高等代数正规子群与商群
03 正规子群与商群 近世代数
证明 a H , a : h ah 是 H 到 aH 的一一映射; a : h ha 是 H 到 Ha 的一一
映射;
Sl aH | aG , Sr Ha | aG
则 : aH Ha1 是 Sl 到 Sr 的一一
映射.
2020/3/13
定义：设H是群G的子群,且g G，gH=Hg, 称H是G的正规子群（或不变子群）,记H < G， 对正规子群H不用区分左陪集、右陪集，简称为H的陪集。
2020/3/13
40
2020/3/13
41
2020/3/13
42
2020/3/13
43
2020/3/13
44
2020/3/13
45
2020/3/13
① H G
② H 在 G 中的全部不同的左陪集有:
(1)H {(1), (12)} (12)H (13)H {(13), (123)} (123)H (23)H {(23), (132)} (132)H
2020/3/13
21
例 G S3
{(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
从而 H 在 G 中左陪集的个数也有限. 设
#(G : H ) r ，且
G a1H U a2H UL U ar H
由前定理, ai H I aj H 且
| aiH || ajH | H
所以,
| G || a1H | | a2H | L | ar H | r | H | H #(G : H )
进而引出拉格朗日（Lagrange）定理：子群
的阶都是有限母群阶的因子。
群论的分支规则
群论的分支规则群论是数学的一个分支，主要研究的是抽象代数结构——群。
群论的分支规则是指在研究群的过程中，如何将一个大的群分解为更小、更简单的子群。
这些子群之间有一定的关系，可以帮助我们更好地理解和研究整个群的性质。
群论的分支规则主要包括以下几点：1. 正规子群：设G是一个群，H是G的一个子群，如果H满足条件(a) H本身是一个群；(b) H中任意两个元素的乘积仍在H中；(c) G中任意一个元素与H中任意一个元素的乘积仍在G中。
那么H 就是G的一个正规子群。
正规子群具有传递性，即如果H和K都是G 的正规子群，且H包含于K，那么K也包含于H。
2. 商群：设G是一个群，H是G的一个正规子群，那么由G中所有与H无关的元素组成的集合（记作G/H）以及G/H上定义的运算（即将G中的元素g和H中的元素h映射到G/H中的(gH)），就构成了一个群，称为G关于H的商群。
商群可以看作是将G分解为不相交的正规子群H的并集。
3. 循环子群：设G是一个有限群，H是G的一个子群，如果存在一个元素g∈G，使得对于任意的h∈H，都有gh=hg。
那么称H为G 的一个循环子群。
循环子群具有封闭性，即如果H是G的一个循环子群，那么H的任何非空子集也是循环子群。
4. 交换子群：设G是一个群，H是G的一个子群，如果H中任意两个元素的乘积都在H中，那么我们称H为G的一个交换子群。
交换子群具有传递性，即如果H和K都是G的交换子群，且H包含于K，那么K也包含于H。
5. 幂零子群：设G是一个有限群，H是G的一个子群，如果存在一个正整数n，使得hn=e（其中e是G的单位元）对于任意的h∈H都成立，那么我们称H为G的一个幂零子群。
幂零子群具有传递性，即如果H和K都是G的幂零子群，且H包含于K，那么K也包含于H。
通过以上分支规则，我们可以将一个复杂的群分解为更小、更简单的子群，从而更好地理解和研究整个群的性质。
近世代数--正规子群与商群
练习
1.设N G,且[G : N ] 2,证明: N G.
2.设N G, 证明 : N G NG (N ) G.
作业
教材P69第1,4题
第八节 正规子群与商群
• 正规子群的定义 • 正规子群的等价性命题 • 商群 • 小结
设H G,若
一、正规子群的定义
定义 设N G, 若a G, 有aN Na, 则称N是G的正规子群, 记作N G. 正规子群也称不变子群
例1 任意一个群G都有两个正规子群e与G,
这两个正规子群称为G的平凡正规子群.
证明
(1) (2)an aN Na an n1a, n1 N ana1 n1 N
(2) (3)显然
(3) (4)由(3)知a1Na N n N, a1na N 于是n a(a1na)a1 aNa1 N aNa1 aNa1 N
则(G / N,)是一个群. G / N称为G关于N的商群.
