三角函数综合检测试题(含解析)
三角函数综合测试题(含答案)
三角函数综合测试题第Ⅰ卷（选择题 共40分）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若点P 在32π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1(B ．)1,3(-C ．)3,1(--D ．)3,1(- 2、已知=-=-ααααcos sin ,45cos sin 则（ ） A ．47 B ．169- C ．329- D ．329 3、下列函数中，最小正周期为2π的是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)64tan(π+=x y 4、等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（ ） A ．924- B ．924 C ．97- D ．97 5、将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，则ϕ等于( )A ．12π-B ．3π-C ．3πD ．12π 6、οοοο50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( )A ．3B ．33C ．33-D ．3-7．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ） A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二．填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分，把答案填在题中横线上）9.已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为 ； 10.在ABC ∆中，若120A ∠=o，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________ 11.已知,1)cos(,31sin -=+=βαα则=+)2sin(βα _______． 12.函数x x y 2cos )23cos(--=π的最小正周期为 __________． 13.关于三角函数的图像，有下列命题：①x y sin =与x y sin =的图像关于y 轴对称； ②)cos(x y -=与x y cos =的图像相同； ③x y sin = 与)sin(x y -=的图像关于y 轴对称；④ x y cos =与)cos(x y -=的图像关于y 轴对称；其中正确命题的序号是 ___________．三．解答题（本大题共6小题，共80分。
三角函数综合测试题(含答案)
三角函数综合测试题(含答案)三角函数综合测试题一、选择题（共18小题，每小题3分，共54分）1.（08全国一6）函数y=(sinx-cosx)-1的最小正周期为π的奇函数。
2.（08全国一9）为得到函数y=cos(x+π/3)的图象，只需将函数y=sinx的图像向左平移π/3个长度单位。
3.（08全国二1）若sinα0，则α是第二象限角。
4.（08全国二10）函数f(x)=sinx-cosx的最大值为2.5.（08安徽卷8）函数y=sin(2x+π/3)图像的对称轴方程可能是x=-π/6.6.（08福建卷7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移π/2个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为-sinx。
7.（08广东卷5）已知函数f(x)=(1+cos2x)sinx，则f(x)是以π为最小正周期的奇函数。
8.（08海南卷11）函数f(x)=cos2x+2sinx的最小值为-2，最大值为3/3π。
9.（08湖北卷7）将函数y=sin(x-θ)的图象F向右平移π/3个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x=5π/12，则θ=π/4.10.（08江西卷6）函数f(x)=(sinx+2sin2x)/x的最小正周期为2π的偶函数。
11.若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图像分别交于M，N两点，则MN的斜率为tan(a-π/4)。
19.若角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(1,-2)$，则$\tan2\alpha$ 的值为 ________。
20.函数 $f(x)=\cos(\omega x-\frac{\pi}{6})$ 的最小正周期为 $\frac{\pi}{5}$，其中 $\omega>0$，则 $\omega=$ ________。
21.设 $x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，则函数$y=\frac{2\sin2x+1}{\cos x}$ 的最小值为 ________。
三角函数及解三角形测试题(含答案)
三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。
根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。
根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。
根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。
根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。
根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。
2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。
2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。
4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。
5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。
6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。
三角函数与解三角形测试题(含答案解析)
三角函数与解三角形本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部。
总分值150分。
考试时间120分钟。
第一卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符号题目要求的。
