罗尔中值定理
罗尔中值定理公式
罗尔中值定理公式摘要：1.罗尔中值定理的定义及意义2.罗尔中值定理的条件3.罗尔中值定理的应用实例4.罗尔中值定理的扩展与相关定理5.结论与总结正文：一、罗尔中值定理的定义及意义罗尔中值定理是微积分学中的一个重要定理，它揭示了函数在某一点处的导数与该点附近的其他点的函数值之间的关系。
该定理的表述为：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且在区间端点处的函数值相等，即f(a) = f(b)，那么在开区间(a, b)内至少存在一点c，使得f"(c) = 0。
二、罗尔中值定理的条件1.函数在闭区间[a, b]上连续：这意味着函数在区间[a, b]上没有断点，即在区间内任意一点都可以取到函数值。
2.函数在开区间(a, b)上可导：这意味着函数在区间内任意一点的导数存在且可测。
3.端点处的函数值相等：即f(a) = f(b)，这是罗尔中值定理发生的必要条件。
三、罗尔中值定理的应用实例罗尔中值定理在实际应用中具有重要意义，如在证明一些不等式、求极限、研究函数的性质等方面都有广泛应用。
以下为一个实例：设函数f(x)在区间[0, 1]上连续，在开区间(0, 1)上可导，且f(0) = f(1)，求证：在(0, 1)内存在一点c，使得f"(c) = 0。
证明：由罗尔中值定理，可知在(0, 1)内存在一点c，使得f"(c) = 0。
四、罗尔中值定理的扩展与相关定理1.柯西中值定理：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且f(a) = f(b)，那么在开区间(a, b)内至少存在一点c，使得f"(c) = 0。
柯西中值定理是罗尔中值定理的推广。
2.拉格朗日中值定理：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a, b)内至少存在一点c，使得f"(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
高等数学：第五讲 罗尔中值定理
解： （1） f(x)= x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上连续；
1
（2） f (x)=3x2+8x-7在（-1,2）内存在；
（3）f (-1)=f (2)= 0；
所以 f(x)满足定理的三个条件.
令f (x)=3x2+8x-7=0
解得 x 4 37 3
则 37 4 (1 , 2) 就是要找的点，显然有f (ξ)=0.
3
不求函数 y ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数，说明方程
2 f ( x) 0 有几个实根，并指出它们所在的区间．
分析： 该类问题主要说明函数满足罗尔定理的条件，
且寻找函数值相等的若干个点．
本题（1） （2）
所以有
，至少两个根； 为一元二次方程，至多两个根．
．
谢谢
罗尔中值定理
问题引入
y
C
f (a) A
Oa
B
可能不唯一
bx
罗尔中值定理
满足: (1) 在区间 (2) 在区间
上连续 内可导
(3)
在 内至少存在一点
y
f (a) A
y f (x) B
O a
bx
使 f ( ) 0.
补充说明
1）罗尔定理的条件是充分非必要条件．
例如,
y
1
结论成立！
O
π
2
f ( π ) 0. 2
πx
但 y f (x) 在[0, π]上不连续； 不满足定理条件（1）和（明
2) 如果定理三个条件不全满足，结论未必成立． 例如,
y
结论均不成y 立！
O 1x
1 O 1 x
y O 1x
罗尔中值定理的内容及证明方法
罗尔中值定理的内容及证明方法罗尔中值定理（Rolle’s theorem）是微积分中的一个基本定理，它是拉格朗日中值定理（Lagrange mean value theorem）的特殊情况之一、罗尔中值定理描述了在一些条件下，函数在区间两个端点对应的函数值相等时，在这个区间内必然存在至少一点使函数的导数为零。
定义：假设函数$$f(x)$$满足以下条件：1.在区间$$[a,b]$$内连续2.在开区间$$(a,b)$$内可导3.在区间端点点$$x=a$$和$$x=b$$处的函数值相等，即$$f(a)=f(b)$$。
则在区间$$(a,b)$$内至少存在一个点$$c$$，使得$$f'(c)=0$$。
下面我们来证明罗尔中值定理：首先，根据条件，函数$$f(x)$$在区间$$[a,b]$$上连续，且在开区间内可导。
根据罗尔中值定理的定义，我们需要找到一个点$$c$$，使得函数$$f'(c)=0$$，也就是找到这个点的横坐标。
我们可以进行以下思路：由于函数$$f(x)$$在开区间内可导，根据导数的定义，$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$。
由于函数在区间端点处的函数值相等，即$$f(a)=f(b)$$，我们可以将$$x=a$$代入上式，得到$$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$。
由于函数是在开区间可导的，所以$$f'(a)$$存在。
