北师大版高中数学必修《空间图形的公理》PPT名师课件1
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2019-2020高中北师版数学必修2 第1章 §4 4.1 4.2 第1课时 空间图形的公理(公理1、2、3)课件PPT
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2又l2 α，∴B∈α. 同理可证C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3 α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
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法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2 β，∴A∈β. 同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内， ∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
点A在平面α内 点B在平面α外
图形表示
符号表示 A∉a B∈a A∈α B∉α
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直线与直线的 位置关系
直线与平面的 位置关系
平行 相交 平行 线在面内 线面相交
线面平行
a∥b _a_∩_b_＝__O__ a 与 b 异面
_a___α_ a_∩__α_＝__A__
_a_∥__α_
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[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝ B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉ AB，如图．
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三种语言的转换方法 1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形 有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语 言表示，再用符号语言表示. 2根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚 线的区别.
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证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法 有：
1先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平 面内，即用“纳入法”；
2．理解异面直线的概念，以及空间图形的基 2．通过学习空间图
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法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2 β，∴A∈β. 同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内， ∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
点A在平面α内 点B在平面α外
图形表示
符号表示 A∉a B∈a A∈α B∉α
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直线与直线的 位置关系
直线与平面的 位置关系
平行 相交 平行 线在面内 线面相交
线面平行
a∥b _a_∩_b_＝__O__ a 与 b 异面
_a___α_ a_∩__α_＝__A__
_a_∥__α_
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[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝ B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉ AB，如图．
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三种语言的转换方法 1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形 有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语 言表示，再用符号语言表示. 2根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚 线的区别.
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证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法 有：
1先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平 面内，即用“纳入法”；
2．理解异面直线的概念，以及空间图形的基 2．通过学习空间图
北师大版高中数学必修二课件§4.2空间图形的公理
总结：公理1、公理2及三个推论
公理1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上 所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）. 公理2.经过不在同一条直线上的三点，有且只一个平面（不共线 3点确定一个平面）.
推论1.经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面 推论2.经过两条相交直线，可以确定一个平面 推论3.经过两条平行直线，可以确定一个平面
公理3揭示了两个平面相交的主要特征，是判
定两平面相交的依据，提供了确定两个平面
新疆 王新敞
奎屯
交线的方法． 新疆 王新敞 奎屯
指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如 无特殊说明,均指不同的平面(或直线).
问题5、长方体中，棱AA1，BB1D，1 CC1是否平行C1？
A1
B
D
1
C
A
B
公理4：平行于同一条直线的两直线平行
C
C
A D
B
A
B(D)
问题4：图中的两个平面有几个交点？ α
β
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么有且只有一条通过这个点的公共直线.
即：两平面若相交，则公共部分必是一
条直线.
a
Aα
推理模式：A A
A
l
β
或者： A , A l，Al
应用：①确定两相交平面的交线位置； ②判定点在直线上
或者： A，B，C不共线
新疆 王新敞
奎屯
存在唯一的平面，使得A，B，C
应用：①确定平面；②证明两个平面重合
问题3：
（1）经过一条直线和这条直线外一 点，可以确定一个平面吗？ （2）经过两条相交直线，可以确定 一个平面吗？ （3）经过两条平行直线，可以确定 一个平面吗？
北师大版高三数学(理)一轮复习《空间图形的基本关系与公理》课件
考纲要求
知识梳理
双击自测
核核心心考考点点
学科素养
-22-
考点1
考点2
考点3 知识方法 易错易混
考点3异面直线所成的角
例3如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-
A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 ()
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线 DA.∴CE,D1F,DA三线共点.
考点1
第八章
8.3 空间图形的基本关系与公理
考纲要求
知识梳理
双击自测
核核心心考考点点
考点2
考点3 知识方法 易错易混
学科素养
-14-
思考:如何利用平面的基本性质证明点共线和线共点? 解题心得:1.点线共面问题的证明方法: (1)纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内; (2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面α,再证其余点、线确定 平面β,最后证明平面α,β重合. 2.证明三线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点, 再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时,第三条直线 应为前两条直线所在平面的交线,可以利用公理3证明.
8.3 空间图形的基本关系与公理
第八章
8.3 空间图形的基本关系与公理
考考纲纲要要求求
知识梳理
双击自测
核心考点
学科素养
-2-
考纲要求:1.理解空间直线、平面位置关系的定义并了解可以作为 推理依据的公理和定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证 明一些空间位置关系的简单命题.
第八章
8.3 空间图形的基本关系与公理
北师大版数学高一-4.空间图形的基本关系与公理 课件
A．1
B．2
C．
3
D．1或3
2.下列各个条件中，可以确定一个平面的是( D )
A.三个点
B.两条不重合的直线
C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线
公理3: 如果两个平面有一个公共点,那么它们有 且只有一条通过这个点的公共直线.
