丰台区2019—2020学年度第一学期高三数学期末试题

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高三数学试题2019-2020丰台答案

丰台区2019~2020学年度第一学期期末练习高三数学参考答案及评分参考2020．01 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CCBBAABCDD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．12 12．15 13．7814．是；是 15．(10),；43316．2x；2sin 2x x π(答案不唯一) 注：第14、15、16题第一空3分，第二空2分.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17.（本小题共13分）解：（Ⅰ）2ππππ()sin cos 33333f =⋅ 23113()222=32=. ……………….4分（Ⅱ）2()sin cos 3f x x x x =⋅+ 1cos 21sin 2322x x +=+π3sin(2)32x =++.因为π[0]2x ∈,，所以ππ4π2[]333x +∈,. 当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值312+. ……………….13分18.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥.因为π2BAC ∠=，所以AC AB ⊥. 又因为1AC AA A =I ，所以AB ⊥平面1A AC . 因为1A C ⊂平面1A AC，所以1AB A C ⊥. ……………….4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系A xyz -．因为11AA AB AC ===，所以(000)A ，，，(100)B ，，，(010)C ，，，1(001)A ，，. 因为1AA ⊥平面ABC ，所以1(001)AA =u u u r,,即为平面ABC 的一个法向量. 设平面1A BC 的一个法向量为()x y z =,,n ，1(101)A B =-u u u r,,，1(011)AC =-u u u r,,，则1100.A B A C ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u ru u u r ,n n 即00.x z y z -=-=⎧⎨⎩,令1z =，则11x y ==,.于是(111)=,,n . 所以1113cos 3AA AA AA ⋅==⋅u u u ru u u ru u u r,n n n. 由题知二面角1A BC A --为锐角，所以其余弦值为33. ……………….10分（Ⅲ）假设棱11A B 上存在点()N x y z ,,，使得HN ‖平面1A BC .由111(01)A N A B λλ=≤≤u u u r u u u u r ，又11(100)A B =u u u u r ,,，故1(0)0A N λ=u u u r,,.因为1(011)C ，，，H 为1CC 的中点，所以1(01)2H ，，.所以111(1)2HN HA A N λ=+=u u u r u u u r u u u r ,-,.若HN ‖平面1A BC ，则1102HN λ⋅==u u u r -+n ，解得1[01]2λ=∈,.又因为HN ⊄平面1A BC .所以在棱11A B 上存在点N ，使得HN ‖平面1A BC ，且11112A N AB =.……………….14分 19．（本小题共13分）解：（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A .由题意，有B ，C 两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，所以2()5P A =. ……………….4分（Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B ，C ，共2个小区. X 的所有可能取值为0，1，2. 23253(0)10C P X C ===；11322563(1)105C C P X C ⋅====；22251(2)10C P X C ===.所以X 的分布列为:X 0 12P31035110()012105105E X =⨯+⨯+⨯=． ……………….13分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60x y -+=相切，所以半径b 等于原点到直线的距离d ，00611b d -+==+，即3=b .由离心率12e =，可知12c a =，且222a b c =+，得2a =.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………….4分（Ⅱ）由椭圆C 的方程可知(20)S ,.若直线l 的斜率不存在，则直线l 方程为1x =，所以33(1)(1)22P Q -,, ,.则直线PS 的方程为3260x y +-=，直线QS 的方程为3260x y +-=.令4=x ，得(43)A ,-，(43)B ,. 所以A B ，两点的纵坐标之积为9-.若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=，依题意0≥∆恒成立.设112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,，则2212122284123434k k x x x x k k -+==++,. 设(4)A A y ,(4)B B y ,，由题意P S A ，，三点共线可知11422A y yx =--，所以点A 的纵坐标为1122A y y x =-. 同理得点B 的纵坐标为2222B y y x =-. 所以12122222A B y y y y x x =⋅--.212121212222222222()142()44128434412284(43)9449x x x x k x x x x k k k kk k k k k-++=-++--++=--⨯++-=⨯=-综上，A B ，两点的纵坐标之积为定值.……………….13分21．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当1a =时，因为321()3f x x x x =-+所以2()21f x x x '=-+，(0)1f '=.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0(0))f ,处的切线方程为y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为321(1)()32a f x x x ax +=-+，所以2()(1)0f x x a x a '=-++=. 令()0f x '=，解得x a =或1x =.若1a >，当()0f x '>即1x <或x a >时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<即1x a <<时，函数()f x 单调递减. 若1a =，则22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，当且仅当1x =时取等号，函数()f x 是增函数.若1a <，当()0f x '>即x a <或1x >时，函数()f x 单调递增.当()0f x '<即1a x <<时，函数()f x 单调递减.综上，1a >时，函数()f x 单调递增区间为(1)()a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1)a ,；1a =时，函数()f x 单调递增区间为()-∞+∞,；1a <时，函数()f x 单调递增区间为()(1)a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1)a ,. ……………….9分（Ⅲ）令2()(1)0f x x a x a '=-++=，解得x a =或1x =.当0a ≤时，随x 变化，()()f x f x ', 变化情况如下表：由表可知(0)(1)f f >，此时2(2)(1)3f f ->，不符合题意.当01a <<时，随x 变化，()()f x f x ', 变化情况如下表：由表可得3211112(0)0()(1)(2)62263f f a a a f a f ==-+=-=,,, ，且(0)()f f a <，(1)(2)f f <，所以只需()(2)(1)(0)f a f f f ≤≥⎧⎨⎩，，即32112623110.26a a a -+≤-≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得113a ≤<.当1a =时，2()21(1)0f x x x x '=-+=->在(02),恒成立，符合题意. 当12a <<时，只需(1)(2)()(0)f f f a f ≤≥⎧⎨⎩，，即32112263110.62a a a -≤-+≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得513a <≤. 当2a ≥时，(1)(2)f f >，不符合题意. 综上，实数a的取值范围是15[]33,. ……………….14分22．（本小题共13分）解:（Ⅰ）当2n =时，4个整点分别为(11)(12)(21)(22),,,,,,,.所以12x x +的所有可能值234,,. ……………….3分（Ⅱ）（i ）假设不存在互不相同的四个整点11112222()()()()x y x y x y x y '''',,,,,,,，满足112212y y y y y y ''==≠,,. 即在直线*(1,)N y i i n i =≤≤∈中至多有一条直线上取多于1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为121n n n -+=-.而52112n n -<-，与已知512m n ≥-矛盾.故存在互不相同的四个整点11112222()()()()x y x y x y x y '''',,,,,,,，满足112212y y y y y y ''==≠,,. （ii ）设直线*(1,)N y i i n i =≤≤∈上有i a 个选定的点.若2i a ≥，设y i =上的这i a 个选定的点的横坐标为12i a x x x ⋅⋅⋅，，，，且满足12i a x x x <<⋅⋅⋅<.由12132324341i i a a x x x x x x x x x x x x -+<+<+<+<+<⋅⋅⋅<+，知12i a x x x ⋅⋅⋅，，，中任意不同两项之和至少有23i a -个不同的值，这对于2i a <也成立. 由于1,2,3,,n ⋅⋅⋅中任意不同两项之和的不同的值恰有23n -个，而()1232352323ni i a m n n n n =-=-≥--≥-∑,可知存在四个不同的点11112222()()()()x y x y x y x y '',,,,,,,，满足112212x x x x y y ''+=+≠,,.21y y ≠ ……………….13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

