两个重要极限
两个重要极限-重要极限
两个重要极限-重要极限
1、无穷小
如果f(x)在x→x0时的极限为0，则称f(x)为x→x0时的无穷小。在x趋于x0的同一变化过程中，f(x)有极限的充要条件为f(x)=A+α（α为无穷小）。
2、无穷大
如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大，反之亦然。
3、极限运算法则
（1）有限个无穷小的和（或乘积）也是无穷小。
（2）有界函数和无穷小的乘积是无穷小。
（3）两个函数的和（或乘积）的极限等于两个函数的极限的和（或乘积），当然，比值也如此，只是需要额外要求分母上的极限不能为0。
（3‘）函数的n次幂的极限等于函数的极限的n次幂（n为正整数）。
（4）如果函数A(x)≥B(x)，则A的极限也大于等于B的极限。
4、极限存在准则
（1）设数列X处于两个数列之间，即Yn≤Xn≤Zn，如果数列Y 和Z都有极限为a，则X也有极限为a。
（1’）设函数f(x)，在x0的某去心邻域内有g(x)≤f(x)≤h(x)，如果g和h都有极限为A，则f(x)也有极限为A。
上述两条准则统称为夹逼准则。
（2）单调有界数列必有极限。（3）柯西极限存在准则
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限
第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总
有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局
部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。其表述为：如果对于一
个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，
使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意
给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不
超过一些常数M。这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。对于一个数列 {a_n}，如果
对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有
极限存在准则 两个重要极限
科学研究需要不断突破知识和技术的边界，发 现未知领域和新的发现。
总结和结论
极限存在准则以及两个重要极限的认识，可以帮助我们更好地理解和应对生活中的极端情况和挑战。通过超越 这些极限，我们能够实现更高的成就和创造。
极限存在准则：两个重要 极限
在极限存在的世界里，我们要探讨两个重要极限：极限存在准则以及第一个 和第二个重要极限。让我们一同揭开生活中最极致的部分。
极限存在准则
1
什么是极限存在准则？
极限存在准则是指在一定条件下，存在着极限情况的规律和约束。它定义了事物 的极限状态和行为。
2
为什么极限存在准则重要？
3 追求卓越
超越重要极限是追求卓越 的关键一步，让我们不断 学习、成长和创新。
实际应用
运动训练
运动训练中，了解和超越个人身体极限是提高 体能和成绩的关键。
领导能力
领导者需要超越自身能力和局限，带领团队不 断创新和突破。
创业企业
创业企业需要超越市场的竞争和资源限制，寻 找新的商业机会和创新解决方案。
第二个重要极限：勇气极限
勇气极限是指我们所能承受的恐惧和心理压力的极 限。了解并逐步超越这个极限，可以使我们在挑战 中变得无所畏惧。
重要性说明
1 激发潜力
了解重要极限能激发我们 内在的潜力，鼓励我们尝 试新事物并突破自身的局 限。
两个重要极限
r
解 由于年利率为r，故月利率为12 ， 从而有
第一个月末资金变为：
Q
Q
r 12
Q
1
r 12
元
；
第二个月末资金变为：
Q
1
r 12
+Q
1
r 12
r 12
Q
1
r 12
2
元
；
第三个月末资金变为：
Q
1
r 12
3
元
；
第一年末资金变为：
Q
1
r 12
12
元
；
于是第x年末资金变为：
Q
1
r 12
12
x0 x
x0 x
x0 x cosx
例1.2 求 lim sin3。x x0 x
解 lim sin3x lim 3sin3x 令3x t 3lim sint 3 ，
x0 x
x0 3x
t0 t
3x相当于推广中的 x 。
例1.3 求
lim
x0
1
cosx。 x2
解
1 cosx
lim
x0
x2
2sin 2
x0 x
t0 sint
两个重要极限
1.2 第二个重要极限：
lim
x
1
1 x
2-3节两个重要极限
重要极限(I)：lim sin x 1 ， lim sin (x) 1 ((x) 0 )。
x0 x
( x)
例例22． 求lim sin kx (k0)。 x0 x
解解解：：：lilmimssininkkxxkklliimm ssiinn kx
sin 5 x
lim 5 sin5x
3x
x0 tan3xx x0 3 5x tan3x
5 lim sin5x lim 3x 5 3 x0 5x x0 tan3x 3
重要极限(I)： lim sin x 1 ， lim sin (x) 1 ((x) 0 )。
1
tt
e
lim
1
(
x)
1 (x
)
e
t 0
( x)0
其中e是一个常数，其近似值为：
e2.7182818284590。
极限的产生背景：
复利息的计算：设本金为A0，利率为r，期数为t。 如果每期结算一次，则本利和A为 A= A0(1+r)t 。
如果每期结算m次，则t期本利和为
lim 1 1 ( x) e
( x) ( x)
重要极限(II)：
1
两个重要极限公式
两个重要极限公式
两个重要极限公式：极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。
1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。
特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。
