中值定理
中值定理
中值定理条件函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导，在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导的理由, 在闭区间[a,b]上连续的函数都有最大或最小值,而在开区间(a,b)内连续的函数不一定有最大或最小值.这是因为如果函数f(x) 在开区间(a,b)内连续在端点x=a处左连续,端点x=b处右连续不一定是在(a,b)内每一点连续,就是每一点处都连续也不代表左右极限都相等.中值定理“中值”指的是什么？指的是区间（a，b）的两个端点所连直线的斜率，这个定理就是说如果在闭区间上连续，开区间上可导，那么总有那么一个值能够使已知曲线的斜率和直线斜率相等，其他的斜率都会比这个大或者小。
事实上如果你看过罗尔定理，那么你就会更理解这个中值的意义了，在那个定理中，中值指的是斜率为0。
1.罗尔中值定理如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导，在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f′(ξ)=0几何意义：在闭区间[a,b]上有一条连续曲线f(x),且除端点外每一点都可以作一条切线,当曲线两端点的纵坐标相等时候,那么曲线上至少能找到一点( ξ , f (ξ) ) ξ在(a,b)内.使得曲线在该点的切线平行于x轴.证明:1令f(a)=f(b)=K,在闭区间[a,b]上,恒有f(x)=K的情况,这时f(x)是[a,b]上的常数函数,所以f′(x)=0,因此罗尔定理对开区间(a,b)内任何点都成立.在[a,b]上有点x, 使f(x)>K的情况，因f(x)为[a,b]上的连续函数，根据连续性质得知在[a,b]上存在点( ξ1 , f (ξ1) )为f(x)在[a,b]上的最大值，即当a<=x<=b时f(x)<=f (ξ1)，（1）又因为在上[a,b]有点x，使f(x)>K，（2）由（1）（2）式得f (ξ1)>K，这说明ξ1不可能是[a,b]的端点，从而a< ξ1<b。
中值定理的作用
中值定理的作用
中值定理是微积分中的重要定理，它可以帮助我们研究函数在某个区间内的平均变化率和导数的关系。
中值定理可以分为两种形式，即拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 拉格朗日中值定理：对于一个满足一定条件的函数，如果它在一个闭区间内连续，在该区间内可导，那么在这个区间内必然存在一个点，使得该点的导数等于函数在该区间两个端点处的斜率。
这个定理的作用是可以用来证明一些函数存在零点的情况，或者寻找一些函数的最大值和最小值。
2. 柯西中值定理：与拉格朗日中值定理类似，柯西中值定理的条件稍微放宽，它要求函数在该区间内连续且可导，同时除函数在该区间内的导数不为零外，被除函数的变化不为零。
根据该定理，可知函数在两个点的导数之比等于函数在这两个点之间某个点的导数。
它主要用于寻找函数在某个区间内的切线平行于某条直线的情况。
总的来说，中值定理可以帮助我们研究函数在某个区间内的变化情况以及函数与导数之间的关系，进而为我们解决一些函数问题和问题的证明提供了有效的工具。
中值定理公式证明
中值定理公式证明中值定理可是数学中的重要内容呢，要说这中值定理的公式证明，那可得好好说道说道。
咱先来说说中值定理都有啥。
罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，这几个定理在数学分析里那是相当重要。
就拿拉格朗日中值定理来说吧，它说的是如果函数 f(x) 满足在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，那么在 (a,b) 内至少存在一点ξ，使得 f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a) 。
这定理看着挺简单，证明起来可不容易。
记得有一次给学生们讲这个定理的证明，那真是状况百出。
有个学生瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这到底是啥意思啊？”我就耐心地给他解释，从函数的连续性开始，一点点地引导他。
我在黑板上画着图，一边写着式子，一边说：“你看啊，这就好比咱们从 A 地到B 地，路程是 f(b) - f(a) ，速度就是导数 f'(x) ，那中间肯定有个时刻速度等于平均速度，这就是中值定理的精髓。
” 那学生还是似懂非懂，我又换了个例子，“就像你跑步，跑一段距离，总有时候速度跟平均速度一样，能理解不？”他这才有点开窍。
咱们来具体看看拉格朗日中值定理的证明。
一般是通过构造辅助函数来完成的。
设 F(x) = f(x) - [ f(a) + (f(b) - f(a)) / (b - a) * (x - a) ] ，然后去分析这个辅助函数的性质。
通过它在闭区间 [a,b] 两端的取值相等，再结合函数的连续性和可导性，就能找到那个中值点ξ 。
柯西中值定理呢，它是说如果函数 f(x) 和 F(x) 满足在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且 F'(x) 不等于 0 ，那么在 (a,b) 内至少存在一点ξ ，使得 [ f(b) - f(a) ] / [ F(b) - F(a) ] = f'(ξ) / F'(ξ) 。
