多元函数的极值及其求法

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第八节多元函数的极值及其求法

(12) 6 02 72 < 0
f (x, y)在点( 3, 0 )没有极值
在点( 3 , 2 )处， A fxx( 3 , 2 ) 12
B fxy ( 3 , 2 ) 0 C f yy (3,2 ) 6
(12) (6) 02 = 72 > 0 又 A 0
f (x, y)在点( 3 , 2 )有极大值 f (3 , 2 ) 31
(极小值) 的某个去心邻域内必有：
f(x,y)<f(x0,y0) 所以，在点(x0 ,y0)的某个邻域内，点(x0 ,y0 , f(x0 ,y0)) 为曲面的最高点.
(最低点)
定理1 (必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)处具有偏导数，且在点(x0 ,y0)有极值，则有：
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0
fx (x0, y0) = [ f (x, y0) ]'|xx0 = 0
同理可证: f y (x0, y0) 0
说明
(1) 几何上,定理1意味着: 在曲面 z f (x, y) 上, 极值点 (x0, y0)所对应的点 (x0, y0, f (x0, y0)) 处的
切平面平行于 xoy 坐标平面.
(2) 定理1的逆命题不成立. 反例: f (x, y) xy, 经计算得: fx (0,0) 0, f y (0,0) 0 但点 (0,0)不是 f (x, y) 的极值点.
(3) 使 fx (x, y) 0, f y (x, y) 0 同时成立的点
(x0, y0) 称为函数 z f (x, y) 的驻点.
z a2 2xy 2(x y)
代入V 的表达式，得
V xy a2 2xy 2(x y)

06第六节多元函数的极值及其求法.docx

第六节多元函数的极值及其求法在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题.与一元两数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系.下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.分布图示★引例★二元函数极值的概念例1・3★极值的必要条件★极值的充分条件★求二元函数极值的一般步骤★例4★例5★求最值的一般步骤★例6★例7★例8★例9★例10★例11★条件极值的概念★拉格郎H乘数法★例12★例13★例14★例15★例16*数学建模举例★线性冋归问题★线性规划问题★内容小结★课堂练习★习题6-6内容提要：一、二元函数极值的概念定义1设函数z = /（兀刃在点（勺,北）的某一邻域内有定义，对于该邻域内异于（兀°,%）的任意一点（兀,刃，如果/（兀，刃 </（兀0，%），则称函数在（兀（）,儿）有极大值；如果/（兀，刃>/（兀0，%），则称函数在（心,北）有极小值；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.定理1（必要条件）设函数z = /（X, y）在点（兀0，北）具有偏导数，.目.在点（兀0，）；0）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即f x（无），y（））= 0, f y（心,y（）） = 0. （6.1）与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2 (充分条件)设函数z二f(x,y)在点(兀,儿)的某邻域内有直到二阶的连续偏导数,又人(心儿)"'人(兀0』0)=。

