.空间图形基本关系的认识
1.4.1-2《空间图形基本关系的认识与空间图形的公理(1、2、3)》课件(北师大版必修2)
3.平面α ∩平面β =l,点A∈α ,B∈α ,C∈β ,且Cl,AB∩l=R,
过A、B、C三点确定平面γ ,则β ∩γ =(
(A)直线AC (C)直线CR (B)直线BC (D)以上∈AB,R∈l,又α∩β=l, ∴lβ,∴R∈β,R∈γ. 又C∈β,C∈γ,∴β∩γ=CR.
示平面， l表示直线，A、B、C表示点）
（1）若A∈l,A∈α ,B∈l,B∈α ，则l α ; （2）A∈α ,A∈β ,B∈α ,B∈β ,则α ∩β =AB； （3）若l α ,A∈l,则Aα ; （4）若A、B、C∈α ,A、B、C∈β ,且A、B、C不共线，则α
与β 重合.
则上述说法中正确的个数是__________.
将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这
四条线段所在直线是异面直线的有哪几对？ 【解析】还原为正方体如图所示，可判断AB 与CD异面，AB与GH异面，EF与GH异面.
4.（2010·湛江高一检测）正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别
是棱AA1与CC1的中点,则经过P、B、Q三点的截面是(
(A)邻边不相等的平行四边形 (B)菱形但不是正方形 (C)矩形 (D)正方形
)
【解题提示】画截面的关键在于画面与面的交线，交线只 要有两个公共点就能画出.画出截面后可计算边长判断其形状.
一、选择题（每题4分，共16分） 1.（2010·深圳高一检测）下列说法正确的是( (A)三点确定一个面 (B)四边形一定是平面图形 )
(C)梯形一定是平面图形
(D)两个平面有不在同一条直线上的三个交点 【解析】选C.由公理2知A错，B错.
3
8.如图所示，在正方体
ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是
4.1空间图形基本关系的认识
c
b
B
记作： P
β
3. 空间两条直线的位置关系有三种：A
①平行直线—— 在同一个平面内，没有公 共点的两条直线。 ②相交直线—— 在同一个平面内，有且只有 一个公共点的两条直线。
α α
a
c
b
B
b 记作：a//b
a
β
a O b
记作： b O a
③异面直线— 不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。 —
b
α
b
a
a β b
α
γ
a
A （1）直线在平面内— 直线与平面有无数个 — 公共点。 （2）直线与平面相交— 直线与平面只 α 有一个公共点。 —
4. 空间直线与平面的位置关系有三种：
b
a
β
F
E
（3）直线与平面平行—— 直线与平面没有公共点。
5. 空间平面与平面的位置关系有两种：
（1）平行平面—— 没有公共点的两个平面。 （2）相交平面—— 两个平面不重合， 并且有公共点。 α
E
β
F
练习
1.思考题：
（1）没有公共点的两条直线叫做平行直线，对吗？ （2）空间两条没有公共点的直线叫做异面直线，对吗？
（3）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
（4）平面内一直线与这个平面外的一条直线一定是异面直线吗？
2.说出正方体中各对线段、线段与平面的位置关系： （1）AB和CC1； D1 （2）A1 C和BD1 ； B1 A1 （3）A1 A和CB1； （4）AC和A1 C1； （5）BC与平面A1 C1； （6）B1 C与平面AC； D （7）AB与平面AC。 A B
§4
实例分析
立体几何(解析版)
立体几何(解析版)立体几何(解析版)立体几何是数学中的一个重要分支，研究物体的空间形状、尺寸以及相互关系。
通过立体几何的学习，我们可以更好地理解并描述物体的形状，并运用相关理论方法解决实际问题。
本文将以解析的方式介绍立体几何的基本概念、性质和定理，并探讨其在实际问题中的应用。
1. 点、线、面的基本概念在立体几何的世界中，点、线、面是最基本的几何元素。
点是没有大小的，只有位置的几何对象。
线由无数个点组成，是长度没有宽度的几何对象。
面是由无数个点和线组成，有着长度和宽度的几何对象。
了解这些基本概念是理解立体几何的第一步。
2. 空间几何关系的性质在立体几何中，物体之间有着各种各样的空间几何关系。
例如，平行是最基本的几何关系之一。
当两条直线或两个平面在空间中永远不相交时，我们称它们为平行。
此外，垂直、相交、共面等几何关系都在立体几何中发挥着重要作用。
通过研究这些几何关系的性质，可以更好地理解物体在空间中的位置和相互关系。
3. 空间几何图形的性质和分类空间几何图形是由点、线、面组成的。
常见的空间几何图形包括球、立方体、锥体等。
