河北省2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题10解直角三角形或相似的计算与实践精练试题
【数学课件】2018年河北中考数学《4.4解直角三角形》复习课件和随堂演练
么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin 37°
≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)( )
【分析】
作辅助线构造直角三角形，利用解直角三角
形的知识进行解答．
【自主解答】
如图，过点A作BC的平行线AG，
过点E作EH⊥AG于H，则∠EHG＝∠HEF＝90°.
∵∠AEF＝143°， ∴∠AEH＝∠AEF－∠HEF＝53°，∠EAH＝37°. 在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2， ∴EH＝AE·sin∠EAH≈1.2×0.60＝0.72.
知识点二 解直角三角形 1．解直角三角形 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，
叫做解直角三角形．
3．解直角三角形的基本类型 (1)已知直角、斜边和一个锐角，求其他边和角； (2)已知直角、一直角边和一个锐角，求其他边和角；
(3)已知直角、斜边和一直角边，求其他边和角；
(4)已知直角、两条直角边，求其他边和角．
好好学习，天天向上。
第四节 解直角三角形
知识点一 锐角三角函数 1．锐角三角函数的定义
2．特殊角的三角函数值
由上表可知，当两角互余时，一角的正弦值等于另一角 的余弦值，即若∠A＋∠B＝90°，则sin 围内，sin α ，tan α 的值随
α 的增大而增大，cos α 的值随α 的增大而减小．
知识点三 解直角三角形的应用
考点一 锐角三角函数的定义 命题角度❶
(5年0考)
求锐角三角函数的值
(2017·宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每 个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中，错误 的是( )
A．sin α ＝cos α C．sin β ＝cos β
中考冲刺：相似与位似判断、解直角三角形教案(针对河北中考真题)
一、相似三角形判定考察判定定理： 两角相等，三边比例，两边及夹角。
二、位似图形1．位似多边形的定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A 、A ′的连线(或延长线)都经过同一个点O ，且有OA ′＝kOA(k ≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心，这时的相似比k 又称为位似比． 2．位似多边形的性质：(1)位似多边形一定相似，位似多边形具有相似多边形的一切性质；(2)位似多边形上任意一对对应点连线(或延长线)都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于相似比．归纳结论：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，并且对应边平行(或在同一直线上)，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比．注意：同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形．三个条件缺一不可：①两图形相似；②每组对应点所在直线都经过同一点；③对应边互相平行(或在同一直线上)．例1．把右面的四边形缩小到原来的12(相似比是12或位似比是12)．解：(位似中心在图形外，已知)作法略.，四边形A′B′C′D′即为所求．你有其他画法吗？请互相交流．归纳结论：画位似图形的方法：1.确定位似中心；2.找对应点；3.连线；4.下结论．例2．如图，已知四边形ABCD 和点O ，请以O 为位似中心，作出四边形ABCD 的位似图形，把四边形ABCD 放大为原来的2倍．答：连接OA ，OB ，OC ，OD 延长OA 到A′使OA′＝2OA ，延长OB 到B′使OB′＝2OB ，延长OC 到C′使OC′＝2OC ，延长OD 到D′使OD′＝2OD ，顺次连接A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′就是所求作的四边形．三、位似变换中的坐标变化1．在平面直角坐标系中，一个多边形每一个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|．2.我们学习过的图形变换包括：平移、轴对称、旋转和位似．其中经过平移、轴对称、旋转变换前后的两个图形一定是全等的；而经过位似变换前后的两个图形是相似的．结论：[在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数(k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.]1．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△ABO 扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A 的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是( C )A ．(2，4)B ．(－1，－2)C ．(－2，－4)D ．(－2，－1)2．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A(－6，1)，B(－3，1)，C(－3，3)．若将它们的横纵坐标都乘以－3，得到新三角形△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1与△ABC 是位似关系，位似中心是坐标原点，位似比等于3．3．如图，已知△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)．(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是(2，－2)；(2)以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且相似比为2∶1，点C 2的坐标是(1，0)；1、（2017）.若ABC ∆的每条边长增加各自的10%得'''A B C ∆，则'B ∠的度数与其对应角B ∠的度数相比( ) A ．增加了10% B ．减少了10% C ． 增加了(110%)+ D ．没有改变2、（2016）如图6，△ABC 中，∠A =78°，AB=4，AC=6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是( C )变相考察相似判定：注意原三角形BC 边长未知，C 不一定平行 3、（2014）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）图6A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对答案：解直角三角形——1、方位2、三角函数应用命题规律：近五年规律基本上是隔一年考一次，2013、15、17年均考了一次，14、16未涉及。
河北省2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题10解直角三角形或相似的计算与实践精练试题20171212285
专题十解直角三角形或相似的计算与实践一、选择题1．(2017重庆中考A卷)若△ABC～△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( A)A．3∶2 B．3∶5C．9∶4 D．4∶92．(2017兰州中考)如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5 m，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15 m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3 m，小明身高EF＝1.6 m，则凉亭的高度AB约为( A)A．8.5 m B．9 m C．9.5 m D．10 m3．(2017滨州中考)如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为( A)A．2＋ 3 B．2 3C．3＋ 3 D．3 3(第3题图)(第4题图)4．(2017眉山中考)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则可求得井深为( B)A．1.25尺B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺5．(2017通辽中考)志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费( C)A．540元B．1 080元C．1 620元D．1 800元6．(2017绥化中考)如图，△A′B′C′是△ABC在以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是4∶9，则OB′∶OB 为( A )A ．2∶3B ．3∶2C ．4∶5D ．4∶9(第6题图)(第7题图)7．