•令f xx(x Q,y Q) = A, 4(x0,j0) = B, /,v(x0,y0) = C.(1)当AC-B2> 0时,函数/(x,y)在(兀°,%)处有极值,且当A >0时有极小值/(x0,y0)；A < 0时有极大值/(勺,儿);(2)当AC-B2< 0时，函数f(x,y)在(兀(),儿)处没有极值；(3)当AC-B2= 0时，函数f(x,y)在(兀0，凡)处可能有极值，也可能没有极值.根据定理1与定理2,如果函数/(x,y)具有二阶连续偏导数，则求z = /(兀』)的极值的一般步骤为：第一步解方程组久(兀,〉，)=0,人(兀,刃=0,求出/(x,y)的所有驻点；第二步求出函数/(x,y)的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、B、C的值，并根据AC-B2的符号判定驻点是否为极值点.最后求出函数/(x, j)在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数/(兀,刃的最大值和最小值的一般步骤为：(1)求函数/(X, y)在D内所有驻点处的函数值；(2)求/(x, y)在£>的边界上的最大值和最小值；(3)将前两步得到的所有函数值进行比较，其屮最大者即为最大值，最小者即为最小值. 在通常遇到的实际问题中，如杲根据问题的性质，可以判断出函数/(x, y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得，而函数/(x,y)在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f (x, y)在D上的最大值(最小值).三、条件极值拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值.但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题.对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数f(x, y)和0(x,y)在区域D内有一阶连续偏导数，则求z = fg刃在D内满足条件gy) = 0的极值问题，可以转化为求拉格朗H函数L(x, y, 2) = f (x, y) + A(p(x, y)(其中2为某一常数)的无条件极值问题.于是，求函数z = /(兀』)在条件°(九刃=0的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为:(1)构造拉格朗H函数L(x, y, A) = f(x, y) + y)其屮2为某一常数;(2)由方程组L x = f x (兀,y)+九<Px (兀,y) =0, < L y = f y (x, y) + A(p y (兀,y) =0,L 入—0(兀,y) = 0解出x,y,A,其中x』就是所求条件极值的可能的极值点.注：拉格朗tl乘数法只给出函数取极值的必要条件，因此按照这种方法求出来的点是否为极值点，还需要加以讨论.不过在实际问题中，往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形：四、数学建模举例例题选讲:二元函数极值的概念例1 (E01)函数z = 2x2 +3y2在点(0, 0)处有极小值.从几何上看，z = lx1 + 3y2表示一开口向上的椭圆抛物而，点(0,0,0)是它的顶点.(图7-6-1).例2 (E02)函数z二-+ >,2在点(0,0)处有极大值.从几何上看，z二-+ >,2表示一开口向下的半圆锥面，点(0,0,0)是它的顶点.(图7-6-2).例3 (E03)函数z = /-x2在点(0,0)处无极值.从儿何上看，它表示双曲抛物面(马鞍面)(图7-6-3)例 4 (E04)求函数/(x, y) = ? - y3 + 3x2 + 3y2 - 9x的极值.解先解方程组解得驻点为(1,0), (1, 2), (-3,0), (-3, 2).再求出二阶偏导数(x,y) = 6x + 6, f xy(x,y) = 0, f yy Xx,y) =-6y + 6.亠一 9 [ fXx,y) = 3x 2 +6x-9 = 0在点(1,0)处，AC — B 2=12・6>0,又彳 9, A>0,厶a )2-3),2+6)=0故函数在该点处有极小值/(1,0) = -5; 在点(1,2)处，(-3,0)处，AC-B 2=-12-6<0,故函数在这两点处没有极值；在点(-3, 2)处，AC-B 2=-U-(-6) >0,又A v0,故函数在该点处有极大值/(-3,2) = 31.例5证明函数z = (1 + e y )cosx-ye y 有无穷多个极大值而无一极小值.又 A = z ：. =-(l + o' )cos 七 B = z xy =-e y sinx, C = z ；. =e y (cosx-2-y). 在点(2砸,0)g z)处,4 = 一2, B = 0, C = -l, AC-B 2=2>0t又A v 0,所以函数z 取得极大值；在点(⑵2 +1)龙,一2)仇w Z )处,A = 1 + 0-2, B = 0, C = —0-2, AC-B 2 = -e~2-e _4<0,此时函数无极值.证毕.