每种空间几何图形都有其独特的性质和分类标准。
例如，球是由所有距离圆心相等的点组成的，而立方体则有六个平面和八个顶点等。
通过深入研究这些性质和分类标准，我们能够更好地认识和应用空间几何图形。
4. 空间几何定理及其应用在立体几何中，有许多重要的定理和定律来描述和证明空间几何图形的性质。
例如，欧几里得空间中的平行公设和垂直公设是我们研究空间几何的基础。
此外，勾股定理、皮亚诺定理、欧拉公式等也为我们解决实际问题提供了强大的工具。
在实际问题中，我们可以通过运用这些定理和定律，推导出几何图形之间的关系，解决诸如面积、体积、距离等方面的问题。
5. 立体几何的应用立体几何的应用广泛而重要。
在建筑设计中，我们需要合理利用立体几何理论，确定房屋的尺寸和结构，确保建筑的稳定和美观。
在工程测量中，立体几何被用于计算地表面积和体积，指导建设工程的施工。
空间图形的认识与绘制
立体图形
特点：具有明显的三维特性，可以通过组合、旋转等方式形成各种复杂的空间结构
定义：三维空间中占有一定空间的图形，具有长、宽、高三个维度
分类：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球体等
应用：在建筑、机械、航天等领域中广泛应用
组合体
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
分类：根据组合方式的不同，可以分为叠加型、挖切型和综合型等。
大小：空间图形的大小可以通过其尺寸来衡量，如半径、直径、边长等
方向：空间图形中的方向可以通过旋转或翻转来改变
位置：空间图形中的位置可以通过坐标系来确定，如三维空间中的x、y、z轴
空间图形的位置关系
平行：空间图形中的线段或平面在无限延伸后不相交
垂直：空间图形中的线段或平面在无限延伸后相交于一点
相交：空间图形中的线段或平面在有限长度内相交
性质：具有位置，没有方向和长度
直线
定义：直线是两点之间所有点的集合
性质：无限延伸，不可度量
表示方法：用直尺或直线命令绘制
在空间图形中的应用：构成平面、形成角度和交点
平面
定义：平面是空间中无限延展、没有厚度的几何元素
表示方法：通常用平行四边形表示平面，并加上方向箭头
空间图形的基本元素：点、直线和平面
05
空间图形的应用
建筑设计中的应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
通过运用空间图形，建筑师可以更好地实现建筑设计的功能需求，提高建筑的使用舒适度和空间效率。
空间图形在建筑设计中的应用，可以创造出独特的视觉效果，增强建筑的艺术性和表现力。
空间图形可以帮助建筑师解决建筑设计中的复杂问题，如结构、采光、通风等，提高建筑的技术性和可行性。
小学一年级资料知识点
小学一年级资料知识点一、数字与数学运算1. 数字的认识与辨识：包括自然数0-9的认识、各数字的写法、数词的念法等。
2. 数字的顺序排列：数字的顺序排列以及正确的顺序念法。
3. 数字的比较与大小：通过比较数字的大小，了解数字的大小关系。
4. 基本数学运算：简单的加法、减法运算，以及运算符号的认识与运用。
二、时间与日期1. 星期的认识与念法：对星期一至星期日的认识以及相应的念法。
2. 季节的认识与区分：了解春、夏、秋、冬四个季节的特点及区分。
3. 日期的表示与读法：认识日期的表示方法，如月份、年份的读法等。
4. 时间的概念与表达：初步了解小时、分钟的概念，并能够用简单的语言表达时间。
三、空间与形状1. 基本几何图形：认识常见的几何图形，如圆、正方形、长方形、三角形等，并能够辨认它们的特征。
2. 位置与方向：了解上、下、左、右等基本方位词以及它们的使用。
3. 空间关系的理解：通过比较物体的大小、形状、位置等来理解空间关系，如近、远、高、低等。
四、颜色与物体1. 常见颜色的辨认：认识基本的颜色，如红、蓝、绿、黄等，并能够辨认它们。
2. 物体的分类与辨识：通过形状、用途等来分类与辨认常见的物体，如动物、植物等。
五、人物与事物1. 家庭成员与关系：认识家庭成员的称谓，如爸爸、妈妈、哥哥、姐姐等，并能够描述他们之间的关系。
2. 学校与常见事物：了解学校内常见的事物，如教室、操场、椅子、书包等，并能够正确命名。
3. 自然与人工事物：区分自然界和人工物品，了解它们的特点及区别。
六、社会与环境1. 节日与习俗：了解一些重要的节日，如春节、中秋节等，并能够简单描述相关的习俗。
2. 交通工具与安全：认识不同的交通工具，如汽车、自行车等，并了解乘坐交通工具时的安全知识。
以上是小学一年级学生需要掌握的一些资料知识点。
希望通过学习这些内容，能够帮助孩子们在学习中更好地理解和应用相关知识，为他们的学习打下坚实的基础。
高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理
[小组合作型]
空间点、线、面的位置(wèi zhi)关系
