均值不等式在最值与极值问题中的应用
高中数学公式(均值不等式)
高中数学公式(均值不等式)高中数学公式(均值不等式)公式的数学本质是用简洁的语言准确地描述数学问题。
在高中数学中，均值不等式是一个重要而又常用的工具。
它可以帮助我们证明和解决各种数学问题。
本文将介绍均值不等式的定义、性质和应用。
一、均值不等式的定义均值不等式是数学中一类重要的不等式。
它表述了若干个数的某种“平均值”与这些数之间的大小关系。
常见的均值不等式有算术平均不等式、几何平均不等式和平方平均不等式。
1. 算术平均不等式算术平均不等式是指若干个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值。
设有n个正数x₁、x₂、...、xₙ，它们的算术平均值为AM，几何平均值为GM，则有AM ≥ GM。
2. 几何平均不等式几何平均不等式是指若干个正数的几何平均值不大于它们的算术平均值。
设有n个正数x₁、x₂、...、xₙ，它们的算术平均值为AM，几何平均值为GM，则有GM ≤ AM。
3. 平方平均不等式平方平均不等式是指若干个正数的平方平均值不小于它们的算术平均值。
设有n个正数x₁、x₂、...、xₙ，它们的算术平均值为AM，平方平均值为QM，则有QM ≥ AM。
二、均值不等式的性质均值不等式有一些基本性质可以帮助我们进行各种推导。
1. 对称性均值不等式具有对称性，即对数x₁、x₂、...、xₙ的排列顺序不影响不等式的成立。
例如，若AM ≥ GM成立，则交换任意两个数的位置，不等式仍然成立。
2. 反序性均值不等式具有反序性，即改变不等式中的不等号方向，不等式仍然成立。
例如，若AM ≥ GM成立，则取倒数得到1/AM ≤ 1/GM，不等式仍然成立。
3. 结合性均值不等式具有结合性，即若AM₁ ≥ GM₁和AM₂ ≥ GM₂成立，则有AM₁ * AM₂ ≥ GM₁ * GM₂。
这一性质可以帮助我们将不等式进行合并和推导。
三、均值不等式的应用均值不等式具有广泛的应用场景，涉及各个数学领域。
1. 不等式证明均值不等式可以用于证明其他的数学不等式。
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。
本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。
1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。
例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。
2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。
如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。
如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。
对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。
3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。
例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。
我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。
同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。
4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。
当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。
我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。
5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。
在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。
综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。
通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。
用均值不等式最值的方法和技巧
用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是数学中的一种重要的不等式关系，用于描述一组数据的平均值与其他性质之间的关系。
它可以应用于各种问题，如最值问题、优化问题等。
使用均值不等式来求解最值问题的方法和技巧有以下几个方面。
1.确定使用哪种均值不等式：均值不等式有许多种，如算术均值不等式、几何均值不等式、平方均值不等式等。
不同的均值不等式适用于不同的情况。
在解题时，要根据具体情况选择适合的均值不等式。
通常，当问题中涉及到平方和、乘积、根号等运算时，选择平方均值不等式；当问题中涉及到和、平均数等运算时，选择算术均值不等式；当问题中涉及到几何平均数、平方根等运算时，选择几何均值不等式。
2.清晰确定问题的条件和目标：在解决最值问题时，首先要清晰地确定问题的条件和目标。
条件是指问题中已知的信息，目标是指要求解的最值。
只有明确了条件和目标，才能有针对性地选择适合的均值不等式，并通过变换和推导进行求解。
3.运用不等式性质进行变换：在使用均值不等式进行求解时，可以根据题目中给出的条件进行变换，使得问题更容易求解。
如将含有平方和的表达式进行整理，将含有乘积的表达式进行拆分等。
变换后可利用不等式的性质，如对称性、单调性、对数性质等来推导和求解。
4.找到合适的等号成立条件：根据均值不等式的性质，等号成立的条件通常与数据的性质相关。
找到合适的等号成立条件不仅是验证结果的正确性，还可以通过这些条件求解最值问题。
例如，在求解两个数的平方和的最小值时，可通过设等号成立条件来求解。
5.结合其他方法进行求解：在使用均值不等式解决最值问题时，有时候也需要结合其他方法和技巧进行求解。
例如，可以结合求导、代数方法、几何方法等来解决一些复杂的最值问题。
这样可以提高问题的求解效率和准确性。
综上所述，运用均值不等式求解最值问题需要根据题目的条件和目标选择合适的不等式，进行变换和推导，并找到合适的等号成立条件。
同时，也可以结合其他方法和技巧进行求解。
巧用均值不等式及其条件求最值
巧用均值不等式及其条件求最值(南京师范大学数学与计算机科学学院 张逸洁)均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一，在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能，对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。