2020.1北京市丰台区高三年级第一学期期末-数学试题

北京市丰台区2019届高三数学上学期期末练习试题文

北京市丰台区2019届高三数学上学期期末练习试题文第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|22}B x x =-<<，那么A B =（）（A ）{0,1} （B ）{1,0,1}- （C ）{1,0,1,2}-（D ）{|22}x x -<<2．复数(1i)(2+i)z =+在复平面内对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（）（A ）34 （B ）45 （C ）56（D ）674．若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤≤≥ 则2x y -的最大值是（（A ）2- （B ）12-（C ）1（D ）45．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（）（A ）2（B （C ）（D ）俯视图侧（左）视图正（主）视图6．设,a b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知抛物线28y x =的焦点与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为（）（A ）2 （B ）23（C（D ）128．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形126A A A的中心，若11)4A ，则点3A 的纵坐标为（）（A）8 （B）8 （C（D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．已知函数3()log ()f x x a =+的图象过点(2,1)，那么a =____．10．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若a b >2sin b A =，则B =____． 11．能够说明“设,a b 是任意非零实数．若1>ba，则>b a ”是假命题的一组整数．．,a b 的值依次为____．12．已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点是(2,0)F ，那么双曲线C 的渐近线方程为____．13．已知两点(1,0)A -，(1,0)B ，动点Q 满足0AQ BQ =.若P 为直线20x y -+=上一动点，则||PQ 的最小值为____．14．已知函数||2,,(),.x x x x a f x x x a -+⎧=⎨<⎩≥① 若0=a ，则函数()f x 的零点有____个；② 若()(1)f x f ≤对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分。

