高一数学必修一集合课件
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高中数学新人教A版必修1课件：第一章集合与函数概念1.1.3集合的基本运算(第1课时)并集和交集
集合运算时忽略空集致错
• 典例 4 集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－ 1＝0}，A∩B＝B，求a的取值范围．
• [错解] 由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，∴1∈B，或者 2∈B，∴a＝2或a＝1.
• [错因分析] A∩B＝B⇔A⊇B．而B是二次方程的解集，它
可能为空集，如果B不为空集，它可能是A的真子集，也可
B．{x|－4<x<－2}
• C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}
• [解析] N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|(x－3)(x＋2)<0}＝{x|－ 2<x<3}，
• ∴M∩N＝{x|－4<x<2}∩{x|－2<x<3}
• ＝{x|－2<x<2}，故选C．
• 4．(202X·江苏，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0， x∈R}，则A∩B＝___{_1,_6_} ______.
• 2．并集和交集的性质并集
简单 性质
A∪A＝___A___； A∪∅＝___A___
常用 结论
A∪B＝B∪A； A⊆(A∪B)； B⊆(A∪B)；
A∪B＝B⇔A⊆B
交集
A∩A＝___A___； A∩∅＝___∅___
A∩B＝B∩A； (A∩B)⊆A； (A∩B)⊆B；
A∩B＝B⇔B⊆A
• 1．(202X·全国卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝ {x|x2≤1}，则A∩B＝ ( A )
• 将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，∴A＝{1，－2}，
• ∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，∴B＝{－2,5}，
高中数学必修一必修1全章节ppt课件幻灯片
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(2)方程x2+2x+1=0的解集中有两个元素. (3)组成单词china的字母组成一个集合.
【解题探究】 1.集合中的元素有哪些特性？ 2.集合中的元素能重复吗？
探究提示： 1.集合中的元素有三个特性，即确定性、互异性和无序性. 2.构成集合的元素必须是不相同的，即集合元素具有互异性， 相同的元素只能算作一个. 【解析】1.①不正确.因为成绩较好没有明确的标准． ②正确．中国海洋大学2013级大一新生是确定的，明确的． ③正确．因为参加2012年伦敦奥运会的所有国家是确定的， 明确的． ④不正确．因为高科技产品的标准不确定． 答案：②③
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b， c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常 用来判断两个集合的关系．
3.元素和集合之间的关系 (1)根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a和集合A，在 a∈A和a∉A两种情况中有且只有一种成立. (2)符号“∈”和“∉”只是表示元素与集合之间的关系. 4.对一些常用的数集及其记法要关注的两点
第一章 集合与函数概念 1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义
一、元素与集合 1.定义： (1)元素：一般地，把所研究的_对__象_统称为元素，常用小写的 拉丁字母a,b,c，…表示. (2)集合：一些元素组成的总体，简称为_集_，常用大写拉丁字 母A,B,C，…表示. 2.集合相等：指构成两个集合的元素是_一__样_的. 3.集合中元素的特性：_确__定__性_、_互_异__性__和_无__序__性__.
类型 一 集合的判定
【典型例题】
1.下列说法中正确的序号是
.
①高一(四)班学习成绩较好的同学组成一个集合；
(2)方程x2+2x+1=0的解集中有两个元素. (3)组成单词china的字母组成一个集合.
【解题探究】 1.集合中的元素有哪些特性？ 2.集合中的元素能重复吗？
探究提示： 1.集合中的元素有三个特性，即确定性、互异性和无序性. 2.构成集合的元素必须是不相同的，即集合元素具有互异性， 相同的元素只能算作一个. 【解析】1.①不正确.因为成绩较好没有明确的标准． ②正确．中国海洋大学2013级大一新生是确定的，明确的． ③正确．因为参加2012年伦敦奥运会的所有国家是确定的， 明确的． ④不正确．因为高科技产品的标准不确定． 答案：②③
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b， c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常 用来判断两个集合的关系．
3.元素和集合之间的关系 (1)根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a和集合A，在 a∈A和a∉A两种情况中有且只有一种成立. (2)符号“∈”和“∉”只是表示元素与集合之间的关系. 4.对一些常用的数集及其记法要关注的两点
第一章 集合与函数概念 1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义
一、元素与集合 1.定义： (1)元素：一般地，把所研究的_对__象_统称为元素，常用小写的 拉丁字母a,b,c，…表示. (2)集合：一些元素组成的总体，简称为_集_，常用大写拉丁字 母A,B,C，…表示. 2.集合相等：指构成两个集合的元素是_一__样_的. 3.集合中元素的特性：_确__定__性_、_互_异__性__和_无__序__性__.
类型 一 集合的判定
【典型例题】
1.下列说法中正确的序号是
.
①高一(四)班学习成绩较好的同学组成一个集合；
高中数学(新人教A版)必修第一册：集合的基本运算【精品课件】
当A与B无公共元素时，A与B
的交集仍存在，此时A∩B＝∅.
（三）交集
【做一做】
【探究2】
已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，
则A∩B＝(
)
A．{0,2}
C．{0}
B．{1,2}
D．{－2，－1,0,1,2}
交集的性质：
[答案]
A
①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；
③A∩∅＝∅； ④若A⊆B，则A∩B＝A；
（四）集合的交并运算
【巩固练习1】
(1) 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是(
A．{－1,2,3}
B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3}
D．{1，－2，－3}
(2) 若集合A＝{x|－2≤x＜3}，B＝{x|0≤x＜4}，则A∪B＝________.
