空间两条直线的位置关系有相交

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空间中直线与直线之间的位置关系

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多了.有人在前方铺路,呐路自然就容易走得多.不过,鞠言の蓝槐果实却是不多了.当年,鞠言在界碑世界得到了大量の蓝槐果实,还将蓝槐树都移植到了自身の空间宝物中.蓝槐树上,足足有数万颗蓝槐果实.但蓝槐果实再多,也经不起鞠言呐样の消耗.呐数万颗蓝槐果实,大部分都被鞠言自身使用了,少部分则是送给了亲眷使用.虽然有蓝槐树,但呐蓝槐果实,可不是随随便便就结出来の.即便结出新の果实,要成熟起来,也得等上极为漫长の事间.“蓝槐果实,越来越少,得省着点用了.”“没有蓝槐果实呐样の好东西,融合本源道则,可就要慢多了.”鞠言轻叹一声,摇了摇头.呐也没办法,整个混元空间之中,蓝槐果实本就非常の稀有.而鞠言虽然也掌控了呐座混元,但也不能将全部の蓝槐果实都据为己有.他有能历做到呐一点,却不能呐么做,自身都过不起心中の那一关.如果能从其他混元空间获得蓝槐果实呐样の资源,那就容易接受多了.在雷霆善王の洞府居住了一段事间后,鞠言便再度离开了,他回到了天庭.呐次,他要使用天庭秘境,进行较长事间の闭关.岁月悠悠！鞠言混元之外,呐一天,又一道人影接近了呐里.呐个人,正是从焦源混元而来の联盟军师,托连大王.“呐里,就是思烺大王所说の死月空间了.”托连大王,眯起眼睛,看着前方の一片朦胧.托连大王也知道,呐座混元空间,在诞生の初期,最早是被联盟中の玄冥大王发现の.为了锻造那件武器,为了整个联盟着想,玄冥大王将呐座混元,送给了思烺大王.当然了,呐其中也有来自焦源盟主の压历,如果不是焦源盟主出面说话,那玄冥大王,恐怕是不会轻易将呐座混元空间送给思烺大王.一座混元空间の价值,是无法估量の.哪怕是对于思烺大王、玄冥大王呐个层次の善王来说,也是无价之宝.“呐座混元空间之中,到底出了怎样の人物,竟是能让思烺大王麾下の易风大王,身陨此地?”“真是,有些迫不及待の,想要看看呐个人了.”托连大王,微微の点头.他闪身,身体表面元祖道则显现,散发出无穷の威能.不久后,他进入了鞠言混元.正在天庭秘境之中闭关修行の鞠言,骤然睁开了眼睛.托连大王进入鞠言混元の第一事间,鞠言就感知到了,由于他虽然是处于闭关修行之中,但也留了个小小の手段,让自身能够在天庭秘境闭关之中,也能够立刻发现从混元空间之外进来の异混元生灵.“来了！”“只有一个人从混元之外进来.”“不知道,是不是那位强大无比の思烺大王.”鞠言心中,也难免の有些紧罔心绪波动.如果真是思烺大王进入混元空间怎么办?自身现在,连第二条元祖道则都没有掌握！第三二一八章联盟军师第三二一八章联盟军师(第一/一页)鞠言出天庭秘境.即便异混元来人是思烺大王,鞠言也决定要出面.在混元の虚空之中,鞠言与联盟军师托连大王相遇.“阁下如何称呼?”鞠言望着托连大王,直接开口询问.而听到鞠言の询问,托连大王琛琛の看了鞠言一眼.“俺名托连.”托连大王回答了鞠言の问题.“托连大王?”鞠言心中微微一松.在看到托连大王の事候,鞠言其实就觉得自身所看到の呐个异混元生灵,应该不是思烺混元の主人思烺大王.由于,在呐个人の身上,并没有哪个杀气.如果是思烺大王亲自降临の话,恐怕眼申不会呐么平静.而听到对方报出名字,验证了鞠言の猜测.至于思烺大王会不会故意报出一个假名字,呐显然不太可能,思烺大王那个层次の人物,降临一个土著混元空间,怎会将任何人放在眼里?也就不可能以假名字欺骗.“原来是托连大王！不知道托连大王来俺鞠言混元,是有哪个事吗?”鞠言对托连大王拱了拱手问道.“哦?鞠言混元?”“你知道俺是从其他混元过来の?呐么说,你是专门来呐里等着俺の?”“不对,俺刚进入呐座混元空间不久,你就知道俺の进入.呐么说,你已经掌控了呐座混元空间?”托连大王连续の说出几句话.刚遇到鞠言の事候,托连大王并没有认为鞠言是在专门等他,还以为是碰巧遇到了呐个混元空间の一名修行者.“正是, 俺名鞠言,呐里是鞠言混元.托连大王你进入鞠言混元の同事,俺便已经察觉到了.”鞠言点头说道.托连大王目光微微闪了闪,盯着鞠言道：“易风大王,是死在你の手中?”鞠言沉默,没有立刻开口说话.而鞠言沉默の态度,让托连大王基本上确定,易风大王应该就是被呐个鞠言杀死了.“鞠言大王,你不要误会.”“俺来到你の混元空间,并不是要对你或者你の混元空间不利.”托连大王笑了笑说道.虽然托连大王如此说,但鞠言心中可不敢有丝毫の大意.“托连大王来得很巧.从那易风死后到现在,过了不到三万年の事间,你就也到俺鞠言混元了.算事间,托连大王应该是刚刚知道易风身死,便向鞠言混元出发了吧?”鞠言笑着说道.“呐一点,倒是没错.”托连大王点头.“呐么说,托连大王也是思烺大王の人了.”鞠言眼申一凝道.“呵呵,呐倒不是.”托连大王摆了摆手,也没理会鞠言の敌意,继续说道：“思烺大王在知道麾下易风大王身陨之后,倒是想亲自来呐个混元空间看看.不过,被俺劝阻了.俺知道易风大王身陨鞠言大王你の混元空间,便想亲自来看看.毕竟,呐一混元空间比较特殊.”“鞠言大王,你の呐个混元空间,在之前の事间里,应该是本源道则分隔の吧?”托连大王缓缓说道.“没错,以前本源道则确实分隔,整个混元一分为二.一面只有白色本源道则,一面则只有黑色本源道则.不过,现在混元空间已经合二为一了.”鞠言点头说道.“托连大王竟然能劝阻思烺大王?”鞠言抬目.“还是能说上话の,毕竟同属联盟.哦,你可能对联盟还比较陌生.呐样,俺先与你介绍一下联盟.”“俺们の联盟,盟主为焦源混元の焦源大王,联盟之中一共有拾三个混元空间.以前是拾四个,不过有一个混元空间已经不存在了,只剩下拾三个混元空间.思烺大王の思烺混元,便是拾三个混元空间之一.而俺,则是联盟の军师,属于焦源盟主の下属.”托连大王比较简短の说了一下联盟の主要构成.“鞠言大王.”“联盟想要锻造一件特殊の武器,呐件武器,需要以炼化の混元空间为支点.而此事の主导者,就是思烺大王.你の混元,属于武器支点之一.也正由于如此,思烺大王一直控制着你の混元空间.只是思烺大王也没有想到,你の混元竟是出了变数.”“按道理,呐一混元空间是无法诞生出大王层次善王の.你の出现,确实令人感到不可思议.”托连大王冲着鞠言笑了笑.“托连大王の意思,俺大致上是明白了.那么现在,联盟是哪个意思呢?”鞠言出声问道.“嗯……”托连大王沉吟,似乎是在思考.过了片刻,他才说道：“鞠言大王の实历,达到了哪个样の层次?你杀死易风大王,是否凭借自身の实历?”“呐样关系吗?”鞠言脸色微微一沉.“当然,关系很大.”托连大王眼申眯了眯,继续说道：“先不说呐一混元,本是武器中の一个支点,便是没有呐件事,鞠言大王你杀死了易风大王,思烺大王也不会善罢甘休.若不是思烺大王目前实在是无法抽身,那现在你见到の人,必定是思烺大王.”“而俺在知道呐一混元,诞生出大王,尤其是在见到你之后,俺有了一个新の想法.若能实现,倒是能够保住你の混元空间不被毁掉.”托连大王笑道.“哪个?有哪个办法?”鞠言眼申一亮.如果能够化解呐次危机,鞠言当然是拾万个愿意の.“呐个办法の成功率,与你の个人实历有关.俺想向盟主提出申请, 将你の混元,纳入联盟之中.你の实历越强,焦源盟主同意の希望就越大.”托连大王继续道：“易风大王,是你全部凭借自身实历杀死の吗?”“呐……当事の俺,实历与易风大王相比,并无优势.杀死易风大王,是由于俺有一件强大の武器.”鞠言也考虑过欺骗托连大王,不过最终还是实话实说.呐位托连大王,是联盟の军师,其影响历肯定不低.而且从目前来看,托连大王有意保住鞠言混元,所以鞠言觉得,还是不要在托连大王面前撒谎为好.第三二一九章联盟一员第三二一九章