二元函数的最大值与最小值例6求函数/(兀,刃=兀2-2兀y + 2y 在矩形域D = {(x, y) | 0 < x < 3,0 < y < 2}上的最大值和最小值.解先求函数f(x,y)在D 内驻点.由f x = 2x-2y = 0, f y =-2x + 2 = 0求得/在D 内部的唯一驻点(1, 1),且/(1J) = 1.其次求函数/(兀,刃在D 的边界上的最大值和最小值.如图所示.区域D 的边界包含四条直线段厶 —在厶上y = 0, /(x,()) = /,()5x53.这是x 的单调增加函数，故在厶上f 的最大值为 /(3,0) = 9,最小值为 /(0,0) = 0.同样在厶2和厶4上/也是单调的一元函数，易得最大值、最小值分别为/(3, ()) = 9, /(3,2) = 1 (在厶2 上)，/(0,2) = 4, /(0,0) = 0(在厶4 上)，而在厶上〉，=2, /(x, 2) = X 2-4X + 4, 05兀5 3,易求出/在厶上的最大值/(0,2) = 4,最小值= -(l + e v )sinx = 0= e?v (cosx-l-y) = 0 x = k 兀尸(_护_1伙wZ )・/(2, 2) = 0.将/在驻点上的值/(1,1)与厶，厶2上3，厶4上的最大值和最小值比较，最后得到/在D上的最大值/(3,0) = 9,最小值/(0,0) = /(2,2) = 0.例7求二元函数z = /(x, y) = x2y(4 -x- y)在直线x + y = 6 , x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解先求函数在D内的驻点，解方程组/；(兀,y) = 2xy(4-x-y)-x2y = 0f；(x, y) = x2 (4-x- y) - x2 y = O'得唯一驻点(2,1),且/(2,1) = 4,再求/(兀,y)在D边界上得最值，在边界兀 + y = 6上，即y = 6 —兀,于是/(x,y) = x2(6-x)(-2),由f； - 4x(x一6) + 2x2 = 0,得x} - 0, x2 - 4 i > y = 6 - x = 2,而/(4,2) = -64,所以/(2,1) = 4为最大值，/(4,2) = -64为最小值.例8求函数/(x,y) = 3x2 + 3y2一/在区域D:x2+y2 <16±的最小值.解先求/(x, y)在D内的极值.由= 6兀一3x2, fy(x,y) = 6y,解方程组］& - 3” = 0得驻点©()),(2, 0).由于6y = 0f： (0,0) = 6, £； (0,0) = 0, f；y (0,0) = 6,龙(2,0) = -6, (2,0) = 0, f；y (2,0) = 6.所以，在点(0, 0) ^bB2-AC = -36<0, A = 6>0,ttffi (0, 0)处有极小值/(0,0) = 0.在点(2,0)处B2-AC = 36>0,故函数在点(2,0)处无极值.再求f (x, y)在边界x2 +y2 = 16上的最小值.由于点(x, y)在圆周x2 +y2 = 16上变化，故可解出y2=16-x2(-4<x<4),代入/'(x,y)中，有z = /(x,y) = 3x2 + 3>,2一兀3 = 48-x3(-4 <x< 4),这时z是兀的一元函数，求得在|~4,4］上的最小值z'=4 =-16.最后比较可得，函数/(x, y) = 3x 2 + 3y2 -?在闭区间D 上的最小值/(4,0) = -16.例9求z=「7 的最大值和最小值.x+b+i （宀于+］）_2曲+刃二（兀2 +），2+1）_2）心+刃 —（宀 3）2 -，△ - ―（X 2+^2+1）2因为lim 厂弓 =0,即边界上的值为零.又口 +y +1例10 (E05)某厂要用铁板做成一个体积为2加3的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省.解设水箱的长为”,宽为艸,则其高应为2/xym.此水箱所用材料的面积此为目标函数.下面求使这函数取得最小值的点(兀,y). 令人=2 y ——-=0, A v = 2 x ——T =0.解这方程组,得唯-•的驻点x = V2, y = V2.根据题意可断定,该驻点即为所求最小值点.因此当水箱的长为呵”、宽为呵川、高为甘乖=臥时，水箱所用的材料最省.注：体积一定的长方体小,以立方体的表面积为最小.例11 (E06)设s 为商品A 的需求量，§2为商品3的需求量，其需求函数分别为q } = 16-2p )+4/?2，?2 = 20 + 4门一10/?2,总成本函数为 C =2q 2,其中 M ，% 为商品A 和B 的价格，试问价格卩,必取何值时可使利润最大?2 2、（2 2）初+ y ——+ %—=2 与 + _ + _ 1 厂小（兀y ） A =2 （x > 0, y >0）.=0,解得驻点丄_LJi'近/ 血丿‘1r解按题意，总收益函数为R = P4 + P 2q 2 = 〃|(16-2#|2-+4/?2)+ 卩2(20 + 4/?| -IO%)，于是总利润函数为L = R_C = q 、(P\_3) + q2(P2 _2)-3)(16-2刃 + 4”2)+ (卩2一2)(20 + 4p -10卩2)・为使总利润最大，求一阶偏导数，并令其为零：- = 14-4/?! +8血=0,学=4(。

