指数函数单调性的判断
指数函数单调性的证明(老黄学高数第32讲)
证明：y=ax当a>1时，在R上严格增；
当0<a<1时在R上严格减. 证2：给定x1, x2∈R，且x1<x2，即x1-x2<0 若y=ax在R上减，即0<ax2≤ax1； 则ax1/ax2 =ax1-x2≥1；
又当a>1时，∵ ax1-x2<1，矛盾！ ∴当a>1时， y=ax在R上严格增.
若y=ax在R上增，即0<ax1≤ax2；则ax1/ax2 =ax1-x2≤1； 又当0<a<1时，∵ax1-x2>1，矛盾！ ∴当0<a<1时， y=ax在R上严格减.
老黄学高数
第32讲 指数函数 单调性的证明
证明：y=ax当a>1时，在R上严格增； 当0<a<1时在R上严格减. 证1：给定x1, x2∈R，且x1<x2. 根据有理数的稠密性，可取有理数r1, r2， 使r1<x1<r2<x2，则 当a>1时，有ax1=sup{ar1}<ar2≤sup{ar2}=ax2， 即y=ax在R上严格增. 当0<a<1时，有ax1=inf{ar1}>ar2≥inf{ar2}=ax2. 即y=ax在R上严格减.
证明：y=ax当a>1时，在R上严格增； 当0<a<1时在R上严格减. 证3：给定x1, x2∈R，且x1<x2，记△x=x2-x1>0 则ax2=ax1+△x=ax1·a△x ， 当a>1时，a△x>1，∴0<axt;a<1时，0<a△x<1，∴0<ax2<ax1；
即y=ax在R上严格减.
判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常用方法判断函数的单调性是数学中常见的一个问题。
在解决这个问题时，有一些常用的方法和技巧可以帮助我们确定函数的单调性。
下面将就这些方法和技巧进行详细介绍。
1.用导数判断函数的单调性：常数函数：常数函数不会随自变量的变化而变化，因此常数函数在定义域上是单调的。
一次函数：一次函数的导数为常数，若导数大于零，则函数单调递增；若导数小于零，则函数单调递减。
幂函数：幂函数的导数根据指数、底数的不同具有不同的形式，通过求导后的符号进行判断函数的单调性。
指数函数：指数函数的导数为指数函数本身的常数倍，若底数大于1且指数函数变量在定义域上递增时，函数单调递增；若底数小于1且指数函数变量在定义域上递减时，函数单调递增。
对数函数：对数函数的导数为自变量在底数为e的自然对数函数中的导数，根据求导后的符号进行判断函数的单调性。
2.利用函数的一阶和二阶导数进行判断：函数的一阶导数描述了函数图像的斜率，可以通过判断一阶导数的符号确定函数的单调性。
若一阶导数始终大于零，则函数单调递增；若一阶导数始终小于零，则函数单调递减。
函数的二阶导数描述了函数图像的曲率，若二阶导数始终大于零，则函数图像为凹函数，函数单调递增；若二阶导数始终小于零，则函数图像为凸函数，函数单调递减。
3.利用函数的性质进行判断：常用的函数性质包括函数的奇偶性、周期性、对称性等。
若函数具有奇函数的性质，则在定义域的相对称点上具有相反的函数值，可以通过判断奇函数在其中一区间内的正负性得出函数在该区间的单调性。
若函数具有周期性，则可以通过观察一个周期内的变化趋势来判断函数的单调性。
4.利用图像进行判断：通过观察函数图像可以直观地判断函数的单调性。
若函数图像始终上升，则函数单调递增；若函数图像始终下降，则函数单调递减。
这些是常用的判断函数单调性的方法和技巧。
在实际问题中，有时候需要结合多个方法和技巧来确定函数的单调性。
同时，还可以利用函数的单调性来解决一些实际问题，例如在优化问题中，我们可以通过判断目标函数的单调性来确定最优解的存在性和位置。
《指数函数》经典讲义(完整版)
指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则01c d a b <<<<<，在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1223,,21xx y y x y y =⋅===- 等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且． （1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析：（1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f （x ）是奇函数． （3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，=×1=；n为偶数时，=+f（）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n ﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．11。
指数函数知识点
指数函数一、课程标准1. 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象。
2. 探索并理解指数函数的单调性与特殊点.3.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.二、基础知识回顾 指数函数的概念函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数． 形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 3．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质[常用结论]1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a .2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．三、自主热身、归纳总结1、 设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a2、函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <03、若函数y ＝(a 2－1)x 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. 1<a <2 B. －2<a <－1C. 1<a <2，或－2<a <－1D. 22<a <1，或1<a <24、(2019·山东济宁二中期末）若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]5、已知函数f(x)＝a x －3＋2的图像恒过定点A ，则A 的坐标为 ． 6. [课本题改编]若不等式223ax axx>13对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．四、例题选讲考点一 指数函数的性质与应用例1、已知f (x )＝2x－2－x ，a ＝⎝⎛⎭⎫79－14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (b )<f (a )<f (c ) B ．f (c )<f (b )<f (a ) C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a )变式1、（2019·广东韶关一中期末）设x >0，且1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <aD ．1<a <b变式2、已知函数f （x ）＝（）x ，若a ＝f （20.3），b ＝f （2），c ＝f （log 25），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a例2、设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x<0，x ，x≥0，若f(a)<1，则实数a 的取值范围是 ；变式、(2020·包头模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______.例3、（1）函数f(x)＝22112x x -++⎛⎫⎪⎝⎭的单调减区间为 ．（2）(一题两空)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则a 的取值范围为________，f (－4)与f (1)的大小关系是________．（3）（2019·福建泉州五中模拟）设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a 的值为________．方法总结 指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时须分底数0<a <1和a >1两种情形进行分类讨论，防止错解．考点二 指数函数的图像与性质例4、（2019·广西北海一中月考）函数y ＝a x－1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )变式1、 （2019·山西平遥中学模拟）已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a ＜2cD ．1＜2a ＋2c ＜2变式2、已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________． 变式3、 已知f(x)＝|2x －1|. (1)求f(x)的单调区间； (2)比较f(x ＋1)与f(x)的大小；(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x 2的零点的个数．方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用． (1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除； (2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解．考点三 指数函数的综合运用例5 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数． (1) 求a ，b 的值；(2) 若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．变式1、设a 是实数，f (x )＝a －22x＋1(x ∈R )．(1) 试证明对于任意a ，f (x )都为增函数； (2) 试确定a 的值，使f (x )为奇函数．变式2、 已知函数f(x)＝24313ax x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a 的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a 的值．方法总结：是指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如y ＝a f (x )的函数的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关：若a >1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调增(减)区间；若0<a <1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调减(增)区间五、优化提升与真题演练 1、函数的值域为（ ）A ．B ．C ．（0，]D ．（0，2]2、2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数3、.函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A.y ＝1－x B.y ＝|x －2| C.y ＝2x －1D.y ＝log 2(2x )4、(2018·上海卷)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫p ，65、Q ⎝⎛⎭⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________．5、(2020·河南商丘模拟)已知函数f (x )＝(a 2－2a －2)a x 是指数函数． (1)求f (x )的表达式；(2)判断F (x )＝f (x )＋1f （x ）的奇偶性，并加以证明．6、已知函数f(x)＝a|x＋b|(a>0，b∈R)．(1)若f(x)为偶函数，求实数b的值；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求实数a，b应满足的条件．7、设函数f(x)＝ka x－a－x(a>0且a≠1，k∈R)，f(x)是定义域为R的奇函数．(1)求k的值，(2)判断并证明．．当a>1时，函数f(x)在R上的单调性；(3)已知a＝3，若f(3x)≥λ·f(x)对于x∈[1，2]时恒成立．请求出最大的整数．．．．．λ．．8、（2019·山东烟台二中模拟）已知函数f(x)＝1－42a x＋a(a>0，a≠1)且f(0)＝0.(1)求a的值；(2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；(3)当x∈(0，1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案1、设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C【解析】因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5＜a＝0.60.6＜1.又c＝1.50.6＞1，所以b＜a＜c.2、函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0【答案】D【解析】由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1. 函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 3、若函数y ＝(a 2－1)x 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. 