一元方程应用题水箱变高了

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应用一元一次方程--水箱变高了

北师版-第五章-第三节应用一元一次方程-水箱变高了.doc 一、基础识记1．圆锥的体积=_____________=_____________.（要点一）69352．梯形的面积=____________；圆的面积=_________；圆的周长=__________.（要点一）6937答案：1、13×底面积×高，213r hπ2、12×（上底+下底）×高，2rπ2rπ. 概念：1．三角形的面积=_____________.答案：12×底×高3．圆柱的体积=_________=___________；答案：底面积×高，2r hπ4.正方体的体积___________=_________（新增.张站稳）答案：棱长×棱长×棱长，3a5.长方体的体积____________=________（新增.张站稳）答案：长×宽×高，abc二、基础理解1、用一根铁丝围成一个长为24cm，宽为12cm的长方形，如果将它改制成一个正方形，这个正方形的面积是（）（剖析点二）6941A.81 cm2B. 18 cm2C. 2324cm D. 326 cm2答案：C.解析：先可以长方形求出铁丝的长度，再求出正方形的边长，可得到正方形的面积.铁丝的长度为 ()2241272cm ⨯+= ，则正方形的边长为72÷4=18cm ，面积为18×18=324 cm 2.5、一个长方形的周长为26cm ，这个长方形的长减少1cm ，宽增加2cm ，就可成为一个正方形，设长方形的长为x cm ，可列方程____________. （题型二）备用7025答案： x −1=26÷2−x +2.解析：让周长除以2减去长方形的长即为长方形的宽，等量关系为：长-1=宽+2，把相关数值代入即可．长方形的长为xcm ，长方形的宽为（26÷2-x ）cm ，∵长减少1cm 为x-1，宽增加2cm ，为26÷2-x+2，∴列的方程为x-1=26÷2-x+2．6、已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为2：3，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为4：5，若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯120个，则乙桶内的果汁最多可装满几个大纸杯（）（题型一）7026A. 64B. 100C. 144D. 225 答案： B解析：根据等量关系“甲桶内果汁装满小纸杯的个数×2=乙桶内果汁装满大纸杯的个数×3”，“甲桶内果汁装满大纸杯的个数：乙桶内果汁装满大纸杯的个数=4：5”可解出此题．个大杯．解得：100x=．∴乙桶内的果汁最多可装满100个大杯．7、有一个底面半径为5 cm的圆柱形储油器，从中捞出546π g钢珠，cm钢珠重7.8 g）（题型一）备用7027液面将下降____cm .（13答案：2.8．解析：储油器中液面下降的体积= 捞出钢珠体积．设液面下降x cm，8、图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体cm．（题型二）7028积是3答案：解：设长方体的高为x cm，然后表示出其宽为()-cm，304x根据题意得：3042-=x x解得：5x=故长方体的宽为10，长为20cm则长方体的体积为5×10×20=1000cm3．故答案为1000．解析：设长方体的高为x cm，然后表示出其宽为()-304xcm，利用宽是高的2倍列出方程求得小长方体的高后计算其体积即可．9、内径为120 cm的圆柱形玻璃杯和内径为300 cm 、内高为32 cm的圆柱形玻璃杯可以盛同样多的水，则内径为120 cm 的圆柱形玻璃杯的内高为____cm ．（题型一）7029答案：200．解析：设内径为120 cm 的圆柱形玻璃杯的内高为x cm ，根据题意，三、题型认识(新增)题型一：等积变形问题用直径为90mm 的圆钢，铸造一个地面长和宽都是131mm ，高度是81mm 的长方体钢锭.问需要截取多长的一段圆钢？（结果保留π）答案：设截取圆钢的长度为x mm .根据题意，得290131131802x π⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭ ，解方程，得686.44x π=. 答：截取圆钢的长度为686.44πmm . 解析：圆钢由圆柱体变为长方体，形状变了，但体积不变. 题型二：等长变形问题用两根等长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆.已知正方形的边长比圆的半径长()22π- m ，求这两根铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大.答案：解：设圆的半径为r m ，则正方形的边长为()22r π⎡+-⎤⎣⎦m .根据题意，得()2422r r ππ=⎡+-⎤⎣⎦，解得4r = .所以铁丝的长为28r ππ=（m ）. 圆的面积为216r ππ=（m 2），正方形的面积为()224224ππ⎡+-⎤=⎣⎦（m 2）. 444πππ⋅⋅>⋅，所以圆的面积大 . 答：铁丝的长为8π（m ），圆的面积大.四、综合应用 123（新增.张站稳）解析：设水面高度为x米，依题意得5×5x=5×5×4+3×3×3解得： x=5.08所以选c4，（新增.张站稳）。

