142空间图形的基本关系和公理

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空间图形的公理(公理1,2,3)

B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定4个平面
2. 下列命题中正确的是（ B ） A ．空间三点可以确定一个平面 B ．三角形一定是平面图形 C ．若 A ， B ， C ， D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合 D ．四条边都相等的四边形是平面图形

B
A l ,B l ,A ,B l

作用：判定直线是否在平面内．
思考5：观察长方体，你发现长方体的两个平面有
什么位置关系？
D
A
提示：两个平面平行或者相交．
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内，那
么这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的基础．

B
提示：不只相交于一点B，如下图所示：

B
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那
么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l, 且 P l

P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1．下列说法中正确的是( D )
A．经过三点确定一个平面

空间图形的基本关系与公理 PPT

ED2 2，CE CD2 ED2 3，
故cosCED ED 2 2， CE 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2 2. 3
链接高考
(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1 所成的角的正值．
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH，
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三证明三线共点
【例3】已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点B，G 且 DH
AC相交于同一点P.
GC HC
=2.求证：直线EG、FH、
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
题型四异面直线及其所成角的问题【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=12 ，2 AD= ，求异面直线CE与AF所成角的余弦值．
解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的如果不重合的两
个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a

空间图形的基本关系与公理

6、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若M为棱BB1的中点，
则异面直线B1D与AM所成角的余弦值是
.
解析：如图所示，取CC1的中点N，连结MN，DN，
则MN AD，
∴四边形AMND为平行四边形， ∴AM DN，∴∠B1DN即为异面直线所成角.
连结B1N，设正方体棱长为a，则B1D＝ a， DN＝ a，B1N＝ a，
∴cos∠B1DN＝
＝
.
如图，四边形ABEF和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC AD,BE FA，
G、H分别为FA、FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
[思路点拨]
(2)法一：证明D点在EF、CH确定的平面内. 法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，
们有且只有一条过这个点的公共直线.
2.证明共线问题的常用方法 (1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上； (2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的
公共点.
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．
热点提示
1.以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力.
2.通过判断位置关系，考查空间想像能力.
3.应用公理、定理证明点共线、线共面等问题. 4.多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中.

空间图形的基本关系与公理(1)

分析可先转换成符号语言，再作图．
解 (1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l
(2)l α，P∈l，P∈α.
(3)α∩β＝l，m α，m∥l.

变式训练
将下面用符号语言表示的关系改用文
字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．
解文字语言叙述为：点 A 在平面 α 与平面 β 的交线 l 上，AB、AC 分别在 α、β 内．图形语言表示为如图所示．
B α

A
（2）点在平面外
记作：
B
空间两条直线的位置关系有三种：
①平行直线——
在同一个平面内，没有公共点的两条直线.
②相交直线—— 在同一个平面内，有且只有一个公共点的两
条直线.
记作：a//b a b α
b
记作： β
ab O
a O b b
③异面直线——不同在任何一个平面内
α a
a
β b

④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
变式训练
下面命题中正确的个数是
( C )
①如果 a、b 是两条直线，a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面； ②如果直线 a 满足 a∥α，那么 a 与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线 a、b 满足 a∥α，b∥α，则 a∥b； ④如果直线 a、和平面α满足 a∥b， α， α， b a∥ b 那么 b∥α； ⑤如果 a 与平面α上的无数条直线平行，那么直线 a 必平行于平面α. A．0 B．2 C．1 D．3
解析
A、B 都不能保证 α、β 无公共点，如图 1
所示；C 中当 a∥α，a∥β 时 α 与 β 可能相交，如图 2 所示；只有 D 说明 α、β 一定无公共点．

空间图形的基本关系与公理.完整版PPT资料

空间图形的基本关系与公理
1
知识探究：平面的基本性质1 观察下图，你能得到什么结论？
桌面
B
A
2
知识探究：平面的基本性质1
文字语言公理1: 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).
图形语言
A
B l
符号语言公理作用
Al，Bl，且A，B，
l .
当堂练习1：根据下列条件作图：推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
A二、、三判角定形点在解线上B答的、依菱本据形题可先思考让其中部分元素定面．再证其余元素也在面内．例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（）
知识探究（二）：平面的基本性质2 （1）判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共（2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；
点评证明多线共面的方法是先由公理 2 确定一个平面，
再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内．
11
知识探究: 公理定理的简单应用
证明多点共线问题
例 2 已知△ABC 在平面 α 外，AB∩α＝P，
AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R 三点共线．
分析解答本题可先证明 P，Q，R 三点在面 ABC
Aa α
A
B
α a
C Bb
C
b
(3)经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？
6
公理2 的三个推论推论1 经过一条直线和直线外一点唯一确定一个平面. 推论2 经过两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据

1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)

[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证：直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ，同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上点与直线点在直线外 (1)点点在平面内点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系相交直线共面情况在同一个平面内公共点个数 1个没有没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中，由于没有注意到B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定平面，因此就使得五点的共面失去了基础．