本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用，希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。
一、均值不等式1．22,2,a b R ab ab ∈+≥、（当且仅当a=b 时取“=”）。
推论：,a b R a b +∈+≥、，（当且仅当a=b 时取“=”）。
2．变形，对a b R ∈、积向平方和转化：222a b a b +⋅≤。
对a b R ∈、积向和转化：2()2a b a b +⋅≤。
注：这里有“最值定理”： 若,,,x y R x y s xy p +⋅∈+==2()2x y xy +≥⇔≤则x+y 运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这三个条件。
3．333,3a b c Ra b c abc +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）推论：,a b c R a b c +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）4．变形：对3,()3a b c a b c R abc +++∈≤、、 方法小结：在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值；求正数积的最大值时，凑和为定值。
二、巧用均值不等式求解最值问题在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，函数单调性，数形结合等方法分析解答。
本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。
1． 连用例1：已知3222160,a b a b a b ab b-+>>-求的最小值。
解：32222222222161616166416()2a b a b a a a a b a b ab b ab b b a b a -+=+=+≥+=+≥+----（）216.64a b a ⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩2b=a-b 当且仅当即a分析：有时利用均值不等式求最值时只用一次并不能解决问题，通常需要连用来巧求最值。
利用基本不等式求最值的常见方法
利用基本不等式求最值的常见方法基本不等式是数学中常用的一种推断和求解最值的方法之一、基本不等式包括均值不等式、柯西-施瓦茨不等式和几何平均与算术平均不等式等。
这些不等式的推导和使用方法可以帮助我们解决各种数学和实际问题。
下面将介绍一些利用基本不等式求最值的常见方法。
1.均值不等式法：均值不等式是最常用的基本不等式之一、它包括算术平均数与几何平均数的关系、算术平均数与谐波平均数的关系等。
通过运用均值不等式，我们可以将一个问题中的复杂表达式或不等式进行简化，从而方便进行求解或判断最值。
例如，当我们需要求解一组数据的算术平均数时，可以通过均值不等式推导出一个简化的不等式，从而确定平均数的范围。
2.柯西-施瓦茨不等式法：柯西-施瓦茨不等式是一种用于求解内积和范数的不等式。
通过柯西-施瓦茨不等式，我们可以推导出两个向量内积的最值以及两个向量范数的关系等。
在实际问题中，柯西-施瓦茨不等式可以用于求解线性规划问题、最小二乘法问题等。
例如，当我们需要求解两个向量的内积最大值时，可以通过柯西-施瓦茨不等式推导出一个简化的不等式来确定最大值。
3.几何平均与算术平均不等式法：几何平均与算术平均不等式是一种常用的不等式关系。
通过几何平均与算术平均不等式，我们可以推导出一组数的平方和与它们的几何平均的关系，或者一组数的立方和与它们的算术平均的关系等。
在实际问题中，几何平均与算术平均不等式可以用于求解数据的平均值、方差、标准差等。
例如，当我们需要求解一组数据的方差时，可以通过几何平均与算术平均不等式推导出一个简化的不等式，从而确定方差的范围。
4.归纳法：归纳法是一种常用的数学推导方法。
利用归纳法，我们可以通过已知条件和不等式的性质来推导出一组数的最值。
在实际问题中，归纳法可以用于求解复杂的不等式，例如任意n个数的幂和与它们的算术平均的关系等。
例如，当我们需要求解一组数据的幂和与它们的算术平均的关系时，可以通过归纳法证明一个定理，从而确定幂和与平均值的关系。
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值的方法均值不等式是一种重要的数学统计工具，它可以用来求出一组数据的最值。
均值不等式是一种用于求解参数最值的统计工具，它通过约束数据集中参数值来构建最大或最小值，从而获得最优解。
均值不等式最适用于求解连续参数的最值问题。
均值不等式由两部分构成，下面将进行详细讨论。
首先，均值不等式中包含一个数学定义，它是这样定义的：假设有一组数据集，记作：X = {x1, x2,, xn}其中，n表示数据集中数据的个数。
均值不等式的定义为：∑x/n KK为预先设定的参数值，它可以用来确定最值的上限。
其次，均值不等式还包含一些可以应用到数据集中的算法，这些算法可以用来求解最值问题。
例如，当要求解最小值时，可以通过下面的算法来推断出最小值：1.先计算出 X 中各数据项的和，记作 s 。
2.出 K 与 s比值 r=K/s 。
3.X中的每个数据项 xi乘以 r 。
4.乘以 r的数据项求出平均值，记作 m 。
5.较 m 与 xi值，得出最小值。
均值不等式有着广泛的应用，它通常用于求解线性规划问题，最优化函数等最值问题。
均值不等式还可以用于求解投资组合最值等一系列最值问题，具有很强的实用性。
接下来，将着重介绍均值不等式在解决最值问题中的实际应用。
首先，均值不等式可以用于求解数学优化问题。
优化问题中，最常用的是线性规划模型。
性规划模型可以用均值不等式来约束参数范围，从而得到最优解。
举个例子，在最小二乘法中，可以使用均值不等式来计算最小残差。
其次，均值不等式还可以用于解决投资组合的最值问题。
投资组合问题是指由投资者将自己的财富分散投资，通过投资组合来获得最高收益的问题。
在投资组合中，均值不等式可以有效地约束投资者不超出预先设定的范围，从而使投资收益最大化。
最后，均值不等式还可以用于求解最优化函数的最值问题。
最优化函数是指通过最小化或最大化函数值来获得最优解的函数，而均值不等式可以用于函数的求解。
总结，均值不等式是一种有效的数学统计工具，它可以用来求解最值问题。
用均值不等式求最值的方法和技巧
用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式（Mean Inequality）是数学中常用的一种方法和技巧，用于求解包含均值的不等式问题。