)1．角α终边上一点P ，则2sin 23tan αα-=〔 〕A ．1--B ．1-C ．-D ．0[答案] D 2．y＝(sin x＋cos x )2－1是( )A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数[答案] D[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2－1＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以函数y ＝(sin x ＋cos x )2－1是最小正周期为π的奇函数．3．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π6个单位，再将图像上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为y ＝sin x ，则 ( )A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝π12[答案] B[分析] 函数y ＝sin(ωx ＋φ)经过上述变换得到函数y ＝sin x ，把函数y ＝sin x 的图象经过上述变换的逆变换即可得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．[解析] 把y ＝sin x 图象上全部点的横坐标缩小到原来的12倍得到的函数解析式是y ＝sin2x ，再把这个函数图象向右平移π6个单位，得到的函数图象的解析式是y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，与函数比拟得ω＝2，φ＝－π3. [点评] 此题考查三角函数图象的变换，试题设计成逆向考查的方法更能考查出考生的分析解决问题的灵敏性，此题也可以根据比拟系数的方法求解，根据的变换方法，经过两次变换后函数y ＝sin(ωx ＋φ)被变换成y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx 2＋ωπ6＋φ比拟系数也可以得到问题的答案． 4．tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝ ( )A.53 B ．－134C.135D.134[答案] D[解析] ∵tan α＝2，∴2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝134.5．函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最大值是2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由条件知f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin π4ω＝2，∴ω＝8k ＋2，∵ω>0，∴ω最小值为2. 6．假设函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫－π8，0 B.⎝⎛⎭⎫π8，0 C ．(0,0) D.⎝⎛⎭⎫－π4，0 [答案] A[分析] 把函数化为一个角的一种三角函数，根据函数的最小正周期求出ω的值，根据对称中心是函数图象与x 轴的交点进行检验或直接令f (x )＝0求解．[解析] f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，这个函数的最小正周期是2πω，令2πω＝1，解得ω＝2，故函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，把选项代入检验知点⎝⎛⎭⎫－π8，0为其一个对称中心．[点评] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称中心，就是函数图象与x 轴的交点． 7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是 ( ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2[答案] D[解析] 由最大值为4，最小值为0得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋m ＝4－A ＋m ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2m ＝2， 又因为正周期为π2，∴2πω＝π2，∴ω＝4，∴函数为y ＝2sin(4x ＋φ)＋2，∵直线x ＝π3为其对称轴，∴4×π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－5π6，取k ＝1知φ＝π6，应选D.8．cos(x ―π6)=― 3 3 ，则cosx+cos(x ―π3)的值是 ( )A 、― 2 3 3B 、± 2 33C 、―1D 、±19．△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则角A 等于 ( )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°[答案] D[解析] 根据正弦定理得1sin A ＝2sin45°，∴sin A ＝12，∵a <b ，∴A 为锐角，∴A ＝30°，应选D.10．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的一局部图象如下图，如图A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．φ＝－π6B ．φ＝－π3C ．φ＝π3D ．φ＝π6[答案] D[解析] 由图可知⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋b ＝4－A ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2b ＝2， 又T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)＋2，将⎝⎛⎭⎫5π12，2代入得sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0，结合选项知选D. 第二卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共5个小题，每题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2.12．在△ABC 中，假设a ＝b ＝1，c ＝3，则∠C ＝________.[解析] cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋1－32＝－12，∴C ＝2π3.13．假设tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．[答案] 17[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)·tan α＝3－21＋3×2＝17.14．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________． [答案] [－1,2][解析] f (x )在[0，π2]上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在[0，π2]上有两个不同实数解，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈[0，π2]与y ＝m 有两个不同交点， ∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin(2x －π6)≤1，∴－1≤y ≤2，∴－1≤m ≤2.15．