北京市丰台区2019届高三上学期期末考试数学(文)试卷-

北京市丰台区2019届高三上学期期末练习数学（文）试题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合0，1，，，那么A. B.0， C. 0，1， D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，找出集合A、B的交集即可.【详解】因为集合0，1，，所以0，故选B.【点睛】本题考查了交集的定义，属于基础题.2.复数在复平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法求出复数，再找出所对应的点即可.【详解】因为所以复数z在复平面所对应的点是（1,3）【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，属于基础题.3.执行如图所示的程序框图，输出的的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】执行程序框图，可知该框图表示数列的前4项和，利用裂项相消法可得结果.【详解】模拟程序的运营，可知该程序的功能是求的前4项和，并输出，故选B【点睛】算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮点，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.4.若x，y满足，则的最大值是A. B. C. 1 D. 4【答案】D【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，令表示直线在y轴的截距，求出答案即可.【详解】因为x，y满足，可行域为令求得A（-2，-3）有图可知，当直线经过A（-2，-3）取最大值，故选D.【点睛】本题目主要考查了简单的线性规划，画出可行域是关键，属于简单题.5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，根据三视图中数据，求出各棱的长，从而可得结果.【详解】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，直观图如图，图中，与底面垂直，且，由勾股定理可得，所以最长的棱为，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6.设是非零向量，则是的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为是非零向量，所以若，则，即；若，则，可得或，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 7.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为A. 2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出a 、c ，算出离心率. 【详解】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，即椭圆的c=2，因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；即通径为，又因为c=2解得a=4 所以离心率故选D.【点睛】本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直接带入计算，一样可得答案，属于一般题型. 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形的中心，若，则点的纵坐标为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】据题意求出正六边形的半径，设出的坐标，再利用向量的数量积和半径列出方程组，求解即可.【详解】由题，设，解得故选C.【点睛】本题目考查了向量的坐标运算和向量的数量积，熟悉向量的公式是解题的关键，难度系数一般.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知函数的图象过点，那么______．【答案】1【解析】【分析】将点代入即可求得答案.【详解】因为函数的图象过点所以，解得a=1故答案为1.【点睛】本题目考查了对数函数的运算，属于基础题.10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，且，则______．【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理求出sinB，再利用三角形中得出B只能是锐角，得出答案.【详解】由正弦定理得，且在三角形中，故，所以，为锐角,故答案为【点睛】本题主要考查了正弦定理，需要注意的是B的取值范围，容易得出错误答案为或，属于基础题.11.能够说明“设是任意非零实数．若，则”是假命题的一组整数．．的值依次为____．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用不等式的性质，找出一组符合题意的即可.【详解】要使“设是任意非零实数．若，则”是假命题，只需满足且即可，可取，故答案为（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查不等式的性质与应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.12.已知双曲线C：的一个焦点是，那么双曲线C的渐近线方程为______．【答案】【解析】【分析】根据双曲线的定义求得c的值，再求得a的值，直接表示出渐近线方程得出答案.【详解】根据题意，得出c=2，根据双曲线的性质的易知所以a=1，双曲线的渐近线方程为故答案为【点睛】本题目主要考查了双曲线的性质，以及a、b、c之间的关系和渐近线的方程，属于基础题.13.已知两点，，动点Q满足若P为直线上动点，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】设出动点Q的坐标，根据题意求出点Q的轨迹方程，其轨迹方程是以（0,0）为圆心，半径r=1的圆，再利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，最小值为距离减去半径.【详解】设动点Q（x，y），所以又因为所以所以点Q是以（0,0）为圆心，半径r=1的圆，圆心（0,0）到直线的距离的最小值为故答案为【点睛】本题主要考查了圆的方程以及直线与圆的位置关系，圆上的点到直线的最短距离和最长距离分别为d-r和d+r，属于中等题.14.已知函数．若，则函数的零点有______个；若对任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是______．【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】把a=0带入，令f(x)=0，求解，有几个解就有几个零点；分类讨论，令a>0,a=0,a<0分别进行讨论，最后求得a的取值范围.【详解】当a=0，当,时，=0，解得x=2或x=0，当，x=0无解故有两个零点（1）当时，f（1）=1，此时，不成立，舍；（2）当a=1，此时f（x）的最大值为f（1），所以成立；（3）当，令当x<0时，当时，，恒成立；故，综上故答案为【点睛】本题考查了函数零点的问题以及恒成立求参数问题，本题第二问的求参数主要考查了分类讨论的思想，如何分类，思路清晰是解题的关键，属于较难的题目.求函数零点的方法：1.解方程f(x)=0的根；2.利用函数零点存在性定理和函数的单调性；3.利用数形结合，找图像的交点个数.三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数．（1）求的值；（2）求证：当时，．【答案】（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）先利用倍角公式和辅助角公式，对原式进行化简，然后求出的值；（2）求出当时，f(x)的范围，得证.【详解】解：1∵，∴．证明：2，，当时，即时，取得最小值，当时，．【点睛】本题主要考查了三角函数的变形以及告知x的取值，求三角函数值域的问题，解题的关键是能否把三角函数化简，属于基础题型.16.已知等差数列和等比数列满足，．（1）求数列的通项公式：（2）求和：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质求出首项和公差，得出通项公式；（2）利用等比数列的性质，得出首项和，求得的通项，再求和.【详解】解：1等差数列和等比数列满足，．，解得，，数列的通项公式．2等差数列和等比数列满足，．，解得，，．【点睛】本题主要考查了等差等比数列的性质以及通项公式的求法和等比的求和公式，本题的解题关键是数列是以为首项，公比为的等比数列,属于基础题.17.如图，在四棱柱中，底面ABCD为正方形，侧棱底面ABCD，E 为棱的中点，，．（1）求证：平面BDE；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1【解析】【分析】（1）利用线面平行的判断定理得证；（2）先用线面垂直的判定证明平面，再利用性质得出；（3）利用等体积法转化底面，求得体积.【详解】1证明：设，连接OE，在中，，E分别为AC ，的中点，，平面BDE ，平面BDE，平面BDE；2证明：侧棱底面ABCD ，底面ABCD ，，底面ABCD 为正方形，，，平面，平面，；3解：侧棱底面ABCD于A，E 为棱的中点，且，，即三棱锥的高为．由底面正方形的边长为2，得．．【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行、线面垂直等相关知识的证明，还考查了运用等体积法求体积的方法，属于基础题.18.2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会，本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展，其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注简称备受关注的企业数与该展区的企业数的比值．（1）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（2）某电视台采用分层抽样的方法，在“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中抽取6家进行了采访，若从受访企业中随机抽取2家进行产品展示，求恰有1家来自于“医疗器械及医药保健”展区的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出7个展区的总企业数，在求得备受关注的智能及高端装备企业数，然后求得其概率;（2）先根据抽取6家利用分层抽样分别计算出在“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”的企业数，在列出抽2家所有的可能性，再求出满足题意的概率即可.【详解】解：1个展区企业数共家，其中备受关注的智能及高端装备企业共家，设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A，．2消费电子及家电展区备受关注的企业有家，医疗器械及医药保健展区备受关注的企业有家，共36家，抽取的6家企业中，来自消费电子及家电展区企业有家，记为，，来自医疗器械保健展区企业有家，记为，抽取两空进行产品展示的企业所有可能为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中满足恰有1家来自医疗器械及医药保健展区的有8种，恰有1家来自于“医疗器械及医药保健”展区的概率．【点睛】本题考查了古典概型的概率公式以及分层抽样的求法，列出所有的可能性，再找出符合条件的情况，属于基础题.19.已知椭圆C：的右焦点为，离心率为，直线1：与椭圆C交于不同两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线MF的倾斜角与直线NF的倾斜角互补．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意知道焦点和离心率，分别求出a、b、c，得出椭圆方程；（2）设出点M、N的坐标，联立方程化简，得出一元二次方程，再表示出直线MF与直线NF的斜率，计算可得证.【详解】解：1椭圆C：的右焦点为，离心率为，由题意得，解得，，椭圆C的方程为．证明：2设，，由，得，依题意，解得，，，当或时，得，不符合题意．.，直线MF的倾斜角与直线NF的倾斜角互补．【点睛】本题主要考查了椭圆的方程的求法和性质的运用，还考查了直线与圆锥曲线的相交问题的综合知识；属于中档题.直线与圆锥曲线的相交问题：（1）设出直线方程和点的坐标（注意斜率不存在的情况）；（2）联立方程得一元二次方程（注意考虑判别式），写出韦达定理；（3）转化问题，将题目已知条件转化为数学公式；（4）计算.20.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：当时，．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求得点的坐标，和切线的斜率，利用点斜式求出切线方程;（2）先证明，利用单调性求出f(x)的最小值；再证明，构造新函数构造函数，判断出单调性求最值得证.【详解】解：1函数，，，，曲线在点处的切线方程为：，整理得：．证明：2先证明，，是增函数，，构造函数，，，递减，即，递减，，，当时，．【点睛】本题目主要考查了曲线的切线方程和导函数的应用问题，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题.。