Aℓ
符号表示: A∈α∩β
α
β 公理3的用途:
{
α∩β=ℓ 且A∈ℓ
面内不经过此点的直线是异面直线.
A
B L
平面㈠
1. 平面的概念
注意: 几何是所说的平面是无限伸展的,没 有边界的,没有厚薄.
2. 平面的画法及其表示
①水平放置平面 D
α
A
C B
②
竖 直
β
放
置
平
面
平面的表示: 平面α, 平面AC ,平面β.
1. 两平面的位置关系
①相交平面——有一条公共直线 ②平行平面——没有公共点
观察下面两个图形，我们看 到了正方体的哪几个面？
？问题一：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？
空间两条直线的位置关系：
（1）相交直线——有且仅有一个公共点． （2）平行直线——在同一个平面内，没有公共点． （3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．
在下面的正方体中，指出哪些直线与直线AB是相交直 线，哪些是平行直线，哪些是异面直线？
2. 下列结论正确的是（ D ） A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
3. 下面三个命题，其中正确的个数是（ D ） ①四边相等的四边形是菱形；②两组对边
高中数学课件-北师大版高中数学必修二1.4《空间图形的基本关系与公理》课件1 最新
∴GH∥BD.∴EF∥GH. ∴E、F、G、H 四点共面．
• (2)∵EG∩FH ＝ P ， P∈EG ， EG 平 面 ABC， • ∴P∈平面ABC. • 同理P∈平面ADC. • ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． • 又平面ABC∩平面ADC＝AC， • ∴P∈AC， • ∴P、A、C三点共线．
答案： 5
• 1．点共线问题 • 证明空间点共线问题，一般转化为证明这 些点是某两个平面的公共点，再根据公理3 证明这些点都在这两个平面的交线上．
• 2．线共点问题 • 证明空间三线共点问题，先证明两条直线 交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上． • 3．证明点线共面的常用方法 • (1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明 有关点、线在此平面内． • (2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定 平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后 证明平面α、β重合．
• • • • • •
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P 在平面 A1ADD1 与平面 ABCD 的交线 DA 上， • 即CE、D1F、DA三线共点．
• 1．分别在两个平面内的两条直线的位置关 系是( ) • A．异面 B．平行 • C．相交 D．以上都有可能 • 解析： 如图， a∥b ， c 与 d 相交， a与 d异 面．
• 答案： D
• 2 ．直线 a ， b ， c 两两平行，但不共面，经 过其中两条直线的平面的个数为( ) • A．1 B．3 • C ．6 D．0 • 解析： 以三棱柱为例，三条侧棱两两平 行，但不共面，显然经过其中的两条直线 的平面有3个． • 答案： B
• (2)∵EG∩FH ＝ P ， P∈EG ， EG 平 面 ABC， • ∴P∈平面ABC. • 同理P∈平面ADC. • ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． • 又平面ABC∩平面ADC＝AC， • ∴P∈AC， • ∴P、A、C三点共线．
答案： 5
• 1．点共线问题 • 证明空间点共线问题，一般转化为证明这 些点是某两个平面的公共点，再根据公理3 证明这些点都在这两个平面的交线上．
• 2．线共点问题 • 证明空间三线共点问题，先证明两条直线 交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上． • 3．证明点线共面的常用方法 • (1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明 有关点、线在此平面内． • (2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定 平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后 证明平面α、β重合．
• • • • • •
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P 在平面 A1ADD1 与平面 ABCD 的交线 DA 上， • 即CE、D1F、DA三线共点．
• 1．分别在两个平面内的两条直线的位置关 系是( ) • A．异面 B．平行 • C．相交 D．以上都有可能 • 解析： 如图， a∥b ， c 与 d 相交， a与 d异 面．
• 答案： D
• 2 ．直线 a ， b ， c 两两平行，但不共面，经 过其中两条直线的平面的个数为( ) • A．1 B．3 • C ．6 D．0 • 解析： 以三棱柱为例，三条侧棱两两平 行，但不共面，显然经过其中的两条直线 的平面有3个． • 答案： B
高中数学第一章时空间图形基本关系的认识及公理123课件北师大版
2．对于指定的一个墙角(线)，其余的墙角(线)中，有几条与它平行？有几 条与它相交？有与它既不平行也不相交的吗？若有，有几条？经过它的面有几 个？ [提示] 3条平行的，4条相交的，4条既不平行也不相交的，有2个面经过 它． 3．对于指定的一个墙面，其余的墙面中，有几个与它相交？有几个与它 平行？ [提示] 4个相交的，1个平行的．
[规律方法]
(1)证明三线共点问题的方法主要是： 先确定两条直线交于一点，
再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线． (2)证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明 这些点是这两个平面的公共点，再根据公理 3， 这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再 证明其他的点都在这条直线上．
公理 2 有三个推论： ①经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面， ②经过两条相交直线有且只有一个平面， ③经过两条平行直线有且只有一个平面． 公理 2 及其推论的作用是： ①确定平面；②证明点线共面问题． (3)公理 3 的作用是： ①判定两个平面是否相交；②证明点共线、线共点；③画两个平面的交线．
2．(1)下列表述中正确的是( A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形
)
C．若 A，B，C，D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 (2)若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内，则 M，α 间的关系为________．