它的核心思想是通过求解众多数据的平均值来确定问题的最值范围。
1.均值不等式的基本形式均值不等式分为均值-均值不等式和均值-次方均值不等式两种基本形式。
均值-均值不等式：对于任意给定的两个非负实数a和b，以及两个实数λ和μ满足λ+μ≠0，有：√(λa^2+μb^2)≥，λa+μb，/√(λ+μ)均值-次方均值不等式：对于任意给定的n个非负实数x₁，x₂，…，xₙ，以及实数p≥q>0，有：((x₁^p+x₂^p+…+xₙ^p)/n)^(1/p)≥((x₁^q+x₂^q+…+xₙ^q)/n)^(1/q)2.求解最值的一般步骤步骤1：根据不等式问题的具体情况，确定合适的均值不等式形式，即选择均值-均值不等式还是均值-次方均值不等式。
步骤2：根据题目给出的条件，选取合适的数据进行计算和代入，找到不等式中的系数和指数。
步骤3：应用均值不等式，将不等式转化为计算均值的形式。
步骤4：通过简化计算和代入数值，利用均值不等式得到最终的结果。
3.常见应用场景和例题分析均值不等式常用于求解最值问题，特别是在高中数学中的函数极值和数列极限中经常用到。
例如，求解非负整数a，b，c的最小值问题，已知条件是ab+bc+ca=8，可以利用均值不等式进行求解。
解题思路：设S=a+b+c，则利用均值-均值不等式可得：(S^2 + S^2 + S^2) / 3 ≥ (ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2) / 6代入条件ab+bc+ca=8，化简后可得：S^2≥(8+a^2+b^2+c^2)/4而根据平方平均不等式可得：(a^2+b^2+c^2)/3≥((a+b+c)^2)/9将其代入上式化简，可得：S^2≥20/3同时，由于a，b，c都是非负整数，所以可以得到S=√(a^2+b^2+c^2)的最小整数部分为4因此，a+b+c的最小整数部分为44.注意事项和常见误区在应用均值不等式求解最值问题时，需要注意一些常见的误区和陷阱。
用均值不等式求最值的方法和技巧
用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式是数学中常用的一种求最值的方法和技巧，它通过将数列中各个数的和与它们的平均值相比较，从而得到最值的估计。
本文将详细介绍均值不等式的定义、性质、应用以及解题步骤，以帮助读者更好地理解和运用这一重要的不等式求解问题。
一、均值不等式的定义均值不等式是数学中一类关于平均值的不等式，通常用来对一组具有其中一种关系的数值进行比较。
假设有n个非负实数a1、a2、…、an，则它们的平均值和它们的几何平均值之间存在以下关系：(a1+a2+…+an)/n ≥ √(a1*a2*…*an) 或(a1+a2+…+an)/n ≥(a1+a2+…+an)/n ≥ ∛(a1*a2*…*an)其中，等号当且仅当a1=a2=…=an时成立。
二、均值不等式的性质1.单变量均值不等式：对于任意n个非负实数a1、a2、…、an，有(a1^p+a2^p+…+an^p)/n ≥ [(a1+a2+…+an)/n]^p其中，p为实数且p≥12.双变量均值不等式：对于任意两个非负实数a和b以及实数p≥1，有[(a^p+b^p)/2]^1/p≥[(a^q+b^q)/2]^1/q其中，p≥q且p、q均不等于0。
3.形式化均值不等式：设f(x)是定义在[a,b]上的连续函数，则对于任意无穷个非负实数a1、a2、…，有f(∫(a1→∞)f(x)dx) ≤ ∫(a1→∞)f(x)dx/lna1其中，a1为自然对数的底数。
三、均值不等式的应用均值不等式在数学中有着广泛的应用，特别是在求最值、证明不等式和优化问题中。
以下是几个常见的应用场景：1.证明不等式：通过应用均值不等式，可以证明很多重要的不等式，如柯西不等式、霍尔德不等式和克劳斯不等式等。
2.求极值：通过应用均值不等式，可以求解一些极值问题，如求最大面积、最小周长和最优化问题等。
3.优化设计：在工程和经济学中，均值不等式可以帮助优化设计，如在材料使用、成本控制和资源分配等方面。
对数均值不等式解极值点偏移点问题
对数均值不等式解极值点偏移点问题对数均值不等式（Log-mean Inequality）是一个重要的不等式，它涉及到对数函数和均值的概念。
这个不等式在解决极值点偏移问题中非常有用。
极值点偏移问题通常出现在研究函数的最值问题时，当函数的最值点不在预期的位置（如对称轴或中心）时，就需要考虑极值点的偏移。
对数均值不等式可以帮助我们理解和解决这个问题。
对数均值不等式的一般形式为：对于所有正数a和b，有L(a, b) ≤ G(a, b) ≤ A(a, b) ≤ H(a, b)其中，L(a, b) 是对数均值，定义为L(a, b) = (a - b) / (ln a - lnb)G(a, b) 是几何均值，定义为G(a, b) = √(ab)A(a, b) 是算术均值，定义为A(a, b) = (a + b) / 2H(a, b) 是调和均值，定义为H(a, b) = 2 / (1/a + 1/b)这个不等式告诉我们，对于任意两个正数a和b，它们的对数均值总是小于或等于它们的几何均值，几何均值又小于或等于算术均值，算术均值又小于或等于调和均值。
在解决极值点偏移问题时，我们可以利用对数均值不等式来分析函数的性质。
例如，如果我们知道一个函数在某个区间上的对数均值、几何均值、算术均值或调和均值的性质，我们就可以利用这些性质来推断函数在该区间上的最值点的位置。
具体的解决方法可能因问题的不同而有所差异，但一般来说，我们需要先确定函数的表达式和定义域，然后计算不同均值，并利用对数均值不等式来分析函数的单调性和最值点的位置。
总之，对数均值不等式是解决极值点偏移问题的重要工具之一。
通过利用这个不等式，我们可以更好地理解函数的性质，并找到最值点的准确位置。
均值不等式求最值的方法
均值不等式求最值的方法均值不等式是数学中常用的一种方法，用于求解最值问题。
它基于一组数的算术平均数和几何平均数之间的关系，通过比较大小来确定最大值或最小值。
接下来，我将详细介绍均值不等式及其应用方法，并给出几个实际问题的解析。
一、均值不等式的基本形式在介绍具体的应用方法之前，我们首先来看一下均值不等式的基本形式。
对于一组非负实数a1, a2, …, an，均值不等式可以表示为：1.算术平均数（AM）和几何平均数（GM）之间的关系：AM≥GM其中，AM = (a1 + a2 + … + an)/n，GM = (a1 * a2 * … *an)^(1/n)。
2.算术平均数（AM）和谐均值（HM）之间的关系：AM≥HM其中，HM = n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an)。
二、均值不等式的应用方法1.求最小值：如果我们需要求解一组非负实数的最小值，可以利用均值不等式中的几何平均数和谐均值。