2019丰台区高三上数学期末试卷

2019丰台区高三上数学期末试卷各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢[编辑推荐]做题是巩固知识点最有效的方法之一，所以大家要大量练习习题，使自己的学习有所进步。

小编为大家整理了高三上册数学期末试卷，供大家参考。

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集U={1，3，5，7}，集合m={1，}，{5，7}，则实数a的值为2或-8-2或-8-2或82或82.“”是“”的充分但不必要条件必要但不充分条件充分且必要条件既不充分也不必要条件3.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是4.如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是v新课-标-第-一-网125.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是6.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为45797.在平面直角坐标系xoy中，已知A，B，点c在第二象限内，，且|oc|=2，若，则，的值是，11，-1，-，18.已知函数f=,且，集合A={m|f0都有f0,即，………………………4分当时,g5，所以函数f在区间上的最大值是..…14分19.曲线都是以原点o为对称中心、离心率相等的椭圆.点m的坐标是,线段mN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D 两点，与交于B,c两点.当m=，时，求椭圆的方程;若oB∥AN，求离心率e的取值范围.解：设c1的方程为,c2的方程为,其中...2分c1,c2的离心率相同，所以,所以，……………………….…3分c2的方程为.当m=时，A,c..………………………………………….5分又,所以，，解得a=2或a=，………….…………..6分c1,c2的方程分别为，.………………………………….7分A,B.…………………………………………9分oB∥AN,,, (1)1分，，.………………………………………12分，， (13)分20.已知曲线，是曲线c上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点)是以为直角顶点的等腰直角三角形.求，的坐标;求数列的通项公式;令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，写出N的最小值并证明;若不存在，说明理由.解：∆B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，直线B0A1的方程为y=x.由得，即点A1的坐标为，进而得.…..3分根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可得，即.…………………………..5分和均在曲线上，，，代入式得，，………………………………………………………..7分数列是以为首项，2为公差的等差数列，其通项公式为.……………………………………………....8分由可知，，，……………………………………………………9分>，.==.….……………..…………10分.……………………….11分-=.当n=1时不符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有.观察知，欲证式，只需证明当n≥2时，n+1<2n以下用数学归纳法证明如下：当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边;假设n=k时，<2k,当n=k+1时，左边=+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边,对于一切大于或等于2的正整数，都有n+1<2n，即<成立.综上，满足题意的n的最小值为2.……………………………………………..13分欲证成立，只需证明当n≥2时，n+1<2n.，并且，【总结】高三上册数学期末试卷就为大家介绍到这儿了，小编的整理有帮助到大家吗?如果大家还需要了解更多有关学习的内容，请继续关注中国（）。