l∥ n 直线 直线 l 与直线 n 平行，记作_______ 一个 公共点的两条直线．例如：直线 m 与 相交 只有_______ m∩n＝A 直线 直线 n 相交于点 A，记作____________
[规律方法]
(1)证明三线共点问题的方法主要是： 先确定两条直线交于一点，
再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线． (2)证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明 这些点是这两个平面的公共点，再根据公理 3， 这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再 证明其他的点都在这条直线上．
公理 2 有三个推论： ①经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面， ②经过两条相交直线有且只有一个平面， ③经过两条平行直线有且只有一个平面． 公理 2 及其推论的作用是： ①确定平面；②证明点线共面问题． (3)公理 3 的作用是： ①判定两个平面是否相交；②证明点共线、线共点；③画两个平面的交线．
2．(1)下列表述中正确的是( A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形
)
C．若 A，B，C，D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 (2)若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内，则 M，α 间的关系为________．
l∥ n 直线 直线 l 与直线 n 平行，记作_______ 一个 公共点的两条直线．例如：直线 m 与 相交 只有_______ m∩n＝A 直线 直线 n 相交于点 A，记作____________
高中数学北师大版必修二《1.4.2空间图形的公理1》课件
∴E»Q五级B1C1，
B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q.
11/14/2024
19
单击此处编辑母版标题样式
又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点，
• 单击此∴处QD编辑C1母F. 版文本样式
– 二级 ∴四边形DQC1F为平行四边形，
• 三级
– ∴四C级1Q DF. 又»∵B五1级E C1Q，
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均是平行四边形.
∴GC∥D1E，GB∥D1F.
∴结合图形可知∠BGC=∠FD1E.
11/14/2024
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单击此求异处面直编线所辑成的母角版标题样式
利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤
• 单击此处编辑母版文本样式
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
11/14/2024
• 三级而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
– 四级
则F»1五M级 C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC，
∴四边形F1MBC是平行四边形，
∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
11/14/2024
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同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N
11/14/2024
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• 单击此“等处角编定理辑”母的应版用文本样式
– 二级 对“等角定理”的理解
•
三级
–(四1)级本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.
(2)»作五用级：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条
边对应平行的两个角的大小关系.
B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q.
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又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点，
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– 二级 ∴四边形DQC1F为平行四边形，
• 三级
– ∴四C级1Q DF. 又»∵B五1级E C1Q，
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均是平行四边形.
∴GC∥D1E，GB∥D1F.
∴结合图形可知∠BGC=∠FD1E.
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利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤
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– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
11/14/2024
• 三级而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
– 四级
则F»1五M级 C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC，
∴四边形F1MBC是平行四边形，
∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
11/14/2024
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同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N
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– 二级 对“等角定理”的理解
•
三级
–(四1)级本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.
(2)»作五用级：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条
边对应平行的两个角的大小关系.