对于函数f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x －1(x ∈R )给出以下命题： ①f (x )的最小正周期为2π； ②f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；③直线x ＝π8是f (x )的图像的一条对称轴；④f (x )的图像可以由函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π4而得到．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都填上)．[答案] ②③[解析] f (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，最小正周期T ＝π；由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，故f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴x ＝π8是f (x )的图象的一条对轴称；y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位得到的图象对应函数为y ＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2，因此只有②③正确． 三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题总分值12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的局部图象如下图．(1)求函数f (x )的解析式；(2)假设f ⎝⎛⎭⎫α2＝45，0<α<π3，求cos α的值． [解析] (1)由图象知A ＝1f (x )的最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2 将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1， 又|φ|<π2，∴φ＝π6故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 (2)f ⎝⎛⎭⎫α2＝45，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，又0<α<π3， ∴π6<α＋π6<π2，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又cos α＝[(α＋π6)－π6]＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝33＋410. 17．(本小题总分值12分) )cos 2,sin (cos ),sin ,sin (cos x x x b x x x a -=+=,设b a x f ⋅=)(.(1)求函数)(x f 的单调增区间；〔2〕三角形ABC 的三个角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，且满足(),103A fB π==+=，求边c .[解析](1) b a x f ⋅=)( =x x x x x x cos 2sin )sin (cos )sin (cos ⋅+-⋅+ =x x x x cos sin 2sin cos 22+- =x x 2sin 2cos +=)2sin 222cos 22(2x x +=cos2cossin 2)44x x ππ+=)42sin(2π+x ………………………………3分由()f x 递增得：222242k x k πππππ-+≤+≤+即3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ∴)(x f 的递增区间是3[,],88k k k Z ππππ-++∈ 。
高三数学三角函数综合试题答案及解析
高三数学三角函数综合试题答案及解析1.已知函数，则的值为 .【答案】.【解析】∵，两边求导，∴，令，得，∴，∴，即.【考点】导数的运用.2.已知函数.（1）求的最小正周期和最小值；（2）若，且，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】(1)首先根据二倍角公式进行化简，并将函数的解析式化为的形式，然后利用最小正周期公式,最小值为,可得结果；(2)将代入,化简，利用得到三角函数值，根据，得到的值.此题考察三角函数的化简求值，属于基础题.试题解析：（1）解：， 4分，，所以的最小正周期为，最小值为. 8分（2）解：，所以， 11分因为，，所以，因此的值为. 13分【考点】1.三角函数的化简；2.三角函数的求值.3.函数的值域为．【答案】【解析】令，则.【考点】1、三角函数；2、二次函数；3、换元法.4.已知，，则x= .（结果用反三角函数表示）【答案】【解析】本题关键是注意反三角函数值的取值范围，适当利用诱导公式，，，而，故，即．【考点】反正弦函数．5.已知函数.（Ⅰ）求的单调减区间；（Ⅱ）求在区间上最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）函数的单调减区间是：；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将降次化一，化为的形式，然后利用正弦函数的单调区间，即可求得其单调递增区间.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，又的范围为，由此可得的范围，进而求得的范围.试题解析：.函数的单调减区间是：.的范围为，所以，所以即：【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的单调区间及范围.6.如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.⑴求的长度；⑵在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？【答案】⑴;⑵当为时，取得最小值．【解析】⑴根据题中图形和条件不难想到作，垂足为，则可题中所有条件集中到两个直角三角形中，由，而在中，再由两角和的正切公式即可求出的值，又，可求出的值;⑵由题意易得在两直角三角形中，可得，再由两角和的正切公式可求出的表达式，由函数的特征，可通过导数求出函数的单调性和最值，进而求出的最小值，即可确定出的最小值．试题解析：⑴作，垂足为，则，，设，则 2分，化简得，解之得，或（舍）答：的长度为． 6分⑵设，则，． 8分设，，令，因为，得，当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以，当时，取得最小值，即取得最小值， 12分因为恒成立，所以，所以，，因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．答：当为时，取得最小值． 