⑤(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B.
（四）集合的交并运算
1.集合的并集运算
例1.
（1）设集合M＝{x| 2 ＋2x＝0，x∈R}，N＝{x| 2 －2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(
A.{0}
B.{0,2} C.{－2,0} D.{－2,0,2}
（2）已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1<x≤7}，求A∪B。
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算（第2课时）
教材分析
本小节内容选自：
《普通高中数学必修第一册》
人教A版（2019）
第一课时
课时内容
集合的并集、交集运算
集合的补集、综合运算
所在位置
教材第10页
的交集仍存在，此时A∩B＝∅.
（三）交集
【做一做】
【探究2】
已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，
则A∩B＝(
)
A．{0,2}
C．{0}
B．{1,2}
D．{－2，－1,0,1,2}
交集的性质：
[答案]
A
①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；
③A∩∅＝∅； ④若A⊆B，则A∩B＝A；
（四）集合的交并运算
【巩固练习1】
(1) 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是(
A．{－1,2,3}
B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3}
D．{1，－2，－3}
(2) 若集合A＝{x|－2≤x＜3}，B＝{x|0≤x＜4}，则A∪B＝________.
⑤(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B.
（四）集合的交并运算
1.集合的并集运算
例1.
（1）设集合M＝{x| 2 ＋2x＝0，x∈R}，N＝{x| 2 －2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(
A.{0}
B.{0,2} C.{－2,0} D.{－2,0,2}
（2）已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1<x≤7}，求A∪B。
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算（第2课时）
教材分析
本小节内容选自：
《普通高中数学必修第一册》
人教A版（2019）
第一课时
课时内容
集合的并集、交集运算
集合的补集、综合运算
所在位置
教材第10页
人教版高中数学必修1《集合的概念》PPT课件
• 题型二 元素与集合的关系 • 【学透用活】
• 元素与集合的关系解读
a∈A与a∉A取决于a是不是集合A中的元素，只 唯一性
有属于和不属于两种关系 符号“∈”“∉”具有方向性，左边是元素， 方向性 右边是集合
[典例 2] (1)满足“a∈A 且 4－a∈A，a∈N 且 4－a∈N ”，有且只有 2
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法
N _________
_N_*_或N_＋_
_Z__
_Q__
_R__
• [微思考] N与N*有何区别？
• 提示：N*是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的 正整数组成的集合，所以N比N*多一个元素0.
(二)基本知能小试
1．给出下列关系：①13∈R ；② 5∈Q ；③－3∉Z ；④－ 3∉N ，其中正确的个
数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：13是实数，①正确； 5是无理数，②错误；－3 是整数，③错误；－ 3
是无理数，④正确．故选 B. 答案：B
2．已知集合 M 有两个元素 3 和 a＋1，且 4∈M，则实数 a＝________.
解析：由题意可知 a＋1＝4，即 a＝3. 答案：3
• 知识点三 集合的表示方法
• [方法技巧] • 用列举法表示集合的3个步骤
• (1)求出集合的元素．
• (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
• (3)用花括号括起来．
• 提醒：二元方程组的所有实数解组成的集合、函数图象 上的所有点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对 的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2,3)，(5，－ 1)}．
高一数学必修1第一章课件：1.1.1集合的含义与表示 课件(36张)
(2)列举法和描述法
列举法
描述法
把集合的元一素一列举
用集合所含元素的
_____________出来，并用
共同特征
概念
_______________表示集合的
花括号“{ }”括起来表示集
方法
合的方法
一般
形式 {a1，a2，a3，…，an}
{x∈I|p(x)}
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)你班所有的姓氏能组成集合．( √ ) (2)高一·二班“数学成绩好的同学”能组成集合．( × ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( × ) (4)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合．(√ )
2．元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
读法
属于 a是集合A中的元素 a∈A a属于集合A
不属于 a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A
3.常用的数集及其记法
常用的 自然数 数集 集 记法 N
正整数集 N*或N＋
有理数
整数集
实数集
集
Z
QR
4.集合的表示法 (1)自然语言法 用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法要注意叙述 清楚，如由所有正方形构成的集合，就是自然语言表示的， 不能叙述成“正方形”．
4．当{a，0，－1}＝{4，b，0}时，a＝___4_____，b＝ __－__1____．
集合的概念 判断下列各组对象能否组成一个集合： (1)新华中学高一年级全体学生； (2)我国的大河流； (3)不大于 3 的所有自然数；
(4)平面直角坐标系中，和原点距离等于 1 的点．
(链接教材P3思考) [解] (1)能，(1)中的对象是确定的；(2)不能，“大”无明确标 准；(3)能，不大于 3 的所有自然数有 0、1、2、3，其对象是 确定的；(4)能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判 断是不是“和原点的距离等于 1”，故能组成一个集合．
高中数学集合的表示 PPT优秀课件
谢谢欣赏
法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也 可以表示元素个数有限的集合． 2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)， 是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？
(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字 母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能 被外表的字母形式所迷惑.