1<a <2 B. －2<a <－1C. 1<a <2，或－2<a <－1D. 22<a <1，或1<a <2 【答案】C【解析】 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.∴数a 的取值范围是1<a <2或－2<a <－1.故选C. 4、(2019·山东济宁二中期末）若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 5、已知函数f(x)＝a x －3＋2的图像恒过定点A ，则A 的坐标为 ． 【答案】(3，3)【解析】 由a 0＝1知，当x －3＝0，即x ＝3时，f(3)＝3，即图像必过定点(3，3)． 6. [课本题改编]若不等式223ax ax-x>13对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[0，1)【解析】 原不等式即为223axax->3－1，则有ax 2－2ax>－1，即ax 2－2ax ＋1>0对一切实数恒成立．当a ＝0时，满足题意；当a>0时，Δ＝(－2a)2－4a<0，即a 2－a<0，解得0<a<1. ∴实数a 的取值范围是[0，1)． 五、 六、例题选讲考点一 指数函数的性质与应用例1、已知f (x )＝2x－2－x ，a ＝⎝⎛⎭⎫79－14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (b )<f (a )<f (c ) B ．f (c )<f (b )<f (a ) C ．f (c )<f (a )<f (b ) D ．f (b )<f (c )<f (a )【答案】 B【解析】 易知f (x )＝2x－2－x 在R 上为增函数，又a ＝⎝⎛⎭⎫79－14＝⎝⎛⎭⎫9714>⎝⎛⎭⎫9715＝b >0，c ＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )．变式1、（2019·广东韶关一中期末）设x >0，且1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <a D ．1<a <b 【答案】C【解析】因为x >0时，1<b x ，所以b >1.因为x >0时，b x <a x，所以x >0时，⎝⎛⎭⎫a b x>1.所以ab >1，所以a >b ，所以1<b <a .变式2、已知函数f （x ）＝（）x ，若a ＝f （20.3），b ＝f （2），c ＝f （log 25），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＞b ＞a B ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a【答案】B ．【解析】根据题意，函数f （x ）＝（）x ，则f （x ）在R 上为减函数， 又由20.3＜21＜2＜log 25， 则a ＞b ＞c ；故选：B ．例2、设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x<0，x ，x≥0，若f(a)<1，则实数a 的取值范围是 ； 【答案】(－3，1)【解析】当a <0时，不等式f (a )<1可化为12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭－7<1，即12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<8，即12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<312-⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴a >－3.又a <0，∴－3<a <0.当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1.∴0≤a <1， 综上，a 的取值范围为(－3，1)．变式、(2020·包头模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______. 【答案】12.【解析】(1)当a <1时，41－a＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立.故a 的值为12. 例3、（1）函数f(x)＝22112x x -++⎛⎫⎪⎝⎭的单调减区间为 ．（2）(一题两空)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则a 的取值范围为________，f (－4)与f (1)的大小关系是________．（3）（2019·福建泉州五中模拟）设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a 的值为________．【答案】（1） (－∞，1] （2）(1，＋∞) f (－4)＞f (1)（3）13或3 【解析】（1）设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝12a⎛⎫⎪⎝⎭在R 上为减函数，∴函数f (x )＝22112x x -++⎛⎫⎪⎝⎭的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]． （2）因为|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a ＞1.由于函数f (x )＝a |x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)＞f (1)．（3）令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1，1]时，t ＝a x∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3.方法总结 指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时须分底数0<a <1和a >1两种情形进行分类讨论，防止错解．考点二 指数函数的图像与性质例4、（2019·广西北海一中月考）函数y ＝a x－1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )【答案】D【解析】当a >1时，y ＝a x－1a 是增函数． 当x ＝0时，y ＝1－1a ∈(0，1)，A ，B 不满足．当0<a <1时，y ＝a x－1a 在R 上是减函数． 当x ＝0时，y ＝1－1a <0，C 错，D 项满足．变式1、 （2019·山西平遥中学模拟）已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．2－a ＜2cD ．1＜2a ＋2c ＜2【答案】D【解析】作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示，因为a ＜b ＜c ，且有f (a )＞f (c )＞f (b )，所以必有a ＜0，0＜c ＜1，且|2a －1|＞|2c －1|，所以1－2a ＞2c －1，则2a ＋2c ＜2，且2a ＋2c ＞1，故选D 。
新教材人教A版数学必修第一册讲义4-2-2第2课时指数函数的性质及其应用
第2课时指数函数的性质及其应用1．掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．2．能借助指数函数图象及单调性比较大小．3．会解简单的指数方程、不等式．4．了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．1．指数函数值与1的大小关系(1)a>1时，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1.(2)0<a<1时，当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1.2．对称关系函数y＝a－x与y＝a x的图象关于y轴对称．3．图象位置关系底数a的大小决定了图象相对位置的高低．(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线x＝1，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．(2)在y轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为0<d<c<1<b<a.1．指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的函数值随自变量有怎样的变化规律？[答案] 当a >1时，若x >0，则y >1；若x <0，则0<y <1.当0<a <1时，若x >0，则0<y <1；若x <0，则y >12．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若0.3a >0.3b ，则a >b .( )(2)函数y ＝3x 2在[0，＋∞)上为增函数．( )(3)函数y ＝21x在其定义域上为减函数．( )(4)若a m >1，则m >0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×题型一 利用指数函数的单调性比较大小【典例1】 比较下列各组数的大小：(1)0.7－0.3与0.7－0.4；(2)2.51.4与1.21.4；(3)1.90.4与0.92.4.[思路导引] (1)利用指数函数的单调性比较；(2)利用指数函数的图象比较；(3)借助中间量1进行比较．[解] (1)∵y ＝0.7x 在R 上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.(2)在同一坐标系中作出函数y ＝2.5x 与y ＝1.2x 的图象，如图所示．由图象可知2.51.4>1.21.4.(3)∵1.90.4>1.90＝1，0．92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4.比较幂的大小的3种类型及方法(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如0或1)来比较．[针对训练]1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b[解析]∵函数y＝0.8x在R上为减函数，∴0.80.7>0.80.9，即a>b.又0.80.7<1,1.20.8>1，∴0.80.7<1.20.8，即a<c.∴c>a>b.选D.[答案]D题型二 解简单的指数不等式【典例2】 (1)解不等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2； (2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．[思路导引] (1)化为同底的指数不等式，再利用单调性求解；(2)分a >1与0<a <1两种情况解不等式．[解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1， ∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数， ∴3x －1≥－1，∴x ≥0.故原不等式的解集是{x |x ≥0}．(2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x 2－4x －5>0，解得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是增函数， ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0，解得－1<x <5.综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5；当a >1时，－1<x <5.指数不等式的求解策略(1)形如a x >a y 的不等式：可借助y ＝a x 的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况讨论．(2)形如a x >b 的不等式：注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．[针对训练]2．已知32x －1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5，求实数x 的取值范围． [解] 由32x －1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5，得32x －1≥30.5. ∵函数y ＝3x 在R 上为增函数，∴2x －1≥0.5，得x ≥34.故x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 3．若a －5x >a x ＋7(a >0且a ≠1)，求x 的取值范围．[解] ①当a >1时，∵a －5x >a x ＋7，且函数y ＝a x 为增函数，∴－5x >x ＋7，解得x <－76.②当0<a <1时，∵a －5x >a x ＋7，且函数y ＝a x 为减函数，∴－5x <x ＋7，解得x >－76.综上所述，当a >1时，x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76. 当0<a <1时，x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，＋∞. 题型三 指数型函数的单调性【典例3】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x . (1)判断函数f (x )的单调性；(2)求函数f (x )的值域．[思路导引] 由函数u ＝x 2－2x 和函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 的单调性判断． [解] (1)令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u .∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． (2)∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)， ∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3]．[变式] 若本例“f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ”改为“f (x )＝2|2x －1|”，其他条件不变，如何求解？[解] (1)设u ＝|2x －1|，由函数y ＝2u 和u ＝|2x －1|的定义域为R ，故函数y ＝2|2x －1|的定义域为R .∵u ＝|2x －1|在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， 而y ＝2u 是增函数，∴y ＝2|2x －1|在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． (2)∵u ＝|2x －1|≥0，∴2u ≥1.∴原函数的值域为[1，＋∞)．指数型函数单调性的解题技巧(1)关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性，利用“同增异减”的原则，求出y＝f[φ(x)]的单调性，即若y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同(同增或同减)，则y＝f[φ(x)]为增函数，若y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反(一增一减)，则y＝f[φ(x)]为减函数．[针对训练]4．求函数f(x)＝3－x2＋2x＋3的单调区间．[解]由题意可知，函数y＝f(x)＝3－x2＋2x＋3的定义域为实数集R.设u＝－x2＋2x＋3(x∈R)，则y＝3u，故原函数是由u＝－x2＋2x＋3与y＝3u复合而成．∵y＝3u是增函数，而u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在x∈(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数．∴f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，单调递减区间为[1，＋∞).题型四指数函数的实际应用【典例4】某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．[解]现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米；…经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.解决指数函数应用题的流程(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．(3)解模：运用数学知识解决问题．(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．[针对训练]5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．[解析]假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．[答案]19课堂归纳小结1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c”，若a m<c 且c<b n，则a m<b n；若a m>c且c>b n，则a m>b n.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y＝a x的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解．(3)形如a x >b x 的不等式，可借助图象求解．3．研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1. 当a >1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相同．当0<a <1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相反.1．下列判断正确的是( )A ．2.52.5>2.53B ．0.82<0.83C ．π2<π2D ．0.90.3>0.90.5 [解析] 函数y ＝0.9x 在R 上为减函数，所以0.90.3>0.90.5.[答案] D2．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 [解析] 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. [答案] B3．设13<⎝ ⎛⎭⎪⎫13b <⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <1，则( ) A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a[解析] 由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .[答案] C4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 的单调增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[解析] 设t ＝1－x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，则函数t ＝1－x 的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 的递增区间． [答案] A5．已知函数f (x )＝2－x 2＋2x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在[0,3]上的值域．[解] (1)函数y ＝2－x 2＋2x 的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数．当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x2＋2x 在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y ＝2－x 2＋2x 的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．(2)由(1)知f (x )在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，且f (0)＝1，f (1)＝2，f (3)＝18，所以f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )min ＝f (3)＝18，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2. 课内拓展 课外探究指数函数与函数的单调性、奇偶性指数函数本身不具有奇偶性，但由指数函数复合而成的某些函数具有奇偶性，这类复合函数的单调性由指数函数的单调性决定．1．“y ＝f (a x )”型函数的单调性【典例1】 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在[－1，1]上有最大值14，试求a 的值．[解] 令t ＝a x (t >0)，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，其图象的对称轴为直线t ＝－1.①若a >1，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，则y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．②若0<a <1，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，则y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增，所以y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．综上可知，a 的值为3或13.[点评] 解决二次函数与指数函数的综合问题，本质上考查的还是闭区间上的二次函数的最值问题．在处理时可以利用换元法将指数函数换成t ＝a x 的形式，再利用定义域和函数y ＝a x 的单调性求出t 的范围，此时纯粹就是闭区间上的二次函数的最值问题了．2．“y ＝f (a x )”型函数的奇偶性 【典例2】 设函数f (x )＝12－12x ＋1，(1)证明函数f (x )是奇函数；(2)证明函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数； (3)求函数f (x )在[1,2]上的值域．[解] (1)证明：函数的定义域为R ，关于原点对称． f (－x )＝12－112x ＋1＝12－2x 2x ＋1＝1－2x 2(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．(3)因为函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数， 所以函数f (x )在[1,2]上也是增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝16，f (x )max ＝f (2)＝310.所以函数f (x )在[1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，310.[点评] 指数函数是一类具有特殊性质和实际应用价值的初等函数，利用函数的图象和性质可以研究符合指数函数的图象与性质的综合问题．课后作业(二十八)复习巩固一、选择题1．若函数f (x )＝(1－2a )x 在实数集R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 [解析] 由已知，得0<1－2a <1，解得0<a <12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选B.[答案] B 2．若0.72x －1≤0.7x 2－4，则x 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[解析] ∵函数y ＝0.7x 在R 上为减函数， 且0.72x －1≤0.7 x2－4，∴2x －1≥x 2－4，即x 2－2x －3≤0. 解得－1≤x ≤3，故选A. [答案] A[解析] 构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减，可得b <c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x(x ∈R )之间有如下结论：当x >0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x >⎝ ⎛⎭⎪⎫25x，故，∴a >c ，故a >c >b .[答案] A4．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝( )A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1[解析] 由题意知f (x )是奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，－x >0，则f (－x )＝e －x －1＝－f (x )，得f (x )＝－e －x ＋1.故选D.[答案] D5．已知函数f (x )＝a 2－x (a >0且a ≠1)，当x >2时，f (x )>1，则f (x )在R 上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．当x >2时是增函数，当x <2时是减函数D ．当x >2时是减函数，当x <2时是增函数[解析] 令2－x ＝t ，则t ＝2－x 是减函数，因为当x >2时，f (x )>1，所以当t <0时，a t >1.所以0<a <1，所以f (x )在R 上是增函数，故选A.[答案] A 二、填空题6．满足方程4x ＋2x －2＝0的x 值为________． [解析] 设t ＝2x (t >0)，则原方程化为t 2＋t －2＝0，∴t ＝1或t ＝－2. ∵t >0，∴t ＝－2舍去． ∴t ＝1，即2x ＝1，∴x ＝0. [答案] 0 7．函数y ＝3x 2－2x的值域为________．[解析] 设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ， u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， 所以y ＝3u ≥3－1＝13， 所以函数y ＝3x 2－2x的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 8．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．[解析] 经过第一次漂洗，存留量为总量的14；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的14，也就是原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫142，经过第三次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫143，…，经过第x 次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，故解析式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x .