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法
多元函数的极值是指函数在其定义域内取得最大值或最小值的点。

要求一个多元函数的极值可以通过以下方法求解：
1. 求解偏导数，并令其等于0，得到一系列方程组。

2. 解出这些方程组，得到所有可能的极值点。

3. 对这些点进行极值的判断，即求出它们对应的函数值，并比较大小。

具体的求解过程中需要注意以下几点：
1. 当偏导数为0时，不能直接得出极值点，还需要进一步的判断。

2. 极值点可能不在定义域内，需要对所有可能的情况进行考虑。

3. 函数可能存在多个极值点，需要将它们全部找出来，并进行比较判断。

综合以上要点，在求解多元函数的极值时需要仔细分析问题，严格按照求解步骤进行操作，避免出现错误。

9(8)多元函数的极值及其求法

函数的极大值与极小值统称为函数的极值.
函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点.
注多元函数的极值也是局部的, 是与P0的邻域
内的值比较. 一般来说:极大值未必是函数的最大值. 极小值未必是函数的最小值.
有时, 极小值可能比极大值还大.
函数
存在极值, 在简单的情形下是椭圆抛物面
容易判断的. 例函数 z 3 x 2 4 y 2
例4 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面积最大. 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积 1 为 ( 24 2 x 2 x cos ) x sin 2
24 x sin 2 x sin x cos sin ( D : 0 x 12 , 0 ) 2
点的偏导数必然为零: f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0. 证不妨设 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处有极大值, 则对于( x0 , y0 )的某邻域内任意( x , y ) ( x0 , y0 ), 都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ), 故当y y0 , x x0时,
第八节多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值二、最值应用问题
三、条件极值
一、多元函数的极值和最值
1.极大值和极小值的定义一元函数的极值: 是在一点附近(区间) 将函数值比大小. 定义设在点P0的某个去心邻域, f ( P ) f ( P0 ), 则称点P0为函数的极大值点. f ( P0 )为极大值. 类似可定义极小值点和极小值.
其中为某一常数, 可由

8-8第八节多元函数的极值及其求法

学数
三条件极值
(1) 其中x,y,z须满足约束条件 xyz=2(米3) (2) 依题意,例6成为求(1)式满足条件(2)的最小值.这类附有
解条件极值问题的一个办法是化为无条件极值,即普通极值问题.
高等数学电子教案
例如由(2)得到z=2/xy,代入(1),象例6那样去解普通极值问题. 但是对于一般的条件φ(x,y,z)=0,解出其中的某个变量,有时是复杂的,困难的,甚至是不可能的.例如,不能显化的隐函数就是这样.下面我们介绍Lagrange乘数法是求解条件极值的常用方法. 例如要求函数 u=f(x,y,z,t)
3
2
表面积为 6 3 4。
高等数学电子教案
例7. 在已知的椭球面内一切内接的长方体(各边分别平行坐标轴)中,求其体积最大的. 椭球面方程为
x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b c
x2 y2 z 2 长方体体积为V = 8 xyz.而( x, y, z )必须满足 2 + 2 + 2 = 1. a b c
高等数学电子教案
第八节多元函数的极值及其求法
在实际问题中常常遇到多元函数的最值问题.在一元函数的微分学中,我们曾经用导数求解极值和最值问题;现在讨论如何利用偏导数来求多元函数的极值与最值,讨论时以二元函数为例,其结论可类似地推广到三元及三元以上的函数.
学数
多元函数的极值及最大值,最小值一. 多元函数的极值及最大值最小值
高等数学电子教案二最大值和最小值
由连续函数性质知,函数在有界闭区域D上连续,则函数在D上一定有最大值和最小值.和一元函数一样,多元函数的最大值和最小值可能在D内取得,也可能在D的边界上取得.因此,求可微函数的最值的一般方法是:求出函数f(x,y)在D内所有的驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值,把它们加以比较,

多元函数的极值及其求法

的梯度平行
引入辅助函数 L( x , y ) f ( x , y ) ( x , y )
则极值点满足:
拉格朗日乘数法
推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f ( x, y, z ) 在条件 ( x, y, z ) 0 ,
( x, y, z ) 0下的极值.
( x , y ),
取 y y 0，则 f ( x , y ) f ( x , y ), 0 0 0
一元函数
d f ( x , y0 ) dx
x x0
f ( x , y 0 ) 在 x x 0 取得极大值 .
y
( x0 , y0 )

f x ( x0 , y0 ) 0.
2 2
2 2 2
的最大值和最小值.
0, 0,
解：由 zx
zy
得驻点(
( x y 1) 2 x ( x y ) ( x y 1)
2 2 2 2
( x y 1) 2 y ( x y ) ( x y 1)
2 2 2
1 2
,
1
)和 (
1 2
f x ( x 0 , y 0 ) 0 ， f y ( x 0 , y 0 ) 0 .（驻点）
多元函数的极值点如果有偏导数则必是驻点.
证:
不妨设 z f ( x , y )在点 ( x 0 , y0 ) 处有极大值 ,
则对于 ( x 0 , y 0 )的某个邻域内的所有点都有 f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ),
A f xx ( x 0 , y 0 ) , B f xy ( x 0 , y 0 ) , C f yy ( x 0 , y 0 ),