推论 商群G / N的阶是N在G中的指数[G : N ],
当G是有限群时, G / N的阶是 | G | . |N|
四、小结
1.正规子群: G中每个元素a对应的左陪集aN和 右陪集Na都相等;
2.正规子群的等价性命题:它既是正规子群的性质， 也是正规子群的判定定理；
(4) (5)aN,a N ana1 aNa1 N ana1 n1, n1 N an n1a Na aN Na 反之, n N aNa1 n an2a1, n2 N na an2 aN Na aN 故aN Na
正规子群和商群
性质1 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G 的不变子群.
证明：首先由前面可知它是子群；而且
a H I N , H , N是G的不变子群，则x G, xax1 H且xax1 N xax1 H I N 因此H I N是G的不变子群.
性质2 不变子群与子群的乘积是子群；
h1n1 1 h2n2 n11 h11h2 n2
n11h3n2
h3n3n2
h3 n3n2 HN
解：因为 H(13) {(13),(123)}
(13)H {(13), (132)} 所以 H 不是 G 的不变子群.
因为 (1)N {(1), (123), (132)} N (1 ) (12)N {(12), (23), (13)} N(1 2)
所以 N 是 G 的不变子群.
定理 设 N G ，则 N 是 G 的正规子群
a G ,有 aN Na a G ,有 aNa1 N a G ，n N ,有 ana1 N a G ,有 aNa1 N
由前面讨论可知：由不变子群确定的群的左右陪集分解是 一回事，即由此得到的左右商集是一致的。
叫做正规子群（也叫不变子群），由它可以 定义一种和G相关的新群—商群.
定义 1 N G, a G, 都有aN Na， 则称 N 是群 G 的一个正规子群（或不变子群）
记作 N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是正规子群.
{e}: a G, a{e} {a} {e}a G : a G, aG G Ga
性质3 不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
（留作练习） 我们知道“子群”的概念具有传递性:
N H，H G N G
3-2正规子群和商群
因为 H (13) = {(13), (123)}
(12) N = {(12), (23), (13)} = N (1 2)
的不变子群. ，所以 N 是 G 的不变子群.
2011-12-12 14:23
二、正规子群的性质 性质1 性质1 设 N ≤ G ，则 N 是 G 的不变子群 ⇔ ∀a ∈ G ,有 aN = Na
2011-12-12 14:23
G G / N = { aN | a ∈ G } aN ⋅ bN = ( ab ) N 做成群 做成群.
四、商群
N
关于
G G / N = { aN | a ∈ G } aN ⋅ bN = ( ab ) N 做成群 做成群.
定义 2
G ，则称 G / N = { aN | a ∈ G } 关于 aN ⋅ bN = ( ab ) N 做成的群为 G 关于
2011-12-12 14:23
五 商群的应用
定理5 是一个pn阶有限交换群 其中p是一个素数 定理 设G是一个 阶有限交换群 其中 是一个素数 则 是一个 阶有限交换群,其中 是一个素数,则 G有p阶元素 从而有 阶子群 阶元素,从而有 阶子群. 有 阶元素 从而有p阶子群 证:
对n用数学归纳法. 当n = 1时, G是p阶循环群, 则G的生成元就是一个p阶 元, 定理成立. 假定定理对阶为pk(1 ≤ k < n)的交换群成立, 下证对 阶为pn的交换群G定理成立. 在G中任取a ≠ e, 若p a , 令
2011-12-12 14:23
例
n次交代群 A n 是n次对称群 Sn的一个正规子群 . 证 :由于任意 n次置换 σ与其逆 σ −1有相同的奇偶 性, 从而易知 σA nσ A n > Sn .
正规子群,商群与同态基本定理
（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。
·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。
二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。
(完整word版)3。2 正规子群与商群
§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。
但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ∀∈=。
例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。
而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ∀∈=，都有aN Na =。
再比如，交换群的子群总满足上述性质。
设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ∀∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。
由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S交换群的子群都是正规子群；任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。
{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。
定理1. 设N G ≤，则 1,NG a G aNa N -⇔∀∈⊆有； ⇔,,a G x N ∀∈∀∈ 都有1.axa N -∈例1 证明n n A S 。
例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。
证明：,X G A N ∀∈∀∈，则111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。
例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。
03 正规子群与商群.
2019/4/21
16
2019/4/21
17
2019/4/21
18
2019/4/21
19
2019/4/21
20
例
G S3
{(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
H {(1), (12)}
① H G
②
H 在 G 中的全部不同的左陪集有:
(1) H {(1), (12)} (12) H (13) H {(13), (123)} (123) H (23) H {(23), (132)} (132) H
2019/4/21
21
例
G S3
{(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
1
2019/4/21
12
2019/4/21
13
2019/4/21
14
陪集例
如：3元对称群S3关于交错群A3的所有右陪集？ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 S3 ={ ， ， ， ， ， } 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 3 2 2 1 3 3 2 1 （ { 1），（12），（13），（23），（123），（132） } 交错群A3 ={（1），（123），（132）}。 A（ （ （ , 3 1）=A 3 =A 3 123）=A 3 132） A（ 12），（13），（23）}=A（ （ 3 12）={（ 3 13）=A 3 23）. S3的全部6个元素已经被A3分为两个等价类， S3 =A（ （ 3 1） A 3 12）.
正规子群与商群
正規子群與商群bee *108.03.03∼108.03.03順便證明了Lagrange 定理。
1.定義【共軛變換】(conjugation)：x →gxg −1。
【正規子群的定義與符號】：設N 是G 的子群。
若∀n ∈N,∀g ∈G ，gng −1∈N (即共軛不變)，則N 是G 的一個正規子群(normal subgroup)，記為N ▹G 。
這定義顯然來的突兀，應該了解要這一個定義的目的。
2.陪集設H 是G 的一個子集，考慮aH ={ah }(1)我們發現：當a,b ∈G 時，可得aH =bH 或者是aH ∩bH =∅。
於是我們可以用H 當標準把G 中的元素分類，若aH =bH ，則a,b 為同一類。
這樣我們可以得到一個等價關係，並用符號a 表示{b bH =aH }。
同時，用G H表示集合{g }。
g 實際上是一個集合，稱為左陪集(left coset)，我們現在的想法是把coset 拿來當元素，然後定義一個新的群。
當然，這樣我們需要運算，這個運算就採用原先的運算。
即g 1·g 2={g 1h 1g 2h 2}=g 1hg 2(2)因為G 不一定是交換群，所以g 1h 1g 2h 2的順序不可以隨便交換。
*bee 美麗之家:http:/.tw/bee接下來我們必須驗證這一個運算對於陪集來說擁有群的運算性質。
(1)結合律。
顯然o.k.(2)單位元素。
∀h∈H，h=e=H，我們把e視為單位元素。
計算g·e={gh1eh2}=gH=g。
(3)反元素。
設g∈G，看看g是不是有反元素，直覺的想法是找g−1。
計算g·g−1={gh1g−1h2}=ghg−1?===H(3)如果G是交換群，這件事就搞定拉！可是G不一定是交換群，於是得要求∀g∈G,gh1g−1=h,其中h∈H(4)這就是正規子群的要求。
於是利用原先的群運算，如果H是一個【正規子群】，而不僅僅是一個子群，那麼，我們就可以創造一個新的群：商群：GH(quotient group)3.補充(1)如果G是一個交換群，那麼所有的子群H都是正規群。
正规子群判别
(2) 在 G/ H中a H 的逆元是 a 1H ．
15
前页 前后页 前目页录 前返页回
推论2 设 G 为群，H 是 G 的任一子群． 如果 G 是 交换群， 则商群 G/ H 也是交换群．
由于H 在 G 中的指数[G : H ] 就是 H 在 G 中的陪集
K S4
11
前页 前后页 前目页录 前返页回
三、正规子群有下列简单性质
定理2.2.2 设G 为群，H1, H2 是G 的正规子群． 则 H 1 H2与 H 1H2都是 G 的正规子群．
定理2.2.3 设G 是群，H 是G 的一个正规子群，H 的所有陪集组成的集合G /H { a H |a G }关于陪集的 乘法a H b H (a b)H 构成群．
同理有HaaH． 所以 aHHa．因此 H G
由于[Sn:An]2,由此例可知，n 次交代群 A n 是次
对称群S n 的正规子7群．
前页 前后页 前目页录 前返页回
二、正规子群的判别
定理2.2.1设G 是群，H 是G 的子群． 则下列四 个条件等价:
(1) H 是G 的正规子群; (2) 对任意的 aG， 有 aHa1H; (3) 对任意的 aG，有 aHa1H; (4) 对任意的aG，有aha1H．
{ a ,b ,c ,d } { 1 ,2 ,3 ,4 } ．则 (( a )( b ) ) (( c )( d ) ) .
因为 可逆，所以 ( a ) , ( b ) , ( c ) , ( d )互不相同，且
10
前页 前后页 前目页录 前返页回
( a ) ,( b ) ,( c ) ,( d ) { 1 , 2 , 3 , 4 } ， 所以1K，由此得
正规子群与商群
2.2.2 正规子群的性质(Properties of Normal Subgroup)
定理:设H是G的子群，则以下几个命题是相互等价 的。 (1) a ∈G，有aH= Ha（即H G） (2) a ∈G， h ∈H，有aha-1 ∈H (3) a ∈G，有aHa-1 H (4) a ∈G，有aHa-1= H
例. 考虑4次对称群S4，令 K4={(1)，(1 2)(3 4)，(1 3)(2 4)，(1 4)(2 3)}， 则易证K4是S4的一个子群，而且是正规子群。 但H={(1)，(1 2 4)，(1 4 2)}是S4的子群，不是正规 子群。 正规子群还有以下性质: (1)设A G，B G，则A∩B G，AB G (2)设A G，B≤G，则A∩B B，AB≤G (3)设A G，B G，且A∩B={e}，则 a∈A， b∈B，有ab=ba
证明: (1)(2)： a∈G， h∈H，有ah ∈Ha，推出ah=h1a， 所以aha-1=h1 ∈H (2) (3)： aha-1∈H，得到 aHa-1 H (3) (4)： a∈G，有aHa-1 H，也有a-1Ha H; 又 h ∈H，有aha-1=h1 ， ∴h=ah1a-1 ∈ aHa-1， ∴ H aHa-1， ∴ aHa-1=H (4) (1)： aHa-1=H，得(aHa-1)a=Ha， aH=Ha
2.2.3 商群(Quotient Group)
设H G，则G关于H的左陪集的集合与右陪集的集 合相等，记做G/H。
G/H={aH|a∈G}={Ha|a∈G} 定义 由H确定的G中的元素间的等价关系～为同余 关系： a～b a-1b ∈H a≡b(modH) 则每一个陪集记做a =aH，称为模H的一个同余类， 故 G/H={ a | a∈G }。
第二章2.群中的等价关系--陪集，共轭，正规子群与商群
第⼆章2.群中的等价关系--陪集，共轭，正规⼦群与商群群作为代数结构⾸先是⼀个集合，那么元素间可能有各种等价关系，这些等价关系给出了群的划分，也使群⾃⾝结构的特异性突出。
⼀、陪集 定义 设H是G的⼀个⼦群，a\in G，作集合aH=\{ax|x\in H\}，称aH是关于⼦群H的⼀个左陪集。
类似地，可定义右陪集Ha=\{xa|x\in H\}. 对于陪集，我们有如下性质: (i) aH中元素个数与H⼀样。
（重新排列定理） (ii) H本⾝也是H的⼀个陪集(eH, He). (iii) a在陪集aH中，称a为陪集aH的⼀个代表。
(iV) 设b\in aH，则有aH=bH. 即aH中任⼀元素，均可作aH的⼀个代表。
(V) 由此可以定义等价关系a,b\in G，若a^{-1}b\in H, 则a\sim b. 此等价关系给出G的⼀个划分 G=a_1H\cup a_2H\cup...\cup a_l H. 下⾯重点证明(iV)和(V)。
证明: (iV) 有b=ah,\, h\in H。
则对\forall h_i\in H，有ah_i=b(h^{-1}h_i). 即aH\subset bH. 同理，bh_i=a(hh_i)\in aH，即bH\subset aH. 故aH=bH. (V) ⾃反: a^{-1}a=e\in H\quad\Rightarrow a\sim a. 对称: a\sim b\quad\Rightarrow a^{-1}b\in H\quad\Rightarrow (a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H\quad\Rightarrow b\sim a. 传递: a\sim b, b\sim c\quad\Rightarrow a^{-1}b,\,b^{-1}c\in H\quad\Rightarrow(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c\inH\quad\Rightarrow a\sim c. 定义 群G中⼦群H的相异陪集个数称为H在G中的指数，记为(G:H). 定理2.3(Lagrange定理) n阶群G的⼦群H的阶m是n的⼀个因数。
第7章 正规子群,商群(补讲2)
定理2.2.2
定理2.2.3
四、商群的定义与性质
定义2.2.2 ---商群 例7
二、正规子群的判别 定理2.2.1 ---子群的等价条件 例6
例8 例10
例12
后页 前页 目录 前页 返回 前页
例9
例11
20
前页
一、正规子群的定义
定义2.2.1 设H 是群 G 的子群， 如果对每个a G ， 都有aH Ha 则称 H 是群G 的一个正规子群（subgroup） 或不变子群( invariant subgroup)， 记作 H G ． 注 在上述定义中， 条件 aH Ha 仅仅表示两个 集合aH与 Ha相等.不要错误地认为由 aH Ha 可推出
后页 前页
目录 前页
返回 前页
陪集的基本性质
定理2 设H是群G的子群，则 (1) He＝H。 (2) a∈G有 a∈Ha。 证明：
(1) He ＝{he|h∈H} ＝{h|h∈H} ＝H (2) 任取a∈G，由a＝ae和ae∈Ha 得a∈Ha。
4
前页
后页 前页
目录 前页
返回 前页
定理3
定理3 设H是群G的子群，则a,b∈G 有 a∈Hb ab-1∈H Ha＝Hb 证明：先证 a∈Hb ab-1∈H。
• 本节主要讨论群的分解 • 陪集的定义、实例、性质 • 拉格朗日定理
1
前页
后页 前页
目录 前页
返回 前页
陪集
定义1 设H是G的子群，a∈G。令 Ha＝{ha|h∈H} 称Ha是子群H在G中的右陪集(right coset)。称a 为Ha的代表元素。
2
前页
后页 前页
目录 前页
3-2正规子群和商群
§2 正规子群和商群
1. 正规子群的定义 2.正规子群的性质
3.商群
2014-4-9
18:39
一、正规子群的定义
定义 1 N G 且 a G , aN Na ,则称 N 是群 G 的一个正规子群（或不变子群） ，记作
N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是正规子群. 例2 任意群 G 的中心
证明： ①N G / N ，故非空； ② 有乘法运算 (aN )( bN ) ( ab) N ； ③ ( aNbN )cN aN ( bNcN ) (abc ) N ，有结合律； ④ ( eN )( aN ) aN ,有左单位元 eN N ； 1 ⑤ (a N )(aN ) eN ,有逆元.
2014-4-9 18:39
定理6
有限交换群G为单群的充分必要条件是, G 为素数.
证明:
设 G 为素数.则G是一个素阶循环群 , 从而 反之, 设G是单群且G n 1.在G中任取
G显然是一个单群 . 元素a e.若 a n, 则由于G是交换群, 故 e a G. 这与G是单群矛盾 .因此必a n , 从而G a 为n阶循环群, 再由定理5可知, n必为素数.
N H G ，且 N G，则 N H .
设是群G到群G的一个同态满射 , 则在之下 G的正规子群的像是 G的一个正规子群 , G的 正规子群的逆象是 G的一个正规子群 .
2014-4-9 18:39
四、商群
G / N {aN | a G} N G 关于 aN bN ( ab ) N 做成群.
2014-4-9 18:39
五 商群的应用
定理5 设G是一个pn阶有限交换群,其中p是一个素数,则 G有p阶元素,从而有p阶子群. 证:
Ch 17.6-7 正规子群与商群,群的同态和同构
f(e1)=e2 ，f(x −1)=f(x)−1.
第三编 代数结构
15
同态映射的性质
同态保持元素的性质
f(e1)=e2，f(x−1)=f(x)−1，f 将生成元映到生成元 |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a|
同态保持子代数的性质
H≤ G1 ⇒ f(H)≤ G2. H⊴G1, f 为满同态⇒ f(H)⊴G2. 同态核的性质： ker f = { x | x∈G, f(x)=e2 }, ker f ={e1} ⇔ f 为单同态. kerf ⊴ G1；∀a,b∈G1, f(a)=f(b) ⇔ akerf = bkerf . 同态基本定理
第三编 代数结构
19
例题
V=<Z6,⊕>,求V 上的同余关系 方法一：确定所有的等价关系，然后判断置换性质
方法二：先找自同态，由同态像确定同余关系
自同态为：fi:Z6→Z6, fi(x)=(ix) mod 6, i=0,1,2,3,4,5 f0 的同态像为{0}, f0 导出的同余关系为全域关系 f1 和f5 的同态像为Z6， f1 导出的同余关系为恒等关 系
第三编 代数结构
5
证明
N是G的t 阶子群，且是唯一的t 阶子群，则N是G的正规子 群.