北京市丰台区高三上学期期末练习数学试题含答案

丰台区2019—2020学年度第一学期期末练习高三数学 2020.01 第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|13}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则AB =（A ）{|13}x x -<<（B ）{|11}x x -<<（C ）{|12}x x <<（D ）{|23}x x <<2．命题“000(0+)ln 1x x x ∃∈∞=-,，”的否定是（A ）000(0+)ln 1x x x ∃∈∞≠-,，（B ）000(0+)ln 1x x x ∃∉∞=-,，（C ）(0+)ln 1x x x ∀∈∞≠-,，（D ）(0+)ln 1x x x ∀∉∞=-,，3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）y x =- （B ）21y x =- （C ）cos y x =（D ）12y x =4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(000),,，(001),,，(110),,，(101),,，则此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为（A ）14（B ）12（C ）34（D ）15．已知菱形ABCD 边长为1，=60BAD ∠︒，则=BD CD（A ）12（B ）12-（C （D ）6．双曲线2241x y -=的离心率为（A （B （C （D7．已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，满足3110S S -=，且124a a a ,,成等比数列，则3a =（A ）2 （B ）6 （C ）56或（D ）128. 在261()x x-的展开式中，常数项是（A ）20-（B ） 15-（C ）15（D ）309. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为v （单位：m /s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q . 科学研究发现v 与3log 100Q成正比. 当1m /s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900. 当2m /s v=时，其耗氧量的单位数为（A ）1800（B ） 2700（C ）7290（D ）810010. 在边长为2的等边三角形ABC 中，点D E ，分别是边AC AB ，上的点，满足DE ‖BC 且AD ACλ=((01))λ∈,，将△ADE 沿直线DE 折到△A DE '的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（A ）在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足BF ‖平面A CD '（B ）存在1(0)2λ∈,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE（C ）若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，4A B '=（D ）在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为9第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 复数11i+的实部为．12. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成种重卦．（用数字作答）13. 已知a b c ,,分别为△ABC 内角A B C ,,的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则c o s A = ．14. 我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：①所有的奇数项满足2121n n a a -+<，所有的偶数项满足222n n a a +<； ②任意相邻的两项21n a -，2n a 满足21n a -<2n a . 根据上面的信息完成下面的问题：（i ）数列123456，，，，， “有趣数列”（填“是”或者“不是”）；（ⅱ）若2(1)nn a n n=+-，则数列{}n a “有趣数列”（填“是”或者“不是”）.15．已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，则F 的坐标为；过点F 的直线交抛物线C 于A B ,两点，若4AF =，则△AOB 的面积为．16．定义域为R 的函数()f x 同时满足以下两条性质：①存在0x ∈R ,使得0()0f x ≠； ②对于任意x ∈R ，有(1)2()f x f x +=.根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数. （i ）若()f x 是增函数，则()f x = ；（ⅱ）若()f x 不是单调函数，则()f x = .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.（本小题共13分）已知函数2()sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0]2,上的最大值.18.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，π2BAC ∠=，11AA AB AC ===，1CC 的中点为H .（Ⅰ）求证：1AB A C ⊥；（Ⅱ）求二面角1A BC A --的余弦值；（Ⅲ）在棱11A B 上是否存在点N ，使得HN ‖平面1A BC ？若存在，求出111A N AB 的值；若不存在，请说明理由．19.（本小题共13分）目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境. 我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境. 垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失. 2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类 .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省造纸能源消耗40％～50％.现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：（Ⅰ）从A ，B ，C ，D ，E 这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；（Ⅱ）从A ，B ，C ，D ，E 这5个小区中任取2个小区，记X 为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X 的分布列及期望．20.（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点. 求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值.21.（本小题共14分）已知函数321(1)()32a f x x x ax +=-+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0(0))f ,处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）对于任意1x ，2[02]x ∈,，都有122()()3f x f x -≤，求实数a 的取值范围.22.（本小题共13分）已知*2n n ∈≥N ，，给定n n ⨯个整点()x y ,,其中1x y n x y ≤≤∈*N ,,,.（Ⅰ）当2n =时,从上面的22⨯个整点中任取两个不同的整点1122()()x y x y ,,,，求12x x +的所有可能值；（Ⅱ）从上面n n ⨯个整点中任取m 个不同的整点，512n m ≥-.（i ）证明：存在互不相同的四个整点),(),,(),,(),,(22221111y x y x y x y x ''''，满足11y y '=, 2212y y y y '=≠,；（ii ）证明：存在互不相同的四个整点),(),,(),,(),,(22221111y x y x y x y x ''，满足 2211x x x x '+='+,.21y y ≠（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2019~2020学年度第一学期期末练习高三数学参考答案及评分参考2020．01二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．12 12．15 13．7814．是；是 15．(10),；316．2x；2sin 2x x π(答案不唯一)注：第14、15、16题第一空3分，第二空2分.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17.（本小题共13分）解：（Ⅰ）2ππππ()sincos3333f =⋅211()222=+2=. ……………….4分（Ⅱ）2()sin cos f x x x x =⋅+1cos 21sin 222x x +=πsin(2)32x =++.因为π[0]2x ∈,，所以ππ4π2[]333x +∈,. 