湖南省长沙市高考数学模拟试卷(二模)试题 理(含解析)新人教A版

科目：数学（理科）说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.【试卷综析】本试题是一份高三模拟测试的好题，涉及范围广，包括复数、正态分布、集合、命题、充要条件、直线与椭圆、三角函数解析式、线性规划、平面向量、异面直线、排列组合、导数、函数单调性、不等式、参数范围、几何证明、不等式选讲、参数方程与极坐标、双曲线、离心率、程序框图、数列、新定义集合等高考核心考点，又涉及了三角函数、解三角形、立体几何、概率统计、函数应用、解析几何、导数与数列结合应用等必考解答题型。

本题难易程度设计合理，梯度分明；既有考查基础知识的经典题目，又有考查能力的创新题目；从16，22等题能看到命题者在创新方面的努力，从17,18，19三题看出考基础，考规范；从20题可以看出考数学应用；从,21两题可以看出，考运算。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知复数z 满足11zi z+=-（i 为虚数单位），则z 的值为 A ．i B ．－iC ．1D ．－1【知识点】复数运算 【答案解析】A()111111z i i z i z z i z i +-=⇒+=-⇒==-+故选A 【思路点拨】转化，分母实数化2．设随机变量X ～N (2，32)，若P (X ≤c )＝P (X >c )，则c 等于A ．0B ．1C ．2D ．3 【知识点】正态分布【答案解析】C 显然c=2 【思路点拨】正确理解图像 3．二项式61()x x-的展开式中常数项为 A ．－15 B ．15 C ．－20 D ．20【知识点】二项式定理 【答案解析】 B()63362166131,3=022rr rr r r r T x xr r x CC ---+⎛⎫=-=--⇒= ⎪⎝⎭令故常数项为()622361=15T C -=-，选B【思路点拨】记住通项公式是关键4．设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x AB ∈， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则q ⌝是p ⌝的A ．充分且必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分且非必要条件【知识点】并集，交集，补集，命题，充要条件 【答案解析】B 显然:;:.p x AB q x A B p q ∈∈∴⇒则由逆否命题与原命题等价，所以q p ⌝⇒⌝故选B 充分非必要条件【思路点拨】逆否命题与原命题等价最好回答5．已知集合}{22(,)1,(,)()94x y M x y N x y y k x b ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，若k R ∃∈，使得M N =∅成立，则实数b 的取值范围是A ．[]3,3-B ．(,3)(3,)-∞-+∞ C ．[]2,2-D ．(,2)(2,)-∞-+∞【知识点】椭圆，直线系，直线与椭圆关系 【答案解析】B显然(),0b 在椭圆外，即3b <-或3b >符合题意，故选B 【思路点拨】直线显然过点(),0b ，只有该点在椭圆外时才合题意6．函数sin()(0)y x ωϕϕ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ,B 是图象与x轴的交点，若5cos 5APB ∠=-，则ω的值为 A ．4π B ．3πC ．2πD ．π【知识点】由图像得到解析式 【答案解析】 C5P PC x cos 25APB APB ⊥∠=-∠=-过点作轴，则由得tan ()3tan tan 44tan 2431tan tan 144T T APC CPBAPB APC CPB T T TAPC CPB +∠+∠∠=∠+∠===-⇒=-∠∠-⨯tan 所以22T ππω== 故选C 【思路点拨】本题是个创新题，通过图像蕴含方程式，求出周期，再求ω的值7．设变量x ，y 满足约束条件222y xx y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则z ＝x －3y 的最大值为A ．4-B ．4C ．3D ．3-【知识点】线性规划 【答案解析】 B画出可行域，针对目标函数，研究最大值，知道2,2x y =-=-时，有最大值。

【思路点拨】本题是个常规题目，高考考线性规划可在选择题考，也可以在填空题考，创新天地很大，需要留意。

8．如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 相交于F ，则FD DE ⋅ 的值是A ．32B ．3C ．32- D ．3-【知识点】平面向量【答案解析】 C 把该图形放在平面直角坐标系中，易知()()()()333,,3,3,0,32,21,1,0,223310122E D A F FD DE FD DE ⎛⎫⎛⎫⇒⇒==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∴⋅=⨯+⨯-=-⎪⎝⎭【思路点拨】向量问题坐标化最简单9．若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有A ．12对B ．18对C ．24 对D ．30对 【知识点】黄金异面直线对 【答案解析】C以正方体中任一条连接两顶点的直线为例，和它成“黄金异面直线对”的有4对，因此 所有的“黄金异面直线对”共有412242⨯=对 【思路点拨】特殊分析，再拓广到一般，注意重复，要除以2.10．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(0,1)内任取两个实数p ,q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为A ．[15,)+∞B ．](,15-∞C ．](12,30D ．](12,15-【知识点】导数，单调性 【答案解析】A由已知()()()(1)(1)(1)(1)11'111f p f q f p f q f x p q p q +-++-+>⇔>⇔>-+-+在()1,2x ∈上恒成立而2()ln(1)'()21af x a x x f x x x =+-⇒=-+ 所以211ax x ->+即2231a x x >++在()1,2x ∈上恒成立，15a ≥ 【思路点拨】由形想式，联想单调性和斜率挂钩，从而转在导数上，分离变量，恒成立应用。

