两个重要极限

(3) lim(1 x)
x 0
1 x
=e
( 4) lim(1 2 x )
x 0
1 2x
=e
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
归纳：
lim (1

1
) =e
（1）极限类型为 （2）必须是(1 中的
1
1
1

advanced mathematics
训练3：
sin (x 2 9) (1) lim x 3 x3
1 cos x (2) lim . 2 x 0 x
sin(x 2 9) sin(x 2 9) lim ( x 3) 解：lim 2 x 3 x 3 x 3 x 9
高等数学
advanced mathematics
两个重要极限
Two important limits
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
知识目标
1、掌握两个重要极限的公式 2、掌握两个重要极限在经济方面的应用
能力目标
会利用两个重要极限求指定函数和经济贸 易方面实际问题的极限
0 类型是 型； 0
lim
sin
0
1
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
训练1: 求下列函数的极限
x sin 2 =1 （ 1 ） lim x 0 x 2 1 sin x （3） lim x 1 =1 x
sin( x 1) （2） lim =1 x 1 x 1
例10
解
求极限
2x 3 x lim( ) . x 2 x 1
2x 3 x 2 l i m( ) l i m(1 )x x 2 x 1 x 2x 1
2 x 1 2 x 2 2 x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
小结：. 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
高等数学
advanced mathematics
辩一辩：
sin x 0 ; 1. lim _____ x x 1 0 ; 3. lim x sin ____ x 0 x
sin x 1 ; 5. lim _____ x 0 x
1 1 2. lim x sin ____ ; x x 1 n e 1 4. lim (1 ) ____ ; n n
sin 4 x (3) lim x 0 3x
tan 3 x (5) lim . x 0 sin 2 x
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
练习:
tan 3 x sin 7 x 3 7 2 tan 3 x sin 7 x lim( ) (1) lim 2 2 x 0 tan 2 x x 0 tan 2 x tan 2 x
) 的形式，且底数
和指数中的
是“倒数关系”；
（3）中间必须用 “+”号连接
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
例7 求 解
1 lim x sin . x x
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
2、
1 x lim(1 ) e x x
(1 )

1 2x (1) lim (1 ) =e x 2x
1 x (2) lim(1 ) =e x x
1
高等数学
advanced mathematics
例11. 求
解:
原式
1 cos 1 ) 2 ] 2 lim [(sin = x x x
x
lim (1 sin 2 ) x
x
x 2
(1 sin 2 ) x
1 sin 2 x
e
高等数学
advanced mathematics
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
sin x 1. lim =1 x0 x
1 0.75 0.5 0.25
f ( x)
5
s i nx x
10 15
-15
-10
-5
o
-0.25 -0.5
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
1 x lim(1 ) . x 2x
1 1 1 x 1 2 x 2 lim (1 ) lim(1 ) e2 x x 2x 2x
例8 求 解
4 2x lim (1 ) . x x
4 x 2 x x 4
4 4 2x lim (1 ) lim[(1 ( ) ] x x x x
sin x （4） lim =0 x x
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
训练2： 求下列极限
sin 5 x (1) lim x 0 x
tan 2 x (2) lim . x 0 x
sin 2 x (4) lim x 0 sin 3 x
sin(x 2 9) lim lim( x 3) 2 x 3 x 3 x 9
6
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
例
求
1 sin 1 x 1. lim lim x sin 解： x x 1 x x 1 训练4 求 lim 2 x sin . x 3x 1 sin 2 1 2 3 x 2 x sin lim . 解： lim x 3 3 x x 1 3 3x
advanced mathematics
例1 求
sin 2 x lim x 0 2x
sin t lim (令t 2x) t 0 t
1
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
归纳：
sin u lim 1 u 0 u
1 e 6. lim (1 x ) ____ ;
x 0 1 x
2 x 1 1 2 2
e
2x x 2 x 1 lim
e.
2 (1 ) 2x 1 lim 1 x 2 2 (1 ) 2x 1
2 x 1 2
e.
高等数学
advanced mathematics
3 1 另解: 2x 3 x 2x )x l i m( ) l i m( x 2 x 1 x 1 1 2x 3 x 3 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2 x lim x 1 x 1 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2x
e e
3 2 1 2
e.
高等数学
advanced mathematics
2 x x ( ) 训练：求 (1) lim x 3 x
3 x ( 2) li m ( ) x 6 x
π 2
x 1 2
(3) l i m (si nx ) tan x
x
ax bx cx x ( 4) l i m ( ) ( a , b, c 0 ) x 0 3
e 8 .
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
训练5
(1)求
4 x lim(1 x ) x 0 5
1 x
5 4x
1
4x 4 m(1 x ) lim [1 ( )] 解 lxi 0 5 5 x 0
sin 5 x 5 ( 2) lim sin 5 x cot 2 x lim x 0 xFra Baidu bibliotek0 tan 2 x 2
sin x 1 x sin x 11 x (3) lim lim 0 x 0 x sin x x 0 sin x 1 1 1 x
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)


4x 1 5 x
解
4 2 (2)求 lim(1 ) x 3x 3x 3x 4 2 4 4 2 e2 lim(1 ) lim(1 ) x x 3x 3x
e .3 x
4 5
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics