运筹学--对策论

当盟军获悉此情报后，盟军统帅麦克阿 梭命令太平洋战区空军司令肯尼将军组织空 中打击。
日本统帅山本五十六大将心里很明白： 在日本舰队穿过俾斯麦海的三天航行中，不 可能躲开盟军的空中打击，他要策划的是尽 可能减少损失。
日美双方的指挥官及参谋人员都进行了 冷静的思考与全面的谋划。
自然条件对于双方 都是已知的。基本情况如下： 从蜡包尔出发开往莱城的海上航线有南北两条。通过时 间均为3天。
S2= 1 , 2 , 3 ,4
min
6 5 6 5 5* max
A= 1 4 2 -1 -1
8 5 7 5 5* max
0 2 620
max 8 5* 7 5*
min
min
显然 ai2 a12 a1j ai2 a32 a3j 对 i=1,2,3,4 j=1,2,3,4 都成立： a12 = a32 =5由定理5-1，对策 值=5，对策的解( 1 , 2 ）,（ 3 , 2 ）,（ 1 , 4 ）,（ 3 , 4 ）
案例中，肯尼将军与山本五十六大 将的赢得（支付）函数都可以用矩 阵A、B表示。
（盟军）北线 南线
（日军）北线 南线
（日军）
北线
南线
2
2 =A
1
3
（盟军）
北线
南线
-2
-2 =B
-1
-3
在本例中的每一个对局，双方的 赢得的代数之和为零，这样的对 策称为“有限零和二人对策”
设两个局中人为I，II，局中人I有 m 个策略：1、 2… m ；用S1表 示这些策略的集合：
I
j
ji
该最优策略为（3， 3），即秋季购煤20 吨。
练习：“二指莫拉问题”，甲乙两人游戏，每人出一个或 两 个手指头，同时又把猜测对方所出的手指数叫出来，若只 有一个人猜测正确，则他所赢得数为二人所出手指之和， 否则，重新开始。写出该对策各局中人的策略集合及甲的 赢得矩阵，并回答局中人是否存在某种出法比其他出法更 为有利。
max min aij
i
j
同样，局中人II可以保证局中人I的 赢得不超过
min max aij
j
i
案例中局中人I（盟军）应当选择 （北线）策略1，这样能保证赢得2。局 中人II（日军）应当选择（北线）策略1 使盟军赢得不超过2。实际上，在（ 1， 1）局势下，有
max min aij= min max aij
气象预报表明：未来3天中，北线阴雨，能见度差； 而南线天气晴好，能见度好。
肯尼将军的轰炸机布置在南线的机场，侦察机全天
候进行侦察，但有一定的搜索半径。
经测算，双方均可得到如下估计：
局势1： 盟军的侦察机重点搜索北线，日本舰队也恰好走 北线。由于气候恶劣，能见度差，盟军只能实施两天的 轰炸。
局势2：盟军的侦察机重点搜索北线，日本舰队走南线。 由于发现晚，尽管盟军的轰炸机群在南线，但有效轰炸 也只有两天。
A
28
解：(i, j) 表示自己出 i个手指，猜测对方出 j个手指。
练习：“二指莫拉问 题”，甲乙两人游戏， 每人出一个或两个手 指头，同时又把猜测 对方所出的手指数叫 出来，若只有一个人 猜测正确，则他所赢 得数为二人所出手指 之和，否则，重新开 始。写出该对策各局 中人的策略集合及甲 的赢得矩阵，并回答 局中人是否存在某种 出法比其他出法更为 有利。
i
j
j
i
上式蕴涵的思想是朴素自然的，可以概 括为：“从最坏处着想，去争取最好的 结果”
定义14-1：对给定的矩阵对策
G = S1，S2；A 若等式
max min aij= min max aij
i
j
j
i
成立，则称这个公共值为对策G的值， 记为VG，而达到的局势（ i， j ） 称为对策G在纯策略意义下的解，记 为（ i*， j *）而i*和 j *分别称为 局中人I和局中人II的最优纯策略。
对策的三要素：
局中人：有权决定自己行为方案的对 局参加者称为局中人。案例中，美日 双方的决策者为局中人。当对局中局 中人只有两人时，称为二人对策。
策略：对局中一个实际可行的方案称 为一个策略。案例中，美日双方各有 二个策略。
赢得矩阵（支付）：当每个局中人 在确定了所采取的策略后，他们就 会获得相应的收益或损失，此收益 或损失的值称为赢得（支付）。赢 得与策略之间的对应关系称为赢得 （支付）函数。
北线 1 南线2
（盟军）北线 1 2
2 =A
南线2 1
3
在矩阵中，盟军的最大赢得是3，而要得到3， 必须选择策略 2，而日军的目的是使盟军的赢得尽 量的小，必须选择策略1 ，使盟军的赢得只有1。
在局中人I设法使自己的赢得尽可能大的同时， 局中人II也设法使局中人I的赢得尽可能小。
所以局中人I应首先考虑用 所能赢 得的最小，然后在这些最小赢得中 选择最大。局中人I可以保证赢得
ij
ji
j
已知 E（ i， Y*） V E（X*， j ）