(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
(2)如图 1-4-1，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中， 哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
图 1-4-1
第十页，共42页。
两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
【解析】 若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不 在同一直线上，则这两个平面重合．
【答案】 C
第十一页，共42页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
平面与平面 的位置关系
面面平行 面面相交
α∥β α∩β＝a
第五页，共42页。
空间图形的基本关系与公理(1)
分析 可先转换成符号语言，再作图．
解 (1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l
(2)l α，P∈l，P∈α.
(3)α∩β＝l，m α，m∥l.
变式训练
将下面用符号语言表示的关系改用文
字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．
解 文字语言叙述为： 点 A 在平面 α 与平面 β 的交线 l 上，AB、AC 分 别在 α、β 内． 图形语言表示为如图所示．
B α
A
（2）点在平面外
记作：
B
空间两条直线的位置关系有三种：
①平行直线——
在同一个平面内，没有公共点的两条直线.
②相交直线—— 在同一个平面内，有且只有一个公共点的两
条直线.
记作：a//b a b α
b
记作： β
ab O
a O b b
③异面直线——不同在任何一个平面内
α a
a
β b
④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
变式训练
下面命题中正确的个数是
( C )
①如果 a、b 是两条直线，a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面； ②如果直线 a 满足 a∥α，那么 a 与平面α内的任何 一条直线平行； ③如果直线 a、b 满足 a∥α，b∥α，则 a∥b； ④如果直线 a、 和平面α满足 a∥b， α， α， b a∥ b 那么 b∥α； ⑤如果 a 与平面α上的无数条直线平行，那么直线 a 必平行于平面α. A．0 B．2 C．1 D．3
解析
A、B 都不能保证 α、β 无公共点，如图 1
所示；C 中当 a∥α，a∥β 时 α 与 β 可能相交，如 图 2 所示；只有 D 说明 α、β 一定无公共点．
高中数学-4.1空间图形基本关系的认识
l
∥
l
5.空间两条直线的位置关系
Ab
a
相交
a
b
Ab
平行
异面 a
课堂探究
空间图形的公理 思考1：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？
思考2:如果直线l与平面α有两个公共点，直线l是否在平面α内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到 桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
4.1空间图形基本关系的认识
学习目标
1. 通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基 本构成----点、线、面的基本位置关系； 2. 理解异面直线的概念,掌握空间图形的三个基本公理； 3. 培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行 交流的能力、几何直观能力，通过典型例子的学习和自 主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的 数学思想方法.
错误
C1 D1
B1 A1
②设正方形ABCD与 A1B1C1D的1 中心分别为O，O1 ，则平面 AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1 ；
C
B
正确
D
OA
C1
B1
D1
O1
A1
③由点A，O，C可以确定一个平面；
C
B
D
OA
错误
C1 D1
B1 A1
④由 A, C1, B确1定的平面是ADC1B1；
（7）AB与平面AC。
D1 A1
D A
C1 B1
C B
归纳总结 提高认识
1.空间点与直线的位置关系
（1）点在直线上；（2）点在直线外.