{x R | x 7 3}
五、集合的表示方式总结
例2 用描述法和列举法描述以下集合
(1)方程 x2 -2=0 的所有实数根组成的集合 A={x R | x2 2=0 } 或A { 2， 2}
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合 B={x Z | 10<x<20 }
或B={11,12,13,14,15,16,17,18,19 }
例 不等式 x 7 3 的解集 {x R | x 7 3}
集合的表示方式
(1)列举法 把集合中的元素一一列举出来，以逗号隔开，并
用花括号“{ }〞括起来的表示集合的方法叫做列举法.
{2, 3, 5, 7,11,13,17,19}
(2)描述法： 用集合所含元素的共同特征表示集合的 方法称为描述法。
八、课堂检测
1答案解析： 1解析 ∵0∈N且－＜0＜，∴0∈A. 答案 B 2解析 集合{0,1,2,3,4,5,6,7}表示前7个自然数，故用描述法可表示为{x∈N|x≤7}． 答案 B 3解析 由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1. 又x∈N，∴x＝1. 答案 {1} 4解析 ∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1； 当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1. 答案 {0,1} 5解 (1)∵x∈N*，y∈N*， ∴x＝1，y＝3或x＝2，y＝2或x＝3，y＝1， ∴A＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}． (2){(x，y)|x＜0，y＞0}．
高中数学必修一课件：集合的概念(第1课时)
思考题 1 【多选题】下列每组对象的全体能构成集合的是( ACD )
A．《高考调研·必修Ⅰ》的作者 B．中国的大城市 C．直角坐标平面内第一象限的点 D．方程 x2－2＝0 在实数范围内的解
题型二 元素与集合的关系
例 2 用符号“∈”“∉”填空． (1)0___∈____N，－1____∉___N， 3___∉____N，12___∉____N； (2)－13___∉____Z， 2___∉____Q，π___∈____R； (3)5__∈_____Z，－11___∈____Q，－ 5___∈____R.
(2)B＝{－2，－1，0，1，2}． (3){2，3，5，7，11}．
题型四 集合中元素的性质 例 4 (1)集合{a，a2}中，实数 a 的取值范围是_____a≠_0_且_a_≠_1______． 【解析】 根据集合中元素的互异性得 a≠a2，即 a≠0 且 a≠1.
(2)已知 A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，求实数 a 的值． 【解析】 ∵－3∈A，∴a－2＝－3 或 2a2＋5a＝－3. ∴a＝－1 或 a＝－32.但 a＝－1 时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，与集合中元 素的互异性矛盾，∴a＝－32.
【解析】 若 A，B 表示同一个集合，则xy＝ ＝22， x 或xy＝＝22x，，即xy＝ ＝24，或xy＝ ＝02， .
课后巩固
1．判断对错(对的打“√”，错的打“×”)． (1)在一个集合中不能找到两个相同的元素．( √ ) (2)高中数学新教材人教 A 版第一册课本上的所有难题能组成集合．( × ) (3)由方程 x2－4＝0 和 x－2＝0 的根组成的集合中有 3 个元素．( × ) (4)由形如 x＝3k＋1(k∈Z)的数组成集合 A，则 1，－1，－11 这三个元素都 属于集合 A.( × )
高中一年级数学必修1第一章 集合与函数的概念1.1 集合第一课时课件
集合中的元素是 互异的！
课堂探究
探究点2：集合中元素的性质.
(3)高一（4）班的全体同学组成一个集合，调 整座位后，这个集合有没有变化？
集合中的元素是 无序的！
4.集合元素的性质:
⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一.
4.集合元素的性质:
⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，“一 切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为 之陶醉.那么，我们怎样理解数学中的“集合”？
回顾旧知
在小学和初中，我们已经接触过一些集合： （1）自然数的集合； （2）有理数的集合；
（3）不等式 x 7 3的解的集合；
（4）到一个定点的距离等于定长的点的集合； （5）到一条线段的两个端点距离相等的点的集合 .................
数集的扩充过程
N*
或 N
正整数 集
N
自然数 集
Z
整数集
实数集
R
有理数 集
Q
练习1.下列指定的对象，能构成一个集合
的是
()
①很小的数 ②不超过 30的非负实数
③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点
④的近似值 ⑤高一年级很帅的男生
⑥所有无理数 ⑦大于2的整数
⑧全体正三角形
A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
4.集合元素的性质:
⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一.
⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}.
⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
课堂探究
探究点2：集合中元素的性质.
(3)高一（4）班的全体同学组成一个集合，调 整座位后，这个集合有没有变化？
集合中的元素是 无序的！
4.集合元素的性质:
⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一.
4.集合元素的性质:
⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，“一 切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为 之陶醉.那么，我们怎样理解数学中的“集合”？
回顾旧知
在小学和初中，我们已经接触过一些集合： （1）自然数的集合； （2）有理数的集合；
（3）不等式 x 7 3的解的集合；
（4）到一个定点的距离等于定长的点的集合； （5）到一条线段的两个端点距离相等的点的集合 .................
数集的扩充过程
N*
或 N
正整数 集
N
自然数 集
Z
整数集
实数集
R
有理数 集
Q
练习1.下列指定的对象，能构成一个集合
的是
()
①很小的数 ②不超过 30的非负实数
③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点
④的近似值 ⑤高一年级很帅的男生
⑥所有无理数 ⑦大于2的整数
⑧全体正三角形
A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
4.集合元素的性质:
⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一.
⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}.
⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件4：1.1 第1课时 集合的概念
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 _N__ __N__＋_或__N_*_ _Z__
_Q__
_R__
[题型探究] 题型一 集合的基本概念 例1 下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； 解 “高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合. (2)不超过20的非负数； 解 任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”， 即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故 “不超过20的非负数”能构成集合；
[预习导引]
1.元素与集合的概念 (1)集合：把一些能够 确定的不同的对象看成一个整体，就说这个 整体是由这些对象的全体 构成的集合(或集). (2)元素：构成集合的 每个对象 叫做这个集合的元素. (3)集合元素的特性： 确定性、 互异性 .
2.元素与集合的关系
关系
概念
记法
如果 a是集合A 的元素， 属于
[即时达标]
1.下列能构成集合的是( C ) A.中央电视台著名节目主持人 C.上海市所有的中学生
B.我市跑得快的汽车 D.香港的高楼
【解析】A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合.
2.已知1∈{a2，a}，则a＝__-_1___.
【解析】当a2＝1时，a＝±1，但a＝1时，a2＝a，由元素的互异性 知a＝－1.
【解析】深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会.
4.已知① 5∈R；②13∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3∉Z.
【解析】序号 Biblioteka 否构成集合理由(1)
能
其中的元素是“三条边相等的三角形”
“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以
(2)
不能
集合的概念(第一课时,集合的含义)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
【方法总结】求解此类问题必须要做到以下两点： ①熟记常见的数集的符号； ②正确理解元素与集合之间的“属于”关系.
知识总结
元素的特性：确定性、互异性、无序性.
元素与集合关系： 或 .
常见数集记其记法：
探究新知
问题2.由1,2,0,5,︱-2 ︳这些数组成的一个集合中有5个 元素，这种说法正确吗？
不正确.集合中只有4个不同元素1，2，0，5 .
集合中的元素是 互异的
集合中的元素是独一无二的，也就是说任意两个 元素都是互不相同的，所以可以得到集合中的元 素是互异的.
探究新知
问题3.高一（7）班的全体同学组成一个集合，调整座位后 这个集合有没有变化？
集合：一些 元素 组成的总体，简称集，常
用大写拉丁字母 A, B,C, 表示．
探究新知
问题1. 所有的高个子能否构成一个集合？
不能. 其中的元素不确定
集合中的元 素是确定的
高个子是一个含糊不清的概念，具有相对性，多 高才算高？没有明确的标准，也就是说，是一些 不能够确定的对象．因此，不能构成集合．
探究新知
已知下面的两个实例： （1）用A表示高一(7)班全体学生组成的集合.
（2）用a表示高一(7)班的一位同学，b 表示高一(5)
班的一位同学.
思考：那么 a,b 与集合A分别有什么关系?
a是集合A中的元素,
b不是集合A中的元素.
探究新知
元素a与集合A的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 a A ； 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
例如：“1 10之间的所有偶数”组成的集合用A来表示，
则有4 A,3 A，等等.
探究新知
高一数学人教A版必修第一册1.3集合的基本运算课件
1.3 集合的基本运算
问题1 如何研究两个集合间的基本关系？
实数
≤
<
=
类比
⊆
集合
⫋
=
问题2 实数可以进行加减乘除等运算，那么集合是否有类似
的运算呢？
学校食堂1号的菜品集合记为A={清炒白菜，炒豆芽，家常豆腐，
油闷大虾，炸鸡腿，红烧鸡块}，2号的菜品集合记为B={清炒白
菜，苦瓜炒蛋，红烧茄子，土豆牛腩，玉米排骨，辣子鸡丁}。
已知全集为R,集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且
A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是
.
答案 {a|a≥2}
解析 ∵B={x|1<x<2},
∴∁RB={x|x≤1,或x≥2}.
又A={x|x<a},且A∪(∁RB)=R,利用如图所示的数轴可得a≥2.
能力提升
已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.
解：A∪B＝{3，4，5，6，7，8}
A
4
5
3
6
8
7
B
!!!在求并集时，两个集合中相同的元素只列举一次!!!
2. 设 集 合 = x − < ≤ , = x 1 < x ≤ 3 , 求 ∪
.解
：
-1
0
1
2
3 x
PART 2 交集
1. 定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的
且A∪B={x|x<1},如图2所示,
图2
∴数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.
∴{a|-1<a≤1}.
例3 集合的交集、并集性质的应用
问题1 如何研究两个集合间的基本关系？
实数
≤
<
=
类比
⊆
集合
⫋
=
问题2 实数可以进行加减乘除等运算，那么集合是否有类似
的运算呢？
学校食堂1号的菜品集合记为A={清炒白菜，炒豆芽，家常豆腐，
油闷大虾，炸鸡腿，红烧鸡块}，2号的菜品集合记为B={清炒白
菜，苦瓜炒蛋，红烧茄子，土豆牛腩，玉米排骨，辣子鸡丁}。
已知全集为R,集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且
A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是
.
答案 {a|a≥2}
解析 ∵B={x|1<x<2},
∴∁RB={x|x≤1,或x≥2}.
