导数在解析几何中的应用论文
导数的基本定义与解析几何的关系
导数的基本定义与解析几何的关系导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的基本定义是通过极限来描述函数的变化率。
在本文中，我们将探讨导数的基本定义，并研究导数与解析几何之间的关系。
一、导数的基本定义导数描述了函数在某一点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在x点处的导数可以通过以下极限定义：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h为一个无限接近于0的数。
这个定义可以理解为当x的增量趋近于0时，函数在x点处的平均变化率。
而导数则描述了函数在x点处的瞬时变化率。
二、导数与函数的图像导数与函数的图像之间有着密切的联系。
在函数的图像中，导数可以表示为函数曲线上某点处的切线斜率。
具体来说，如果函数在某一点的导数为正，那么函数图像在该点上升；如果导数为负，函数图像在该点下降；如果导数为零，函数图像在该点处达到极值。
三、导数与解析几何导数与解析几何之间的关系非常紧密。
通过导数，我们可以研究函数图像的性质，进而对解析几何中的曲线进行分析。
1. 切线与法线导数可以帮助我们确定曲线上某点处的切线方程。
对于函数f(x)，在点(x0,f(x0))处的切线方程可以表示为：y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)其中f'(x0)为函数在该点处的导数。
而法线方程可以通过切线方程的斜率倒数得到。
2. 曲线的凹凸性导数还可以帮助我们研究曲线的凹凸性。
在函数的图像中，如果导数在某个区间上恒大于零，那么函数在该区间上是凹的；如果导数在某个区间上恒小于零，那么函数在该区间上是凸的。
3. 极值点通过导数，我们可以找到函数的极值点。
对于函数f(x)，极值点可以通过导数的零点来确定。
当导数从正数变为负数时，函数图像上的极大值点出现；当导数从负数变为正数时，函数图像上的极小值点出现。
四、导数的应用导数在数学和科学中有着广泛的应用。
以下是一些导数的应用领域：1. 最优化问题导数可以帮助我们解决最优化问题，例如求函数的最大值和最小值。
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浅谈导数及应用(毕业论文)甘肃联合大学学生毕业论文题目：浅谈导数及应用作者：贺耀武指导教师：曹珂数学与信息学院数学系数学教育专业06 级三年制 2 班2008年12 月5 日0000/)()(lim )()(lim lim )(0x x x f x f x x f x x f x y x f x x o x o x --=∆-∆+=∆∆=→→∆→∆； 2． 导数的几何意义：函数y =f (x )在0x 处的导数的几何意义，就是曲线y =f (x )在点),(00y x 处的切线的斜率，即斜率为)(0x f '过点P 的切线方程为：))((000x x x f y y -'=-.3. 导函数、可导：如果函数y =f (x )在开区间),(b a 内的每点处都有导数，即对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(0x f '，从而构成了一个新的函数)(0x f ', 称这个函数)(0x f '为函数y =f (x )在开区间内的导函数，简称导数。
此时称函数y =f (x )在开区间),(b a 内可导.4． 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点0x 处可导，那么函数y =f (x )在点0x 处连续.5. 依定义求导数的方法：（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 6．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；x x 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =；x x e e =)'(；a a a x x ln )'(=。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它具有丰富的几何意义和广泛的应用。
本文将详细阐述导数的几何意义以及在实际问题中的应用。
一、导数的几何意义导数的几何意义是切线的斜率。
考虑函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，这个导数值代表函数曲线在该点处的斜率。
换言之，导数告诉我们曲线在特定点的变化速率。
如果导数为正，表示曲线在该点处是上升的；如果导数为负，表示曲线在该点处是下降的；如果导数为零，表示曲线在该点处有极值（最大值或最小值）。
基于这个几何意义，我们可以通过导数来研究曲线的特性。
例如，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性，也可以通过导数的零点来确定函数的极值点。
此外，导数还可以帮助我们理解曲线的弯曲程度。
曲线的弯曲程度与导数的变化率有关，较大的导数变化率表示曲线弯曲较陡峭，较小的导数变化率表示曲线弯曲相对平缓。
二、导数的应用1. 线性逼近导数的几何意义使得它在线性逼近问题中非常有用。
我们可以利用导数来构造一个称为切线的线性函数，用来近似曲线在该点的行为。
这种线性逼近方法在很多实际问题中被广泛应用。
例如，当我们需要确定一条曲线在某点的近似切线时，可以使用导数来计算该点处的切线斜率，并进一步确定切线方程。
2. 最优化问题导数在最优化问题中有重要的应用。
最优化问题涉及如何找到一个函数的最大值或最小值。
通过对函数求导，我们可以找到导数为零的点，即函数的极值点。
进一步分析导数的符号，可以确定函数的最大值或最小值。
这一方法在经济学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
3. 运动学问题导数在运动学中也有广泛的应用。
例如，我们可以通过对位移函数求导来得到速度函数，通过对速度函数再次求导得到加速度函数。
这种将导数应用于运动学问题的方法使得我们能够研究物体的速度和加速度变化。
这在物理学和工程学中对于研究物体的运动非常有用。
4. 统计学在统计学中，导数被用于估计和分析数据。
例如，在回归分析中，我们可以通过对观测数据进行拟合来得到一个最佳的函数。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它有着广泛的几何意义和应用。
在本文中，我们将探讨导数的几何意义，并介绍一些导数在几何中和实际应用中的具体应用。
导数的几何意义可以通过对函数图像的观察得到。
对于一个函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，代表了函数曲线在某一点处的斜率。
具体来说，导数可以解释为函数图像在某一点上的瞬时变化率。
这意味着我们可以通过导数来描述函数图像的“陡峭程度”。
如果导数的值比较大，表示函数图像在该点的变化比较快，曲线比较陡峭；相反，如果导数的值比较小，表示函数图像在该点的变化比较慢，曲线比较平缓。
举个例子来说明导数的几何意义。
考虑一个简单的函数f(x) = x^2，它的导数可以表示为f'(x) = 2x。
我们可以观察到，在函数图像上，导数f'(x)的值代表了曲线在不同点上的斜率。
当x的值较小时，导数f'(x)的值也较小，表示函数图像变化较慢，曲线较平缓；而当x的值较大时，导数f'(x)的值也较大，表示函数图像变化较快，曲线较陡峭。
导数不仅在几何中有着重要意义，而且在实际生活中也有广泛的应用。
其中一个常见的应用是在物理学中的位置-时间关系中。
根据经典物理学的定义，速度可以看作是位置关于时间的导数。
具体来说，如果我们有一个物体在某一时刻的位置函数x(t)，那么它的导数dx/dt就表示了该物体在该时刻的瞬时速度。
同样地，加速度可以看作是速度关于时间的导数，即dv/dt。
这种通过导数来描述位置、速度和加速度之间的关系，能够帮助我们更好地理解物体在空间中的运动规律。
在经济学和金融学领域中，导数也有着广泛的应用。
例如，利润函数关于产量的导数可以告诉我们，当产量变化时，利润的瞬时变化率是多少。
这有助于公司和企业在制定生产策略和销售计划时进行决策。
此外，在金融学中，导数可以帮助我们理解和分析股票和债券价格的波动趋势，以及利率和汇率的变化对经济的影响。
导数在解析几何中的应用论文
导数思想在解析几何的一个简单应用导数隶属于函数内容，看似与解析几何毫无关联。
但是导数的几何意义是切线斜率，我们常用求导的方法求解函数的切线。
而某些曲线方程本身是函数解析式或者曲线某一部分能够写成函数解析式，因此求曲线的切线问题也可以理解成求函数切线问题。
下面通过几道例题来说明导数在解析几何中的应用： 例1、（07安徽）过点()4,0-P 作抛物线y x G 42=：的切线，求切线方程解：设切点2004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x故所求切线方程为2000()42x x y x x -=- 即42200x x x y -= 因为点(0)P -4，在切线上 所以2044x -=-，2016x =，04x =±所求切线方程为042=--y x 042=++y x 。
【小结】本小题也可以用常规的方法，点斜式设直线，与抛物线联立，利用0=∆求出斜率，写出直线。
（变式）在点()2,1P 处作抛物线x y G 42=：的切线，求切线方程解：抛物线x y G 42=：在第一象限的方程为x y 2=由xy 1/-=，知抛物线在P 点处的切线斜率为1-故所求切线方程为()12:1--=-x y l 即03=-+y x【小结】本小题的出题目的是，只有将曲线方程变形为函数解析式后，才能用求导的方法求切线。
例2、（07韶关调研）已知()2,0-M ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴正半轴上，点P 在直线AB 上，且满足=、0=⋅。
当A 在x 轴上移动时，设动点P 的轨迹为C 。
⑴求C 的方程⑵过点()0,2-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，分别过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l 。
当21l l ⊥时，求直线l 的方程。
解：⑴设()y x P , ()0,a A ()()0,0 b b B()()y b x PB y a x AP --=-=,, ()02,2 y y b x a PB AP ==∴=则()()()y x AP x a MA ,2,22,-=== ()002 y y x AP MA =∴=⋅⑵设()()2211,,y x F y x E 易知221122x k x k == 412121-=∴⊥x x l l显然AB 斜率存在，设()2:+=x k y AB ，与y x =2联立得022=--k kx x由082k k +=∆得8- k 或0 k 8124121=∴-=-=k k x x ()281+=∴x y 即028=+-y x例3、（08广州调研）已知过点()1,0-P 的直线l 与抛物线y x 42=交于两点()11,y x A 、()22,y x B 。
数学专业毕业论文-导数在高中数学教学中的应用
