空间图形的公理(难)

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空间图形的公理(公理1,2,3)

B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定4个平面
2. 下列命题中正确的是（ B ） A ．空间三点可以确定一个平面 B ．三角形一定是平面图形 C ．若 A ， B ， C ， D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合 D ．四条边都相等的四边形是平面图形

B
A l ,B l ,A ,B l

作用：判定直线是否在平面内．
思考5：观察长方体，你发现长方体的两个平面有
什么位置关系？
D
A
提示：两个平面平行或者相交．
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内，那
么这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的基础．

B
提示：不只相交于一点B，如下图所示：

B
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那
么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l, 且 P l

P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1．下列说法中正确的是( D )
A．经过三点确定一个平面

1.4.2--空间图形的公理(公理4、定理)

3．下列四个说法： ①分别在两个平面内的两条直线是异面直线 ②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条
③和两条异面直线都相交的两条直线必异面
④若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线其中正确的说法的个数为( A．3 B．2 ) C．1 D．0
【解析】选D. 根据异面直线的定义可知，4种说法均
(2014·九江高一检测）空间两个角α 、β ，且α 与β 的两
边对应平行，且α ＝60°，则β 为(
A．60° C．30° B．120° D．60°或120°
)
【解析】选D.∵α与β两边对应平行，但方向不一定．∴α与β相等或互补．
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a，b的平行线 a′和 b′，则这两条线所成的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所成的角.
图形语言

符号语言
公理3：文字语言如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
β
图形语言
α
·
P
l
符号语言 P l, 且P l
作用:一是判定两个平面是否相交;二是判断点在直线上.
1.掌握公理4及“等角定理”. (重点)
b b′ a′ θ O
a
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直记作:a⊥b.
. 异面直线所成角θ 的取值范围：（0， ]
2
例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD在原正方体中的位置关系是（ D ）. A.平行 B.相交且垂直
C
C.异面直线
D.相交成60°
AE AH 2 CF CG 2 , , 点,且 AB AD 3 F、G分别是边CB、CD上的点,且 CB CD 3

高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.1空间图形的基本关系与公理1公理3课

与平面的位置关系. 如果一条直线和一个平面有无数个公共点,则称这条直线在这个平面内.直线 l 在平面 α 内,记作 l⫋α. 如果一条直线和一个平面只有一个公共点,则称这条直线和这个平面相交.直线 l 与平面 α 相交于点 P,记作 l∩α=P. 如果一条直线和一个平面没有公共点,则称这条直线和这个平面平行.直线 l 与平面 α 平行,记作 l∥α. (5)空间平面与平面的位置关系. 如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行.平面 α 与平面 β 平行,记作 α∥β. 如果两个平面不重合但有公共点,则称这两个平面相交.
问题导学
当堂检测
1.公理 1 的应用活动与探究例 1 已知 a∥b,a∩c=A,b∩c=B,求证:a,b,c 三条直线在同一平面内. 思路分析:依题意,可先证 a 与 b 确定一个平面,再证明 c 在这个平面内,从而可证 a,b,c 在同一平面内. 证明:∵ a ∥b , ∴ a 与 b 确定一个平面 α, ∵ a∩c=A,∴ A∈a,从而 A∈α; ∵ b∩c=B,∴ B∈b,从而 B∈α. 于是 AB⫋α,即 c⫋α,故 a,b,c 三条直线在同一平面内.
若 A∈α,A∈β,且 α,β 不重合,则 α∩β=l,且 A∈l
目标导航
预习引导
预习交流 3
公理 1 的三个推论是什么? 提示:推论 1:一条直线和直线外一点确定一个平面. 推论 2:两条相交直线确定一个平面. 推论 3:两条平行直线确定一个平面.
预习交流 4
公理 1 中的“有且只有一个”的含义是什么? 提示:“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一.“有且只有”强调的是存在性和唯一性两个方面,确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词,也是指存在性和唯一性这两个方面.