2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x →∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x →0 时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。
极限的求法
连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
利用无穷大与无穷小的关系求极限。
利用无穷小的性质求极限。
利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。
利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。
两个重要极限
1
k
) k , 其中 代表相同的变量或表达 式。
1 例4：求 lim(1 ) 2 x x x 1 2x 1 x 2 解： (1 ) lim[(1 ) ] lim x x x x
e2
例5：求 lim(1 x)
x 0 1 x x 0
1 x 1 - x -1
-1 解： (1 x) lim[(1 (- x)) ] e lim
x 0
1 e
2 2x 例6：求 lim(1 ) x x x 2 2x 2 2 4 解： (1 ) lim[(1 ) ] lim x x x x
e4
例7：求 lim(1 x)
x 0
3 2 x 3 x
解： (1 x) lim
x 0 x 0
3 பைடு நூலகம்2 x
lim(1 x) (1 x) 2
x 0 x 0
lim[(1 x) ] lim(1 x) 2 e3 1 e3
1 x 3
例2：求 lim
sin x x - x
解： lim
sin x sin ( - x) lim 1 x - x - x 0 -x
sin ( x - 3) 例3：求 lim 2 x 3 x - 7 x 12
1 1 sin ( x - 3) 1 1 lim 1 解：原式 lim x 3 x 4 x 3 ( x - 3) 3 4 x-4
第六节两个重要极限
x
x
lim(1 1 )x e
x
x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
若在极限 lim(1 1 )x e 中，令 t 1
x
x
x
得极限的另一种形式
1
lim(1 t)t e
t0
这种数学模型在实际中非常有用，例如 “银行计算复利问题”。设本金为 A0，利率为 r ， 期数为 t ，如果每期结算一次，则本利和 A为
1 )n n
1
1
1 2!
1 3!
1 n!
11
1
1 1 2 22 2n1
1
1 1
1
2n 1
2
3
1 2n1
3
根据准则 2 可知数列 xn有极限。
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
记此极限为 e ，即
lim(1 1 )n e
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n 1)
n! n n
n
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
xn1
(1
1 n
)n1 1
1 1 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2 ) 2! n 1 3! n 1 n 1
极限存在准则和两个重要极限
在数学中，极限存在准则是一种用于判断函数或序列是否具有极限的方法。 它包括重要的零点极限和无穷大极限。本文将介绍这些概念以及它们的性质 和应用。
极限存在准则的定义
数学定义
极限存在准则是一种判断函数或序列是否具有极限 的方法。
关键特点
根据定义，函数或序列只有满足特定条件时才能具 有极限。
一个函数或序列只能有一个零 点极限。
性质2：发散与收敛
零点极限可以是收敛的（当函 数或序列逼近某个特定值时） 或发散的（当函数或序列没有 趋于任何值时）。
无穷大极限的概念和性质
数学定义
无穷大极限是函数或序列在无 穷远处的行为。它用于描述函 数或序列的整体趋势。
性质1：无界性
无穷大极限表示函数或序列没 有上界或下界。
应用举例：函数的连续性和导数的定义
函数的连续性
导数的定义
通过极限存在准则，我们可以定义和判断函数的连续性。 极限存在准则还用于定义和计算函数的导数。
总结和应用建议
极限存在准则是数学中非常重要的概念，它被广泛应用于各个领域。通过了解和掌握这些准则，我们可以更好地理 解和分析函数和序列的行为。建议在学习数学和相关科学领域时深入研究和应用这些准则。
性质2：类型分类
无穷大极限可以是正无穷大、 负无穷大，或者不存在。
极限存在准则的三种形式及证明
1.4两个重要极限
第二个重要 一.二.第二个重要 极限 极限的四则运算法则
2 x + 3 x +1 ) 例9 求 lim ( x →∞ 2 x + 1
．
2x + 3 2 = 1+ 法一因为 解法一因为 ，令 2x + 1 2x + 1 u −1 u u = 2 x + 1 ，则 x = ，当 x → ∞ 时， → ∞ ， 2 2 x + 3 x +1 2 x +1 于是有 lim ( ) = lim (1 + ) x →∞ 2 x + 1 x →∞ 2x + 1
§1.4两个重要 极限 两个重要 §1.4两个重要 极限 两个重要
一. 极限存在的准则 二. 两个重要极限 三. 无穷小量等价代换
ESC
一.极限存在的准则 极限存在的准则
准则Ⅰ 准则Ⅰ 如果函数 f (x) ，g (x) ，h(x) 在同一变化过程中满足 g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) ， 且 lim g ( x) = lim h( x) = A ，那么 lim f ( x) 存 在且等于 A ． 准则Ⅱ 单调有界， 准则Ⅱ 如果数列 {xn } 单调有界，则 一定存在． lim xn 一定存在．
三.无穷小量的等价代换
2.等价无穷小的传递和代换的性质 等价无穷小的传递和代换的性质 设在同一变化过程中 （1）若 ） （2）若 ）
两个重要极限
注1 注意变量的趋向是非常重要的.