5.3 应用一元一次方程-----水箱变高了

一元一次方程-----水箱变高了学习目标：1．了解一元一次方程在解决实际问题中的应用．体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系．2．通过分析图形问题中的基本等量关系，并由此关系列方程解相关的应用题．学习重点：1．寻找图形问题中的等量关系，建立方程．2．根据具体问题列出的方程，掌握其简单的解方程的方法．学习难点：寻找图形问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化．学习过程一.激趣导入提出问题情境1：成语“朝三暮四”的故事.从前有个叫狙公的人养了一群猴子.每一天他都拿足够的栗子给猴子吃，猴子高兴他也快乐.有一天他发现如果再这样喂猴子的话，等不到下一个栗子的收获季节，他和猴子都会饿死，于是他想了一个办法，并且把这个办法说给猴子听，当猴子听到只能早上吃四个，晚上吃三个栗子的时候很是生气，呲牙咧嘴的.没办法狙公只好说早上三个，晚上四个，没想到猴子一听高兴得直打筋斗.）请回答：猴子为什么高兴了？事实又是怎样的呢？情境2：两瓶矿泉水容量一样，一个短且宽，另一个长且窄.请大家说一说哪瓶矿泉水多？为什么？生：一样多.师：很好！同学们不仅观察的仔细，考虑问题也比较有深度.情境3：用一块橡皮泥先捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个又矮又胖的圆柱，请思考下列几个问题：（1）在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化？还有哪些量改变了？（2）在这个变化过程中，什么量没有变化呢？生1：直径变大.生2：高度变小，底面周长变大、表面积……生3：体积不变（质量不变）.师：本节课我们将利用一元一次方程知识解决与体积变化有关的问题.二、合作探究，展示交流探究1：等体积问题某居民楼顶有一个底面直径和高均为4米的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4米减少为3.2米.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4米增高了多少米？分析：1.在这个问题中水箱的_______不变. ( 体积)根据题意，可以找出如下的等量关系：____________________.( 这个问题的等量关系：旧水箱的体积=新水箱的体积．)2.设水箱的高变为x m,试填写下表：旧水箱新水箱底面半径/m 2 1．6高/m 4 x体积/ m3π×22×4 π×1．62×x3.根据等量关系，列出方程__________________________因此，水箱的高变成了_______米.这个题的解答过程如下：解：设新水箱圆柱的高为x厘米，根据题意，列出方程解得x=答：高变成了254米．练习1 有一块长、宽、高分别为4cm、3cm、cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5的圆柱，若设它的高为x cm，则可列方程为_________________.探究2：周长相等问题教师：用一根铁丝铁丝围成一个四边形，在所有的四边形中他们的周长有什么特点？学生：不变，都相等．教师：所围成的四边形的面积变化吗？动手操作试一试．学生：面积发生变化．例1 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形．(1)使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化？解：(1)设此时长方形的宽为x m，则它的长为()m．根据题意，得解这个方程，得x=x+1.4=此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m．(2)此时长方形的宽为x m，则它的长为() m．根据题意，得．解这个方程，得x=．x+0.8=此时长方形的长为2.9 m，宽为2.1 m，面积为2.1×2.9=6.09(m2)，而(1)中长方形的面积为3．2×1.8=5.76(m 2)．此时长方形的面积比(1)中长方形面积增大6.09－5.76=0.33(m2)．(3)设正方形的边长为x m．根据题意，．解这个方程，得x=正方形的边长为2.5m，正方形的面积为2.5×2.5=6.25(m2)，比(2)中面积增大6.25－6.09=0.16(m2)．教师：我们解答这个题的关键是我们在改变长方形的长和宽的同时，长方形的周长不变，始终是铁丝的长度10米．由此便可建立“等量关系”．但是我们可以发现，虽然长方形的周长不变，改变长方形的长和宽，长方形的面积却在发生变化，而且围成正方形的时候面积达到最大．例2：一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米．你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？教师：这个题目中两人的设计中不变的量是什么？下面通过计算，．你认为谁的设计符合实际？解：根据小王的设计可以设宽为x米，长为()米，根据题意，解这个方程得：x=因此小王设计的长为x+5=10+5=15(米)而墙的长度只有14米，小王的设计是不符合实际的．小赵的设计可以设宽为x米，长为(x+2)米，根据题意，得，2x+(x+2)=35 ，解这个方程得：x=11因此小赵的设计的长为x+2=11+2=13(米)．而墙的长度是14米，显然小赵的设计符合要求．此时，鸡场的面积为11×13=143(米2)．三、训练反馈，应用提升1、墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示（单位：cm）．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各为多少？教师：用实物演示图形的变化过程．引导学生思考：⑴问题中的已知量和未知量？⑵在图形的变化过程中哪些量在改变？哪些量没有变？解：四、课堂小结: 通过本节课的学习，你有哪些收获？还有那些困惑？1．通过对“水箱变高了”的了解，我们知道“旧水箱的体积=新水箱的体积”,2.通过对用一根长为10米的铁丝围成一个长方形．“变形前周长等于变形后周长”是解决此类问题的关键．3．解出的数学问题要联系生活实际问题来检验它的结果的合理性．五、达标检测，反馈矫正1、用一根铁丝可围成一个长24厘米、宽12厘米的长方形。