几何原本的公设和公理

几何原本的公设和公理几何学是一门研究空间中图形、大小、位置关系和性质的学科，它的基础在于公设和公理。

公设和公理是几何学中最基本的概念，它们构成了几何学体系的基础。

本文将详细介绍几何原本的公设和公理。

一、公设1.点线面公设点是没有长度、宽度和高度的，只有位置的概念。

线是由无数个点连成的，具有长度但没有宽度和高度。

面是由无数条线围成的，具有长度和宽度但没有高度。

2.尺规作图公设尺规作图是指用直尺和圆规来画出一些特定形状的图形。

尺规作图公设认为可以用直尺和圆规画出能够被分解为直线段与圆弧相交所得到的长度为1的线段。

3.平行公设平行公设认为如果一条直线上有两个点与另一条直线上两个点相对应且这两条直线不重合，则这两条直线必定平行。

二、公理1.欧几里德几何五大公理欧几里德几何是古希腊数学家欧几里德所创立的几何学体系。

欧几里德几何的五大公理包括：（1）任意两点之间都可以画一条直线。

（2）有限直线段可以无限延长。

（3）以一个点为圆心、以一个确定的长度为半径可以画出一个唯一确定的圆。

（4）所有直角相等。

（5）如果一条直线上有两点与另一条直线上两点相对应，则这两条直线不会相交，或者在相交处形成同侧的两个直角。

2.非欧几里德几何公理与欧几里德几何不同，非欧几里德几何并不认为第五公理是正确的。

非欧几里德几何有多种公理体系，其中最著名的是黎曼几何和洛巴奇夫斯基空间。

黎曼几何公理认为平面上不存在平行线，而洛巴奇夫斯基空间则认为平面上存在无穷多个平行线。

三、总结公设和公理是构成了现代数学中各个分支学科体系中最基本概念和规则，它们构成了各个分支学科体系的基础和框架。

在学习数学时，我们需要深入掌握这些基本概念和规则，以便更好地理解和应用数学知识。

高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理

第十二页，共42页。
[小组合作型]
空间点、线、面的位置(wèi zhi)关系
(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
(2)如图 1-4-1，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
图 1-4-1
第十页，共42页。
两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
【解析】若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．
【答案】 C
第十一页，共42页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
平面与平面的位置关系
面面平行面面相交
α∥β α∩β＝a
第五页，共42页。

几何图形的公理

几何图形的公理
contents
目录
• 平行线公理 • 三角形的不等式公理 • 欧几里得公理 • 圆的公理
01 平行线公理
定义
平线与已知直线平行。
解释
这个公理是几何学中关于平行线的基本性质，它说明了在平面内，通过一个不在给定直线上的点，只能做出一条与给定直线平行的直线。
如果线段AB被另一直线CD分为两段AC和BD，则有AC + BD <= AB。
性质
三角形不等式公理的性质1
在三角形ABC中，如果边BC上有点D，则AD <= AB + AC。
三角形不等式公理的性质2
在三角形ABC中，如果边BC上有点D，则BD + DC <= AB + AC。
三角形不等式公理的性质3
详细描述
圆具有一些基本的性质。例如，圆周角等于其所夹弧所对的圆心角的一半。此外，任何经过圆心的弦都会将圆分成两个相等的部分。这些性质在几何学中有着广泛的应用。
应用
总结词
圆在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，包括建筑设计、机械制造、天文学和物理学等领域。
详细描述
圆作为一种基本的几何图形，在许多领域中都有实际的应用。在建筑设计中，圆可以创造出优雅和和谐的视觉效果。在机械制造中，圆的精确性是不可或缺的，如轴承和齿轮的设计。在天文学和物理学中，圆也经常被用来描述星球的运动轨迹和光的传播路径等自然现象。
详细描述
在平面几何中，欧几里得公理用于证明各种定理和性质，如三角形的全等定理、勾股定理等。在立体几何中，欧几里得公理用于研究空间几何对象的形状和大小。在解析几何中，欧几里得公理用于将几何问题转化为代数问题，从而通过代数方法解决几何问题。

