高考数学重点难点讲解十二等差数列等比数列的性质运用
等差数列与等比数列的应用知识点总结
等差数列与等比数列的应用知识点总结等差数列和等比数列是高中数学中常见的两种数列。
它们具有很多重要的应用，在不同的数学问题中发挥着重要的作用。
本文将对等差数列与等比数列的应用进行知识点总结，并探讨它们在实际生活和其他学科中的具体应用。
一、等差数列的应用等差数列是指一个数列中，从第二项起每一项与前一项之差都相等的数列。
其常用的应用有：1. 数列求和公式对于等差数列的前n项和Sn，有求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
这个公式的应用非常广泛，可以用于求解各种数学问题，比如求等差数列的和、计算时间、距离、速度等问题。
2. 平均数的应用对于等差数列，它的各项的平均数与首末两项的平均数是相等的。
这个特性可以用来解决一些平均数相关的问题，比如求取某一连续数列的平均值等。
3. 等差数列的推广等差数列可以推广到高阶等差数列，即每一项与前一项之差的差值也相等。
这种推广常用于解决一些复杂的数学问题，比如等差数列的前n项和Sm，可以通过差分公式Sm = (m/2)(2a1 + (m-1)d)来求解。
4. 几何问题等差数列在几何问题中也有重要应用，比如解决一些等边三角形、等腰梯形等形状相关的问题时，常常需要利用等差数列的性质进行计算。
二、等比数列的应用等比数列是指一个数列中，从第二项起每一项与前一项的比值都相等的数列。
其常用的应用有：1. 数列求和公式对于等比数列的前n项和Sn，有求和公式Sn = a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
这个公式的应用也非常广泛，可以用于求解各种数学问题，比如计算财务中的复利问题、人口增长问题等。
2. 指数问题等比数列可以与指数问题进行关联。
比如在计算家庭用电量、金融中的复利计算、物理中的指数增长问题等方面，常常需要利用等比数列的特性进行计算。
3. 几何问题等比数列在几何问题中同样有重要应用，比如解决一些等比序列相关的问题，如等比数列构造的等边五角星等。
等差数列与等比数列的应用知识点总结
等差数列与等比数列的应用知识点总结数列是数学中常见的数值排列形式，其中等差数列和等比数列是两种重要的数列类型。
在实际应用中，等差数列和等比数列有着广泛的应用。
本文将对等差数列和等比数列的应用进行总结，旨在帮助读者更好地理解和应用这两个知识点。
一、等差数列的应用等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数的数列。
常见的等差数列应用包括：1. 数学题中的序号与数值计算等差数列常可以用来计算序号与数值之间的关系。
当已知等差数列的首项a，公差d和序号n时，可以快速计算出第n项的数值。
例如：已知等差数列的首项是3，公差是4，求第10项的数值。
根据等差数列的性质可以得到：a10 = a1 + (n-1)d = 3 + (10-1)4 = 39。
2. 时间与距离的计算等差数列可以用来计算时间与距离之间的关系。
例如：一辆汽车从起点出发，每小时行驶50公里，问经过5小时之后，汽车距离起点的距离是多少？根据等差数列的性质可以得到：距离 = 初始距离 + 速度×时间 = 0 + 50 × 5 = 250公里。
3. 金融投资中的本金计算等差数列可以应用于金融投资中的本金计算。
当已知等差数列的首项a，公差d和时间n时，可以计算出在n个周期后的本金。
例如：假设本金为1000，每个月增加100，一年后本金共有多少？根据等差数列的性质可以得到：本金 = 初始本金 + 每周期增加金额 ×周期数 = 1000 + 100 × 12 = 2200。
二、等比数列的应用等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数的数列。
常见的等比数列应用包括：1. 计算复利等比数列可以应用于计算复利。
当已知等比数列的首项a，公比r 和时间n时，可以计算出在n个周期后的本息合计。
例如：某笔投资的初始本金为1000，年利率为5%，求5年后的本息合计。
根据等比数列的性质可以得到：本息合计 = 初始本金 × (1 + 年利率)^周期数 = 1000 × (1 + 0.05)^5 ≈ 1276.28。
(5)等差数列、等比数列的性质及应用
等差数列、等比数列的性质及应用（一）主要知识：有关等差、等比数列的结论1．等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列．2．等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n ma a a a +=+3．等比数列{}n a 中，若m n p q+=+，则mn p q aa a a ⋅=⋅4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等比数列．5．两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列．6．两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列． （二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量． 2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键．（三）例题分析：例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有13 项；（2）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则46a a += 9 ．（3）等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是 210 ．例2．若数列{}n a 成等差数列，且,()m n S n S m m n ==≠，求n mS +．解：（法一）基本量法（略）；（法二）设2n S An Bn =+，则22(1)(2)An Bn mAm Bm n⎧+=⎪⎨+=⎪⎩(1)(2)-得：22()()n m A n m B m n-+-=-，m n ≠ ， ∴()1m n A B ++=-，∴2()()()n mS n m A n m B n m +=+++=-+．例3．等差数列{}n a 中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，11a =，求其项数和中间项. 解：设数列的项数为21n +项， 则121(1)()772n n a a S +++==奇，22()662n n a a S+==偶∴17766S n S n+==奇偶， ∴6n =，∴数列的项数为13，中项为第7项，且711a =．说明：（1）在项数为21n +项的等差数列{}n a 中，2+1=(+1),=,=(2+1)n S n a S na S n a 奇中偶中中；（2）在项数为2n项的等差数列{}n a 中2+11=,=,=()n n n n n S na S na S n a a +++1奇偶．例4．数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++*()k N ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n项和n S '． 解：（1）由题意：410nna-=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列， ∴12(1)lg lg lg 32k k k aa a k -+++=-，∴1(1)7[3]22nn n n bn n--=-=由10n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n项和的最大值为67212SS ==（2）由（1）当7n ≤时，0nb ≥，当7n >时，0nb <，∴当7n ≤时，212731132()244n n n S b b b n n n-+'=+++==-+当7n >时，12n n S b b b b b b '=+++---- 2712112(44n S b b b n n =-+++=-+∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩．例5*．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{b }n 的前n 项和，对任意自然数n ，有232nn a+=-，41213n nT S n-=，（1）求数列{b }n 的通项公式；（2）设集合*{|2,}nA x x an N ==∈，*{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项1,n c A B c ∈ 是A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．解：（1）当*2,n n N ≥∈时：114121341213(1)n n n n T S nT S n ---=⎧⎨-=-⎩，两式相减得：41213n n b a -=，∴1334n n b a =+534n =--，又1174b=-也适合上式，∴数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--．（2）对任意*n N ∈，223,41252(61)3n n a n b n n =--=--=-+-，∴B A⊂，∴A B B =∵1c 是A B 中的最大数，∴1c 17=-，设等差数列{}n c 的公差为d ，则10179c d=-+，∴265179125d -<-+<-，即527129d -<<-，又4nb 是一个以12-为公差的等差数列， ∴*12()d k k N =-∈，∴24d =-，∴724nc n=-．（四）巩固练习：1．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12nna a a bn+++=（N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，且n c >0（N n ∈*），则有n d =12nnC C C ⋅ （N n ∈*）也是等比数列．2．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n n S n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43．说明：2121n n nn a S b T --=．。