同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系相交

3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
答：不一定，还可能异面．
4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面．
5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．
6．选择题
（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关
观察：如图2.1.2-5,长方体 ABCD A'B'C'D' 中, BB'∥ AA'
DD'∥ AA'
那么 BB' 与 DD' 平行吗?
D'
C'
A' D
A
B' C
B
平行传递性法则：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
即：1、平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
2、法则是判断空间两条直线平行的依据。
角(或直角)相等.
异面直线所成的角
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。
为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线a'∥a，a' 和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。
D1
M
C1
A1
B1
N
D
C
A
B
空间中两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种
共面直线
平行直线相交直线

异面直线
位置关系
相交
平行

两条直线的位置关系(提高)__两条直线的位置关系(提高)知识讲解

两条直线的位置关系（提高）知识讲解撰稿：孙景艳审稿：吴婷婷【学习目标】1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线；2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题；3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.【要点梳理】要点一、同一平面内两条直线的位置关系同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.要点诠释：（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.（2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.（3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点.两条直线相交只有一个交点.要点二、对顶角、补角、余角1.余角与补角（1）定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．要点诠释：(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角.（2）性质：对顶角相等．要点三、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图．要点诠释：(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：；a b ⊥ 直线AB 和CD 垂直于点O ，记作：AB⊥CD 于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CD ⊥AB ．90AOC ∠=°A A A AA A A A AA 判定性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、两条直线的位置关系1. 平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？【答案与解析】解：如图，图中共有34个交点．【总结升华】10条直线中有八条直线的位置已经确定，要使10条直线的交点最多，就要使剩下的两条直线与前八条直线均相交.举一反三：【变式】不重合的两条直线的位置关系有（）．A ．平行或垂直B ．平行或相交C ．不相交或相交D ．平行、垂直或相交【答案】C 类型二、对顶角、补角、余角2．如图所示，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠2:∠1＝4:l ，求．AOF ∠【思路点拨】涉及有比值的题设条件，如a :b ＝m :n ，在解题时设，，这是a mx =b nx =常用的用方程思想解题的方法．【答案与解析】解：设∠1＝x ，则∠2＝4x ．∵ OE 平分∠BOD ，∴ ∠BOD ＝2∠1＝2x ．∵ ∠2+∠BOD ＝180°，即4x+2x ＝180°，∴ x ＝30°．∵ ∠DOE+∠COE ＝180°，∴∠COE ＝150°．又∵ OF 平分∠COE ，∴ ∠COF ＝∠COE ＝75°．12∵ ∠AOC ＝∠BOD ＝60°，∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．【总结升华】两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角．类型三、垂线3．下列语句：①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直.②一条直线的垂线有无数条.③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直.其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.【思路点拨】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断.【答案】①②【解析】①正确；②正确，过任意一点都可以作；对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点在直线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故③错误；④错误，必须是两个邻角相等，如下图：【总结升华】“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”成立的前提是“在同一平面内”，若改为在“空间”，则过一点有无数条直线与已知直线垂直（以后学到）.举一反三：【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为()A．经过两点有且只有一条直线B．两点之问的所有连线中，线段最短C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D 提示：注意区分直线性质与垂线性质4. 如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE与∠AOC的度数.【答案与解析】解：∵OF⊥AB，OE⊥CD(已知)∴∠BOF＝∠DOE＝90°(垂直定义)∴∠BOD＝∠BOF－∠DOF＝90°－65°＝25°∴∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝90°－25°＝65°.∴∠AOC＝∠AOB－∠BOE－∠COE＝180°－65°－90°＝25°.【总结升华】利用垂直的定义，及同一条直线上的三点组成一个平角可以帮助我们求解图中某些角的大小.【高清课堂：相交线403101 例4变式（1）】举一反三：【变式】如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC.【答案】证明：如图，∵OM平分∠AOB∴∠1=∠2又∵OM⊥ON∴∠3=90°－∠2由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2－（90°－∠2）=90°－∠2∴∠3=∠4∴ ON平分∠BOC5.如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄．(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹)．(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明)【答案与解析】解：(1)过点M作MP⊥AB，垂足为P，过点N作NQ⊥AB，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点，如图所示．(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法．举一反三：l l【变式】点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PCl＝2 cm，则点P到直线的距离是()．A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm【答案】D。

鲁教版数学六年级下册7.1《两条直线的位置关系》说课稿2

鲁教版数学六年级下册7.1《两条直线的位置关系》说课稿2一. 教材分析鲁教版数学六年级下册7.1《两条直线的位置关系》是本册教材中的重要内容，旨在让学生掌握两条直线的位置关系，包括平行和相交两种情况。

通过本节课的学习，学生能够理解并运用直线的位置关系解决实际问题。

二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力。

他们在之前的学习中已经接触过直线、射线、线段等概念，对直线的基本性质有一定的了解。

但是，对于直线的位置关系的理解还需要通过实例和操作来进一步深化。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解两条直线的位置关系，能够识别平行和相交两种情况。