这个定理的证明思路跟拉格朗日中值定理类似，也是通过巧妙地构造辅助函数来实现的。
中值定理知识点总结
中值定理知识点总结中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c∈(a, b)，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
中值定理的证明比较简单，可以根据函数的连续性和可导性来进行推导。
接下来我们来详细介绍中值定理的知识点。
一、中值定理的条件中值定理的前提是函数在闭区间上连续，在开区间上可导。
这两个条件都是至关重要的，只有同时满足这两个条件，中值定理才成立。
1. 函数在闭区间上连续：闭区间[a, b]是一个包含了a和b的区间，函数在闭区间上连续意味着函数在这个区间内没有间断点，没有跳跃点，图象是一条连续的曲线。
一般来说，函数在有限区间上都是连续的，因此这个条件通常是满足的。
2. 函数在开区间上可导：开区间(a, b)是一个不含a和b的区间，函数在开区间上可导意味着函数在这个区间上具有导数。
可导性是指函数在这个区间内存在切线，即函数在这个区间内是光滑的。
这个条件比较严格，只有在一些特殊的情况下才能满足。
二、中值定理的应用中值定理主要用来描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
它可以推导出一些重要的结论和定理，对于理解函数的性质和特点有很大的帮助。
1. 平均变化率和瞬时变化率：中值定理可以用来比较函数在闭区间上的平均变化率和在开区间上的瞬时变化率。
平均变化率指的是函数在某个区间内的整体变化情况，而瞬时变化率指的是函数在某一点的瞬间变化情况。
中值定理表明，这两者之间存在着某种联系，通过中值定理可以求得函数在某个区间内的平均变化率和在某一点的瞬时变化率之间的对应关系。
2. 函数的增减性：中值定理可以用来研究函数的增减性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的导数值，在这个区间上的函数是增加还是减小。
这对于研究函数的极值和拐点有很大的帮助。
3. 函数的凹凸性：中值定理可以用来研究函数的凹凸性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的二阶导数值，根据二阶导数的正负性可以判断函数在这个区间上的凹凸性，这对于求解函数的拐点和凹凸区间有很大的帮助。
中值定理理解
中值定理理解中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了函数在一个闭区间上连续且可导时，必然存在至少一个点，该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。
中值定理在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
中值定理由罗尔定理和拉格朗日中值定理两部分组成。
首先，我们来看罗尔定理。
罗尔定理是中值定理的特殊情况，它要求函数在闭区间的两个端点上取到相同的函数值。
具体来说，如果一个函数在闭区间上连续且可导，并且在区间的两个端点上取到相同的函数值，那么在开区间内至少存在一个点，该点的导数等于零。
罗尔定理的证明思路是通过构造一个辅助函数来实现的。
首先，我们假设函数在闭区间上连续且可导，并且在区间的两个端点上取到相同的函数值。
然后，我们构造一个辅助函数，该函数在闭区间上连续且可导，并且在闭区间的两个端点上取到相同的函数值和导数值。
根据罗尔定理，我们可以得出辅助函数在开区间内至少存在一个点，该点的导数等于零。
由于辅助函数和原函数在闭区间上取到相同的函数值和导数值，因此原函数在开区间内也存在一个点，该点的导数等于零。
接下来，我们来看拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理是中值定理的一般情况，它不要求函数在闭区间的两个端点上取到相同的函数值。
具体来说，如果一个函数在闭区间上连续且可导，那么在开区间内至少存在一个点，该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。
拉格朗日中值定理的证明思路是通过构造一个辅助函数来实现的。
首先，我们假设函数在闭区间上连续且可导。
然后，我们构造一个辅助函数，该函数在闭区间上连续且可导，并且在闭区间的两个端点上取到相同的函数值和导数值。
根据罗尔定理，我们可以得出辅助函数在开区间内至少存在一个点，该点的导数等于零。
由于辅助函数和原函数在闭区间上取到相同的函数值和导数值，因此原函数在开区间内也存在一个点，该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。
中值定理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，中值定理可以用来描述物体的平均速度与瞬时速度之间的关系；在经济学中，中值定理可以用来描述商品的平均价格与边际价格之间的关系。
中值定理
f (c) 0.