数列的等差数列与等比数列知识点总结
数列的等差数列与等比数列知识点总结数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的集合。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
1. 等差数列的基本概念等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。
等差数列可以是正差、零差或负差的数列。
2. 等差数列的性质（1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。
（2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。
（3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。
3. 求等差数列的和求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。
4. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。
1. 等比数列的基本概念等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
等比数列可以是正比、零比或负比的数列。
2. 等比数列的性质（1）相邻两项之商等于任意一项与首项之商等于任意一项与末项之商：ai/aj = a1/ai = ai/an。
（2）等比数列的前n项和Sn等于首项与末项之差除以公比减1：Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)。
3. 求等比数列的和求解等比数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。
高中数学教学等差数列和等比数列的性质
高中数学教学等差数列和等比数列的性质高中数学教学：等差数列和等比数列的性质等差数列和等比数列是高中数学中常见的数列类型，它们有着各自独特的性质和应用。
本文将探讨等差数列和等比数列的性质以及它们在高中数学教学中的重要性。
一、等差数列的性质等差数列是一种数学序列，其中每一项与前一项之差都相等。
等差数列的一般形式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
1. 公差的概念公差d是等差数列中相邻两项之间的差值。
等差数列中的任意两项之间的差值都等于公差d。
公差可以为正数、负数或零。
2. 常见等差数列的性质等差数列有以下一些重要性质：- 求和公式：等差数列的前n项和Sn可表示为Sn = (n/2)(2a1 + (n - 1)d)，其中n为项数。
- 通项公式：等差数列的第n项可表示为an = a1 + (n - 1)d。
- 任意三项关系：等差数列中，已知任意三项，可以通过关系式解出公差d。
- 对称性质：等差数列中，如果一项等于首项与末项的和，那么它的位置是中间项。
- 逆序数列：等差数列的逆序数列也是等差数列，其公差与原序列相等。
二、等比数列的性质等比数列是一种数学序列，其中每一项与前一项之比都相等。
等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
1. 公比的概念公比r是等比数列中相邻两项之间的比值。
等比数列中的任意两项之间的比值都等于公比r。
公比可以为正数、负数或零。
2. 常见等比数列的性质等比数列有以下一些重要性质：- 求和公式：等比数列的前n项和Sn可表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，且公比r不等于1。
- 通项公式：等比数列的第n项可表示为an = a1 * r^(n - 1)。
- 任意三项关系：等比数列中，已知任意三项，可以通过关系式解出公比r。
- 正比例关系：等比数列中，任意两项的比值都等于公比r。
高考数学难点突破_难点12__等差数列等比数列的性质运用
高考数学难点突破_难点12__等差数列等比数列的性质运用等差数列和等比数列是高考数学中经常出现的重要题型，它们的性质运用是高考数学中的难点之一、本文将详细介绍等差数列和等比数列的性质，并针对其常见的应用题进行解析，为大家突破这一难点提供一定的帮助。
1.等差数列的性质及应用（1）首项与公差：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项为：an = a₁ + (n-1)·d（2）前n项和：设等差数列的前n项和为Sn，那么有以下公式：Sn = n/2·(a₁ + an) = n/2·(2a₁ + (n-1)·d)（3）性质应用1：已知等差数列的前n项和Sn，求首项a₁：将Sn的公式代入，整理得到：Sn=n/2·(2a₁+(n-1)·d)=n/2·(2a₁+n·d-d)化简得到：(2a₁+n·d-d)=(2Sn)/n进一步整理得到：a₁=(2Sn)/n-d（4）性质应用2：已知等差数列的前n项和Sn，求公差d：将Sn的公式代入，整理得到：Sn=n/2·(2a₁+(n-1)·d)=n/2·(2a₁+n·d-d)化简得到：(2a₁+n·d-d)=(2Sn)/n进一步整理得到：d=[2Sn-n·(2a₁+n·d)]/(n-1)2.等比数列的性质及应用（1）首项与公比：设等比数列的首项为a₁，公比为r，则第n项为：an = a₁ · r^(n-1)（2）前n项和：设等比数列的前n项和为Sn，那么有以下公式：Sn=a₁·(r^n-1)/(r-1)（3）性质应用1：已知等比数列的前n项和Sn，求首项a₁：将Sn的公式代入，整理得到：Sn=a₁·(r^n-1)/(r-1)化简得到：a₁=Sn·(r-1)/(r^n-1)（4）性质应用2：已知等比数列的前n项和Sn，求公比r：将Sn的公式代入，整理得到：Sn=a₁·(r^n-1)/(r-1)化简得到：r=(Sn·(r-1))^(1/n)在解答等差数列和等比数列的应用题时，需要根据题目所给条件进行计算，灵活运用上述性质及公式。
等差数列等比数列知识点归纳总结
等差数列等比数列知识点归纳总结等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的概念，它们在解决各种数学问题中都起着重要的作用。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、等差数列等差数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的差都相等。
这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用字母d表示。
1. 基本概念一个等差数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，d表示公差。
2. 性质（1）公差：等差数列的公差d是等差数列中相邻两项的差，公差可以是正数、负数或零。
（2）公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1) * d，其中n表示项数。
（3）前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2来计算。
3. 应用等差数列广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的差额、间隔、递推关系等。
（2）物理问题中的匀速直线运动、连续等差分布等。
（3）经济学中的利润、销售额等。
二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的比都相等。
这个相等的比值被称为等比数列的公比，通常用字母r表示。
1. 基本概念一个等比数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，r表示公比。
2. 性质（1）公比：等比数列的公比r是等比数列中相邻两项的比值，公比可以是正数、负数或零。
（2）公式：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n表示项数。
（3）前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算。
3. 应用等比数列也广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的倍数关系、增长衰减等。