又A={x|x<a},且A∪(∁RB)=R,利用如图所示的数轴可得a≥2.
能力提升
已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.
解：A∪B＝{3，4，5，6，7，8}
A
4
5
3
6
8
7
B
!!!在求并集时，两个集合中相同的元素只列举一次!!!
2. 设 集 合 = x − < ≤ , = x 1 < x ≤ 3 , 求 ∪
.解
：
-1
0
1
2
3 x
PART 2 交集
1. 定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的
且A∪B={x|x<1},如图2所示,
图2
∴数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.
∴{a|-1<a≤1}.
例3 集合的交集、并集性质的应用
人教版高中数学必修一课件：1.1《集合》 (共23张PPT)
（2）互异性：
一个给定集合中的元素是互不相同的．即集合 中的元素是不重复出现的。
（3）无序性：
元素完全相同的两个集合相等，而与列举顺序 无关。
【注】两个集合相等当且仅当构成
这两个集合的元素是完全一样的.
三、元素与集合的关系
常见数集：
1. 自然数集(非负整数集): N 2. 正整数集: N*或N+ 3. 整数集: Z 4. 有理数集: Q 5. 实数集: R
(2) 描述法：
{ x I | P( x)}
元素符号 范围 元素的特征
【例2】试分别用列举法和描述法表示下列 集合 (1)方程x2-2＝0的所有实数根组成的集合; (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
【思考题】用列举法表示集合:
ab 1) A { x | x ,
a, b为非零实数}
3.
方程组
x x
y9 y3
的解集用列举
法或描述法表示为
。
4、已知x2∈ {1, x, 0}, 求实数x的值.
52、) 补充 : 含有三个实数的集合可
表示为{ a, b , 1 }, 也可表示为 a
{a 2 , aabb,，00},}求, 求a 2a0120006 b b . 20120006.
6、已知集合A={x∈R|mx2-2x+3=0, m∈R}且A中只有一个元素，求m的值.
课堂练习 P5 练习1、2
小结
1. 集合的概念； 2. 元素与集合的关系； 3. 集合的元素特征； 4. 集合的表示方法；
ab
2) B {k N | 6 Z} 3k
思考：B { 6 Z | k N }呢？ 3k
1. 已知集合S中有三个元素 a, b, c
一个给定集合中的元素是互不相同的．即集合 中的元素是不重复出现的。
（3）无序性：
元素完全相同的两个集合相等，而与列举顺序 无关。
【注】两个集合相等当且仅当构成
这两个集合的元素是完全一样的.
三、元素与集合的关系
常见数集：
1. 自然数集(非负整数集): N 2. 正整数集: N*或N+ 3. 整数集: Z 4. 有理数集: Q 5. 实数集: R
(2) 描述法：
{ x I | P( x)}
元素符号 范围 元素的特征
【例2】试分别用列举法和描述法表示下列 集合 (1)方程x2-2＝0的所有实数根组成的集合; (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
【思考题】用列举法表示集合:
ab 1) A { x | x ,
a, b为非零实数}
3.
方程组
x x
y9 y3
的解集用列举
法或描述法表示为
。
4、已知x2∈ {1, x, 0}, 求实数x的值.
52、) 补充 : 含有三个实数的集合可
表示为{ a, b , 1 }, 也可表示为 a
{a 2 , aabb,，00},}求, 求a 2a0120006 b b . 20120006.
6、已知集合A={x∈R|mx2-2x+3=0, m∈R}且A中只有一个元素，求m的值.
课堂练习 P5 练习1、2
小结
1. 集合的概念； 2. 元素与集合的关系； 3. 集合的元素特征； 4. 集合的表示方法；
ab
2) B {k N | 6 Z} 3k
思考：B { 6 Z | k N }呢？ 3k
1. 已知集合S中有三个元素 a, b, c
高中数学人教A版必修第一册第一章集合的含义课件
1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考 试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。
哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数 的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论， 并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一 步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。
① 高一级身高较高的同学，能否构成集合?
否
② 高一级身高160cm以上的同学，能否构成集合?
能
①确定性： 集合中的元素必须是确定的。即确定了一个集
合，任何一个元素是不是这个集合的元素也就
确定了。 (具有某种属性)
二、集合中元素的特性
先思考以下两个问题：
集合中的元素是互异的。
① 高一级身高较高的同学，能否构成集合? 1、集合中元素的三个特性:
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开 始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877
说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很 大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不 同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910 年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。
作 aA ； 如 果 a不 是 集 合 A 的 元 素 ， 就 说 a不 属 于 1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。
哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数 的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论， 并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一 步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。
① 高一级身高较高的同学，能否构成集合?
否
② 高一级身高160cm以上的同学，能否构成集合?
能
①确定性： 集合中的元素必须是确定的。即确定了一个集
合，任何一个元素是不是这个集合的元素也就
确定了。 (具有某种属性)
二、集合中元素的特性
先思考以下两个问题：
集合中的元素是互异的。
① 高一级身高较高的同学，能否构成集合? 1、集合中元素的三个特性:
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开 始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877
说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很 大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不 同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910 年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。
作 aA ； 如 果 a不 是 集 合 A 的 元 素 ， 就 说 a不 属 于 1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。
高一数学课件：1.1 集合的含义与表示(新人教版必修1)
6.如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)， 而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合 特征性质 A的 . 7.描述法的表示形式为 {x∈I|p(x)} .