14分【考点】1.两角和差的正切公式;2.直角三角形中正切的表示;3.导数在函数中的运用7.已知以角为钝角的的三角形内角的对边分别为、、，，且与垂直．（1）求角的大小；（2）求的取值范围【答案】（1）；（2）．【解析】（1）观察要求的结论，易知要列出的边角之间的关系，题中只有与垂直提供的等量关系是，即，这正是我们需要的边角关系．因为要求角，故把等式中的边化为角，我们用正弦定理，，，代入上述等式得，得出，从而可求出角；（2）要求的范围，式子中有两个角不太好计算，可以先把两个角化为一个角，由（1），从而，再所其化为一个三角函数（这是解三角函数问题常用方法），下面只要注意这个范围即可．试题解析：1）∵垂直，∴（2分）由正弦定理得（4分）∵，∴，（6分）又∵∠B是钝角，∴∠B（7分）（2）（3分）由（1）知A∈（0，），, （4分），（6分）∴的取值范围是（7分）【考点】（1）向量的垂直，正弦定理；（2）三角函数的值域．8.已知向量，，(Ⅰ)若，求的值；(Ⅱ)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式、余弦定理、三角函数的值域等基础知识，考查运用三角公式进行三角变换的能力和基本的运算能力.第一问，利用向量的数量积将坐标代入得表达式，利用倍角公式、两角和的正弦公式化简表达式，因为，所以得到，而所求中的角是的2倍，利用二倍角公式计算；第二问，利用余弦定理将已知转化，得到，得到，得到角的范围，代入到中求值域.试题解析：（Ⅰ）∵，而，∴，∴，（Ⅱ）∵，∴，即，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴.【考点】1.向量的数量积；2.倍角公式；3.两角和与差的正弦公式；4.余弦公式；5.三角函数的值域.9.若，且，则 ( )A．B．C．D．【答案】B．【解析】，故选B．【考点】1．三角函数诱导公式；2．三角函数平方关系．10.在△ABC中，角均为锐角，且，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【答案】D．【解析】又角均为锐角，则且中，，故选D．【考点】1．诱导公式；2．正弦函数的单调性．11.已知函数为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若时，的最小值为，求a的值．【答案】（Ⅰ）的最小正周期；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）求函数的最小正周期，由函数为常数），通过三角恒等变化，把它转化为一个角的一个三角函数，从而可求函数的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的图像，及，可求出的最小值，让最小值等于，可求出a的值．试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期（Ⅱ）时，时，取得最小值【考点】三角函数的性质．12.已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的函数值的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函数.通过二倍角的逆运算将单角升为二倍角，再化为一个三角函数的形式，从而求出函数的周期.（2）x的范围是所以正弦函数在是递增的.所以f（x）的范围是本题考查三角函数的单调性，最值，三角函数的化一公式，涉及二倍角的逆运算等.三角函数的问题要关注角度的变化，角度统一，二次式化为一次的，三角函数名称相互转化.切化弦，弦化切等数学思想.试题解析：(1) 4分6分故的最小正周期为 8分(2)当时, 10分故所求的值域为 12分【考点】1.三角函数的化一公式.2.二倍角公式.3.函数的单调性最值问题.13.下列命题中：函数的最小值是；②在中，若，则是等腰或直角三角形；③如果正实数满足，则；④如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是_____________.【答案】②③④．【解析】当，等号成立时当且仅当“即”，显然不成立，则命题①不正确；在中，若，则或，则是等腰或直角三角形，故②正确；由，因为正实数，满足，所以，故③正确；如果是可导函数，若函数在处取到极值，则，当，，但函数在处无极值，则是函数在处取到极值的必要不充分条件，故④正确.【考点】基本不等式、三角函数性质、不等式及导数的性质.14.已知向量,函数．（1）求函数的最小正周期;（2）已知分别为内角、、的对边, 其中为锐角,且,求和的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，再利用二倍角公式及辅助角公式将化简为；（2）将代入，得，因为，所以，再利用余弦定理，解出，最后根据三角形面积公式求出. 试题解析：（1）由题意所以.由（1），因为,所以，解得.又余弦定理，所以，解得，所以.【考点】1.三角函数恒等变形；2.三角函数周期；3.余弦定理及三角形面积公式.15.已知，，其中，若函数，且函数的图象与直线y=2两相邻公共点间的距离为．(l)求的值；(2)在△ABC中，以a，b，c(分别是角A，B，C的对边，且，求△ABC周长的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】(1)先根据，结合二倍角公式以及和角公式化简，求得，函数最大值是，那么函数的图像与直线两相邻公共点间的距离正好是一个周期，然后根据求解的值；(2)先将代入函数的解析式得到：，由已知条件以及，结合三角函数的图像与性质可以解得，所以，由正弦定理得，那么的周长可以表示为：，由差角公式以及和角公式将此式化简整理得，，结合角的取值以及三角函数的图像与性质可得.试题解析：（1）， 3分∵，∴函数的周期，∵函数的图象与直线两相邻公共点间的距离为.∴，解得. 4分（2）由（Ⅰ）可知，，∵，∴，即，又∵，∴，∴，解得. 7分由正弦定理得：，所以周长为：， 10分，所以三角形周长的取值范围是. 12分【考点】1.和角公式；2.差角公式；3.二倍角公式；4.三角函数的图像与性质；5.正弦定理16.已知向量，（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）求函数在上的值域.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）本小题主要利用向量平行的坐标运算得到，然后解出，再利用二倍角正切公式可得；（Ⅱ）本小题首先化简函数解析式，然后根据三角函数的图像与性质，得到三角函数的取值范围，进而求值域；试题解析：（Ⅰ），， 2分即，， 4分6分（Ⅱ）=10分，12分，即 14分【考点】1.平行向量；2.三角函数的图像与性质.17.已知 .【答案】【解析】.【考点】1.两角差的正切公式；2.三角函数的拆角方法.18.已知∈（,），sin=,则tan（）等于（）A．－7B．－C．7D．【答案】A．【解析】由题意，则．【考点】三角函数运算．19.在中，的对边分别为且成等差数列．（1）求B的值；（2）求的范围．【答案】(1)；（2）【解析】（1）对于三角形问题中的边角混合的式子，可以利用正弦定理和余弦定理边角转化，或边化角转化为三角函数问题，或角化边转化为代数问题来处理，该题由等差中项列式，再利用正弦定理边化角为，，又根据三角形内角的关系，得，进而求；(2)由（1）得，可得，代入所求式中，化为自变量为的函数解析式，再化为，然后根据的范围，确定的范围，进而结合的图象确定的范围，进而求的范围.试题解析：（1）成等差数列，∴，由正弦定理得，，代入得，，即：，，又在中，，∵，∴；（2）∵，∴，∴===，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【考点】1、等差中项；2、正弦定理；3、型函数的值域.20.取得最小值a时，此时x的值为b，则取得最大值时，的值等于________。