数学专业毕业论文-导数在高中数学教学中的应用导数在高中数学中的应用学生姓名院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班级 2008级班学号指导教师四川师范大学教务处二?一一年五月导数在中学数学中的应用学生: 指导老师:内容摘要:导数的思想方法在中学数学中是非常重要的, 在解决许多问题上起到居高临下和以简化繁的作用.本文着重运用导数的基本知识和理论, 来解决中学数学里的函数的图像、单调性、最值等函数问题;在掌握导数的相关概念的基础上应用导数作出特殊函数的图像;应用导数解题的一般方法证明某些不等式或等式的成立问题;解决数列的有关问题;再根据导数所具有的几何意义在解析几何中切线相关问题及求夹角问题等几何问题进行了一些探讨.关键字:导数函数不等式解析几何Derivatives in high school mathematics teaching Abstract: the thinking method of derivative in middle school mathematics is very important, except the guiding role in solve many problems as commandingand to simplify the numerous role. In this paper the basic knowledge and using derivatives, to solve the middle school mathematics theory of the function of image, monotonicity and most value function problem,Inmaster derivative based on the concept of application related to make a special function of images of derivative,The general method of solving application derivative to prove some inequality or equation established problem, Solve problems related series, Again according to thegeometrical meaning which derivative in analytic geometry in tangent related problems and geometric problems for Angle problems are analyzed .Key words: derivative function inequality Analytic geometry目录1 引言 (1)2.1 函数连续的定义 (2)2.2 导数的定义 ....................................... 2 3 导数在函数问题中的应用 (3)3.1 利用导数作函数的图像 (3)3.2 利用导数求参数的值 (4)3.3 判断函数的单调性 (5)3.4 研究方程的根 (5)3.5 求函数极值或最值 ................................. 6 4 导数在证明等式和不等式问题中的应用 (8)4.1导数在不等式证明中的应用 (8)4.2 在恒等式证明方面的应用 ........................... 9 5 导数在数列问题中的应用 ................................ 9 6 导数在解析几何问题中的应用 (10)6.1 利用导数求解切线方程 (10)6.2 求中点弦方程 (11)6.3 证明与中点弦有关的不等式 (11)6.4 求与中点弦有关的轨迹问题 ........................ 11 参考文献 (12)导数在中学数学中的应用高中数学中导数的引入为我们研究函数及其对应的曲线带来很大的方便, 尤其是可以利用导数来解决函数的单调性问题和最值问题, 更可以用导数来解决部分结合问题.另外导数的工具性和导数的几何意义也使得导数与解析几何、不等式、函数、甚至数列知识更加紧密的联系在一起.近年来, 导数的相关知识在高考中的地位日益突出, 本文就简单谈谈导数在函数、不等式、数列、解析几何中的应用.1 引言导数的思想有着悠久的历史, 公元前三世纪, 古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中, 就隐含着近代积分学的思.到了十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作, 如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论.为微积分的创立做出了贡献.十七世纪下半叶, 在前人工作的基础上, 英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作, 虽然这只是十分初步的工作.他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起, 一个是切线问题(微分学的中心问题), 一个是求积问题(积分学的中心问题).牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》, 这本书直到1736年才出版, 它在这本书里指出, 变量是由点、线、面的连续运动产生的, 否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合.他把连续变量叫做流动量, 把这些流动量的导数叫做流数.牛顿在流数术中所提出的中心问题是:已知连续运动的路径, 求给定时刻的速度(微分法);已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法).德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者, 1684年, 他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献, 这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法, 它也适用于分式和无理量, 以及这种新方法的奇妙类型的计算》.就是这样一片说理也颇含糊的文章, 却有划时代的意义.他以含有现代的微分符号和基本微分法则.1686年, 莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献.他是1历史上最伟大的符号学者之一, 他所创设的微积分符号, 远远优于牛顿的符号, 这对微积分的发展有极大的影响.现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的.2 导数的定义的相关定义很多人知道,对于很多问题,采用用高等数学的方法和初等数学的方法都可以解答, 但是高等数学的方法相对于初等数学的方法可以使一些概念更准确, 对某些问题的理解会更深刻, 使一些证明更严谨或更简单, 并为许多问题提供的解题途径. 我们高中对导数的学习只是出略的, 更多相关的知识要高等数学中才会学习, 但我们应该明白高中出现的函数几乎都是可导函数.但我们还是要注重有关概念的辨析, 避免应用导数解决相关问题是出现错误.为了更清楚地了解导数的定义我们应用高等数学中导数的定义方式.2.1 函数连续的定义定义1 若函数在的附近包括点本身有定义, 并且xxfx()00. 则称在连续, 或称点是 f (x)的连续点. xxfx()limfxfx,，，，，000xx,02.2 导数的定义定义2 设函数y=在点的某个邻域内有定义, 若极限 xfx()0fxfx,，，，，,y0 limlim,xxx,,,00xxx,,0存在, 则称函数在x处可导, 并称该极限为函数 y =在点x处的导数,fx()fx() 00,记作. ，，fx注:(1) 函数应在点x的附近有定义, 否则导数不存在. 0x(2) 在定义导数的极限式中, 趋近于0可正、可负、但不为0, 可能为0. ,y,x,y(3) 是函数y=f (x) 对自变量x在,x范围内的平均变化率, 它的几何意义是,x过曲线上点(x, 及点(x+, 的割线斜率. y,f(x)f(x)f(x，,x),x00000fxxfx，,,，，，，00,x(4) 导数lim是函数y,f(x)在点的处瞬时变化率, fx,，，00,,x0,xx它反映的函数y,f(x)在点处变化的快慢程度, 它的几何意义是曲线y,f(x)0 上点(x, )处的切线的斜率. f(x)002fxxfx()()，,,00(5) 若极限不存在, 则称函数y=f (x)在点处不可导.xlim0,,x0,x(6) 如果函数y=f (x)在开区间(a, b)内每一点都有导数, 则称函数在开区y,f(x),间内可导;此时对于每一个, 都对应着一个确定的导数, 从,，，(a,b)(a,b)xfx,而构成了一个新的函数, 称这个函数. ，，fx3 导数在函数问题中的应用3.1 利用导数作函数的图像中学数学教材中介绍的描点法作函数图像, 作图比较粗糙不准确, 一般只适用于简单的函数, 但对比较复杂的函数就很难做出.现用导数的知识来作函数图像就相当的简便.作函数图像的一般步骤:(1) 求出函数的定义域;(2)考察函数的奇偶性、周期性;(3)求函数的一些特殊点, 如与两坐标轴的交点等(列表);(4)确定函数的单调区间, 极值点, 凸性区间及拐点(列表); (5)考察渐进线;(6)画图.32例1 作函数的图像. y,x，6x,15x,20解:(1) 函数的定义域 (,,,，,)51055105，,，(2) 曲线与x, y轴交点分别为.(,0),(1,0),(,0),(0,20),,,222,(3) 令解得 x,,5,1y,3x，12x,15,3(x，5)(x,1),0,,令解得 y,6x，12,6(x，2),0x,,2(4) 现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点:x (,,,,5)(,5,,2)(,2,1)(1,，,)-5 -2 1, y+ 0 ——— 0 +,,y ——— 0 + + +y ?凹 80 极大 ?凸 26 拐点 ?凹 -28极小 ?凹(5) 无渐进线3(6) 作图:X(-5，80)(-2,26)(-1，0)Y(1，-28)图1 3.2 利用导数求参数的值在一些含位置参数的题中, 有我们通过运用导数之似乎可以化简函数, 从而更快速的求出参数.2xa,例 2 已知函数在区间[-1, 1]上是增函数, 求实数的取值afxxR(),,，，2x，2所组成的集合A.224，2ax,2x,2(x,ax,2),f(x),,解 2222(x，2)(x，2)又在[-1, 1]上是增函数 fx()2, ,,f(x),0对恒成立, 即对,,恒成立. x,,1,1x,,1,1x,ax,2,02 设, 那么问题就等价于 ,(x),x,ax,21,a,2,0,(1),0,,,, 即故 ,1,a,1(,1),0,,1，a,2,0,所以 A=aa|11,,,. ,,43.3 判断函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一, 是研究函数所要掌握的最基本的知识.通常用定义来判断, 但当函数表达式较复杂时判断正负较困f(x),f(x)12 ,,难.运用导数知识来讨论函数单调性时, 只需求出, 再考虑的正负即可.f(x)f(x)此方法简单快捷而且适用面广.32例 3 已知是定义在R上的函数, 其图像交轴于f(x),x，bx，cx，dx三点, 点的坐标为(2,0),且在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性. Bf(x)A、B、C(1)求的值. C(2)若函数)在[0,2]和[4,5]也有相反的单调性, 的图像上是否存在f(x)f(x)一点, 使得在点的切线斜率为? 若存在, 求出点的坐标. 若不MMMf(x)3b 存在, 说明理由.2,解分析:(1), ？在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性. ，，f(x)fx,3x，2bx，c,？ =0是的一个极值点, 故. ？=0 ，，，，fxf0,0xc22, (2)得,, ，，fx,0x,0x,,b3x，2bx,0123因为在[0,2]和[4,5] 有相反的单调性, f(x),？，，在[0,2]和[4,5] 有相反的符号. fx2 故,. 2,,b,4,6,b,,33, 假设存在点M使得在点M的切线斜率为,则. f(x)(x,y)fxb()3,3b00022,，，即.,而. 3x，2bx,3b,0fx,3b？,,4b,4，3，(,3b),4b(b，9)000？,, 0.故不存在点M使得在点M的切线斜率为. f(x)(x,y)3b003.4 研究方程的根我们知道在解决一元二次方程根的时候通常会用到伟大定理, 但有很多关于方程根的问题如果仅仅用伟大定理来解决的话会显得很吃力, 并且找不着下手的方向.此时我们可以尝试用导数的方法来解决有关问题.532例4 若, 则方程在上有多少根, 0,2m,3x,mxx，1,0,,32解设, 则，，fx,x,mx，12, ，，fx,3x,2mx,且时, , 当，，，，x,0,2fx,0m,3故在上单调递减, 而在与处都连续, 且, f(x)0,2f(x)f(0)10,,x,0x,2，，fm(2)940,,,在上只有一个根. 