证明 任取g∈G，则gNg-1≤G。（证明N≈gNg-1 ） 令f: N→gNg-1，f(n)＝gng-1，n∈N 假若f(n1)＝f(n2),则有gn1g-1=gn2g-1， 从而推出 n1＝n2，即f是单射。 任取gng-1∈gNg-1，则有n∈N且f(n)＝gng-1， 所以 f 是满射。从而N≈gNg-1。 由于G只有一个t 阶子群，故gNg-1＝N。 <N,*>是<G,*>的正规子群。
710 正规子群与商群
正规子群与商群Normal Subgroup and Quotient Group●设(H, ⋅) 是群(G, ⋅) 的一个子群，若对于任意g∈G，有gH = Hg，则称(H, ⋅) 是(G, ⋅) 的正规子群(normal subgroup)或正则子群、不变子群，记作H G●在正规子群中左陪集和右陪集相等，因此统称为陪集●例◆Abel群的子群都是正规子群◆n是的正规子群●定理◆群(G, ⋅)的子群(H, ⋅)是(G, ⋅)的一个正规子群当且仅当对于任意g∈G，h∈H，有ghg-1∈H●证明◆ (必要性)对于任意g∈G, h∈H，由于gH=Hg，存在h1∈H使得gh=h1g，即ghg-1= h1∈H◆（充分性）即证明对于任意g∈G，gH=Hg•对于任意h∈H，gh∈gH，由于ghg-1∈H，存在h1∈H使得ghg-1=h1，即gh = h1g∈Hg。
这表明gH⊆Hg•类似地可以证明Hg⊆gH。
于是gH=Hg，即H 是G的一个正规子群设(H, ⋅) 是(G, ⋅) 的一个正规子群，定义G/H为{ Hg|g∈G } ，对于任意Ha, Hb∈G/H 定义G/H上的运算◦为Ha◦Hb=Hab。
则(G/H, ◦) 构成一个群，称为G关于H的商群（quotient group）。
G/H={Hg|g∈G}, Ha◦Hb=Hab ●证明◆(1) 首先证明◦运算是良性定义的：即若Ha=Hx且Hb=Hy，则Hx◦Hy = Ha◦Hb•若Ha=Hx=xH，Hb=Hy=yH，则对于任意h∈H，, h2∈H使得hab=xh1b=xyh2∈xyH。
由此得存在h1到Hab ⊆xyH = Hxy•类似地可以证明Hxy ⊆Hab•因此有Hxy = HabG/H={Hg|g∈G}, Ha◦Hb=Hab ●证明◆(2) ◦运算的封闭性是显然的。
◆(3) ◦运算的结合性由群(G, ⋅) 上运算的结合性易得◆(4) G/H中存在关于◦运算的单位元He=H◆(5) G/H中任何一个元素都存在关于◦运算的逆元：(Ha)-1= Ha-1◆因此(G/H, ◦)构成一个群●G = {π0, π1, π2, π3} ●S = {π0, π1}，T = {π2, π3} ●S 是 G 的正规子群 ●G /S = {S , T }●(G /S , ◦) 是一个商群 π0 = 1 2 3 4 1 2 3 4 π2 = 1 2 3 4 1 2 4 3π1 = 1 2 3 4 2 1 3 4 π3 = 1 2 3 4 2 1 4 3 ◦ {π0, π1} {π2, π3} {π0, π1} {π0, π1} {π2, π3} {π, π} {π, π} {π, π}The END。
1.5正规子群与商群
a ≡ b(mod n) .模 n 同余关系 ≡ 决定的 Z 的分类为
Z n = {[0], [1], L , [n − 1]} ,
其 中 [i ] = {kn + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, L, n − 1 , 都称 为 同余类. 模 n 同余类
Company Logo
Company Logo
§5 正规子群与商群
的一个分类时, 当 P 是 A 的一个分类时 , 一般将 A 中每一 当然, 个元素 a 所属的类记作 [a] . 当然 , [a ] 的含义不 有关, 有关. 但与 A 有关,而且与 P 有关. 定 义 5.5 设 ∼ 是 A 上 的 一 个 等 价 关
R ,记作 a Rb .