应用一元一次方程——水箱变高了

小强将一个正方形纸片减去一个宽为 4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上减去一个宽为5cm的长条。如果两次剪下的长条面积刚好相等，那么每一个长条的面积居民楼顶有一个底面直径和高为4m 的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为 3.2m。那么在容积不变的前提下，水箱的高度由原先的4m变为多少米？
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。（1）使得该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各为多少米？（2）使得该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长和宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比，面积有什么变化？

应用一元一次方程——水箱变高了

（2）使长方形的宽比长少4如厘果米，两长个方正形数的面的积和是一多定少？，
面积与（1）相比有什当么这变化两？个数
时，它
（3）当长和宽相等时，它所们围的成积的最面积大于。（2）相比又有
何变化？
拓展提高
有一卷圆筒状的防油贴纸，如图所示，其规格为“61cm×5m” （61cm、5m分别指贴纸展开后的宽度和长度），现在给你一把刻度尺，你能设计一个方案估算出这种贴纸一张的厚度约为多少厘米吗？（π取3）
5.3 应用一元一次方程
水箱变高了
想一想
你们知道曹冲称象的故事吗？
=
想一想
曹冲称象的故事:隐含了什么数学知识？
大象的重量 = 石头的重量等量关系
自主探究
请说出下列变化过程中的等量关系。
1、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它围成长方形
解：三角形的周长=长方形的周长
C长方形=2×（长+宽）
自主探究
请说出下列变化过程中的等体，再把它改变成圆柱。
解：长方体的体积=圆柱的体积
V长方体=长×宽×高
V圆柱= πr2h
自主探究
请说出下列变化过程中的等量关系。
3、把一小杯的水倒入另一只大杯中；
解：小杯中水的体积=大杯中水的体积
自主探究
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由4m减少为 3.2m.那么在容积不变的前提下,水箱的高度将由原来的4m 增高为多少米？
展开
拓展提高 61
拓展提高
小结
知识方面...... 思想方法方面......
想一想
如图，是由六块正方形拼成了一个长方形。已知最小的正方形面积为1，则长方形的面积是多少？

一元一次方程应用题水箱变高了题型

一、概述水箱变高了是一个常见的一元一次方程应用题，它涉及到数学在实际生活中的应用，对于学生来说具有一定的教育意义。

在解决这类问题时，需要运用一元一次方程的知识，通过设立未知数、建立方程式、解方程等步骤来求解问题。

本文将通过具体的例题分析，帮助读者更好地理解并掌握解决这类问题的方法。

二、问题描述某地区的一个水箱的水位原来是30米，后来升高了h米。

经过一段时间，水箱的水位降低到了原来的一半，那么水箱升高了多少米？三、问题分析1. 设定未知数：我们可以设未知数x表示水箱升高的高度。

2. 建立方程式：根据题意，可以列出方程式：30 + x = 2（30 + x - h）。

3. 解方程求解：通过解方程来求解出水箱升高的高度x。

四、具体步骤1. 设定未知数：设水箱升高的高度为x米。

2. 建立方程式：根据题意，可以列出方程式：30 + x = 2（30 + x - h）。

3. 解方程求解：通过解方程求出x的值。

4. 检验答案：将得到的结果代入原方程中进行检验。

五、具体计算1. 设定未知数：设水箱升高的高度为x米。

2. 建立方程式：30 + x = 2(30 + x - h)。

3. 解方程求解：通过解方程30 + x = 60 + 2x - 2h，得到x = 30 - 2h。

4. 检验答案：将x = 30 - 2h代入方程30 + x = 2(30 + x - h)中进行检验：30 + (30 - 2h) = 2 * [30 + (30 - 2h) - h]化简得到：30 + 30 - 2h = 60 + 60 - 4h - 2h化简得到：60 - 2h = 120 - 6h化简得到：4h = 60化简得到：h = 15六、问题解答根据计算，水箱升高了15米。