故 f(x)0,2,,导数有一个很好的作用就是降次, 我们可以三次函数降为更为熟悉的二次函数, 从而达到化简的目的.3.5 求函数极值或最值最值问题是高中数学的一个重点, 也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面, 要解决这类问题往往需要各种技能, 并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化, 步骤清晰, 学生也好掌握.应注意函数的极值与最值的区别与联系, 极值是一个局部性概念, 最值是某个区间的整体性概念.利用导数求函数极(最)值解答这类问题的方法是:(1)根据求导法则对函数求出导数.(2)令导数等于0,解出导函数的零点.(3)分区间讨论,得数的单调区间.(4)判断极值点,求出极值.(5)求出区间端点值与极值进行比较,求出最值.出函322例 5 设是函数，，的两个极值点. x、xf(x),ax，bx,axa,012(1)若=-1,=2,求函数的解析式; xf(x)x12x (2)若+=22,求)的最大值; xf(x)21322？解分析: (1) ，，, f(x),ax，bx,axa,022,，，，，？fx,3ax，2bx,aa,02,,？依题意有，，, ，，, f,1,0f2,03a,2b,a,02 12a，4b,a,0解得 a,6622 ,. ？f(x),6x，9x,36xb,,9'22 (2), ？f(x),3ax，2bx,a(a,0)' 依题意, 是方程的两个根,且+=22, xxx、xf(x),021122 . ？(x，x),2xx，x，x,812121223322 ,. ？(,2b3a)，(,a)，2a,8？b,3a(6,a)2 . ？b,0,？0,a,622, 设),则. ，，p(a),3a(6,a)pa,,9a，36a,, 由得,由得. ，，，，pa,0pa,00,a,4a,4即:函数在区间(0,4]上是增函数,在区间[4,6]上是减函数, p(a)？当=4时, 有极大值为96,？)在(0,6]上的最大值是96, p(a)p(a)a？的最大值为46. b从以上例题的分析可以看出导数定义在求极限导数导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,发挥着重要作用,因此我们应予高度重视,充分理解导数定义概念的实质,把握导数.应用的场合及关键点,只有这样在各类考试中方能得心应手.32例6 (2005年山东卷)已知函数是函数的一个fxmxmxnx()3(1)1,,，，，x,1 极值点, 其中, . mnR,,m,0(1)求与的关系表达式; mn(2)求的单调区间; fx()(3)当时, 函数的图像上任意一点的切线斜率恒大于, x,,[1,1]yfx,()3m求的取值范围. m分析:这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识, 第1小题根据极值点处导数为零, 可确定与的关系;第2小题求函数的单调区间可根mn 据求导法得到, 列出表格, 答案一目了然;第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论.2,解 (1) fxmxmxmn()36(1)3,,，，，, 由是的一个极值点, 知, 即, fx()f(1)0,36(1)0mmn,，，,x,1？,，nm36722,(2) 由(1), 得 fxmxmxm()36(1)35,,，，，,,,，3(1)[(1)]mxxm2, 由知, , 当变化时, 与的变化如下: fx()fx()xm,011,，xmx2221 (1,)，, (1,1)，1，(,1),,，mmm,0,0,00 0 gx'()递减极小值递增极大值递减 gx()22由上可知, 在区间和上递减,在区间上递增. fx()(1,)，,(1,1)，(,1),,，mm2,(3) 由已知得,即,即当时,有fxm()3,mxm,，，,2(1)20,,,11x122.? xx,，，,2(1)0mm122 设,其函数开口向上,由题意?式恒成立,所以gxxx()2(1),,，，mm22,g(1)0,,,120，，，,,4,即解之得, ,又,,mmm,g(1)0,3,,,,10,44,所以.即的取值范围为. mm,0(,0),,,,m0334 导数在证明等式和不等式问题中的应用4.1导数在不等式证明中的应用利用导数证明不等式, 就是利用不等式与函数之间的联系, 将不等式的部分或者全部投射到函数上.直接或等价变形后, 结合不等式的结构特征, 构造相应的函数.通过导数运算判断出函数的单调性或利用导数运算来求出函数的最值, 将不等式的证明转化为函数问题.即转化为比较函数值的大小, 或者函数值在给定的区间上恒成立等.x例 7 求证: exx,，,1(0)分析:本题通过导数与函数单调性的关系, 自然地将导数与不等式结合在一x起, 灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数;再对fxex()1,,, 进行求导, 得到;然后观察得到当时, fx'()0,, 即在fx()fx'()fx()x,0x,08x时是增函数;最后可得当时, , 即. fxf()(0)0,,x,0ex,，1x解:令则 fxex()1,,,x fxe'()10,,,在上是增函数. ？fx()(0,)，,当时, ？fxf()(0)0,,x,0x即. exx,，,1(0)4.2 在恒等式证明方面的应用此类问题证明的关键是把恒等式问题转化为函数问题, 然后利用函数的导数达到解决问题的目的.,例 8 求证: arctanarccotxx，,2证明:设则 arctanx，arccotx,f(x)11, f(x),,,0221，x1，x从而令得 f(x),c(c为常数)x,1,,,(), 于是 fx,，,442,arctancot x，arcx,25 导数在数列问题中的应用数列是高中数学中一个重要的部分, 也是个难点.事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数, 所以可以利用数列和函数的关系, 运用导数来解决数列的有关问题.2*例 9 已知数列,,的通项, 求数列,,的最大项. a，，aa,n(10,n)n,,nnn 22,解作辅助函数, 则. f(x),x(10,x)(x,0)f(x),20x,3x20, 令f(x),0 得0,x,; 320,x, 令f(x),0 得或. x,0392020在区间上是增函数, 在区间是减函数. f(x)(0,)(,，,)3320因此, 当x,时函数取到最大值. f(x)3*2对, , f(n),n(10,n)n,,f(7),147,f(6),144f(n),147max所以数列的最大项为. ,,aa,147n76 导数在解析几何问题中的应用导数进入中学数学, 丰富了中学数学知识和解法, 给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法, 也给许多常规问题的解法提供了新的视角.利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题, 正是其中一个方面.6.1 利用导数求解切线方程利用导数的几何意义, 把二次曲线方程看作:y是x的函数, 利用复合函数222求导法则, 可轻松求出切线的斜率.如对圆xaxbR,，,,, 两边对求导, x，，，，,则有，，，，, 所以在切点处的切线斜率mn,2x,a，2y,by,0，，xm,a2,k,y,,.从而求出切线方程是.xamaybnbR,,，,,,|，，，，，，，，xx,m,y,nn,b类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程. 如果以圆、椭圆等图形的中心为中心, 按比例缩小图形, 则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切(如图1).此时缩小的曲线方程如22xy222xaxbtR,，,,, , 两边对求导, 可发现并不改变原程，,1x，，，，，，22tatb，，，，,求导的结果.因此, 利用导数法求中点弦的斜率, 就是y在中点处的值. xB A M图2106.2 求中点弦方程22例 10 已知双曲线方程, (1)求以为中点的双曲线的弦所在的，，22xy,,A2,1直线方程;(2)过点, 能否作直线, 使与所给双曲线交于两点, 且LL，，P、QB1,1点是弦的中点,这样的直线如果存在, 求出它的方程;如果不存在, 说明BPQ理由.22,解对两边求导, 得 4x,2yy,022xy,,x,(1) 以为中点的弦的斜率, 所以所求中点弦所在直线方程，，k,y|,2A2,1xx,2,y,1为 yx,,,12(1),(2) 以为中点的弦的斜率, 所以所求中点弦所在直线方程，，k,y|,2B1,1xx,2,y,122为, 即,但与双曲线方程联立消去得yx,,,12(1)210xy,,,y22xy,,2, 无实根.因此直线与双曲线无交点, 所以满足条件的2430,80xx,，,,,,,l直线不存在. l 点评:(1)求出的方程只是满足了必要性, 还必须验证其充分性, 即所求直线与双曲线确实有两个交点.6.3 证明与中点弦有关的不等式22xy例11 已知椭圆, A、B是椭圆上两点, 线段的垂直平，，AB，,1a,b,022ab2222abab,,分线与轴交于点P, 求证:x. (x,0)x,,,00aa P证明: 设AB的中点是, 则中点在椭圆内, ，，Pm,n所以 (1)22xy对椭圆两边求导，,122ab2xb2x2y,,有, 得 y，y,0,,xx222yaab2mb,故中点弦AB的斜率, 所以线段AB的垂直平分线斜率满k,y|,,xx,my,n.2na22xan,ona0足:, 得m,. ,222a,bm,xmb02222abab,,x代入(1)式得. ,,,0aa6.4 求与中点弦有关的轨迹问题122AA例 12 已知定点(0, 2), 椭圆, 过任意引直线与椭圆交于两点x，y,12 , 求线段中点的轨迹方程. P、QPQ解设线段的中点为. PQ，，Mx,y122对椭圆两边求导, 得 x，y,12,=0 x，2yyx11x所以PQ的斜率为.又, k,,k,kAMPQ2yy,2x,,所以. x,12y12222化简即得(在椭圆内的部分). x，2y,4y,0x，y,12综上所述, 在中学数学中解决函数、解析几何时我们可以充分考虑导数这一个有力工具, 有些题通过导数的使用可以达到简化题目、降低难度的作用, 但在应用导数时不能盲目使用.相信有了导数这一工具会使大家解决中学数学题时多以选择.参考文献[1]郭金芝. 导数的应用[J]. 中学生数理化(教与学教研版), 2006(2):38-40 .[2]王淑茂吴永清. 例谈导数应用中的几个误区[J]. 数学教学研究,2006(1):35-36.[3]陈应昌. 导数中的一个重要定理的应用[J] . 高中数学教与学 ,2006(2):27-28.[4]肖志向. 例说导数法证明不等式[J]. 中学数学研究, 2006(2):38-39.[5] 李汉云. 导数的基本应用举例[J]. 高中数学教与学. 2005(10):15-17[6] 华东师范大学数学系 . 数学分析[M](上册, 第三版).北京: 高等教育出版社, 2001-6:87-103.[7]秦学锋. 微积分在数列求和中的应用[J] .数学通报, 2001(2):36 [8]周国球 .运用导数解题应注意几个方面[J].中学数学教学, 2006(1):24-25.[9] 华东师范大学数学系(数学分析(上册)[M](北京:高等教育出版社,2001([10] 杜忠芬.浅谈微积分在初等数学中的应用[J],同仁学院学报,2007, 1(6): 40-43.[11] 杜明华.新增内容导数在解题中的几点应用[J], 新课程改革与实践,2009, 4(5):85-86.[12] 张丽娟.导数的应用浅析[J], 自然科学, 2009,26(3):44-48. [13] 周晓渝.高等数学在初等数学中的应用[J], 科技信息, 2009, 30: 499-499.[14] 窦宝泉.导数在中学数学中的应用[J].数学通讯, 2003(12):12-13 [15]张红. 数学简史[M].科学出版社.2006(6):190-203.12。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念之一，它不仅有着深刻的几何意义，还在数学和实际问题的求解中有着广泛的应用。
本文将深入探讨导数的几何意义以及其在实际问题中的应用。
导数的几何意义导数的几何意义可以从两个方面来理解，即斜率和切线。
首先，导数可以被解释为函数图像上某一点的切线斜率。