同样的，我们可以将$$x=b$$代入$$f'(x)$$的定义式，得到$$f'(b)=\lim_{h \to 0}\frac{f(b+h)-f(b)}{h}$$。
同样地，由于函数是在开区间可导的，所以$$f'(b)$$存在。
根据函数连续的性质，我们可以知道函数在区间$$[a,b]$$上连续，那么函数在开区间$$(a,b)$$内也连续。
罗尔中值定理应用举例
罗尔中值定理应用举例
1:中值定理简介
中值定理是数学中一个重要的定理。
它说，如果一个曲线在两个点上的切线相等，那么在这两点之间，这个曲线必须经过这两点的中点，也就是中值点。
在复变函数中，如果在给定的两点之间存在一个曲线，使得这两个点的求导值相等，那么这个曲线于这两点之间必过一点。
这点就是所谓的中点。
象征性地说，这个定理可以帮助我们在决定函数特征时找到最优解。
2:马罗尔中值定理
马罗尔中值定理，也称为“表示定理”，是由维也纳数学家安东尼·马罗尔提出的数学定理之一。
这个定理的主要意思是：对任意一个函数，如果它在两点之间满足一定条件，那么它存在一组参数，这组参数可以表示函数在两个点之间的任意曲线。
马罗尔中值定理使用了中值定理，它补充和推广了中值定理，它重要地指出在两者之间存在什么样的曲线，以及它们如何实现最优曲线。
3:马罗尔中值定理的应用
马罗尔中值定理在工程应用中非常广泛。
在几何中，马罗尔中值定理可以用来构造色系和材料的拉伸型的曲线，这也是工程设计中最常用的曲线。
它还可用于计算曲线和折线之间的最佳近似关系，以及求解不通过曲线的椭圆的空间位置问题。
除此之外，马罗尔中值定理
也被应用在分析几何学，几何重建和光照建模中。
比如，它可用于构造几何重建中的单双峰物体，以及几何光照建模中的室内软着色器。
总而言之，马罗尔中值定理在工程应用中具有重要意义，可以极大提升工程设计效率，为工程实践提供科学依据。
罗尔Rolle中值定理
[ f ( x) sin x ] x 0 解题关键
证明至少存在一点 ( 0 ,
2
), 使
f ( ) cos 0.
容易验证: g( x ) 在 [ 0, ] 上满足罗尔定理条件. 2 由罗尔定理得: 至少存在一点 ( 0, ), 使得 2 g( ) 0
即
f ( ) cos 0.
证明: 设 g( x ) f ( x ) sin x
0
1
x
例2 f ( x ) x , x [1,1];
y
(1) f ( x ) C[1,1]; ( 2) f ( x ) D( 1,1); ( 3) f ( 1) f (1).
1
0
1 x
不存在 ( 1,1), 使 f ( ) 0.
例3 f ( x ) x , x [0,1];
罗尔（Rolle）中值定理
主讲：潘 洁
安徽理工大学
微分中值定理
罗尔中值定理
泰勒中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
问题的引出：
y
C
T 与x轴
这样的 可能有多个
a
1
2
b
x
一、罗尔(Rolle)中值定理
y
D
若函数 f ( x ) 满足：
(1) 在 [a , b] 上连续；
f ( x )在 [a , b] 上 连续， f ( x)在 [a, b] 上必有最大值 M 和最小值 m.
(1)若 M m.则 f ( x) M . 由此得 f ( x ) 0, x (a, b). (a, b),都有 f ( ) 0.
f (a ) f (b), (2)若 M m. 最值不可能同时在端点处取得. 不妨设 M f (a ),
罗尔定理和拉格朗日中值定理的关系
罗尔定理和拉格朗日中值定理的关系
罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，即f(a)=f(b).
罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
罗尔定理描述如下：
如果R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间[a,b] 上连续，（2）在开区间(a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
拉格朗日中值定理（又称：拉氏定理、有限增量定理）是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a) 。
拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系, 在研究函数的单调性、凹凸性以及不等式的证明等方面, 都可能会用到拉格朗日中值定理。
罗尔中值定理
注1. 几何意义: 如图
若连续曲线y = f (x) y
除端点外处处有不垂直
M
于x轴的切线. 且两端点
A
的纵坐标相等. 则在曲
线上至少存在一点M. 在M点的切线平行于x
0 a x0
轴. 也就是平行于弦AB.
y = f (x) MB
从而
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
f (x0 )
设f (x0)为f (x)在开区间(a, b)内的最大值, 即, x(a, b), 有 f (x) f (x0). 因x0(a, b), 故当|x|充分小时, 有x0+x (a, b),
) )
.
但1,
2不一定相同,
故
不能用这一方法.