当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值12+. ……………….13分18.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥.因为π2BAC ∠=，所以AC AB ⊥. 又因为1ACAA A =，所以AB ⊥平面1A AC . 因为1A C ⊂平面1A A C，所以1AB A C ⊥. ……………….4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系A xyz -．因为11AA AB AC ===，所以(000)A ，，，(100)B ，，，(010)C ，，，1(001)A ，，. 因为1AA ⊥平面ABC ，所以1(001)AA =,,即为平面ABC 的一个法向量. 设平面1A BC 的一个法向量为()x y z =,,n ，1(101)A B =-,,，1(011)AC =-,,，则1100.A B A C ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩,n n 即00.x z y z -=-=⎧⎨⎩,令1z =，则11x y ==,.于是(111)=,,n.所以111cos 3AA AA AA ⋅==⋅,n n n.由题知二面角1A B C A --为锐角，所以其余弦值为3. ……………….10分（Ⅲ）假设棱11A B 上存在点()N x y z ,,，使得HN ‖平面1A BC .由111(01)A N A B λλ=≤≤，又11(100)A B =,,，故1(0)0A N λ=,,.因为1(011)C ，，，H 为1CC 的中点，所以1(01)2H ，，.所以111(1)2HN HA A N λ=+=,-,.若HN ‖平面1A BC ，则1102HN λ⋅==-+n ，解得1[01]2λ=∈,.又因为HN ⊄平面1A BC .所以在棱11A B 上存在点N ，使得HN ‖平面1A BC ，且11112A N AB =.……………….14分 19．（本小题共13分）解：（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A .由题意，有B ，C 两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，所以2()5P A =. ……………….4分（Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B ，C ，共2个小区.X 的所有可能取值为0，1，2. 23253(0)10C P X C ===；11322563(1)105C C P X C ⋅====；22251(2)10C P X C ===.所以X 的分布列为:()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．……………….13分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切，所以半径b 等于原点到直线的距离d ，b d ==，即3=b .由离心率12e =，可知12c a =，且222a b c =+，得2a =.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………….4分（Ⅱ）由椭圆C 的方程可知(20)S ,.若直线l 的斜率不存在，则直线l 方程为1x =，所以33(1)(1)22P Q -,, ,.则直线PS 的方程为3260x y +-=，直线QS 的方程为3260x y +-=.令4=x ，得(43)A ,-，(43)B ,. 所以A B ，两点的纵坐标之积为9-.若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=，依题意0≥∆恒成立.设112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,，则2212122284123434k k x x x x k k -+==++,. 设(4)A A y ,(4)B B y ,，由题意P S A ，，三点共线可知11422A y yx =--，所以点A 的纵坐标为1122A y y x =-. 同理得点B 的纵坐标为2222B y y x =-. 所以12122222A B y y y y x x =⋅--.212121212222222222()142()44128434412284(43)9449x x x x k x x x x k k k kk k k k k-++=-++--++=--⨯++-=⨯=-综上，A B ，两点的纵坐标之积为定值.……………….13分21．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当1a =时，因为321()3f x x x x =-+所以2()21f x x x '=-+，(0)1f '=. 又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0(f ,处的切线方程为y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为321(1)()32a f x x x ax +=-+，所以2()(1)0f x x a x a '=-++=. 令()0f x '=，解得x a =或1x =.若1a >，当()0f x '>即1x <或x a >时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<即1x a <<时，函数()f x 单调递减. 若1a =，则22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，当且仅当1x =时取等号，函数()f x 是增函数.若1a <，当()0f x '>即x a <或1x >时，函数()f x 单调递增.当()0f x '<即1a x <<时，函数()f x 单调递减.综上，1a >时，函数()f x 单调递增区间为(1)()a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1)a ,； 1a =时，函数()f x 单调递增区间为()-∞+∞,；1a <时，函数()f x 单调递增区间为()(1)a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1)a ,. ……………….9分（Ⅲ）令2()(1)0f x x a x a '=-++=，解得x a =或1x =.当0a ≤时，随x 变化，()()f x f x ', 变化情况如下表：由表可知(0)(1)f f >，此时2(2)(1)3f f ->，不符合题意.当01a <<时，随x 变化，()()f x f x ', 变化情况如下表：由表可得3211112(0)0()(1)(2)62263f f a a a f a f ==-+=-=,,, ，且(0)()f f a <，(1)(2)f f <，所以只需()(2)(1)(0)f a f f f ≤≥⎧⎨⎩，，即32112623110.26a a a -+≤-≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得113a ≤<.当1a =时，2()21(1)0f x x x x '=-+=->在(02),恒成立，符合题意.当12a <<时，只需(1)(2)()(0)f f f a f ≤≥⎧⎨⎩，，即32112263110.62a a a -≤-+≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得513a <≤. 当2a ≥时，(1)(2)f f >，不符合题意. 综上，实数a的取值范围是15[]33,. ……………….14分22．（本小题共13分）解:（Ⅰ）当2n =时，4个整点分别为(11)(12)(21)(22),,,,,,,.所以12x x +的所有可能值234,,. ……………….3分（Ⅱ）（i ）假设不存在互不相同的四个整点11112222()()()()x y x y x y x y '''',,,,,,,，满足112212y y y y y y ''==≠,,. 即在直线*(1,)N y i i n i =≤≤∈中至多有一条直线上取多于1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为121n n n -+=-.而52112n n -<-，与已知512m n ≥-矛盾.故存在互不相同的四个整点11112222()()()()x y x y x y x y '''',,,,,,,，满足112212y y y y y y ''==≠,,. （ii ）设直线*(1,)N y i i n i =≤≤∈上有i a 个选定的点.若2i a ≥，设y i =上的这i a 个选定的点的横坐标为12i a x x x ⋅⋅⋅，，，，且满足12i a x x x <<⋅⋅⋅<.由12132324341i i a a x x x x x x x x x x x x -+<+<+<+<+<⋅⋅⋅<+，知12i a x x x ⋅⋅⋅，，，中任意不同两项之和至少有23i a -个不同的值，这对于2i a <也成立.由于1,2,3,,n ⋅⋅⋅中任意不同两项之和的不同的值恰有23n -个，而()1232352323ni i a m n n n n =-=-≥--≥-∑,可知存在四个不同的点11112222()()()()x y x y x y x y '',,,,,,,，满足1x x ''+=+≠,,.21y y ≠ (13)分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