Company Logo
§5 正规子群与商群
例 1
设 A 是 平面 p 上 的 所有直线构
成的集合. 成的集合.令 集合
⊥= {(a, b) | a, b ∈ A 且 a 垂直于 b} ，
‖ = {(a, b) | a, b ∈ A 且 a 平行于 b} .
Company Logo
§5 正规子群与商群
[a] = [b] .这就表明 P 中的任意两个不同的
集合互不相交. 的一个分类. 集合互不相交.所以 P 是 A 的一个分类. (2)对于任意的 (2) 对于任意的 a ∈ A , 由于 a 与 a 属 于同一类, 这表明～ 于同一类,因此 a ～ a .这表明～具有自反 性 . 对于任意的 a, b ∈ A , 若 a ～ b , 则 a 与 属于同一类,从而, 属于同一类. b 属于同一类,从而, b 与 a 属于同一类.因
Company Logo
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
. .. . . ..
陪集的乘法
设 G 是一个群，H 是它的一个子群. 令 I 是 G 的全部左陪集的代
表元集，则
∪ G = gH
g∈I
是 G 的全部左陪集的无交并. 提出下列问题：能否在全体左陪集的
集合上建立一个乘法运算使它成为一个群呢？
实际上在群 G 的子集之间是有自然的乘法的.
定义 K, L 是群 G 的两个非空子集，称集合
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
关于商群的一些记号
当 H 在上下文中是给定时，我们也常写 G/H 为 G，而元 gH 写为 g. 注意，不同的 g, g′ 可以有 g = g′. 这时表示 gH = g′H，即 g, g′ 在 H 的同一陪集中. 由于 g1Hg2H = g1g2H，故 g1 g2 = g1g2.
由命题 1，对 H 是正规子群，它的任何一个左陪集也是右陪集，我 们简称为 G 的陪集. 而且 G 的子集间的乘法对于陪集的集合是封 闭的以及 ∀g1, g2 ∈ G，(g1H)(g2H) = g1g2H.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
定义 G 是群，H 是 G 的子群. 若 ∀g ∈ G，有 g−1Hg = H，则称 H 为 G 的正规子群. 记为 H ◁ G.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
正规子群
定义 G 是群，H 是 G 的子群. 若 ∀g ∈ G，有 g−1Hg = H，则称 H 为 G 的正规子群. 记为 H ◁ G.
∀g−2 1 ∈ G，有 Hg−2 1 ⊆ g−2 1H. 于是 g2H ⊆ Hg2，就得 g2H = Hg2.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
陪集的乘法封闭的条件
证端，首就先得设H∀gg21H, g=2 ∈g2GH，. 左有端(g=1H)∪(g2HHg)2=h
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
商群可反应原群的性质
易知
F[x]/f(x)F(x) = {a0xn−1 + a1xn−2 + · · · + an−2x + an−1 + f(x)F[x] | ai ∈ F}.
两个陪集 p(x) + f(x)F[x] 及 q(x) + f(x)F[x] 的和是 (p(x) + q(x)) + f(x)F[x].
Z/nZ = {0 + nZ, 1 + nZ, · · · , (n − 1) + nZ}.
两个陪集 l + nZ 及 k + nZ 的和为 (l + k) + nZ. 又易见陪集 k + nZ 是 Z 中用 n 去除、其余数与 k 的余数相同的全体整数的集合. 故 Z 对于 nZ 的陪集也常称为模 n 的同余类或剩余类. Z/nZ 是 Z 的模 n 的剩余类的加法群.
p(x) + f(x)F[x] = r(x) + f(x)F[x].
p(x) + f(x)F[x] 是 F[x] 中用 f(x) 去除、其余式与 p(x) 的余式相同 的多项式的全体. 故也称 F[x] 中 f(x)F[x] 的陪集为模 f(x) 的同余 类或剩余类. F[x]/f(x)F[x] 是 F[x] 的模 f(x) 的剩余类的加法群.
. .. . . ..
商群
命题 设 G 是群，H ◁ G. 记 G 关于 H 的陪集的集合为
G/H = {gH | g ∈ G}, 则 G/H 对于陪集的乘积成为一个群，称为 G 对 H 的商群.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
剩余类
例 1 单位元群 ⟨e⟩ 及群 G 本身都是 G 的正规子群. 当 G 是交换群 时，它的任一子群都是正规子群.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
Hg2H = g2HH = g2H. 进而 ∀g1 ∈ G，用 g1 左乘它的两端，则
∀g1, g2 ∈ G, (g1H)(g2H) = (g1g2)H.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
陪集的乘法封闭的条件
证端，首就先得设H∀gg21H, g=2 ∈g2GH，. 左有端(g=1H)∪(g2HHg)2=h
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
单群
例
4
令
Cp
是素数
p
阶循环群.