返回
学点一 集合的概念 下列各组对象能否组成集合. (1)小于10的自然数：0,1,2,3,…,9; (2)满足3x-2>x+3的全体实数; (3)所有直角三角形;
所以x∈R且x≠±1且x≠0.
【评析】解决这类问题的主要依据是集合元素的性质特征—
互异性，列出两两元素的关系式求解，通常要用到分类讨论.
返回
集合{3,x,x2-2x}中，x应满足的条件是 【解析】 x≠3且x≠0且x≠-1根据构成集合的元素的 互异性，x应满足
.
x3 2 x 2x 3 x 2 2x x
(5)直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成
的集合.
返回
（1）由
2 x 3 y 14 3x 2 y 8
得
x4 y 2
方程组的解集为{(4,-2)}. （2）1 000以内被3除余2的正整数可以表示为x=3k+2,k∈N的 形式. 故所求的集合为{x|x=3k+2,k∈N,且x<1 000}.
③因为N中最小元素为0,故当a∈N,b∈N时,a+b的最小值为0,故 错误.
返回
学点三
集合中元素的性质
已知由1,x,x2三个实数构成一个集合，求x应满足的条件. 【分析】1，x,x2是集合中的三个元素，则它们是互不相等的. 【解析】根据集合中元素的互异性，得
x 1 2 x 1 x x 2
1 1 1 1 a
人教 高中数学必修第一册第一章《1.1集合的概念》课件(共17张ppt)
如：（1）小于5的答自案然：数{1组，成－的1}集合可表示为____． （2）方程x2－1＝0的解集可表示为_{_x_∈__R_|_x_2-．1=0}
(4). Venn图
我们常常画一条封闭的曲线，用 它的内部表示一个集合．
例如，图1-1表示一个集合AA 图1-1
元素，称为空集，记为；
（4） 两个集合的元素若一样，则称它们相等。
4．几个常用数集：
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
(2) N＋* : 正整数集(不含0) (3) Z：整数集 (4) Q：有理数集 (5) R：实数集
5．集合的几种表示法
(1).自然语言法
(2).列举法：适用对象：有限、有规律
取值范围．a≠-2 (互异性应用）
知识点2 元素与集合的关系
1. 用符号“∈”或“ ”填空
(1) 3.14 Q (2)
Q
(3) 0 N+ (4) (-2)0 N+ (5) 2 3 Q (6) 2 3 R
书本P5:1
温馨提示：分类讨论+检验
3.已知x2∈{1, 0，x}，求实数x的值．
(3)无序性：集合中的元素是无
先后顺序的．
3．集合与元素的关系：
（1） 如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a ∈ A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属
于集合A，记作a A．
（2） 集合中的元素可以是数，点，式， 图，人，物……；
（3） 集合中的元素个数如果有限，称为有 限集；如果个数无限，称为无限集；如果没有
(5)小于10的所有自然数组成的集合； (6)1~20以内的所有素数组成的集合；
2、用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)直角坐标平面内坐标轴上的点集．
(4). Venn图
我们常常画一条封闭的曲线，用 它的内部表示一个集合．
例如，图1-1表示一个集合AA 图1-1
元素，称为空集，记为；
（4） 两个集合的元素若一样，则称它们相等。
4．几个常用数集：
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
(2) N＋* : 正整数集(不含0) (3) Z：整数集 (4) Q：有理数集 (5) R：实数集
5．集合的几种表示法
(1).自然语言法
(2).列举法：适用对象：有限、有规律
取值范围．a≠-2 (互异性应用）
知识点2 元素与集合的关系
1. 用符号“∈”或“ ”填空
(1) 3.14 Q (2)
Q
(3) 0 N+ (4) (-2)0 N+ (5) 2 3 Q (6) 2 3 R
书本P5:1
温馨提示：分类讨论+检验
3.已知x2∈{1, 0，x}，求实数x的值．
(3)无序性：集合中的元素是无
先后顺序的．
3．集合与元素的关系：
（1） 如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a ∈ A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属
于集合A，记作a A．
（2） 集合中的元素可以是数，点，式， 图，人，物……；
（3） 集合中的元素个数如果有限，称为有 限集；如果个数无限，称为无限集；如果没有
(5)小于10的所有自然数组成的集合； (6)1~20以内的所有素数组成的集合；
2、用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)直角坐标平面内坐标轴上的点集．
人教版高中数学必修一1.1.1_集合的含义与表示ppt课件
a∉A.
A，记作属于 . A，记不作属于
高一(1)班的学生组成集合A，a是高一(1)班的学生，b不是高一(1)班的学生 a与A，b与A之间有何关系？ 提示：a∈A b∉A
Hale Waihona Puke 3．几种常用的数集及记法N
N*或N＋
Z
Q
用“∈”或“∉”填空． 2________N； 2________Q；12________R； －3________Z；0________N*；5________Z. 提示：∈ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈
[解] ∵1∈A，∴a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3都可能等于1. ①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中的元素为1,0,1与集合中元素的互异性矛盾 故舍去； ②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A＝{2,1,3}适合题意， 当a＝－2时，A中的元素为0,1,1与集合中元素的互异性矛盾，舍去， ③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2，由①②知都不合题意，舍去． 综上所述，a＝0.