（2）物理问题中的连续等比分布、指数增长等。
等差数列与等比数列的性质
等差数列与等比数列的性质数列在数学中起着重要的作用，它们是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们都有着自身特定的性质和规律。
本文将介绍等差数列和等比数列的性质以及它们在数学中的应用。
一、等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之差固定的数列。
设数列的首项为a₁，公差为d，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中n为项数。
1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。
假设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。
1.2 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之和的一半再乘以项数来表示。
设前n项和为Sₙ，则Sₙ = n * (a₁ + aₙ) / 2。
1.3 等差数列的性质等差数列具有以下性质：（1）相邻两项之差相等；（2）任意三项成等差数列；（3）n个连续的自然数之和为n²；（4）若等差数列的和等于某项的积，则这些项必为等差数列。
二、等比数列的性质等比数列是指数列中相邻两项之比固定的数列。
设数列的首项为a₁，公比为q，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ * q^(n-1)，其中n为项数。
2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。
假设首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * q^(n-1)。
2.2 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之差再除以公比再加1来表示。
设前n项和为Sₙ，则Sₙ = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)。
2.3 等比数列的性质等比数列具有以下性质：（1）相邻两项之比相等；（2）任意三项成等比数列；（3）若等比数列的前n项和存在，则当n趋向无穷时，和趋向于无穷；（4）若等比数列的各项均为正数，且和存在，则公比q必定在0到1之间。
三、等差数列与等比数列的应用等差数列与等比数列在数学中有着广泛的应用。
等差数列与等比数列的性质与应用
等差数列与等比数列的性质与应用数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按特定规律排列的数所组成。
在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式，它们都有着独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨等差数列和等比数列的性质，并介绍其在数学和实际生活中的应用。
一、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中相邻两项之差保持相等的数列。
等差数列的通项公式可以用来表示第n项与首项之间的关系，其形式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的性质如下：1. 公差：等差数列中相邻两项的差称为公差，常用字母d表示。
公差决定了等差数列中每一项之间的差距大小。
2. 前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn=n(a1+an)/2来计算，其中Sn表示前n项的和，a1为首项，an为第n项。
3. 性质应用：等差数列的性质在数学中有着广泛的应用。
例如，等差数列可以用来求解数字排列问题、时间序列问题等。
此外，在数学类题目中，等差数列也经常用于证明数学关系和推导数学公式。
二、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中相邻两项之比保持相等的数列。
等比数列的通项公式可以用来表示第n项与首项之间的关系，其形式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
等比数列的性质如下：1. 公比：等比数列中相邻两项的比称为公比，常用字母r表示。
公比决定了等比数列中每一项与前一项的比值大小。
2. 前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来计算，其中Sn表示前n项的和，a1为首项，r为公比。
3. 性质应用：等比数列的性质在数学和实际生活中都有重要应用。
在数学中，等比数列可以用来模拟人口增长、金融投资、质量衰减等问题。
在实际生活中，等比数列的应用更为广泛，例如在经济领域中用于分析利润、销售额、成本等指标的变化规律。
三、等差数列与等比数列的联系与区别等差数列和等比数列都是有序排列的数列，它们之间存在联系与区别。
等差等比数列知识点 归纳总结
等差等比数列知识点归纳总结数学中的数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。
在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式。
它们具有一些特定的性质和规律，对于理解数学的推理和应用领域都具有重要意义。
本文将对等差数列和等比数列的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、等差数列的概念和性质等差数列是指数列中的相邻两项之差保持恒定的数列。
每一项与它的前一项之差称为等差d。
等差数列通常表示为{a，a + d，a + 2d，...}，其中a是首项，d是公差。
等差数列具有以下性质：1. 公差：等差数列的公差是相邻两项之差，常用字母d表示。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。
通项公式为an = a + (n - 1)d，其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。
3. 首项和末项：等差数列的首项为a，末项为an。
4. 求和公式：等差数列的前n项和可以使用求和公式来表示。
求和公式为Sn = (n/2)(a + an)，其中Sn表示前n项和。
5. 通项之和：对于相等间隔的等差数列，任意两项之和都等于首项和末项的和。
二、等比数列的概念和性质等比数列是指数列中的相邻两项之商保持恒定的数列。
每一项与它的前一项之比称为公比r。
等比数列通常表示为{a，ar，ar^2，...}，其中a是首项，r是公比。
等比数列具有以下性质：1. 公比：等比数列的公比是相邻两项之比，常用字母r表示。
2. 通项公式：等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。
通项公式为an = a * r^(n-1)，其中an表示第n项，a表示首项，r表示公比。
3. 首项和末项：等比数列的首项为a，末项为an。
4. 求和公式：等比数列的前n项和可以使用求和公式来表示。
求和公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。
5. 通项之积：对于相等间隔的等比数列，任意两项之积都等于首项和公比的幂次方之积。
高中数学知识点总结等差数列与等比数列的求和性质
高中数学知识点总结等差数列与等比数列的求和性质等差数列（Arithmetic Progression）和等比数列（Geometric Progression）是高中数学中常见的数列类型，它们在数学和实际问题的解决中起到了重要的作用。
本文将对等差数列和等比数列的求和性质进行总结和讨论。
一、等差数列的求和性质等差数列是指一个数列中每个相邻的两个数之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则该数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d等差数列的前n项和（即等差数列的求和）可以通过以下公式来计算：Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2其中，Sₙ表示前n项和。
例如，若我们有等差数列：2，4，6，8，10，则首项a₁为2，公差d为2。
若我们要计算前5项的和，则利用公式可以得到：S₅ = (2 + 10) × 5/2 = 12 × 5/2 = 30所以，该等差数列的前5项和为30。
二、等比数列的求和性质等比数列是指一个数列中每个相邻的两个数之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则该数列的通项公式为：aₙ = a₁ × r^(n-1)等比数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sₙ = a₁ × (1 - rⁿ)/(1 - r)其中，Sₙ表示前n项和。
例如，若我们有等比数列：3，6，12，24，48，则首项a₁为3，公比r为2。
若我们要计算前4项的和，则利用公式可以得到：S₄ = 3 × (1 - 2⁴)/(1 - 2) = 3 × (1 - 16)/(-1) = 3 × (-15) = -45所以，该等比数列的前4项和为-45。