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×
1 x ) e 四 证明 lim(1 x x
以后还常用到 e 的另一种极限形式：
lim 1 e.
0
1
问题: 为什么在推导过程中不直接利用不等式
1 1n1
n
1 1 x
x
1 1 ,(n xn1)? n
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x]
1 [ x ] 1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ] 1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) e, x x [ x] 1 [ x] 1
这即证明了当 x 当x
sin x x tan x
2
(x 0 )时 , sin x x tan x
2
时 , sin x 1<
2
x.
证毕 !
(2)
证明 当 0 x
2 sin x 1, sin x x tan x , 即 cos x
极限的两个重要极限公式
极限的两个重要极限公式
极限是数学中的一个重要概念，它描述了函数在无穷接近某一点时的趋势。在微积分中，极限是一个基础概念，它被广泛应用于求导、积分和微分方程等数学领域。在本文中，我们将介绍两个极限公式，它们是极限理论中的重要公式。
一、夹逼定理
夹逼定理是极限理论中的一个重要定理，它描述了当一个函数在某一点的两侧趋近于一个相同的极限时，该函数在该点的极限也将趋近于该极限。更具体地说，夹逼定理可以用以下公式表示：设函数f(x)、g(x)和h(x)在区间[a, b]上有定义，且对于该区间内的任意x，都有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。如果lim g(x) = lim h(x) = L，那么lim f(x) = L。
这个定理的证明比较简单，我们可以通过使用不等式来证明。具体来说，我们可以使用以下不等式：
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
由于lim g(x) = lim h(x) = L，所以当x趋近于某一点时，g(x)和h(x)都会趋近于L。因此，我们可以把上述不等式两侧同时取极限，得到：
lim g(x) ≤ lim f(x) ≤ lim h(x)
由于lim g(x) = lim h(x) = L，所以
L ≤ lim f(x) ≤ L
这意味着当x趋近于某一点时，f(x)的极限将趋近于L。因此，
我们可以得出结论：当一个函数在某一点的两侧趋近于一个相同的极限时，该函数在该点的极限也将趋近于该极限。
二、洛必达法则
洛必达法则是极限理论中的另一个重要定理，它描述了当一个函数在某一点上的极限不存在时，我们可以通过求导数的极限来确定该函数的极限。更具体地说，洛必达法则可以用以下公式表示：设函数f(x)和g(x)在某一点x0的某个去心邻域内有定义，且在该点上f(x0) = g(x0) = 0。如果lim f'(x)/g'(x)存在（其中f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)在点x处的导数），那么lim f(x)/g(x)也存在，且lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)。
极限存在准则25两个重要极限
在数学和物理中，存在准则是一项重要的原则，用于确定一个函数在某一点 是否存在极限。极限存在准则在数学和科学研究中具有重要的意义。
存在准则的定义
1 概念
存在准则是一个用来确定函数是否在某一点存在极限的数学原则。
2 要点
该准则有多个形式，包括柯西存在准则和魏尔斯特拉斯存在准则。
1
物理学
极限的概念在描述物理系统的变化过程中有广泛的应用，例如速度、加速度和力 的计算。
2
工程学
在工程学中，极限的概念用于分析结构和材料的强度和稳定性。
3
金融学
金融学中的极限概念被用来计算复利、回报率和投资风险。
第二个重要极限的例子
1 指数函数
2 无穷大和无穷小
以指数函数为例，探讨了极限的计算和性质。
极限存在准则的重要性
基础性原理
极限存在准则是推导和证明数学和物理理论的基础性原理之一。
数学应用
该准则在微积分、实分析和复分析等数学领域有广泛的应用。
科学研究
其他科学领域如物理学、工程学和计算机科学也使用极限存在准则来分析自然现象。
25两个重要极限的介绍
极限定义
定义了极限的概念，即函数在某 一点的值随着自变量无限靠近该 点而趋于一个特定的值。
介绍了无穷大和无穷小的概念，以及它们与 极限的关系。
两个重要极限
2 1 1 2.