(2017湖州中考)如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝6，点P 是Rt △ABC 的重心，则点P 到AB 所在直线的距离等于( A )A ．1B . 2C .32D ．28．(2017四市中考)如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔60海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处，这时，B 处与灯塔P 的距离为( B )A ．603海里B ．602海里C ．303海里D ．302海里(第8题图)(第9题图)9．(2017长沙中考)如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合(H 不与端点C ，D 重合)，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，△CHG 的周长为n ，则nm的值为( B )A .22 B .12C .5－12D ．随H 点位置的变化而变化 二、填空题10．(2017宁波中考)如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB ＝500 m 则这名滑雪运动员的高度下降了__280__m ．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)(第10题图)(第11题图)11．(2017北京中考)如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．若S △CMN ＝1，则S四边形ABNM＝__3__．12．(2017广州中考)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝__17__．(第12题图)(第13题图)13．(2017无锡中考)在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于__3__．14．(2017贵港中考)如图，点P 在等边△ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin ∠PAP ′的值为__35__．三、解答题15．(2017宜宾中考)如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点B ，C 测得∠α＝30°，∠β＝45°，量得BC 长为100 m ．求河的宽度．(结果保留根号)解：过点A 作AD⊥BC 于点D ， ∵∠β＝45°，∠ADC ＝90°， ∴AD ＝DC. 设AD ＝DC ＝x m ，则tan 30°＝x x ＋100＝33，解得x ＝50(3＋1)． 答：河的宽度为50(3＋1)m .16．(2017眉山中考)如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于H ，交DC 于G.(1)求证：BG ＝DE ；(2)若点G 为CD 的中点，求HGGF的值．解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°. ∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF， ∴∠CBG ＝∠CDE.在△BCG 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA )， ∴BG ＝DE ；(2)设CG ＝1，∵G 为CD 的中点， ∴GD ＝CG ＝1.由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA )， ∴CG ＝CE ＝1，∴由勾股定理可知：DE ＝BG ＝ 5. ∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GFGD，∴GF ＝55. ∵AB ∥CG ， ∴△ABH∽△CGH， ∴AB CG ＝BH HG ＝21， ∴BH ＝253，GH ＝53，∴HG GF ＝53.17．(2017盐城中考) 【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B ＝90°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE ，EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________．【拓展应用】如图②，在△ABC 中，BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h ，矩形PQMN 的顶点P ，N 分别在边AB ，AC 上，顶点Q ，M 在边BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为________．(用含a ，h 的代数式表示)【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB ＝32，BC ＝40，AE ＝20，CD ＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B 为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB ＝50 cm ，BC ＝108 cm ，CD ＝60 cm ，且tan B ＝tan C ＝43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M ，N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积．解：【探索发现】12；【拓展应用】ah4；【灵活应用】如答图①，延长BA ，DE 交于点F ，延长BC ，ED 交于点G ，延长AE ，CD 交于点H ，取BF 中点I ，FG 的中点K.答图①由题意知四边形ABCH 是矩形， ∵AB ＝32，BC ＝40，AE ＝20，CD ＝16， ∴EH ＝20，DH ＝16， ∴AE ＝EH ，CD ＝DH. 在△AEF 和△HED 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠FAE＝∠DHE，AE ＝EH ，∠AEF ＝∠HED， ∴△AEF ≌△HED(ASA )， ∴AF ＝DH ＝16. 同理△CDG≌△HDE， ∴CG ＝HE ＝20， ∴BI ＝AB ＋AF 2＝24.∵BI ＝24＜32，∴中位线IK 的两端点在线段AB 和DE 上． 过点K 作KL⊥BC 于点L.由【探索发现】知矩形的最大面积为12S △FBG ＝12×12×BG·BF＝14×(40＋20)×(32＋16)＝720.答：该矩形的面积为720. 【实际应用】如答图②，延长BA ，CD 交于点E ，过点E 作EH⊥BC 于点H.答图②∵tan B ＝tan C ＝43，∴∠B ＝∠C， ∴EB ＝EC.∵BC ＝108 cm ，且EH⊥BC，∴BH ＝CH ＝12BC ＝54 cm .∵tan B ＝EH BH ＝43，∴EH ＝43BH ＝43×54＝72 cm ，在Rt △BHE 中，BE ＝EH 2＋BH 2＝90 cm ， ∵AB ＝50 cm ， ∴AE ＝40 cm ， ∴BE 2＝40＋502＝45 cm ， ∴BE 的中点Q 在线段AB 上． ∵CD ＝60 cm ， ∴ED ＝30 cm ，∴CE 的中点P 在线段CD 上，∴中位线PQ 的两端点在线段AB ，CD 上，由【拓展应用】知，矩形PQMN 的最大面积为14BC ·EH ＝14×108×72＝1 944 cm 2.。
河北省2018年中考数学复习专题2图形变式与拓展课件
解：(1)四边形EFGH是平行四边形，理由如下： 如图，连接AC， ∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥HG，EF＝HG. 故四边形EFGH是平行四边形． (2)①当AC＝BD时，四边形EFGH为菱形．理由如下： 由(1)知，四边形EFGH是平行四边形， ∴当AC＝BD时，FG＝HG.∴▱EFGH是菱形． ②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．
类型2 关于四边形的变式拓展问题
【例2】[2017·长春中考]【再现】如图1，在△ABC中，点D，E分别
是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE＝ (不需要证明)
【探究】如图2，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，
DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．
【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，
解：(1)在Rt△AHB中，∠ABC＝45°， ∴AH＝BH. 在△BHD和△AHC中，
∴△BHD≌△AHC(SAS)．∴BD＝AC. (2)①在Rt△AHC中， ∵tanC＝3，
设CH＝x，则BH＝AH＝3x. ∵BC＝4，∴3x＋x＝4.∴x＝1.∴AH＝3，CH＝1. 由旋转，知∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，FH＝ DH＝CH＝1，
∴△EHA∽△FHC.∴∠EAH＝∠C.∴tan∠EAH＝tanC＝3. 如图，过点H作HP⊥AE于点P， ∴HP＝3AP，AE＝2AP. 在Rt△AHP中，AP2＋HP2＝AH2， ∴AP2＋(3AP)2＝9.