以上就是等差数列和等比数列的求和性质的总结。
这些性质在解决数学问题时非常有用，可以帮助我们计算数列的和，从而更好地理解和应用这些数列。
通过掌握这些概念和公式，我们能够更加高效地解决与等差数列和等比数列相关的问题。
等差数列与等比数列的性质与应用
等差数列与等比数列的性质与应用等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式。
它们不仅具有一些特殊的性质，而且在实际生活和其他学科中有广泛的应用。
本文将探讨等差数列和等比数列的性质及其应用，帮助读者更好地理解和运用这两种数列形式。
一、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
具体地说，如果数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，则该数列为等差数列。
等差数列的性质如下：1. 公差：等差数列的公差表示了每一项与它的前一项之间的差值。
公差为正数时，数列递增；公差为负数时，数列递减。
公差值的大小决定了数列项之间的间隔。
2. 通项公式：等差数列的通项公式表示了数列中任意一项与首项之间的关系。
通过通项公式，我们可以轻松计算出数列中任意一项的值。
3. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可以计算数列中前n项的和。
这个公式在实际应用中非常常见，例如计算等差数列的累计收入、人口增长等。
来表示时间的流逝、距离的增长、数学函数中的连续变化等。
通过等差数列，我们可以更好地分析和预测某些变化规律，进而指导实际问题的解决。
二、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
具体地说，如果数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r 为公比，则该数列为等比数列。
等比数列的性质如下：1. 公比：等比数列的公比表示了每一项与它的前一项之间的比值。
公比大于1时，数列递增；公比在0和1之间时，数列递减。
公比的大小决定了数列项之间的倍数关系。
2. 通项公式：等比数列的通项公式表示了数列中任意一项与首项之间的关系。
通过通项公式，我们可以轻松计算出数列中任意一项的值。
3. 前n项和公式：等比数列的前n项和公式可以计算数列中前n项的和。
这个公式在实际应用中非常重要，例如计算等比数列的总利润、物质累积等。
用来表示指数增长、利润的倍增、生物种群的繁衍等。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结等差数列与等比数列是数学中常见的数列类型。
它们在数学应用、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将针对等差数列与等比数列的定义、特点、常见性质和应用进行总结。
一、等差数列1. 定义等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
设数列的通项公式为an，公差为d，则等差数列可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数。
2. 特点（1）相邻两项之差保持恒定，即公差d是常数。
（2）首项和公差可以确定一个等差数列。
（3）等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 常见性质（1）首项和末项之和等于中间各项之和的和。
（2）等差数列的和可以用以下公式计算：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，其中Sn为前n项和。
（3）若相邻两项互换，则公差不变。
（4）数列中的每一项都可以表示为首项与公差的线性组合。
等差数列常被用于描述随时间变化的一些规律，比如每年增长固定数量的人口、一段时间内的温度变化等等。
在计算机科学中，等差数列的性质也被广泛应用于算法设计与分析。
二、等比数列1. 定义等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
设数列的通项公式为an，公比为q，则等比数列可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。
2. 特点（1）相邻两项之比保持恒定，即公比q是常数。
（2）首项和公比可以确定一个等比数列。
（3）等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 常见性质（1）首项和末项之比等于中间各项之比的积。
（2）等比数列的和（若存在）可以用以下公式计算：Sn = a1 * (1-q^n)/(1-q)，其中Sn为前n项和，需满足|q|<1。
（3）若相邻两项互换，则公比不变。
（4）数列中的每一项都可以表示为首项与公比的幂的乘积。
等比数列常被用于描述随时间变化的指数增长或指数衰减，比如复利计算、物种繁殖等。
2021年高考数学复习等差数列、等比数列的运算和性质教案
2021年高考数学复习等差数列、等比数列的运算和性质教案一、知识点梳理 1.等差数列（1）定义：a n+1－a n =d(常数d 为公差)；（2）通项公式：a n =a 1+(n －1)d （3）前n 项和公式：S n ==na 1+d （4）通项公式推广：a n =a m +(n －m)d 2.等差数列{a n }的一些性质（1）对于任意正整数n ，都有a n+1－a n =a 2－a 1 （2）{a n }的通项公式：a n =（a 2－a 1）n+(2a 1－a 2)（3）对于任意正整数p,q,r,s,如果p+q=r+s ，则有a p +a q =a r +a s （4）对于任意正整数p,q,r,如果p+r=2q,则有a p +a r =2a q （5）对于任意正整数n>1，有2a n =a n －1+a n+1（6）对于任意非零实数b ，若数列{ba n }是等差数列，则数列{a n }也是等差数列 （7）已知数列{b n }是等差数列，则{a n ±b n }也是等差数列 （8）{a 2n }，{a 2n －1}，{a 3n }，{a 3n －1}，{a 3n －2}等都是等差数列（9）S 3m =3（S 2m －S m ）； （10）若S n =S m (m ≠n)，则S m+n =0 （11）若S p =q,S q =p ，则S p+q =－(p+q)(p ≠q)； （12）S n =an 2+bn ，反之亦成立 3.等比数列⑴定义：=q(常数q 为公比)；⑵通项公式：a n =a 1qn －1⑶前n 项和公式S n =111)1(11≠=⎪⎩⎪⎨⎧--q q q q a na n ，特别注意q=1时，S n =na 1这一特殊情况。
⑷通项公式推广：a n =a m ·qn －m4.等比数列{a n }的一些性质 （1）对于任意正整数n ，均有=（2）对于任意正整数p 、q 、r 、s ，只要满足p+q=r+s ，则a p ·a q =a r ·a s （3）对于任意正整数p 、q 、r ，如果p+r=2q ，则a p ·a r =a q 2（4）对任意正整数n>1，有a n 2=a n －1·a n+1 （5）对于任意非零实数b,{ba n }也是等比数列 （6）如果a n >0，则{log a a n }是等差数列（7）数列{log a a n }成等差数列，则a n 成等比数列（8）{a 2n }，{a 2n －1}，{a 3n －1}，{a 3n －2}，{a 3n }等都是等比数列y2 3 1二、例题选讲1．(★）三个数成等差数列，如果将最小数乘2，最大数加上7，所得三数之积为1000，且成等比数列，则原等差数列的公差一定是----------------------------------------------（ C ）A.8B.8或－15C.± 8D.±152．（★）首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差的取值范围是-（ D ） （A ） （B ） （C ）≤ （D ）≤33．（★），则满足项之和为的前，数列·设n n n-n S n a a }{)21(6=1-是的最小正整数││n n 1001<4S -（B ） （A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11 4．（★) 已知的前项和，则的值为---------（ A ）（A ）67 （B ）65 （C ）61 （D ）565．（★★）等差数列{a n }中，a 10<0,a 11>0，且|a 10|<|a 11|，S n 为其前n 项之和，则-----( C ) A. S 1,S 2，…，S 10都小于零，S 11，S 12，…都大于零 B. S 1,S 2，…，S 5都小于零，S 6，S 7，…都大于零 C. S 1,S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零 D. S 1,S 2，…，S 20都小于零，S 21，S 22，…都大于零6．（★★) 已知方程 的四个根组成一个首项为的等差数列，则等于-----------------------------------（ C ）（A ）1 （B ） （C ） （D ）7．（★★) 在中，是以－4为第3项，4为第项的等差数列的公差；是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形是-------------------（ A ）（A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）等腰三角形8．