2.过程与方法目标：学生通过观察、操作、交流等活动，培养空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：学生对数学产生兴趣，培养合作意识和问题解决能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解两条直线的位置关系，能够识别平行和相交两种情况。

2.教学难点：学生能够运用直线的位置关系解决实际问题。

五. 说教学方法与手段本节课采用情境教学法、探究教学法和直观教学法相结合的方法。

通过实例引入，激发学生的兴趣；利用探究活动，让学生自主发现和总结直线的位置关系；借助直观教具，帮助学生理解和记忆。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入两条直线的位置关系，激发学生的兴趣。

2.探究活动：学生分组进行探究，通过操作和交流，发现并总结直线的位置关系。

3.讲解与演示：教师对学生的探究结果进行讲解和演示，帮助学生理解和记忆直线的位置关系。

4.练习与运用：学生进行练习，运用直线的位置关系解决实际问题。

5.总结与拓展：教师引导学生总结本节课的学习内容，并进行拓展思考。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出直线的位置关系。

可以设计一个直线的位置关系图，标明平行和相交两种情况，并在旁边附上相关的定义和性质。

八. 说教学评价教学评价可以从学生的知识掌握、能力培养和情感态度三个方面进行。

空间中直线与直线之间的位置关系

思考：我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？
异面直线的定义: 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skew lines）。想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。如下图:mຫໍສະໝຸດ mll
想一想,做一做： 1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？
教学目的： 1.会判断两条直线的位置关系，学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系. 2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行. 3掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面； 4. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角
奎屯新疆
AB
与 l 是异面直线
王新敞
奎屯
新疆
例题示范
例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线 BA 成异面直线的有直线
4. 异面直线所成的角
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。
为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线a'∥a，a' 和b 所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。想一想:a'与b' 所成角的大小与点O的位置有关吗?

空间中两直线的位置关系

C. 3个
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
B. 2个
D. 一个也不正确
5、空间两个角α、β, α与β的两边对应平行, 且α＝600, 则β等（） D A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120° 6、若空间四边形的对角线相等,则以它的四条边的中点为顶点的四边形是（ B ） A.空间四边形 B.菱形 C.正方形 D.梯形
空间中两条直线的位置关系
高一数学王培花
复习引入平面内两条直线的位置关系
相交直线
a
平行直线
b
平行直线（无公共点）
o
a b
相交直线（有一个公共点）
四通八达、错落有致的立交桥
一、异面直线定义
讲授新知
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
A E B F G C H D
1 2
巩固练习
1. (1)一条直线与两条异面直线中的一条相交， D ）那么它与另一条之间的位置关系是（
Ａ.平行Ｃ.异面Ｂ.相交Ｄ.可能平行、可能相交、可能异面
D ） (2)两条异面直线指的是（Ａ.没有公共点的两条直线
Ｂ.分别位于两个不同平面的两条直线Ｃ.某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
BF
与GH
D1 A1
D
C1 （2）如图，已知四棱柱ABCDB1
C B
A1B1C1D1，底面ABCD是平行四边形，则与棱AB所在直线异面的棱共有4 条?
A
分别是：A1D1、DD1、 B1C1、CC1
五、平行直线
初中所学平行公里：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行

立体几何——两条直线之间的位置关系(一)

立体几何——两条直线之间的位置关系（一）一、知识导学1.平面的基本性质. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.2.空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.3.公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 定理4：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4.异面直线. 异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离.5.反证法.会用反证法证明一些简单的问题.二、疑难知识导析1．异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面.2．异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.3．异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交，4．异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线.5．异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b,A且A,a,则a与b异面.三、经典例题导讲[例1]在正方体ABCD-A B C D中,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、D C的中点，则直线OM( ).A .是AC和MN的公垂线.B .垂直于AC但不垂直于MN.C .垂直于MN，但不垂直于AC.D .与AC、MN都不垂直.错解:B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A.[例2]如图，已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点,且,求证:直线EG,FH,AC相交于一点.错解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD,又, GH∥BD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD, 又,GH∥BD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,平面ABC,FH平面ACD,T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,,直线EG,FH,AC相交于一点T.[例3]判断：若a,b是两条异面直线，P为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b 都平行.错解：认为正确.错因：空间想像力不够.忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行.正解：假命题．[例4]如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）．分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．证明∵ AB//CD， AB，CD确定一个平面β．又∵AB ∩α＝E，ABβ， Eα，Eβ，即 E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴ E，F，G，H四点必定共线．点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．[例5]如图，已知平面α，β，且α∩β＝．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，共点（相交于一点）．分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，而是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴ AB，CD必定相交于一点，设 AB ∩CD＝M．又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β．∴ M∈α∩β．又∵α∩β＝，∴ M∈，即 AB，CD，共点．点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．[例6]已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．证明 1?若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点 A ∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则 A，E，F，G∈α．∵ A，E∈α，A，E∈a，∴ aα．同理可证 bα，cα．∴ a，b，c，d在同一平面α内．2?当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则 H，K∈α．又∵ H，K∈c，∴ cα．同理可证 dα．∴ a，b，c，d四条直线在同一平面α内．点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．[例7]在立方体ABCD－A1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？解：(1)连结BD, 交AC于点O .(2)BD1和AC是异面直线.(3)过O作BD1的平行线交DD1于点M，连结MA、MC，则∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所成的角.不难得到MA＝MC，而O为AC的中点，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°，∴异面直线BD1与AC所成的角为90°.[例8] 已知：在直角三角形ABC中，A为直角，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足为D，求证：AD⊥PC证明：∵PA ⊥平面ABC∴PA⊥BA又∵BA⊥AC ∴BA⊥平面PAC∴AD是BD在平面PAC内的射影又∵BD⊥PC∴AD⊥PC.（三垂线定理的逆定理）四、典型习题导练1．如图, P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为( )A.2对B.3对C.4对D.6对2. 两个正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，则异面直线AC和BF所成角的大小为．3. 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，体对角线DB1与面对角线BC1所成的角是，它们的距离是 .4.长方体中，则所成角的大小为_ ___.5.关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角. 其中正确判断的序号是_____.（注：把你认为正确的序号都填上）.6．在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，求证：BH⊥CD7．如图正四面体中，D、E是棱PC上不重合的两点；F、H分别是棱PA、PB上的点，且与P 点不重合．求证：EF和DH是异面直线．。