②EF＝2GH.理由如下： 设AH与CG交于点Q， 由①知，△AEH和△FHC都为等腰三角形． 又∵旋转角为30°，∴∠FHD＝∠BHE＝30°.∴∠EHA＝∠FHC ＝120°.∴∠HCG＝∠GAH＝30°.∴△AGQ∽△CHQ.∴∠AGQ＝ ∠CHQ＝90°.
解直角三角形及其应用(解析版)2018年数学全国中考真题-2
2018年数学全国中考真题解直角三角形及其应用（试题二）解析版三、解答题1. （2018四川泸州，22题，8分）如图8，甲建筑物AD, 乙建筑物BC 的水平距离AB 为90m ，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A ，E, B 在同一水平线上)点测得D 点的仰角为30°，测得C 点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C 、D 间的距离(计算结果用根号表示，不取近似值).第22题图【思路分析】利用三角函数，将AB 的长度转化为AD 和BC 的长度，过点D 作BC 的垂线，进而构建直角三角形，利用勾股定理，求得CD 的长度【解题过程】因为乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，所以设AD=x ，CB=6x ，因为DA ⊥AB ，CB ⊥AB ，所以在Rt △DAE 中，tan ∠DAE=AE DA ，∠DAE=30°，所以AE=x 3，在Rt △CBE 中，tan ∠CEB=BE CB，∠CEB=60°，所以AE=x 32，因为AB=90m ，即x 3+x 32=90，x=103，过点D 作DF ⊥CB 于点F ，则四边形DABF 为矩形，所以DF=AB=90，CF=CB-BF=CB-AD=5x=350，在Rt △CDF 中，由勾股定理得，CD=22CF DF =3910第22题解图【知识点】三角函数的应用，勾股定理60°30°D CB60°30°D CBF夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D、E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝34．求灯杆AB的长度．【知识点】锐角三角函数；矩形的性质；30°角的直角三角形的性质3.（2018浙江衢州，第20题，8分）“五・一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道L步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图所示。
河北省2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题8三角形四边形中的相关证明及计算精讲试题20171207136
专题八 三角形、四边形中的相关证明及计算10此专题是初中几何的重要部分，在历年中考中均有命题，且难易度伸缩性年选择、填空、解答均会出解题策略1．熟练掌握定义、定理，规范推理过程，能够准确运用各种性质、判定定理．2．由已知提供的信息能够快速找到辅助线的做法是突破此类题难点的关键．,重难点突破)三角形的有关计算和证明【例1】(重庆中考B 卷)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD⊥AB 交BE 的延长线于点D.CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG 即可．【答案】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∴BG＝DG.∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.1．(2017湖南中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.解：(1)BH＝AC.证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC；(2)连接GC.则GC2－GE2＝EC2.∵F为BC中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.∴BG2－GE2＝EC2.∵∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，∴△BCE≌△BAE，∴EC＝EA，∴BG2－GE2＝EA2.【方法指导】熟练应用三角形全等的性质和判定方法，准确判断用哪种方法判定．四边形的有关计算和证明【例2】(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE 是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE ，BE ，进而求出AD ，DE ，即可求出菱形BFDE 的面积．【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C＝90°，AB ＝CD.由翻折得：BM ＝AB ，DN ＝DC ，∠A ＝∠EMB，∠C ＝∠DNF，∴BM ＝DN ，∠EMB ＝∠DNF＝90°，∴BN ＝DM ，∠EMD ＝∠FNB＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN，∴△EDM ≌△FBN(ASA )，∴ED ＝BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形； (2)∵四边形BFDE 是菱形，∴∠EBD ＝∠FBD.∵∠ABE ＝∠EBD，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝13×90°＝30°. 在Rt △ABE 中，∵AB ＝2，∴AE ＝233，BE ＝433， ∴ED ＝433，∴AD ＝2 3. ∴S 菱形BFDE ＝ED·AB＝433×2＝833.2．(襄阳中考)如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG.(1)求证：四边形EFDG 是菱形； (2)探究线段EG ，GF ，AF 之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．解：(1)由折叠的性质可得，∠AFD ＝∠AFE，FD ＝FE.∵EG ∥CD ，∴∠EGF ＝∠AFD，∴∠EGF ＝∠AFE，∴EG ＝EF ＝FD ，∴EG 綊FD ，∴四边形EFDG 是平行四边形．又∵FD＝FE ，∴▱EFDG 是菱形；(2)连接ED 交AF 于点H.∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝D H ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE＝90°－∠EFA，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF. 即EF 2＝FH·AF，∴EG 2＝12AF ·GF ； (3)∵AG＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)GF. ∵GF>0，∴GF ＝4，∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA＝90°，∠DAF ＋∠DFA＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810，∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝1255. 【方法指导】熟练掌握特殊四边形的性质和判定，注意三种变换在题中穿插考查．。