三角函数10道大题(带答案解析)
三角函数1.已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值.2、已知函数.,1cos 2)32sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=ππ（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值.3、已知函数()tan(2),4f x x =+π（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα，若()2cos 2,2f =αα求α的大小4、已知函数xxx x x f sin 2sin )cos (sin )(-=.（1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间.5、 设函数2()cos(2)sin 24f x x x π=++. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时， 1()()2g x f x =-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.6、函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值. 7、设426f (x )cos(x )sin x cos x π=ω-ω+ω，其中.0>ω （Ⅰ）求函数y f (x )= 的值域（Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求 ω的最大值.8、函数2()6cos 3(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形.（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域；（Ⅱ）若0()5f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.9、已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --= （1）求A ； （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c .10、在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin B C ．(Ⅰ)求tan C 的值； (Ⅱ)若a ∆ABC 的面积．答案1、【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值.【精讲精析】（Ⅰ）因为()4cos sin()16f x x x π=+-14cos (sin cos )122x x x =+-222cos 1x x =+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+， 所以()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤.于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 取得最小值－1.2、【解析】 （1）2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--2sin 2coscos 2)34x x x ππ=+=+ 函数()f x 的最小正周期为22T ππ==（2）32sin(2)11()4444424x x x f x ππππππ-≤≤⇒-≤+≤⇒-≤+≤⇔-≤≤当2()428x x πππ+==时，()m a xf x ，当2()444x x πππ+=-=-时，m i n ()1f x =-【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.3、【思路点拨】1、根据正切函数的有关概念和性质；2、根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值.【精讲精析】（I ）【解析】由2,42+≠+∈x k k Z πππ， 得,82≠+∈k x k Z ππ. 所以()f x 的定义域为{|,}82∈≠+∈k x R x k Z ππ，()f x 的最小正周期为.2π （II ）【解析】由()2cos 2,2f =αα得tan()2cos 2,4+=παα22sin()42(cos sin ),cos()4+=-+παααπα 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin +=+--αααααααα因为(0,)4∈πα，所以sin cos 0.+≠αα因此211(cos sin ),sin 2.22-==ααα即 由(0,)4∈πα，得2(0,)2∈πα.所以2,.612==ππαα即4、解（1）：si n 0()x x k k Z π≠⇔≠∈得：函数()f x 的定义域为{,}x x k k Z π≠∈(sin cos )sin 2()(sin cos )2cos sin x x xf x x x xx-==-⨯sin 2(1cos 2))14x x x π=-+=--得：)(x f 的最小正周期为22T ππ==；（2）函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈ 则322224288k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇔-≤≤+得：)(x f 的单调递增区间为3[,),(,]()88k k k k k Z ππππππ-+∈5、本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力. 【解析】211()co242f x x π=++11sin222x =-， （I ）函数()f x 的最小正周期22T ππ== （II ）当[0,]2x π∈时，11()()sin 222g x f x x =-=当[,0]2x π∈-时，()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩.6、【解析】（1）∵函数()f x 的最大值是3，∴13A +=，即2A =.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴最小正周期T π=，∴2ω=. 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+.