03 正规子群与商群 近世代数

集的个数与右陪集的个数相同.
证明 a H , a : h ah 是 H 到 aH 的一一映射; a : h ha 是 H 到 Ha 的一一
映射;
Sl aH | aG , Sr Ha | aG
则 : aH Ha1 是 Sl 到 Sr 的一一
映射.
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定义：设H是群G的子群,且g G，gH=Hg, 称H是G的正规子群（或不变子群）,记H < G， 对正规子群H不用区分左陪集、右陪集，简称为H的陪集。
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① H G
② H 在 G 中的全部不同的左陪集有:
(1)H {(1), (12)} (12)H (13)H {(13), (123)} (123)H (23)H {(23), (132)} (132)H
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例 G S3
{(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
从而 H 在 G 中左陪集的个数也有限. 设
#(G : H ) r ，且
G a1H U a2H UL U ar H
由前定理, ai H I aj H 且
| aiH || ajH | H
所以,
| G || a1H | | a2H | L | ar H | r | H | H #(G : H )
进而引出拉格朗日（Lagrange）定理：子群
的阶都是有限母群阶的因子。
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集合的积
设 G 为群, A, B 是群 G 的两个非空
子集, 定义
AB {ab| a A,bB} 若 B {g} ，则 Ag AB {ag | a A}
gA BA {ga | a A}
对运算（Hg1）（ Hg2）=（Hg1g2）是群。
称（G H ，）为G关于H的商群。
商群的阶#（G
H
）=
#G #H
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商群
如：交错群A 是3元对称群S 的正规子群。得A 关于S 的商群。
3
3
3
3
S 3
=（{ 1），（12），（13），（23），（123），（132）}
A 3
={（1），（123），（132）}，
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陪集
定义：群G关于子群H的左（右）陪集个数，称为
H在G中的指数。记#（G：H）
定理（Lagrange）：有限群G的子群H把G分为
#G #H
类，
即
#G #H
=#（G：H）,#G=#（G：H）#H。
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Lagrange定理证明
证明 因为 H G , 所以 H 也是有限群，
S3的3阶子群：必是循环群{(1),（123），（132）}
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乘积集的例
定理：设H、K是群G的有限子群，则
#（HK）=（#H）（#K) #(H I K）
如：在3元对称群S3中，H=（{ 1），（12）}, K=（{ 1），（13）}
H {(1), (12)}
பைடு நூலகம்
③ H 在 G 中的全部不同的右陪集有:
H(1) {(1), (12)} H(12)
H(13) {(13), (132)} H (132)
H(23) {(23), (123)} H (123) ④ H(13) (13)H
⑤ G (1)H U (13)H U (23)H H(1) U H(13) U H(23)
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由上定理知，
G aH U bH U cH UL G Ha1 U Hb1 U Hc1 UL
，即{a, b, c,L } 是群 G 关于子群 H 的一
个左陪集代表系， {a1, b1, c1,L } 是群
G 关于子群 H 的一个右陪集代表系.
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若存在群 G 到群 G 的同构映射
，则称群 G 与群 G 同构.
假定 是集合 A 到 A 的一个满射，
s A ，称 s (s) {(a) | a s} 为
s 在 之下的象；
s A ，称 s 1(s ) {a | (a) a, a s }
为 s 在 之下的逆象.
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商群
定理：设H 是群（G，o）的正规子群,
则G关于H的所有陪集的集 G H ＝{Hg | g G}
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要判断一个子群是不是不变子群，一般来说， 使用上述定理中所描述的判断方法比较方便．
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定理
两个代数系统 G 与 G 同态， 若 G 是群，
则 G 也是群.
证明：

G~G
，G
是群，有结合律，则
G
也有结合律； 是同态满射，有
a G, a G, st. (a) a (e) (a) (ea) (a),
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陪集的性质及陪集分解
左陪集的性质及左陪集分解
1） aaH 2）a H aH H
3）b aH aH bH a1b H
4）aH bH aH bH
群 G 中每个元素属于且只属于一个左陪集， 因此群 G 可以按照其子群 H 的左陪集分类.
近世代数及其应用
罗守山 教授 博士生导师 北京邮电大学计算机学院
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第3章 正规子群与商群
本章继续研究特殊重要的群：正规子群，并引 出商群，介绍群同态基本定理，低阶群的构造。
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第1节 陪集 拉格朗日（Lagrange）定理
先在群中引入一种特殊等价关系，由此对该群 进行分类——群的陪集分解。
3 1}
（{ 1），（12），（13），（23），（123），（132）}
交错群A 3
={（1），（123），（132）}。
A（3 1）=A3=A（3 123）=A（3 132）,
A（3 12）={（12），（13），（23）}=A（3 13）=A（3 23）.
S3的全部6个元素已经被A3分为两个等价类，
定义：设f 是G H的一个群同态映射，
a，bG, （f a ob） （f a）* （f b）,
像为H的单位元eH的所有元素的集，称为同态映射f 的核，
记为Kerf,
Kerf = {g G|（f g）=eH }
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定义
若存在群 G 到群 G 的同态满射
，则称群 G 与群 G 同态；
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Lagrange定理推论
群G元素个数=子群H元素个数 G关于H的左（右）陪集个数. 推论1：#H|#G, 子群元素个数是群元素个数的因数。 推论2：群元素的阶|#G, 群元素a的阶是群G的阶的因数。 推论3：每个阶为素数p的群G都是循环群。
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正规子群
定理：设（G1，o）与（G2，o）是群（G，o）的正规子群, 则（G1G2，o）是群（G，o）的正规子群。
思路：（1）G1G2是群G的子群。 （2）G1G2是群G的正规子群。
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右陪集的性质及右陪集分解 1） a Ha
2）a H Ha H
3） b Ha Ha Hb ba1 H
4） Ha Hb Ha Hb
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右陪集与左陪集的对应关系
定理 设 H G ，则群G 的任何两个 陪集含有相同个数的元素；且 H 在 G 中 左陪
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如：找3元对称群S 的所有子群？ 3
S 3
=（{ 1），（12），（13），（23），（123），（132）}
子群的阶必是#S 3

6的因子为1，2，3，6
S3的1阶子群：{（1）}
S 的6阶子群：S
3
3
S3的2阶子群：必是循环群{（12），（1）}，{（13），（1）}，{（23），（1）}
S 3
=A（3 1）U
A（3 12）.
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