2018年山东省青岛市城阳区高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)

2017-2018学年山东省青岛市城阳区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x∈R|y=}，B={x|}．则A∩（∁R B）=（）A．（0，2） B．[0，1]C．（﹣∞，0]D．（0，1）2．（5分）已知函数f（x）==（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．03．（5分）设向量的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b5．（5分）已知0≤α＜2π，且角α终边上一点（）A． B． C．D．6．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．77．（5分）△ABC中，，则BC边上中线AD的长为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，在[0，+∞）上是单调递减函数．下列命题：命题p：f（x）在（﹣∞，0）上单调递增且f（0）是f（x）的最大值；命题q：若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是﹣2≤a≤2．则下列命题为真的是（）A．p∧q B．（¬p）∨q C．p∧（¬q）D．（¬p）∧（¬q）9．（5分）关于函数的单调性和零点情况说法正确的是（）A．在定义域上恒为单调递增函数；在（0，+∞）上无零点B．在定义域上有增也有减；在（1，+∞）上有零点C．在定义域上恒为单调递增函数；在（1，e）上有唯一零点D．在定义域上有增也有减；在上有零点10．（5分）△ABC，若sinA，cos，sinC成等比数列，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形11．（5分）若方程仅有一个实数根，则实数k的取值集合是（）A．{1}B．（﹣∞，0]C．[0，1） D．{0}12．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=﹣f（x﹣2），当x∈（0，1]，f（x）=x2，则f（2017.5）等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，S n=﹣n2+4n，则{a n}的通项公式a n=．14．（5分）在[0，2]上任取实数a和b，方程有实根的概率为．15．（5分）函数f（x）=﹣x2+2lnx在（0，+∞）上的极大值为．16．（5分）函数y=x+e x+1在x=﹣1处的切线方程为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明.17．（12分）已知=（sinx，cosx），=（1，），f（x）=•（）．（I）若＜θ＜，且x=θ时，f（x）恰取得最值，求角θ和此时f（x）的最值；（Ⅱ）若f（α）=﹣，求cos（2α﹣）的值．18．（12分）△ABC中，角A、B、C对应的边分别为．（I）若b=3，c=6，求△ABC的面积S；（Ⅱ）若的值．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=﹣3，S9=9；b n=．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）某体检中心开展综合身体指标检查的同时，可以按一定的测算公式对受检人身体综合素质情况进行综合评价赋分（百分制），为单位和个人作为参考使用．现选取某单位拟招录的同一年龄段的n名新员工身体素质综合得分作为样本，按照得分分布分成5组，[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），得分分布情况绘制为频率分布直方图如下表所示：现已知得分在50﹣60之间被淘汰的人数为2．（I）求出a和n的值；（Ⅱ）若得分成绩在80分以上（含80分）为综合身体素质优秀，从员工居住地来源方面统计得如下信息：样本中成绩落在[50，80）中的城市、乡村工人数比为5：9，成绩落在[80，100）中的城市、乡村员工数比为1：2，填写2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为员工身体综合素质优秀与居住地有关．参考公式和数据：21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣+a．（I）分析函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）已知上有实根，求实数a的取值范围．22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|+（﹣1）k|x﹣2|，g（x）=x2﹣x，k∈{1，2}．（I）若a=0，k=2，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若k=1，试证明，不存在a＞0，a≠2，使f（x1）＜g（x2）对任意x1，x2∈R都恒成立，若存在，求出a取值范围；若不存在，请分析说明理由．2017-2018学年山东省青岛市城阳区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x∈R|y=}，B={x|}．