所以
E ( x ,y * )E (i,y * x i ) E ( x * y * ,x ) i E ( x * y * , )
i
i
E ( x * y ) , E ( x *j) , y j E ( x * y * ,y ) j E ( x * y * , )
第十四章 对策论
对策论概论
对策论（The Game Theory)也称竞赛论或博
弈论，是研究具有竞争、对抗、利益分配等方面 的数量化方法，并提供寻求最优策略的途径。
20世纪40年代形成并发展。1944年以来，对策 论在投资分析、价格制定、费用分摊、财政转移 支付、投标与拍卖、对抗与追踪、国际冲突、双 边贸易谈判、劳资关系以及动物行为进化等领域 得到广泛应用。
解：
局中人I（采购员）有三个策略：
策略1: 10吨,策略2: 15吨,策略3 :20吨。 局中人II（环境）：
策略1 较暖 ,策略2 正常，策略3较冷 现把该单位冬天取暖用煤全部费
用（秋季购煤费用与冬天不够时再补购 煤费用）作为采购员的赢得矩阵。
1(10) 2 (15) 3 (20)
1较暖
2正常
E ( x ,j) E ( x ,j ) ( x 1 , ,x m ) a i) ( j 0 , ( , 1 , 0 ) T a ix i j
i
则 E ( x ,y ) a ix j iy j ( a iy jj) x iE (i,y ) x i
ij
ij
i
E ( x ,y ) a ix j iy j( a ix j i) y jE ( x ,j)
14-1矩阵对策的基本概念
案例：俾斯麦海的海空对抗
1943年2月，第二次世界大战中的日本， 在太平洋战区已经处于劣势。为扭转局势， 日本统帅山本五十六大将统率下的一支舰队 策划了一次军事行动：由集结地——南太平 洋的新不列颠群岛的蜡包尔出发，穿过俾斯 麦海，开往新几内亚的莱城，支援困守在那 里的日军。
S1= 1、 2…… m
同样，局中人II有n个策略：1、 2。。。 n ；用S2表示这些策略的集合： S2= 1、 2… n 局中人I的赢得矩阵是：
a11 a12 …… a1n a21 a22 …… a2n A= …… …… …… a m1 a m2 … a mn
局中人II的赢得矩阵是 -A 把一个对策记为G： G= S1，S2；A
在混合策略意义下有解的充分必要条件是：
存在混合局势（ X*，Y*），使得对一切 X S1* Y S2*均有 E（X，Y*） E（X*，Y*） E（X*，Y）
定理14-3：对给定的矩阵对策
G = S1，S2；A 设X* S1* Y* S2*则混合局势（ X*，Y*）是G的解且 V=VG*的充分必要条件是： 对一切 i,j均有
j
j
故
E (x ,y * E )(x * y * , E )(x * y ),
定理3把无限个不等式的证明转化为对有限个（mn)个不等式
的证明问题。
定理14-1：矩阵对策 G = S1，S2；A
在纯策略意义下有解的充分必要条 件是：
存在一个局势（ *i*， *j *），使 得对一切 i=1，2，… m， j=1， 2…n 均有
aij*<=ai*j*<= ai*j
定理14-1表明矩阵对策
G = S1，S2；A
有解的充分必要条件是在A中存在元
素 ai*j*是其所在行中最小的同时又 是其所在列中最大的。这时ai*j*即 是对策值，因此ai*j*也称为“鞍
0 2 3 0
赢得矩阵为 A 2 0 3 0
0
3
0 4
0
3
4
0
A
29
14.2 矩阵对策的混合策略
定义:对给定的矩阵对策
G = Ⅰ，Ⅱ；S1,S2;A
其中 S1= 1, 2…m
S2= 1 , 2… n
A=(aij)mn
把纯策略集合对应的概率向量
X=(x1, x2 … xm) 其中 xi 0 xi=1 和 Y=(y1 , y2 … yn ) 其中 yj 0 yj=1
例14-4：某单位采购员在秋天时要决定
冬天取暖用煤的采购量。已知在正常气 温条件下需要用煤15吨，在较暖和较冷 气温条件下需要用煤10吨和20吨。假定 冬季的煤价随着天气寒冷的程度而变化，
在较暖、正常、较冷气温条件下每吨煤 价为100元、150元、200元。又秋季每吨 煤价为100元。在没有关于当年冬季气温 情况下，秋季应购多少吨煤，能使总支 出最少？
分别称为局中人I和局中人II的混合策略。
如果局中人I选取的策略为
X=(x1, x2 … xm) 局中人II选取的策略为
Y=(y1 , y2 … yn )，则期望值 E（X，Y）= xi aij yj=XAYT 称为局中人I期望赢得，而局势（X，Y） 称为“混合局势”，局中人I，II的混合 策略集合记为S1*， S2*。