2020丰台区高三数学期末试题及答案_202001082023496

丰台区2019—2020学年度第一学期期末练习高三数学2020.01本试卷共8页，分为第一部分和第二部分,调分150分.考试时长120分钟.2.答卷前.考生务必在试卷和答旳卡（纸）上准确壊写学校、姓名和考号.3-甘箱答案一律书写在答题卡（纸）上，在试卷上作答无SL4、在答题卡（纸）上.选择题用2B铅笔作答，其他试題用黑色字迹签字笔作答.5 .考试结束，将本试卷、答籠卡（纸）和草稿纸一并交回.第一部分（选择题共40分）—、透择■共10小JK,每小题4分.共40分.在鸳小题列出的四个选项中，选出符合U目寒求的一项.L_ 若集合其={H|1OV3},S={X|-1<X<2> .则AAB (A> UH l<x<3) (B) {xi-l<x<l} XC) {x|l<jr<2} <D) (x|2<j-<3)2.命题-3工,€(0,+8),】心。

=珏一1"的否定是G(A) 3x€ (0. 4- oo)»lnxo^：x(l—】*.(B> 3x p $ (Or -F OD)»1HT O—(C)丫工 £〈0,十oj.lnx Rm —1tD) Vh & (0. + a>) .Inr =jr — 13.下列函数中•既是偽函数又在区间(0,(A) y=—JT y =x'4.一个四面体的頂点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（0,0,0）,（0,0.1）,（1.1,0； . （1.0.1）.则此四面体在zQy坐标平面上的正投彫图形的面积为5（M 7 ⑻—<c, T <D）15.巳知菱形ABCD边长为歸0°.则万3 •布=方（A）y J <C）y （D）-亨6.双曲銭4x s一,' =1的离心率为A（A槌（B）亨（C）占（D淳贏三數学第丨页（共6页）XT, I巳物公Jfe不为°m 心.effMS..・ML5iO，W,・E・等比數列，疝卜（A）2 己,（B）6 8.ft 的展开式中，客故項欢C ,（A）<B）-15 «C） 15 <O> W9•大西洋蛙氧每年郵妥M百上.“ft鶴己出•虻■■零d・ H — 5- ■，正比，豊（单位：m/fit鱼的耗tut的尊taut力Q-HN E。

北京市丰台区2019届高三数学上学期期末练习试题含答案文

北京市丰台区2019届高三数学上学期期末练习试题文第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

2019丰台区高三数学(理)期末试题及答案

丰台区2019年第一学期期末练习高三数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1 2.“20x >”是“0x >”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 3.已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（A ）2014≤n （B ）2016n ≤ （C ）2015≤n （D ）2017n ≤4.若点P 为曲线1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上一点，则点P 与坐标原点的最短距离为（A ）21- （B ）2+1 （C ）2 （D ）2 5.函数()=sin 2+3cos 2f x x x 在区间[0,]π上的零点之和是（A ）23π （B ）712π （C ） 76π（D ）43π6. 若212x a dx =⎰，21b xdx =⎰，221log c xdx =⎰，则,,a b c 的大小关系是（A ）c b a << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）a b c <<7. 若F （c ,0）为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，椭圆C 与直线1x ya b +=交于A ,B 两点，线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为（A ）32 （B ）12（C ）22 （D ）33？结束输出A 否是A =1A +1n =n +1n =1,A =1开始8.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020年丰台区高三上学期期末考试数学(理)试题(有答案)

丰台区第一学期期末练习高三数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么A B U 等于（A ）{2101}，，，-- （B ）{210}，，-- （C ）{21}，-- （D ）{1}-2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（A ）a b <（B ）11a b> （C ）11()()22ab>（D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是（A ）=a b （B ）⋅=a b （C ）()-⊥a b b（D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或726．如果函数()s i n 3c o s f x x ωω=的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)(9)f f f f ++++L 的值为（A ）1 （B ）1（C （D ）7.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（A ）72.4寸（B ）81.4寸（C ）82.0寸（D ）91.6寸8.对于任何集合S ，用|S|表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数. 若集合A ，B 满足条件：|A|=2017，且()()()n A n B n A B +=U ，则|A B |I 等于（A ）2017（B ）2016（C ）2015（D ）2014第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为．11．在261()x x-的展开式中，常数项是（用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+则=2z x y -的最大值为．13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系Oy 中，AC 在轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋DCBA转，如此继续．当△ABC 滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为；在滚动过程中，OB OP ⋅uu u r uu u r的最大值为．14．已知()f x 为偶函数，且0≥x 时，][)(x x x f -=（][x 表示不超过的最大整数）．设()()()g x f x kx k k =--∈R ，若1k =，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC =，2CD =，AD =sin B =（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求边AB 的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ^，E F G ，，分别为棱，，B C A DP A的中点. CBPGF DE QA（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ；（Ⅱ）已知二面角P BF C --，求四棱锥P ABCD -的体积．17.（本小题共14分）数独游戏越越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用表示抽得甲中学的学生人数，求的分布列．18.（本小题共13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112n n c c +=--. （Ⅰ）若117c =，写出数列{}n c 的前4项；（Ⅱ）对于任意101c ≤≤，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c ≥时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．53 11． 1512．4 13．83π； 14．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CDAC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分（Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =. 因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD =. 又因为EC ‖AD 且12EC AD =，所以GH ‖EC ，GH EC =，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分所以EG ‖HC .又因为EG Ë平面PDCQ ，HC Ì平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分（Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ，平面PDCQ I 平面ABCD CD =，PD DC ^，PD Ì平面PDCQ ，所以PD ^平面ABCD ． ……………….6分如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为,y ,轴正方向，建立空间直角坐标系．设PD a =，则()()()00002201 P ,,a F ,,B ,,，，．………………7分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10 PF ,,a uu u r =- ()120 FB ,,uu r=,则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu u r uu r n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令=1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ． ……………….10分由已知，二面角P BF C --，所以得cos <,>||||⋅===m nm n m n……………….11分解得a =2,所以2PD =．……………….13分因为PD 是四棱锥P ABCD -的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=．……………….14分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=，所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. (3)分（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==．答：从30名学生中随机抽取两名学生自同一所中学的概率为829． ………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分所以X 的分布列为：……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e x xf x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ...................4分因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. . (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )xxxh x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分 (1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,l n )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>，所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数，故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -，当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -，当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. (13)分19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ，则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ．……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-，……………….11分则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=．所以，FS FT ⋅uu r uu u r 的值是定值，且定值为0.……………….13分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分（Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1.解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明.（1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ，当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤,即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤,故01121k c ≤--≤.又因为+1=112k k c c --,所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >.显然1,21,01≠-k c ，则 1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾；所以01(2)n c n ≤≤≥所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1. ……………………10分（Ⅲ）2 (13)分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