空间图形的公理——说课课件
l
A
B α
符号语言表述：A l , B l , A , B l
设计意图: 1.动手操作，提出问题，激发学生的求知欲 2.让学生了解公理的概念 3.通过讨论，掌握公理1 4.使学生熟练掌握文字语言、图形语言、符号语言 的转换
教学过程
二、问题引导、探究公理2
问题：两点确定一条直线，那么怎样才能确定一个平面呢？ 公理2 .经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 （可以确定一个平面） α A C B 符号语言表述： 不在同一条直线上的三点A、B、C⇒存在唯一 平面α，使 A∈ α ，B∈ α ，C ∈ α 设计意图: 1.问题引导，调动学生的学习积极性。让学生观察课 本的图片，从生活中感悟如何确定一个平面。 2.讨论“有且只有”的理解，教师给与剖析——“有” 指平面存在，“只有”是指平面唯一，即“存在且唯
数 学 必修2 第一章 立体几何初步
§4.2空间图形的公理
教 材 分 析
学 情 分 析
教 学 目 标
教 法 学 法
教 学 过 程
一、教材的地位和作用
1、本节课为普通高中北师版数学必修2第一章 《立体几何初步》第四节第二小节第1课时。
教 材 分 析
2、空间图形的公理是学习平行关系和垂直关 系的基础。 3、教材通过动手操作、两副实物图片和长方 体模型等介绍公理，意在激发学生的学习兴趣， 让学生认识到公理是显而易见的，可以不需要 证明直接加以使用。这样处理有利于学生感悟 出数学知识源自生活，源自身边。
一、动手操作，讲授公理1
教 学 过 程
二、问题引导，归纳公理2 三、直观感受，探究公理3 四、观察模型，感悟公理4 五、练习反馈 ，强化目标 六、总结概括 ，提炼精华
北师大版4.2空间图形的基本关系与公理精品课件
18
空间四边形的有关概念： （1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间 四边形的对角线。
19
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是 它的对角线
想一想：下图中有那些异面直线？
D A C
B
D’
C’
A’
B’
知识探究: 等角定理及异面直线所成的角 问题1：在平面内，如果两个角的两边分别对 应平行，那么这两个角相等或者互补.在空间 中成立吗？举例说明
观察下图
等角或补角定理：在空间中如果两个角的两 边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
16
知识探究: 等角定理及异面直线所成的角
既是证明“等角定理”的基础，是以后证明平 行关系的主要依据之一
4
注意：并非所有平面几何中的定理都可以推广到空间．
思考一 1.直线a,b相交吗？ 不相交 2.平移a,b两条直线，它们能完全重合吗？
不平行
a'
a b
b'
找不到一个平面使得 3. 能否找到一个平面, 直线a,b在 使得a,b两条直线都在这个平面内？ 同一共面内！
)
当堂练习2：列图形中不一定是平面图形的（ ）
A、三角形 C、梯形
B、菱形 D、四边相等的四边形
25
当堂练习3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段 所成的角： 1）AB与CC1； 3）A1B与D1B1. 1）AB与CC1所成的角 等于90° 2）A1 B1与AC所成的角 等于45° 3）A1B与D1B1所成的角 等于60°
高中数学-北师大版必修二 空间图形的公理4及等角定理 课件
图 1-4-16
提示：如图，在空间中任取一点 O，作直线 a′∥a，b′∥b，则两条相交直 线 a′，b′所成的锐角或直角 θ 即两条异面直线 a，b 所成的角．
2．a′与 b′所成角的大小与什么有关，与点 O 的位置有关吗？通常点 O 取 在什么位置？
提示：a′与 b′所成角的大小只由 a，b 的相互位置确定，与点 O 的选择无 关，一般情况下为了简便，点 O 选取在两条直线中的一条直线上．
又∵A1K∥BQ 且 A1K＝BQ， ∴四边形 A1KBQ 为平行四边形， ∴A1Q∥BK， 由公理 4 有 A1Q∥CM， 同理可证 A1P∥CN， 由于∠PA1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反， ∴∠PA1Q＝∠MCN.
求异面直线所成的角 [探究问题] 1．已知直线 a，b 是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？
如图 1-4-17，在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC
＝2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，若 EF＝ 3，求异面直线
AD，BC 所成角的大小.
【导学号：64442028】
图 1-4-17
[思路探究] 根据求异面直线所成角的方法，将异面直线 AD，BC 平移到 同一平面内解决．
[解] 如图，取 BD 的中点 M，连接 EM，FM. 因为 E，F 分别是 AB，CD 的中点， 所以 EM 12AD，FM 12BC， 则∠EMF 或其补角就是异面直线 AD，BC 所成的角． 因为 AD＝BC＝2，所以 EM＝MF＝1， 在等腰△MEF 中，过点 M，作 MH⊥EF 于 H，
公理4的应用
如图 1-4-12，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边
AB，BC，CD，DA 的中点.
【导学号：64442027】
提示：如图，在空间中任取一点 O，作直线 a′∥a，b′∥b，则两条相交直 线 a′，b′所成的锐角或直角 θ 即两条异面直线 a，b 所成的角．
2．a′与 b′所成角的大小与什么有关，与点 O 的位置有关吗？通常点 O 取 在什么位置？
提示：a′与 b′所成角的大小只由 a，b 的相互位置确定，与点 O 的选择无 关，一般情况下为了简便，点 O 选取在两条直线中的一条直线上．
又∵A1K∥BQ 且 A1K＝BQ， ∴四边形 A1KBQ 为平行四边形， ∴A1Q∥BK， 由公理 4 有 A1Q∥CM， 同理可证 A1P∥CN， 由于∠PA1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反， ∴∠PA1Q＝∠MCN.