根据AM≥GM和AM≥HM的关系，我们可以得到以下不等式：GM≤AM≤HM即，几何平均数不大于算术平均数不大于谐均值。
因此，当我们需要求解最小值时，可以通过计算几何平均数和谐均值，然后将这两个值与给定的实数进行比较，取其中较小的值作为最小值。
2.求最大值：类似地，如果我们需要求解一组非负实数的最大值，可以利用均值不等式中的几何平均数和算术平均数。
根据AM≥GM的关系，我们可以得到以下不等式：AM≥GM即，算术平均数不小于几何平均数。
因此，当我们需要求解最大值时，可以通过计算几何平均数和算术平均数，然后将这两个值与给定的实数进行比较，取其中较大的值作为最大值。
三、均值不等式的实际应用以下是几个实际问题，利用均值不等式进行求解的示例。
问题一：求证面积最大假设有一个固定的周长为2l的矩形，我们需要求解矩形的面积最大值。
解析：设矩形的长和宽分别为a和b，根据题意，有2(a+b)=2l，即a+b=l。
我们需要求解面积S=a*b的最大值。
利用均值不等式求解物理极值问题
利用均值不等式求解物理极值问题能够准确应用数学知识解决物理问题是物理考纲中对学生的五大能力要求之一，而这一能力的要求从没有降低过。
目前新课程的新课标依然如此。
应用数学基础知识解决物理问题的范围比较广泛，比如三角函数知识、二次函数知识、二次不等式知识、数学归纳法知识、数列知识、极限思想、几何知识等等。
下面我们就来看几例利用均值不等式求解物理极值的问题。
均值不等式：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立。
一般地，从均值不等式可以得到以下结论：对若干个正数，如果它们的和是定值，则当且仅当这若干个正数相等时，它们的积取得最大值。
例1某点电荷Q分成q和（Q-q）两部分，将两部分分开一定距离，则它们之间的库仑力为最大值的条件是（）库仑力F才有最大值，所以选A。
当然，解答此题的思路并不复杂，关键看学生有没有这种思维意识，否则就可能无从下手。
再如在天体运动中有这样一题：设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上。
假定经过长时间的开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍按开采前的轨道运行，则与开采前相比（）A.地球与月球间的万有引力将变大B.地球与月球间的万有引力将变小C.月球绕地球做圆周运动的周期将变长D.月球绕地球做圆周运动的周期将变短长时间地搬运，导致M、m的差值变大，即M、m的乘积变小，选B。
例2（2008年衡水调研）如图所示，摩托车做腾空特技表演，以初速度v0冲上高为h、顶部水平的高台，然后从高台水平飞出，若摩托车始终以额定功率P行使，经时间t从坡底到达坡顶，人和车的总质量为m，且各种阻力的影响可忽略不计，求:当h为多少时，人和车飞出的水平距离最远？例3（2008年重庆模拟）如图所示，长为L的轻质杆两端有质量均为m的两个相同的小球A和B，A靠在竖直墙上，B与地接触，两处均不计摩擦，开始时杆与水平面成60°角，放手后A下滑、B右滑，问：当杆与水平面角θ为多大时A 刚好脱离墙，此时VB多大？解析：A下滑、B右滑的过程，系机械能守恒，由守恒定律得：将VA，VB均向杆的方向投影，满足条件应有：VAsinθ=VBcosθ由上两式联立可得：令a=2sin60°-2sinθ；b=2sinθ；c=sinθ则a+b+c=2sin60°=常数，由均值不等式可知，当a=b=c时，abc有最大值，所以VB最大时A刚好脱离竖直墙壁。
均值不等式及其在数学证明中的应用
均值不等式及其在数学证明中的应用均值不等式是数学中一种重要的不等式关系，它在不同领域的数学证明中发挥着重要的作用。
本文将介绍均值不等式的概念和常见形式，并探讨其在数学证明中的应用。
一、均值不等式的概念和常见形式均值不等式是指对于一组数的平均值，其大小关系与这组数的取值有关。
常见的均值不等式有算术平均值不小于几何平均值、几何平均值不小于调和平均值等。
以算术平均值不小于几何平均值为例，对于正实数$a_1,a_2,\dots,a_n$，它们的算术平均值和几何平均值分别为$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}$和$(a_1a_2\dotsa_n)^{\frac{1}{n}}$，则有不等式关系：$$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\geq(a_1a_2\dots a_n)^{\frac{1}{n}}$$二、均值不等式在数学证明中的应用1. 不等式证明均值不等式在不等式证明中经常被使用。
通过运用均值不等式，可以将一个复杂的不等式问题转化为一个简单的均值不等式问题，从而简化证明过程。
例如，对于正实数$a,b$，要证明$a^2+b^2\geq2ab$，可以通过应用均值不等式来证明。
首先，我们将$a^2$和$b^2$分别表示为$a^2=b\cdot a$和$b^2=a\cdot b$，然后应用几何平均值不小于算术平均值的均值不等式，得到：$$\sqrt{a^2\cdot b^2}\geq\frac{a+b}{2}$$进一步化简得到$a^2+b^2\geq2ab$，即所要证明的不等式。
2. 极值问题均值不等式在极值问题中也有广泛的应用。
通过运用均值不等式，可以确定一个函数的最大值或最小值。
例如，对于正实数$a,b$，要求函数$f(x)=ax^2+bx$的最小值。
我们可以通过应用均值不等式来解决这个问题。
首先，我们将$f(x)$表示为$f(x)=ax^2+bx=ax^2+\frac{b}{2}x+\frac{b}{2}x$，然后应用算术平均值不小于几何平均值的均值不等式，得到：$$\frac{ax^2+\frac{b}{2}x+\frac{b}{2}x}{3}\geq\sqrt[3]{a\left(\frac{b}{2}\right)^ 2x^3}$$进一步化简得到$f(x)\geq3\sqrt[3]{\frac{ab^2}{4}}$，即函数$f(x)$的最小值为$3\sqrt[3]{\frac{ab^2}{4}}$。
妙用均值不等式求多元函数的最值
妙用均值不等式求多元函数的最值
均值不等式是数学家们发现的一种更加神奇的等式，它是非常重要的数学课题，它可以用来求解多元函数的最值。
均值不等式可以表述为一个总和不大于等于一个乘积的等式，即，有f(x1,x2,...,xn)，的n个变量，满足下面的等式：
f(x1,x2,...xn) ≤ f(x1,y1) + f(x2,y2)...+ f(xn,yn)
其中，其中y1,y2,...,yn分别是x1,x2,...,xn的函数值。
当把f(x1,y1)+…+f(xn,yn)扩大到一个大小为n的数组时，可以用均值不等式求多元函数的最值。
一般地，当多元函数满足一定的条件时，可以用均值不等式求解多元函数的最小值。
一般地，均值不等式是研究多元函数最值这一组问题时很有用的。
它可以用来求解最小值或最大值，取决于具体函数。