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）。

FDAB C11．（选修4－1：几何证明选讲）如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ,C 两点，3,1PA PB ==，则PAB ∠=_________.【知识点】几何知识，切线，割线，及切割线定理 【答案解析】030连接AO ，PA O A PAO=∴∠0为圆切线，为切点，90()22222AP +AO =PO 3+r =11r r ∴+⇒=，即AP=3PO=2AO=1PAO=∠0由，，及90可得POA=AB=1∠∴060，3+1-13cos PAB==223∠ PAB=∴∠030【思路点拨】充分利用几何知识来求解12．（选修4－3：不等式证明）不等式43x x a -+-≤有实数解的充要条件是_____. 【知识点】含绝对值的不等式【答案解析】1a ≥()min4343=1a x x a x x ≥-+-≥-+-⇔有解【思路点拨】分清有解与恒成立的区别 13．（选修4－4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3()3x t t y t=-=⎧⎪⎨⎪⎩为参数. 以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，则圆心C 到直线l 距离为______. 【知识点】参数方程，极坐标，点到直线距离 【答案解析】532直线l 的的普通方程为()333330y x x y =+⇒-+=圆C 的普通方程为()2221x y -+=圆心C 到直线l 距离为532d =【思路点拨】直线与圆都化归为普通方程，再运算距离。

（二）必做题（14~16题）14．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b =>>-与圆x 2+y 2=a 2+b 2在第一象限的交点，其中F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点，且122PF PF =，则双曲线的离心率为______. 【知识点】双曲线，离心率运算 【答案解析】5 由题意知121212224,2PF PF PF PF PF PF aa a =⎧-=⎪⇒==⎨⎪⎩ 由圆的知识221212252F F PF PF a c =+==5ce a∴== 【思路点拨】双曲线第一定义，直径所对圆周角是直角，离心率定义 15．已知数列{}n a 中，11121n n a a a n +==+-,，若利用如图所示的程 序框图进行运算，则输出n 的值为 . 【知识点】数列，程序框图 【答案解析】11 读透题意即由()()1111212212n n n n n n n n a a a n a a n a n a n n ++==+-⇒++==++=⇒⇒-,()()()()12122122222212211220142n n n n S n n n n ∴=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++----+=-->11n ∴≥【思路点拨】弄清该程序框图解决问题的实质。

16．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足112a b c+=，则称a 、 b 、c 是调和的；若满足a + c = 2b ，则称a 、b 、c 是等差的.若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”.若集合{}2014,M x x x Z =∈≤，集合{},,P a b c M =⊆.则（1）“好集” P 中的元素最大值为 ； （2）“好集” P 的个数为 . 【知识点】新定义，调和，等差，好集 【答案解析】（1）2012；（2）1006由{}11222,,442a b c a b P b b b c b a c b +=⎧=-⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨=⎩⎪+=⎩因为,4b M b M ∈∈，可得4b 的最大值为2012，即P 中元素最大值为2012.“好集” P 的个数为2012210064⨯=个 【思路点拨】理解透新名词再加以运用。

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数22()(sin cos )23sin f x x x x =++.（Ⅰ）求函数f (x )的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足2cos 2a C c b +=，求f (B )的取值范围．【知识点】三角函数，解三角形 【答案解析】（Ⅰ）()22()(sin cos )23sin 1sin 231cos2f x x x x x x =++=++-sin 23cos 2132sin 2133x x x π⎛⎫=-++=-++ ⎪⎝⎭22T ππ== 6分 （Ⅱ）由2cos 2a C c b +=可得222222a b c a c b ab +-⨯+=，即222b c a bc +-= 2221cos ,223b c a A A bc π+-∴==∴=，23B C π+=所以203B π<<233B πππ⇒-<-< 因为()2sin 2133f B B π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以3sin 2,132B π⎛⎤⎛⎫-∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦()31,232f B ⎛⎤∈++ ⎥ ⎝⎦12分 【思路点拨】三角变换，余弦定理，角的范围的介入，函数值范围的确定都要小心。