由题意，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤1100，4x ≥100,2x ≥10，∴x ≥4，即至少漂洗4次．[答案] 4 三、解答题9．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)． (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) [解] (1)1年后该城市人口总数为： y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)3； …x 年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)10 ＝100×1.01210≈112.7(万人)．10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 由于g (x )在(－2，＋∞)上递减，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数， ∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1； 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，故当f (x )有最大值3时，a 的值为1.综合运用11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ，x ≥0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，23[解析] 由单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a0，即13≤a <1，故选B.[答案] B12．函数y ＝32x ＋2·3x －1，x ∈[1，＋∞)的值域为______________． [解析] 令3x ＝t ，由x ∈[1，＋∞)，得t ∈[3，＋∞)． ∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2≥(3＋1)2－2＝14. 故所求函数的值域为[14，＋∞)． [答案] [14，＋∞)13．要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 的图象不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．[解析] 解法一：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象向右平移1个单位得到函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象(如图所示过点(0,2))，当m <0时，再向下平移|m |个单位就可以得到函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 的图象．要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 的图象不经过第一象限，需要有m ≤－2.解法二：由题意得，因为0<12<1，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 是减函数，由函数图象不经过第一象限知，当x ＝0时，y ＝2＋m ≤0，解得m ≤－2，故m 的取值范围是(－∞，－2]．[答案] (－∞，－2]15．已知定义域为R 的函数f (x )＝a －23x ＋1(a ∈R )是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )在R 上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数f (x )在R 上的值域．[解] (1)若存在实数a 使函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，得a ＝1.当a ＝1时，f (x )＝1－23x＋1. ∵f (－x )＝1－23－x ＋1＝1－2·3x 1＋3x ＝1－2(3x＋1)－21＋3x ＝－1＋21＋3x ＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数．∴存在实数a＝1，使函数f(x)为R上的奇函数．(3)f(x)＝1－23x＋1中，3x＋1∈(1，＋∞)，∴23x＋1∈(0,2)．∴f(x)的值域为(－1,1)．。
指数函数与对数函数
指数函数指数函数程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)（8）显然指数函数无界。
（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
（11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。
底数的平移：对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
即“上加下减，左加右减”底数与指数函数图像：指数函数（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
幂的大小比较：比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1.（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。
指数和对数的复合函数的单调性、奇偶性、最值问题
信号处理
在信号处理中，指数和对数的复合函数被用来进行 信号的调制和解调，以及滤波和频谱分析等操作。
控制工程
在控制工程中，指数和对数的复合函数可以 用来描述系统的动态响应和稳定性，以及进 行系统分析和设计。
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偶函数与偶函数的复合仍为偶函 数。
03
CATALOGUE
指数和对数的复合函数的最值问题
最值的定义
最值定义
函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值点
函数取得最值的点。
端点值
函数在区间端点的函数值。
求最值的方法
导数法
通过求导找到函数的极值点，然后比较极值点和端点 值，确定最大值和最小值。
不等式法
利用不等式性质，通过比较函数在不同点的函数值来 求最值。
导数法
通过求导数并判断导数的正负来判断函数的单调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0 ，函数单调递减。
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来判断函数的单调性。如果任意两点之间的函数值满足递增或递减关 系，则函数在该区间内单调。
复合函数的单调性
同增异减：如果内外层函数单调性相 同（都递增或都递减），则复合函数 单调递增；如果内外层函数单调性不 同，则复合函数单调递减。
判断复合函数单调性的关键则进行判断。
02
CATALOGUE
指数和对数的复合函数的奇偶性
奇偶性的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意$x$ ，都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函 数。
VS
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意$x$ ，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数 。
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的方法是通过观察函数的导数的正负性进行推断。
具体的步骤如下：
1. 对于给定函数 f(x)，首先求出它的导数 f'(x)。
2. 分析函数的导数 f'(x) 的正负性。
当 f'(x) > 0 时，函数的导数为正；当 f'(x) < 0 时，函数的导数为负。
3. 根据函数的导数的正负性来判断函数的单调性：
- 如果 f'(x) > 0，那么函数在该区间上是单调递增的；
- 如果 f'(x) < 0，那么函数在该区间上是单调递减的；
- 如果 f'(x) = 0，那么函数在该点可能是极大值点或极小值点，需要进一步分析。
需要注意的是，如果函数在一个区间上的导数恒大于（或恒小于）0，则函数在该区间上是严格递增（或严格递减）的。
此外，也可以通过二阶导数的正负性来判断函数的单调性。
当函数的二阶导数大于0时，函数是凸的，即是严格单调递增的；当二阶导数小于0时，函数是凹的，即是严格单调递减的。
2021年人教版高一数学必修一第4单元 指数函数与对数函数(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
指数函数与对数函数的增减性与极限性质
指数函数与对数函数的增减性与极限性质指数函数与对数函数是数学中常见的两种函数类型，它们在数学以及实际问题中具有重要的应用价值。
本文将重点讨论指数函数与对数函数的增减性与极限性质，并给出相应的证明和解释。
一、指数函数的增减性与极限性质指数函数是以某个正数a（a>0且a≠1）为底的函数 f(x) = a^x。
首先讨论指数函数的增减性。
1. 指数函数的增减性考虑指数函数 f(x) = a^x，其中a>0且a≠1。
根据指数函数的定义，我们知道当x1 < x2时，a^x1 < a^x2，即指数函数在其定义域上是递增的。
2. 指数函数的极限性质对于指数函数f(x) = a^x，其中a>0且a≠1，我们来讨论其极限性质。
当x趋向于负无穷时（记为x→-∞），指数函数 f(x) = a^x 的极限为0（记为lim(x→-∞) a^x = 0）；当x趋向于正无穷时（记为x→+∞），指数函数 f(x) = a^x 的极限为正无穷（记为lim(x→+∞) a^x = +∞）。
证明：对于第一种情况，即当x趋向于负无穷时，我们需要证明lim(x→-∞) a^x = 0。
假设对于任意的正数ε（ε>0），存在一个实数M，使得当x < M时，有|a^x| < ε。
根据指数函数的性质，我们可以得到a^x < 1，即1/a^x > 1。
我们可以将指数函数 f(x) = a^x 转化为1/f(x)，即1/a^x，求其极限。
由于lim(x→-∞) 1/a^x = +∞，即当x趋向于负无穷时，1/a^x的值会无限增大。
根据极限的定义，对于任意的正数M，当x < M时，有|1/a^x| > N，其中N为一个正数。
此时，我们可以将1/a^x写为|a^x|/a^x，即|a^x|/(a^x)^2。
我们可以取N = 1/(Ma)，那么当x < M时，就有|a^x|/(a^x)^2 > N。
指数函数的图象和性质及复合函数单调性问题课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
所以 <
2 +2
在
+1
2 +2
，即
+1
<
∈ 1, +∞ 时恒成立，
3
2
又 ∈ ，所以 = 0或1，最大值为1
探究：复合函数的单调性
【思考三】
一般地有形如 = 的函数叫做复合函数
（1）令 = ， = 其中 = ，叫作外函数，
典例剖析&变式训练
【夯实基础】
3．已知∀ ∈ 1, +∞
A．-1
2 +2
，都有2
B．0
因为∀ ∈ 1, +∞
C．1
2 +2
，都有2
> 2+ ，若 ∈ ，求的最大值(C)
3
D．
2
> 2+ , = 2 是R上的增函数,
所以有 2 + 2 > + 即 2 + 2 > ( + 1)在 ∈ 1, +∞ 时恒成立，
−
的值域为 0, 3
1
4
1
−∞,
2
，单调递减区间为
1
, +∞
2
，
利用单调性比较大小
【方法总结】
牢记四字口诀：
同增异减
典例剖析&变式训练
【变式训练】
3．（1）判断函数 =
（2）求函数 = −
−
的单调性，并求其值域；
+ + 的单调区间。
1
3
��
指数函数单调区间 - 分析指数函数的单调性区间
指数函数单调区间 - 分析指数函数的单调性区间指数函数是高中数学中的重要概念之一，也是数学中常见的函数类型之一。
在本文中，我们将重点探讨指数函数的单调性区间。
通过分析指数函数的指数部分以及底数的正负性质，我们可以确定函数的单调性。
为了更好地理解指数函数的单调性区间，让我们先从指数函数的基本概念开始。
指数函数通常由形如f(x) = a^x的表达式表示，其中a表示底数，x 表示指数。
在分析单调性时，我们主要关注底数a的正负以及指数x 的取值范围。
对于底数a大于1的指数函数，例如f(x) = 2^x，由于底数大于1，指数函数会随着x增大而不断增大。
这类指数函数在整个实数域上均为增函数，即单调递增。
指数函数的单调性区间为整个实数集合(-∞, +∞)。
若底数a介于0和1之间，则指数函数的单调性与前一情况相反。
以f(x) = 0.5^x为例，由于底数小于1，指数函数会随着x增大而不断减小。
这类指数函数在整个实数域上均为减函数，即单调递减。
当底数a等于1时，指数函数变为f(x) = 1^x，无论指数取何值，函数值始终为1。
底数等于1时，指数函数既不递增也不递减，单调性区间为空集。
在分析指数函数的单调性时，我们还需要考虑指数x的取值范围。
对于实数集合中的指数函数，其定义域为所有实数。
然而，在实际问题中，指数函数的定义域可能会受到限制。
当指数函数出现在等式或不等式中时，常常需要限定指数的取值范围。
在这种情况下，我们需要找出使得指数函数有意义的指数范围。
指数函数的单调性区间取决于底数a的正负性以及指数x的取值范围。
当底数大于1时，指数函数在整个实数域上为单调递增；当底数介于0和1之间时，指数函数在整个实数域上为单调递减；当底数等于1时，指数函数既不递增也不递减。
通过对指数函数的单调性区间的分析，我们可以更好地理解指数函数的特性，并在解决实际问题时能提供更准确的结果与推断。
总结回顾：- 指数函数是数学中常见的函数类型之一。
指数和对数的复合函数的单调性奇偶性最值问题主要内容
x
+4
1 2
x
-1，+
+5的递减区间是_______.