定理 7
设函数 u ( x )，v ( x ) 在 x0 的某个邻域
内( 或 | x | > M，M > 0 时 )， 满足 u ( x ) ≤ v ( x ) 或
u ( x ) < v ( x )( x0 可以除外)， 若 x x0 (或 x )时
n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n n 1) 1 1 un 1 1 1! n 2! n n! n n
n 2 n
x
1 1 1 1 2 2 1 1 1 2! n 3! n n
第二模块
第六节
函数、极限、连续
两个重要极限
一、第一重要极限 三、第二重要极限
一、第一重要极限
sin x lim 1. x 0 x ˆ 0 , ) 或 | x | > M (M > 0) 若对于 x N ( x
定理 6 时， 有
g( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) ，
且 lim g( x ) = lim h( x ) = A，则
1 x lim
x 0
2 x
l i m1 ( x ) x 0 l i m1 ( x ) x 0
两个重要极限
§1--4 两个重要极限
一、x
x
x sin lim
0→
观察当x →0时函数的变化趋势：
当x 取正值趋近于0时，x →1，即+→0lim x x
=1；
当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是
)
()s i n (l i m
s i n l i m 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得 1s i n lim 0=→x
x
x ．
1s i n lim
0=→x
x
x 的特点：
(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0
0；
(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．
推广 如果a
x →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，
则 a x →l i m ()[]()x x ϕϕs i n =()()[]()
x x x ϕϕϕsin lim 0→=1． 例1 求x
x x tan lim
0→．
解 x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→x
x x x x x x x x x x x x ． 例2 求x
x
x 3sin lim 0→．
解 x x x 3sin lim
0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t t
t x x x t x 令．
例3 求20cos 1lim
x
x
x -→． 解 20cos 1lim
x
x
x -→=212
2sin
22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02
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练习8. lim x sin x ___1___
x x
练习9. lim x sin x __0____
x0
x
❖第二个重要极限 lim (1 1 )x ?
x
x
X 10 100 1000 10000 100000 …
(1
1
x
)
2.594
2.705
2.717 2.718
2.71827
x
X -10 -100
1
20 lim (1 ) e. 某过程
练习题
1、 lim sin x
x0 x
lim sin x x0 x
2、 lim sin 2x lim sin 2x lim sin 2x 3x 2 x0 sin 3x x0 sin 3x x0 2x sin 3x 3
3、 lim x cot3x lim 3x cos3x 1 1
x0 x
x0 5x
设 为某过程中的无穷小量 ,
lim sin 1 某过程
练习1. 求下列极限:
（1） lim sin 3x x0 x
解：lim sin 3x lim 3sin 3x 3lim sin 3x 31 3
x0 x
x0 3x
x0 3x
（2） lim sin 5x x0 3x
解：lim sin 5x lim(sin 5x)(5) 1 5 5
x 1 x
x (1 1)x
x
1
lim (1 1)x
x x
1. e
练习3. 求 lim(3 x )2x . x 2 x
解 原式 lim[(1 1 ) x2 ]2 (1 1 )4
x
x2
x2
e2.
❖小结
两个重要极限:
设 为某过程中的无穷小量 , 10 lim sin 1;
某过程
记为 y = ln x.
数 e 是一个无理数，它的前八位数是： e = 2.718 281 8
3.有关指数运算的知识
(ab)n anbn anm anam
anm an m
4.无穷小量 定义 在某个变化过程中，以0为极限的变量称 为在这个变化过程中的无穷小量，常用字母
, , 等表示。 性质 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.