（★★）过圆内一点（5，3）的条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项，最大弦长为数列的末项，若公差[，]，则的取值不可能是-------------------（ A ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 9．（★★★) 已知等差数列中，，若，且，，则等于--------------（ B ）（A ）38 （B ）20 （C ）10 （D ）9 10．（★★★）已知数列{a n }满足a n +1=a n -a n -1（n ≥2），a 1=a ，a 2=b ，记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ，则下列结论正确的是-----------------------------------------------------------------（ A ） （A ）a 100=-a ，S 100=2b -a （B ）a 100=-b ，S 100=2b -a （C ）a 100=-b ，S 100=b -a （D ）a 100=-a ，S 100=b -a11．（★）设数列是递增等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项为 2 ． 12．（★）已知等差数列的公差，且成等比数列，则．13．（★）等差数列中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为，偶数项之和为，，则其项数为 13 ；中间项为 11 .14．（★★）若数列（*）是等差数列，则有数列（*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且（*），则有（*）也是等比数列． 15．（★★）．设和分别为两个等差数列的前项和，若对任意，都有 ，则第一个数列的第项与第二个数列的第项的比是． 说明：． 16．（★★）如图，一个粒子在原点，第一秒内从原点运动到点（0，1），而后按照图示的方向由（0，0）→（0，1） →（1，1）→（1，0）→（2，0）→…来回运动,每秒移 动一个单位，则粒子运动到点（3，0）时用时 秒， 经过xx 秒时这个粒子所处的位置为点17．（★）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是，第二个数与第三个书的和是，求这四个数．解：设这四个数为：，则2()16212a d a d aa d ⎧+-+=⎪⎨⎪+=⎩解得：或，所以所求的四个数为：；或． 18．（★★）数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足 121(lg lg lg )k k b a a a k=+++，（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和． 解：（1）由题意：，∴，∴数列是首项为3，公差为的等差数列， ∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-= 由，得，∴数列的前项和的最大值为（2）由（1）当时，，当时，， ∴当时，212731132()244n n nS b b b n n n -+'=+++==-+当时，12789n n S b b b b b b '=+++----27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩．19．（★★）若和分别表示数列和的前项和，对任意自然数，有，，（1）求数列的通项公式；（2）设集合， ．若等差数列任一项是中的最大数，且，求的通项公式． 解：（1）当时：114121341213(1)n n n n T S nT S n ---=⎧⎨-=-⎩，两式相减得：，∴，又也适合上式， ∴数列的通项公式为．（2）对任意，223,41252(61)3n n a n b n n =--=--=-+-，∴，∴∵是中的最大数，∴，设等差数列的公差为，则， ∴，即，又是一个以为公差的等差数列， ∴，∴，∴． 20．（★★）数列中，且满足⑴求数列的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求；⑶设=)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
高中数学中的等差数列与等比数列
高中数学中的等差数列与等比数列等差数列和等比数列作为高中数学中的重要概念，广泛应用于各种数学问题中。
通过研究这两种数列，可以帮助我们更好地理解数学规律和解决实际问题。
本文将就等差数列和等比数列的定义、性质及应用进行详细阐述。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
设数列的首项为a，公差为d，则等差数列可以表示为{a，a+d，a+2d，a+3d，...}。
其中，a表示首项，d表示公差，n表示数列中的第n项。
等差数列的性质如下：1. 公差的性质：等差数列的公差d可以通过任意两项的差求得。
对于等差数列中的第m项和第n项（m>n），有公差d = (第m项 - 第n 项)/(m-n)。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以通过首项a和公差d求得。
通项公式为An = a + (n-1)d，其中An表示等差数列中第n项的值。
3. 等差数列的和：等差数列的前n项和Sn可以通过首项a、公差d 和项数n求得。
和的计算公式为Sn = (首项 + 末项) * 项数 / 2，即Sn = (a + a + (n-1)d) * n / 2。
等差数列在生活中的应用非常广泛，例如计算时间、距离等变化规律，以及物理、经济等方面的问题。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列。
设数列的首项为a，公比为r，则等比数列可以表示为{a，ar，ar²，ar³，...}。
其中，a 表示首项，r表示公比，n表示数列中的第n项。
等比数列的性质如下：1. 公比的性质：等比数列的公比r可以通过任意两项的比值求得。
对于等比数列中的第m项和第n项（m>n），有公比r = (第m项/第n 项)^(1/(m-n))。
2. 通项公式：等比数列的通项公式可以通过首项a和公比r求得。
通项公式为An = a * r^(n-1)，其中An表示等比数列中第n项的值。
3. 等比数列的和：等比数列的前n项和Sn可以通过首项a、公比r和项数n求得。
等差数列与等比数列的性质与应用
等差数列与等比数列的性质与应用数列是数学中非常重要的概念，它是由一系列按一定顺序排列的数所组成的。
在数列中，等差数列和等比数列是最常见的两种形式。
它们有着独特的性质和广泛的应用。
本文将对等差数列和等比数列的性质进行介绍，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中相邻的两项之间的差值恒定的数列。
其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列具有以下性质：1. 公差：等差数列中相邻两项之间的差值称为公差。
公差可以为正数、负数或零，它决定了数列的增减趋势。
当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减；当公差为零时，数列所有的项相等。
2. 通项公式：等差数列可以通过通项公式快速求得任意一项的值。
通项公式an=a1+(n-1)d中的n表示项数，通过给定的n值，可以得到对应项的数值。
3. 总和公式：等差数列的前n项和可以通过总和公式Sn=n/2[2a1+(n-1)d]来计算。
这个公式是通过求前n项和的巧妙方法，可以避免逐项相加的麻烦。
等差数列的应用非常广泛。
例如，在数学中，等差数列可以用来描述等分数列、算术平均数等概念。
在物理学中，通过等差数列可以描述匀速直线运动的位移、速度等参数。
在经济学中，等差数列可以用来描述递增或递减的趋势，分析经济指标的变化规律。
二、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中相邻的两项之间的比值恒定的数列。
其通项公式可以表示为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列具有以下性质：1. 公比：等比数列中相邻两项之间的比值称为公比。
公比可以为正数、负数或零，它决定了数列的增减趋势。
当公比大于1时，数列递增；当公比小于1时，数列递减；当公比等于1时，数列所有的项相等。
2. 通项公式：等比数列可以通过通项公式快速求得任意一项的值。
通项公式an=a1*r^(n-1)中的n表示项数，通过给定的n值，可以得到对应项的数值。
等差数列与等比数列的概念与性质
等差数列与等比数列的概念与性质等差数列和等比数列是数学中常见且重要的数列类型。
它们在各个领域中都有广泛的应用，从金融到物理，从自然科学到社会科学。
本文将介绍等差数列和等比数列的概念、性质和应用，以帮助读者更好地理解这两个数列的特点与应用。
一、等差数列的概念和性质1. 概念：等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。
这个差被称为等差数列的公差，常用字母d表示。
2. 性质：- 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ + (n-1)d 。