则A∩（∁R B）=（）A．（0，2） B．[0，1]C．（﹣∞，0]D．（0，1）【解答】解：集合A={x∈R|y=}={x|2﹣2x≥0}={x|x≤1}，B={x|}={x|﹣1＜0}={x|＞0}={x|x＜0或x＞2}；∴∁R B={x|0≤x≤2}，∴A∩（∁U B）={x|0≤x≤1}=[0，1]．故选：B．2．（5分）已知函数f（x）==（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣8）=f（﹣5）=f（﹣2）=f（1）=log3（2+1）=1．故选：A．3．（5分）设向量的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵，∴=（2，x﹣1），若，则=0，即x2﹣x﹣2=0，解得：x=2，或x=﹣1，故x=2是的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b【解答】解：函数y=为减函数，故，函数y=在（0，+∞）上为增函数，故，综上可得：c＞a＞b，故选：C．5．（5分）已知0≤α＜2π，且角α终边上一点（）A． B． C．D．【解答】解：∵0≤α＜2π，且角α终边上一点P（﹣，），∴点P为第二象限角，且cosα=﹣，∴α=，故选：D．6．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．7【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：由z=x﹣2y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，经过点B时，直线y=x﹣z，的截距最小，此时z最大，由，解得B（1，﹣），z=1+2×=4．故选：B．7．（5分）△ABC中，，则BC边上中线AD的长为（）A．B．C．D．【解答】解：由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°=9+4﹣2×3×2×（﹣）=19，∴BC=，∴BD=根据正弦定理可得=，即sinB==，∴cosB=，在三角形△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB=9+﹣2×3××=，∴AD=故选：C．8．（5分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，在[0，+∞）上是单调递减函数．下列命题：命题p：f（x）在（﹣∞，0）上单调递增且f（0）是f（x）的最大值；命题q：若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是﹣2≤a≤2．则下列命题为真的是（）A．p∧q B．（¬p）∨q C．p∧（¬q）D．（¬p）∧（¬q）【解答】解：∵函数y=f（x）是R上的偶函数，在[0，+∞）上是单调递减函数．则f（x）在（﹣∞，0）上单调递增且f（0）是f（x）的最大值；即命题p为真命题；若f（a）≤f（2），则|a|≥2，即a≤﹣2，或a≥2，即命题q为假命题，故命题p∧（¬q）为真命题；故选：C．9．（5分）关于函数的单调性和零点情况说法正确的是（）A．在定义域上恒为单调递增函数；在（0，+∞）上无零点B．在定义域上有增也有减；在（1，+∞）上有零点C．在定义域上恒为单调递增函数；在（1，e）上有唯一零点D．在定义域上有增也有减；在上有零点【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1++=＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，而f（1）=﹣1＜0，f（e）=e+1﹣＞0，故选：C．10．（5分）△ABC，若sinA，cos，sinC成等比数列，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形【解答】解：∵sinA，cos，sinC成等比数列，∴=sinA•si nC，∴（1+cosB）=[cos（A+C）﹣cos（A﹣C）]，∴1+cosB=﹣[﹣cosB﹣cos（A﹣C）]，化为：cos（A﹣C）=1，又A，C∈（0，π），∴A=C，可得a=c．则△ABC的形状为等腰三角形．故选：D．11．（5分）若方程仅有一个实数根，则实数k的取值集合是（）A．{1}B．（﹣∞，0]C．[0，1） D．{0}【解答】解：方程仅有一个实数根，即为y=|log2（x+1）|和y=k有且只有一个交点，画出y=|log2（x+1）|的图象，由图象可得k=0，y=|log2（x+1）|和y=k有且只有一个交点，即为方程仅有一个实数根，故选：D．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=﹣f（x﹣2），当x∈（0，1]，f（x）=x2，则f（2017.5）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=﹣f（x﹣2），∴f（x）=﹣f（x﹣2）=f（x﹣4），即函数的周期为4，又∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，1]，f（x）=x2，∴f（2017.5）=f（1.5）=﹣f（﹣0.5）=f（0.5）=，故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，S n=﹣n2+4n，则{a n}的通项公式a n=5﹣2n．