具体而言，对于函数y=f（x），如果在某一点x=a处的导数存在，则导数f’(a)即为函数图像在该点的切线的斜率。
这意味着，通过求导，我们能够得到函数图像上每一点处的切线斜率，从而更加准确地描述函数的变化趋势。
其次，导数还可以被解释为函数的变化率。
导数可以帮助我们理解函数在不同点上的变化速率，进而揭示函数的增减性和凸凹性质。
具体而言，如果导数f’(a)在某一点x=a处为正，那么函数在该点上是递增的；如果导数f’(a)在某一点x=a处为负，那么函数在该点上是递减的；如果导数f’(a)在某一点x=a处等于零，那么函数在该点上可能存在极值点。
导数的应用导数作为微积分的基本工具，在数学和实际问题的求解中有着广泛的应用。
以下将介绍导数在不同领域的具体应用。
1. 极值问题导数在求解函数的极值问题中起着重要作用。
对于一个可导函数，可以通过求导将极值问题转化为寻找导数为零的点或者导数不存在的点。
通过求解导数为零或导数不存在的方程，可以找到函数的可能极值点，进而得到函数的最大值或最小值。
2. 凸凹性分析凸凹性分析是导数在物理学、经济学等领域中的重要应用之一。
通过函数的二阶导数信息，可以判断函数的凸凹性质。
具体而言，如果函数的二阶导数大于零，那么函数是凸函数；如果函数的二阶导数小于零，那么函数是凹函数。
3. 曲线绘制与图像分析导数在曲线绘制与图像分析中也扮演着关键的角色。
通过求导，可以得到函数图像上每一点处的切线斜率，从而帮助我们绘制更加准确的曲线。
同时，导数还可以帮助我们分析函数的拐点、极值点和最值点，进而对函数的整体形态进行深入理解。
数学论文导数及应用范文（2）
数学论⽂导数及应⽤范⽂(2) 数学论⽂导数及应⽤篇三 摘要：⾼等数学是⼀门⽅法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。
然⽽导数这⼀章节在⾼等数学中是尤为重要的，在⾼等数学的整个学习过程中，它起着承前启后的作⽤，是学习⾼等数学⾮常重要的任务。
本⽂详细地阐述了导数的求解⽅法和在实际中的应⽤。
关键词：⾼等数学导数求解应⽤ 导数的基本概念在⾼等数学中地位很⾼，是⾼等数学的核⼼灵魂，因此学习导数的重要性是不⾔⽽喻的。
然⽽这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如何求解导数以及运⽤导数来解决有关的问题。
我通过⾃⼰的学习和认识，举例⼦说明了⼏种导数的求解⽅法以及导数在实际中的应⽤。
⼀、导数的定义 1.导数的定义 设函数y=f(x)在点x0的某⼀邻域内有定义，如果⾃变量x在x0的改变量为△x(x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内)时，相应的函数有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)。
若△y与△x之⽐，当△x→0时，有极限lim =lim 存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记为f`(x0)。
2.导数的⼏何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数在⼏何上表⽰曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处的切线斜率，即f`(x0)=tan，其中是切线的倾⾓。
如果y=f(x)在点x0处的导数为⽆穷⼤，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。
根据导数的⼏何意义并应⽤直线的点斜式⽅程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处的切线⽅程。
⼆、导数的应⽤ 1.实际应⽤ 假设某⼀公司每个⽉⽣产的产品固定的成本是1000元，关于⽣产数量x的可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的函数，总收⼊的函数，总利润的函数，边际收⼊，边际成本及边际利润等为零时的产量。
导数的应用(论文)
导 数 的 应 用武夷山一中张俊玲《导数》位于高中数学第三册（选修Ⅱ）的第三章，内容不多，但应用却十分灵活。
近几年的高考 中出现了大量考查导数的试题，预计今后还会加大考查力度，因此熟练掌握导数的有关应用是十分必 的。
一、预备知识1、导数的定义：若函数f(x)在x=x 0处及附近有定义，则函数f （x ）在x=x 0处的导数为00000()()()limlim x x x x f x x f x yy f x x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆2、导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P （x 0 ，f(x 0)）处的切线的斜率为'f (x 0) 二、导数的应用 1、利用导数求极限 由0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 令x 0＋△x 为x则△x=x －x 0 且当△x →0时，x →x 0 故0000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-例1：求极限 2sin sin 22limx x x →--解：设f(x)=sinx ，则'f (x)=cosx故原式='f (2)=cos2 2、利用导数求瞬时速度和加速度 若质点的运动方程为()s s t = 则质点的瞬时速度方程为()v s t '= 质点的瞬时加速度方程为()()a v t s t '''==例2：质点的运动方程为s=t 3，（s 的单位:m ，t 的单位：s ） 求质点在t=3时的速度和加速度。
解：∵s=t 3∴s ′=3t 2，s ″=6t∴质点在t=3时的速度为v=s ′/t=3=27m/s ， 加速度为a=s ″/t=3=18m/s 23、利用导数求和例3：当n ↔N*时，求证：1321232-⋅=++++n nn n n n n nC C C C 证明：由n n n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 332210)1(两边分别对x 求导得 12321132)1(--++++=+n n n n n n n x nC x C x C C x n 令x=1得 1321232-⋅=+++n n n n n n n nC C C C4、利用导数求切线曲线y=f(x)在点p(x 0 , f(x 0))处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=- 例4：已知曲线1y x=（1）求曲线在点p （1，1）处的切线方程 （2）求曲线在点Q （1，0）处的切线方程 （3）求满足斜率为－31的曲线的切线方程和切点坐标 解：（1）设x x f y 1)(== 则2'1)(xx f -= ∵p 在曲线上 ∴p 为切点 ∴所求切线斜率k =1)1('-=f 故曲线在点p 处的切线方程为y -1 = -(x-1) 即y = - x ＋2 （2）显然Q 不在曲线上设过点Q 且与曲线相切的切线的切点为A （a ,a1） 则该切线的斜率2'1)(aa f k -== 从而切线方程为)(112a x aa y --=-将Q （1、0）代入方程得a =21故所求切线方程为y = －4x ＋4（3）设切点为A(a ,a 1)，则切线的斜率 3112-=-=ak 解得3±=a 即A （3 ，33）或（－3，－33）故切线方程为)3(3133--=-x y 或 )3(3133+-=+x y 即0323=-+y x 或 0323=++y x[归纳总结] 有关曲线在某一点处的切线问题，满足以下三个关系：○1切点在曲线上；○2切点在切线上；○3切线的斜率等于曲线在切点处的导数。
导数应用论文
导数的应用目录[摘要] (2)一.引言 (2)二．导数的概念 (3)三．导数的求法 (4)1．显函数导数 (4)1．1导数的四则运算： (4)1．2复合函数与反函数求导法则 (4)1．3基本初等函数求导公式 (4)2．隐函数导数 (4)3．由参数方程所确定的函数求导法 (5)4．分段函数的导数 (5)四．导数的性质 (5)五．导数的应用 (6)1．导数在函数中的应用 (6)1．1利用导数判断函数的单调性 (6)1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点 (8)1．3利用导数求函数的极值和最值 (10)1．4利用导数知识描绘函数图形 (15)1．5利用导数求参数问题 (18)2．导数在曲线中的应用 (18)3．利用导数研究方程的根 (20)4．应用导数证明不等式 (20)5．导数在数列中的应用 (21)6．利用导数求极限——洛必达法则 (23)6．1“0”型和“∞∞”型 (23)6．2其他形式 (23)7．物理学中的导数 (24)8．经济学中的导数应用 (25)结束语： (26)参考文献： (26)（所有）[摘要]导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。
它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。
由于导数的广泛应用，现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用[关键字]导数初等数学高等数学应用一.引言导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。
高考考查导数应用主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。
浅谈导数的应用论文-V1
浅谈导数的应用论文-V1正文内容：导数是微积分的重要概念之一，具有广泛的应用场景。
本文通过对导数的应用进行讨论，旨在向读者展示导数在数学和实际应用中的重要性。
一、导数的定义和基本性质导数可以简单地理解为函数在某个点处的切线斜率，它的具体定义如下：$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，$f(x)$表示函数，$f'(x)$表示函数在$x$处的导数。
导数具有一些基本性质，包括加法法则、倍法法则、链式法则等。
加法法则表示若$f(x)$和$g(x)$均可导，则$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$；倍法法则表示若$f(x)$可导，则$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$；链式法则表示若$f(x)$和$g(x)$均可导，则$(f\circg)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$。
二、导数的应用1. 极值问题导数可以用于判断函数在某个点处的值是否为局部极值，即是否为最大值或最小值。
具体地，若$f'(x_0)=0$且$f''(x_0)>0$（或$f''(x_0)<0$），则$f(x_0)$为函数$f(x)$的一个局部最小值（或最大值）。
2. 函数图像的性质导数可以反映函数图像的一些性质，如函数的单调性、凸凹性等。
具体地，若$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$x$处单调增加；若$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在$x$处单调减少；若$f''(x)>0$，则函数$f(x)$在$x$处凹上；若$f''(x)<0$，则函数$f(x)$在$x$处凸上。
3. 最优化问题导数在最优化问题中也有广泛的应用。
例如，在求解函数$f(x)$的最小值时，可以通过求解$f'(x)=0$来找到函数的驻点，然后通过计算二阶导数$f''(x)$来判断是否为最小值。
导数在解析几何中的应用
龙源期刊网
导数在解析几何中的应用
作者：邱中蔚
来源：《科教创新》2012年第11期
摘要：圆锥曲线是高中重要的知识点之一，也是高考的必考内容之一，其中对于学生的运算能力要求很高。
因此，选择适当的数学方法，是简化运算过程，而达到迅速、准确解题的关键。
关键词：解析几何导数函数
导数是高中数学的重要的交汇点，也是历年开高考的重点和热点，导数的思想方法和基本理论在中学数学中有着广泛的应用，本文就导数在解析几何中的应用从下面两方面举例分析。
参考文献：
[1]李树养，杨昆济.导数在解题中的应用[J]，高中数学教与学.2010.