在 [a,c]和 [c,b] 上 f ( x) 连续,
证设
f (a) 0, f (b) 0.
f (c) 0. 在 [a,c]和 [c,b] 上 f ( x) 连续, 由于 f (a) 和 f (c)
异号, f (c) 和 f (b) 异号, 所以, 至少存在一点
x1 (a,c), 使 f ( x1) 0; 至少存在一点x2 (c,b), 使 f ( x2 ) 0. 在区间 [ x1, x2 ] 上, f ( x) 显然满足 罗尔定理的三个条件, 即 f ( x) 在 [ x1, x2 ]上连续,
导致矛盾, 故 x0 为唯一实根.
例 5 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且 f (a) f (b) 0.
证明: 存在 (a,b), 使 f ( ) f ( ) 成立.
证 从结论倒推分析知, 可引进辅助函数
( x) f ( x)e x , 由于 (a) (b) 0, 易知 ( x) 在 [a,b] 上满足
完
拉格朗日(Lagrange)中值定理
推论1 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那么 f ( x)在区间 I 上是一个常数.
推论1表明: 导数为零的函数就是常数函数. 这一 结论以后在积分学中将会用到. 由推论1立即可得：
推论2 如果函数 f ( x) 与 g( x) 在区间 I 上恒有 f ( x) g( x),
拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数 f ( x) 在闭区
间 [a,b] 上连续, 在开区间 (a,b) 内可导,则在(a,b)
内至少有一点 (a b), 使得 f (a) f ( )(b a)
于是, 若作辅助函数
微分中值定理
f
(
x) x
f (x0 x0
)
=(x0+
(xx0))
， (0,1).
因为(x0+)存在，且当 x→x0+时，x0+ (xx0)→x0+，
limx x0来自f (x) xf (x0 ) = lim
x0
x x0
(x0+ (xx0))=(x0+)，
f 在 x0 点右可导且+(x0)=(x0+) .
+(x0)与(x0+)本是两个完全不同的概念，在一定条
件下，两者有密切的联系
2 ax x2, x 0 f (x)
sin x b, x 0
确定a、b的值使函数在点x=o处连续且可导
书上第64页
设 f 为[a,b]上的非常值函数.
f在[a,b]上连续，最小值m与最大值M. 中至少有一个
不在端点取到, 在内点取到。
故由Fermat定理得()=0 .
尽管 Rolle 定理的三个条件显然是其结论的充分 条件，但是这些条件又缺一不可，试各举一例说明 之.
验证 f (x) x2 2x 3在1,3
证明：“必要性”. 显然成立. “充分性”. 取定 x0I，则xI (0,1):
(x)=f(x0)+(x0+ (xx0))(xx0)=f(x0)，
设函数 f, g 均在区间 I 上可导，且(x)g(x)，则存 在常数 c 使得(x)g(x)+c.
F(x) f (x) g(x)
证明 f (x) ln(x 1 x2 )在(, )上 严格单调增
Lagrange 中值定理还有如下表示形式：
§4-1：中值定理
f (b) f (a) f ( ). 【注】 (1)结论亦可写成 ba
(2)与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
几何解释：
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB. 另见P82： “局部与整体”的关系
A
y
C
y f ( x)
B
D
o a
费马定理：如果x0 是函数 f ( x ) 的极值点，并且 f ( x ) 该点可导，则
f ( x0 ) 0
定义2：使得导数f ( x) 为零的点，称为函数 f ( x ) 的驻点或稳定点。
f ( x0 ) 0是 f ( x) 在点 x0 取得极值的必要条件，即 由费马定理可知：
可导函数的极值点一定是驻点，但是驻点却不一定是极值点。
设 f (t ) sin t 2 t cos t sin t cos t (t tan t ) , 则当0 t 时, f (t ) 0 t 2 t2 t2
因此f (t )在（0， ）内严格单调减少即对 . 0 t ，有 2 2 sin t 2 2 2 0 1 , 即 t sin t t 亦即当0 x 时, sin x x t 2 【证毕】
f ( x ) f ( ) f ( ) lim 0; x 0 x f ( x ) f ( ) f ( ) lim 0; x 0 x
f ( )存在,
f ( ) f ( ).源自 只有 f ( ) 0.
