空间图形的基本关系与公理课件[优质PPT]

D A
C B
平面的画法
为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线 画出来．
D
FC
A
E
B
被遮挡部分 用虚线表示
平面的表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形 的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面 的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英 文字母作为这个平面的名称．
D
A
C B
存在平面，能使a 且b 成立 上述结论中，正确的是 （C ）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
例3 下图长方体中 说出以下各对线段的位置关系? ① EC 和BH是 相交 直线 ② BD 和FH是 平行 直线 ③EB和HG是 异面 直线
H E
D A
G
OF
C B
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2.判别异面直线的方法: 方法一 （利用定义）：两条直线不同在任何一个平面内. 方法二（特点） :两条直线 既不相交、又不平行.
3. 两条直线的位置关系有三种：平行、相交 和异面；
4. 直线与平面的位置关系有三种：包含、相 交和平行；
5. 平面与平面的位置关系有两种：相交和平 行。
平面的画法
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形， 用平行四边形表示平面．
平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等 于其邻边长的2倍．（斜二测画法）
记作：平面
平面ABCD 平面AC或平面BD
D
FC
A
E
B
记作：平面 平面
1.点与平面的位置关 系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在 平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不 属于符号来表示．
B
A
点A在平面 内，记作 A．
读作
点B在平面 外，记作 B．
读作
2.点与直线的关系
l
l A
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NEXT
如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否在 平面α内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘 上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边 缘就落在了桌面上．
公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线所有的点都在这个平面内．（即直线在此
平面内）
在生产、生活中，人
不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面， 可以记成“平面ABC”．
作用：确定平面的主要依据．
思考题
• 过一条直线和直线外的一点 可以确定几个平面？
• 过两条相交直线？ 可以确定几个平面
• 过两条平行直线 可以确定几个平面？
公理2的推论1
• 过一条直线和直线外的一点
有且只有一个平面
A
l
BC
l
A B
们经过长期观察与实践， 总结出的一些公认为正确 的规律，我们把它作为公 理．这些公理是进一步推
理的基础．
A l,B l,A ,B l
作用：
判定直线是否在平面内．
生活中经常看到用三角架支撑照相机．为什么？
存在性
公理2 个平面．
过不在同一条直线上的三点，有且只有一
B
A C
唯一性
分别在两个平面内的两条直线一定异面。 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b a
M
ab
a
b
a与b是异面直线
a与b是相交直线
a与b是平行直线
注2
在不同平面内的两条直线不一定异面。
BACK
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例2
1）“a，b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ且a不平行于b；② a 平面，b 平面 且a∩b=Φ, ③ a 平面，b 平面 , ④ 不
D C
A
B
D C
A
B
长方体由上下、前后、 左右六个面围成．
有些面是平行的，有些面 是相交的；有些棱所在直线 与面平行，有些棱所在直线 与面相交，棱所在的直线有 些平行有些相交，还有些异 面，等等．
空间图形的基本关系：
1. 点与直线的位置关系有两种：点在直线上 和点不在直线上；
2. 点与平面的位置关系有两种：点在平面内 和点在平面外；
在（2）中， l ,a ,b ,a l P ,b l P .
随堂训练
•
•
•
A l 有 且 只 有 一 平 面 ,使 A ,l
平面的性质
推论2
• 过两条相交直线 有且只有一个平面
aB
•
b
C
•
A
•
即：两条相交直线确定一个平面
平面的性质
推论3
• 过两条平行直线 有且只有一个平面
a
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
•
b
C
•
B
•
即：两平行直线确定一个平面
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面 与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
理解：
a
D
b
A
（1）已知直线a、b、c， c
且a∥b，b∥c，则a∥c
G
（2）空间平行直线具有传递性 E （3）互相平行的直线表示空间
里的一个确定的方向
C B
G F
典型例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面 之间的位置关系．
a
B
A l
al
P
b
（1）
（2）
解：在（1）中， l,a A ,a B .
空间图形的 基本关系与公理
提出问题：
1.用两个合页和一把锁就可以将一扇 门固定，Why?
2.将一把直尺置于桌面，通过是否漏 光就能检测桌面是否平整，Why?
3.椅子放不稳，是底面不平还是椅子 本身的问题？
4.为什么自行车后轮旁只安装一只撑 脚？
空间点、直线、平面的位置关系
观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所 在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？
若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行
怎么画异面直线呢？
o
有一个背景作为衬托 －－直观，空间立体
感更强！
D' A'
D A
C' B'
C B
异面直线的作图方法 1
•A
•B
l
异面直线的作图方法 2
a
b
4.例题
例1.判断题1
1.平面内的一条直线和平面外的一条 直线是异面直线。
• 答：错。
b
a
判断题2
B
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平 面与桌面所在平面相交于一条直线，为什么？
平
面
的
无
限
可
延
B
展 性
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l,且 P l
l
P
作用：
①判断两个平面相交的依据．
②判断点在直线上．
公理4 平行于同一条直线的两直线互相平行
A
点A在直线l上． Al
3.直线与平面的位置关系
点A在直线l外． Al
l
A
直线l在平面 外．
l
l
A B 直线l在平面 内．
平面 经过直线l．
l l
4.空间直线与直线之间的位置关系
相交直线 平行直线 异面直线
空间两条直线的位置关系
共面直线
相交 有且只有一个公共点 平行 没有公共点
异面直线 不同在任一平面，无公共点