青苗辅导1
14
例：已知函数f (x) loga(3 ax)在x 0, 2
上单调递减，求a的取值范围。
青苗辅导1
15
例：已知函数f (x) loga ax 1 a 0且a 1，
（1）求函数的定义域； （2）讨论函数f (x)的单调性.
x
log5
x2
3
0.
(1)x1
1 5
,
x2
125.
（2）11+33xx 3;
.(2)x 1;
(3) log4 3x 1 log4 x 1 log4 3 x;
（4）log3 1 2 3x 2x 1. (4)x 1
(3)经检验知x 2是方程的根，x 1舍去。
青苗辅导1
9
例：根据下列条件，求出ｘ的值： (1)4 4x 5 2x 6 0; (2)9x 6x 22x1
（1）判断函数f (x)的奇偶性 （2）求函数f (x)的值域； （3）证明函数f (x)是区间（ ， ）
上的单调函数
青苗辅导1
19
指数与对数的值域及最值问题
例：求函数f(x) 13x(x1, 2)的值域。
青苗辅导1
20
例：求函数y
1 2
2x
4
1 2
x
+5的值域.
-，5
青苗辅导1
21
例：求函数y=22x -2x-1+1的最值， 并求出相应的x的值
log2
1 3x
2
;函数的定义域为.
（1）当a 1时，函数的定义域为loga
指数与对数函数的定义与性质
指数函数在其定义域内单调递 增，而对数函数在其定义域内
单调递减。
指数函数和对数函数在某些 特定点上存在垂直渐近线。
定义域：指数函数和对数函数的定义域不同，指数函数定义域为全体实数，而对数函数定义域 为正实数。
值域：指数函数的值域为全体实数，而对数函数的值域为实数除去对数函数的定义域。
函数图像：指数函数和对数函数的图像在坐标系中的表现也不同，指数函数图像向上无限延伸， 而对数函数图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的。
单调性：指数函数和对数函数的单调性也不同，指数函数在定义域内单调递增，而对数函数在 定义域内单调递减。
指数函数与对数函数的定义域 和值域
指数函数与对数函数的单调性
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指数函数和对数函数互为反函数：对于任意实数a，有log_b(a) = e^(ln(a))
单击此处添加标题
对数函数的单调性：当底数大于1时，函数在定义域内单调递增；当底数小于1时， 函数在定义域内单调递减。
计算复利 测量声强 估计天体质量 计算地震的里氏震级
PART THREE
对数函数的定义域是正实数， 值域是全体实数。
计算复利：利 用指数函数计 算本金和利息
的累积增长
人口增长预测： 利用指数函数 预测人口增长
趋势
ห้องสมุดไป่ตู้
生物繁殖模型： 利用指数函数 描述生物种群
数量的增长
放射性衰变： 利用指数函数 描述放射性物 质的衰变过程
PART TWO
对数函数是以幂为 自变量，指数为因 变量，底数为常量 的函数。
对数函数的定义域 为正实数集。
指数函数的图象：在坐标系中，当a>1时，函数图象位于第一象限和第四象限；当 0<a<1时，函数图象位于第二象限和第三象限。
知识讲解_指数函数及其性质_基础--xs
指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像23x y =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了．要点二、指数函数的图象及性质：y=a x0 0<a<1时图象a>1时图象图象性质①定义域R ，值域 （0，+∞）②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤x<0时，a x >1 x>0时，0<a x <1⑤x<0时，0<a x <1 x>0时，a x >1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）①x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d =则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>>（2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值． ．【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4xy =；（2）4y x =；（3）4xy =-；（4）(4)xy =-；（5）1(21)(1)2xy a a a =->≠且；（6）4x y -=．类型二、函数的定义域、值域 例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313xxy =+；(2)y=4x -2x +1；(4)y =为大于1的常数)举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)2-12x y = (2)y =(3)y =(4)0,1)y a a =>≠类型三、指数函数的单调性及其应用 例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．【总结升华】由本例可知，研究()f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，()f x y a =的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()f x y a =的单调与()y f x =的单调性相反．举一反三：【变式1】已知函数1()x f x a-=（x ≥0）的图象经过点1(2,)2，其中a ＞0，a ≠1．（1）求a 的值； （2）求函数1()x f x a -=（x ≥0）的值域．【变式2】求函数2-2()(01)x xf x a a a =>≠其中，且的单调区间.例4．已知函数, 2()(3)2,2x a x f x a x x ⎧≥=⎨-+<⎩为R 上的增函数，则实数a 取值的范围是 ．例5．判断下列各数的大小关系：(1)1.8a 与1.8a+1； (2)24-231(),3,()331(3)22.5，(2.5)0， 2.51()2(4)0,1)a a >≠【总结升华】(1)注意利用单调性解题的规范书写；(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)； (3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”).举一反三：【变式1】下列判断正确的是（ ） A ． 2.531.71.7> B ． 230.80.8<C ．2π<． 0.30.31.70.9>【变式2】利用函数的性质比较122，133，166【变式3】 比较1.5-0.2， 1.30.7， 132()3的大小. 【答案】7.02.0313.15.1)32(<<-例6. (分类讨论指数函数的单调性)举一反三： 【变式1】如果215x x a a +-≤（0a >，且1a ≠），求x 的取值范围．类型四、判断函数的奇偶性例7．判断下列函数的奇偶性：)()21121()(x x f xϕ+-= (()x ϕ为奇函数)【总结升华】求()()()f x g x x ϕ=⋅的奇偶性，可以先判断()g x 与()x ϕ的奇偶性，然后在根据奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出()f x 的奇偶性．举一反三：【变式1】判断函数的奇偶性：()221xx xf x =+-.类型五、指数函数的图象问题例8．如图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数x y a =的图象，而12,,3,22a π⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则图象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在y 轴的右边“底大图高”，在y 轴的左边“底大图低”．举一反三：【变式1】 设()|31|xf x =-，c ＜b ＜a 且()()()f c f a f b >>，则下列关系式中一定成立的是（ ） A ．33a b < B ．33c b > C ．332c a +> D ．332c a+<【变式2】为了得到函数935xy =⨯+的图象，可以把函数3xy =的图象( ) A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．。
指数函数单调性的判断
（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凹的。
（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)（8）显然指数函数无界。
（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
底数的平移：对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
即“上加下减，左加右减”底数与指数函数图像：（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y 轴左边“底大图低”。
幂的大小比较：比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A 与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A 与B之间的大小。
比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
初升高数学暑假衔接(人教版)第14讲 指数函数及其性质(教师版)
第14讲指数函数及其性质1．理解指数函数的概念，掌握指数函数的定义域、值域的求法；2．理解指数函数的单调性，能利用指数函数的单调性比较幂的大小；3．掌握指数函数图象通过的特殊的点，会作指数函数的图象，掌握指数函数的性质。
一、指数函数的概念1、定义：一般地，函数x y a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是指数函数的底数．2、注意事项：指数函数x y a =的底数规定大于0且不等于1的理由：（1）如果0a =，当0,0,0,.x xx a x a ⎧>⎨≤⎩当时恒等于当时无意义（2）如果0a <，如(4)x y =-，当11,42x =时，在实数范围内函数值不存在．（3）如果1,11x a y ===，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定0a >且1a ≠．二、指数函数的图象与性质1>a 10<<a 图象性质定义域R 值域),0(+∞过定点)1,0(单调性在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性非奇非偶函数三、比较指数幂的大小比较幂的大小的常用方法：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．四、简单指数不等式的解法1、形如()()>f x g x a a 的不等式，可借助=x y a 的单调性求解；2、形如()>f x ab 的不等式，可将b 化为a 为底数的指数幂的形式，再借助=x y a 的单调性求解；3、形如>xxa b 的不等式，可借助两函数=xy a ，=xy b 的图象求解。