证明参见《高等数学》，此略。
小
结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；
Rolle 定理
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.中值定理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一节 中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。
教学重点：罗尔定理、拉格朗日定理的应用。
教学过程：一、罗尔定理定理1：若函数f(x) 满足：（i ）f(x) 在 [a,b] 上连续；（ii ）f(x) 在（a,b ）可导，（iii ）f(a) =f(b), 则在（a,b ）内至少存在一点，使得f '(ξ)=0.证明：由（i ）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M 和最小值m ，此时，又有二种情况：（1） M=m ，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)＝M=m ，∴)('x f ＝0，因此，可知ξ为（a,b ）内任一点，都有f '(ξ)＝0。
（2） M>m,此时M 和m 之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设M ≠f(a)（对m ≠f(a)同理证明），这时必然在（a,b ）内存在一点ξ，使得f(ξ)=M,即f(x)在ξ点得最大值。
下面来证明：f '(ξ)=0首先由（ii ）知f '(ξ)是存在的，由定义知：f '(ξ)=ξξξξξ--=--→→x M x f x f x f x x )(lim )()(lim …….(*) 因为M 为最大值，⇒对x ∀有 f(x) ≤M ⇒f(x)－M ≤0,当x>ξ时，有ξξξ--=--x M x f x f x f )()()(≤0 当x<ξ时，有ξξξ--=--x M x f x f x f )()()(≥0。
又因为（﹡）的极限存在，知（﹡）极限的左、右极限都存在，且都等于)(ξf '，即)()()(_ξξξf f f '='='+，然而，又有 0)()(lim )()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x 和 0)()(lim )()(≤--='='+→+ξξξξξx f x f f f x 0)(='⇒ξf 。
注 1：定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。
2：罗尔定理中的ξ点不一定唯一。
事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导函数)(x f 在点ξ处取得最大值或最小值，则有0)(='ξf 。
3：定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处都有不垂直于x 轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于x 轴。
【例1】 设多项式)(x p 的导函数)(x p '没有实根，证明)(x p 最多只有一个实根。
二、 拉格朗日中值定理在罗尔定理中，第三个条件为(iii))()(b f a f =，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是拉格朗日中值定理：定理2：若函数满足：(i))(x f 在],[b a 上连续；(ii))(x f 在),(b a 上可导；则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得 ab a f b f f --=')()()(ξ。
若此时，还有)()(b f a f =， 0)(='⇒ξf 。
可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，因而用罗尔中值定理来证明之。
证明：上式又可写为 0)()()(=---'ab a f b f f ξ ……(1) 作一个辅助函数：)()()()()(a x ab a f b f x f x F ----= ……(2) 显然，)(x F 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导，且)()()()()()(a f a a ab a f b f a f a F =----= )()()()()()(a f a b a b a f b f b f b F =----= )()(b F a F =⇒， 所以由罗尔中值定理，在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξF 。
又a b a f b f x f x F ---'=')()()()( ⇒0)()()(=---'a b a f b f f ξ 或 ab a f b f f --=')()()(ξ。
注 1：拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广；2：定理中的结论，可以写成))(()()(a b f a f b f -'=-ξ)(b a <<ξ，此式也称为拉格朗日公式，其中ξ可写成： ⇒<<-+=)10()(θθξa b a)))((()()(a b a b a f a f b f --+'=-θ ……(3) 若令h h a f a f h a f h a b )()()(,θ+'=-+⇒+= ……(4) 3：若b a >，定理中的条件相应地改为：)(x f 在],[a b 上连续，在),(a b 内可导，则结论为： ))(()()(b a f b f a f -'=-ξ 也可写成 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ 可见，不论b a ,哪个大，其拉格朗日公式总是一样的。