北京市丰台区2019届高三数学上学期期末考试试题理

北京市丰台区2019届高三数学上学期期末考试试题理第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B =I （A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}- （D ）{|22}x x -≤≤答案：B考点：集合的运算。

解析：取集合A ，B 的公共部分即可，所以，A B =I {1,0,1,2}- 2．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a = （A ）3 （B ）13（C ）13-（D ）3-答案：D考点：复数的概念及其运算。

解析：(2i)(i)a -+＝21(2)a a i ++-，实部与虚部互为相反数，所以，21(2)a a ++-=0，解得：3a =-3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（A ）34（B ）45（C ）56（D ）67答案：B考点：程序框图。

解析：第1步：S ＝12，k ＝1＜4，k ＝k+1＝2第2步：S ＝23，k ＝2＜4，k ＝k+1＝3第3步：S ＝34，k ＝3＜4，k ＝k+1＝4 第4步：S ＝45，k ＝4＜4，否，退出循环，所以，S ＝45。

4．已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =.若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（A ）30 （B ）45（C ）90（D ）186答案：C考点：等差数列的通项公式，前n 项和。

解析：公差d ＝6－3＝3，3(1)33n a n n =+-⨯=，26n n b a n ==，数列{}n b 是以6为首项，6为公差的等差数列，前5项和为：S ＝545662´??＝90 5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（A ）2（B（C）（D）俯视图侧（左）视图正（主）视图答案：D 考点：三视图。

北京丰台区2019高三上期末考试数学理试题(解析版)

丰台区2019届高三上学期期末考试试题数学（理科） 2019.01 第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B = （A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}- （D ）{|22}x x -≤≤答案：B考点：集合的运算。

解析：取集合A ，B 的公共部分即可，所以，A B ={1,0,1,2}- 2．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a = （A ）3 （B ）13（C ）13-（D ）3-答案：D考点：复数的概念及其运算。

北京市丰台区2019届高三第一学期期末考试数学(理)试题(解析版)

北京市丰台区2018-2019学年度第一学期期末练习高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.若复数的实部与虚部互为相反数，则实数A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，，解得，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.执行如图所示的程序框图，输出的的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】执行程序框图，可知该框图表示数列的前4项和，利用裂项相消法可得结果.【详解】模拟程序的运营，可知该程序的功能是求的前4项和，并输出，故选B【点睛】算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮点，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.4.已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（）A. 30B. 45C. 90D. 186【答案】C【解析】由，，，所以。

5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，根据三视图中数据，求出各棱的长，从而可得结果.【详解】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，直观图如图，图中，与底面垂直，且，由勾股定理可得，所以最长的棱为，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6.设是非零向量，则是的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为是非零向量，所以若，则，即；若，则，可得或，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.一种画双曲线的工具如图所示，长杆通过处的铰链与固定好的短杆连接，取一条定长的细绳，一端固定在点，另一端固定在点，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆，拉紧绳子，移动笔尖（长杆绕转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若，，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，可得，则，由双曲线的定义可得，从而可得结果.【详解】设，因为，，所以，可得，由双曲线的定义可得的轨迹是双曲线的一支，且，，离心率，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，可得平面,再证明平面平面,可知在上时，符合题意，从而得到与重合时三角形的面积最小，进而可得结果.【详解】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,在平面内，在平面外，所以平面,因为与在平面内相交，所以平面平面,所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，此时，三角形的面积最小，最小值为，故选C.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市丰台区2019届高三数学上学期期末练习试题文

北京市丰台区2019届高三数学上学期期末练习试题文第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|22}B x x =-<<，那么A B =（）（A ）{0,1} （B ）{1,0,1}- （C ）{1,0,1,2}-（D ）{|22}x x -<<2．复数(1i)(2+i)z =+在复平面内对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（）（A ）34 （B ）45 （C ）56（D ）674．若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤≤≥ 则2x y -的最大值是（（A ）2- （B ）12-（C ）1（D ）45．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（）（A ）2（B （C ）（D ）俯视图侧（左）视图正（主）视图6．设,a b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知抛物线28y x =的焦点与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为（）（A ）2 （B ）23（C（D ）128．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形126A A A的中心，若11)4A ，则点3A 的纵坐标为（）（A）8 （B）8 （C（D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。