空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线，则不存在平面α，使a ⊂α且b ⊂α.（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面. （1） ——同一平面内,有且只有一个公共点；（2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网（3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 3．空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：（1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线（2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理 1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 .（2）符号语言：a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ，b ∥c . （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤（1）找到直线b ；（2）证明∥a b ，∥b c ；（3）得到∥a c .2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . （2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′，则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图（1）图（2）三、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（1）在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′，b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上.（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为 . 3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；（2）证明：证明作出的角就是要求的角；（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．K 知识参考答案：一、1．（1）任何一个平面内2．（1）相交直线（2）平行直线（3）异面直线二、1．（1）平行（2）a ∥c 2．（1）相等或互补三、1．锐角（或直角） 2．090α<≤ 3．直角K—重点掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1．空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM 与DD1是异面直线．其中正确的结论为A．③④B．①②C．①③D．②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.故选A．【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立. 2．公理4的应用证明两条直线平行的方法：（1）平行线的定义；（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等；（3）利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下： ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为 A ．60° B ．120° C ．30°D ．60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选D ．【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【例4】如图所示，已知棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是棱的中点.（1）求证：四边形是梯形；（2）求证：（2）由（1）知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 4．两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A．90B．75C．60D．45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几，放置在三角形中，利用何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M,N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解，求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1．若,a b 为异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是 A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 2．已知∥AB PQ ，∥BC QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于 A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对 3．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行 4．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5．如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．906．如果OA //O A ''，OB //O B ''，那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为． 7．下列命题中不正确的是________．（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．8．如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证：△∽△ABC A B C '''.9．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为60°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．10．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A．相交B．异面C．异面或相交D．平行11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为A．相交B．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直12．如图，正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13．如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证：PN 与MC 为异面直线.14．（2016上海）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．（2015广东）若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交16．（2015浙江）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1，BC =2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°17．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1．【答案】D【解析】c a ∥，a b ，为异面直线，所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4．【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ，故选B. 5．【答案】B【解析】如图，设G 为AC 的中点，连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ，所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角，且三角形GEF 为等腰直角三角形，所以45GEF ∠=.6．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7．【答案】①②8．【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9．【解析】如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为60°，∴∠EGF ＝60°或120°．由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形，当∠EGF ＝60°时，∠GEF ＝60°；当∠EGF ＝120°时，∠GEF ＝30°．学@科网故EF 与AB 所成的角为60°或30°．10．【答案】C【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图（1）,两条直线异面;（2）若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图（2）,两条直线相交.故选C.（1）（2）【误区警示】在判断两直线的位置关系时，要全面思考问题，可通过画出相关图形帮助分析，从而防止遗漏.本题中，没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11．【答案】D【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.13．【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16．【答案】C【解析】根据题意，得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图，连接A 1B ,在△A 1BC 中，BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。

空间两直线的位置关系

其中 l 和 m 是不全为零的实数,且
A1 B1 C1 m （否则左端恒为零）
A2 B2 C2
l
（2）由平面 : Ax By Cz d 0
所决定的平面束的方程是 Ax By Cz 0
其中为任意实数。（这是常用的形式）
空间“有轴平面束”和“平行平面束”这两个概念，退化到平面上，有“中心直线束”和“平行直线束”的概念中：心直线束：如果给定了平面上的两条直线，
因此，所求直线的方程为：
32 6
x9

y

2 9

z
39
8
7
1
P。133
9。（2）解：
L1
:
x

y

2t 3t

3 5,
L2
:
x

y

5t 4t
10 7
z t
z t
设所求直线L与 L1 的交点为P，它所对应的参数为 t1
L与 L2 的交点为Q，它所对应的参数为 t2
由 1 1 1 0 1 2
1 2 3 0, 2 1 4 0
XYZ X Y Z
即
X X
2Y 2Y

Z Z

0 0
可得：X：Y：Z=0：1：2 所求直线的方程为：
x 1 y 1 z 1 012
例2。已知两直线
L1 :
x 1

y 1
z 1 0 , L2
解：过直线L的平面束方程为：
l(2x y 2z 1) m(x 2y z 2) 0
即： (2l m)x (l 2m) y (2l m)z (l 2m) 0 （1）

空间几何的相交和平行关系

空间几何的相交和平行关系空间几何是研究三维形体的相对位置和关系的学科，而其中最基本和重要的概念之一就是相交和平行关系。

在本文中，我们将探讨这两个概念的含义以及它们在空间几何中的应用。

1. 相交关系相交关系是指两个或多个图形在空间中有交集的情况。

具体来说，当两个或多个图形的部分或全部相互穿越时，我们可以说它们相交。

在空间几何中，常见的相交关系有以下几种：1) 点与直线的相交：当一条直线与一个点相交，即该点在直线上，我们可以说点与直线相交。

2) 点与平面的相交：当一个点与一个平面相交，即该点在平面上，我们可以说点与平面相交。

3) 直线与直线的相交：当两条直线在空间中有一个公共点时，我们可以说它们相交。

4) 直线与平面的相交：当一条直线与一个平面有一个公共点时，我们可以说它们相交。

5) 平面与平面的相交：当两个平面在空间中有一条直线作为它们的交集时，我们可以说它们相交。

相交关系在几何推理和几何证明中起着重要的作用。

通过分析图形的相交关系，我们可以得出很多有用的结论和性质，进而解决问题。

2. 平行关系平行关系是指两个或多个图形在空间中没有交集的情况。

具体来说，当两个或多个图形的部分或全部没有交点时，我们可以说它们平行。

在空间几何中，常见的平行关系有以下几种：1) 直线与直线的平行：当两条直线在空间中没有交点，且它们的方向相同或重合时，我们可以说它们平行。

2) 直线与平面的平行：当一条直线与一个平面没有交点，且这条直线在这个平面上的任意一条平行线上时，我们可以说它们平行。

3) 平面与平面的平行：当两个平面没有交集，且它们的法向量平行时，我们可以说它们平行。

平行关系在几何推理和几何证明中也是非常重要的。

通过研究图形的平行性质，我们可以得出很多结论和性质，从而解决各种实际问题。

总结：空间几何中的相交和平行关系是非常基础且重要的概念。

相交关系指的是两个或多个图形在空间中有交集，而平行关系指的是两个或多个图形在空间中没有交集。

名师辅导立体几何第2课空间两条直线(含答案解析)

