空间图形的基本关系与公理

空间图形的基本关系与公理

1.四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).

公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面).

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类

⎩⎨

⎧

共面直线⎩⎪⎨

⎪⎧

平行直线

相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

(2)异面直线所成的角

①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a 与b 所成的角. ②范围：⎝⎛⎦

⎤0，π2. 3.直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.

5.等角定理

空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

概念方法微思考

1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？

提示不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交.

2.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？

提示不一定.如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补.

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)

(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(×)

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(×)

(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.(√)

(5)没有公共点的两条直线是异面直线.(×)

(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且aα，bβ，则a，b是异面直线.(×)

题组二教材改编

2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C 与EF所成角的大小为()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

答案 C

解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.

3.如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则

(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形； (2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形. 答案 (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析 (1)∵四边形EFGH 为菱形， ∴EF ＝EH ，∴AC ＝BD .

(2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF ∥AC ，EH ∥BD ，且EF ＝12AC ，EH ＝1

2BD ，

∴AC ＝BD 且AC ⊥BD . 题组三 易错自纠

4.α是一个平面，m ，n 是两条直线，A 是一个点，若m ⊈α，n α，且A ∈m ，A ∈α，则m ，n 的位置关系不可能是( ) A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行

答案 D

解析 依题意，m ∩α＝A ，n

α，

∴m 与n 可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.

5.如图，α∩β＝l ，A ，B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )

A.点A

B.点B

C.点C 但不过点M

D.点C 和点M

答案 D

解析 ∵AB γ，M ∈AB ，∴M ∈γ. 又α∩β＝l ，M ∈l ，∴M ∈β.

根据公理3可知，M 在γ与β的交线上. 同理可知，点C 也在γ与β的交线上.

6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______.

答案 3

解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对.

题型一平面基本性质的应用

例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点.

证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.

∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.

又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面.

(2)∵EF∥CD1，EF

∴CE与D1F必相交，

设交点为P ，如图所示.

则由P ∈CE ，CE 平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.

又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ， ∴P ∈直线DA ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点. 思维升华 共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合.

(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上.

(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 跟踪训练1 如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.

(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；

(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线. 证明 (1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD . ∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝1

2，

∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH . ∴E ，F ，G ，H 四点共面.

(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG 平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点. 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线. 题型二 判断空间两直线的位置关系

例2 (1)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A.l 与l 1，l 2都不相交 B.l 与l 1，l 2都相交