(1
1
x
)
2.868
2.732
x
-1000 -10000
2.720 2.7183
-100000 …
2.71828
lim(1 1 ) x e
x
x
lim(1 1 )x e (1 )
x
x
令t 1,
lim(1
1 )x
lim(1
1百度文库
t)t
e
x x
x
t0
1
lim(1 t)t e (1 )
t 0
1
解 lim( x 1)3x lim(1 1 )3x
x x
x
x
lim
x
（ 1
1 )x x
3
e3
1
练习1.计 算 lim(1 2 x) x . x0
1
1 2
解 lim(1 2 x) x lim(1 2 x)2 x
x0
x0
e2.
练习2. 求 lim ( x )x. x 1 x
解 lim ( x )x lim 1
推广 为某过程中的无穷小量 , lim (1 ) e 某过程
使用 lim(1 1)x e 须注意 :
x
x
(1)类型:
1 型
1
(2)推广形式: lim (1 ) e 某过程
（ lim 0 ） 某过程
1
(3)等价形式：lim(1 t)t e t 0
x
例 1 计 算 lim1 1 2 .
x
－0.1 0.99833
－0.01 0.99998
－0.001 …. 0.9999998
lim sin x 1 x0 x
证明
证
sin x
lim
1.
x x0＋
即 sin x x tan x
各式同除以sin x (因为sin x 0),得 1 x 1 , sin x cos x
即 cos x sin x 1. x
x0
x0 sin 3x
33
4、 lim sin x _____0_____.
x 2x
1
5、 lim(1 x) x ____e_____.
x0
6、
lim (1 x )2x x x
__lixm____1__1x_
x
2
e2
1
7、
lim (1
x
1)x x
____e_____.
思考题
计算
lim
x
x0
运用定理 6 即可得
sin x
lim
1.
x0 x
重要极限1 lim sin x 1. x0 x
证 先证不等式:当| x | π时, 2
| sin x || x || tan x |,
(7)
其中的两个等号只在x=0时成立.
设圆心角 AOB x, 过点A作圆的切线与OB的 延长线交于点C，又作 BD OA,
x
(1
1 )[x]1(1 [x] 1
[
1 x]
) 1
1
e 1 e.
又
lim (1
x
1 )[ x]1 [x]
lim
x
(1
1 )[x] (1 [x]
[1x])
e 1 e.
由夹逼准则知 lim (1 1)x e.
x
x
下面证 lim (1 1)x e.
从而有
cosx sinx 1.
(8)
x
注意 cos x 1 2sin 2 x 1 2( x)2 1 x2 ,
2
2
由上式与(8)式得 1 x2 sin x 1. 2x
因为 lim(1 x2 ) 1, lim1 1,
x0
2
x0
由夹逼准则，可得
lim sin x 1. x0 x
例 2 求 lim sin 5x x0 x
解： lim sin 5x lim 5sin 5x 5lim sin 5x
x0 x
x0 5x
x0 5x
令 5x t, 当 x 0 时,有 t 0
所以 ,原式 5lim sin t t0 t
51 5
注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：
推广：
lim sin 5x 5lim sin 5x 51 5
则sin x =BD，tan x=AC，
SOAB S扇形OAB SOAC , 当0 x π时，
2
1 sin x 1 x 1 tan x,
2
22
即 sin x x tan x.
而当 π x 0时, 有0 x π ,从而有
2
2
sin(x) x tan(x),
即 sin x x tan x. 即当 0 | x | π时，有 | sin x || x || tan x | .
x
x
解 因为
1
x
1 2
1
1
1
x
2
，
且
lim
1 1 x
e，
x x
x x
所以，有
lim
x
1 1 2
lim
1
1
1
x
2
x x x x
1
lim1
1
x 2
1
e2 .
x x
例2
计
算
lim1
2
xx
.
x0
解 方法一 令 u = -x， 因为 x 0 时 u 0，
下面我们来证明limcos x 1. x0
因为
0 ≤ 1 cos x 2sin2 x 2sin x sin x ≤ 21 x x,
2
22
2
且 lim x 0, 所以由定理6推得 lim(1 cos x) 0，
x0
x0
可知lim cos x 1, 又因为lim1 1, 所以再次
x0
sin x lim 1.