考点一：指数函数的概念辨析例1．（多选）下列函数中，是指数函数的是（）A ．()3xy =-B ．()12112x y m m m ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭C ．()0.19xy =D ．23xy =⋅【答案】BC【解析】由指数函数形式为x y a =且0,1a a >≠，显然A 、D 不符合，C 符合；对于B ，210m ->且211m -≠，故符合.故选：BC【变式训练】（多选）下列函数是指数函数的是（）A ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．231x y =⋅-D ．(0x y m m =>且1)m ≠【答案】AD【解析】由指数函数的定义知，A 、D 选项是指数函数.选项B ：111333x xy -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，不是指数函数.选项C ：231x y =⋅-不是指数函数.故选：AD.考点二：利用指数函数的概念求参例2．若函数()()1xf x a =-为指数函数，则a 的取值范围是________【答案】12a <<或2a >，【解析】()()1xf x a =-为指数函数，则011a <-<或11a ->，解得：12a <<或2a >，故答案为：12a <<或2a >.【变式训练】若函数()()()2224xf x a a a =+-+为指数函数，则（）A ．1a =或3a =-B ．0a >且1a ≠C ．1a =D ．3a =-【答案】C【解析】因为函数()()()2224xf x a a a =+-+为指数函数，则222140a a a ⎧+-=⎨+>⎩，且41a +≠，解得1a =，故选：C考点三：指数函数过定点问题例3．函数()()2630,1x f x aa a -=+>≠恒过定点（）A ．()0,1B ．()3,4C ．()3,3D ．()3,1【答案】B【解析】由题设，当260x -=，即3x =时，0(3)34f a =+=，所以函数过定点()3,4.故选：B【变式训练】函数x m y a n +=+(0a >且)1a ≠恒过定点(1,2)-，m n +=__．【答案】4-【解析】令0x m +=可得x m =-，此时有1y n =+.由题意可得1m -=，12n +=-，所以1m =-，3n =-，所以4m n +=-．故答案为：4-．考点四：指数函数的图象辨析例4．若()x bf x a -=的图像如图，（a ，b 是常数），则（）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <【答案】D【解析】由图可知函数在定义域上单调递减，所以01a <<，则11a>，所以1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递增，又()01bf a-=<，即0111b a a ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0b <.故选：D 【变式训练】函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54313，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（）A ．54313，12B 354，13，12C ．12，13354，D ．13，12，543【答案】C【解析】由题图，直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，5113423>>>.故选：C ．考点五：利用单调性比较指数幂的大小例5．已知103307321123..,.,b c -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将a ，b ，c 按照从小到大的顺序排列为（）A ．c ，b ，aB ．b ，a ，cC ．c ，a ，bD ．b ，c ，a【答案】C【解析】因函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则()0303322101233..,a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==<=⇒∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()132210133,c c ⎛⎫⎛⎫=<=⇒∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又10.33>，则10332233.⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c >.因函数 1.1x y =在R 上单调递增，则07111..b =>.所以b ＞a ＞c ．故选：C ．【变式训练】（多选）下列结论正确的是（）A ． 2.531.7 1.7<B ． 2.530.80.8<C ．220.90.8--<D ．0.3 3.11.70.8>【答案】ACD【解析】对于A ， 1.7x y =在定义域上是增函数， 2.532.53, 1.7 1.7<∴< ，故A 正确；对于B ，0.8x y =在定义域上是减函数， 2.532.53,0.80.8∴ ，故B 错误；对于C ，2y x -=在()0,+∞上是减函数，220.80.9,0.90.8--<∴< ，故C 正确；对于D ，0.33.10.3 3.11.710.81, 1.70.8>∴ ，故D 正确；故选：ACD.考点六：解指数型不等式例6．不等式2821()33x x--＞的解集是（）A ．()2,4-B ．(),2-∞-C ．()4,+∞D ．()(),24,-∞-+∞ 【答案】A【解析】∵228211()333xx x --⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，∴x 2﹣8＜2x ，解得﹣2＜x ＜4．故选：A ．【变式训练】解关于x 的不等式143237x x ≤-⋅+≤．【答案】(][],01,2-∞ 【解析】由143237xx≤-⋅+≤得4323714323x x x x⎧-⋅+≤⎨≤-⋅+⎩，即()()()()2421021220x x x x⎧-+≤⎪⎨--≥⎪⎩，解得224x ≤≤或21x ≤，可得12x ≤≤或0x ≤.所以不等式的解集为(][],01,2-∞ .考点七：指数型函数的单调性例7．函数1(2y =）A ．(],1-∞-B ．[2，＋∞）C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】令220x x -++≥，则12x -≤≤，故函数的定义域为[]1,2-，设22192()24t x x x =-++=--+，12x -≤≤，则当11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22t x x =-++为增函数，此时90,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22t x x =-++为减函数，此时90,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.而w =90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，故w =11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，此时30,2w ⎡⎤∈⎢⎣⎦.而12wy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故12y ⎛= ⎪⎝⎭在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.故选：C.【变式训练】函数2215x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为______.【答案】[1,)+∞【解析】令()22u x x x =-+，根据二次函数的性质，可得函数()u x 在(,1]-∞单调递增，在[1,)+∞单调递递减，又由15uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据指数函数的性质，可得函数15uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，根据复数函数的单调性的判定方法，可得函数2215x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为[1,)+∞.故答案为：[1,)+∞.考点八：指数型函数的奇偶性例8．函数()2121x x f x -=+的奇偶性是（）A ．是奇函数，不是偶函数B ．是偶函数，不是奇函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．非奇非偶函数【答案】A【解析】()f x 的定义域为R ，()()11211221211212xxx xxxf x f x ------====-+++，()f x ∴是奇函数，不是偶函数.故选：A.【变式训练】已知3()(e e )x x f x x k -=+为偶函数，则实数k =（）A ．1B ．-1C ．0D ．e【答案】B【解析】因为3()(e e )x x f x x k -=+为偶函数，3y x =为奇函数，故()e e x xg x k -=+为奇函数，()010g k ∴=+=，1k ∴=-.经检验成立，故选：B.考点九：指数型函数的值域例9．函数()()11202xf x x ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭的值域为______.【答案】[]3,0-【解析】∵[]2,0x ∈-，且12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内单调递减，且20114,122-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则[]11,42x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得[]14,12x⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，∴[]113,02x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故函数()()11202xf x x ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭的值域为[]3,0-.故答案为：[]3,0-.【变式训练】函数22221x x y =+⋅-在区间［-1，1］上的最大值为___________.【解析】令[],12,1xx t ∈-=，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.所以22221x x y =+⋅-即为21,22,21y t t t ⎡⎤∈+-⎢⎣=⎥⎦.因为对称轴为1t =-，所以221y t t =+-在.1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当2t =时，222217y =+⨯-=为最大值.故答案为：71．如果函数()23xf x a =⋅和()()32x bg x -+=都是指数函数，则b a =（）A ．18B ．1C ．9D ．8【答案】D【解析】根据题意可得1212a a =⇒=，(3)03b b -+=⇒=-，则3182ba -⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：D2．