空间几何的公理系统构建立体几何学的基本原理

空间几何的公理系统构建立体几何学的基本原理在数学中，几何学是研究空间和形状的学科。

而立体几何学是几何学的一个重要分支，它关注的是三维空间中的图形和物体。

立体几何学的基本原理由一系列的公理系统构建而成，这些公理被认为是几何学的基础，为我们研究三维世界提供了坚实的理论基础。

公理是几何学研究中最基本的概念和原理，它是从直觉和观察总结出来的基本真理，不需要证明就可以成立。

在立体几何学中，有一些经典的公理可以用来构建整个几何系统。

首先，立体几何学的基本公理之一是点、线和面的概念。

在三维空间中，点用来表示没有大小和形状的位置，而线是由两个点之间的连接形成的，它有长度但没有宽度。

面是由三个或更多的点以及通过这些点的直线形成的，它有长度和宽度但没有厚度。

其次，立体几何学的公理还包括平行公理。

平行公理描述了两条平面或直线之间的关系，它指出如果有一条直线和一条平面，并且这条直线在这个平面上的任何一点和这条直线上的所有点都相交，那么这条线与这个平面平行。

此外，立体几何学的公理还包括距离公理和角度公理。

距离公理描述了任意两个点之间的距离，它指出距离是非负的，并且如果两个点的距离为零，则这两个点是重合的。

角度公理描述了两条线之间的夹角，它指出夹角的度数是非负的，并且如果两个角度的度数相等，则这两个角度是相等的。

最后，立体几何学的公理还包括一些常用的推理原理，如反证法和假设法。

这些推理原理可以帮助我们在研究立体几何学问题时进行分析和推导。

通过以上这些公理系统的构建，我们可以建立起一个完整而严谨的立体几何学理论体系。

这个体系为我们研究空间中的图形和物体提供了强大的工具和方法。

在实际应用中，立体几何学的基本原理也被广泛应用于建筑设计、工程制图、计算机图形学等领域。

总之，空间几何的公理系统构建立体几何学的基本原理是我们研究三维空间中的图形和物体的基础。

这些公理系统提供了几何学研究的框架和方法，通过推理和证明可以得到具体的结论。

立体几何学在解决实际问题和应用领域中具有广泛的意义和应用价值。

高三一轮复习7.2 空间图形的基本关系与公理

第2节
空间图形的基本关系与公理
【2015年高考考纲下载】
1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的
位置关系的简单命题.Fra bibliotek考点梳理
一､知识结构
1．空间图形的公理两点在一个平面内，那么这 (1)公理1：如果一条直线上的_____ 条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．不在同一条直线上的三点，有且只有一个 (2)公理2：经过_________________ 平面(即可以确定一个平面)．一个公共点，那么它 (3)公理3：如果两个不重合的平面有_____ 们有且只有一条通过这个点的公共直线．
考向二
空间中两直线的位置关系
【例2】►如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中， ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
[审题视点] 还原成正四面体来判断．
解析
如图所示，GH与EF为异面直线，
BD与MN为异面直线，GH与MN成60° 角，DE⊥MN. 答案 ②③④
空间中两直线位置关系的判定，主要是异
面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线
情况．
平行、_____ 相交两种情况． (2)平面与平面的位置关系有_____
(3) 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两相等或互补．个角___________
【助学· 微博】一个理解异面直线概念的理解

4.2.2 空间图形的公理(二) 精品课

几何建立了联系，促进了数学学科间的知识的渗透．
栏目导引
第一章
立体几何初步
4.判定两直线为异面直线的常用方法有： (1)定义法：证明两条直线不同在任何一个平面内． (2)排除法：排除两直线共面(平行或相交)，则两直线是异面直线．
栏目导引
第一章
立体几何初步
失误防范
1.注意异面直线不具有传递性：即a与b异面、b与c 异面，而a与c不一定异面． 2.异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个量，是通过转化为相交直线所成角来解决，要注意两条异面直线所成的角的范围．例如：若异面直线所成的角为30°，则平移后的直线所成
定义
取值范围
特例
异面直线所成的角θ的取值范围： 0°<θ≤90° ______________________ 90° 当θ＝________时，a与b互相垂直，记作a⊥b
பைடு நூலகம்
栏目导引
第一章
立体几何初步
做一做例.下列正方体或三棱锥中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则其中直线PS与直线QR异面的一个图是 ( )
∴A1A∥E1E.
又∵A1A∥B1B，∴E1E∥B1B. ∴四边形E1EBB1是平行四边形．
∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.
又∵∠C1E1B1与∠CEB两边的方向相同， ∴∠C1E1B1＝∠CEB.
栏目导引
第一章
立体几何初步
【点评】
空间等角定理实质上是由以下两
个结论合成的： (1)若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；(2)若一个角的两边与另一个角的两边
栏目导引
第一章
立体几何初步