要证
f (b) g (b)
f (a) g(a)
f ( g(
) )
,
只须证
f (
)
f (b) f (a) g(b) g(a)
g(
)
0
即
f
(
x
)
f (b) g (b)
f (a) g(a)
g(
x
)
0.
x
证:
记 ( x)
f
(x)
f (b) g(b)
即
f ( )
f
(b) b
f a
(a)
.
注1. 若f (a)= f (b),
则f ( )
f
(b) f (a) ba
罗尔中值定理英文表述
罗尔中值定理英文表述【最新版】目录1.罗尔中值定理的定义和概述2.罗尔中值定理的英文表述3.罗尔中值定理的应用和实例正文罗尔中值定理（Rolle"s Theorem）是微积分学中的一个基本定理，它是由法国数学家约瑟夫·罗尔（Joseph Rolle）在 17 世纪提出的。
这个定理的主要内容是：如果一个函数在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，并且在区间端点的函数值相等，即 f(a) = f(b)，则至少存在一点 c ∈ (a, b)，使得 f"(c) = 0。
罗尔中值定理的英文表述为："If a function f(x) is continuous on the closed interval [a, b], differentiable in the open interval (a, b), and satisfies the conditions f(a) = f(b), then there exists a point c ∈ (a, b) such that f"(c) = 0."这个定理在微积分学中有着广泛的应用，例如可以用来证明一些函数的极值、曲线的拐点等。
同时，罗尔中值定理也是其他更高级定理的基础，如拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。
举一个简单的实例来说明罗尔中值定理的应用。
假设我们要研究函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x 在区间 [0, 3] 上的性质，首先可以计算出该函数在区间端点的值，即 f(0) = 0 和 f(3) = 0。
由于函数值在区间端点相等，根据罗尔中值定理，我们可以知道在区间 (0, 3) 内至少存在一点 c，使得 f"(c) = 0。
通过求导可以得到 f"(x) = 3x^2 - 12x + 9，然后通过求解 f"(x) = 0，可以得到 x = 1 或 x = 3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1. 填空题
设
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间(1, 2), (2, 3),(3, 4) 上.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.验证罗尔定理对函数 f (x) In在sin区x间
上(的 ,正5确) 性。 66
机动 目录 上页 下页 返回 结束
正实根 .
假设另有
f (x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
但
矛盾, 故假设不真!
机动 目录 上页 下页 返回 结束
f (x) C[0, ], 且在 ( 0, ) 内可导, 证明至少存 在一点 (0, ), 使 f ( ) f ( )cot .
(c) 端点处函数值相等. y
o 1x
2) 定理条件非必要，只是充分的.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2:不求导数，判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个
零点，以及其所在范围。 解：
因为f(1)=f(2)=f(3)=0, f(x)在[1, 2], [2, 3]上满足罗尔定理 的三个条件，
有且仅有一个小于1 的
证: 1) 存在性 . 设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由零点定理知存在 x0 (0,1), 使 f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
机动 目录 上页 下页 返回 结束
有且仅有一个小于1 的
正实根 . 2) 唯一性 .
B. f (x) x .
C. f (x) 1 x2
D.f (x) x c. f (x) 1 x2 (2)上述函数中，求满足罗尔定理条件的
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注一定成立. 例如：
(a) 闭区间内连续.
y
(b) 开区间内可导.
o 1x
y
1 o 1 x
且
(或 )
证: 设 则
0 0
存在
y
o x0 x
二.罗尔(Rolle)定理
满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导
(3) f ( a ) = f ( b ) 在( a , b ) 内至少存在一点
使 f ( ) 0.
几何解释:
y
C
如果连续光滑的曲线
yf(x) 在端点 A、B 处的
所以在(1, 2) 内至少存在一点 x1,使 f (x1)=0, x1是 f (x)的 一个零点。
同理，在(2, 3)内至少存在一点x2,使f (x2)=0, x2也是 f (x)的一个零点。
f (x) 是二次多项式,只能有两个零点,分别在区间(1, 2)及 (2, 3)内。
可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。
提示: 由结论可知, 只需证
即
f (x )sin x x 0
设 F(x ) f (x )sin x
验证 F (x ) 在 [0, ] 上满足罗尔定理条件.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
谢谢！
A
纵坐标相等。那么，在
曲线弧上至少有一点
Oa
C( , f())，曲线在 C点
的切线平行于 x 轴。
yf(x) B bx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
证明： f(x)在区间 [a , b] 上连续,必有最大值M和最小值m
例1:
(1)下面函数中，在[-1,1]上满足罗尔定理条件的
是
A. f (x) 1 . x
高等数学
中值定理
微分中值定理的核心是拉格朗日 (Lagrange)中值定理,费马定理是它的预备定理 ,罗尔定理是它的特例,柯西定理是它的推广。
一、罗尔( Rolle )中值定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一.预备定理——费马(Fermat)定理