求异面直线所成的角 [探究问题] 1．已知直线 a，b 是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？
如图 1-4-17，在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC
＝2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，若 EF＝ 3，求异面直线
AD，BC 所成角的大小.
【导学号：64442028】
图 1-4-17
[思路探究] 根据求异面直线所成角的方法，将异面直线 AD，BC 平移到 同一平面内解决．
[解] 如图，取 BD 的中点 M，连接 EM，FM. 因为 E，F 分别是 AB，CD 的中点， 所以 EM 12AD，FM 12BC， 则∠EMF 或其补角就是异面直线 AD，BC 所成的角． 因为 AD＝BC＝2，所以 EM＝MF＝1， 在等腰△MEF 中，过点 M，作 MH⊥EF 于 H，
公理4的应用
如图 1-4-12，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边
AB，BC，CD，DA 的中点.
【导学号：64442027】
《空间图形的公理》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修2(北师大版)】
北师大版·统编教材高中数学必修2
第一章·第四节
空间图形的公理
新课学习
一、新课讲授：
公理 1: 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点 都在这个平面内.
符号语言：
A B
AB
图形语言：
作用：确定线在面内.
新课学习
一、新课讲授：
问题：① 给出一只四条不是一样长腿的小凳子和一只三条腿的小凳子，让两个学 生来观察那种凳子摆放平稳？
作用：证明角相等和互补关系.
新课学习
二、知识应用： 题型一 概念问题 例 1.下列命题： ① 空间不同的三点可以确定一个平面； ② 有三个公共点的两个平面必定重合； ③ 空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面； ④ 平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形； ⑤ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑥ 一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交. 其中不正确的命题是 ①②③④⑤. ⑥
新课学习
二、知识应用： 题型二 异面直线所成角
例 2.在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
求：① 异面直线 A1A 与 CD 所成角； ② 异面直线 A1A 与 CD1 所成角； ③ 异面直线 A1B 与 AD1 所成角.
D1 A1
D A
C1 B1
C B
新课学习
二、知识应用： 题型三 通过公理、定理、推论证明
② 让学生观察以下三张生活中常见的图片，为什么这样设计？
新课学习
一、新课讲授： 公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
符号语言： A、B、C 三点不共线 有且只有一个平面 ，使 A、B 、C .
图形语言：
作用：① 确定平面；② 证明两个平面重合.
第一章·第四节
空间图形的公理
新课学习
一、新课讲授：
公理 1: 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点 都在这个平面内.
符号语言：
A B
AB
图形语言：
作用：确定线在面内.
新课学习
一、新课讲授：
问题：① 给出一只四条不是一样长腿的小凳子和一只三条腿的小凳子，让两个学 生来观察那种凳子摆放平稳？
作用：证明角相等和互补关系.
新课学习
二、知识应用： 题型一 概念问题 例 1.下列命题： ① 空间不同的三点可以确定一个平面； ② 有三个公共点的两个平面必定重合； ③ 空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面； ④ 平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形； ⑤ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑥ 一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交. 其中不正确的命题是 ①②③④⑤. ⑥
新课学习
二、知识应用： 题型二 异面直线所成角
例 2.在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
求：① 异面直线 A1A 与 CD 所成角； ② 异面直线 A1A 与 CD1 所成角； ③ 异面直线 A1B 与 AD1 所成角.
D1 A1
D A
C1 B1
C B
新课学习
二、知识应用： 题型三 通过公理、定理、推论证明
② 让学生观察以下三张生活中常见的图片，为什么这样设计？
新课学习
一、新课讲授： 公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
符号语言： A、B、C 三点不共线 有且只有一个平面 ，使 A、B 、C .
图形语言：
作用：① 确定平面；② 证明两个平面重合.