例如，要在给定范围内求多元函数的最大值，可以考虑其中2个变量，x1与x2。
令y1=f(x1),y2=f(x2),用均值不等式来求解：
f(x1,x2)≤f(x1,y1) +f(x2,y2)，取两边的最大值并求出 f(x1,x2) 的最大值。
总之，均值不等式是一种比较神奇的不等式，它可以被用来求解多元函数的最小值或最大值，这在数学分析考试中非常有用。
它可以帮助考生们高效地求解出多元函数的最优解，简化复杂的数学题目，有助于同学们取得理想的得分。
均值不等式在求最值中的运用均值不等式在求最值中的运用
解题探索 均值不等式在求最值中的运用陈 锋（江苏省常熟梅李高级中学，２１５５００） 不等式主要研究数的不等关系，是进一步学习数学的基础，是掌握现代科学技术的重要工具．均值不等式是不等式内容的重要组成部分，世界上很多国家对均值不等式的教学都有其具体要求，在其《课程标准》里都对这部分内容的教学做了明确的规定．其内容在中学数学课程中也占有十分重要的地位，利用均值不等式求最值问题也是高中数学中的重点问题，在近几年各地的高考试卷中频频出现．而学生在利用此知识点求最值的时候也会存在各种误区或者缺少灵活性，笔者结合多年的高中教学跟大家一起探讨利用均值不等式求最值问题．１ 均值不等式的内容及成立条件内容：已知两个正数ａ，ｂ，则这两个正数的算术平均数不小于这两个数的几何平均数（即若ａ＞０，ｂ＞０，则ａ＋ｂ２≥槡ａｂ，当且仅当ａ＝ｂ时取等号）．用均值不等式求最值要同时满足条件：一正、二定、三相等，三者缺一不可．从均值不等式中我们可以看出它主要解决两个最值问题．（１）若ａｂ＝ｓ（ｓ为常数），则ａ＋ｂ≥２槡ｓ，即两个正数的乘积为定值，则这两个数的和有最小值．（２）若ａ＋ｂ＝ｐ（ｐ为常数），则ａｂ≤ｐ２４，即两个正数的和为定值，乘积有最大值．在实际应用中，有的同学会被它的表面形式所迷惑，错误百出．２ 利用均值不等式求最值的常见误区２．１ 对均值不等式求最值成立的三个条件认识不够例１ 求下列函数的值域：（１）ｙ＝ｘ＋１ｘ（ｘ）≠０；（２）ｙ＝ｓｉｎｘ＋２ｓｉｎｘ（０＜ｘ＜π）．对于（１）初学者会认为值域是［２，＋∞），主要原因是没有考虑到“一正”这个条件，所以当ｘ＜０时，ｙ＝－（－ｘ）＋－１()[]ｘ≤－２（－ｘ）·－１()槡ｘ＝－２（当且仅当ｘ＝－１时取等号），所以值域为（－∞，－２］∪［２，＋∞）．对于（２）常见错误答案是［槡２２，＋∞），主要原因是没有考虑到“三相等”，事实上如果利用均值不等式求最值等号取不到（ｓｉｎｘ槡＝２不成立），所以利用均值不等式求最值的时候这三个条件缺一不可．２．２ 盲目地利用均值不等式，不注意不等号的方向例２ ａ＞０，ｂ＞０，ａ２＋ｂ２＝１，求ａ＋ｂ的最大值．错解：∵ａ２＋ｂ２≥２ａｂ，∴ａｂ≤１２．∴槡ａｂ≤槡２２．∴ａ＋ｂ≥２槡ａｂ≤槡２．∴ａ＋ｂ≤槡２．显然不等号的方向不一致，虽然最终结果是对的，但是过程明显不符合逻辑．事实上很多学生在处理类似问题的时候，错误百出，有时候就会出现这种过程错结果对的现象，导致一些老师忽略，同学不以为然的状态．所以很多学生虽然能够基本掌握其表面内容及形式，但是对于它的实质和应用还掌握得不够．３ 常见的求最值方法多数求最值的问题具有隐蔽性，需要进行适当地变形才能用均值不等式求解．主要解题目标就是配凑出和或积为定值．掌握一些常见的变形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值．３．１ 凑系数例３ 当０＜ｘ＜４时，求ｙ＝ｘ（８－２ｘ）的最大值．利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，本题是积的形式，但其和不是定值．注意到２ｘ＋（８－２ｘ）为定值，故需将“ｘ”项凑上一个系数即可．解：０＜ｘ＜４，知８－２ｘ＞０．ｙ＝ｘ（８－２ｘ）＝１２［２ｘ·（８－２ｘ）］·６７·≤１２２ｘ＋８－２ｘ()２２＝８，当且仅当２ｘ＝８－２ｘ，ｘ＝２时取等号，其最大值是８．点评：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值．３．２ 凑项例４ 求ｙ＝ｘ＋１ｘ－２（ｘ＜２）的最大值．分析：由题意知ｘ－２＜０，首先要调整符号，而ｘ·１ｘ－２不是定值，需对ｘ进行凑项才能得到定值，然后用均值不等式．解：∵ｘ＜２，∴ｘ－２＜０．即２－ｘ＞０．ｙ＝ｘ＋１ｘ－２＝－２－ｘ＋１２－()ｘ＋２≤－２（２－ｘ）·１２－槡ｘ＋２＝０．当且仅当２－ｘ＝１２－ｘ，即ｘ＝１时等号成立．∴函数ｙ＝ｘ－２＋１ｘ－２（ｘ＜２）有最大值０．３．３ 分离常数例５ 经过长期观测可知，在交通繁忙的时段内，某路段汽车的车流量ｙ（千辆／小时）与汽车的平均速度ｖ（千米／小时）之间的函数关系式为ｙ＝９２０ｖｖ２＋３ｖ＋１６００（ｖ＞０）．在该时段内，当汽车的平均速率ｖ为多大时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到０．１千辆／小时）分析：只要把分子上的变量分离出来，转化到分母上就可以用均值不等式求解．解：依题意得：ｙ＝９２０ｖｖ２＋３ｖ＋１６００＝９２０３＋ｖ＋１６００()ｖ≤９２０３＋２ｖ·１６００槡ｖ＝９２０８３．当且仅当ｖ＝１６００ｖ，即ｖ＝４０时，上式等号成立．∴当ｖ＝４０时，ｙｍａｘ＝９２０８３≈１１．１（千辆／小时）．拓展：已知关于ｘ的一元二次不等式ａｘ２＋２ｘ＋ｂ＞０的解集为ｘｘ≠－１{}ａ，则ａ２＋ｂ２＋７ａ－ｂ（其中ａ＞ｂ）的最小值为 ．３．４ 统一例６ 已知正数ｘ，ｙ满足ｘ２＋ｙ２２＝１，求ｘ１＋ｙ槡２的最大值．分析：把所求式的变量ｘ都移到根号里，同时凑系数满足已知条件使和为常数，用均值不等式求积的最大值．解：∵ｘ２＋ｙ２２＝１，∴２ｘ２＋ｙ２＝２．∴ｘ１＋ｙ槡２＝１槡２（２ｘ２）·（１＋ｙ２槡）≤１槡２２ｘ２＋１＋ｙ２()２＝槡３２４．当且仅当２ｘ２＝１＋ｙ２且ｘ２＋ｙ２２＝１时等号成立．又因ｘ，ｙ为正值，可解得ｘ＝槡３２，ｙ＝槡２２时等号成立．故ｘ１＋ｙ槡２有最大值为槡３２４．３．５ 代换例７ 已知正数ｘ，ｙ满足８ｘ＋１ｙ＝１，求ｘ＋２ｙ的最小值．分析：将ｘ＋２ｙ看作（ｘ＋２ｙ）×１，１用已知条件整体代换，可用均值不等式求解．解：ｘ＋２ｙ＝８ｘ＋１()ｙ（ｘ＋２ｙ）＝１０＋ｘｙ＋１６ｙｘ≥１０＋２ｘｙ·１６ｙ槡ｘ＝１８．由题意知，当且仅当８ｙ＝１６ｙｘ且８ｘ＋１ｙ＝１时等号成立．又因ｘ，ｙ为正数，解得ｘ＝１２，ｙ＝３．故ｘ＋２ｙ最小值是１８．３．６ 构造拓展１：已知ｘ∈０，()１２，求２ｘ＋９１－２ｘ的最小值．分析：注意到所求式子的分母满足２ｘ＋（１－２ｘ）＝１，将其整体代入所求式子，即可用均值不等式求解．（下转第８１页）·７７·息，忽视了学生解决问题时的大脑加工过程．这就造成学生遇到创新题即以新颖材料为背景的应用题时，不能做到将所学知识内化和迁移．２．４ 课堂教学容量过大，不考虑学生实际情况不少教师将高三复习课应用题教学上成了方法归纳，分类复习的模式，往往一堂课同时复习几类题型，这样固化的教学模式使得学生在课堂上机械被动地接受大容量的实际应用中的数学模型，这种贪多求快的做法实际上就是只重视了教师的“教”，而忽视了学生的“学”，势必会带来事倍功半的后果．