多元函数的极值及其求法(精)

求出实数解，得驻点.
第二步
对于每一个驻点
(
x 0
,
y 0
)
，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步定出 AC - B 2 的符号，再判定是否是极值.
2005.5
湖北经济学院数学教研室
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界
都有
f
(x,
y) <
f (x , 0
y0 ),
2005.5
湖北经济学院数学教研室
故当 y = y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) < f ( x0 , y0 ),
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x = x0处有极大值,
必有 f x ( x0 , y0 ) = 0;
类似地可证 f y ( x0 , y0 ) = 0.
l j (x, y,z,t) + l y (x, y,z,t)
1
2
其中
l 1
,
l
2 均为常数，可由偏导数为零及条件解出
x , y , z , t ，即得极值点的坐标.
2005.5
湖北经济学院数学教研室
例7 求表面积为 a 2 而体积为最大的长方体的体积。解设长方体的三棱长为 x, y, z, 则问题就是在条件下
+
z0 c2
(z
-
z0 )
=
0,
化简为
x x0 a2
+
y y0 b2
+
z z0 c2
= 1,
该切平面在三个轴上的截距各为

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定理1（必要条件）设函数()y x f z ,=在点()00,y x 具有偏导数且在点()00,y x 处有极值，则有
()()0,,0,0000==y x f y x f y x
定理2（充分条件）设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导，又 ()()0,,0,0000==y x f y x f y x ，令
()()()C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===000000,,,,,,
则()y x f ,在()00,y x 处是否取得极值的条件如下：
（1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；
（2）02<-B AC 时没有极值（在()00,y x 处不取极值）；
（3）02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

二、条件极值拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法要找函数()y x f z ,=在条件()0,=y x ϕ下的可能极值点，可先作拉格朗日函数
()()()y x y x f y x L ,,,λϕ+=，
其中λ为参数。

()()()()()0,0,,0
,,==+=+y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ
解出y x ,及λ,这样得到的()y x ,就是函数()y x f z ,=在附加条件()0,=y x ϕ下的可能极值点。

高等数学 -多元函数的极值及其求法

16
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值.
如方法 1 所述 , 设 (x, y) 0 可确定隐函数 y (x),
则问题等价于一元函数 z f (x, (x)) 的极值问题, 故
极值点必满足
dz dx
fx
fy
dy dx
0
因d y x , 故有 dx y
23
例5：某公司可通过电台及报纸两种方式做商品销售
广告，根据资料知销售收入 R（万元）与电台广告费用
x 万元, 报纸广告费用 y 万元, 之间的关系公式：
R 15 14 x 32 y 8x y 2 x2 10y2
1、在广告费用不限的情况下求最优广告策略。
2、若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略
x y 1.5
x 0
y
1.5
即将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.
32
例6：某公司的两个工厂生产同样的产品但所需成本
不同，第一个工厂生产 x 件产品和第二个工厂生产 y
件产品时的总成本是; Cx, y x2 2 y2 5 x y 700
若公司的生产任务是500件，问如何分配任务才能使总
解：最优广告策略即为用于广告费多少时可使得利润
函数 Lx, y 最大。由题意可知： Lx, y 15 14 x 32 y 8x y 2 x2 10y2 x y
15 13x 31y 8x y 2 x2 10y2
Lx 13 8 y 4 x 0 Ly 31 8 x 20 y 0
k 0
1 (0, 0, x 3y 10)
x 1 y 3 0 2
1 x 3y 10

