空间图形的基本关系与公理

空间图形的基本关系与公理1.四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面).公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a 与b 所成的角. ②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3.直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5.等角定理空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.概念方法微思考1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交.2.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定.如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(×)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.(√)(5)没有公共点的两条直线是异面直线.(×)(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且aα，bβ，则a，b是异面直线.(×)题组二教材改编2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C 与EF所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°答案 C解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.3.如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形； (2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形. 答案 (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析 (1)∵四边形EFGH 为菱形， ∴EF ＝EH ，∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF ∥AC ，EH ∥BD ，且EF ＝12AC ，EH ＝12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD . 题组三 易错自纠4.α是一个平面，m ，n 是两条直线，A 是一个点，若m ⊈α，n α，且A ∈m ，A ∈α，则m ，n 的位置关系不可能是( ) A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行答案 D解析 依题意，m ∩α＝A ，nα，∴m 与n 可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.5.如图，α∩β＝l ，A ，B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A.点AB.点BC.点C 但不过点MD.点C 和点M答案 D解析 ∵AB γ，M ∈AB ，∴M ∈γ. 又α∩β＝l ，M ∈l ，∴M ∈β.根据公理3可知，M 在γ与β的交线上. 同理可知，点C 也在γ与β的交线上.6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______.答案 3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对.题型一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面.(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P ，如图所示.则由P ∈CE ，CE 平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ， ∴P ∈直线DA ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点. 思维升华 共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合.(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 跟踪训练1 如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线. 证明 (1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD . ∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH . ∴E ，F ，G ，H 四点共面.(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG 平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点. 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线. 题型二 判断空间两直线的位置关系例2 (1)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A.l 与l 1，l 2都不相交 B.l 与l 1，l 2都相交C.l 至多与l 1，l 2中的一条相交D.l 至少与l 1，l 2中的一条相交 答案 D解析 由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交.故选D. (2)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝2ED ，CF ＝2F A ，则EF 与BD 1的位置关系是( )A.相交但不垂直B.相交且垂直C.异面D.平行 答案 D解析 连接D 1E 并延长，与AD 交于点M ，由A 1E ＝2ED ，可得M 为AD 的中点，连接BF 并延长，交AD 于点N ，因为CF ＝2F A ，可得N 为AD 的中点，所以M ，N 重合，所以EF 和BD 1共面，且ME ED 1＝12，MF BF ＝12，所以ME ED 1＝MFBF，所以EF ∥BD 1.思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.跟踪训练2 (1)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 A解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A.(2)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线.其中正确的结论为________.(注：把你认为正确的结论序号都填上) 答案 ③④解析 因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE ，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④. 题型三 求两条异面直线所成的角例3 (2019·洛阳模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25 C.35 D.45答案 D解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角.连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝45，即异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.引申探究将上例条件“AA 1＝2AB ＝2”改为“AB ＝1，若异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”，试求AA 1AB的值.解 设AA 1AB＝t (t >0)，则AA 1＝tAB .∵AB ＝1，∴AA 1＝t .∵A 1C 1＝2，A 1B ＝t 2＋1＝BC 1，∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910.∴t ＝3，即AA 1AB＝3.思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角. (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角. (3)三求：解三角形，求出所作的角.跟踪训练3 (2018·全国Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15 B.56 C.55 D.22 答案 C解析 方法一 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的一侧补上一个相同的长方体A ′B ′BA －A 1′B 1′B 1A 1.连接B 1B ′，由长方体性质可知，B 1B ′∥AD 1，所以∠DB 1B ′为异面直线AD 1与DB 1所成的角或其补角.连接DB ′，由题意，得DB ′＝12＋(1＋1)2＝5，B ′B 1＝12＋(3)2＝2，DB 1＝12＋12＋(3)2＝ 5.在△DB ′B 1中，由余弦定理，得DB ′2＝B ′B 21＋DB 21－2B ′B 1·DB 1·cos ∠DB 1B ′， 即5＝4＋5－2×25cos ∠DB 1B ′，∴cos ∠DB 1B ′＝55. 故选C.方法二 如图，以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.由题意，得A (1,0,0)，D (0,0,0)， D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)， ∴AD 1→＝(－1,0，3)， DB 1→＝(1,1，3)，∴AD 1→·DB 1→＝－1×1＋0×1＋(3)2＝2， |AD 1→|＝2，|DB 1→|＝5，∴cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→||DB 1→|＝225＝55.故选C.立体几何中的线面位置关系直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题.例 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥F A 且BE ＝12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点.(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 可得GH ∥AD 且GH ＝12AD .又BC ∥AD 且BC ＝12AD ，∴GH ∥BC 且GH ＝BC ， ∴四边形BCHG 为平行四边形.(2)解 ∵BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 为F A 的中点，∴BE ∥FG 且BE ＝FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH .∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面. 又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面.