３ 对策的探讨３．１ 教学中尝试开展读题、说题训练高三的复习课要舍得花时间给学生开展读题和说题训练，提升学生的审题能力，对知识的迁移能力，培养学生的逻辑性思维、发散性思维、综合性思维．说题训练可以培养学生提取有效信息，分析好条件和结论的关系，反思解题过程中的数学思想和方法．这个过程应该是贯穿始终的，需要教师不断探索和总结，找到适合学生实际的方法．注重加强培养学生对文字语言、数学符号语言以及图形语言的理解和转化能力．３．２ 精选例题，以问题为驱动，引导学生积极探究应用题在建模的过程中需要教师精心设计问题以此来激励学生的探究意识．帮助学生建构知识，让学生亲历发现和建构的过程，从学生的实际出发，提出科学合理的问题，引导他们及时发现问题，提出新问题，并适时进行拓展和引申．设计科学有效的课件，适当地做一些让学生可以动手操作的课件，便于师生相互交流，充分利用多媒体交互教学模式，使学生很好地参与探究，学生间相互合作，积极反馈．３．３ 重视培养学生应用题的计算能力应用题解题的关键除了建模，还有就是要合理准确地计算，历年高考的应用题十分注重考查学生对数据的处理能力，往往实际问题中的运算有不少细节会被学生忽视，导致好不容易建立的模型最终没有算对而失分，这就要求教师在处理运算这一环节时重视解答过程中的细微之处，恰当的精雕细琢对提高计算准确率是有帮助的．３．４ 对教材精深耕读，吃透教材，挖掘精华，关注细微 高三教师要彻底研读考试说明和课程标准，教学理念准确，教学设计合理有效．把握教材中的每个细节，充分利用好教材中出现的材料，习题，让学生掌握分析问题的条件与结论，学会探讨解决问题的途径与方法，并会对其进行变式与推广引申，使课堂教学深刻、实效．随着新课改的不断深入，教师要能静下心来细致研究、探究教法，关注细微，充分研究知识的内涵与外延，做到有的放矢．发现和启发学生的思维生成，优化课堂复习模式，使学生真正在知识上得到积累的同时，思维还得到了训练，能力得到了提升．高质量地做好应用题复习工作不仅是高三二轮复习的重要任务，也是打好高考攻坚战的重要环节，更是对学生学科综合能力的培养过程．参考文献：［１］于川，朱小岩，邬楠，等．高中生数学学科核心素养水平调查及分析［Ｊ］．数学教育学报，２０１８，２７（２）：檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸５９－６４．（上接第７７页） 解：∵ｘ∈０，()１２，∴１－２ｘ＞０．∵２ｘ＋（１－２ｘ）＝１，∴２ｘ＋９１－２ｘ＝４２ｘ＋９１－２()ｘ［２ｘ＋（１－２ｘ）］＝１３＋２（１－２ｘ）ｘ＋１８ｘ１－２ｘ≥１３＋２２（１－２ｘ）ｘ·１８ｘ１－２槡ｘ＝２５．当且仅当２（１－２ｘ）ｘ＝１８ｘ１－２ｘ，即ｘ＝１５（ｘ＝－１舍去）时等号成立．故２ｘ＋９１－２ｘ的最小值为２５．拓展２：已知ａ＞０，ｂ＞０，且１２ａ＋ｂ＋１ｂ＋１＝１，则ａ＋２ｂ的最小值为 ．拓展３：已知ｘ，ｙ为正实数，则４ｘ４ｘ＋ｙ＋ｙｘ＋ｙ的最大值为 ．拓展２，３其实是同一题，只是条件的呈现形式不同而已．如果掌握了本例题的实质，这类问题也会迎刃而解．数学离不开解题，而解题教学也是数学教育的一部分，我们在教学过程中不仅要善于对一招一式归类，还要善于引导学生如何见招拆招，即在具体操作和解题策略上架设沟通和装换的桥梁．参考文献：［１］何忆捷，熊斌．中学数学中构造法解题的思维模式及教育价值［Ｊ］．数学教育学报，２０１８，２７（２）：５０－５３．·１８·。
均值不等式在求最值中的运用
均值不等式在求最值中的运用
关于均值不等式在求最值中的运用，首先应该了解它是对一个变量约束范围内
的最大最小值的确定方法。
它利用最值性质来断定一个未知点的值，即一个变量既有最大值又有最小值。
下面我们就来看一看均值不等式在求最值过程中具体是如何运用的。
首先，要求解变量的最值，需要先把变量有限之内的约束条件都明确出来，这些约束条件可以包含于均值不等式中。
当已经得出变量的约束条件时，我们可以将其放入到均值不等式中，得出均值不等式的表达式的两端的数值之差，称为“差值”。
然后，我们便可以判断出变量的最值，差值越大，则变量的最值越大，反之，则变量的最值越小，从而有效解决变量最值问题。
总之，均值不等式在求最值中的运用是一种有效的方法，其目的是为了找出一
个变量的最值，从而实现该变量的有效解决。
均值不等式可以根据变量的约束条件，求出变量的最值，使得变量的最值处于最佳状态，从而达到其求最值的目的。
利用均值不等式求最值的技巧
利用均值不等式求最值的技巧
利用均值不等式求最值的技巧是一种常用的数学技巧，它可以帮助我们在解决数学问题时给出一个最优解。
均值不等式是一个基本的数学定理，它表明任何一个序列的平均值大于或等于它的最小值。
因此，可以利用这个定理来求解最大值或最小值。
首先，要使用均值不等式求最值，我们需要确定问题中的变量。
通常情况下，均值不等式求最大值或最小值时，有两个变量：最大值x和最小值y。
确定变量之后，我们需要根据题目给出的信息确定均值不等式的右侧。
对于求最大值的情况，右侧的值将是最小值y；而求最小值的情况下，右侧的值将是最大值x。
接下来，需要计算左侧的值，也就是均值。
计算均值的方法是：将所有数字相加，然后除以总数。
有时，问题中会给出一些数字，我们也可以将它们相加再除以总数算出均值。
有时，问题中会给出一些表达式，我们可以将它们计算出来，再把结果相加得出均值。
接下来，我们可以将左右两边的值代入均值不等式，解出最大值x或最小值y。
如果题目中有多个变量，我们可以分别解出每个变量，然后将它们带入原来的数学表达式，求出最终的最大值和最小值。
最后，要注意的是，均值不等式只能求出最大值或最小值，而不能求出其他值。
因此，在使用均值不等式求最值的时候，要确保问题中的变量正确，并且计算出来的均值也是正确的。
总之，利用均值不等式求最值的技巧是一种有效的数学技巧，能够帮助我们解决许多有关最大值和最小值的问题，提高我们解决问题的效率。
不等式证明与最值问题
不等式证明与最值问题（一）均值不等式的运用(1)均值不等式的运用：a² + b²≥ 2ab；当a＞0，b＞0时，a+b ≥2√ab附：完全的均值不等式：√[(a²+ b²)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆项补项；可以先假设成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代换。
（1）注意“1”的代换：已知x＞0，y＞0，满足4/x+16/y=1。
求x+y的最小值解：x+y=(x+y)( 4/x+16/y)=20+4y/x+16x/y≥20+2√[(4y/x)·(16x/y)]=36注意：千万不可：1=4/x+16/y≥16/√(xy)，√(xy)≥16,故：x+y≥2√(xy)＝32 归纳：x,y a,b都是正数且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值。