- 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。
- 等差数列的性质：（1）若首项相同，公差不同的两个等差数列相交，其交点仍为等差数列。
（2）若两个等差数列的公差之比为整数，则其和仍为等差数列。
（3）等差数列的前n项和与项数n成正比，即Sₙ与n成一次函数关系。
二、等比数列的概念和性质1. 概念：等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比相等。
这个比被称为等比数列的公比，常用字母q表示。
2. 性质：- 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ * q^(n-1)。
- 等比数列的前n项和公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和为Sₙ，则Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ)/(1 - q)。
- 等比数列的性质：（1）若首项相同，公比不同的两个等比数列相交，其交点仍为等比数列。
（2）若两个等比数列的公比之比为整数，则其和仍为等比数列。
（3）等比数列的前n项和与项数n成正比，但比值不为常数。
三、等差数列与等比数列的应用1. 等差数列的应用：（1）在金融领域中，等差数列用于计算复利的增长情况。
（2）在物理学中，等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位置和速度变化。
等比数列等差数列知识点归纳总结
等比数列等差数列知识点归纳总结等比数列和等差数列是数学中常见且重要的概念之一。
在解决各种数学问题和应用中，它们都有着广泛的应用。
本文将对等比数列和等差数列的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这两个数列的特点和应用。
一、等差数列等差数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之差保持恒定。
具体来说，对于一个等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，它的通项公式可以表示为：an = a₁ + (n-1)d其中，a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的常用术语包括首项、公差、通项公式和项数等。
1. 首项（a₁）：等差数列的第一项称为首项。
2. 公差（d）：等差数列中相邻两项的差称为公差。
公差可以是正数、负数或零。
3. 通项公式：等差数列的第n项通项公式可以用来求出数列中任意一项的值。
在通项公式中，n表示项数。
4. 项数：等差数列包含的项的个数称为项数。
等差数列的主要特点是任意两项之差相等，这使得我们可以根据已知的条件，快速求解未知项的值。
一些常见的应用包括求和公式、平均数问题、等差数列的图像和几何问题等。
二、等比数列等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之比保持恒定。
具体来说，对于一个等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，它的通项公式可以表示为：an = a₁ * r^(n-1)其中，a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。
等比数列的常用术语包括首项、公比、通项公式和项数等。
1. 首项（a₁）：等比数列的第一项称为首项。
2. 公比（r）：等比数列中相邻两项的比称为公比。
公比可以是正数、负数或零，但不能为1。
3. 通项公式：等比数列的第n项通项公式可以用来求出数列中任意一项的值。
在通项公式中，n表示项数。
4. 项数：等比数列包含的项的个数称为项数。
等比数列的主要特点是任意两项之比相等，这使得我们可以根据已知的条件，快速求解未知项的值。
一些常见的应用包括求和公式、计算几何问题和金融领域的应用等。
高中数学知识点总结等差数列与等比数列
高中数学知识点总结等差数列与等比数列高中数学知识点总结：等差数列与等比数列等差数列和等比数列是高中数学中重要的数列概念。
它们在数学和实际问题中都具有广泛的应用。
本文将对等差数列和等比数列进行详细的总结和学习。
一、等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）等差数列是指数列中任意两个相邻的项之间的差都是一个常数。
这个常数称为公差，通常用字母d表示。
等差数列的一般形式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n项。
等差数列常见的性质和公式如下：1. 第n项公式：an = a1 + (n-1)d2. 前n项和公式：Sn = (n/2)(a1 + an) = (n/2)(2a1 + (n-1)d)3. 公差d的求法：d = (an - a1)/(n-1)4. 通项公式：an = a1 + (n-1)d5. 前n项和公式（求和公式）：Sn = (n/2)(a1 + an)等差数列的应用非常广泛，特别是在数学、物理和工程学中。
等差数列可以帮助我们推导出一些重要的关系式，解决许多实际问题。
二、等比数列（Geometric Progression，简称GP）等比数列是指数列中任意两个相邻的项之间的比都是一个常数。
这个常数称为公比，通常用字母r表示。
等比数列的一般形式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项。
等比数列常见的性质和公式如下：1. 第n项公式：an = a1 * r^(n-1)2. 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 13. 公比r的求法：r = √(an / a1)4. 通项公式：an = a1 * r^(n-1)5. 前n项和公式（求和公式）：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠1等比数列的应用同样非常广泛，在数学、物理、经济学等领域都有重要的作用。
2022年高考数学重点难点讲解：等差数列及等比数列的运用
难点12 等差数列、等比数列的性质运用等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视高考中也一直重点考查这部分内容 ●难点磁场★★★★★等差数列{an}的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________ ●案例探究［例1］已知函数f=412-x11+n a 25m 21n a 41121+=+n n a a 22111n n a a -+21n a 412-x 214y +214y +2∵411,14122121=-∴+=++nn n n a a a a ，∴{21n a }是公差为4的等差数列，∵a1=1, 21n a =211a 4n －1=4n －3,∵an>0,∴an=341-n3bn=Sn1－Sn=an12=141+n ,由bn 25m 1425+n , 设gn= 1425+n ,∵gn= 1425+n 在n ∈N*上是减函数，∴gn 的最大值是g1=5,∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n ∈N*有bn 25m2m⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m ⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 ),1(9114121a q q q a q q 解得212123lg 273lg 3lg 272lg 2+4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+⎪⎩⎪⎨⎧==311081q a 3131314.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+3231510=S S 32 B. 32A.