名师辅导立体几何第2课空间两条直线（含答案解析）●考试目标主词填空1.空间两条直线有三种位置关系相交直线——有且仅有一个公共点.平行直线——同在一个平面内，没有公共点.异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点. 2.平行直线定义：同一平面内两条不相交的直线称为平行直线. 公理4：平行同一条直线的两条直线互相平行. 3.异面直线)定义：“不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线”. 异面直线的判定定理：“过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线”.这是判定空间两直线是异面直线的理论依据. ●题型示例点津归纳【例1】如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1C 1与A 1B 上的点，且A 1E =A 1F .求证：EF ∥AD 1.【解前点津】判定两条直线平行，首先考虑把两直线放在同一平面内，利用平面图形的性质实施证明，若图形中这样的平面不好找，可以考虑实施转化，利用平行公理(或后继将要学习的直线与平面平行的性质定理、向量知识等)实施证明.—【规范解答】证明：连结BC 1、AD 1，因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，所以A 1C 1=A 1B .在△A 1BC 1中， ∵A 1C 1=A 1B ,A 1E =A 1F ,∴BA FA C A E A 11111 ,∴EF ∥BC 1. 又∵D 1C 1平行且等于AB ，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形， ∴BC 1∥AD 1,∴EF ∥AD 1.【例2】如图所示，长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，∠ABA 1=45°,∠A 1AD 1=60°,求异面直线A 1B 与AD 1所成的角的度数.【解前点津】求两条异面直线所成的角的步骤如下： ①用平移法作出异面直线所成的角；）②说明作出的角就是要求的角； ③计算(解三角形)； ④结论.【规范解答】如图所示，连结BC 1、A 1C 1， ∵A 1B 1C 1D 1-ABCD 是长方体，∴AB 平行且等于D 1C 1，即ABC 1D 1是平行四边形， ∴AD 1平行且等于BC 1，∴∠A 1BC 1(或它的补角)是异面直线A 1B 与AD 1所成的角. 设AA 1=a ,∵∠ABA 1=45°,∠A 1AD 1=60°例1题图例2题图∴在△AA 1D 1与△A 1AB 中，AB =AA 1=a ,A 1B =2a ,AD 1=BC 1=2a ,A 1D 1=3a ,\∴A 1C 1=211211B A D A +=2a ,在△A 1BC 1中，由余弦定理知，cos ∠A 1BC 1=1121121212BC B A C A BC B A ⋅-+=42.∴∠A 1BC 1=arcos42,所以异面直线A 1B 与AD 1所成的角是arccos 42. 【解后归纳】学完空间向量之后，我们还可以利用向量的夹角公式求异面直线所成的角.【例3】如图所示，求证分别与两条异面直线都相交，且交点为不同的四个点的两条直线是异面直线.已知：a 、b 异面，AB 交a 、b 于A 、B ，CD 交a 、b 于 C 、D ，A 、B 、C 、D 四点不同.求证：AB 与CD 是异面直线.^【解前点津】此题条件不具备异面直线的判定定理所需条件，而当结论的反面即AB 、CD 共面时，易得AC 、BD共面.即a 、b 共面，与已知矛盾.故用反证法证明较易.【规范解答】假设AB 与CD 不是异面直线，则AB 与CD 共面，设此平面为α, 所以，A 、B 、C 、D 都在α内，所以直线AC ⊂平面α,BD ⊂平面α,所以AC 与BD 共面，即a 与b 共面，这与a 、b 为异面直线相矛盾. 所以AB 与CD 是异面直线.【解后归纳】证明两条直线是异面直线除利用定义、定理外，还常常使用反证法，要掌握好.【例4】直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中AB =AC =AA 1=d ,D 是AB 的中点,若C 1D =211d ,求异面直线AB 与A 1C 1所成的角.《【规范解答】如图，连结CD ,∵AC ∥A 1C 1,∴∠BAC 或其补角就是异面直线AB 与A 1C 1所成的角, 在Rt △C 1CD 中,∠C 1CD =90°,∴CD 2=C 1D 2-CC 12=247d 在△ADC 中,AD =21AB =2d,AC =dcos ∠CAD =21224742222222-=⋅⨯-+=⋅-+dd d d d AC AD CD AC AD .∴∠CAD =120°,∴异面直线AB 与A 1C 1所成的角为60°.例3题图例4题图【解后归纳】此题也可运用异面直线上两点间的距离公式θcos 2222mn n m d EF ±++=,求出cos θ,其中EF ,d ,m ,n 就是题中的C 1D ,AA 1,A 1C 1,AD ,而θ就是∠CAD .,●对应训练分阶提升一、基础夯实1.“a 、b 为异面直线”是指①a ∩b =,且a ∥＼ b ;②a ⊂面α,b ⊂面β且a ∩b =;③a ⊂面α,b ⊂面β,且a ∩β=;④a ⊂平面α,b ⊂平面α;⑤不存在面α,使a ⊂面α且b ⊂面α成立,上述结论中，正确的是 ( )A.①④⑤都正确B.①③④都正确C.仅②④正确D.仅①⑤正确 2.无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影不可能是 ( ) A.两条平行直线 B.两条相交直线 C.一条直线和直线外一点 D.两个点 3.相交直线a 、b 的夹角为50°，则过交点与a 、b 都成60°角的直线的条数为 ( ).2 C4.正方体的对角线与正方体的棱组成的异面直线共有 ( ) 对对对对\5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所有各面的对角线中与AB 1成60°角且与AB 1异面的直线的条数为( ).2 C6.空间四边形两条对角线互相垂直，则顺次连结各边中点的四边形是 ( ) A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形7.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则异面直线CM 与D 1N 所成的角的正弦值为 ( )A.91B.32C.594D. 592.8.如图所示，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1、E 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AE 1所成角的余弦值是 ( )A.1015 B.1530 C.21 D.10309.在四面体ABCD 中，AB ＝８，CD ＝６，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，且MN ＝５，则AB!第7题图第8题图与CD 所成角是 ( )° ° ° °10.空间四点A 、B 、C 、D ，每两点的连线长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则点P 与Q 的最小距离为 ( )B.a 23 C.a 22D. a 21 二、思维激活11.正方体六个面内的所有对角线互成60°角的共有对．12.在三棱锥S —ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝4cm ，∠BAC =60°，M 、N 分别是△SAB 和△SAC 的重心，则MN ＝ .13.在正四面体ABCD 中,E 、F 分别是AB ,CD 的中点,则EF 与AC 所成角的大小为 .14.在四面体ABCD 中，棱长均相等，E 是AD 的中点，则AB 和CE 所成角的余弦值为 . 三、能力提高（15.如图所示，在三棱锥D —ABC 中,DA ⊥平面ABC ,∠ACB =90°,∠ABD =30°,AC =BC ,求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值.16.已知a 、b 是异面直线，A 、B ∈a 且AB =m ，C ∈b .》(1)当线段AB 在直线a 上移动时，C 为定点，证明△ABC 面积不变.(2)当C 点在直线b 上移动，问点C 在何位置时，△ABC 的面积最小.17.如图所示，已知P 为△ABC 所在平面外的一点，E 为PA 的中点，F 为PC 的中点，BE ⊥AC ，PC ⊥AC .。

高中数学人教A版必修二空间中直线与直线之间的位置关系

三、两条异面直线所成的角
如图所示，a、b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′，则这两条线所成的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所成的角.
b a′ ？ OP a
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b. 异面直线所成角θ的取值范围：（0，π ]
A
H
E
D G
B
F
C
解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
3. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
A
B
C
D
F
E
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,
那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
解：直线 a 与 c 的位置关系有三种，如图所示．直线 a 与 c 可能平行(如图①所示)，也可能相交(如图 ②所示)，还可能异面(如图③所示).
[变式训练] 如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1
中，判断下列直线的位置关系： ①直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________； ②直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________； ③直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________； ④直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________．
位置关系是( )
A．共面
B．平行
C．异面
D．平行或异面
解析：若直线 a 和 b 共面，则由题意可知 a∥b；若 a
和 b 不共面，则由题意可知 a 与 b 是异面直线．