1.4.1空间图形基本关系的认识1.4.2__空间图形的公理(公理1、2、3)

D A B
C 共点B′，经过点B有且只有一条过该点的
公共直线B′C′.
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么
它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
P l , 且P l

P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
（5）空间平面与平面的位置关系有两种： I 如图②中，平面α和平面β没有公共点，这样
的两个平面叫作平行平面，记作:α∥β； II 如图③中，平面α和平面β不重合，但有公共点，
这样的两个平面叫作相交平面.
思考交流
1. 观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、线、面
的位置关系的例子.
2.
观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面的位置
关系.
课堂探究2
空间图形的公理思考1：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？
思考2:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否在
平面α 内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）．

A
l B
A l ,B l ,A ,B l
作用：

在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，总结出关于平面的一些基本性质，我们把它作为公理．这些公理是进一步推理的基础．
判定直线是否在平面内．
思考3：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样确定一个

空间图形的公理(公理4、定理

空间图形的公理
目录
• 公理4 • 定理 • 空间图形的性质 • 空间图形的分类
01
CATALOGUE
公理4
公理4的表述
公理4：如果一条直线上的两点位于一个平面内，则该直线上所有点都位于这个平面内。
这条公理是空间图形的基础，它定义了平面和直线之间的关系，并确定了平面和直线的基本性质。
公理4的意义
02
CATALOGUE
定理
定理的表述
1 2
欧几里得平行公理
通过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。
角平分线定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3
勾股定理
直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
定理的证明
欧几里得平行公理的证明
通过反证法，假设过直线外一点有两条与已知直线平行的直线，则这两条直线必然相交于某一点，从而形成了一个新的平面，与已知直线相交，这与平行公理矛盾，因此假设不成立，所以过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。
• 公理4的意义在于它为几何学中的平面和直线提供了严格的定义。这个公理表明，如果一条直线上的两点都位于一个平面上，那么整条直线都会在这个平面上。这个公理是几何学中平面和直线的基本性质，是后续几何定理和推论的基础。
公理4的应用
• 公理4的应用非常广泛，它涉及到几何学中的许多概念和定理。例如，在解析几何中，公理4用于确定平面和直线的方程；在立体几何中，公理4用于研究平面和直线的位置关系以及它们之间的度量性质。此外，公理4也是工程学、物理学和计算机图形学等领域中必不可少的工具。
空间图形的度量性质
总结词
度量性质是指空间图形具有大小和形状的属性，可以通过测量和比较来确定。

专题3 空间图形的基本关系与公理(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题3：空间图形的基本关系与公理（解析版）一公理1 公理2 公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言,,A lB llA Bααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,A B CA B Cα⇒不共线确定平面,lP PP lαβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩作用判断线在面内确定一个平面证明多点共线推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.二．直线与直线的位置关系直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

