使f ( ) 0.
三、罗尔定理的初步应用
例：设函数f ( x )在[0,
2
]上连续, 在(0,
2
)内可导, 且f (0) 0,
f ( ) 1. 证明至少存在一点 (0, )，使 f ( ) - cos 0 . 2 2
例2
f ( x) x ， x [1,1];
f ( x) x， x [0,1];
例3
例1
x 0 x 1 f ( x) 0 x 1
y
O
(1) [0,1]上连续； ×
(2) (0,1)内可导；
(3) f(0)=f(1).
0
●
1
x
不存在 (0,1),使f ( ) 0.
f ( x ) f ( ) 若x 0, 则 0 x
f ( x ) f ( ) f -( ) lim0 x 0 x f ( x ) f ( ) ( ) lim f 0 x 0 x
f ( )存在 ( ) 0 f ( ) 0 . f -( ) f
二、讨论罗尔定理的条件
例如
y
1
x (0, ] sin x， f (x) 1， x 0
0
2
x
取 (0, ), 有f ( ) 0, 即罗尔定理的结论成立 。 2 2
但是f(x)在定义域上不满足罗尔定理的条件(1)和(3)。
例1
x 0 x 1 f ( x) 0 x 1
a 1
2 b
x
则至少存在一点 （a, b） , 使得f ( ) 0.
证明思想
y fmax
f ( ) 0
A
B
f ( ) 0
fmin 0
a
b
x
证明： f (x)在[a, b]上连续， f (x)在[a, b]上必有最大值 M和最小值m. (1)若M m . 则 f (x) M 由此得f (x) 0，x (a, b).
[f (x) sin x] |x .0 容易验证： g( x )在[0, ]上满足罗尔定理条件 2
由罗尔定理得：至少存 在一点 (0, ), 2 使得 g( ) 0.
证明: 设 g( x) f (x) - sinx
1.做课后第一题。 2.预习拉格朗日中值定理的证明，并思 考它是怎么引入辅助函数的？下节课 咱们请同学分享一下。
(a, b), 都有f ( ) 0. (2)若M m. f (a) f (b)
最值不可能同时在端点 处取到 .
不妨设 M f (a)，
则在(a, b)内至少存在一点 ，使得f ( ) M.
f ( x) f ( ) 0
f ( x ) f ( ) 若x 0, 则 0 x
例2
f ( x) x ， x [1,1];
y
(1) [-1,1]上连续；
● ●
(2) (-1,1)内可导； ×
(3) f(-1)=f(1).
-1 0 1
x
不存在 (-1,1),使f ( ) 0.
例3
f ( x) x， x [0,1];
y
●
(1) [0,1]上连续；
(2) (0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1)内可导；