高中数学 空间图形的基本关系与公理课件 北师大版必修
l
A 点A在直线l上． Al 3.直线与平面的位置关系
l
A
直线l在平面 外． l
l A
点A在直线l外． Al
l A
B 直线l在平面 内． 平面 经过直线l．
l
4.空间直线与直线之间的位置关系
六角螺母
相交直线
平行直线
D
异面直线
C
A
B
5、两个平面的位置关系
1）两平面平行
没有公共点
2）两平面相交
平面内）
在生产、生活中，人
l A
B
们经过长期观察与实践， 总结出关于平面的一些基 本性质，我们把它作为公
理．这些公理是进一步推
理的基础．
Al, Bl, A, B l
作用：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
判定直线是否在平面内．
平面公理
生活中经常看到用三角架支撑照相机．为什么？
平面公理
存在性
公理2 个平面．
过不在同一条直线上的三点，有且只有一
D A
C B
平面的画法
为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线 画出来．
D
FC
A
E
B
被遮挡部分 用虚线表示
平面的表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形 的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面 的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英 文字母作为这个平面的名称．
D
A
C B
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
四个公 理
空间图形
文字叙述
符号表示
思考题
• 过一条直线和直线外的一点 可以确定几个平面？
A 点A在直线l上． Al 3.直线与平面的位置关系
l
A
直线l在平面 外． l
l A
点A在直线l外． Al
l A
B 直线l在平面 内． 平面 经过直线l．
l
4.空间直线与直线之间的位置关系
六角螺母
相交直线
平行直线
D
异面直线
C
A
B
5、两个平面的位置关系
1）两平面平行
没有公共点
2）两平面相交
平面内）
在生产、生活中，人
l A
B
们经过长期观察与实践， 总结出关于平面的一些基 本性质，我们把它作为公
理．这些公理是进一步推
理的基础．
Al, Bl, A, B l
作用：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
判定直线是否在平面内．
平面公理
生活中经常看到用三角架支撑照相机．为什么？
平面公理
存在性
公理2 个平面．
过不在同一条直线上的三点，有且只有一
D A
C B
平面的画法
为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线 画出来．
D
FC
A
E
B
被遮挡部分 用虚线表示
平面的表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形 的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面 的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英 文字母作为这个平面的名称．
D
A
C B
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
四个公 理
空间图形
文字叙述
符号表示
思考题
• 过一条直线和直线外的一点 可以确定几个平面？
北师大版高中数学必修2课件1.4空间图形的公理课件(北师大版)
(1)四个公理及推论的概念及作用；
(2)等角定理的概念及应用。
作业：课本28页习题1-4A组5题
证明：∵梯形 ABCD 中，AD∥BC，∴AB，CD 是梯形 ABCD 的两腰， ∴AB，CD 必定相交于一点．如图，设 AB∩CD=M。 又∵ AB ，CD ， M ，且M ， M ， 又
， M l ， 即 AB，CD， l 共点。
课堂小结
四边形EFGH 为平行四边形
例 2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线 AB, CD 在原正方体中的位置关系是(
A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成600
D
)
巩固练习
1.已知 AB ∥ PQ , BC ∥ QR , ABC 300 ,则 PQR =
300 或1500
。
1 。 2.以下四个命题中，正确命题的个数是________
A, B, C 不共线 符号语言： A, B, C 与 重合 A, B, C
或者：∵ A, B, C 不共线， ∴存在唯一的平面
图形语言：
，使得 A, B, C 。
②证明两个平面重合
公理2应用：①确定平面
思考交流
1. 经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？（ 推论1） 2. 经经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？ （ 推论3）
面的位置关系。
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点
都在这个平面内。
符号语言： A AB B 或者：∵ A , B ，∴ AB
图形语言：
公理1说明了平面与曲面的本质区别。通过直线的“直”来刻划平
面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，
(2)等角定理的概念及应用。
作业：课本28页习题1-4A组5题
证明：∵梯形 ABCD 中，AD∥BC，∴AB，CD 是梯形 ABCD 的两腰， ∴AB，CD 必定相交于一点．如图，设 AB∩CD=M。 又∵ AB ，CD ， M ，且M ， M ， 又
， M l ， 即 AB，CD， l 共点。
课堂小结
四边形EFGH 为平行四边形
例 2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线 AB, CD 在原正方体中的位置关系是(
A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成600
D
)
巩固练习
1.已知 AB ∥ PQ , BC ∥ QR , ABC 300 ,则 PQR =
300 或1500
。
1 。 2.以下四个命题中，正确命题的个数是________
A, B, C 不共线 符号语言： A, B, C 与 重合 A, B, C
或者：∵ A, B, C 不共线， ∴存在唯一的平面
图形语言：
，使得 A, B, C 。
②证明两个平面重合
公理2应用：①确定平面
思考交流
1. 经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？（ 推论1） 2. 经经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？ （ 推论3）
面的位置关系。
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点
都在这个平面内。
符号语言： A AB B 或者：∵ A , B ，∴ AB
图形语言：
公理1说明了平面与曲面的本质区别。通过直线的“直”来刻划平
面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，
§4空间图形的基本关系与公理(北师大版)省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
§4空间图形旳基本关系与公理
一、平面旳概念与画法
桌面
黑板面 平静旳水面
平面旳形 象
几何里旳平面是无限延展旳.
经常把水平旳平面画成锐角为450， 横边长等于其邻边长2倍旳平行四边形.
β
假如一种平面被另一种平面挡住，
则这遮挡旳部分用虚线画出来.