七、总结通过上述的步骤，我们成功地解决了水箱变高了的一元一次方程应用题。

在解决这类问题时，关键在于正确地建立方程式，然后通过解方程的方法求解未知数。

为了确保解答正确，还需要对得到的结果进行检验。

应用一元一次方程水箱变高了定义

应用一元一次方程水箱变高了定义一元一次方程是初中数学中的重要内容，它是直线的数学表达方式。

在实际生活中，我们常常会遇到与一元一次方程相关的问题。

水箱变高了定义问题，就是一个典型的应用一元一次方程的例子。

水箱变高了定义问题是指：如果一个正方形底面、高度为H的水箱，如果将水箱的底面变大，那么水箱的高度会如何改变？让我们来看一下水箱变高了定义问题的数学表达式。

假设原来水箱的底面边长为x，底面积即为x*x，高度为H。

那么水箱的容积V=底面积*高度=x*x*H。

现在，如果将水箱的底面变成2x，那么水箱的容积为V'=底面积*高度=2x*2x*H=4x^2*H。

在这个过程中，我们可以发现，水箱的高度发生了变化，由原来的H 变成了H/4。

根据这个过程，我们可以得到水箱变高了定义的一元一次方程：H/4 - H = -3H。

也就是说，水箱的高度减去原来的高度等于-3乘以原来的高度。

这就是这个问题的数学表达方式。

接下来，让我们来探讨一下这个问题，或者说一元一次方程在实际生活中的应用。

在实际生活中，我们可以通过解一元一次方程来计算这个问题。

假设原来水箱的高度为10米，根据上面的一元一次方程，如果水箱的底面变成原来的4倍，那么水箱的高度会变成多少呢？我们可以通过代入原来的高度H=10进行计算，H/4 - H = -3H，得到H=-30。

这就意味着，如果将水箱的底面变成原来的4倍，水箱的高度会变成-30米。

在实际生活中，这是不可能的，因此我们需要对这个问题进行重新审视。

从数学的角度来看，这个问题其实是一个反比例关系。

也就是说，底面积增大，高度减小；底面积减小，高度增大。

这个过程符合数学上的反比例关系，而不是一元一次方程所描述的线性关系。

要解决水箱变高了定义的问题，我们需要转而使用反比例关系的方法进行分析和计算。

通过反比例关系，我们可以得出结论：水箱的底面变大，高度会相应地变小，并且二者的变化是成反比例关系的。

在实际应用中，我们经常会遇到类似的问题。

53应用一元一次方程——水箱变高了

53应用一元一次方程——水箱变高了
假设有一个水箱，原来的高度为x，突然上升了h，现在的高度为
x+h。

我们知道，水箱的体积等于底面积乘以高度。

假设水箱的底面积为A，则原来的体积为V1=A*x，现在的体积为V2=A*(x+h)。

根据题意，水箱的体积变大了。

即V2-V1>0，即A*(x+h)-A*x>0，即
A*h>0。

由于A是一个正数（底面积不会为负），所以我们可以得到h>0。

这个结果告诉我们，水箱的高度变大了，即增加了一些高度。

现在，我们来解一元一次方程来计算出增加的高度h。

根据上面的推导，我们得到了方程A*h>0，我们可以通过将A*h除以
A来消去A，得到h>0。

这说明增加的高度必须大于0。

这样，我们可以得到结论，水箱的高度上升了。

例如，假设水箱原来的高度为2米，突然上升了1米。

那么现在的高
度就变成了2+1=3米。

通过解一元一次方程，我们可以计算出增加的高度为1米。

总结一下，应用一元一次方程可以帮助我们解决一些与高度变化、体
积变化相关的问题。

在这个例子中，我们解一元一次方程来计算出水箱增
加的高度。

当然，水箱变高了不仅仅可以用一元一次方程来解决，还可以用其他
方法解决，比如直接通过观察得出结论。

但是对于更复杂的问题，一元一次方程就是一种有效的解决方法。

我们可以通过列方程、化简方程、求解方程等步骤，得到问题的答案。

希望这个例子可以帮助你更好地理解应用一元一次方程的方法。

5.3 应用一元一次方程水箱变高了

知1－练
2一个长方形的周长是40来自cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正
方形的边长为( B )
A．6 cm C．8 cm B．7 cm D．9 cm
3 一个三角形的三条边的长度之比为2:4:5，最长的边比最短的边长6 cm，求该三角形的周
长．
该三角形的周长为22
知2－讲
第五章一元一次方程
5.3
应用一元一次方程——水箱变高了
复
习
回
顾
列一元一次方程解实际问题的步骤有哪些？
知2－导
知识点
1
等积变形
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减
少为3.2 m.那么在容积不
变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？
解：设此时长方形的宽为x米，则它的长为（x+1.6）米，根据题意，得 x+x+1.6=20÷2 2x=8.4 x=4.2 长方形的长4.2+1.6＝5.8
x+1.6
x
S=5.8×4.2＝24.36米此时长方形的长为5.8米，宽为4.2米， 2，（1）中的长方形围成的面积：6.2×3.8＝23.56米2
底面积×高 4、圆柱的体积= ____________.
知1－讲
1.等长变形是指图形或物体的形状发生变化，但变化前后的物体的周长不变． 2.一般用固定长度的线段围成不同形状的图形，关键是根据周长这一固定值列方程求解．
知1－练
1 一个长方形的周长是16 cm，长比宽多2 cm，
那么这个长方形的长与宽分别是( B A．9 cm，7 cm B．5 cm，3 cm C．7 cm，5 cm D．10 cm，6 cm )