河北省中考数学总复习第二编专题突破篇专题7简单平面几何立体几何与几何直观精练试题
专题七简单平面几何、立体几何与几何直观一、选择题1．(达州中考)如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2 017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为( D)A．2 017πB．2 034πC．3 024πD．3 026π2．(金华中考)如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在A，B两处各安装了一个监控探头(走廊内所用探头的观测区为圆心角最大可取到180°的扇形)，图中的阴影部分是A处监控探头观测到的区域，要使整个艺术走廊都能被监控到，还需要安装一个监控探头，则安装的位置是( D) A．E处B．F处C．G处D．H处二、填空题3．(考试说明)如图，这是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是__①②④__．(把下图中正确的立体图形的序号都填在横线上)4．(改编)如图，圆柱形容器中，高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为__1.3__m．(容器厚度忽略不计)三、解答题5．(自贡中考)如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中(网格的边长为1)中，用直尺作出这个大正方形．解：如图所示：所画正方形即为所求．6．(河北中考)在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3 km和2 km，AB＝a km(a＞1)．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PB ＋BA(km)，其中BP⊥l于点P；图②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2＝PA＋PB(km)，其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P.观察计算：(1)在方案一中，d1＝__(a＋2)__km；(用含a的式子表示)(2)在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图③所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2＝__a2＋24__km；(用含a的式子表示)探索归纳(3)①当a＝4时，d1__＜__(选填“＞”“＝”或“＜”)d2；②当a＝6时，d1__＞__(选填“＞”“＝”或“＜”)d2；(4)请你参考方框中的方法指导，就a(当a＞1时)的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？方法指导当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：∵m2－n2＝(m＋n)(m－n)，m＋n＞0，∴(m2－n2)与(m－n)的符号相同．当m2－n2＞0时，m－n＞0，即m＞n；当m2－n2＝0时，m－n＝0，即m＝n；当m2－n2＜0时，m－n＜0，即m＜n.解：d 21－d 22＝(a ＋2)2－(a 2＋24)2＝4a －20， ①当4a －20＞0，即a ＞5时， d 21－d 22＞0，d 1＞d 2；②当4a －20＝0，即a ＝5时， d 21－d 22＝0，d 1＝d 2；③当4a －20＜0，即a ＜5时， d 21－d 22＜0，d 1＜d 2.综上所述，a ＞5，选方案二；a ＝5，两者均可；a ＜5，选方案一．7．(河北中考)一透明的敞口正方体容器ABCD —A ′B ′C ′D ′装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α，如图①所示)．【探究】如图①，液面刚好过棱CD ，并与棱BB′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示．解决问题：(1)CQ 与BE 的位置关系是________，BQ 的长是________dm ； (2)求液体的体积；(参考算法：直棱柱体积V 液＝底面积S △BCQ ×高AB ) (3)求α的度数．(注：sin 49°＝cos 41°＝34，tan 37°＝34)图①图②图③ 图④【拓展】在图①的基础上，以棱AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图③或图④是其正面示意图．若液面与棱C′C 或CB 交于点P ，设PC ＝x ，BQ ＝y.分别就图③和图④求y 与x 的函数关系式，并写出相应的α的范围．【延伸】在图④的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计)，得到图⑤，隔板高NM ＝1 dm ，BM ＝CM ，NM ⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α＝60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm 3.解：(1)CQ ∥BE；3；(2)V 液＝12×3×4×4＝24(dm 3)；(3)在Rt △BCQ 中，tan ∠BCQ ＝34，∴α＝∠BCQ＝37°.答图①【拓展】当容器向左旋转时，如题图③，0°≤α≤37°， ∵液体体积不变， ∴12(x ＋y)×4×4＝24， ∴y ＝－x ＋3，当容器向右旋转时，如题图④， 同理得y ＝124－x，当液面恰好到达容器口沿，即点Q 与点B′重合时，如答图①， 由BB′＝4，且12×PB×BB′×4＝24，得PB ＝3，∴由tan ∠PB ′B ＝34，得∠PB′B＝37°，∴α＝∠B′PB＝53°， 此时37°≤α≤53°.答图②【延伸】当α＝60°时，如答图②所示，设FN∥EB，GB ′∥EB ， 过点G 作GH⊥BB′于点H.在Rt △B ′GH 中，GH ＝MB ＝2，∠GB ′B ＝30°， ∴HB ′＝23，∴MG ＝BH ＝4－23＜MN ，此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt △NFM 和直角梯形MBB′G 为底面的直棱柱， ∵S △NFM ＋S 直角梯形MBB′G ＝12×33×1＋12(4－23＋4)×2＝8－1136，∴V 溢出＝24－4⎝⎛⎭⎪⎫8－1136＝2233－8＞4(dm 3)，∴溢出液体可以达到4 dm 3.。
2018年河北中考数学《4.4解直角三角形》复习课件和随堂演练最新版
知识点三 解直角三角形的应用
考点一 锐角三角函数的定义 (5年0考) 命题角度❶ 求锐角三角函数的值
(2017·宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每
个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中，错误
的是(
)
A．sin α ＝cos α C．sin β ＝cos β
B．tan C＝2 D．tan α ＝1
∵AB＝1.2，
∴AB＋EH≈1.2＋0.72＝1.92≈1.9.故选A.