（既不平行，也不相交）三．直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内——有无数个公共点．符号 aα相交——有且只有一个公共点符号 a∩α= A平行——没有公共点符号 a∥α说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示对应练习一、单选题1．如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是（）A．④⑤B．③④⑤C．②③④⑤D．③⑤【答案】D【分析】根据平面的表示方法判断．【详解】③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.2．下列叙述错误的是（）A．若p∈α∩β，且α∩β=l，则p∈l.B．若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面.C．三点A，B，C确定一个平面.D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则l α.【答案】C【分析】由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可．【详解】选项A，点P在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．故选：C3．在空间中，下列结论正确的是（）A．三角形确定一个平面B．四边形确定一个平面C．一个点和一条直线确定一个平面D．两条直线确定一个平面【答案】A【分析】根据确定平面的公理及其推论对选项逐个判断即可得出结果.【详解】三角形有且仅有3个不在同一条直线上的顶点，故其可以确定一个平面，即A正确；当四边形为空间四边形时不能确定一个平面，故B错误；当点在直线上时，一个点和一条直线不能确定一个平面，故C错误；当两条直线异面时，不能确定一个平面，即D错误；故选：A.【点睛】本题主要考查平面的基本定理及其推论，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题.4．下列命题中正确的是（）A ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l αB ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C ．若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行D ．垂直于同一个平面的两条直线互相平行【答案】D 【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面的位置关系进行判断. 【详解】解:选项A: 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α或相交,故A 错误;选项B: 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条可能与这个平面平行,也可包含于这个平面,故B 错误;选项C: 若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相交、平行或异面,故C 错误; 选项D: 垂直于同一个平面的两条直线互相平行, 故D 正确, 故选:D 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.5．已知直线l 和不重合的两个平面α，β，且l α⊂，有下面四个命题：①若//l β，则//αβ；②若//αβ，则//l β；③若l β⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，则l β⊥ 其中真命题的序号是（） A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①④【答案】B 【分析】对于①，由//l β可得α与β可平行，可相交；对于②，若//αβ，则由面面平行的性质定理可判断；对于③，由线面垂直的判定定理可判断；对于④，当αβ⊥时，l 可能在β内，可能与β平行，可能相交【详解】解：对于①，由//l β可得α与β可平行，可相交，故错误；对于②，若//αβ，则由面面平行的性质定理可得//l β，故正确；对于③，若l β⊥，则由线面垂直的判定定理可得αβ⊥，故正确；对于④，当αβ⊥时，l 可能在β内，可能与β平行，可能相交，所以不一定有l β⊥，故错误，故选：B 【点睛】此题考查线线、线面、面面关系的判断，属于基础题6．四个顶点不在同一平面上的四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，如果直线EF ，GH 交于点P ，那么（）A ．点P 一定在直线AC 上B ．点P 一定在直线BD 上C ．点P 一定在平面ABC 外D ．点P 一定在平面BCD 内【答案】A 【分析】由两个面的交点在两个面的交线上，知P 在两面的交线上，由AC 是两平面的交线，知点P 必在直线AC 上．【详解】解：∵EF 在面ABC 内，而GH 在面ADC 内，且EF 和GH 能相交于点P ， ∴P 在面ABC 和面ADC 的交线上， ∵AC 是两平面的交线，所以点P 必在直线AC 上．故选：A ．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 7．平面α平面l β=，点A α∈，点B β∈，且B l ∉，点C α∈，又ACl R =，过A 、B 、C 三点确定的平面为γ，则βγ⋂是（）A ．直线CRB ．直线BRC ．直线ABD ．直线BC【答案】B 【分析】确定平面β、γ的公共点，利用公理可得出平面β与γ的交线. 【详解】如下图所示：由题意可知，AC γ⊂，AC l R =，则R γ∈，又平面α平面l β=，则l α⊂，l β⊂，AC l R =，R β∴∈，B β∈，B γ∈，因此，βγ⋂=直线BR .故选：B. 【点睛】本题考查两平面交线的确定，关键是确定两平面的公共点，属于基础题.8．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若//l α，m α⊂，则//l m C ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m β D ．若//l α，//m α，则//l m【答案】C 【分析】由线面垂直的判定定理可判断A ，由线面平行的性质定理可判断B ，由面面平行的性质定理可判断C ，由线面平行的性质定理可判断D. 【详解】解：对于A ，由线面垂直的判定定理可知当直线l 垂直平面α内的两条相交直线时，l α⊥才成立，所以A 不正确；对于B ，若//l α，m α⊂，则//l m 或l ，m 异面，所以B 不正确；对于C ，由面面平行的性质定理可知是正确的，对于D ，若//l α，//m α，则l ，m 有可能相交、平行或异面，所以D 不正确，故选：C 【点睛】此题考查了线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题.9．