2.空间点与平面的位置关系 （1）点在平面内；（2）点在平面外. 3.空间直线与平面的位置关系
1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
空间图形的基本关系
//
两个平面没有公共点
平面 与平面 平行
•相交平面
两个平面有公共点
平面 与平面 相交于直线 l
l
l
预习自测
例1、如图所示，下列符号表示错误的是 A. l B. P l P C. l D. P （ A）
l
例2、如图所示，在这个正方体中， BM与ED平行； CN与BM是异面直线； CN与BE是异面直线； DN与BM是异面直线. 以上四个命题中，正确命题的序号是
m
（1）
P
l
A
（2）
l
Q
（3）
m
l
n
3、“a , b 是异面直线”是指： a b 且a 不平行于b ； b 平面 且 a b ； a 平面 ， b 平面 ； a 平面 ， 不存在平面 ，能使 a 且 b 成立. 上述结论中，正确的是 （ C ） A. B. C. D.
b a
b
a A
•异面直线（两条直线不同在任何一个平面内，无交点） 直线a与b异 面
b
b
a
a
4、空间直线与平面的位置关系有三种:
•直线在平面内 直线a 在平面 内
b
a
a
•直线与平面相交 直线b与平面 相交
B
b B
•直线与平面平行
直线c与平面 平行 c //
c
5、空间平面与平面的位置关系有二种:
§4.1空间图形基本 关系的认识
教学目标
掌握空间图形的基本构成 点、线、面 的五种基本位置关系；（重点） 理解异面直线的概念；（难点） 掌握文字语言，符号语言，图形语言的相 互转化.（难点）
高中数学北师大版2019必修第二册空间图形基本位置关系的认识
[证明] (1)如图，连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，MN＝12AC．
由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝
1 2
A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1
是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1. 又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM 与∠D1A1C1均为锐角， ∴∠DNM＝∠D1A1C1.
直线 a，b 所成的角(或夹角)
范围 记异面直线 a 与 b 所成的角为 θ，则 0°<θ≤90°
特殊情况 当 θ＝ 90° 时，a 与 b 互相垂直，记作： a⊥b
思考：1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ 提示：不一定．可能相交、平行或异面．
2.如图，在长方体A1B1C1D1－ABCD中，BC1∥AD1，则“直线 BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否 相等？
[思路点拨]
利用中点平移直线
→
作出两异面 直线所成的角
→ 在三角形内求角的大小
[解] 如图，取BD的中点G，连接EG，FG. 因为E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，
所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝12CD，GF＝12AB．
所以∠GFE就是EF与AB所成的角或其补角，EG＝GF. 因为AB⊥CD，所以EG⊥GF.所以∠EGF＝90°. 所以△EFG为等腰直角三角形． 所以∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.
(2)要特别注意平移所得的角可能是异面直线所成的角的补角， 这是由异面直线所成角的范围是0°，90°决定的．
空间图形的基本关系教学设计
《空间图形的基本关系》教学设计本节选自普通高中北师大版必修2第一章第四节第一课时【教材分析】空间图形的基本关系与公理是学习平行关系与垂直关系的基础。
教材依托长方体，表述了空间点、线、面间的基本位置关系。
教材先引导学生对“实例分析”中的长方体进行仔细的观察，然后讨论长方体的顶点、棱、面之间的关系。
在此基础上，在进入“抽象概括”，总结出空间点、线、面的五类位置关系。
这样处理的目的是让学生通过长方体这个具体模型对位置关系有直观地认识。
注意三种语言即文字语言、符号语言、图形语言的互译，让学生熟练掌握点、线、面的符号表示，及“∈”和“≠⊂”符号的正确使用。
【三维目标】1.知识与技能（1）了解构成空间图形的基本元素：点、直线、平面。
（2）借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上抽象出点、线、面的位置关系的定义。