素养提升 平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异.1.四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1答案 A解析 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面. 2.a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( ) A.若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面 B.若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交 C.若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等 D.若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c 答案 C解析 若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 相交、平行或异面；若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交、平行或异面；若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ，c 相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C 正确.故选C.3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC答案 C解析由题意知，D∈l，lβ，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()A.A，M，O三点共线B.A，M，O，A1不共面C.A，M，C，O不共面D.B，B1，O，M共面答案 A解析连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.∴A ，M ，O 三点共线.5.(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.32 B.155 C.105 D.33答案 C解析 方法一 将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图①所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .图①由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1， 所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝AB 2＋AD 2－2×AB ×AD ×cos ∠DAB ＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3. 又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.图②方法二 以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图②所示.由已知条件知B 1(0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(1,0,0)，A (－1，3，1)，则BC 1→＝(1,0，－1)，AB 1→＝(1，－3，－1).所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.6.正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有________条. 答案 6解析 如图，在正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有BB 1，DD 1，A 1B 1，A 1D 1，D 1C 1，B 1C 1，共6条.7.(2019·郑州模拟)若直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l 与平面α的位置关系为______. 答案 l ∥α或l α解析 ∵直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β， ∴直线l ∥平面α，或者直线l 平面α.8.在三棱锥S －ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是________. 答案 平行解析 如图所示，连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ，∴在△SMN 中，SG 1SM ＝SG 2SN ，∴G 1G 2∥MN ，易知MN 是△ABC 的中位线，∴MN ∥BC ， ∴G 1G 2∥BC .9.如图，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________.解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是________.答案②③④解析还原成正四面体A－DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合.易知GH与EF异面，BD与MN异面.连接GM，∵△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，又MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确命题的序号是②③④.11.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点.(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角.(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾.故直线EF 与BD 是异面直线.(2)解 取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角， 即为异面直线EF 与BD 所成的角. 又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG . 在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°， 即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.12.如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点.已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值.解 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2) 如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角.在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2， cos ∠ADE ＝AD 2＋DE 2－AE 22×AD ×DE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.13.平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A.32 B.22 C.33 D.13答案 A解析 如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，∵α∥平面CB 1D 1，则m 1∥m ， 又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， 平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1 ＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1， ∴B 1D 1∥m ，同理可得CD 1∥n .故m ，n 所成角的大小与B 1D 1，CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小. 又∵B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)， ∴∠CD 1B 1＝π3，得sin ∠CD 1B 1＝32，故选A. 14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD . 其中正确结论的序号是________. 答案 ①③解析 如图，①AB ⊥EF ，正确；②显然AB ∥CM ，所以不正确；③EF 与MN 是异面直线，所以正确；④MN 与CD 异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.15.如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成角的余弦值为________.答案36解析 取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF ∥AD 且HF ＝12AD ，∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角). 在△GHF 中，可求HF ＝22， GF ＝GH ＝26，∴cos ∠GFH ＝HF 2＋GF 2－GH 22×HF ×GF＝(22)2＋(26)2－(26)22×22×26＝36.16.如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成角的余弦值. 解 (1)方法一 如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .因为EC ⊥AC ，OM ，EC 平面ACC 1A 1，所以OM ∥EC . 又因为EC ＝2FB ＝2，EC ∥FB ， 所以OM ∥FB 且OM ＝12EC ＝FB ，所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF . 因为OF 平面AEF ，BM ⊈平面AEF ， 故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点.方法二 如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ .因为EC ＝2FB ＝2， 所以PE ∥BF 且PE ＝BF ， 所以PB ∥EF ，PQ ∥AE ，又AE ，EF 平面AEF ，PQ ，PB ⊈平面AEF ， 所以PQ ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ， 因为PB ∩PQ ＝P ，PB ，PQ 平面PBQ ， 所以平面PBQ ∥平面AEF .又因为BQ 平面PBQ ， 所以BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点.(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角. 易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ， 所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35＝155，所以BM 与EF 所成角的余弦值为155.。