下列命题中，正确的是 ( )A ．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B ．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C ．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D ．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面【答案】B 【解析】因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B ．点睛：确定平面方法: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．10．设α，β表示平面，l 表示直线，A ，B ，C 表示三个不同的点，给出下列命题：①若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，则l α⊂；②若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则AB αβ=；③若l α⊄，∈A l ，则A α；④若,,A B C α∈，,,A B C β∈，则α与β重合.其中，正确的有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据平面的基本性质及推论进行判断. 【详解】若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，根据公里1，得l α⊂，①正确；若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则直线AB 既在平面α内，又在平面β内，所以AB αβ=，②正确；若l α⊄，则直线l 可能与平面α相交于点A ，所以∈A l 时， A α∈，③不正确；若,,A B C α∈，,,A B C β∈，当,,A B C 共线时，α与β可能不重合，④不正确；故选：B. 【点睛】本题主要考查平面的性质，明确平面的基本性质及推论是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.11．平面α的一条斜线AP 交平面α于P 点，过定点A 的直线l 与AP 垂直，且交平面α于M 点，则M 点的轨迹是（）.A ．一条直线B ．一个圆C ．两条平行直线D ．两个同心圆【答案】A 【分析】由过定点A 的直线l 与AP 垂直可知，直线l 绕点A 旋转形成一个平面，由此可知两平面的交线即为所求．【详解】解：如图，设直线l与l'是其中两条任意的直线，⊥，则这两条相交直线确定一个平面β，且斜线APβ由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知，过定点定点A且与AP垂直的直线都在平面β内，∴M点都在平面α与平面β的交线上，故选：A．【点睛】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题．12．和直线l都平行的直线,a b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．平行、相交或异面【答案】C【分析】直接利用平行公理，即可得到答案．【详解】由平行公理，可知平行与同一直线的两直线是平行的，所以和直线l都平行的直线,a b的位置关系是平行，故选C．【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题13．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1BC 与AC 所成的角为_____．【答案】60︒ 【解析】11//BC AD ∴ 异面直线1BC 与AC 所成的角为0160CAD ∠=14．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个论断：①//l m ，②//αβ，③m α⊥，④l β⊥.以其中的两个论断作为命题的条件，l α⊥作为命题的结论，写出一个真命题：______.【答案】若//l m ，m α⊥，则l α⊥ 【分析】若//l m ，m α⊥，则l α⊥，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论. 【详解】解：l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，可得若//l m ，m α⊥，则l α⊥，理由：在α内取两条相交直线a ，b ，由m α⊥可得m a ⊥.m b ⊥，又//l m ，可得l a ⊥.l b ⊥，而a ，b 为α内的两条相交直线，可得l α⊥. 故答案为：若//l m ，m α⊥，则l α⊥ 【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为__．【答案】35【分析】连AE 、BF 、EF ，利用平行四边形可得//BF AE ，可得BFC ∠是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），然后用余弦定理可得结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连AE 、BF 、EF ，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，所以11//A E B F 且11A E B F =，所以四边形11A B FE 为平行四边形，所以11//EF A B 且11EF A B =，又11//A B AB 且11A B AB =，所以//EF AB 且EF AB =，所以四边形ABFE 为平行四边形，//BF AE ∴，BFC ∴∠是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则415BF CF ==+3cos5BFC∴∠==．∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为35．故答案为：35．【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，考查了余弦定理，属于基础题.16．在长方体1111ABCD A B C D-中，11AA AD==，2AB=，则直线AC与1A D所成的角的大小等于__________.【答案】arccos10【分析】连接11,B A B C，可得直线AC与1A D所成的角为1B CA∠，利用余弦定理求1cos B CA∠即可.