的、 确定 的．互不相同
(1)“高一(2)班1.78米以上的同学”、“16岁的少年”、 “大于1的数”能构成一个集合吗？ 提示：能构成集合．
(2)“高一(2)班的高个子同学”、“年轻人”、“帅哥”、 “接近0的数”能构成集合吗？ 提示：不能构成集合．
2．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A中的元素，就说a (2)如果a不是集合A中的元素，就说a
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
A，记作属于 . A，记不作属于
高一(1)班的学生组成集合A，a是高一(1)班的学生，b不是高一(1)班的学生 a与A，b与A之间有何关系？ 提示：a∈A b∉A
Hale Waihona Puke 3．几种常用的数集及记法N
N*或N＋
Z
Q
用“∈”或“∉”填空． 2________N； 2________Q；12________R； －3________Z；0________N*；5________Z. 提示：∈ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈
[解] ∵1∈A，∴a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3都可能等于1. ①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中的元素为1,0,1与集合中元素的互异性矛盾 故舍去； ②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A＝{2,1,3}适合题意， 当a＝－2时，A中的元素为0,1,1与集合中元素的互异性矛盾，舍去， ③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2，由①②知都不合题意，舍去． 综上所述，a＝0.
的、 确定 的．互不相同
(1)“高一(2)班1.78米以上的同学”、“16岁的少年”、 “大于1的数”能构成一个集合吗？ 提示：能构成集合．
(2)“高一(2)班的高个子同学”、“年轻人”、“帅哥”、 “接近0的数”能构成集合吗？ 提示：不能构成集合．
2．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A中的元素，就说a (2)如果a不是集合A中的元素，就说a
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
集合的概念 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
4．集合元素的性质
(1)确定性：集合中的元素必须是确定的．
(2)互异性：集合中的元素必须是互不相同的． (3)无序性：集合中的元素是无先后顺序的． 集合中的
任何两个元素都可以交换位置．
5．集合相等 构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等.
例题讲解
例1 下面的各组对象能否构成集合？ （1）高个子的人； × （2）小于2004的数； √ （3）和2004非常接近的数. × （4）我国的小河流。 ×
合的方法． （3）不等式x－3＞2的解集； {x ∈R| x>5} （4）抛物线y=x2上的点集； {(x,y) | y=x2}
③ 图示法(Venn图) 常画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合．
例：图1-1表示任意一个集合A； 图1-2表示集合{1，2，3，4，5} ．
A 图1-1
1,2,3, 5, 4.
谢谢
1. 定义 一般地, 指定的某些对象的全体称为集合（简称为集）. 集合中每个对象叫做这个集合的元素. 2. 集合的表示法
集合常用大写字母表示，如集合A，集合B... 元素则常用小写字母表示，如a，b...
3．集合中元素的性质
思考1：某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？ 提示：集合中的元素必须是确定的，即确定性。 思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？ 提示：集合中的元素是不重复出现的，即互异性。 思考3：某班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没 有变化？ 提示：集合中的元素是没有顺序的，即无序性。
集合的概念
观察下列对象:
（1）1~20以内的所有质数
；又称素数：一个大于1的自然数，除了1和它
自身外，不能被其他自然数整除的数叫质数。
（2）我国古代四大发明；
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元素与集合的关系： ∊， ∉ 常用数集及其表示 集合的表示法：列举法、描述法
格奥尔格·康托尔 康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德）
德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼 得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁 居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。 1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学， 从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。 1866年曾去格丁根学习一学期。
基础练习
2.互异性
若 3是由x 2,2x2 5x,12三个元素构成集合
中的元素,求x的值.
基础练习
0 __ N 0 __ N 3 __ Q
2 __ N 1.5 __ Z
2 __ Q
7 __ R 0 __ Z
0 __
集合的表示方法
探究一 :(1) 用列举法表示下列集合
① A {x N | 0 x 5}
康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身 的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。
康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在 1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分为 点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定 义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲 学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。
④ 三角形
集合的表示方法
思考：下列集合是否相同。
(1)A x y x2 1 B y y x2 1 C (x, y) y x2 1
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/31
集合的表示方法
探究三:含参数问题
M x (x a)(x2 ax a 1) 0
1.集合的概念:
一般地，把一些能够确定的不同的对象 看成一个整体,就说这个整体是由这些对象 的全体构成的集合(或集)
构成 集合的每个对象叫做这个集合的 元素.
基础练习
1.确定性
⑴现有:①不大于 3 的正有理数.② 3的近似数 ③全部长方形.④全体无实根的一元二次方程 程．四个条件中所指对象不能组成集合的＿＿ ＿．
D.5
3.填空
x y 2 （1）方程组 x y 5 的解集用列举法表示
为_______；用描述法表示为 .
（2）集合{(x, y) | x y 6, x N, y N}
用列举法表示为
.
能力提高题
1. 用描述法表示下列集合 ①{1，4，7，10，13} ②{1/3,1/2,3/5,2/3,5/7}
1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。 1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数 似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的 估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数 是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分 类的准则。
（第一课时）
2014.9.1
集合的含义与表示
德国数学家，集合论的 创始者。1845年3月3日 生于圣彼得堡（今苏联 列宁格勒），1918年1 月6日病逝于哈雷。
了解康托尔
初中学习了哪些集合的实例
数集 自然数的集合,有理数的集合,不等式x7<3的解的集合…
点集 圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合) 线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距 离相等的点的集合),等等.