5.3应用一元一次方程—水箱变高了讲解

解：设正方形的边长为x米.
由题意得 4x = 10. 解，得 x=2.5. 边长为：2.5米；面积为：2.5×2.5=6.25(平方米). 面积增加：6.25-6.09=0.16（平方米）.
自学检测二（5分钟）
完成课本144页“习题5.6”第2题
当堂训练（10分钟）
完成课本144页“习题5.6”第1、3题
r
圆周长l =_2__r__ r
圆柱体体积
面积S=____r_2__
h
V=___r__2_h___.
自学指导一（5分钟）自学书本 P141，并把表格填好；
底面半径高
容积
旧水箱新水箱
2
1.6
4
x
π×22 ×4 π×（1.6）2 X
根据等量关系，列出方程：
π×22 ×4 = π×（1.6）2 X
解：设锻压后圆柱高为 x 厘米，填写下表：
锻压前
锻压后
底面半径
高
体积
x x
自学指导二（10分钟）
自学课本141页例题，试着把问题解决。
例：用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.
（1）使得该长方形的长比宽多1.4 米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？
等量关系：（长+宽）× 2 = 周长.
自学检测一（10分钟） 1、书本 P184 随堂练习
解：由题意彩绳的总长为52 CM 设所钉长方形的宽为x CM，则2（10+x）=52
10+x=26 x=16
答：所钉长方形的长为10厘米，宽为16厘米。
2、张师傅要将一个底面直径为20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱，锻压成底面直径为10厘米的“瘦长”形圆柱.假设在张师傅锻压过程中，圆柱体积保持不变，那么圆柱的高变成了多少？锻压前的体积=锻压后的体积

5应用一元一次方程——水箱变高了

个“矮胖”的圆柱；
“瘦长”圆柱的体积=“矮胖”圆柱的体积
（2）用一根15cm的铁丝围成一个长方形，然后把它围成一个三角形；
长方形的周长=三角形的周长
（3）把一个长方形剪开，然后拼成一个平行四边形。
长方形的面积=平行四边形的面积
6
自学提纲
4米
4 米
3.2米
（1）题目中的等量关系是什么？
旧水箱的容积=新水箱的容积
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7
4米
4 米
（2）设新水箱的高度是x米，填写下表：
3.2米
旧水箱
新水箱
x 底面半径/米
2
1.6
米
高/米
4
x
体积/立方米 π×22×4 π×1.62×x
8
4米
4 米
3.2米
（3）规范的解题过程： x
米解：设新水箱的高度是x米由题意，得 π×22×4= π×1.62×x
解方程，得 16π= 2.56πx
15
课堂达标
等量关系：周长不变
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的
钉去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和
宽各为多少厘米？
10
解：设长方形的长为xcm
10
10
6
10

5.3-应用一元一次方程示范课-——-水箱变高了

§5.3 应用一元一次方程——水箱变高了学习目标：1、通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题。

2、进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用。

3、认识方程模型的重要性学习重点：列出一元一次方程解有关形积变化的问题学习难点：依题意准确把握形积问题中的相等关系学法指导：阅读教材，完成自学检测和合作探究部分自学提示：阅读课本P141-142内容，完成书中提出的问题。

1．列方程解应用题应注意哪些事项？2．列方程解应用题的步骤是什么？自学检测：1.填空：长方形的周长= 面积= 长方体的体积=正方形的周长面积正方体的体积=圆的周长= 面积 = 圆柱的体积=合作探究：2、将一块橡皮泥由一个瘦长的圆柱捏成一个短胖的圆柱，其中的变量是，不变量是3、在较高的玻璃杯中倒入半杯水，再将水倒入较矮的玻璃杯中，不变的是。

4、将一根12cm长的细绳围成一个长为3cm的正方形，再改成一个长为4cm，宽为2cm的长方形，不变的是5、某居民楼顶有一个底面直径和高均为4米的圆柱形储水箱，为减少楼顶原储水箱的占地面积，将它的底面直径减少为3.2米，那么在容积不变的前提下，水箱的高度变为多少米？等量关系：旧水箱的容积=新水箱的容积解：设新水箱的高为x 米，填写下表旧水箱新水箱底面半径/米高/米容积/米3 根据等量关系，列出方程：解得：因此，高变为米。