解直角三角形应用问题时，首先分析实际问题然后找到 数学模型，通常有两种情况，一种需要构造形内高，第 二种需要构造形外高，借助已知条件建立等量关系．
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
【初中数学】河北省2018年中考数学总复习：精讲试题(91份) 人教版47
第二节 锐角三角函数及解直角三角形的应用河北五年中考真题及模拟解直角三角形的应用1．(2017保定中考模拟)如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为( D )A .33B .55C .233D .255(第1题图)(第2题图)2．(2017河北中考模拟)如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，若BD∶CD＝3∶2，则tan B ＝( D ) A .32 B .23 C .62 D .633．(2016河北中考模拟)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果cos B ＝12，那么sin A 的值是( B )A ．1B .12C .32 D .224．(2016定州中考模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12.则下列三角函数表示正确的是( A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝1255．(2015河北中考)已知：岛P 位于岛Q 的正西方，由岛P ，Q 分别测得船R 位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是( D ),A ) ,B ),C ) ,D )6．(2013河北中考)如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为( D )A ．40海里B ．60海里C ．70海里D ．80海里(第6题图)(第7题图)7．(2016保定十三中二模)如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA ＝4.某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB 的长)为．8张家口九中二模)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图①)，图②是从图①引伸出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索CD 与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC 为2 m ，两拉索底端距离AD 为20 m ，请求出立柱BH 的长．(结果精确到0.1 m ，3≈1.732)解：设DH ＝x m .∵∠CDH ＝60°，∠H ＝90°， ∴CH ＝DH·tan 60°＝3x ， ∴BH ＝BC ＋CH ＝2＋3x. ∵∠A ＝30°，∴AH ＝3BH ＝23＋3x. ∵AH ＝AD ＋D H ＝20＋x ， ∴23＋3x ＝20＋x ， 解得x ＝10－3，∴BH ＝2＋3(10－3)＝103－1≈16.3(m )． 答：立柱BH 的长约为16.3 m .9．(2016邯郸二十五中模拟)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm . 图①是一位同学的坐姿，把他的眼睛B ，肘关节C 和笔端A 的位置关系抽象成图②的△A BC. 已知BC ＝30 cm ，AC ＝22 cm ，∠ACB ＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由. (参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求． 理由：过点B 作BD⊥AC 于点D. ∵BC ＝30 cm ，∠ACB ＝53°，∴sin 53°＝BD BC ＝BD30≈0.8，解得：BD ＝24，cos 53°＝DCBC≈0.6，解得DC ＝18,∴AD ＝AC －DC ＝22－18＝4(cm )，∴AB ＝AD 2＋BD 2＝42＋242＝592<900， ∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．,中考考点清单)锐角三角函数的概念正弦 余弦 正切__特殊角的三角函数值三边关系两锐角关系边角关系解直角三角形的应用仰角、俯角(1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；(2)解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题．,中考重难点突破)锐角三角函数及特殊角三角函数值【例1】(攀枝花中考)在△ABC 中，如果∠A，∠B 满足|tan A －1|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，那么∠C＝________. 【解析】先根据非负性，得tan A ＝1，cos B ＝12，求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．∵在△ABC 中，tan A ＝1，cos B ＝12，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∴∠C ＝180°－∠A－∠B＝75°.【答案】75°1．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，则∠C 的度数是( D ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．(2017天津中考)cos 60°的值等于( D )A . 3B ．1C .22 D .123．(2017日照中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为( B ) A .513 B .1213 C .512 D .1254．(孝感中考)式子2cos 30°－tan 45°－（1－tan 60°）2的值是( B ) A ．23－2 B ．0 C ．2 3 D ．2解直角三角形的实际应用【例2】(钦州中考)如图，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED ＝60°，在离电线杆6 m 的B 处安置高为1.5 m 的测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，求拉线CE 的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【解析】由题意可先过点A 作AH⊥CD 于点H ，在Rt △ACH 中，可求出CH ，进而求出CD ＝CH ＋HD ＝CH ＋AB ，再在Rt △CED 中，求出CE 的长．【答案】解：过点A 作AH⊥CD，垂足为H ，由题意，可知四边形ABDH 为矩形，∠CAH ＝30°， ∴AB ＝DH ＝1.5，BD ＝AH ＝6.在Rt △ACH 中，tan ∠CAH ＝CHAH ，∴CH ＝AH·tan ∠CAH ＝6tan 30°＝6×33＝23(m )． ∵DH ＝1.5，∴CD ＝23＋1.5.在Rt △CDE 中，∠CED ＝60°，sin ∠CED ＝CDCE，∴CE ＝CDsin 60°＝4＋3≈5.7(m )，∴拉线CE 的长约为5.7 m .5．(2017兰州中考)如图，一个斜坡长130 m ，坡顶离水平地面的距离为50 m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( C )A .513B .1213C .512D .1312(第5题图)(第6题图)6．(2016石家庄十一中二模)如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm ，宽为30 cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是__210__cm .7．(2016保定十七中二模)如图，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读数恰为2 cm .若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为__2.7__cm .(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)8．(2016邢台中学二模)如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB ＝2 km .有一艘小船在点P 处，从A 处测得小船在北偏西60°的方向，从B 处测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P 到海岸线l 的距离；(2)小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到达点C 处．此时，从B 处测得小船在北偏西15°的方向，求点C 与点B 之间的距离．(上述2小题的结果都保留根号)解：(1)过点P 作PD⊥AB 于点D. 设PD ＝x km .在Rt △P BD 中，∠BDP ＝90°，∠PBD ＝90°－45°＝45°， ∴BD ＝PD ＝x.在Rt △PAD 中，∠ADP ＝90°， ∠PAD ＝90°－60°＝30°， ∴AD ＝3PD ＝3x.∵BD ＋AD ＝AB ，∴x ＋3x ＝2，x ＝3－1.∴点P 到海岸线l 的距离为(3－1)km ； (2)过点B 作BF⊥AC 于点F. 根据题意，得∠ABC＝105°.在Rt △ABF 中，∠AFB ＝90°，∠BAF ＝30°，∴BF ＝12AB ＝1.在△ABC 中，∠C ＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°.在Rt △BCF 中，∠BFC ＝90°，∠C ＝45°， ∴BC ＝2BF ＝2，∴点C 与点B 之间的距离为 2 km .。
河北省2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题6二次函数与综合应用精讲试题及答案
(1) 、 (2) 小问还是比较容易得分的，而最后一问很难做对．此专题就是针
对它设计的，在复习时要鼓励学生尽量做好第
(1) 、 (2) 小问甚至第 (3)
问．预测 2018 年可能还出现在压轴题的位置上 .