高中数学空间图形的基本关系与公理 1_4_2 公理4(平行公理)与异面直线所成的角课件

目标导航
预习引导
2.等角定理空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
预习交流 2
如果两个角的两条边分别对应平行且方向相同 ,那么这两个角的关系如何?如果有一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这两个角的关系如何? 提示:相等;互补.
目标导航
预习引导
3.空间四边形四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形.
第 2 课时
公理 4(平行公理)与异面直线所成的角
目标导航
预习引导
学习目标
1.记住并会应用公理 4. 2.理解等角定理的条件和结论. 3.知道什么是空间四边形. 4.知道什么是异面直线所成的角,会求简单的异面直线所成的角. 重点:公理 4 及其应用以及异面直线所成角的求法. 难点:对异面直线所成的角的理解和求法. 疑点:怎样求异面直线所成的角?
= ,请回答并证明当空间四边形 ABCD 的四条边及点
2 3
G,H 满足什么条件时,四边形 EFGH,
(1)为平行四边形? (2)为菱形?
问题导学
当堂检测
思路分析:由
��
=
��
= ,可想到证明 EF∥AC;为使四边形 EFGH
2 3
2 3
理由:由(1)知,若
=
��
= ,
3 5 2 5 2 3
2 3
则四边形 EFGH 为平行四边形,且 EF= AC,EH= BD.若 AC= BD, 则 EF= AC= BD=EH. ∴ 平行四边形 EFGH 为菱形.
3 5 2 5

高中数学-8.3 空间图形的基本关系与公理

知识梳理知识梳理双击自测核心考点学科素养
考纲要求
-3-
1.空间图形的公理 (1)公理1:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面). 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (2)公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线. (4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
考点1 考点2 考点3
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理双击自测核心考点核心考点学科素养
考纲要求
-18-
知识方法
易错易混
对点训练2 (1)如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填上所有正确答案的序号)
关闭
题图①中,直线GH∥MN; 题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面; 题图③中,连接MG,GM∥HN, 因此GH与MN共面; 题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.
解析
答案
第八章 1 2 3 4 5
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理双击自测双击自测核心考点学科素养
考纲要求
-11-
自测点评 1.做有关平面基本性质的判断题时,要抓住关键词,如“有且只有”“只能”“最多”等. 2.两个不重合的平面只要有一个公共点,那么两个平面一定相交且得到的是一条直线. 3.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点的直线.不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.

1.4.1空间图形基本关系的认识1.4.2__空间图形的公理(公理1、2、3)

D A B
C 共点B′，经过点B有且只有一条过该点的
公共直线B′C′.
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么
它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
P l , 且P l

P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
（5）空间平面与平面的位置关系有两种： I 如图②中，平面α和平面β没有公共点，这样
的两个平面叫作平行平面，记作:α∥β； II 如图③中，平面α和平面β不重合，但有公共点，
这样的两个平面叫作相交平面.
思考交流
1. 观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、线、面
的位置关系的例子.
2.
观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面的位置
关系.
课堂探究2
空间图形的公理思考1：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？
思考2:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否在
平面α 内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）．

A
l B
A l ,B l ,A ,B l
作用：

在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，总结出关于平面的一些基本性质，我们把它作为公理．这些公理是进一步推理的基础．
判定直线是否在平面内．
思考3：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样确定一个

1.4空间图形的基本关系和公理

异面直线：在同一平面内，没有公共点.
P26练习 1第3题 3.过已知直线外一可点以最作多多少条直
直线平行？
1条
课堂交流
在平面内，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
如图所示， A/O /A 'O ',B/C /B 'O ', AO 和 A B 'O 'B '相等
AO和 CA'O'B'相互. 补
例 1 在空间 A四 B中 C边 E D ， ,F 形 ,G,H 分别是
边AB ,BC,CD ,DA 的中. 点
求证：四E边FG 形是 H 平行四.边形
证明：如图所示，连接BD.
FG是CBD的中位线，
FG//BD,FG1BD. 2
又EH是ABD 的中位线，
EH//BD,EH1BD.
§1.4.1 空间图形的基本关系的认识
观察A 长B 方 C A 1B D 1C 体 1D 1:
可知长方体有8个顶点，12条棱，6个表面。
抽象概括
空间图形的基本关系主要是指：空间中点与直线、点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。 1.空间点与直线的位置关系有两种：点在直线上和在直线外. 如点B在直线b上，但在a外. 记作 :Bb,Ba.
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理 3用符号表示为：
给P 定以点及，，平P 若面，点且
点 P .则存l，在使直得线 l,且 Pl.
P26练习 1第2题
2.M 为直 l上线的点M 不，在且内平点，面则l与的公共点最多有多？少个1个