[2]肖健.圆锥曲线问题中减少运算量的五种策略[J].高中数学教与学.2010.
[3]薛金星.中学第二教材[M].延边大学出版社，2010.。
浅谈导数的应用论文(1)
浅谈导数的应用论文(1)导数，指的是函数在变化过程中的趋势，是微积分中一个重要的概念。
导数的应用十分广泛，包括但不限于优化问题、曲线拟合、函数最值、极值等。
本文将从以下几个方面浅谈导数的应用。
一、优化问题优化问题是导数的一种应用，它旨在获得最优解或最优答案，如最大值或最小值。
导数可以帮助我们确定函数的最值问题。
我们先来看一个例子，求解函数$f(x)=x^2-2x+1$的最小值。
通过对$x$求导数，得到$f'(x)=2x-2$。
然后令$f'(x)=0$，解得$x=1$。
最后将这个$x$值带入原函数中，即可得到$f(1)=0$，因此函数$f(x)$的最小值为0。
二、曲线拟合曲线拟合是导数在物理学和统计学中的一种应用。
在实际生活中，我们常常会遇到需要把某些数据点拟合成函数图形的情况，这就需要用到曲线拟合。
导数可以帮助我们拟合曲线，直观上，导数表示函数变化的速率，这可以用来评估不同点之间的函数斜率，因此我们可以利用导数来构建曲线拟合模型。
三、函数最大值函数最大值是导数在特定应用场景中的一种应用。
我们可以从导数的角度来推导出函数最大值。
求函数最大值时，需要对其求导，找到导数为0的点，然后检查这个点是否是局部最大值。
如果是，则该点就是函数的最大值。
同样的，求函数最小值时，只需找到导数为0的点，检查局部最小值即可。
四、极值问题求解极值问题是导数在微积分学中的一种应用。
极值问题指的是，在指定函数的范围内，如何找到函数的最大值和最小值。
导数可以帮助我们求解这类问题，因为导数能够快速地给出函数的变化趋势和变化率。
因此，可以通过计算导数来确定函数的最值问题，并将其用于求解极值问题。
总之，导数是微积分中的一个重要概念，它在实际问题中具有广泛的应用，如优化问题、曲线拟合、函数最值、极值等。
掌握导数的应用可以帮助我们更好地理解微积分概念，并在解决实际问题时起到重要作用。
论文浅谈导数的应用
浅谈导数的应用摘要：法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术中必不可少的工具．我们要明确导数的内涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型．一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位，本文详细介绍导数思想的内涵和本质，使人们对导数的内容有更深的理解，以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想，从而优化解决问题的过程．关键词：极限;导数;微分Shallowly Discusses the Application of DerivativeAbstract:To study extremely problems, French mathematician Fermat brought in derivative idea. Derivative is the basis for us to learn math and other natural science further, an indispensable tool in research of modern science and technology. We should understand the concept and acquire the capacity of solving problems with mathematical ideas and create derivative model according to the mathematical feature of the given problem. On average, we use specific derivative in accordance with definite trait of the various problems. The derivative idea plays an important part in middle school math, advanced math and our daily life. In this chapter, the concept and essence of derivative are introduced to deepen people's understanding in math and help to simplify people's derivative.Key words:Limit; Derivative; Differential0 引言导数]1[来源于人类的社会实践，服务于人类的社会实践，导数是人类进一步学习数学和其他自然科学的基础，用导数来研究函数的性质，是研究现代科学技术中必不可少的工具．导数是在极限概念的基础上建立起来的，是微分学的一个重要概念，也是一个重要的解题方法.学习导数知识可以在实际应用中快速简洁的求曲线的切线方程.导数还是对函数图像与性质的总结和概括，是研究函数单调性的最佳的重要工具，是初等数学和高等数学的重要衔接点．导数还可以解决生产和生活中的最优决策和最优设计问题，即最大值、最小值问题．1 导数的产生和发展导数概念是根据解决实际问题的需要，在极限的基础上建立起来的]9[，它是微分学中最重要的概念．而微分是微分学中又一个重要的概念，它与导数有密切的关系，两者在科学技术中有着广泛的应用．我们知道在一定条件下一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前，哪个概念产生在后呢？1.1 微分概念的导出背景当一个函数的自变量有微小的改变时，它的因变量一般来说也会有一个相应的改变．微分的原始思想在于寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确的估计出这个改变量．我们来看一个简单的例子：维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度．在中学里利用计算向心加速度的方法已经求出这种速度为7．9千米/秒，现在我们改用另一种思路去推导它．设卫星当前时刻在地球表面附近的A 点沿着水平方向飞行，假如没有外力影响的话，那么它在一秒钟后本应到达B 点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达的而是C 点．BC =4．9米是自由落体的物体在重力加速度的作用下，第一秒中所走过的距离．容易看出，如果C 点与地心O 的距离是相等的，那么由运动的独立性原理，就可以推断出卫星在沿着地球的一个同心圆轨道运行，也就是作环绕地球飞行了．因此，卫星应具有的最小飞行速度恰好在线段AB 的长度．ABC ∆是直角三角形，OA 和OC 可近似的取为地球的平均半径6371千米，也就是6371000米，于是由勾股定理即可求其加速度． 1.2 产生导数的实际背景从数学的发展历史来看，导数是伴随微分的诞生而顺理成章的产生的．也就是说，人们先有了微分的概念，随后才发现，对于处理微分问题来说，像这么一种特定形式的极限，即导数，是一个有力的工具．从法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，但与导数概念直接联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的]3[．用导数思想来处理微分问题]10[．因为一方面，从微分的形式来看，在比较复杂的情况下（比如高阶的微分和导数以及多元函数的微分和导数等），无论是形式的思考还是实际的处理问题由导数入手都要比由微分入手更容易和简单一些，并且导数有它本身的意义，在数学的理论及其实际应用方面都扮演着重要的角色． 1.3 导数的概念1、函数()x f y =在点0x 处的导数可以写成以下形式]4[：()()()0000limx x x f h x f x f x x --+='→2、导数的物理意义和几何意义:函数()x f y =在点x 处的导数是函数在该点处的平均变化率xy∆∆的极限，因而它反映了客观运动的瞬时变化率．在几何学上，()x f y =在某点处的导数()0x f 表示函数()0x f y =的图形在点()00,y x 处的切线斜率，即()0tan x f '=α，其中α是过点()00,y x 的切线的倾角]7[．2 导数的应用2.1 导数在中学数学中的应用在中学数学中，常利用导数的几何意义来求曲线的切线方程，还会用到导数的单调性以及用导数求极值点和最值的问题．由此可见，导数在中学数学中的应用是十分广泛的，不妨通过以下例题来说明．例1]6[ 已知数列{}n a ；()1109+⋅⎪⎭⎫⎝⎛=n a nn ，问数列中是否有最大项？若有，请求出最大项；若没有，请说明理由．解 因为数列是一种特殊的函数关系，是离散的，不能直接求导．所以可设()1109+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x()0>x ，同时取对数后求导可得()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛='1110ln 9ln 1109x x y x，令0='y ，得4877.8=x ；当4877.80<<x 时，0>'y ；当4877.8>x 时，0<'y ，且有唯一解；当4877.8=x 时，y '最大；故8=n 或9=n 时，n a 最大； 8981099⎪⎭⎫ ⎝⎛==a a ． 2.11 利用导数求曲线的切线方程归纳起来有两种问题类型，下面我们来系统的分析一下怎么解决这类问题． 情况一：设()x f y =为可导函数，求过()000,y x m 点作C ：()x f y =的切线方程． (1)若()C y x m ∈000,，()x f y =；即()00x f y =．则()0x f k '=，过0m 的切线方程为()()000x x x f y y -'=-．(2)若()C y x m ∉000,，即()00x f y ≠．可设切点()111,y x m ，则()11x f y =过1m 的切线方程为()()()111x x x f x f y -'=-，此切线过0m ．于是可由()()()10110x x x f x f y -'=-解出1x ．因而过0m 的切线方程为 ()()()111x x x f x f y -'=- 或()()010x x x f y y -'=-．情况二：设()x f y =，()x g y =为可导函数，曲线p ：()x f y =与曲线q ：()x g y =相切，求切线方程．解：由于两曲线p ，q 相切，必须假设公切点()000,y x m 满足p m ∈0，q m ∈0，即()00x f y = (1) ()00x g y = (2) 又因为两曲线在公切点0m 处切线的斜率相等，即()()00x g x f '=' (3) 解(1)(2)(3)式，可得公切点()000,y x m 坐标，从而求得公切线方程． 2.12三角函数的问题此类问题同样可以用导数的思想来解决．