解题策略
此专题多以压轴题出现，特别最后一问很难，但第 分．
(1)(2) 两问 比较容易得分，学生应该尽力使这两问不丢
市场的日销售总量最早达到 75 t?
(3) 判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量
y 最大，并求出此时的最大值．
解： (1) 设 y 1＝ at 2 ＋bt ，把点 (30 ， 0) 和(20 ， 40) 代入得，
∴
y1＝－
1 t
2＋ 6t(0
≤t ≤30，
t
为整数
)．
5
900a ＋30b＝ 0， 解得
y2( t ) 与时间 t(t 为
整数，单位：天 ) 的关系如图②所示 .
(1) 求 y 1 与时间 t 的函数关系式及自变量 t 的取值范围，并直接写出 y2 与 t 的函数关系式及自变量 t 的取值
范围；
(2) 设国内、国外市场的日销售总量为 y t ，直接写出 y 与时间 t 的函数关系式，当销售第几天时，国内、外
29 元/ kg，此店铺每天获得的最大利润为多少元？
【解析】 (1) 根据题意可求出 y 与 x 的二次函数关系式； (2) 将 x＝ 24 代入 w＝－ 2x 2＋ 120x－ 1 600 中计算所
2
2
得利润； (3) 将 w＝ 150 代入 w＝－ 2x ＋ 120x－1 600 ＝ 150 中计算出定价； (4) 由二次函数表达式可知 w＝－ 2x ＋
年份 2017 2016 2015
2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题10解直角三角形或相似的计算与实践精讲试题
年份题型考点题号分值难易度2017选择题、解答题方位角、三角函数10、25(2)(3) 3＋7＝10容易题、中等题、较难题2016选择题相似三角形判定15 2 中等题2015选择题方位角9 3 容易题命题规律纵观河北历年中考，每年都有命题，而且多与其他知识综合考查，近几年考查稍微弱一些，但感觉以后考查会侧重的，并且此专题难题较多，出题角度很广，2017年已经体现了，复习时要重视．预测2018年会延续2017年，分值和题量不变.解题策略首先夯实基础，其次加强与其他知识的综合应用，今年中考单独考查相似或三角函数的时候很少，多数把它俩作为解题工具，因此要加强综合训练．,重难点突破)锐角三角函数的实际应用【例1】(贵阳中考)在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE的高度．如图，已知塔基AB的高为4 m，他在C处测得塔基顶端B的仰角为30°，然后沿AC方向走5 m到达D点，又测得塔顶E的仰角为50°.(人的身高忽略不计)(1)求A，C的距离；(结果保留根号)(2)求塔高AE.(结果保留整数)【解析】(1)在Rt△ABC中，利用锐角三角函数关系可得AC＝ABtan∠ACB，结合已知求出AC的距离；(2)在Rt △ADE中，易得AE＝AD·tan∠A DE，结合已知求解，根据题目要求取近似值．【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝4 m.∵tan∠ACB＝ABAC，∴AC＝ABtan∠ACB＝4tan30°＝43(m)．答：A，C的距离为4 3 m.(2)在Rt△ADE中，∠ADE＝50°，AD＝(5＋43)m.∵tan∠A DE＝AEAD，∴AE＝AD·tan∠ADE＝(5＋43)×tan50°≈14(m)．答：塔高AE约为14 m.1．(张家界中考)如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20 m到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC＝12 m，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)解：由题意得∠DBE＝∠BEC－∠BDE＝60°－30°＝30°＝∠BDE，∴BE＝DE＝20.在Rt △BEC 中，BC ＝BE·sin 60°＝20×32＝103(m )，∴AB ＝BC －AC ＝103－12≈5.3(m )． 答：旗杆AB 的高度是5.3 m .【方法指导】 解决直角三角形的实际应用问题，最重要的是建立数学模型，将其转化为数学问题，其次是牢记特殊角的三角函数值及边角关系．相似的综合【例2】(2017株洲中考)如图所示，正方形ABCD 的顶点A 在等腰直角三角形DEF 的斜边EF 上，EF 与BC 相交于点G ，连接CF.(1)求证：△DAE≌△DCF；(2)求证：△ABG∽△CFG.【解析】(1)由正方形ABCD 与等腰直角三角形DEF ，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS 即可得证；(2)由第(1)问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG＝∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角对应角相等的三角形相似即可得证．【答案】证明：(1)∵正方形ABCD ，等腰直角三角形EDF ，∴∠ADC ＝∠EDF＝90°，AD ＝CD ，DE ＝DF ，∴∠ADE ＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，∴∠ADE ＝∠CDF，在△ADE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF DA ＝DC ，，∴△ADE ≌△CDF ；(2)延长BA ，交ED 于点M.∵△ADE ≌△CDF ，∴∠EAD ＝∠FCD，即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF.∵∠MAD ＝∠BCD＝90°，∴∠EAM ＝∠BCF.∵∠EAM ＝∠BAG，∴∠BAG ＝∠BCF.∵∠AGB ＝∠CGF，∴△ABG ∽△CFG.2．(2017常德中考)如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 在BC 上，连接AD ，作BF⊥AD 分别交AD 于E ，交AC 于F.