α
二、平面旳表达法
D
C
α
A
B
①平面一般用一种希腊字母α、β、γ等来表达 如平面α、平面β、平面γ；
文字语言
公理2 经过不在同一直线上旳三点，
有且只有一种平面.
注解：1经过一点、两点或同一条直线上旳三点有无数个平面。 2有：指图形存在。 3且只有：指图形唯一。
图形语言
B
A
C
符号语言 公理作用
不在同一条直线上旳三点A、B、 C⇒有且只有一种平面α，使 A∈ 面α ，B∈ 面α ，C ∈ 面α
一、拟定平面旳根据 二、判断点线共面得根据.
思索交流
（1）经过一条直线和这条直线外一点，能够拟定
一种平面吗？
LA B α
C
（2）经过两条相交直线，能够拟定一种平面吗？
Aa α
A
B
α a
C Bb
C
b
(3)经过两条平行直线，能够拟定一种平面吗？
公理2 旳三个推论 推论1 经过一条直线和直线外一点唯一拟定一种平面.
推论2 经过两条相交直线唯一拟定一种平面. 推论3 经过两条平行直线唯一拟定一种平面. 作用：拟定平面旳根据
3. 空间两条直线旳位置关系有三种A：
a
①平行直线——在同一种平面内，没有公共点
旳两条直线。
②相交直线——在同一种平面内，有且只有一 α
一、平面旳概念与画法
桌面
黑板面 平静旳水面
平面旳形 象
几何里旳平面是无限延展旳.
经常把水平旳平面画成锐角为450， 横边长等于其邻边长2倍旳平行四边形.
β
假如一种平面被另一种平面挡住，
则这遮挡旳部分用虚线画出来.
α
二、平面旳表达法
D
C
α
A
B
①平面一般用一种希腊字母α、β、γ等来表达 如平面α、平面β、平面γ；
文字语言
公理2 经过不在同一直线上旳三点，
有且只有一种平面.
注解：1经过一点、两点或同一条直线上旳三点有无数个平面。 2有：指图形存在。 3且只有：指图形唯一。
图形语言
B
A
C
符号语言 公理作用
不在同一条直线上旳三点A、B、 C⇒有且只有一种平面α，使 A∈ 面α ，B∈ 面α ，C ∈ 面α
一、拟定平面旳根据 二、判断点线共面得根据.
思索交流
（1）经过一条直线和这条直线外一点，能够拟定
一种平面吗？
LA B α
C
（2）经过两条相交直线，能够拟定一种平面吗？
Aa α
A
B
α a
C Bb
C
b
(3)经过两条平行直线，能够拟定一种平面吗？
公理2 旳三个推论 推论1 经过一条直线和直线外一点唯一拟定一种平面.
推论2 经过两条相交直线唯一拟定一种平面. 推论3 经过两条平行直线唯一拟定一种平面. 作用：拟定平面旳根据
3. 空间两条直线旳位置关系有三种A：
a
①平行直线——在同一种平面内，没有公共点
旳两条直线。
②相交直线——在同一种平面内，有且只有一 α
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(3)经过两条平行直线，可以 确定一个平面吗？
六、教学过程分析
设计意图
试用公理2对问题探究（1） 进行证明？
对于以上的问题探究，可以 作为公理2的三个推论，以 后可以直接应用。
①体验公理1,2的作用。
②进一步理解公理2中 “确定”词的含义。
③培养学生的逻辑推 理的能力。
六、教学过程分析
实验操作——直观感知
学生在空间图形的基本关系的学习中，已初步建立 了空间图形的基本概念，在本节课让学生对生活实例 直观感知、操作确认、思辨论证，是培养学生空间思 维能力的很好素材。
二、学情分析
虽然学生在空间图形的基本关系的学习中，对空间 中点、线、面的位置关系有了初步的了解，但是学生 空间想象和抽象概括能力还比较薄弱，让学生从实例 中抽象出公理可能会比较困难。
思考1 公理中的“确定”是什 么意思？
思考1是让学生理解和 “确定”也即“有且 只有”的意思，包含 存在性和唯一性两方 面。
六、教学过程分析
设计意图
问题探究：
（1）经过一条直线和这条直 线外一点，可以确定一个平面 吗？
（2）经过两条相交直线，可 以确定一个平面吗？
体会公理2的作用，通 过学生动手操作、合 作探究，培养学生抽 象概括的能力。
设计意图
问题3
将书竖起放在桌面上，使得书 的一个角与桌面接触，此时书 所在平面与桌面所在平面有几 个交点？
α
通过学生易操作的问 题3，归纳出公理3.