函数()33xf x =-的图像不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】函数3x y =经过第一、二象限，向下平移3个单位后得到函数()33xf x =-，则经过一、三、四象限，不经过第二象限.故选：B3．函数()x mf x a n -=+（其中0a >，1a ≠，m 、n 为常数）的图像恒过定点()3,2，则m n +=（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】函数()x mf x a n -=+（其中0a >，1a ≠，m 、n 为常数）的图像恒过定点()3,2，即32man -=+恒成立，则有3012m n -=⎧⎨+=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩，所以4m n +=.故选：B.4．函数23212x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是（）A ．(],1-∞B ．[]1,2C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为12uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，由复合函数单调性可知，只需求出()232f x x x =-+的单调递减区间，其中()23124f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故23212x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D5．如图所示：曲线1C ，2C ，3C 和4C 分别是指数函数x y a =，x y b =,x y c =和x y d =的图象,则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（）A ．1a b c d <<<<B ．1a b d c <<<<C ．1b a c d <<<<D ．1b a d c<<<<【答案】D【解析】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数，所以c ，d 大于1，a ，b 小于1，由图知：11c d >，即c d >，11b a <，即b a <，所以1b a d c <<<<，故选：D6．已知有三个数22a -=，0.94b =，0.258c =，则它们的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．b<c<a【答案】B【解析】0.9 1.842b == ，0.250.7582c ==，又2x y =在R 上单调递增，20.75 1.8222-∴<<，即a c b <<.故选：B.7．不等式224xx->的解集为（）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞D ．(,2)(1,)-∞⋃-+∞【答案】C 【解析】因为222222422220xxxxx x x x -->⇔>⇔->⇔-->，所以(2)(1)0x x -+>，解得2x >或1x <-，所以不等式的解集为：(,1)(2,)-∞-⋃+∞.故选：C.8．（多选）已知函数()22x x f x -=-，则（）A ．()f x 的值域为RB ．()f x 是R 上的增函数C ．()f x 是R 上的奇函数D ．()f x 有最大值【答案】ABC【解析】由题意得：函数()22x x f x -=-的定义域为R对于选项A ：函数()f x 是一条连续的曲线，当x 趋向于负无穷时，2x -趋近于正无穷，2x 趋近于零，所以22x x --趋近于负无穷，当x 趋向于正无穷时，2x -趋近于零，2x 趋近于正无穷，所以22x x --趋近于正无穷，所以()f x 的值域为R ，故A 正确；对于选项B ：因为函数2x -在R 上单调递减，函数2x 在R 上单调递增，所以()f x 是R 上的增函数，故B 正确；对于选项C ：()f x 的定义域关于原点对称，又()22()x x f x f x --=-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，故C 正确；对于选项D ：()f x 是R 上的增函数，无最值，所以D 错误.故选：ABC9．（多选）函数()1xxf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中0a >且1a ≠，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 是奇函数B ．方程()0f x =在R 上有解C ．函数()f x 的图象过定点()0,1D ．当1a >时，函数()f x 在其定义域上为单调递增函数【答案】ABD【解析】()1xxf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭定义域为R ，且()()11xxx x f x f x a a a a --⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎝⎝-=-⎭⎭，故()f x 为定义域，A 正确；()001101f a a ⎛⎫=-⎪=⎭-⎝= ，故方程()0f x =在R 上有解，B 正确，C 错误；当1a >时，函数xy a =在R 上单调递增，11xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()1xxf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域上单调递增，D 正确.故选：ABD10．函数y =__________．（结果写成集合或区间）【答案】(,1]-∞【解析】由题设550x -≥，则55x ≤，即1x ≤，所以定义域为(,1]-∞.故答案为：(,1]-∞11．已知函数()42x x m f x +=，若()f x 为奇函数，则()2f =______.【答案】154【解析】法一：因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，即4422x x x xm m --++=-，化简得()()1220x x m -+⋅+=，解得1m =-，故()412x x f x -=，所以()224115224f -==；法二：因为()f x 为定义在R 上的奇函数，故()004002m f +==，解得1m =-，经检验满足题意，故()412x x f x -=，()224115224f -==.故答案为：15412．函数211()()2x f x x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭R 的值域为_________.【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】因为211()()2x f x x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭R ，由复合函数的单调性可得，()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以max 1()(0)2f x f ==，又21102x +⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，所以函数()f x 的值域为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.13．若函数()14212x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，，，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为__________.【答案】[)4,8【解析】要使函数()f x 为R 上的增函数，应有114024122a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫≥-⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<.故答案为：[)4,8.14．已知函数()824x xx a f x a ⋅+=⋅（a ∈R 且0a ≠）是偶函数．（1）求实数a 的值；（2）求函数()()2y f x f x =+的值域．【答案】（1）1a =；（2）[)4,+∞.【解析】（1）()412228x x xx x a f x a a ⋅+=+⋅=⋅，因为()f x 为偶函数，所以对R x ∀∈都有()()0f x f x --=，即1122022x x x x a a --⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭恒成立，即112102x x a ⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭-⎭恒成立，110a∴-=，解得1a =.（2）由（1）可知1()22x xf x =+，所以()()221122222x x x x y f x f x ⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭，令1222x x t =+≥=（当0x =时取等号），则222211222222x x x x t ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，所以所求函数为2219224y t t t ⎛⎫=-⎝+=+- ⎪⎭，则函数2219224y t t t ⎛⎫=-⎝+=+- ⎪⎭在[)2,+∞上单调递增，所以4y ≥，即函数()()2y f x f x =+的值域为[)4,+∞.15．已知集合A 为不等式49280x x -⋅+≤的解集，（1）若集合{}21R B x m x m m =≤≤-∈，且B A B = ，求m 的取值范围；（2）求函数()1114·242x xf x -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在定义域A 上的值域.【答案】（1）(],2-∞；（2）[]1,2【解析】（1）49280x x -⋅+≤，即()229280x x -⋅+≤∴128x ≤≤，即[]0,3A =又∵B A B = ，∴B A ⊆，∴①当B =∅时，21,1m m m >-∴<②当B ≠∅时,213121m m m -≤⎧∴≤≤⎨≥⎩，∴综上所述：m 的取值范围为：(],2-∞.（2）()211111424424222x x x x f x -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,3是单调减函数∴1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2442g t t t =-+在11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调减函数，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调增函数∴当t =１２时，()min 1f x =当1t =时，()max 2f x =∴()f x 在定义域A 上的值域为[]1,21．给出下列函数：①13y x ＝；②3x y -＝；③3x y -＝；④π3x y -＝.