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，S n=﹣n2+4n，∴，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣n2+4n）﹣[﹣（n﹣1）2+4（n﹣1）]=5﹣2n．当n=1时，上式成立．{a n}的通项公式a n=5﹣2n．故答案为：5﹣2n．14．（5分）在[0，2]上任取实数a和b，方程有实根的概率为．【解答】解：在[0，2]上任取实数a和b，对应的集合是Ω={（a，b）|}，对应的区域面积是sΩ=4，满足条件的事件是关于x的方程有实数根，即4b2﹣a2≥0，∴|a|≤2|b|，则事件对应的集合是M={（a，b）|}，如图：对应的图形的面积是s M=S梯形OABC=4﹣×2×1=3，由几何概型概率公式可得P=，故答案为：．15．（5分）函数f（x）=﹣x2+2lnx在（0，+∞）上的极大值为﹣1．【解答】解：f′（x）=﹣2x+=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故f（x）=f（1）=﹣1，极大值故答案为：﹣1．16．（5分）函数y=x+e x+1在x=﹣1处的切线方程为2x﹣y+2=0．【解答】解：由y=x+e x+1，得y′=1+e x+1，=2，∴y′|x=﹣1又当x=﹣1时，y=0，∴函数y=x+e x+1在x=﹣1处的切线方程为y﹣0=2（x+1），即2x﹣y+2=0．故答案为：2x﹣y+2=0．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明.17．（12分）已知=（sinx，cosx），=（1，），f（x）=•（）．（I）若＜θ＜，且x=θ时，f（x）恰取得最值，求角θ和此时f（x）的最值；（Ⅱ）若f（α）=﹣，求cos（2α﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•（﹣2）=﹣2=sinx+cosx﹣2（sin2x+cos2x）=2sin（x+）﹣2所以f（θ）=2sin（θ+）﹣2因为＜θ＜，所以＜θ+＜，可以看出只有当θ+=时，即θ=时，f（x）max=2﹣2=0，显然不成立，当θ+=，即θ=时f（θ）=2sin（θ+）﹣2取得最小值，此时f（x）min=f（θ）=2×（﹣1）﹣2=﹣4所以，θ=，f（x）有最小值﹣4，无最大值；（Ⅱ）f（α）=2sin（α+）﹣2=﹣，所以sin（α+）=（*），因为cos（2α﹣）=cos（2α﹣+2π）=cos（2α+）=cos2（α+）=1﹣2sin2（α+），将（*）式代入上式得：cos（2α﹣）=1﹣2×=18．（12分）△ABC中，角A、B、C对应的边分别为．（I）若b=3，c=6，求△ABC的面积S；（Ⅱ）若的值．【解答】解：（Ⅰ）因为与的夹角为A的补角，b=3，c=6，所以=9，解得：，由于：0＜A＜π，所以：．所以：．（Ⅱ）=9=bc，解得：bc=27．由于：，c=3b，解得：c=9，b=3．所以：a2=b2+c2﹣2bccosA=108．解得：a=6．cosA=﹣，解得：sinA=，利用正弦定理得：，所以：，解得：．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=﹣3，S9=9；b n=．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的首项为a1，公差为d，由于：a3=﹣3，S9=9；所以：，解得：a1=﹣7，d=2，所以：a n=2n﹣9．（Ⅱ）由（Ⅰ）求得：，由于：=所以T n=+），=，=﹣．20．（12分）某体检中心开展综合身体指标检查的同时，可以按一定的测算公式对受检人身体综合素质情况进行综合评价赋分（百分制），为单位和个人作为参考使用．现选取某单位拟招录的同一年龄段的n名新员工身体素质综合得分作为样本，按照得分分布分成5组，[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），得分分布情况绘制为频率分布直方图如下表所示：现已知得分在50﹣60之间被淘汰的人数为2．（I）求出a和n的值；（Ⅱ）若得分成绩在80分以上（含80分）为综合身体素质优秀，从员工居住地来源方面统计得如下信息：样本中成绩落在[50，80）中的城市、乡村工人数比为5：9，成绩落在[80，100）中的城市、乡村员工数比为1：2，填写2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为员工身体综合素质优秀与居住地有关．参考公式和数据：【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图的特点，可得：（0.005+0.01+0.015+0.02+a）×10=1，解得a=﹣0.005﹣0.01﹣0.015﹣0.02=0.05；…（3分）50～60之间的员工人数为2人，频率为0.005×10=0.05，所以n==40；…（6分）（Ⅱ）由题意，得分在[80，90），[90，100]的人数有40×（0.02+0.01）×10=12人，其中来自城市、乡村的员工人数分别为4和8人，得分在50～80间的人数分别有28人，其中来自城市、乡村的员工人数分别为10和18人，填写2×2列联表如下；…（9分）根据卡方公式可得：K2=≈0.021；由0.021＜3.841，可得没有95%的把握认为员工身体综合素质优秀与居住地有关．