空间几何中的相交关系

空间几何中的相交关系相交是空间几何中一个基本的概念，它描述了两个或多个几何元素在空间中共同存在的情况。

相交关系不仅在数学中具有重要的意义，它也在实际生活中有广泛的应用。

本文将从点、线、面三个维度来探讨空间几何中的相交关系。

一、点的相交关系在空间几何中，点是最基本的几何元素，而点的相交关系则是最简单的相交关系。

点与点之间只有两种相交情况：相交或不相交。

当两个点重合时，我们说它们相交；相反，如果两个点不重合，则它们不相交。

点的相交关系可以通过坐标计算或者几何图形直观展示。

二、线的相交关系线是由一系列点连接而成的，它在空间几何中具有更复杂的相交关系。

在二维空间中，两条直线的相交关系有三种可能：相交、平行和重合。

两条直线相交意味着它们在某一点处有公共点，没有公共点的直线则称为平行；当两条直线完全重合时，我们说它们重合。

在三维空间中，两条直线的相交关系更加多样，可以存在有限个数的交点，也可以不存在交点。

除了直线之外，还存在曲线。

曲线的相交关系更加复杂，它可能存在多个交点，也可能没有交点。

例如，两个圆相交时，它们通常会有两个交点；而两个椭圆相交时，交点的数量则取决于椭圆的形状和位置。

三、面的相交关系面是由多条线围成的一个平面区域，它在空间几何中具有更多元素的相交关系。

在二维空间中，两个面的相交关系有四种可能：相交、平行、重合和不相交。

两个平行的面在空间中永远不会相交；重合的面代表着它们完全重合在一起；当两个面有公共区域时，我们说它们相交；而当两个面没有任何公共区域时，它们是不相交的。

在三维空间中，面的相交关系更加多样。

当两个面有一个或两个交线时，我们称它们为相交的；当两个面部分重合时，它们也被视为相交；而当两个面没有任何交线或交点时，它们是不相交的。

三维空间中，面的相交关系往往需要通过数学建模或者几何分析来判断。

空间几何中的相交关系贯穿着整个数学体系，并且在日常生活中有着广泛的应用。

它们不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以拓展我们的几何思维。

空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系知识点一空间两条直线的位置关系1．异面直线⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线;⑵特点：既不相交,也不平行;⑶理解：①“不同在任何一个平面内”,指这两条直线永不具备确定平面的条件,因此,异面直线既不相交,也不平行,要注意把握异面直线的不共面性;②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”;③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说,在两个不同平面内的直线,它们既可以是平行直线,也可以是相交直线．2．空间两条直线的位置关系⑴相交——在同一平面内,有且只有一个公共点；⑵平行——在同一平面内,没有公共点；⑶异面——不同在任何个平面内,没有公共点．例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．注：把你认为正确的结论的序号都填上答案：③④例2、异面直线是指____．①空间中两条不相交的直线； ②分别位于两个不同平面内的两条直线； ③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线．变式1、一个正方体中共有对异面直线．知识点二平行直线例4、如图在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知E 1、E 分别为A 1D 1、AD 的中点,求证：∠C 1E 1B 1=∠CEB ．知识点三异面直线1、异面直线的画法：为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点,常常需要以辅助平面作为衬托,以加强直观性,如下图l,若画成如下图2的情形,就分不开了,千万不能画成2的图形;画平面衬托时,通常画成下图中的情形;2、异面直线的判定⑴异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．E 1E A C B D AB CD⑵判定两条直线为异面直线的常用方法有：①定义法：不同在任一平面内的两条直线．②定理法：过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线为异面直线．③推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线．④反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法,证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设,从而肯定与假设相反的结论,即命题的结论成立,3、异面直线所成的角a与b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a′∥a,b ′θθ将这个角放入某个三角形中计算这个角的大小,若该三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形,便易求此角的大小.3我们规定：两条平行直线所成的角为0°角,两条相交直线所成的角为这两条相交直线所成的四个角中的锐角或直角,因此在空间中的两条直线所成的角的范围为0°,90°；特别地,若两异面直线所成角为90°,则称两异面直线互相垂直；4求异面直线所成角的一般步骤是：①构造恰当地选择一个点,用平移法构造异面直线所成的角．②证明证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角,③计算通过解三角形常用余弦定理等知识,求①中所构造的角的大小,④结论假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求;例5、已知平面l =βα ,直线,,P l a a =⊂ α直线l b b //,β⊂,求证：直线a 和b 是异面直线．例6、如图所示,正方体ABCD －A1B1C1D1中,M 、N 分别是A1B1、B1C1的中点,问：1AM 和CN 是否是异面直线说明理由；2D1B 和CC1是否是异面直线说明理由．解：1不是异面直线．理由如下：∵M 、N 分别是A1B1、B1C1的中点,∴MN ∥A1C1.又∵A1A D1D,而D1D C1C,∴A1A C1C,A1ACC1为平行四边形,∴A1C1∥AC,得到MN ∥AC,∴A,M,N,C 在同一个平面内,故AM 和CN 不是异面直线．2是异面直线．理由如下：假设D1B 与CC1在同一个平面D1CC1内,则B ∈平面CC1D1,C ∈平面CC1D1,∴BC 平面CC1D1,这与BC 是正方体的棱相矛盾,∴假例7、如图2．1．2—18,已知不共面的三条直线a ,b ,c 相交于点P ,A ∈a ,B ∈a ,C∈b ,D ∈c ,求证：AD 和BC 是异面直线．证法一：反证法：假设AD 和BC 共面,所确定的平面为α,那么点P 、A 、B 、C 、D 都在平面α内,∴直线a 、b 、c 都在平面α内,与已知条件a 、b 、c 不共面相矛盾．∴AD 与BC 是异面直线．证法二：直接用判定定理：∵ a ∩c ＝P ,∴a 和c 确定一个平面,设为β,巳知C 平面β,B ∈平面β,AD 平面β,BAD , ∴AD 和BC 是异面直线．变式1、如图2．1．2—19,a ,b 是异面直线,A 、B ∈a ,C 、D ∈b ,E 、F 分别为线段AC 和BD 的中点,判断直线EF 和a 的位置关系,并证明你的结论．答案：EF 和a 是异面直线,可用反证法证明．例8、正方体AC l 中,E,F 分别是A 1B 1,B 1Cl 的中点,求异面直线DB 1与EF 所成角的大小;变式1、空间四边形ABCD中,E、F分别是对角线BD、AC的中点,若BC＝AD＝2EF,求直线EF与直线AD所成的角;例9、直三棱柱中,若,,则异面直线与所成的角等于A．30° B．45° C．60° D．90°解：C变式1、已知空间四边形ABCD各边长相等,求异面直线AB和CD所成的角的大小.解：∴异面直线AB、CD成90°角.巩固练习：一、判断题1. 若三条直线两两平行,则这三条直线必共面．2. 互不平行的两条直线是异面直线．二、单选题1. 关于异面直线,有下列3个命题：①分别在两个不同平面内的两直线是异面直线②平面内的一直线与平面外的一直线是异面直线③都不在某一平面内的两条直线是异面直线其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．32. 直线a、b是两条异面直线,A、B与C、D分别为直线a、b上不同的点,则直线AC与BD的关系是A．可能相交 B．可能平行 C．异面 D．相交或异面3. 两条异面直线指的是A．在空间不相交的两条直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线4. 下列命题中,真命题的是A．两两相交的三条直线共面 B．两两相交且不共点的四条直线共面C．不共面的四点中可以有三点共线 D．边长相等的四边形一定是菱形5. 空间两条互相平行的直线,指的是A．在空间没有公共点的两条直线B．分别在两个平行平面内的两条直线C．位于同一平面内且没有公共点的两条直线D．分别与第三条直线成等角的两条直线6. 平面M、N相交于EF,分别在平面M、N内作∠EAC=∠FBD,则AC和BD的关系是A．异面 B．平行 C．相交 D．不确定7. 直线a和b是异面直线,直线c∥a,那么b与cA．异面 B．不异面 C．相交 D．异面或相交8. 如果一条直线和两条异面直线都相交,那么它们可确定A．4个平面 B．3个平面C．2个平面 D．1个平面9. 若m和n是异面直线,n和l也是异面直线,则A．当m∩l=φ时,m与l异面 B．m∩l=φC．当m与l共面时,m∥l D．m与l相交、异面、平行都可能10．若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面11．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作A．1条B．2条 C．3条D．4条三、填空题1. “直线a、b异面”的否定说法是“__________”．2. 不平行的两条直线的位置关系是_________．3. “直线a、b相交”的否定说法是“__________________________”．4. 过已知直线外一点,可以作_____条直线与已知直线垂直．5. 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是_____________________．6. 已知直线a和b是异面直线,直线c和a平行而不和b相交,则c和b的位置关系是_________．7. 直线a、b确定一个平面,则a、b的位置关系是________________．8. “直线a、b异面”还可以说成“直线a、b既不______,又不______”．9. 空间有三条直线a、b、c,如果b⊥a,c⊥a,那么直线b、c的位置关系是_________________．10. 和两条异面直线中的一条相交的直线与另一条直线的位置关系是______________．11. 已知直线a 、b 、c 满足a ∥b,b 与c 是异面直线,则a 与c 的位置关系是____________．12. 正方体ABCD ─A1B1C1D1中,与侧面对角线AD1成异面直线的棱共有_____条,它们分别是___________________________．13. 正方体ABCD ─A1B1C1D1中,与棱AB 成异面直线的棱共有_____条,它们分别是____________________．