例如，可以利用导数求三角函数的周期，还可以判断其奇偶性，以及求其单调区间等．下面先考虑两个结论：(1)可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数．证明：设()x f 是可导的偶函数，有()()x f x f =-且()[]()x f x f '='-即()()x f x f '=-'-；所以 ()()x f x f '-=-'；即有()x f 的导数()x f '为奇函数．同理可证奇函数的导函数是偶函数．(2)可导的周期函数，其导数仍是周期函数且原函数的周期是导数的一个周期． 证明：设()x f 为可导的周期函数，其周期为t ，根据周期定义有：()()x f nt x f =+()...2,1,0±±=n ，于是有()()x f nt x f '=+'．例2]6[ 设函数()()ϕ+=x x f 2sin ()0<<-ϕπ，()x f y =图像上一条对称轴是直线8π=x ， (1)：求ϕ;(2)：求函数()x f y =的单调区间;(3)：证明直线025=+-c y x与函数()x f y =的图像不相切．解 (1)因为()()ϕ+='x x f 2cos 2，又因为图像的一条对称轴是直线8π=x ；知08=⎪⎭⎫ ⎝⎛'πf ，则有04cos =⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ．所以24ππϕπ+=+k ； k =1，2…，又0πϕ-<< ，所以πϕ43-=．(2)由前问()⎪⎭⎫ ⎝⎛-='π432cos 2x x f 而0y '>考虑到端点值有322242k x k ππππ≤-≤+，即函数()x f y =的斜率的取值范围为[2,2]-，而直线520x y c -+=的斜率为522>，则直线与曲线的图像不相切．数学是具有高度抽象性和概括性的学科，通过导数可以培养学生的科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，可以使学生养成严格的推理习惯和全面分析问题的能力．2.2 导数在高等数学中的应用2.21 利用洛必达法则、泰勒公式求极限例3]2[ 求极限()xxx e x 1101lim -→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+解 因为1110020(1)1(1)lim lim exp ln ln(1)lim exp xx xx x x x x ex e x x x -→→→⎧⎫⎡⎤++⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭-+⎧⎫=⎨⎬⎩⎭而利用洛必达法则()()ee x x x xx x xxx x x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=+-=+--→→→1100201lim 212111lim 1ln lim利用洛必达法则求极限要注意以下几点：验证所求的极限式是不是00或∞∞型．如果不是，要将其转化为00或∞∞型；在求极限之前，应首先利用等价无穷小代换或通过其他变形（如有理化、变量代换）把未定式代换成最简式；洛必达法则可以反复多次使用，只要满足其前提条件即可；如果()()x g x f ''lim 不存在，不能判定()()x g x f lim 也不存在．2.22 利用函数单调性、中值定理、泰勒公式、最值证明不等式此类问题的解决方法两种思路：(1)利用函数的单调性将要证明的不等式的右端的所有项全部移到左端，把其中的某个字母（比如a ）改为x ，并把左端的函数记为()x F ，利用函数的单调性证明()0>x F 或()0<x F ．若要证明的不等式是()()x g x f >，一般是构造函数()()()x g x f x F -=，利用()x F '的符号判断它的单调性．(2)证明数列极限形式，须将离散变量转换为连续变量，再用洛必达法则．如下所示：例4]5[ 求极限211lim(1)nx n n→∞++解 先求函数极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→2111lim ，取对数后的极限式为()112lim 12112lim 1ln 1ln lim 111ln lim 2222222=+++=--+++=-++=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→+∞→+∞→+∞→x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x 所以有归结原则可得211lim(1)n x n n →∞++=e x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→2111lim2.23 函数极值及相关问题例5]7[ 设()x f 在()+∞∞-,上二阶可导且()1≤x f ，()[]()[]40022='+f f ;证明 存在ξ，使得()()0=+''ξξf f ．证明 有题设和欲证的结论，可以将辅助函数设成()()[]()[]22x f x f x F '+=,那么就存在()0,2-∈ξ,使得()()()()2020----='f f f η,同理存在()2,0∈η使得()()()12020≤---='f f f ξ, 则()()()2,40,2≤=≤ηξF F F ，故()x F 在()ηξ,内取得最大值．2.3 导数在经济学中的应用 2.31 常见的经济函数需求函数是指消费者在一定价格条件下对商品的需求，一种商品的需求量Q 与该商品的价格P 密切相关．如果不考虑其他因素的影响，则商品的需求量可以看作是价格P 的函数．即需求函数()P Q Q =．需求量随价格的上升而减少．供给函数是指在某一时期内，生产者在一定价格条件下，愿意并可能出售的产品；一种商品由生产者向社会提供的数量Q 与该商品价格P 有关．在不考虑其他因素的条件下，商品的供给量Q 也可以看作是价格P 的函数．也就是供应函数()p Q Q =．例6]8[ 厂商的总收益函数和总成本函数分别为()230Q Q Q R -=和()122++=Q Q Q C ， 政府对产品的征税.求:(1)厂商纳税前的最大利润及此时的产量和价格？(2)征税收益的最大值及此时的税率t ．(3)厂商纳税后的最大利润及此时的产品价格．解 (1)纳税前的利润函数为()12821230222-+-=++--=Q Q Q Q Q Q L ， 当7=Q 时，利润最大；且()977=L ;此时价格30723p =-=．(2)T tQ =．纳税后的总成本函数为221t C Q Q tQ =+++;税后利润函数为()()()Q C Q R Q L t -=;获得最大利润的条件是()()dQQ dC dQ Q dR t =，由30222Q Q t -=++ 得0284tQ -=;经过纳税后的最大利润的产量为0Q ;于是征税的收益函数为()202841t t tQ T -==，求最大值即可．当014t =（此时072Q =）征税的收益最大，其值为0049T t Q ==．(3)纳税后利润函数()()()tQ Q Q Q C Q R Q L t ---=-=12282．当14=t ，72Q =时，最大利润max 1232L = 此时产品的价格为532．例7]8[ 新产品的推销与广告.1新产品的推销：一种新产品问世，经营者要关心产品的卖出情况，下面我们根据两种不同的假设来估算两种推销的速度：假设1：假设产品以自然推销的方式卖出．换句话说，被卖出的产品实际上起着宣传作用，吸引着未购买的消费者．设产品总数与时刻t 的关系为()t x ，再假设每一产品在单位时间内平均吸引k 位顾客，则()x t 满足微分方程()kx t x =' (4) 设初始条件为()00x x = (5) 则易得到上述微分方程的解为()kt e x t x 0= (6) 这是指数假设，下面我们对结果(6)式进行分析与验证：经过与实际情况比较，发现(6)式的结果与真实销量在初始阶段的增长情况比较相符；在产品卖出之初，0=t 时，显然0=x ，这是由(6)式得的()0=t x ，这一结果与事实不符，产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推销的，便不可能进行任何推销．事实上，厂家在产品销售之初，往往是通过宣传等各种方式来推销其产品的；令t →+∞，若针对某种耐用商品而言，这显然与事实不符，事实上，)(t x 往往是有上界的．针对假设1的上述分析的缺陷，我们用下面的假设2来改进．假设2：设需求量的上界为M ，假设经营者可通过其他方式推销产品．这样产品的增长也与尚未购买产品的顾客有关．故()t x '与()x M x -成正比，比例系数为k ，则()t x 满足()()x M kx t x -=' (7) 再加上初始条件()00x x = (8) 利用分离变量方法易求得上述微分方程的解 ()()kMte x M x Mx t x --+=000(9)当0=t 时，若00x ≠，则易从(9)式中得到()0≠t x ，另外在(9)中令t →+∞，易得到()M t x →，这样从根本上解决了假设1的不足．由(7)式易得()0>'t x ，即()t x 是关于时刻t 的单调增加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越来越少，另外对(7)式两端求导得：()()()t x x M k t x '-=''2．故令()0=''t x 得到()20Mt x =；当0t t <时，由()0>'t x ，()()0t x t x <，得()0>''t x ．即函数()t x '单调增加．同理，当0t t >时()t x '单调递减，这说明在销售量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增加的，销售量恰好达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，其后销售速度开始下降． 2.32 广告在当今社会中，广告在商品推销中起着极其重要的作用．当生产者生产出一批产品后，下一步便是思考更快更多的买出产品，由于广告的大众性和快捷性，其在促销活动中备受经营者的青睐．当然，经营者在利用广告这一手段时自然要关心广告与促销到底有何关系，广告在不同时期的效果如何？假设1：独家销售的广告：首先，如下假设：(1)商品的销售速度会因做广告而增加，但当商品在市场上趋于饱和时，销售速度会趋于极限值，这是销售速度将开始下降．(2)自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售速度的变化率随着商品销售率的增加而减少．(3)设()S t 为t 时刻商品的销售速度．M 表示销售速度的上限；0λ>为衰减因子常数，即广告作用随时间增加而自然衰减的速度．()A t 为t 时刻的广告水平（以费用表示）.根据上面的假设，我们可以得到：()()()()t S M t S t A p t S λ-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅='1 (10)其中p 为响应系数，即()t A 对()t S 的影响力，p 为常数．假设(1)当销售进行到某个时刻时，无论怎样做广告．