-y c x a +0,S13n n n n b T +∞→4lim 11,,11,1121+++n x x x 2m2)1(-n n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+1002)12(22302)1(11d m m ma d m m ma 2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S m m a m d m 解得]2)13([32)13(33113dm a m d m m ma S m -+=-+=3m2)13(dm -2)13(-m m 3m2m⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+m B m A m B m A Bm Am 1020 1002)2(302223m3m3m3m2m2m2m3m2m2m2m2m2240m 3m2m3m2m2m3m2m3m2m2)1(-n n n S n 2)1(-n n n S n 2)1(d x -m S m2m m S m 223m m S m 333m2m 3231510=S S 3213232315510-=-=-S S S 32121.321lim 1-=-=∞→q a S n n n n 1+21212121yc x a +)1(41)1(21)1(2122222q q a q q a q q a xy cx ay ++++=+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+==+=0212131302111212,12211311213d a S d a S d a a 724a2>a3>…>a12>a13,因此，① ②在S1，S2，…，S12中S 为最大值的条件为：a ≥0且a1＜0,即⎩⎨⎧<-+≥-+0)2(0)3(33d k a d k a∵a3=12,∴⎩⎨⎧-<-≥122123d kd d kd ，∵d ＜0,∴2－d 12＜≤3－d 12∵－724＜d ＜－3,∴27＜－d 12＜4,得＜＜7因为是正整数，所以=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大解法二：由d ＜0得a1>a2>…>a12>a13，因此，若在1≤≤12中有自然数,使得a ≥0,且a1＜0,则S 是S1，S2，…，S12中的最大值由等差数列性质得，当m 、n 、n=an=aaq 所以有：2a7=a1a13=132S13＜0,∴a7＜0,a7a6=a1a12=61S12>0,∴a6≥－a7>0,故在S1，S2，…，S12中S6最大解法三：依题意得：)(2)212()1(221n n dd n d n n na S n -+-=-+=222)]245(21[,0,)245(8)]245(21[2d n d d d d n d --∴<----= 最小时，Sn 最大；∵－724＜d ＜－3,∴6＜215－d 24＜从而，在正整数中，当n=6时，［n －21 5－d 24］2最小，所以S6最大点评：该题的第1问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易第2问难度较高，为求{Sn}中的最大值S,1≤≤12,思路之一是知道S 为最大值的充要条件是a ≥0且a1＜0，思路之三是可视Sn 为n 的二次函数，借助配方法可求解它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解 6解：1由题意知a52=a1·a17，即a14d2=a1a116da1d=2d2,∵d ≠0,∴a1=2d,数列{}的公比q=11154a d a a a +==3, ∴=a1·3n －1①又=a1bn －1d=121a b n +②由①②得a1·3n －1=21+n b ·a1∵a1=2d ≠0,∴bn=2·3n －1－12Tn=Cb1Cb2…Cbn=C 2·30－1C ·2·31－1…C2·3n －1－1=32CC ·32…C ·3n －CC …C=32［13n－1］－2n －1= 32·4n －2n 31,.32)41()43(211)41(31)21(32lim 1324312432lim 4lim 11=-⋅++-=-⋅++-⋅=+∴-∞→-∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n b T7解：∵{an}为等差数列，{bn}为等比数列，∴a2a4=2a3,b2·b4=b32, 已知a2a4=b3,b2·b4=a3,∴b3=2a3,a3=b32,得b3=2b32,∵b3≠0,∴b3=21,a3=41由a1=1,a3=41，知{an}的公差d=－83, ∴S10=10a12910⨯d=－855由b1=1,b3=21,知{bn}的公比q=22或q=－22,).22(32311)1(,22);22(32311)1(,221011010110-=--=-=+=--==q q b T q q q b T q 时当时当8证明：1）∵{an}是等差数列，∴2a1=aa2,故方程a22a1a2=0可变为aa21=0,∴当取不同自然数时，原方程有一个公共根－12）原方程不同的根为=kk k k k a da d a a a 2122--=+-=-+.21}11{)(2122)2(21111,211111为公差的等差数列是以常数-+∴-=-=-=---=+-+-=+∴+++k k k k k k k k k x d d d a a d a d a x x d a x。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
难点 12 等差数列、等比数列的性质运用等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前 n 项和公式的引申. 应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解 决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考 查这部分内容.●难点磁场 (★★★★★)等差数列{an}的前 n 项的和为 30，前 2m 项的和为 100，求它的前 3m 项的 和为_________. ●案例探究［例 1］已知函数 f(x)= 1 (x<－2). x2 4(1)求 f(x)的反函数 f-－1(x);(2)设 a1=1, 1 =－f－-1(an)(n∈N*),求 an; a n 1(3)设 Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn 是否存在最小正整数 m,使得对任意 n∈N*,有 bn< m 25成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由. 命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★★★★★级题目. 知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题. 错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{1 an2}为桥梁求an,不易突破.技巧与方法：(2)问由式子 1 an11 an24得1a2 n11 an2=4,构造等差数列{1 an2},从而求得 an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想.解：(1)设 y=1 ,∵x<－2,∴x=－ x2 441 y2,即 y=f－-1(x)=－41 y2(x>0)(2)∵ 1 an141 an2,1 an121 an24，∴{1 an2}是公差为4的等差数列，∵a1=1,1 an2=1 a12+4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an=1 .4n 3(3)bn=Sn+1－Sn=an+12= 1 ,由 bn< m ,得 m> 25 ,4n 1254n 1设 g(n)= 25 ,∵g(n)= 25 在 n∈N*上是减函数，4n 14n 1∴g(n)的最大值是 g(1)=5,∴m>5,存在最小正整数 m=6,使对任意 n∈N*有 bn< m 成立. 25［例 2］设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和 的 4 倍，且第二项与第四项的积是第 3 项与第 4 项和的 9 倍，问数列{lgan}的前多少项和最 大？(lg2=0.3,lg3=0.4)命题意图：本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题须利用等比数列通项公式、前 n 项和公式合理转化条件，求出 an;进而 利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解.错解分析：题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方.技巧与方法：突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前 n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列 Sn 是 n 的二次函数，也可由函数解析式求最值. 解法一：设公比为 q,项数为 2m,m∈N*,依题意有 a1 (q2m 1) q 1a1q (q2m 1) q2 1(a1q) (a1q3 ) 9(a1q2 a1q3 )化简得 4q q 11a1q2 9(1 q),解得q1 3.a1 108设数列{lgan}前 n 项和为 Sn,则 Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1)=nlga1+ 1 n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－ 1 n(n－1)lg322=(－ lg 3 )·n2+(2lg2+ 7 lg3)·n222lg 2 7 lg 3可见，当 n=2 时，Sn 最大.lg 3而2 lg27 2lg340.3 70.4=5,故{lgan}的前5项和最大.lg 32 0.4解法二：接前，a1 108 1,于是lgan=lg［108(1)n－1］=lg108+(n－1)lg1,q 333∴数列{lgan}是以 lg108 为首项，以 lg 1 为公差的等差数列，令 lgan≥0,得 2lg2－(n－4)lg3 3≥0,∴n≤ 2lg 2 4lg 3 2 0.3 4 0.4 =5.5.lg 30.4由于 n∈N*,可见数列{lgan}的前 5 项和最大. ●锦囊妙计1.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用.2.