比如
Cp
是平面绕点
O
旋转
n
·
2π p
角（0 ≤ n ≤ p − 1）的全体旋转所成的群.
绕
O
转
2π p
角的旋转
T
是它的生成元，Cp = {Tn | 0 ≤ n ≤ n − 1}.Cp 的子群的阶 q 必须
满足 q | p，p 是素数，故 q = 1 或 p. 即 Cp 除了单位元的群和自身
外没有其它的子群，更没有其它的正规子群.
这时 Cp 只可以作出两个商群
Cp/Cp = e · Cp ∼= ⟨e⟩, Cp/⟨e⟩ = {Tn⟨e⟩ | 0 ≤ n ≤ p − 1} ∼= Cp.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
商群可反应原群的性质
易知
F[x]/f(x)F(x) = {a0xn−1 + a1xn−2 + · · · + an−2x + an−1 + f(x)F[x] | ai ∈ F}.
两个陪集 p(x) + f(x)F[x] 及 q(x) + f(x)F[x] 的和是
陪集的乘法
设 G 是一个群，H 是它的一个子群. 令 I 是 G 的全部左陪集的代
表元集，则
∪ G = gH
g∈I
是 G 的全部左陪集的无交并. 提出下列问题：能否在全体左陪集的
集合上建立一个乘法运算使它成为一个群呢？
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
(g1g2)H，则用 g−1 1 乘两 = g2H. 在中间项中取
h∈H
h = e，则 Hg2e = Hg2 ⊆ g2H. 即 ∀g2 ∈ G，有 Hg2 ⊆ g2H. 同样
∀g−2 1 ∈ G，有 Hg−2 1 ⊆ g−2 1H. 于是 g2H ⊆ Hg2，就得 g2H = Hg2.
反之，设 ∀g2 ∈ G, Hg2 = g2H. 由于 H 是子群，HH = H. 故
KL = {kl | k ∈ K, l ∈ L}
为பைடு நூலகம்K 与 L 的集合乘积.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
陪集的乘法
易知，这个乘法有结合律，即 K(LM) = (KL)M. 问题是这个乘法 对于左陪集的集合是否封闭呢？即任给两个左陪集 g1H 及 g2H，它 们的乘积是否是一个左陪集呢？由于 g1H 中有 g1，g2H 中有 g2， 因此 (g1H)(g2H) 中有元素 g1g2. 于是若要 (g1H)(g2H) 等于一个左 陪集，就必须是 g1g2 所在的左陪集 (g1g2)H.
命题 G 是群，H 是 G 的一个子群，则 ∀g1, g2 ∈ G，(g1H)(g2H) = g1g2H 当且仅当 ∀g2 ∈ G，Hg2 = g2H，或者当且仅当 ∀g2 ∈ G, g2−1Hg2 = H.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
商群
命题 设 G 是群，H ◁ G. 记 G 关于 H 的陪集的集合为
G/H = {gH | g ∈ G}, 则 G/H 对于陪集的乘积成为一个群，称为 G 对 H 的商群. 证 首先 G/H 对于上述乘法是封闭的，且已知这乘法满足结合律.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
商群
命题 设 G 是群，H ◁ G. 记 G 关于 H 的陪集的集合为
G/H = {gH | g ∈ G},
则 G/H 对于陪集的乘积成为一个群，称为 G 对 H 的商群.
证 首先 G/H 对于上述乘法是封闭的，且已知这乘法满足结合律. 陪集 H = eH 是它的单位元，eHgH = egH = gH, ∀g ∈ H. 又任意 gH，有 g−1HgH = eH = gHg−1H，即 g−1H 是 gH 的逆元. 这就完 成了证明.
(p(x) + q(x)) + f(x)F[x].
通过商群可以反应原群的一些性质. 例如，有限群 G，H ◁ G. 设 [G : H] = s.∀g ∈ G，g ∈ G = G/H. 因 |G| = s，gs = gs = e，即有 gsH = eH. 故 gs ∈ H. 这个性质通过商群就很容易得到证明. 这种方 法是群论中商用的.