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣+a．（I）分析函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）已知上有实根，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，令u（x）=x2+2ax+4，为开口向上的二次函数，△=4a2﹣16，（1）当﹣2≤a≤2时，△≤0，二次函数u（x）图象与x轴无交点，对所有x∈（0，+∞），u（x）≥0恒成立，所以f′（x）≥0恒成立，所以﹣2≤a≤2时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上恒为单调递增函数…（2分）（2）当a＜﹣2或a＞2时，△＞0，二次函数u（x）图象与x轴有两交点，令u（x）=x2+2ax+4=0，得两交点横坐标分别为x1=﹣a﹣，x2=﹣a+，（i）如果a＞2，二次函数u（x）对称轴x=﹣a＜﹣2，位于x轴左侧，由u（0）=4，所以在（0，+∞）上，函数u（x）＞0恒成立，所以在（0，+∞）上，f′（x）＞0，所以a＞2时，函数f（x）定义域（0，+∞）上恒为单调递增函数…（4分）（ii）当a＜﹣2时，次函数u（x）对称轴x=﹣a＞2，位于x轴右侧，由u（0）=4＞0，由二次函数的性质，可以得到：当x∈（0，x1）时，u（x）＞0，所以f′（x）＞0；当x∈（x1，x2）时，u（x）＜0，所以f′（x）＜0，当x∈（x2，+∞）时，u（x）＞0，所以f′（x）＞0，所以，当a＜_2时，函数f（x）在区间（0，x1）上为单调递增函数；在区间（x1，x2）上为单调递减函数；在区间（x2，+∞）上为单调递增函数…（5分）综上可得：a≥﹣2时，函数f（x）在定义域上恒为单调递增函数；当a＜﹣2时，函数f（x）在区间（0，x1）上为单调递增函数；在区间（x1，x2）上为单调递减函数；在区间（x2，+∞）上为单调递增函数．（其中x1=﹣a﹣，x2=﹣a+）…（6分）（Ⅱ）h（x）=f（x）+g（x）=alnx﹣2x+a，由h（x）=0，得：a=…（7分）令G（x）=，x∈[，e]，lnx+1＞0，G′（x）=，令G′（x）=0，得x=1…（8分）列出x，G′（x），G（x）在[，e]的变化情况如下表：…（11分）由题意可知，h（x）=0有解，即存在a，使a=成立，所以a∈[2，e]…（12分）22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|+（﹣1）k|x﹣2|，g（x）=x2﹣x，k∈{1，2}．（I）若a=0，k=2，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若k=1，试证明，不存在a＞0，a≠2，使f（x1）＜g（x2）对任意x1，x2∈R都恒成立，若存在，求出a取值范围；若不存在，请分析说明理由．【解答】解：（Ⅰ）a=0，k=2 时，f（x）=|x|+|x﹣2|，当x＜0时，x﹣2＜0，所以f（x）=2﹣2x，当0≤x≤2时，x﹣2＜0，所以f（x）=2，当x≥2时，x﹣2＞0，所以f（x）=2x﹣2，综上，有f（x）=…（3分）（i）当x＜0时，f（x）=2﹣2x≥g（x）=x2﹣x，得：2﹣2x≥x2﹣x，即x2+x﹣2≤0，解得：﹣2≤x≤1，由x＜0，得：﹣2≤x＜0，（ii）当0≤x≤2时，f（x）=2，由f（x）≥g（x），得：2≥x2﹣x，即x2﹣x﹣2≤0，解得：﹣1≤x≤2，由0≤x≤2，得0≤x≤2；（iii）当x＞2时，f（x）=2x﹣2≥g（x）=x2﹣x，即：x2﹣3x+2≤0，解得：1≤x≤2，考虑条件x＞2，所以此时无解．综合（i）（ii）（iii）可得：不等式f（x）≥g（x）的解集合为[﹣2，0）∪[0，2]=[﹣2，2]，即f（x）=|x|+|x﹣2|≥g（x）=x2﹣x的解集为[﹣2，2]…（6分）（Ⅱ）因为k=1，所以f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣2|，（i）当a＞2，f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣2|≤|x﹣a﹣x+2|=|2﹣a|=a﹣2，等号当且仅当x≤2成立，即对任意x1∈R，当且仅当x1≤2时，f（x1）max=a﹣2，又g （x 2）=﹣，对任意x 2∈R ，g （x 2）min =﹣，对任意x 1，x 2∈R ，都有f （x 1）＜g （x 2）恒成立， 所以必有f （x 1）max ＜g （x 2）min ， 即a ﹣2＜﹣，得a ＜，与a ＞2矛盾，所以这时a 不存在…（8分）（ii ） 当0＜a ＜2，f （x ）=|x ﹣a |﹣|x ﹣2|≤|x ﹣a ﹣x +2|=|2﹣a |=2﹣a ， 等号当且仅当x ≥2成立，即对任意x 1∈R ，当且仅当x 1≥2时，f （x 1）max =2﹣a ， 对任意x 1，x 2∈R ，都有f （x 1）＜g （x 2）恒成立， 所以必有f （x 1）max ＜g （x 2）min ， 即2﹣a ＜﹣，得a ＞，与a ＜2矛盾，所以这时a 不存在．综合（i ）（ii ）可得：不存在a ＞0，a ≠2，使f （x 1）＜g （x 2）对任意x 1，x 2∈R 都恒成立．（10分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。