β
形成公理
六、教学过程分析
设计意图
公理3 如果两个不重合的平 面有一个公共点，那么它们 有且只有一条通过这个点的 公共直线。
思考1是让学生理解 “不重合”的重要性。
三、教学目标分析
1.知识与技能 （1）掌握公理1,2,3,4； （2）会用公理1,2,3,4解决一些简单的问题。 2.过程与方法
通过从显而易见的事实中抽象出公理的过程，让学 生感受数学知识来源于生活，又服务于生活，从中培 养学生的空间想象和抽象概括的能力。
3.情感、态度与价值观
通过列举日常生活中的实例，激发学生的学习兴趣， 调动学习积极性。
四、教学重点、难点分析
教学重点：通过实际操作，让学生直观感知公理 的形成过程。
教学难点：4个公理的理解。
五、教法学法分析
教法：本节课以学生为主体的探究式教学方法。
学法：通过直观感知、操作确认的学习方式进行自 主探究。
六、教学过程分析
（一）实验操作——直观感知
设计意图
问题1 把一根细线绷直，将 两端点固定在黑板上，此时 细线与黑板是否重合？你能 得到什么结论？
六、教学过程分析
设计意图
例1、下列图形中不一定是 平面图形的（ ）
A、三角形 形C、梯形
B、菱
通过例1让学生会用公 理2解决相关问题。
D、四边相等的四边形
数学应用
六、教学过程分析
设计意图
例2、直线a,b,c满足b//c，
a b A, a c B
判断直线a,b,c是否共面。
a b
A
通过例2让学生会用公 理1,2解决相关问题。
活动1是培养学生的符 号意识。
活动1 试用符号语言来表示这 个公理？
六、教学过程分析
实验操作——直观感知
设计意图
问题2 请同学们观察教室的 门，为什么用两个合叶和一 把锁就可以固定了？
通过身边的实例，让 学生直观感知，从中 抽象出公理2.
形成公理
六、教学过程分析
设计意图
公理2 .经过不在同一条直线上 的三点，有且只有一个平面 （可以确定一个平面）
B
c
1． 西 方 资 本 主义迅 猛发展 ，急需 开辟更 大的商 品销售 市场和 原料产 地 2． 列 强 拥 有 强大的 经济实 力和船 坚炮利 的军事 优势
3． 当 时 中 国 正值封 建社会 末期， 国力渐 衰，内 部危机 严重 4.电脑和网络的迅猛发展，给人们提 供了许 多便利 ，使人 们变得 懒惰而 浮躁， 出现了 拼凑、 剪接式 的文章 。 5.文艺创作者不能把极端个性的东西 展现给 观众， 也不能 把属于 极端个 人的观 点强加 给大众 ，使文 艺作品 的传播 遭遇障 碍。 6.作家要承担起社会责任，关注大众 的艺术 审美品 位，尊 重大众 的理解 ，从而 引导大 众去感 悟真理 ，提升 大众的 思想境 界。
感谢聆听，欢迎指导！
7.作家要有清醒的意识，没有容忍错 误的倾 向，为 社会充 满思想 活力和 精神自 由做出 自己的 贡献。 8．易砚制作工艺由简到繁，题材日 益丰富 ，制砚 师采用 平雕、 透雕等 手法， 雕刻出 的山水 、花卉 、人物 、名胜 等形象 惟妙惟 肖。
9．易砚不仅成为宫廷贡品和传世名 砚，而 且受到 了王公 贵族、 文人墨 客乃至 平民百 姓的珍 爱，这 应该是 自唐宋 以后的 事了。
通过学生非常熟 悉的实例提问， 让 学生自己动手操作， 从中感受到数学与日 常生活紧密联系，激 发学生的学习兴趣， 引导学生归纳出公理 1，此时点出本节课 的课题。
பைடு நூலகம்
形成公理
六、教学过程分析
设计意图
公理1 如果一条直线上的两 点在一个平面内，那么这条 直线上所有的点都在这个平 面内（即直线在平面内）。
北师大版高中数学必修2 第一章 立体几何初步
§4.2 空间图形的公理
一、教材分析 二、学情分析 三、教学目标分析 四、教学重点、难点分析 五、教法学法分析 六、教学过程分析
一、教材分析
“空间图形的公理”是北师大版普通高中课程标准实 验教科书数学必修2第一章第四节第二课时的内容。它 与 “空间图形的基本关系”是学习立体几何的基础。
思考1 公理中的“不重合”条 件能否去掉？
六、教学过程分析
实验操作——直观感知
观察长方体模型
设计意图
a b
通过学生熟悉的长方 体模型，归纳出公理4.
c
指出直线a,b,c的位置关系。
形成公理
六、教学过程分析
设计意图
公理4 平行于同一条直线的 两直线平行.
通过学生熟悉的长方 体模型，归纳出公理4.
（二）数学应用