展示解疑，点拨提升6、用一根长为10米的铁丝围成一个长方形，（1）使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长和宽各为多少米？（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多少米？（3）使得该长方形的长与宽相等，及围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？分享成功7、课本142页随堂练习8、将一块棱长为30厘米的正方形钢坯锻造成长为25厘米，宽为20厘米长方体钢材，则锻造成的钢材的高是多少厘米？小结：本节课我们通过建立方程模型，学习了形积变化，解决了生活中的实际问题，使数学应用于生活，学完以后你有什么收获？列方程时，关键是找出问题中的等量关系3应用一元一次方程——水箱变高了【教学目标】知识与技能：1.通过计算进一步思考量与量的关系,从中获得有用的信息.2.学会通过分析图形问题中的基本等量关系,并由此关系列方程解相关的应用题.过程与方法：在老师的指导下,经历分析具体问题中的等量关系的过程,列方程进行求解.通过比较不同状态下方程的解的情况,从中探索出规律.情感、态度价值观:1.在观察中思考问题,并选择适当的数学工具解决问题,初步培养分析问题、解决问题的意识和能力.2.了解方程模型对于解决实际问题的有效性,并增强学生学习数学的信心和决心.【教学重难点】【重点】根据实际问题中等量关系列出一元一次方程,利用方程解决实际问题.【难点】在具体实例中准确地找出等量关系,设出适当的未知数,列方程进行求解.【教学准备】【教师准备】教材引例(课件1)和例题(课件2).【学生准备】预习教材.【教学过程】【1 新课导入】导入一:成语“朝三暮四”的故事.从前有个叫狙公的人养了一群猴子.每一天他都拿足够的栗子给猴子吃,猴子高兴他也快乐.有一天他发现如果再这样喂猴子的话,等不到下一个栗子的收获季节,他和猴子都会饿死,于是他想了一个办法,并且把这个办法说给猴子听,当猴子听到只能早上吃四个,晚上吃三个栗子的时候很是生气,龇牙咧嘴的.没办法狙公只好说早上三个,晚上四个,没想到猴子一听高兴得直打筋斗.请回答:猴子为什么高兴了?事实又是怎样的呢?【师生活动】学生先思考,后回答.教师给予积极的评价.[设计意图]通过故事引入,激发学生的兴趣,也为本节课后面“寻找不变的量”做铺垫.导入二:教师从讲台下拿出了两瓶矿泉水(容量一样,一个短且粗,另一个长且细).请大家说一说哪瓶矿泉水多,为什么?【师生活动】让学生亲自动手操作,在动手操作的过程中,体会哪些量发生了变化,哪些量没有变化?教师对基础差的同学可适当引导.导入三:用一块橡皮泥先捏出一个“瘦长”的圆柱体,然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”,变成一个又矮又粗的圆柱,请思考下列几个问题:(1)在你操作的过程中,圆柱由“高”变“矮”,圆柱的底面直径是否变化?还有哪些量改变了?(2)在这个变化过程中,什么量没有变化呢?[设计意图]让学生在愉快地玩的过程中体会等体积变化的现象中蕴涵的不变量.同时分析出不变量与变量间的等量关系.【2 构建新知】探究活动1体积相等问题[过渡语]本节课我们将利用一元一次方程知识解决与体积变化有关的问题.(教师板书课题)【课件1】某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m.那么在容积不变的前提下,水箱的高度将由原先的4 m变为多少米?思路一列方程解决实际问题的关键是找等量关系,请大家根据提示完成下面的知识.问题1在这个问题中水箱的不变.根据题意,可以找出如下的等量关系:.问题2设水箱的高变为x m,试填写下表:旧水箱新水箱底面半径4 3.2(m)高(m) 4 x体积(m3)问题3根据等量关系,列出方程:.解得x=.因此,水箱的高变成了m.【师生活动】让学生独立读题并思考,然后再根据分析完成填空内容,教师适时点拨引导,并给予肯定性评价.思路二小组活动,共同探究,思考:(1)分析题意,水箱在改造前后有何变化?哪些量变了?(2)分析题意,不变的量是什么?从题中哪句话可以看出?(3)在这个问题中有如下的等量关系:.(4)如何设未知数?根据题中等量关系怎样列方程?【师生活动】教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师及时补充.[设计意图]利用生活中熟知的情境,使学生感受到数学与生活的紧密联系,让学生经历从实际问题中抽象出方程的过程,激发学生的学习热情.同时利用表格法培养学生分析问题的方法,提高解决问题的能力.探究活动2周长相等问题【课件2】用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形.(1)若该长方形的长比宽多1.4 m,此时长方形的长、宽各为多少米?(2)使得该长方形的长比宽多0.8 m,此时长方形的长、宽各为多少米?它所围成的长方形与(1)中所围长方形相比,面积有什么变化?(3)使得该长方形的长与宽相等,即围成一个正方形,此时正方形的边长是多少米?它围成的正方形的面积与(2)中相比又有什么变化?【师生活动】学生分组完成前面三个小题.小组讨论解题过程中,教师巡视课堂,指导、参与学生的讨论制作,帮助有学习困难的个人或小组.在讨论解答完成后,让小组选代表阐述解题的步骤、思路,并展示自己小组所做的长方形(或正方形).通过猜测、验证说明三个长方形面积变化的规律.同时用多媒体展示解题步骤,进一步规范学生的解题格式.解:(1)设此时长方形的宽为x m,则它的长为(x+1.4)m.根据题意,得x+x+1.4=10×.解这个方程,得x=1.8.1.8+1.4=3.2.此时长方形的长为3.2 m,宽为1.8 m.问题:本题还有其他方法吗?生:设长为x m,则宽为(x - 1.4)m.(2)此时长方形的宽为x m,则它的长为(x+0.8)m.根据题意,得x+x+0.8=10×.解这个方程,得x=2.1.2.1+0.8=2.9.此时长方形的长为2.9 m,宽为2.1 m,面积为2.9×2.1=6.09(m2),(1)中长方形的面积为3.2×1.8=5.76(m2).此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09 - 5.76=0.33(m2).(3)设正方形的边长为x m.根据题意,得x+x=10×.解这个方程,得x=2.5.正方形的边长为2.5 m,正方形的面积为2.5×2.5=6.25(m2),比(2)中面积增大6.25 - 6.09=0.16(m2).【思考】解决这道题的关键是什么?从解这道题中你有何收获和体验?[设计意图]鼓励学生通过独立思考发现:围成的长方形的长和宽在发生变化,但在围的过程中,长方形的周长不变,由此建立“等量关系”.通过分组解决问题,提高学生解决问题的能力,发展同学合作意识,提高课堂效率,并培养学生做好解题反思的能力和习惯.