（3）正确使用用图形语言、符号语言进行表述点、线、面的位置关系。
2.过程与方法学生在“立体几何初步”起始课中从对空间几何体的整体观察入手，遵循从整体到局部，从具体到抽象的原则，认识空间中点、线、面之间的位置关系。
3.情感、态度与价值观通过对空间图形的认识，使学生知道我们生活的三维空间是丰富多彩的，结合三种语言的互相转换，体会数学图形的直观美以及数学语言的简洁美。
【教学重点】在以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上进一步培养学生符号语言的运用能力。
【教学难点】异面直线的理解。
【教学问题诊断】在以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，学生在直观认识上很容易理解，但是对异面直线的理解上学生很可能存在很大的困难，对于这一问题本节课利用下面的思考交流让学生再一次体会异面直线的定义，教师从旁引导学生理解。
【教法特点】为了实现本节课的教学目标，突出重点，本节课将按照以学生为主体的原则促进学生的自主学习；并将通过教师适时引导使学生的认识由整体到局部、由具体到抽象，由直观感知到抽象概括的目标。
小学数学认识空间几何和立体形的基本概念
小学数学认识空间几何和立体形的基本概念数学作为一门抽象的学科，对于小学生来说可能会有些难以理解。
但是通过引入实物和具体的例子，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
在小学数学中，认识空间几何和立体形是很重要的一部分。
本文将介绍小学数学中认识空间几何和立体形的基本概念，并通过实例来加深理解。
1. 认识空间几何空间几何是研究空间中的点、线、面以及它们之间的相互关系的学科。
在小学数学中，初步认识空间几何可以从认识基本几何图形开始，如点、线、面等。
一、点点是空间中没有长度、宽度和高度的几何图形。
它只有位置，用字母来表示，如A、B。
点可以用铅笔在纸上标出来，也可以用线段来表示。
二、线段线段由两个端点确定，具有有限的长度。
线段用两个字母表示，如AB。
线段的长度可以通过实际测量得到。
三、面面是由无限条线段组成的平坦的二维几何图形。
用外形类似的实物，如纸片、墙面等可以形象化地帮助学生理解。
面可以用大写字母表示，如P。
2. 认识立体形立体形是由线、面等组成的有一定厚度、体积的几何图形。
在小学数学中，主要会学习球体、立方体、长方体的基本概念。
一、球体球体是由无数条长度相等的曲线围成，且中心到任意一点的距离都相等，形状像圆球。
球体可以通过实物，如足球、篮球等来进行形象认识。
二、立方体立方体是有六个面，每个面都是一个正方形，且相邻两个面是平行的。
立方体可以通过实物，如魔方、盒子等来进行形象认识。
三、长方体长方体是有六个面，其中相对的两个面是相等的长方形。
长方体可以通过实物，如书本、钢笔盒等来进行形象认识。
通过认识和学习这些立体形的基本概念，可以帮助小学生了解和区分不同的几何图形，培养他们的空间认知能力。
3. 实例分析为了更好地理解空间几何和立体形的基本概念，我们以一个实例进行分析。
小明有一本长方体的书，书的宽度是10厘米，高度是20厘米，长度是30厘米。
请问这本书的体积是多少？解答：根据题目所给的信息，我们可以通过计算长方体的体积来得出答案。
空间图形基本关系的认识
请根据下图提示,完善本节知识结构图:
◎会用长方体解释点线面的位置关系.
◎学会用集合的语言表述点线面的位置关系.
◎掌握两个相交平面和一对平行平面的画法.
◎理解异面直线的含义.
1.用符号表示下列语句
（1）点A在平面 内，但在平面 外.
（2）直线 经过平面 外一点 .
1．在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为：
(1)平行直线；(2)相交直线；(3)异面直线．
D.不同在任何一个平面内的两条直线
5.下列命题正确的个数为（）
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面.
（1）（2）（3）
2.完成直线和平面的位置关系表
位置关系
线在面内
线与面相交
线与面平行
公共点
图形表示
符号表示
3.完成两个平面的位置关系表
位置关系
两平面平行
两平面相交
公线是指（）
A.空间中两条不相交的直线
B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线
空间图形基本关系的认识及公理123
【微思考】 (1)四边形一定能确定一个平面吗？ 提示：不一定，如空间四边形不能确定平面. (2)两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？ 提示：不一定，当三点在同一直线上时，不能判定两个平面重 合；当三点不在同一条直线上时，根据不共线的三点确定一个 平面可知两平面重合.