【详解】解：如图，连接11,B A B C，由长方体的结构特点可知11//B C A D，则直线AC与1A D所成的角为1B CA∠（或其补角），因为11B A BC AC======，在1B CA中，2221111cos210BC AC ABB CABC AC+-∠===⋅，1arccos10B CA∴∠=.故答案为：arccos10.【点睛】本题考查异面直线所成的角，关键是要通过平移找到异面直线所成的角的平面角，是基础题.三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，1E ，1F 分别为棱AD ，AB ，11B C ，11C D 的中点.求证：111EA F E CF ∠=∠.【答案】见解析【分析】根据空间中两个角的两边平行时,角的关系可知两个角相等或互补. 结合空间中平行线的传递性及当两个角的方向相同时,即可证明两个角相等. 【详解】证明：如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,取11A B 的中点M ,连接名BM ,1F M由题意得112BF A M AB ==又1BF M A ∥∴四边形1A FBM 为平行四边形 ∴1A F BM ∥又1F ,M 分别为11C D ,11A B 的中点,则111F M C B =∥而11C B BC =∥∴1F M BC =∥∴四边形1F MBC 为平行四边形 ∴1BM F C ∥ 又1BM A F ∥ ∴11A F F C ∥ 同理可得11A ECE∴1EA F ∠与11E CF ∠的两边分别平行,且方向都相反 ∴111EA F E CF ∠=∠. 【点睛】本题考查了直线与直线平行的证明,空间中角的两边分别平行时两个角的关系,属于基础题. 18．（不写做法）（1）如图，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD >，S 是直角梯形ABCD 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线．（2）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，试画出平面11AB D 与平面11ACC A 的交线．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）延长BD 和AC 交于点O ，再连接SO ，即得到交线；（2）先记11B D 与11A C 的交点为O ，连接AO ，即可得出交线. 【详解】（1）（延长BD 和AC 交于点O ，连接SO ，SO 即为平面SBD 和平面SAC 的交线），如图：（2）（记11B D 与11A C 的交点为O ，连接AO ，则AO 即为平面11AB D 与平面11ACC A 的交线），如图:【点睛】本题主要考查画出平面与平面的交线，考查空间想象能力，属于基础题型. 19．如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D .（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？【答案】（1）棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′（2）45°（3）AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′【分析】（1）根据异面直线的定义判断即可；（2）∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，进而可得直线BA′和CC′的夹角；（3）根据正方体的性质即可判断．【详解】（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线；（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°；（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.【点睛】本题考查异面直线的定义，考查线线角的求解，考查线线垂直的判断，是基础题．VB VC的中点，求异20．如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，,D E分别是,面直线DE与AB所成的角.【答案】45︒ 【分析】根据题意，直径所对圆周角是直角，BC AC ∴⊥，又知点C 是弧AB 的中点，则等腰直角三角形，再根据中位线平行，找到异面直线所成角的平面角，即可求解. 【详解】AB 是圆O 的直径，BC AC ∴⊥.∵点C 是弧AB 的中点，,45BC AC ABC ∴=∴∠=︒. 在VBC △中，,D E 分别为,VB VC 的中点，DE BC ∴∥，DE ∴与AB 所成的角为45ABC ∠=︒.故答案为：45︒ 【点睛】本题考查异面直线所成角问题，考查转化与化归思想，属于基础题.21．如图1所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，将平面CDFE 沿EF 翻折起来，使CD 到达C D ''的位置（如图2），G ，H 分别为AD '，BC '的中点，求证:四边形EFGHEFGH 为平行四边形.图1 图2【答案】证明见详解.【分析】通过证明EF //GH ，且EF =GF ，即可证明. 【详解】在题图1中，∵四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，E F ，分别为BC AD ，的中点，∴//EF AB 且()12EF AB CD =+. 在题图2中，易知////C D EF AB ''. ∵,G H 分别为AD '，BC '的中点， ∴//GH AB 且()()1122GH AB C D AB CD ''=+=+， ∴//GH EF ，GH EF =，∴四边形EFGH 为平行四边形.即证. 【点睛】本题考查通过线线平行证明平行四边形，主要借助几何关系进行证明.22．如图所示,已知,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AA CC 的中点,求证:四边形1BED F 是平行四边形.【答案】见解析【分析】取1D D 的中点G ,连接,EG GC ，证明四边形EGCB 是平行四边形，再证四边形1D GCF 为平行四边形，即可证明四边形1BED F 是平行四边形. 【详解】证明取1D D 的中点G ,连接,EG GC .∵E 是1A A 的中点,G 是1D D 的中点,//EG AD ∴. 由正方体的性质知//AD BC ,//EG BC ∴, ∴四边形EGCB 是平行四边形,//EB GC ∴. 又,G F 分别是1D D ,1C C 的中点,1//D G FC ∴,且1D G FC =,∴四边形1D GCF 为平行四边形,1//D F GC ∴, 1//EB D F ∴,∴四边形1BED F 是平行四边形. 【点睛】本题考查了线线平行的判定，利用平行四边形的对边平行且相等证明线线平行，是基础题.。