(1)如图①，若BD ＝BA ，求证：△ABE≌△DBE；(2)如图②，若BD ＝4DC ，取AB 的中点G ，连接CG 交AD 于M ，求证：①GM＝2MC ；②AG 2＝AF·AC.解：(1)在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BD ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE(HL )； (2)①过G 作GH∥AD 交BC 于H.∵G 是AB 中点且GH∥AD，∴H 是BD 中点，∴BH ＝DH.∵BD ＝4DC ，设DC ＝1，BD ＝4，∴BH ＝DH ＝2；∵GH ∥AD ，∴GM MC ＝HD DC ＝21，∴GM ＝2MC ；②过C 作CN⊥AC 交AD 的延长线于N ，则CN∥AG.∴△AGM ∽△NCM ，∴AG NC ＝GM MC. 由①知GM ＝2MC ，∴2NC ＝AG.∵∠BAC ＝∠AEB＝90°，∴∠ABF ＝∠C AN ＝90°－∠BAE，∴△ACN ∽△BAF ，∴AF CN ＝AB AC. ∵AB ＝2AG ，∴AF CN ＝2AG AC， ∴2CN ·AG ＝AF·AC，∴AG 2＝AF·AC.【方法指导】首先掌握相似的性质和判定，再结合图形选择正确的判断方法，辅助线的添加是解题关键，添辅助线有一个重要原则是“构造相似三角形”．教后反思 __________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。
2018年河北中考数学总复习之相似形专题(无答案)
河北中考复习之相似形1、已知：如图7，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD =AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F 。
（1）求证：△ABC ∽△FCD ； （2）若S △FCD =5,BC =10，求DE 的长。
2、如图1，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米．若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为 【 】 A ．0.36π平方米 B ．0.81π平方米 C ．2π平方米 D ．3.24π平方米3、如图8，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D ，E 分别在 AB 、AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ） A 、 B 、2 C 、3 D 、45、如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点0和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O 为位似中心，在网络图中作△A′B′C′，使△AA′B′C′和△ABC 位似，且位似比为 1：2；（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．（结果保留根号）图8EA B D M C F 图图17、如图，四边形ABCD 是正方形，点E ，K 分别在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE=BK=AG ． （1）求证：①DE=DG； ②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE ，DG 为边作出正方形DEFG （要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）； （3）连接（2）中的KF ，猜想并写出四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值．8、如图131-，点E 是线段BC 的中点，分别以B C ，为直角顶点的EAB EDC △和△均是等腰直角三角形，且在BC 的同侧．（1）AE ED 和的数量关系为___________，AE ED 和的位置关系为___________；（2）在图131-中，以点E 为位似中心，作EGF △与EAB △位似，点H 是BC 所在直线上的一点，连接GH HD ，，分别得到了图132-和图133-；①在图132-中，点F 在BE 上，EGF EAB △与△的相似比是1:2，H 是EC 的中点.求证：.GH HD GH HD =⊥，②在图133-中，点F 在BE 的延长线上，EGF EAB △与△的相似比是k :1，若2BC =，请直接写出CH 的长为多少时，恰好使得GH HD GH HD =⊥且（用含k 的代数式表示）．9、如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P 从点A 出发，沿折线AD-DC-CB 以每秒1个单位长的速度运动到点B 停止．设运动时间为t 秒，y=S △EPF ，则y 与t 的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．。
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面积与△ ABC 的面积比是 4∶9，则 OB′∶ OB 为( A )
A． 2∶3 B． 3∶ 2
C． 4∶5 D． 4∶9
( 第 6 题图 )
( 第 7 题图 )
7． (2017 湖州中考 ) 如图，已知在 Rt△ABC中，∠ C＝ 90°， AC＝ BC，AB＝ 6，点 P 是 Rt△ ABC的重心，则点 P 到 AB所在直线的距离等于 ( A )
(1) 求证： BG＝ DE； HG
(2) 若点 G为 CD的中点，求 GF的值．
解： (1) ∵BF⊥DE，∴∠ GFD＝ 90°. ∵∠ BCG＝ 90°，∠ BGC＝∠ DGF， ∴∠ CBG＝∠ CDE.