这时，ξ为介于b a ,之间的一个数，(4)中的h 不论正负，只要)(x f 满足条件，(4)就成立。
4：设在点x 处有一个增量x ∆，得到点x x ∆+，在以x 和x x ∆+为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有 x x x f x f x x f ∆⋅∆+'=-∆+)()()(θ )10(<<θ 即 x x x f y ∆⋅∆+'=∆)(θ 这准确地表达了y ∆和x ∆这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。
5：几何意义：如果曲线)(x f y =在除端点外的每一点都有不平行于y 轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的联线。
由定理还可得到下列结论：推论1：如果)(x f y =在区间I 上的导数恒为0，则)(x f 在I 上是一个常数。
证明：在I 中任取一点0x ，然后再取一个异于0x 的任一点x ，在以0x ，x 为端点的区间J 上，)(x f 满足：(i)连续；(ii)可导；从而在J 内部存在一点ξ，使得 ))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ 又在I 上，0)(≡'x f ，从而在J 上，0)(≡'x f ，0)(='⇒ξf ， 所以0)()(0=-x f x f )()(0x f x f =⇒ ， 可见，)(x f 在I 上的每一点都有：)()(0x f x f = （常数）。
三、 柯西中值定理定理3：若)(),(x F x f 满足：(i) )(),(x F x f 在],[b a 上连续；(ii) )(),(x F x f 在),(b a 内可导；(iii))(x F '在),(b a 内恒不为0；(iv))()(b F a F ≠；则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得 )()()()()()(a F b F a f b f F f --=''ξξ。
证明：令)()()()()()()(x f x F a F b F a f b f x ---=ϕ，显然，)(x ϕ在],[b a 上连续，且)(x ϕ在),(b a 内可导，更进一步还有 )()(b a ϕϕ=，事实上，)()()()()()()()()()()()()()(a f a F a F b f a f b f b f b F a F b F a f b f a b +------=-ϕϕ 0))()(())()(()()()()(=-----=a f b f a F b F a F b F a f b f 所以)(x ϕ满足罗尔定理的条件，故在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξϕ，又)()()()()()()(x f x F a F b F a f b f x '-'--='ϕ 0)()()()()()(='-'--⇒ξξf F a F b F a f b f 因为0)(≠'ξF ， )()()()()()(a F b F a f b f F f --=''⇒ξξ注 1：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令x x F =)(，就得到拉格朗日中值定理；2：几何意义：若用⎩⎨⎧==)()(x F Y x f X （b x a ≤≤）表示曲线c ，则其几何意义同前一个。
【例1】 若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中b x x x a <<<<321，证明在),(21x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf 。
【例2】 若0>x ，证明x x xx <+<+)1ln(1。
证明：对00>∀x ，取]1,1[],[0x b a +=， x x f ln )(=， 不难验证：)(x f 满足拉格朗日中值定理的条件，故在)1,1(0x +内至少存在一点ξ，使ξξ1)(='f 满足 )11(11ln )1ln(00-+=-+x x ξ，即ξ+=+1)1ln(00x x )11(0x +<<ξ 11110<<+⇒ξx 00001x x x x <<+⇒ξ 0000)1ln(1x x x x <+<+⇒ 由0x 的任意性，知本题成立。
注：条件“0>x ”可改为“1->x ”，结论仍成立。
【例3】 证明：b a b a -≤-sin sin 。
【例4】 证明：若)(x f 在),(+∞a 上可导，且)(lim ,)(lim x f k x f x x '=∞→∞→存在，则 0)(lim ='∞→x f x 。
【例5】 证明2arccos arcsin π=+x x （11≤≤-x ）。
证：令x x x f arccos arcsin )(+=，01111)('22=---=x x x f ，由推论知f(x)=常数！再由2)0(π=f ，故2arccos arcsin π=+x x 。
【例6】 若方程01110=+⋯++--x a x a x a n n n 有一个正根0x x =，证明方程0)1(12110=+⋯+-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根。