解：因为(a/x)+(b/y)=1故：x+y=(x+y)[ (a/x)+(b/y)]=a+b+xb/y+ya/x≥a+b+2√(xb/y·ya/x)=a+b+2√(ab)练习：1、已知x,y＞0,1/x+2/y=1，求x+y的最小值。
（答案：3＋2√2）2、已知x，y＞0，1/x+9/y=1，求x+y的最小值。
（答案：16）（2）1、已知a＞0，b＞0，求证：(1/a+1/b) (1/a²+1/b²)(a³+b³)≥8解：(1/a+1/b) (1/a²+1/b²)(a³+b³)≥2√[1/(ab)]·2√[1/(a²b²)]·2√(a³b³)=82、已知a+b+c=1,a,b,c为不全相等的实数，求证：a²+b²+c²＞1/3解：a²+b²≥2ab, a²+ c²≥2ac, b²+c²≥2bc因为a,b,c为不全相等的实数，故：上面三式不能同时取等号。
利用平均值不等式法求解一元函数极值列子
利用平均值不等式法求解一元函数极值列子本文将介绍如何利用平均值不等式法求解一元函数的极值问题，通过一个具体的例子来说明该方法的应用。
假设我们要求解函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$在定义域$[-1,3]$上的最大值和最小值。
首先，我们可以求出函数的导数$f'(x) = 3x^2 - 6x$，然后令其等于零，得到$f'(x) = 0$时的$x$值为$x = 0$和$x = 2$，这两个点是函数可能的极值点。
接下来，我们需要判断这两个极值点是否为极小值或者极大值。
这时，我们可以利用平均值不等式法来解决这个问题。
平均值不等式法的基本思想是，对于任意两个实数$a$和$b$，有$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$。
即两个数的平均值不小于它们的乘积的算术平方根。
对于函数$f(x)$在定义域$[-1,3]$上的任意两个不同的点$x_1$和$x_2$，我们可以利用平均值不等式法得到：$$frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} geq f(frac{x_1 + x_2}{2})$$ 即函数$f(x)$在定义域$[-1,3]$上任意两个点的平均值不小于它们的中点处的函数值。
特别地，当$x_1$和$x_2$分别等于0和2时，我们有：$$frac{f(0) + f(2)}{2} geq f(1)$$即：$$frac{5 + 1}{2} geq f(1)$$因此，$f(1) leq 3$，即函数$f(x)$在$x = 1$处可能取得最大值。
同理，当$x_1$和$x_2$分别等于-1和3时，我们有：$$frac{f(-1) + f(3)}{2} geq f(1)$$即：$$frac{1 + 5}{2} geq f(1)$$因此，$f(1) geq 3$，即函数$f(x)$在$x = 1$处可能取得最小值。
综上所述，函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$在定义域$[-1,3]$上的最大值为3，最小值为2。
待定系数法结合均值不等式解决多元条件极值问题
待定系数法结合均值不等式解决多元条件极值问题北京大学附属中学(100190)单治超均值不等式是高中数学的重要内容，其内容容易理解,但是具体运用时则灵活多变.国家课标对均值不等式的要求难度并不高.但是2020年的北大和复旦强基计划数学试题都考查了利用待定系数法结合均值不等式解决给定条件下多元函数的最值问题.我们又注意到前两年的清华领军计划也都考查了类似的题目.这类题目的频繁岀现，使得准备强基计划的同学必须引起高度重视.为此，我们撰写本文对这种方法进行一点梳理.我们用到的工具很简单:定理1(具有待定系数的二元均值不等式)对任意C>0,x>0,y>0,2=xy4Cx+C.,当且仅当y—C2x时取等号.证明显然.例1(2020年北大强基计划第9题)求使得5x+ 12=两4a(x+y)对所有正实数x,y都成立的实数的最小值a.解易见这个最小值就是二元函数f(x,y)—5x十12何在条件x>0,y>0下的最大值.对任意x+yC>0,5x+12=xy45x+6(Cx+寻)—(5+6C)x+*为了让不等式的右端除以x+y是个定值，我们令625+6C—咲,即C—2,此时我们得到f(x,y)49.很容易验证等号可以取到.所以f(x,y)—阮十12何在条x+y件x>0,y>0下的最大值是9.因此a的最小值是9.从这个例题我们领会到，利用待定系数的均值不等式,关键点在于令待定的系数能够使得两个式子的比例为定值.我们再做一道例题巩固对这种方法的理解.例2(2020年复旦强基计划第2题)已知实数x,y满足x2+2xy-1—0,求x2+y2的最小值.解对任意C>0,y2y2 1—+2xy4+Cx?+务—(1+C)x?+C,为了令不等式的右端与x2+y2的比例为定值，我们令1+C—C,即C—£一丄.于是x2+y22茫二丄.容易验证等号可以取到，所以x2+y2的最小值是茫二.前面两个例子都是2020年强基计划的试题.事实上，这种方法在以往的清华领军计划试题中已经有所考查.例3(2018年清华领军计划第10题)设a,b,c为正数,且a2+b2+c2—1,求a(a+b+c)的最大值.分析这道例题相对前两道例题的难度在于岀现了三个变量,但是容易发现b,c两个变量的地位是相同的，因此我们在利用均值不等式对只涉及b,c的解析式进行放缩时，不需要利用待定系数的均值不等式.解对任意k>0,a(a+b+c)—a2+a(b+c)ka2十©十空4a2+--------严—(当且仅当ka—b+c时取等号) k14(1+2)a2+1(b2+c2)(当且仅当b—c时取等号).为了令不等式的右端与a2+b2+c2的比例为定值，我k1们令1+k——,即k—亞-1.于是2ka2+b2+c24凶尸.容易验证等号可以取，所以a(a+b+c)的最大值是凶尸.2019年清华领军计划还岀过一道更难的题，需要利用待定系数的三元均值不等式.定理2(具有待定系数的三元均值不等式)对任意k>0,l>0,x>0,y>0,z>0,3klxyz4kx+ly+z3当且仅当kx—ly—z时取等号.证明显然.例4(2019年清华领军计划第23题)已知ab(a+8b)—20,求a+3b的最小值.解对任意正实数k,l,=20^—^ka•lb•(a+8b)4(k十1)a J(l十8)b,为了令不等式的右边与a+3b的比例是定值，我们需要令l+8—3(k+1)(1)注意到满足这个等式的正有序实数对(k,l)具有无数个,但是仅满足这个等式的(k,l)不足以让我们达到目的，因为此时我们必须考虑不等式取等号的条件ka—lb—a+8b能否实现.容易发现,这个条件能够实现当且仅当k=1+苧(2)联立方程组(1)(2),它的正实数对解只有一个：k=5,l=10.于是可求得a+3b的最小值是5.我们运用例4的方法，可以对例4的结论一般化：a,定理3设p,q是给定的正常数,在已知ab(a+pb)=1, b>0的条件下，a十*的最小值是洱，其中k o p十V p2-pq+q2q,l o=q十p2—pq+q2.证明对任意正实数k,l,7kl=&ka・lb・(a+pb)<(k+1)a十"十p)b,为了令不等式的右边与a+qb的比例是定值，我们需要令l+p=q(k+1)(1)不等式取等号的条件是ka=lb=a+pb.这个条件能够实现当且仅当k=1+牛(2)联立方程组(1)(2),它的正实数对解只有一个：k o=p ZP2-pq十£,l o=q+J p2-pq+q2.因此我们就得q到了想要的结论.。