∠CBG＝∠ CDE， 在△ BCG与△ DCE中， BC＝ CD，
∠ BCG＝∠ DCE， ∴△ BCG≌△ DCE(ASA) ， ∴ BG＝DE； (2) 设 CG＝ 1，∵ G为 CD的中点， ∴ GD＝CG＝ 1. 由 (1) 可知：△ BCG≌△ DCE( ASA) ， ∴ CG＝CE＝ 1， ∴由勾股定理可知： DE＝BG＝ 5.
n 则 m的值为 ( B )
2
1
A. 2
B. 2
5－ 1
C. 2
D．随 H 点位置的变化而变化
二、填空题 10． (2017 宁波中考 ) 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 34°的斜坡，从 A 滑行至 B，已知 AB＝ 500 m则这 名滑雪运动员的高度下降了 __280__m． ( 参考数据： sin 34°≈ 0.56 ， cos34°≈ 0.83 ， tan 34°≈ 0.67)
( 第 3 题图 )
( 第 4 题图 )
4． (2017 眉山中考 ) “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几
何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，
它的题意可以由图获得，则可求得井深为 ( B )
A． 1.25 尺 B． 57.5 尺
C． 6.25 尺 D． 56.5 尺
专题十 解直角三角形或相似的计算与实践
一、选择题 1． (2017 重庆中考 A 卷 ) 若△ ABC～△ DEF，相似比为 3∶2，则对应高的比为 ( A ) A． 3∶2 B． 3∶ 5 C． 9∶4 D． 4∶ 9 2． (2017 兰州中考 ) 如图，小明为了测量一凉亭的高度 AB(顶端 A 到水平地面 BD的距离 ) ，在凉亭的旁边放置 一个与凉亭台阶 BC 等高的台阶 DE(DE＝BC＝ 0.5 m， A， B， C 三点共线 ) ，把一面镜子水平 放置在平台上的点 G 处，测得 CG＝ 15 m，然后沿直线 CG后退到点 E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端 A，测得 EG＝ 3 m，小明身 高 EF＝ 1.6 m，则凉亭的高度 AB约为 ( A )
( 第 10 题图 )
( 第 11 题图 ) 11． (2017 北京中考 ) 如图，在△ ABC 中， M， N分别为 AC， BC的中点．若 S△ ＝ CMN 1，则 S 四边形 ＝ ABNM __3__．
15 12． (2017 广州中考 ) 如图， Rt△ ABC中，∠ C＝90°， BC＝ 15， tan A＝ 8 ，则 AB＝ __17__．
( 第 8 题图 )
( 第 9 题图 )
9． (2017 长沙中考 ) 如图，将正方形 ABCD折叠，使顶点 A 与 CD边上的一点 H 重合 (H 不与端点 C， D 重合 ) ， 折痕交 AD 于点 E，交 BC于点 F，边 AB折叠后与边 BC交于点 G，设正方形 ABCD的周长为 m，△ CHG的周长为 n，
3 旋转 60°得到 P′C，连接 AP′，则 sin ∠ PAP′的值为 __ __．
5
三、解答题
15． (2017 宜宾中考 ) 如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点
A，又在河的另一岸边取
两点 B， C测得∠ α＝ 30°，∠ β ＝ 45°，量得 BC长为 100 m．求河的宽度． ( 结果保留根号 )
5． (2017 通辽中考 ) 志远要在报纸上刊登广告，一块 10 cm× 5 cm 的长方形版面要付广告费 180 元，他要把
该版面的边长都扩大为原来的 3 倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费
( C)
A． 540 元 B．1 080 元
C． 1 620 元 D． 1 800 元
6． (2017 绥化中考 ) 如图，△ A′ B′ C′是△ ABC 在以点 O为位似中心经过位似变换得到的，若△ A′B′C′的
( 第 12 题图 )
( 第 13 题图 )
13． (2017 无锡中考 ) 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形， 处， AB与 CD相交于 O，则 tan ∠ BOD的值等于 __3__．
A， B， C， D 都在格点
14． (2017 贵港中考 ) 如图，点 P 在等边△ ABC 的内部，且 PC＝ 6，PA＝ 8， PB＝ 10，将线段 PC绕点 C 顺时针
解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， ∵∠ β＝ 45°，∠ ADC＝ 90°， ∴ AD＝DC.
设 AD＝ DC＝ x m，
x
3
则 tan 30°＝ x＋ 100＝ 3 ，
解得 x＝ 50( 3＋ 1) ． 答：河的宽度为 50( 3＋ 1) m.
16． (2017 眉山中考 ) 如图，点 E 是正方形 ABCD的边 BC延长线上一点，连接 DE，过顶点 B 作 BF⊥DE，垂足 为 F， BF 分别交 AC于 H，交 DC于 G.
A． 8.5 m B． 9 m C． 9.5 m D． 10 m 3． (2017 滨州中考 ) 如图，在△ ABC 中， AC⊥ BC，∠ ABC＝ 30°，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 tan ∠ DAC的值为 ( A ) A． 2＋ 3 B． 2 3 C． 3＋ 3 D． 3 3
BD＝BA，则
3
A． 1
B.
2
C. 2
D． 2
8． (2017 四市中考 ) 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 45°方向，距离灯塔 60 海里的 A 处，它沿正北方向 航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的北偏东 30°方向上的 B 处，这时， B 处与灯塔 P 的距离为 ( B )
A． 60 3海里 B． 60 2海里 C． 30 3海里 D． 30 2海里