2021学年高中数学第1章立体几何初步§4第1课时空间图形的公理公理123ppt课件北师大版必修2

4．据图填入相应的符号：A________平面 ABC，A________平面 BCD，BD________平面 ABC，平面 ABC________平面 ACD＝AC.
[答案] ∈ ∉
∩
合作探究释疑难
三种语言的相互转换【例 1】用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α，β 分别相交于点 A，B； (2)点 A，B 在平面 α 内，直线 a 与平面 α 交于点 C，点 C 不在直线 AB 上．
[跟进训练] 1．(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么 l 与 α 的位置关系是________．
(2)如图，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
(1)直线 l 在平面 α 内 [如图，l 上有两点 A，B 在 α 内，根据公理 2，l α.]
A．P∈a，a∥α
B．a∩α＝P
C．P∈a，P∉α
D．P∈a，a α
[答案] C
2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
C [若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点
不在同一直线上，则这两个平面重合．]
3．如下所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是( ) D [画空间图形时，被遮挡部分应画成虚线，故选 D.]
对于长方体有 12 条棱和 6 个面．思考 1：12 条棱中，棱与棱有几种位置关系？提示：相交，平行，既不平行也不相交．思考 2：棱所在直线与面之间有几种位置关系？提示：棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．

4.2空间图形的公理

4.2空间图形的公理
班级：姓名：编号：05
设计：史旭龙审核：审批：
教学目标：
1、4 个公理的文字叙述及它们的符号表示；
2、利用公理 2 去推出确定平面的另外 3 种方法；
3、4 个公理的简单应用.
教学重点：对4个公理的理解及简单应用.
教学难点：符号语言与文字叙述的相互转化.
一、自主学习：
公理 1 如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个 .
符号语言：
公理2 经过的三点，有一个平面．
符号语言：
推论1 经过直线和有且只有一个平面.
符号语言：.A ααα⊂∈⇒∉l l A ，，使得有且只有一个平面
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面.
符号语言：
推论3 经过两条平行直线有且只有一条直线.
符号语言：
公理3 如果两个平面有，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的．
符号语言：
公理4 平行于同一条直线的两条直线 .
符号语言：
定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 .
符号语言：
二、自主检测
1、回答下列问题.
①用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，为什么？
②现有两根足够长的绳子，如何知道四个桌角是否在同一个平面上？
2、证明：推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面
3、在空间四边形中ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC，CD，DA的中点。

求证：四边形EFGH是平行四边形。

三、合作探究
1、求证：两两相交于不同点的三条直线必在同一个平面内。

立体几何-空间图形的基本关系与公理1

空间图形的基本关系与公理研究对象：点、线、面的关系三种语言：文字语言、符合语言、图形语言（看图说话）点线关系：点在线上、点在线外点面关系：点在面上、点在面外线线关系：平行、相交、异面线面关系：线面平行、线面相交、线在面内面面关系：面面平行、面面相交公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理2：不共线的三点，可以确定一个平面。

推论1：直线和直线外的一点可以确定一个平面推论2：两条平行直线可以确定一个平面。

推论3：两条相交直线可以确定一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行（平行的传递性）。

等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所组成的锐角（或直角）相等。

异面直线a 、b 所成角：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a 、b 的平行线1l 、2l ()12//,//a l b l ，这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线a 、b 所成角。

如果两条异面直线所成的角是直角，我们称这两条直线互相垂直，记作a b ⊥。

论证点、线共面的通法之一，即证部分元素确定一个平面，再证余下元素也在平面内。

论证点、线共面的通法之二，即根据确定平面的条件，先证各部分元素分别确定平面，再证这些平面有相同的确定平面的条件，即重合。

点共线、线共点：依据是公理3，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。

证明多点共线：通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点在这条直线上，或者根据已知条件设法证明这些点在两个相交平面内，然后根据公理2就得到这些点在两个平面的交线上。

证明多线共点：可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上。