【探究总结】通过探究活动,我们知道了如何去解决生活中的实际问题:(1)物体锻压或液体更换容器题,体积(或容积)不变.(2)固定长度,虽然围成的图形形状及面积不同,但是应抓住图形的周长不变.(3)图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题,应抓住图形的面积或体积不变.即时演练把一块长、宽、高分别为5 cm,3 cm,3 cm的长方体铁块,浸入半径为4 cm的圆柱形玻璃杯中(盛有水),水面将增高多少?(不外溢)【师生活动】独立思考,解决问题,积极发言,阐述自己的解题思路,计算后说出答案.相等关系:水面增高体积=长方体体积.解:设水面增高x cm,由题意,得5×3×3=π×42·x.解得x=≈0.9.因此,水面增高约0.9 cm.[设计意图]通过分析、演示、观察、思考,让学生直观地感受图形的变化过程中各个量的变与不变,从而逐步地领悟到寻找等量关系是列方程解决应用型问题的关键.[知识拓展]1.通过对“水箱变高了”的了解,我们知道:物体锻压或液体更换容器题,体积(或容积)不变.固定长度,虽然围成的图形形状及面积不同,但是应抓住图形的周长不变.图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题,应抓住图形的面积或体积不变,这是解决此类问题的关键,即变的是什么,不变的是什么.2.遇到较为复杂的实际问题时,我们可以借助表格分析问题中的等量关系,借此列出方程.3.解出的数学问题要联系生活实际问题来检验它的结果的合理性.【3 课堂小结】本节课通过分析一些几何图形,如圆柱、长方形的变化,寻找不变的量作为列方程中的等量关系做依据,从而用方程解决实际问题.列方程解决实际问题的关键是找等量关系,认识方程是解决实际问题的有效数学模型.【4 检测反馈】1.有一块长、宽、高分别为4 cm,3 cm,5 cm的长方体橡皮泥,要用它来捏一个底面半径为1.5 cm的圆柱,若设它的高为x cm,则可列方程为.解析:由题意列方程为3×4×5=π×1.52·x.故填3×4×5=π×1.52x.2.直径为30 cm,高为50 cm的圆柱形瓶里存满了饮料,现将饮料倒入底面直径为10 cm的圆柱形水杯,刚好倒满30杯.则水杯的高度是多少?解:设水杯的高度是x cm,根据题意,列方程得152×50π=52×30πx,解方程,得x=15.所以水杯的高度是15 cm.3.一块长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体橡皮泥,要用它来捏一个底面半径为1.5 cm的圆柱,圆柱的高是多少?解:设圆柱的高是x cm,根据题意,得4×3×2=π×1.52x,解得x=.答:圆柱的高是cm.4.将一个底面直径是10 cm、高为36 cm的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20 cm的“矮胖”形圆柱,高变成了多少?解:设锻压后圆柱的高为x cm,根据题意,列方程为π×(10÷2)2×36=π×(20÷2)2×x,解得x=9.答:高变成了9 cm.【5 板书设计】3应用一元一次方程——水箱变高了1.体积相等问题引例2.周长相等问题例题【6 作业布置】一、教材作业【必做题】教材第144页习题5.6的1,2题.【选做题】教材第144页习题5.6的3题.二、课后作业【基础巩固】1.一个底面半径为10 cm,高为30 cm的圆柱形大杯中存满了水,把水倒入一个底面直径为10 cm的圆柱形小杯中,刚好倒满12杯,则小杯的高为()A.6 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm2.一个长方形的周长是40 cm,若将长减少8 cm,宽增加2 cm,长方形就变成了正方形,则正方形的边长为()A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm3.用7.8米长的铁丝做成一个长方形框架,使长比宽多1.2米,求这个长方形框架的宽是多少米.设长方形的宽是x米,可列方程为()A.x+(x+1.2)=7.8B.x+(x - 1.2)=7.8C.2[x+(x+1.2)]=7.8D.2[x+(x - 1.2)]=7.84.锻造直径为70 mm,高为25 mm的圆柱形零件毛坯,应取直径为50 mm的圆钢多长?设应取直径为50 mm的圆钢长x mm,则根据题意可列出方程:.解得x=.因此应取直径为50 mm的圆钢长mm.【能力提升】5.在底面直径为12 cm,高为20 cm的圆柱形容器中注满水,倒入底面是边长为10 cm 的正方形的长方体容器,正好注满.这个长方体容器的高是多少?【拓展探究】6.地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形,如果将直角三角形锐角顶点的一个钉子去掉,并将这条彩绳钉成一个长方形,则所钉长方形的长、宽各是多少?面积是多少?【答案与解析】1.C(解析:设小杯的高为x cm,大杯中水的体积为π×102×30 cm3,小杯的底面积为π×52 cm2,根据题意,列方程得π×102×30=π×52×12x,解得x=10,故选C.)2.B(解析:设正方形的边长为x cm,根据题意,列方程为2×(x+8+x - 2)=40,解得x=7,故选B.)3.C(解析:长方形框架的宽为x米,则长是(x+1.2)米,根据题意,列方程得2[x+(x+1.2)]=7.8,故选C.)4.(70÷2)2×π×25=(50÷2)2×π×x4949(解析:根据题意,列方程得(70÷2)2×π×25=(50÷2)2×π×x,解得x=49.)5.解:设长方体容器的高为x cm,根据题意,得π×(12÷2)2×20=102x.解得x≈22.6.答:这个长方体容器的高约是22.6 cm.6.解:设长方形的另一边长为x.当去掉∠A顶点的钉子时,6+8+10=6×2+2x,解得x=6,所以当长方形的长为6,宽为6时,面积为S1=6×6=36.当去掉∠B顶点的钉子时,6+8+10=8×2+2x,解得x=4,所以当长方形的长为8,宽为4时,面积为S2=8×4=32.答:所钉长方形的长为6,宽为6,面积为36,或长方形的长为8,宽为4,面积为32.【教学反思】【成功之处】通过引导学生进行探索,使学生确实是在旧知识的基础上探求新内容,探索的过程是任何学生都会动手操作,每个学生都有体会的过程,都有感悟的可能,这种形式让学生切身去体验问题的情景,从而进一步帮助学生理解比较复杂的问题,再把实际问题抽象成数学问题.【不足之处】学生在完成课本上的表格时,部分同学把半径与直径混淆,方程中直接用3.14代替π,圆柱体的体积公式遗忘等,教学时只是随时加以纠正.如果做题之前就把这些问题加以复习或强调,那么效果会好得多.【再教设计】让学生更好地体会建模思想在数学中的应用,对于学生的发言,给予充分的肯定,激发学生学习数学的激情,真正让学生在课堂上动起来.。