14. 正方体的12条棱中,互为异面直线的有________对.答案一、判断题1. ×2. ×二、单选题1. A2. C3. D4. B5. C6. D7. D8. C9. D三、填空题1. a 、b 共面2. 相交或异面3. a 、b 不相交或a 、b 无公共点4. 无数5. 平行或相交或异面6. 异面7. 相交或平行8. 相交,平行9. 平行或相交或异面 10. 相交或平行或异面 11. 相交或异面12. 6；BC,B1C1,BB1,CC1,DC,A1B1 13. 4；A1D1,B1C1,CC1,DD114. 24空间两条直线的位置关系1. 已知直线b a ,都在平面α外, 则下列推断错误的是A ．αα////,//a b b a ⇒B ．αα//,a b b a ⇒⊥⊥C ．b a b a ////,//⇒ααD ．b a b a //,⇒⊥⊥αα答案C2. 已知直线l∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于l的直线A．只有一条,不在平面α内B．只有一条,在平面α内C．有两条,不一定都在平面α内D．有无数条,不一定都在平面α内答案B3. 下列命题正确的是A．若两条直线与同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B．若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行答案C4. 下列四个条件中,能确定一个平面的是A. 一条直线和一个点B.空间两条直线C. 空间任意三点D.两条平行直线答案D5. 在平整的地面上任意放一根笔直的钢管,则在地面上必存在直线与钢管所在的直线A.平行B.相交C.异面D.垂直答案D6. 平行于同一平面的两条直线的位置关系A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行、相交或异面答案D7. 下列命题中,错误的是A ．三角形的两条边平行一个平面,则第三边也平行于这个平面．B ．平面 α∥平面β,a ⊂α,过β内的一点B 有惟一的一条直线b ,使b ∥a .C ．α∥β,γ∥δ,α、β、γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ,则a ∥b ∥c ∥d .D ．一条直线与两个平面所成角相等,则这两个平面平行．答案D8. 直线m 不平行于平面α,且m α⊄,则下列结论成立的是A ．α内所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交答案B9. 正三棱锥P-ABC 的高为2,侧棱与底面所成的角为450,则点A 到侧面PBC 的距离是 A.5 B. 22 C.2 D.556 答案D10. 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是A ．23B ．1010C ．53D ．52答案D11. 已知直线,l m ,平面,αβ,且l α⊥,m β⊂,给出下列四个命题：①若α∥β,则l m ⊥；②若l m ⊥,则α∥β；③若αβ⊥,则l ∥m ；④若l ∥m ,则αβ⊥．其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 答案B12. 设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不重合的平面,给定下列四个命题： ①若m n ⊥,n α⊂,则m α⊥； ②若a α⊥,a β⊂,则αβ⊥；③若m α⊥,n α⊥,则//m n ； ④若m α⊂,n β⊂,//αβ则//m n ．其中真命题的是A ．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 答案B13. 如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,E F ，分别是1AB ,1BC 的中点,则以下结论中不成立．．．的是A ．EF 与1BB 垂直B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面答案D14. 异面直线a 、b,a ⊥b,c 与a 成30°角,则c 与b 成角的范围是ABCF答案A15. 在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,AC 与B 1D 所成的角的大小A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π答案D16. 已知空间直角坐标系中,O 为原点,A 0,0,3,B 0,4,0,C 5,0,0则经过O 、A 、B 、C 四点的球的体积为A ．π50B ．π32125 C ．π321000 D ．π425答案B17. 设m,n 是两条不同直线,βα,是两个不同的平面,给出下列四个命题 ①若n m n m //,//,则αα⊂②βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m ③若,//,//,//n m n m m αβαβ⋂=则且④若βαβα//,,则⊥⊥m m 其中正确的命题是 A.① B.② C.③④ D.②④ 答案D18. 已知直线l 和平面βα,, A ．若l ∥α,βα⊥,则β⊥lB ．若l ∥α,α∥β,则l ∥βC ．若l ∥α,β⊂l ,则α∥βD ．若l ⊥α,β⊂l ,则βα⊥答案D19. 在下列条件下,可判断平面α与平面β平行的是A. α、β都垂直于平面γB. α内不共线的三个点到β的距离相等C. l,m 是α内两条直线且l ∥β,m ∥βD. l,m 是异面直线,且l ∥α,m ∥α,l ∥β,m ∥β答案D20. 设,m n 是空间两条不同直线,,αβ是空间两个不同平面,当,m n αβ⊂⊂≠≠时,下列命题正确的是 A ．若m n ,则αβ B ．若m n ⊥,则αβ⊥C ．若m β⊥,则m n ⊥D ．若n α⊥,则m β⊥ 答案C21. 已知直线l 、m ,平面βα、,则下列命题中： ①．若βα//,α⊂l ,则β//l ②．若βα⊥,α⊥l ,则β//l③．若α//l ,α⊂m ,则m l // ④．若βα⊥,l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m ,其中真命题有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案B22. 如图1所示,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 的中点,G 是EF 的中点,现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使B 、C 、D 三点重合,重合后的点记为H ,如图2所示,那么,在四面体AEFH 中必有． A ．AH ⊥△EFH 所在平面 B ．AG ⊥△EFH 所在平面 C ．HF ⊥△AEF 所在平面 D ．HG ⊥△AEF 所在平面答案A23. 如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使面ABD⊥面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为A．1 B．2 C．3 D．4答案C24. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且AM=BN,给出以下结论:①AA1⊥MN ②异面直线AB1,BC1所成的角为60°③四面体B1-D1CA的体积为13④A1C⊥AB1,A1C⊥BC1,其中正确的结论的个数为A．4 B3 C．2 D．1答案A25. 已知一平面平行于两条异面直线,一直线与两异面直线都垂直,那么这个平面与这条直线的位置关系是A．平行 B．垂直 C．斜交 D．不能确定答案B26. 已知两个不重合的平面,αβ,给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②,l m是α内的两条直线,且//,//l mββ；③,l m是两条异面直线,且//,//,//,//l l m mαβαβ；其中可以判定//αβ的是A．① B．②C．①③D．③答案D27. 如图所示,在空间四边形ABCD中,AB＝BC,CD＝DA,E、F、G分别为CD、DA和AC 的中点．求证：平面BEF ⊥平面BGD .答案∵AB ＝BC ,CD ＝AD ,G 是AC 的中点,∴BG ⊥AC ,DG ⊥AC .∴AC ⊥平面BGD .又EF ∥AC ,∴EF ⊥平面BGD .又EF 平面BEF ,∴平面BDG ⊥平面BEF . 28. 已知三条不重合的直线,,m n l ,两个不重合的平面,αβ,有下列命题： ①若//,//l m αβ,且//αβ,则//l m ②若,l m αβ⊥⊥,且//l m ,则//αβ ③若,m n αα⊆⊆,//,//m n ββ,则//αβ ④若,,,m n n m αβαββ⊥=⊆⊥,则n α⊥其中真命题的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案C29. 若M 、N 分别是△ABC 边AB 、AC 的中点,MN 与过直线BC 的平面β的位置关系是∥β 与β相交或MN ⊂≠βC. MN ∥β或MN ⊂≠βD. MN ∥β或MN 与β相交或MN ⊂≠β答案C30. 空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为A ．3B ．1或2C ．1或3D ．2或3答案C31. 已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,则下列四种说法正确的为A 、若m ∥n,n ⊂α,则m ∥αB 、若m ⊥n,m ⊥α,则n ∥αC 、若m ⊂α,n ⊂β,α∥β,则m,n 为异面直线D 、若α⊥β,m ⊥α,n ⊥β,则m ⊥n答案D32. 直径为32的球的内接正方体的棱长为A．2B．2 C．3D．5答案B33. 在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AC=1,M 为 AB 中点,将△ACM 沿 CM 折起,使A．B 间的距离为2,则 M 到面 ABC 的距离为A．12B3C．1 D．32答案A答案由已知得AB=2,AM=MB=MC=1,BC=3由△AMC为等边三角形,取CM中点,则AD⊥CM,AD交BC于E,则AD=32,DE=36,CE=33.折起后,由BC2=AC2+AB2,知∠BAC=90°,又cos∠ECA=33,∴AE2=CA2+CE2-2CACEcos∠ECA=23,于是AC2=AE2+CE2.∴∠AEC=90°.∵AD2=AE2+ED2,∴AE⊥平面BCM,即AE是三棱锥A-BCM的高,AE=63.设点M 到面ABC 的距离为h,∵S △BC M =,∴由V A-B CM =V M -AB C ,可得1313⨯121×h,∴h=12.故选A ． 34. 设m,n 是异面直线,则1一定存在平面α,使m ⊂α,且n ∥α；2一定存在平面α,使m ⊂α,且n ⊥α；3一定存在平面γ,使得m,n 到平面γ距离相等；4一定存在无数对平面α和β,使m ⊂α,n ⊂β且α⊥β;上述4个命题中正确命题的序号是 A ．123 B ．124 C ．134 D ．14 答案C45. 关于直线,,a b l 以及平面βα,,下面命题中正确的是 A ．若,//,//βαb a 则.//b a B ．若,,//a b a ⊥α则.α⊥bC ．若,//,βαa a ⊥则.βα⊥D ．若βα⊂⊂b a ,,且,//,b l a l ⊥,则.α⊥l 答案C。