0808多元函数的极值及其求法

f ( x , y ) = x 3 − y 3 − 3 x + 3 y + 1 的极值 . 解： f x ( x , y ) = 3 x 2 − 3,
f y ( x , y ) = −3 y 2 + 3,
令 f x ( x , y ) = f y ( x , y ) = 0,
得驻点 : (1,1), (1,−1), ( −1,1), ( −1,−1),
. 为例5 现要用铁皮做一个体积 2m3的有盖长方体水箱
尺寸时水箱的用料最省 ,水箱的用料最省 . 问当长宽高各取怎样的
解：设水箱的长为 x m,宽为 y m, 高为 z m, 宽为
水箱所用材料的面积为 : A = 2( xy + yz + zx ), ( x > 0, y > 0, z > 0), 其中 : xyz = 2.
令 Ax = A y = 0, 即令 2( y − ) = 0, ) = 2( x − y2 x2
解之得唯一驻点 : ( 3 2 , 3 2 ),
2
2
又由题意 , 最小值一定存在 , 且在开区域内取到 ,
∴ 可断定当x = y = 3 2时, A最小 , 且此时 z = 3 2 ,
∴ 当长宽高均为 3 2m时, 水箱的用料最省 .
◆无条件极值：无条件极值：对自变量除了有定域内的限制，无其它条件. 对自变量除了有定域内的限制，无其它条件
二、条件极值、拉格朗日乘数法条件极值、 ◆条件极值：对自变量有附加条件的极值．条件极值：对自变量有附加条件的极值．
. 为例5 现要用铁皮做一个体积 2m3的有盖长方体水箱
尺寸时水箱的用料最省 ,水箱的用料最省 . 问当长宽高各取怎样的

第八节多元函数的极值及其求法

z a2 2xy 2(x y)
代入V 的表达式，得
V xy a2 2xy 2(x y)
再求它的无条件极值就行了.
这是一种间接求条件极值的方法. 但是，在很多情形，条件极值问题不能或很难化为
无条件极值问题，(比如，从附加条件不能将其中一个变量由其余变量表示出来)，这时，上述方法就行不通了. 可是，实际中又有大量这类问题需要解决，为此，下面给大家介绍一种直接求条件极值的方法，
对该邻域内的异于 (x0, y0) 的任意点 (x, y), 都有 f (x, y) f (x0, y0) .
取定 y y0,当0 | x x0 | 时, 点(x, y0) U (P0, ) , 且(x, y0) (x0, y0), 因而应有
f (x, y0) f (x0, y0)
即当0 | x x0 | 时, 有
第三步根据极值的充分条件，对驻点 (x0, y0) 是否为极值点，以及是极大值点还是极小值点
作出判断。
例1 求函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x 的极值.
解定义域: 整个平面
fx 3x2 6x 9 0
fy
3y2 6y
0
解得: x 1 x 1 x 3
求 V xyz (x 0, y 0, z 0)
在附加条件 2xy 2yz 2zx a2
下的最大值.
条件极值问题
怎样求条件极值？有些可以化为无条件极值问题来求。
例如上面的问题：
求 V xyz (x 0, y 0, z 0) 在附加条件 2xy 2yz 2zx a2
下的最大值. 由附加条件解得
f (x, y) f (x0, y0)
( )
则称函数 f (x,y) 在点 (x0 ,y0) 有极大值 f(x0 ,y0)， (极小值)

高等数学第九章第八节多元函数的极值及其求法

第一步解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
例 3 求函数 f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的极值。
练习题答案
一、1、(3,2),大,36；二、(8 , 16).
55
2、大, 1； 4
练习题
一、
填空题:
1、
函数 f ( x, y) (6x x 2 )(4 y y 2 ) 在
_______点取得极_________值为___________.
2、
函数 z xy 在附加条件 x y 1下
的极______值为_____________.
二、在平面 xOy 上求一点 , 使它到 x 0, y 0 及 x 2 y 16 0三平面的距离平方之和为最小.
求函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的极值。
(2)拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的
可能极值点，
先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
其中为某一常数，可由
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下：（1） AC B2 0时具有极值，
当 A 0时有极大值，当 A 0时有极小值；
（2） AC B2 0时没有极值；（3） AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值，

多元函数的极值及其求法

第八节多元函数的极值及其求法

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9(8)多元函数的极值及其求法

8-8第八节 多元函数的极值及其求法

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多元函数的极值及其求法(精)

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高等数学 -多元函数的极值及其求法

0808多元函数的极值及其求法

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高等数学第九章第八节 多元函数的极值及其求法

8-8第八节多元函数的极值及其求法

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