一元一次方程——水箱变高了

3 应用一元一次方程 ——水箱变高了
1.通过分析图形问题中的数量关系,建立方程解决问题. 2.进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系,认识
方程模型的重要性.
3.理解形积变化中的不变量的分析.(重点)
4.列方程解决形积变化问题.(难点)
一、等体积变形的等量关系将一个底面直径是20厘米、高为9厘米的“矮胖”形圆柱形储水箱锻压成底面直径为10厘米的“瘦长”形圆柱形储水箱,高变成了多少?
【解析】选B.设正方形的边长为x cm，则长方形的长宽分别可以用x表示为(x+8)cm，(x-2)cm，依题意得：2(x+8+x-2)=40，
所以x=7，即正方形的边长为7 cm．
【归纳整合】
知识点
知识点要素
梳理知识要点等积变形,即物体的外形或形态发生变化,但变化前后的体积(或面积)不变等长变形,即物体(通常是指铁丝等)围成不同的图形,图形的形状变化了,但图形的周长没变
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故杯子的内高为20厘米.
10.两个长方体的表面积和为200cm2,第一个长方体的表面积是
第二个长方体的表面积的3倍,求这两个长方体的表面积. 【解析】设第二个长方体的表面积为xcm2,则第一个长方体的表面积为3xcm2,由题意,得x+3x=200, 解得x=50. 因此第一个长方体的表面积为3×50=150(cm2), 第二个长方体的表面积为50cm2.
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【总结】“水箱变高了”属于等体积问题，其等量关系为：锻压前的体积=_______ 锻压后的体积. _______
二、常见的体积、面积公式 V正方体=a3，V长方体=abh. V圆柱=π r2h，V圆锥= 1 r 2 h. S正方形=a2，S长方形=ab，S梯形= (a b)h .