都无法阻止销售速度的下降，故选择如下广告策略：()0()(0)t A t A t ττ>⎧=⎨<<⎩ 其中A 为常数在[]τ,0时间内，设用于广告的花费为a ，则aA τ=，代入(10)式有()ττλa P S a M P t S ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++' 令,P a Pa b r c M ττ=+⋅= ;则有()c bS t S =+' (11) 解(11)式得()b cke t S bt +=- (12)给定初始值0(0)S S =，则(12)式成为 ()()bt bt e S e bct S --+-=01 (13) 当t τ>时，由()A t 的表达式，则(10)式变为()S t S λ-=' (14)其解为()()t ket S -=τλ (15)为保证销售速度()S t 不间断，我们在(13)式中取t τ=而得到()S τ，将其作为(14)式的初始值，故(15)式解为()()()t e S t S -=τλτ (16) 这样，联合(13)式与(16)式，我们得到()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+-=---)()0(10ττττλt e S t e S e b c t S t btbt假设2: 竞争销售的广告 我们做如下假设，(1)两家公司销售同一产品，而市场量()t M 有限.(2)每一公司增加它的销售量是与可获得的市场成正比的，比例系数为i C ，1,2i =. (3)设()i t S 是销售量，1,2i =.()t N 是可获得的市场． 分析：根据题意显然有：()()()()t S t S t M t N 21--=． 由假设(2)有()N C t S 1=' (17)()N C t S 22=' (18) 将上述二式相除，易得()()t S C t S 132'=' (19) 其中231C C C =为常数，对（19）式积分得 ()()4132C t S C t S += (20)4C 为积分常数，假设市场容量()()t e t M βα--=1 ,αβ为常量.则()()()()41311C t S C e t N t -+--=-βα (21) 再将(19)式代入(17)式得()C Be AS t S t ++-='-β11 (22) 其中()311C C A +=；α1C B -=；()41C C C -=α解方程(22)易得()3211k e k e k t S Bt At ++=--代入(20)式，得()3212m e m e m t S Bt At ++=-- (23) 其中i k 及i m (i =1，2，3)均为常数．3结束语导数在数学发展、教学和生活中有其重要的地位，若能在教学中充分发挥导数的作用，对于提高教学质量，培养学生的能力，都是非常有益的；若能在生活中恰当的应用导数，很容易就能解决一些棘手的问题；当然在数学的各个不同分支的教学中如何运用导数，必然会有许多各自不同的特点，就需要我们发挥自己的创造思维，并在实践中不断地用心体会和总结．致谢辞感谢学校培养和教育，院系领导提供的良好的研究条件，以及这三年来各科老师的悉心培育。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用在微积分中，导数是一个重要的概念，它不仅有着深刻的几何意义，还在各个科学领域中有着广泛的应用。
导数可以帮助我们理解函数的变化率，进而揭示函数的本质特征，为实际问题的求解提供强有力的工具。
本文将从导数的几何意义和应用两个方面进行论述。
一、导数的几何意义导数的几何意义表现在函数图像的切线和曲线斜率的计算上。
对于函数f(x)来说，它在x点的导数f'(x)代表了函数图像在x点处的切线斜率。
具体来说，可以通过将切线近似看作曲线在这一点的局部性质，通过求出曲线上两点间的斜率的极限来表示切线的斜率，即导数。
这样一来，导数的几何意义就被转化为切线的斜率。
导数的几何意义和切线紧密相关。
对于函数图像上每一个点，都存在唯一的切线与之对应。
切线具有两个重要的性质，一是切线与函数图像相切于给定点，二是切线与函数图像在给定点处具有相同的斜率。
因此，通过计算导数，我们可以得到函数图像上任意一点的切线斜率。
二、导数的应用导数的应用十分广泛，在自然科学、工程技术、社会经济等领域都有着重要的作用。
以下将介绍导数在几个典型应用中的具体运用。
1. 最优化问题：导数可以帮助我们求解最优问题，如最大最小值问题。
通过求取函数的导数，并令其等于零，我们可以找到函数取得最大或最小值的点。
这在经济学中的成本最小化、收益最大化问题中有重要的应用。
2. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，导数被广泛应用于描述物体的运动状态。
速度是位移对时间的导数，而加速度是速度对时间的导数。
通过求导，我们可以计算出物体的速度和加速度，进而揭示物体运动的规律。
3. 金融学中的利率和风险：在金融学中，导数被用来描述利率和风险。
例如，在借贷中，利率的变化可以通过利率的导数来表示。
而金融衍生品的风险可以通过导数来衡量，从而帮助投资者做出明智的决策。
4. 统计学中的回归分析：回归分析是统计学中常见的分析方法，它基于导数和线性关系的原理。
通过对数据进行回归分析，我们可以建立数据之间的数学模型，并通过导数计算模型参数的变化率，从而了解变量之间的关系。
高阶导数在解析几何中的应用研究
高阶导数在解析几何中的应用研究在解析几何中，高阶导数是一种重要的数学工具，它在研究曲线的性质、切线、法线、曲率等方面具有广泛的应用。
通过对高阶导数的研究，我们可以深入理解曲线的几何性质，进而解决一些复杂的几何问题。
首先，高阶导数对曲线的性质有着重要的影响。
一阶导数可以描述曲线的斜率，而二阶导数则描述了曲线的凹凸性。
更高阶的导数可以进一步揭示曲线的起伏变化。
通过研究曲线的高阶导数，我们可以判断曲线在某个点附近的弯曲程度，了解曲线的局部特征。
其次，高阶导数在切线和法线的研究中具有重要的应用。
在解析几何中，曲线的切线和法线是研究曲线的重要工具。
高阶导数可以帮助我们确定曲线上某一点处的切线和法线方程。
通过对曲线的高阶导数进行分析，我们可以了解曲线的弯曲情况，从而确定切线和法线的方向和斜率。
曲率是曲线几何性质中一个重要的概念，也是高阶导数在解析几何中的常见应用之一。
曲线在某一点处的曲率可以通过计算曲线的高阶导数得到。
曲率描述了曲线弯曲程度的大小和方向，是研究曲线的关键指标之一。
通过对曲线的高阶导数进行研究，我们可以计算曲线在不同点处的曲率，并进一步分析曲线的几何特征。
高阶导数还可以用于确定曲线的拟合曲线。
在实际问题中，我们常常需要确定一条曲线来近似拟合一组数据点。
高阶导数可以帮助我们建立曲线的数学模型，通过拟合曲线与实际数据的偏差最小化，从而获取最佳拟合曲线。
通过高阶导数的研究，我们可以评估不同拟合曲线的优劣，并选择最适合问题需求的曲线模型。
除了以上几个应用，高阶导数在解析几何中还有许多其他的应用。
例如，在曲线的最值问题中，通过对高阶导数的分析，我们可以确定曲线的极值点，从而解决最值问题。
在曲线的长度、面积以及容积计算中，高阶导数也可以提供重要的帮助，通过对曲线的高阶导数进行积分运算，我们可以得到曲线的相应长度、面积和容积的计算公式。
综上所述，高阶导数在解析几何中扮演着重要的角色。
通过对高阶导数的研究，我们可以深入理解曲线的性质，解决复杂的几何问题。
高中数学论文运用导数的几何意义解题
应用导数的几何意义解题导数f '(x 0)的几何意义是曲线y=f(x)上点(x 0, f(x 0))处切线的斜率，利用这一点，解析几何中曲线的许多有关切线问题都可以用导数来处理。
例 （2006高考四川卷）曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（A ）74y x =+ （B ）72y x =+ （C ）4y x =- （D ）2y x =- 思路解析：曲线34y x x =-，导数2'43y x =-，在点()1,3--处的切线的斜率为1k =，所以切线方程是2y x =-，选D.评析：这道高考题其实来源于课本的例题，主要考查利用导数的几何意义求曲线上一点处切线斜率的基本方法。
在高考中对导数几何意义的考查基本都集中在填空、选择题的题型。
在求曲线的切线时，一定要注意判断题目条件给出的点究竟是不是曲线上的点。
变式1：（2006高考全国II ）过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为 （ ）（A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+= 思路解析：21y x '=+，要判断点（－1，0）不在抛物线上，所以设切点坐标为00(,)x y ，则切线的斜率为201x +，且20001y x x =++于是切线方程为200001(21)()y x x x x x ---=+-，因为点（－1，0）在切线上，可解得0x ＝0或－4，代入可验正D 正确。
选D变式2：（2006安徽卷）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 （ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 思路解析：与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线430x y --=，故选A除了可以利用导数的几何意义求曲线切线的斜率以外，我们还可以进一步利用它来处理这样一些问题。
导数在一道几何题中的应用
导数在一道几何题中的应用
求导数在几何中的应用
几何作为基础教育中重要的一环，在学习中经常会涉及到导数概念。
对于多元
函数，我们可以使用导数来求得多元函数作图时的泰勒展开，而求得轨迹表达式等。
具体来说，求导的好处在于可以用来求得多元函数的极值点，通过求导的方法，可以求得极值点，进而对函数图像进行拟合，或者进行更高级的处理，从而丰富几何的视野。
此外，求导也可以更准确的描述几何和物理问题之间的关系。
假设有一个物体
运动在x轴上，我们可以使用导数来描述它的速度和加速度。
同样地，它所经历的路程也可以由导数描述，从而使我们对它的运动状态有更准确的认识。
通过这种方式，求导的概念可以将几何和物理问题的推理紧密连接起来，使几何更具有实际意义。
再者，考研答题会经常涉及到求导的运用，如求得曲线法矩或者正弦正切函数
上某点、区间数值近似值等，这类问题在考试中一般较为简单，但对对导数的运用要求较高。
因此，了解掌握求导的相关概念可以有助于考研考试中在几何题目中取得更高分。
综上所述，求导在几何教学中都有着重要的作用，既可以提升几何概念的深度，又可以帮助我们更准确的求解几何题目，从而发挥出求导在几何中的重要作用。
解析几何结合导数
解析几何结合导数标题：解析几何与导数的奇妙结合导数在解析几何中扮演着重要角色，它们的结合让我们能够更深入地理解几何形体的特性和变化规律。
让我们一起探索这个奇妙的结合吧！一、直线的斜率与变化率斜率是直线的一个重要属性，它代表了直线的倾斜程度。
而导数的概念与斜率有着紧密的联系。
我们可以通过导数来计算直线在某一点的斜率，从而了解直线在该点的变化率。