其中指数函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】对于①，函数13y x ＝的自变量x 在底数位置，不在指数位置，故不是指数函数；对于②，函数3x y -＝的底数30-<，故不是指数函数；对于③，函数3x y -＝中的指数式3x 的系数不为1，故不是指数函数；对于④，函数π3x y -＝的底数满足π30<-<1，符合指数函数的定义，是指数函数.故选：A.2．若函数()21x y m m m =--⋅是指数函数，则m 等于（）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．12【答案】C 【解析】由题意可得21101m m m m ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2m =.故选：C.3．若函数()f x 是指数函数，且()123f -=，则（）A ．()3x f x =B ．()x f x =C ．()13x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()3xf x ⎛= ⎝⎭【答案】B【解析】()f x 为指数函数，∴可设()(0x f x a a =>且)1a ≠，()221123f a a -∴-===，解得：a =()x f x ∴=.故选：B.4．函数y =的定义域为（）A．(-∞B．(-∞C ．[)3,+∞D ．()3,+∞【答案】C 【解析】由题意得3270x -≥，即333x ≥，解得3x ≥．故选：C.5．对任意实数1a <且0a ≠关于x 的函数()14x y a =-+图象必过定点()A ．()0,4B ．()0,1C ．()0,5D ．()1,5【答案】C 【解析】∵1a <且0a ≠，∴1－a ＞0且1－a ≠1，故函数()1x y a =-是指数函数，过定点(0，1)，则()14xy a =-+过定点(0，5).故选：C.6．函数()1x f x a a =-（0,1a a >≠）的图象可能是（）A．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当1a >时，()10,1a ∈，因此()10101af <=-<，且函数()1x f x a a=-在R 上单调递增，故A 、B 均不符合；当01a <<时，11a >，因此()1010f a =-<，且函数()1x f x a a=-在R 上单调递减，故C 符合，D 不符合．故选：C ．7．函数21()5x ax f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,2上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．{}4a a ≤-∣B ．{2}a a ≤-∣C ．{}2a a ≥-∣D ．{4}a a >-∣【答案】C 【解析】设222()24a a g x x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，其图象开向上，对称轴为直线2ax =-．函数21()5x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[1,2]上是减函数，()g x ∴在区间[1,2]上是增函数，又()g x 在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，12a∴-≤，解得2a ≥-．故选：C.8．定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，有（）A ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()11f x f x -=+，所以3122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为当1x ≥时，()31x f x =-为单调递增函数，定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以当1x <时，()f x 单调递减，因为112323<<，所以211323⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f ，即231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.9．不等式23(1)23122x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______．【答案】(3,2)-【解析】函数2x y =在R 上单调递增，则22233(1)233(1)212()22233(1)2x x x x x x x x x -------<<--⇔--⇔<，即260x x +-<，解得32x -<<，所以原不等式的解集为(3,2)-.故答案为：(3,2)-10．函数()21222x x f x +=-+的定义域为M ，值域为[]1,2N =，则M =______．【答案】(],1-∞（答案不唯一）【解析】因为函数的值域为[]1,2N =，所以2112222x x +≤-+≤，所以21212202210x x x x ++⎧-≤⎨-+≥⎩，即22(22)0(21)0x x x ⎧-≤⎨-≥⎩，故022x <≤，所以1x ≤，则函数的定义域为(],1M =-∞．实际上，只要[]0,1x ∈即可满足条件，即M 可以为[]0,1并上任意一个(),0-∞的子集均可.故答案为：(],1-∞（答案不唯一）11．函数()1421x x f x +=--的单调递增区间是_________．【答案】[)0,∞+【解析】()()214212221x x x x x f +=--=-⋅-令20x t =>，()()222112f t t t t =--=--，当1t ≥时，即0x ≥，()f t 单调递增；当01t <<时，即0x <，()f t 单调递减；因为2x t =单调递增，所以函数()1421x x f x +=--的单调递增区间为[)0,∞+.故答案为：[)0,∞+12．函数()2235x x f x --=的单调减区间是_________.【答案】(),1-∞/(),1-∞【解析】令()225,2314,t y t x x x ==--=--，根据复合函数单调性可知，内层函数在(),1x ∈-∞上单调递减，在()1,x ∈+∞上单调递增，外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在(),1x ∈-∞上单调递减，在()1,x ∈+∞上单调递增.故答案为：(),1-∞.13．函数23()2x ax f x --=是偶函数．（1）试确定a 的值及此时的函数解析式；（2）证明函数()f x 在区间(,0)-∞上是减函数；（3）当[2,0]x ∈-时，求函数23()2xax f x --=的值域．【答案】（1）0a =，23()2x f x -=；（2）证明见解析；（3）1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由函数()f x 是偶函数，得(1)(1)f f -=，即131322a a +---=，解得0a =．所以23()2x f x -=.（2）由（1）知，23()2x f x -=，令120x x <<，则2212x x >，()()2212102221x x f x f x -=>=，所以()()12f x f x >，所以函数()f x 在区间(,0)-∞上是减函数.（3）由（2）知，23()2xf x -=在(,0)-∞上是减函数，所以23()2x f x -=在[2,0]-上也是减函数，则(0)()(2)f f x f ≤≤-，所以1()28f x ≤≤．即函数23()2x ax f x --=的值域为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14．已知函数()x f x a =（a >0且a ≠1），且函数f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值之差为32．（1）求实数a 的值；（2）若()()()g x f x f x =--，当a >1时，解不等式22())2(1g x x g x +>-．【答案】（1）a =2或12a =；（2）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【解析】（1）当a >1时，f (x )在[－1，1]上是增函数，所以13(1)(1)2f f a a ---=-=，解得a =2；当0<a <1时，f (x )在[－1，1]上是减函数，所以13(1)(1)2f f a a ---==-，解得12a =．综上，a =2或12a =．（2）由（1）知a =2，则()22x x g x -=-，所以g (x )是严格增函数，由22())2(1g x x g x +>-，得2221x x x +>-，解得12x >-．所以，不等式的解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．。
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（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，
同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凹的。
（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)
（8）显然指数函数无界。
（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
底数的平移：
对于任何一个有意义的指数函数：
在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
即“上加下减，左加右减”
底数与指数函数图像：
（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
幂的大小比较：
比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A 与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1.
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。
例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1.
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。
如：
<1> 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。
<2> 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。
哪么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。
即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如：a 〉1且x 〉0，或0〈a〈1且x〈0）时，a^x大于1，异向时a^x小于1.
〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由.
⑴y=4^x
因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数；
⑵y=(1/4)^x
因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数。