集合的概念与运算教学讲义

集合的概念与运算教学讲义

1．集合与元素

一组对象的全体构成一个集合．

(1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性．

(2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，__a∈A__或__a∉A__，二者必居其一．

(3)常见集合的符号表示.

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号N N*Z Q R

(4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法、区间表示法．

(5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示．

2．集合之间的基本关系

关系定义表示

相等集合A与集合B中的所有元素都__相同__A__＝__B

子集A中的任意一个元素都是__B中的元素__A__⊆__B

真子集A是B的子集，且B中至少有一个元素__不属于A__A____B

注意：(1)空集用__∅__表示．

(2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为__2n__，真子集个数为__2n－1__，非空真子集的个数为__2n－2__.

(3)空集是任何集合的子集，是任何__非空集合__的真子集．

(4)若A⊆B，B⊆C，则A__⊆__C．

3．集合的基本运算

符号

交集A∩B并集A∪B补集∁U A 语言

图形

语言

意义A∩B＝{x|x∈A且x∈A∪B＝{x|x∈A或x∈∁U A＝{x|x∈U且x∉A}

B}B}

1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.

2．A∪A＝A，A∪∅＝A．

3．A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A．

4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.

1．已知集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，则下列表述正确的是(D)

A．0∉A B．1⊆A

C．2⊆A D．3∈A

[解析]集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，所以0∈A,1∈A，2∉A,3∈A．

2．若A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，B＝{x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是(B) A．A＝B B．A B

C．A B D．A⊆B

[解析]因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}＝{x|x＝2(2k)－1，k∈Z}，集合B表示2与整数的积减1的集合，集合A表示2与偶数的积减1的集合，所以A B，故选B．

3．设集合M＝{2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，则M∩N的子集的个数为(B)

A．2B．4

C．7D．128

[解析]∵M＝{2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，∴M∩N＝{2,6}，即M∩N中元素的个数为2，子集22＝4个，故选B．

4．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝(A)

A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}

C．{x|0

[解析]根据题意，作图可得，

则A∪B＝{x|x≥－1}，故选A．

5．(文)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B(A)

A．{－2，－1}B．{－2}

C．{－2,0,1}D．{0,1}

(理)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝(B)

A．[2,3]B．(－2,3]

C．[1,2)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)

[解析](文)∵A＝{x|x＋1>0}＝{x|x>－1}，∴∁R A＝{x|x≤－1}，∴(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．

(理)∵Q＝{x∈R|x2≥4}＝{x∈R|x≥2或x≤－2}，∴∁R Q＝{x∈R|－2

[方法技巧](文)集合基本运算的方法技巧

(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．

(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．6．2∈{x2＋x,2x}则x＝__－2__；－2∉{x2＋x,2x}，则x≠__0且x≠1，且x≠－1__.

[解析]x2＋x＝2得x＝－2或1(舍去)，2x＝2得x＝1(舍去)，综上x＝－2；不属于按属于处理，－2＝x2＋x无解．－2＝2x，得x＝－1，又x2＋x与2x不同，∴x≠0,1.

7．(文)(2018·山西吕梁期中)已知集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，x∈R}，则M∩N＝(D) A．[－1,1]B．∅

C．(0,1]D．[0,1]

(理)(2018·江西宜春月考)设全集I＝R，集合A＝{y|y＝log2x，x>2}，B＝{x|y＝x－1}}，则(A)

A．A⊆B B．A∪B＝A

C．A∩B＝∅D．A∩(∁I B)≠∅

[解析](文)∵集合M＝{x||x|≤1}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，∴M∩N ＝{0|0≤x≤1}＝[0,1]．故选D．

(理)由题意，A＝{y|y＝log2x，x>2}＝(1，＋∞)，B＝{x|y＝x－1}＝[1，＋∞)，∴A⊆B．故选A．

[方法技巧]判断集合间关系的三种方法

(1)列举法：把元素一一列举观察．

(2)集合元素特征法：首先确定集合中的元素是什么，弄清集合中元素的特征，再利用集合中元素的特征判断关系．

(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图．

8．(文)(2018·北京东城区月考)已知集合M ＝{x |x ≤a }，N ＝{x |－2

D ．(－∞，－2]

(理)(2018·吉林长春检测)已知集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |1

3}

C ．{13，1

4

}

D ．{0，13，1

4

}

[解析] (文)因为M ＝{x |x ≤a }，N ＝{x |－2

4.综上所述，a 的所有可能取

值组成的集合是{0，13，1

4

}．故选D ．

考点1 集合的基本概念——自主练透

}例1 (1)已知集合A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }，则下列表示不正确的是( C ) A ．－2∈A B ．2019∉A C ．3k 2＋1∉A

D ．－35∈A

(2)(2018·课标Ⅱ，2)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( A ) A ．9 B ．8 C ．5

D ．4

(3)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝ 0或9

8} .

(4)已知a ∈R ，b ∈R ，若{a ，b

a

，1}＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2019＋b 2019＝__－1__.