【即时练】 (2014·南昌高一检测)下列说法： ①空间不同的三点可以确定一个平面； ②如果线段AB在平面α内，那么直线AB一定在平面α内； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 其中错误的说法是________(填序号).
A.AB∩α=C
B.AB α
C.C∈α
D.C∉α
(2)已知如图，直线a∥b，直线l∩a=A，直线l∩b=B，求证：直
线a，b，l共面.
【解题探究】1.题(1)中A∈平面α，B∈平面α，说明什么 问题？ 2.题(2)中，由a∥b可得到什么结论？怎样才能说明a，b，l 共面？ 【探究提示】1.A∈平面α，B∈平面α，说明AB 平面α.
2.对公理1的两点说明 (1)“不在同一条直线上的三点”的含义 ①经过一点，两点和在同一条直线上的三点可能有无数个平面； ②任意给定不在同一条直线上的四个点，不一定有一个平面同 时过这四个点. (2)“有且只有一个”的含义 这里“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，公理 1强调的是存在和唯一两个方面.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两两相交的三条直线确Байду номын сангаас一个平面.( ) (2)经过一条直线和一个点确定一个平面.( ) (3)如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共 点.( )
【解析】(1)错误.两两相交的三条直线交于一点，可能确定三 个平面，故错误. (2)错误.若点在直线上，则无法确定一个平面. (3)错误.平面α与平面β相交有无数个公共点. 答案：(1)× (2)× (3)×
空间图形的基本关系的认识`
a b A
a、b异面
a / /b
位置关系
文字表述
图形语言
符号语言
直线l在
直线与平面
平面内 直线l 平行 于平面 直线l与平 面 交于A
l Ø
l / / l A
平面 与平
平面与平面 面 相交于l
平面 与平
l
关于异面直线
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面 直线。
§4
实例分析
空间图形的基本关系与公理
观察下列长方体，回答问题。
A
4.1 空间图形基本关系的认识
a
α
c
问题
b
B
(1) 长方体有几个顶点？ （2）长方体有几条棱？ （3）长方体有几个表面？
通常把平面用一个希腊字母，， 等字母表示， 还可以用表示平行四边形的四个顶点的字母来表示 （或用用表示平行四边形的对角顶点的两个字母来表示） 例如：
D α β C
A
记为：平面α
C
记为：平面 β
O
记为：平面 ABCD或平面AC、 平面BD
B
A
B
记为：平面ABC
记为：圆面O
位置关系
文字表述
图形语言
符号语言
点与Байду номын сангаас线
点A在直线l上
点A不在直线l上
Al Al A
A
点A在平面内
点与平面 点A不在平面
内
平行直线
直线与直 线
相交直线 异面直线
(4)不存在平面，使得a 刎平面，b
平面
3.两个平面有三个公共点，则这两个平面（ C ） B. 重合
4.直线a、b两条直线都平行于平面，则直线a、b 的位置关系是（ D ） A.平行 B. 相交 C.异面 D.可能平行、可能相交、可能异面
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点
线
面
点
线
面
点和线,线和面,点和面之间具有怎样的位置关系?
长方体有__8__个顶点、_1_2__条棱、_6__个表面. 观察图形,讨论这些直线、平面及顶点的位置关系.
1、空间点与直线的位置关系有两种:
•点在直线上 点D在直线AD上
•点在直线外 点D在直线CG外
请大家说出点A、B、C分别在哪些直线上? 分别在哪些直线外?
•相交平面 —两个平面有公共点
平面 与平面 相交
请问平面 与哪些平面平行?与哪些平面相交?
2、空间点与平面的位置关系有两种:
•点在平面上
点D在平面 上
•点在平面外
点D在平面 外
请大家说出点A、B、C分别在哪些平面上? 分别与CD平行
•相交直线 直线AB与BC相交
•异面直线 直线AB与GF异面 你还能说出哪些直线是平行直线?相交直线?
异面直线?
4、空间直线与平面的位置关系有三种: •直线在平面内 直线AB在平面 内
•直线与平面相交
直线AB与平面 相交
•直线与平面平行
直线AB与平面 平行
请问直线CG在哪些平面内?与哪些平面相交? 与哪些平面平行?
5、空间平面与平面的位置关系有二种: •平行平面 —两个平面没有公共点
平面 与平面 平行