这种联系让我们可以更直观地理解直线的特性，进而应用到实际问题中。
二、曲线的切线与导数曲线的切线是曲线与某一点处的近似直线，它能够帮助我们更好地理解曲线的走向。
而导数的应用让我们能够准确地找到曲线在某一点处的切线。
通过计算导数，我们可以获得曲线在该点的斜率，从而确定切线的方向和倾斜程度。
这种方法让我们能够更直观地理解曲线的性质，以及曲线在不同点处的变化规律。
三、曲面的切平面与偏导数在三维空间中，曲面的切平面是曲面与某一点处的近似平面。
通过导数的应用，我们可以计算曲面在某一点处的偏导数，从而确定切平面的方向和倾斜程度。
这种方法让我们能够更准确地理解曲面的特性，以及曲面在不同点处的变化规律。
四、体积的变化率与导数在解析几何中，我们经常需要计算体积的变化率。
而导数的应用让我们能够准确地计算体积的变化率。
通过求导数，我们可以得到体积对于某一参数的导数，从而确定体积随参数变化的速率。
这种方法在实际问题中具有重要意义，比如在工程设计中，我们可以通过计算体积的变化率，来确定最优设计方案。
通过解析几何与导数的结合，我们能够更深入地理解几何形体的特性和变化规律。
这种结合不仅在学术研究中有着重要应用，还在实际问题的解决中发挥着重要作用。
让我们一起拥抱这个奇妙的结合，用数学的语言描绘出几何的美妙！。
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导数思想在解析几何的一个简单应用
导数隶属于函数内容，看似与解析几何毫无关联。
但是导数的几何意义是切线斜率，我们常用求导的方法求解函数的切线。
而某些曲线方程本身是函数解析式或者曲线某一部分能够写成函数解析式，因此求曲线的切线问题也可以理解成求函数切线问题。
下面通过几道例题来说明导数在解析几何中的应用： 例1、（07安徽）过点()4,0-P 作抛物线y x G 42=：的切线，求切线方程
解：设切点2
004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭， 由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x
故所求切线方程为2
00
0()42x x y x x -=- 即42200x x x y -= 因为点(0)P -4，在切线上 所以2
044
x -=-，2
016x =，04x =±
所求切线方程为042=--y x 042=++y x 。
【小结】本小题也可以用常规的方法，点斜式设直线，与抛物线联立，利用0=∆求出斜率，写出
直线。
（变式）在点()2,1P 处作抛物线x y G 42
=：的切线，求切线方程
解：抛物线x y G 42=：在第一象限的方程为x y 2=
由x
y 1/
-
=，知抛物线在P 点处的切线斜率为1-
故所求切线方程为()12:1--=-x y l 即03=-+y x
【小结】本小题的出题目的是，只有将曲线方程变形为函数解析式后，才能用求导的方法求切线。
例2、（07韶关调研）已知()2,0-M ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴正半轴上，点P 在直线AB 上，且满足=、0=⋅。
当A 在x 轴上移动时，设动点P 的轨迹为C 。
⑴求C 的方程
⑵过点()0,2-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，分别过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l 。
当21l l ⊥时，求直线l 的方程。
解：⑴设()y x P , ()0,a A ()()0,0 b b B
()()y b x PB y a x AP --=-=,, ()02,2 y y b x a PB AP ==∴=
则()()
()y x AP x a MA ,2,22,-=== ()002 y y x AP MA =∴=⋅
⑵设()
()2211,,y x F y x E 易知221122x k x k == 4
1
2121-=∴⊥x x l l
显然AB 斜率存在，设()2:+=x k y AB ，与y x =2联立得022
=--k kx x
由082
k k +=∆得8- k 或0 k 8124121=∴-=-
=k k x x ()28
1
+=∴x y 即028=+-y x
例3、（08广州调研）已知过点()1,0-P 的直线l 与抛物线y x 42=交于两点()11,y x A 、()22,y x B 。
1l 、
2l 分别是该抛物线在A 、B 两点处的切线。
M 、N 分别是1l 、2l 与直线1-=y 的交点。
⑴求直线l 的斜率的取值范围
⑵试比较PM 与PN 的大小，说明理由。
解：⑴⎩⎨
⎧=-=y
x kx y 412
得0442=+-kx x 由016162
-=∆k 得1- k 或1 k ⑵22
411/
2
x k x y x y ==
=
切线()112112
4:x x x x y l -=- 即21114121:x x x y l -=
令1-=y 得12124x x x M
-=
同理2
2
224x x x N -= 又由⑴知421=x x 即214
x x = M N x x x x -=-=2
2
224 又N M
x PN x PM == PN PM =∴
例4、（07江苏）过y 轴正方向上一点()c C ,0任作一直线，与抛物线2
x y =交于A 、B 两点。
一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线c y l -=:交于点P 、Q 。
若P 为线段AB 的中点，求证：
AQ 为此抛物线的切线
解：设(
)
2
11,x x A 、(
)
2
22,x x B ，Q ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+c x x ,221
由 /
2y x =，所以112k x =，切线方程为2
112x x x y -=， 又BC AC
k k = 即22
2121x c x x c x -=- 得12x x c =-,即Q ⎪⎭
⎫
⎝⎛+2121,2x x x x
212
11212
2x x x x x x -+⋅
= ，Q ∴在过A 点的切线上 即AQ 为此抛物线的切线。
例5、（08山东）设抛物线方程为()022 p py x =，M 为直线p y 2-=上任意一点。
过M 引抛物线的切线，切点分别为A 、B ，求证：A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列。
证明：设22
12
12120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p
-＜
由2
2x py =得2
2x y p
=，则,x y p '= 所以12,.MA MB x x k k p p ==
因此切线MA 的方程为102(),x y p x x p +=
- 直线MB 的方程为202().x
y p x x p
+=- 所以211102(),2x x p x x p p +=-① 2
22202().2x x p x x p p
+=-②
由①、②得 0122.x x x =+
所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列。
例6、（06全国Ⅱ）已知抛物线2
4x y =的焦点为F ，A 、B 是直线上的两动点，且(0).
AF FB λλ=>
过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。
（I ）证明∙
FM AB 为定值；
（II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。
解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0．
设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4
,211x x A 、⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛4,2
22x x B ，由AF →＝λFB →
，即得 ⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-14412
22121x x x x λλ λ
λ2
221=
-=∴x x 即(
)
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-λλλλ1,2
,2
B A 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝1
2x ，
所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是
()
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
-
+-=-λλλ
λ
λλ211
:2:21x y l x y l 即λ
λ
λλ1
1
::21-
=
--=x y l x y l
解出两条切线的交点M ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--1,1
λλ
所以FM →·AB →＝⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+⋅⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--λλλλ
λλ
1
,
222,1 ＝⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-λλ
λλλλ12221
=0 所以FM →·AB →
为定值，其值为0
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝1
2
|AB ||FM |
|FM |＝412
+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-λλ＝λ＋1λ＋2＝λ＋1
λ
因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以 |AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1
λ)2
于是 S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1
λ)3
由λ＋
1
λ
≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4。
【总结】求二次曲线切线问题的常规方法是点斜式设直线方程，与抛物线联立，利用0=∆求出斜率，写出直线方程。
而通过上述例题可以看到，使用常规方法会非常麻烦。
而采用求导的方法就简捷很多。
当然，导数在解析几何中的应用不仅于此。
笔者在这里只想起到一个抛砖引玉的作用，欢迎其他同仁批评指正。