则实数 a为( )
(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可
（3）下列四个集合中，不同于另外三个的是：
A.﹛y︱y=2﹜
B. ﹛x=2﹜
C. ﹛2﹜
D. ﹛x︱x2-
4x+4=0﹜
(4) 由实数x, -x, x2 , ｜x｜ 所组成的集合 中，最 多含有的元素的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4
中各元素之和等于3,求a的值
选择题
⑴ 以下说法正确的(
)
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数}
(B) {a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合
(C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不 能组成一个集合,因为其元素不确定
⑵ 已知2是集合M={ 0, a, a2 3a 2 }中的元素，
B {x 集
③ y x 1与y 2 x 4 33
的图象的交点构成的集合
集合的表示方法
探究二:用描述法表示下列集 合
① 小于10的所有非负整数构成的
集合{1,3,5,7,}
②
③
y x 1与y 2 x 4 33
的图象的交点构成的集合
1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师 资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和 数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871 、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列 （即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为 对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴 趣和要求。
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起, 康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877
说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发 表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在 1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连 续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。
2.用列举法表示下列集合：
（1）A=﹛x∈N︱1
6
x∈Z﹜
(2)
B=﹛1
6
x∈N
︱
x∈Z
﹜
3. 求集合{3 ，x , x2-2x}中，元素x应满足的 条件。
4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数a的值.
回顾交流
今天我们学习了哪些内容？
集合的含义 集合元素的性质：确定性，互异性，无序性
格奥尔格·康托尔 康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德）
德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼 得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁 居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。 1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学， 从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。 1866年曾去格丁根学习一学期。
基础练习
2.互异性
若 3是由x 2,2x2 5x,12三个元素构成集合
中的元素,求x的值.
基础练习
0 __ N 0 __ N 3 __ Q
2 __ N 1.5 __ Z
2 __ Q
7 __ R 0 __ Z
0 __
集合的表示方法
探究一 :(1) 用列举法表示下列集合
① A {x N | 0 x 5}
康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身 的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。
康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在 1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分为 点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定 义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲 学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。
④ 三角形
集合的表示方法
思考：下列集合是否相同。
(1)A x y x2 1 B y y x2 1 C (x, y) y x2 1
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/31
集合的表示方法
探究三:含参数问题
M x (x a)(x2 ax a 1) 0
1.集合的概念:
一般地，把一些能够确定的不同的对象 看成一个整体,就说这个整体是由这些对象 的全体构成的集合(或集)
构成 集合的每个对象叫做这个集合的 元素.
基础练习
1.确定性
⑴现有:①不大于 3 的正有理数.② 3的近似数 ③全部长方形.④全体无实根的一元二次方程 程．四个条件中所指对象不能组成集合的＿＿ ＿．
D.5
3.填空
x y 2 （1）方程组 x y 5 的解集用列举法表示
为_______；用描述法表示为 .
（2）集合{(x, y) | x y 6, x N, y N}
用列举法表示为
.
能力提高题
1. 用描述法表示下列集合 ①{1，4，7，10，13} ②{1/3,1/2,3/5,2/3,5/7}
1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。 1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数 似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的 估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数 是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分 类的准则。
（第一课时）
2014.9.1
集合的含义与表示
德国数学家，集合论的 创始者。1845年3月3日 生于圣彼得堡（今苏联 列宁格勒），1918年1 月6日病逝于哈雷。
了解康托尔
初中学习了哪些集合的实例
数集 自然数的集合,有理数的集合,不等式x7<3的解的集合…
点集 圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合) 线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距 离相等的点的集合),等等.
则实数 a为( )
(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可
（3）下列四个集合中，不同于另外三个的是：
A.﹛y︱y=2﹜
B. ﹛x=2﹜
C. ﹛2﹜
D. ﹛x︱x2-
4x+4=0﹜
(4) 由实数x, -x, x2 , ｜x｜ 所组成的集合 中，最 多含有的元素的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4
中各元素之和等于3,求a的值
选择题
⑴ 以下说法正确的(
)
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数}
(B) {a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合
(C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不 能组成一个集合,因为其元素不确定
⑵ 已知2是集合M={ 0, a, a2 3a 2 }中的元素，
B {x 集
③ y x 1与y 2 x 4 33
的图象的交点构成的集合
集合的表示方法
探究二:用描述法表示下列集 合
① 小于10的所有非负整数构成的
集合{1,3,5,7,}
②
③
y x 1与y 2 x 4 33
的图象的交点构成的集合
1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师 资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和 数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871 、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列 （即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为 对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴 趣和要求。
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起, 康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877
说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发 表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在 1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连 续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。
2.用列举法表示下列集合：
（1）A=﹛x∈N︱1
6
x∈Z﹜
(2)
B=﹛1
6
x∈N
︱
x∈Z
﹜
3. 求集合{3 ，x , x2-2x}中，元素x应满足的 条件。
4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数a的值.
回顾交流
今天我们学习了哪些内容？
集合的含义 集合元素的性质：确定性，互异性，无序性