均值不等式的应用
（二）均值不等式在应用过程中的注意事项
在使用均值不等式的过程中，教师应当指导学生注意各类事项，运用合理的分析方式，及时发现不等式知识应用中存在的问题，并采取有效措施加以解决，满足当前的教学工作需求。具体注意事项包括以下几点。
第一，对于不同的均值不等式而言，存在不同实数取值范围的要求，应当明确实际情况。例如：在对问题进行分析时，如果二次根号下面存在实数，就必须保证实数大于或是等于零，保证可以满足不等式知识的应用要求。
均值不等式的应用作者：陈继来源《教育界·上旬》2017年第12期
【摘要】均值不等式的应用较为广泛，在很多领域都能发挥积极作用。如何正确应用均值不等式是广大数学教师研究的重要课题。文章主要介绍了关于均值不等式在初等数学、高等数学以及实际生活中的应用，以期为相关人士提供参考。
【关键词】均值不等式；初等数学；高等数学应用
三、均值不等式在高等数学中的应用
（一）均值不等式在极值问题中的应用
在高等数学教学的过程中，教师应当合理使用极值相关问题开展教学活动，制定完善的教育方案，及时发现其中存在的问题，采取有效措施应对问题，保证教学工作的可靠性与有效性。
例如教师提出问题“求极限”，在求解的过程中，可以将n元均值不等式作为主要的解题内容，通过合理的方式对其进行处理，保证能够更好地对问题进行解决，提升教学效果。在解题过程中，可以要求学生建立均值不等式的相关方程，更好地学习不等式解题中的知识，明确解题要求，全面掌握相关知识内容。
通常情况下，在建立函数极值问题解决方案的过程中，教师要指导学生科学应用函数解析式的方式学习相关知识，然后判断问题是否可以运用均值不等式方式解决，如果可以，就要对其进行全面的处理。在此期间，教师可以指导学生利用微积分的方式，对极值问题进行全面的分析，明确其可行性与有效性。同时，教师在指导学生求解极值问题时，对特殊类型均值不等式内容进行研究，及时发现其中存在的不相像等问题，采取有效措施对其进行解决。运用均值不等式知识解决极值问题，具有间接性与便利性的优势，能够提升解题效果。因此，在未来发展的过程中，教师要指导学生全面了解均值不等式的基础知识，创造良好的教学环境，使得学生在先进教学方式的支持下，更好地解决相关问题，提高现代化教学工作效果。
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均值不等式在最值与极值问题中的应用
函数的最值与极值问题是数学研究中的重要问题，在数学研究中处于重要地位，这一节主要介绍用均值不等式来求函数的最值与极值．
1.在最值中的应用
例1 若502
x <<，求2(52)y x x =-的最大值． 解 把2(52)x x -变成三正数之积，且三数之和为常数，因为
2(52)y x x =-214(52)4
x x =⋅-， 且502
x <<
，40x >，520x ->，所以
214(52)4y x x =⋅-314=314(52)(52)250[]4327
x x x +-+-≤=， 即2(52)y x x =-25027≤，当且仅当452x x =-，即56
x =时，y 有最大值，最大值为25027． 例2 已知,,,x y a b 均为正数，且1a b x y
+=，求x y +的最小值． 解 因为1a b x y +=，所以设2sin a x
θ=，2cos b y θ=，则 22sin cos a b x y θθ+=+2222()(sin cos )sin cos a b θθθθ=++
2222cos sin sin cos a b a b a b θθθθ--=+++≥++
当且仅当2222cos sin sin cos a b θθθθ
=时，x y +有最小值，最小值为a b ++． 例3 求函数2sin cos y x x =，(0,)2
x π∈的最大值． 解 因为(0,)2
x π∈，所以cos 0,sin 0,0x x y >>>，将2sin cos y x x =两边平方，得
224
sin cos y x x =2222sin cos cos 2x x x = 222312sin cos cos ()23x x x ++≤427
=，
当且仅当222sin cos x x =时，y
有最大值，最大值为
9． 2.极值问题
均值不等式是求函数极值的另一种有效方法． 例4 求函数()(1)(3)(7)f x x x x =---在区间)7,1(内的极大值与极小值． 解 当13x <<时，引入正参数k ，将()f x 变为
1()[(1)(1)](3)(7)(1)
f x x k k kx k x k k =+-+-+-++． 令(1)(1)37x k k kx k x +-+=-+=-+，得8237
1k x k k x k +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪-⎩，所以82k k ++371k k -=-，即2430k k --=
，解得正根2k =．
由均值不等式，得
1()[(1)(1)](3)(7)(1)
f x x k k kx k x k k =+-+-+-++ 31(1)(1)37[](1)3x k k kx k x k k +-+-+-+≤
+=，
即当82k x k +==+时，()f x
当37x <<时，引入正参数n ，将()f x 变形为
1()(1)(3)[(1)7(1)](1)
f x x nx n n x n n n =----++++． 令13(1)7(1)x nx n n x n -=-=-+++，得782311n x n n x n +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪-⎩，所以783121n n n n +-=+-，即22230n n --=
，解得正根1(12
n =+． 当37x <<时，由均值不等式得
1()(1)(3)[(1)7(1)](1)
f x x nx n n x n n n =----++++ 3113(1)7(1)[](1)3
x nx n n x n n n -+--+++≥-+
31(46)27(1)n n n =-
++1610)27=-，
即当782n x n +==+时，()f x 有极小值，极小值为。