在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)等比数列{an}的首项 a1=－1,前 n 项和为 Sn,若 S10 31 ，则 lim Sn 等于S5 32n()A.2B. 2C.2D.－233二、填空题2.(★★★★)已知 a,b,a+b 成等差数列，a,b,ab 成等比数列，且 0<logm(ab)<1,则 m 的取值 范围是_________.3.(★★★★)等差数列{an}共有 2n+1 项，其中奇数项之和为 319，偶数项之和为 290， 则其中间项为_________.4.(★★★★)已知 a、b、c 成等比数列，如果 a、x、b 和 b、y、c 都成等差数列，则a c =_________. xy三、解答题5.(★★★★★)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的取值范围；(2)指出 S1、S2、…、S12 中哪一个值最大，并说明理由. 6.(★★★★★)已知数列{an}为等差数列，公差 d≠0,由{an}中的部分项组成的数列a b1 ,a b2 ,…,a bn ,…为等比数列，其中 b1=1,b2=5,b3=17.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)记Tn=C1 nb1+C2 nb2+C3 nb3+…+Cn nbn,求limn4nTn bn.7.(★★★★)设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分别求出 {an}及{bn}的前 n 项和 S10 及 T10.8.(★★★★★){an}为等差数列，公差 d≠0,an≠0,(n∈N*),且 akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*) (1)求证：当 k 取不同自然数时，此方程有公共根；(2)若方程不同的根依次为 x1,x2,…,xn,…,求证：数列 1 , 1 , , 1 为等差数列. x1 1 x2 1 xn 1参考答案难点磁场解法一：将 Sm=30,S2m=100 代入 Sn=na1+ n(n 1) d,得： 2ma1m(m 1) 2d30① 2ma12m(2m 2 1)d100②解得 d40 m2, a110 m20 m2, S3m3ma13m(3m 2 1)d210解法二：由S3m3ma13m(3m 2 1)d3m[a1(3m 1)d 2]知，要求S3m只需求m［a1+ (3m 1)d ］,将②－①得 ma1+ m(3m 1) d=70,∴S3m=210.22解法三：由等差数列{an}的前 n 项和公式知，Sn 是关于 n 的二次函数，即 Sn=An2+Bn(A、B 是常数）.将 Sm=30,S2m=100 代入，得Am 2 Bm 30 A(2m)2B2m100 AB 20 m2 10 m,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210解 法 四 ： S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+ … +a3m=S2m+(a1+2md)+ … +(am+2md)=S2m+(a1+ …+am)+m·2md=S2m+Sm+2m2d.由解法一知d=40 m2,代入得S3m=210.解法五：根据等差数列性质知：Sm,S2m－Sm,S3m－S2m 也成等差数列，从而有：2(S2m－Sm)=Sm+(S3m－S2m)∴S3m=3(S2m－Sm)=210解法六：∵Sn=na1+ n(n 1) d, 2∴ Sn =a1+ n(n 1) dn2∴点(n, Sn )是直线 y= (x 1)d +a1 上的一串点，由三点(m, Sm ),(2m, S2m ),(3m, S3m )n2m2m3m共线，易得 S3m=3(S2m－Sm)=210.解法七：令 m=1 得 S1=30，S2=100，得 a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70∴a3=70+(70－30)=110∴S3=a1+a2+a3=210答案：210歼灭难点训练一、1.解析：利用等比数列和的性质.依题意， S10 31 ，而 a1=－1,故 q≠1, S5 32∴ S10 S5 31 32 1 ,根据等比数列性质知 S5，S10－S5，S15－S10,…,也成等比数S53232列，且它的公比为 q5,∴q5=－ 1 ,即 q=－ 1 .322∴lim Snn a1 1 q2. 3答案：B 二、2.解析：解出 a、b,解对数不等式即可. 答案：(－∞,8)3.解析：利用 S 奇/S 偶= n 1 得解. n答案：第 11 项 a11=29 4.解法一：赋值法. 解法二：b=aq,c=aq2,x= 1 (a+b)= 1 a(1+q),y= 1 (b+c)= 1 aq(1+q),2222a c xy=ay cx xy1 2a2q(1 q) 1 a2q2 (1 21 a2q(1 q2 )q)=2.4答案：2a3 a1 2d 12,三、5.(1)解：依题意有：S12 12a11211 d 20S13 13a113 12 2d0解之得公差 d 的取值范围为－ 24 ＜d＜－3. 7(2)解法一：由 d＜0 可知 a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在 S1，S2，…，S12 中 Sk 为最大值的条件为：ak≥0且ak+1＜0,即a3 a3 (k (k 3)d 2)d 0 0∵a3=12,∴kd kd 3d 2d 12 12，∵d＜0,∴2－12 d＜k≤3－12 d∵－ 24 ＜d＜－3,∴ 7 ＜－ 12 ＜4,得 5.5＜k＜7.72d因为 k 是正整数，所以 k=6,即在 S1，S2，…，S12 中，S6 最大.解法二：由 d＜0 得 a1>a2>…>a12>a13，因此，若在 1≤k≤12 中有自然数 k,使得 ak≥0,且 ak+1＜0,则 Sk 是 S1，S2，…，S12 中的最大值.由等差数列性质得，当 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q 时，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13= 2 S13＜0,∴a7＜0,a7+a6=a1+a12= 1 S12>0,∴a6136≥－a7>0,故在 S1，S2，…，S12 中 S6 最大.解法三：依题意得：Snna1n 2(n 1)dn(122d )d 2(n2n) d [n 1 (5 24)]2 d (5 24)2 , d 0,[n 1 (5 24)]2 最小时，Sn 最大；22 d 8 d2d∵－ 24 ＜d＜－3,∴6＜ 1 (5－ 24 )＜6.5.从而，在正整数中，当 n=6 时，［n－ 1 (5－ 24 )］72d2d2 最小，所以 S6 最大. 点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求{Sn}中的最大值 Sk,1≤k≤12,思路之一是知道 Sk 为最大值的充要条件是 ak≥0 且 ak+1＜0，思路之三是可视 Sn 为 n 的二次函数，借助配方法可求解.它考查了等价转化的数 学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解.6.解：(1)由题意知 a52=a1·a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d) a1d=2d2,∵d≠0,∴a1=2d,数列{ abn}的公比q=a5 a1a1 4d a1=3,∴ abn =a1·3n－1①又abn=a1+(bn－1)d=bn 21a1②由①②得 a1·3n－1= bn 1 ·a1.∵a1=2d≠0,∴bn=2·3n－1－1. 2(2)Tn=C1 nb1+C2 nb2+ …+Cn nbn=C1 n(2 · 30 － 1)+C2 n·(2·31 －1)+…+Cn n(2 · 3n －1－1)=2 3(C1 n+C2 n·32+…+Cn n·3n)－(C1 n+C2 n+…+Cn n)=2［(1+3)n－1］－(2n－1)= 32 ·4n－2n+ 1 ,33limn4nTn bn2 4n 2n 12 (1)n 1 (1)nlimn3 4n2 3n13 1lim 3 n 1 123 ( 3 )n1 4 (1)n2. 32447.解：∵{an}为等差数列，{bn}为等比数列，∴a2+a4=2a3,b2·b4=b32, 已知 a2+a4=b3,b2·b4=a3,∴b3=2a3,a3=b32, 得 b3=2b32,∵b3≠0,∴b3= 1 ,a3= 1 .24由 a1=1,a3= 1 ，知{an}的公差 d=－ 3 ,48∴S10=10a1+ 10 9 d=－ 55 .28由 b1=1,b3= 1 ,知{bn}的公比 q= 2 或 q=－ 2 ,222当q 2 2时,T10b1(1 1q10 ) q31 32(22 );当q 2 2时,T10b1(1 1q10 ) q31 32(22 ).8.证明：(1）∵{an}是等差数列，∴2ak+1=ak+ak+2,故方程 akx2+2ak+1x+ak+2=0 可变为(akx+ak+2)(x+1)=0, ∴当 k 取不同自然数时，原方程有一个公共根－1.(2）原方程不同的根为 xk= ak2 ak 2d 1 2dakakak 1 ak , xk 1 2d 1 1 ak1 ( ak ) ak ak1 d 1 (常数)xk1 1 xk 1 2d2d2d2d 2{ 1 }是以 1 为公差的等差数列 .xk 12。