空间两条直线

三、异面直线
1.定义:所谓异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线. 其含义是不存在这样的平面,能同时经过这两条直线,应明确分别在某两个平面内的两直线不一定是异面直线. 2.异面直线的判定方法： (1)定义法(反证法): (2)判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线 ,和平面内不经过该点的直线是异面直线. 3.异面直线所成的角:
D B F C
若a、b是异面直线，且分别在平面α、β 内，α∩β = l ，则直线 l 必定
A.分别与a、b相交 C. 与a、b都不相交 B.至少与a、b之一相交 D.至多与a、b之一相交
(2)范围： (0, ]
(3)求法:

2
①平移法：平移法求异面直线所成角的步骤是一作二证三求, 关键是通过平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为两相交直线的夹角。 ②向量法
四、异面直线的距离的概念： 1.两条异面直线公垂线:和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。 2.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度叫做异面直线间的距离. 注:两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交。 3.计算异面直线的距离的方法： (1)先确定异面直线公垂线的位置，再计算公垂线段的长度。 (2)向量法。
例 1．（1）空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是四边上的中点，则直线 EG和 FH的位置关系_____；
（答：相交）
（2）给出下列四个命题： ①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线； ②两异面直线 a, b ，如果 a 平行于平面，那么 b 不平行平面； ③两异面直线 a, b ，如果 a 平面，那么 b 不垂直于平面； ④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线。其中正确的命题是_____。（答：①③）

空间两条直线的位置关系有相交

空间中直线与直线之间的位置关系

同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系相交

两条直线的位置关系(提高)__两条直线的位置关系(提高)知识讲解

鲁教版数学六年级下册7.1《两条直线的位置关系》说课稿2

空间中直线与直线之间的位置关系

空间中两直线的位置关系

立体几何——两条直线之间的位置关系(一)

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空间两直线的位置关系

空间几何的相交和平行关系

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空间两条直线

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