第二节空间图形的基本关系与公理

数学
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第二节
空间图形的基本关系与公理
结束
1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
数学
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第二节
空间图形的基本关系与公理
空间图形的基本关系与公理
结束
[典例] (1)(2013· 江西省七校联考)已知直线a和平面α， β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和 c，则直线b和c的位置关系是 A．相交或平行 C．平行或异面 B．相交或异面 D．相交、平行或异面 ( )
[解析] 依据题意，b，c分别为a在α，β内的射影，可判断 b，c相交、平行或异面均可．
∵BA1∥CD1， ∴∠A1BE为所求．在△A1BE中，设AB＝1，则AA1＝2， ∴A1B＝ 5，A1E＝1，BE＝ 2. 3 10 ∴cos∠A1BE＝ . 10
数学
3 10 答案： 10
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第二节
空间图形的基本关系与公理
结束
1．(2013· 安徽高考)在下列命题中，不是公理的是．． A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
[答案] D
数学
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第二节
空间图形的基本关系与公理
结束
(2)已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD的中点．证明两直线是异面直 ①求证：BC与AD是异面直线； ②求证：EG与FH相交．

空间图形的基本关系与公理课件

工具
第七章
立体几何
栏目导引
【变式训练】 3.下列四个命题：
①若直线a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线； ②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交； ③若a∥b，则a、b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 其中真命题的个数是( A．4 C．2 ) B．3 D．1
A．1条
C．3条
B．2条
D．4条
解析：
连接AC1，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过
点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD， AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．答案： D
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．(2009·湖南卷)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( A．3 C．5 ) B．4 D．6
∴EF∥CD1.
故E、F、D1、C四点共面．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1，所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内．同理，P在平面ABCD内， ∴P在平面A1ADD1与平面ABCD的交线DA上，
【阅后报告】
该题难度较小，第(1)问的关键在于“找到角”，
而第(2)问关键在于证明BM⊥平面A1B1M，这些方法是解决立体问题常用
思路．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
1．(2010·江西卷)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l 与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )

高一数学空间图形的基本关系与公理教案

高一数学空间图形的基本关系与公理教案空间图形的基本关系与公理一.教学内容：空间图形的基本关系与公理二.学习目标：学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理；培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法；培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。

三、知识要点空间位置关系：I、空间点与线的关系空间点与直线的位置关系有两种：点P在直线上：；点P在直线外：；II、空间点与平面的关系空间点与平面的位置关系有两种：点P在平面上：点P在平面外：；III、空间直线与直线的位置关系：IV、空间直线与平面的位置关系：V、空间平面与平面的位置关系：平行；相交说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。

异面直线的判定定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可；判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。

平面的基本性质公理公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线。

平面的基本性质公理的三个推论经过直线和直线外一点，有且只有一个平面；经过两条相交直线，有且只有一个平面；经过两条平行直线，有且只有一个平面思考：公理是公认为正确而不需要证明的命题，那么推论呢？平面的基本性质公理是如何刻画平面的性质的？平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行。

等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

空间四边形：顺次连接不共面的四点构成的图形称为空间四边形。

高一数学：1.4空间图形的基本关系与公理课件 (北师大必修2)

提出问题： 1.用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，Why? 2.将一把直尺置于桌面，通过是否漏光就能检测桌面是否平整，Why? 3.椅子放不稳，是底面不平还是椅子本身的问题？ 4.为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚？
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。注意：其研究的是直线和平面的关系。
2.两个平面指的是不重合的两个平面； 3.两个不重合的平面相交，交线是一条直线。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。注意：1.公理4是初中平面几何中的平行公理在空间中的推广，它表示在空间平行性具有传递性； 2.三条直线平行，它们既可以在同一平面内，也可以两两共面；
3.公理4既是证明“等角定理”的基础，也是以后证明平行关系的主要依据之一。
只有一个平面”吗？
（2）经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？
（3）经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？（4）经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？
公理3 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。注意：1.公理3是点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）。注意：公理2研究的是确定平面的条件。（1）条件：不在同一直线上的三点（反之，经过一点，两点或同一直线
上的三点可有无数个平面）
（2）“有且只有一个”中的“有” 指平面存在，“只有”是指平面唯一，二者缺一不可。
？（1）“只有一个平面”＝“有且

立体几何-空间图形的基本关系与公理1

空间图形的基本关系与公理研究对象：点、线、面的关系三种语言：文字语言、符合语言、图形语言（看图说话）点线关系：点在线上、点在线外点面关系：点在面上、点在面外线线关系：平行、相交、异面线面关系：线面平行、线面相交、线在面内面面关系：面面平行、面面相交公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理2：不共线的三点，可以确定一个平面。

推论1：直线和直线外的一点可以确定一个平面推论2：两条平行直线可以确定一个平面。

推论3：两条相交直线可以确定一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行（平行的传递性）。

等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所组成的锐角（或直角）相等。

异面直线a 、b 所成角：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a 、b 的平行线1l 、2l ()12//,//a l b l ，这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线a 、b 所成角。

如果两条异面直线所成的角是直角，我们称这两条直线互相垂直，记作a b ⊥。

论证点、线共面的通法之一，即证部分元素确定一个平面，再证余下元素也在平面内。

论证点、线共面的通法之二，即根据确定平面的条件，先证各部分元素分别确定平面，再证这些平面有相同的确定平面的条件，即重合。

点共线、线共点：依据是公理3，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。

证明多点共线：通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点在这条直线上，或者根据已知条件设法证明这些点在两个相交平面内，然后根据公理2就得到这些点在两个平面的交线上。

证明多线共点：可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上。