x x0＋
CD Ox BA
例 1 求 lim tan x x0 x
解
lim tan x lim( sin x 1 )
x0 x
x0 cos x x
lim(sin x 1 ) x0 x cos x
sin x
1
lim
lim
x0 x x0 cos x
11 1
这个结果可以作为公式使用 lim tan x 1 x0 x
x x
练习4：下列等式不正确的是（ D ）
A lim sin x 1; B lim x 1;
x0 x
x0 sinx
C lim xsin 1 1;
x
x
D
lim x sin 1 1
x0
x
B 练习5. 下列极限计算正确的是（ ）
x A. lim 1
x0 x
C. lim x sin 1 1
所以
lim1
2
xx
2
lim(1 u) u
x0
u0
1
lim[(1 u)u ]2 u0
1
[lim(1 u)u ]2 u0
e2
方法二 掌握熟练后可不设新变量
2
1
lim 1 x x lim[(1 x) x ]2
x0
x0
[lim(1
1
x) x
]2
x0
e2
例3 lim( x 1)3x x x
2
当x 0时,有 | sin x || x || tan x | .
这就证明了不等式(7). 当0 | x | π时，用| sin x | 除不等式
2 | sin x || x || tan x | 的各端，得
1 | x || tan x |, sin x sin x
即 1 x 1 , sin x cosx
2 3
x x
x2
解 因为 2 x 3 x (1) 1 1 .
3 x
3 x
x3
所以令 u = x - 3 ，当 x 时 u ，因此
lim
2
x x
lim1
1 u5
x 3 x u u
lim1
1
u
1
1
5
e
1
e.
u u u
第一章 作业2
两个重要极限的证明
x x
x x
当 x 时 1 0 且 | sin x | 1 x
故 lim sin x 0 x x
lim sin x 1 x0 x
B 练习3：下列等式正确的是（ ）
sin x A. lim 1;
x x
1
C. lim x sin 1;
x0
x
1
B. lim x sin 1;
x
x
1
sin
D. lim x 1 ．
§1-4
极限 lim sin x x0 x
极限 lim (1
x
1 x
)x
❖预备知识
1.有关三角函数的知识
tan x sin x cos x
sin0 0 cos0=1 | sin x |1 | cos x | 1
2.有关对数函数的知识
ln x loge x
以e为底的指数函数y=ex的反函数 y = logex， 叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简
重要极限2 lim (1 1)x e. x x
证 因为对任何实数x 1，都有[x] x [x] 1，所以
(1 1 )[x] (1 1)x (1 1 )[x]1
[x] 1
x
[x]
当x 时，[x]和[x] 1都以整数变量趋于 ,从而
lim (1
x
1 )[x] [x] 1
lim
5.极限的运算法则
(1) lim( f ( x) g(x)) lim f ( x) lim g(x)
(2) lim[ f (x) g(x)] limf (x) limg(x)
(3)
若
limg(x) 0，lim
f (x) g(x)
limf (x) . limg(x)
(4) lim[cf ( x)] c lim f ( x)
两个重要极限的证明
例 证明 lim sin x 1. x0 x
证 AOB 面积 < 扇形AOB 面积 < AOC 面积, 即
R2
R2
R2
sin x x tan x,
2
22
各 式 同 除 以 正 值R2 sin x, 得 2 1 x 1 , sin x cos x
BC
R
x O
A
即 cos x sin x 1. x
x0
x
x B. lim 1
x x0
D. lim sin x 1 x x
A 练习6. 已知
f (x) x 1 tan x
当（
）时，
f (x) 为无穷小量.
A. x 0
C. x
B. x 1
D. x
练习7. 已知 f (x) 1 sin x ，当 x 0 时， x f (x) 为无穷小量．
(5) lim[ f ( x)]k [lim f ( x)]k
❖第一个重要极限 lim sin x ?
x0 x
X
1
0.5
sin x
0.84147 0.95885
x
0.1 0.99833
0.01 0.99998
0.001 …. 0.9999998
X －1 －0.5
sin x
0.84147 0.95885
lim
x1
sin(x 1) (x 1)(x 1)
sin(x 1) lim[ x1 x 1
1] x 1
lim sin(x 1) lim x1 x 1 x1
1 x 1
1 1 1 11 2
例 4 求 lim x sin 1
x
x
解
lim x sin 1
x
x
sin 1
lim x
x 1
1
x
思考题
lim sin x lim 1 sin x
x0 3x x0 5x 3
33
使用 lim sin x 1 时须注意 : x0 x
(1)类型：
0型 0
sin
(2)推广形式:
lim
某过程
1
（ lim 0 ） 某过程
(3)等价形式： lim x 1 x0 sin x
例3
求
lim
x1
sin(x 1) x2 1
解
lim
x1
sin(x 1) x2 1