（2）∵()2f α2sin()126πα=-+=，即1sin()62πα-=，∵02πα<<，∴663πππα-<-<，∴66ππα-=，故3πα=.7、解：（1）()14sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎫=++⎪⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤，所以函数()y f x =的值域为1⎡+⎣（2）因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，故()21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立，此时必有0k =，于是 32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得16ω≤，故ω的最大值为16. 8. 本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想. [解析]（Ⅰ）由已知可得：2()6cos3(0)2xf x x ωωω=->=3cosωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23，则BC=4 所以，函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以，函数]32,32[)(-的值域为x f .……………………6分（Ⅱ）因为，由538)(0=x f （Ⅰ）有 ，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（ 所以，53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos )34([sin 3200⨯+⨯=+++=ππππππx x567=………………………………………………………12分 9..解：（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C CA A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）1sin 42S bc A bc ==⇔=， 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+= 10. 本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ)∵cos A ＝23＞0，∴sin A=cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos Acos C ＋23sin C ．整理得：tan C(Ⅱ)由图辅助三角形知：sin C＝．又由正弦定理知：sin sin a cA C =，故c = (1)对角A 运用余弦定理：cos A ＝222223b c a bc +-=． (2)解(1) (2)得：b=or b舍去)．∴∆ABC的面积为：S．。
中职数学基础模块上册第五章《三角函数》单元检测试题及参考答案
中职数学第五章《三角函数》单元检测（满分100分，时间：90分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．︒-60角的终边在( ).A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2．︒150= ( ). A 、43π B 、 32π C 、65π D 、23π 3．与角︒30终边相同的角是 ( ).A 、︒-60 B 、︒390 C 、︒-300 D 、︒-390 4.下列各角中不是轴限角的是（ ）.A 、︒-180 B 、︒280 C 、︒90 D 、︒360 5．如果α是第四象限的角，则角α-是第几象限的角 ( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 6．求值=-+-︒︒︒︒270sin 60tan 290sin 3180cos 5( ) A 、-2 B 、2 C 、3 D 、-37．角α终边上一点P(-3,4)则αsin =（ ）.A 、53- B 、 54 C 、43- D 、34-8．与︒75角终边相同的角的集合是（ ）.A 、{z k k ∈⋅+=︒︒,36075ββ}B 、},18075{z k k ∈⋅+=︒︒ββC 、},9075{z k k ∈⋅+=︒︒ββD 、},27075{z k k ∈⋅+=︒︒ββ9．已知sin 0<θ且0tan >θ则角θ为第( )象限角。
A 、一 B 、二 C 、三 D 、四 10．下列各选项中正确的是( )A 、终边相同的角一定相等B 、第一象限的角都是锐角C 、锐角都是第一象限的角D 、小于︒90的角都是锐角 11．下列等式中正确的是（ ）A.ααsin )720sin(-=+︒B.απαcos )2cos(=+C.ααsin )360sin(-=-︒D.απαtan )4tan(-=+ 12．α为第一象限的角，则=-αα2sin 1tan ( )A 、tan αB 、αtan -C 、sin αD 、αcos二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．︒60= ︒150=32π= 12π= （角度与弧度互化） 14．若0tan >θ,则θ是第 象限的角. 15．︒390sin = , )60cos(︒-=16．设点P （1，3-）在角α终边上，则=αcos ，tan α= .三、解答题：（本大题共48分）17．完成下面的表格。
三角函数与解三角形_测试题(有解析、答案)
三角函数与解三角形 测试题（有解析、答案）(时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于 ( )A.17 B ．7 C ．－17 D ．－7 解析：由α∈(π2，π)，sin α＝35，得tan α＝－34，tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝17.答案：A2．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为 ( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：sin45°cos15°＋cos225°sin15°＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30° ＝12. 答案：C3．要得到y ＝sin(2x －π3)的图像，只要将y ＝sin2x 的图像 ( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：∵y ＝sin(2x －π3)＝sin2(x －π6)，∴只要将y ＝sin2x 的图像向右平移π6个单位便得到y ＝sin(2x －π3)的图像．答案：D4．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ， ∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.答案：D5．有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析：由T ＝2πω＝2ππ2＝4，可知此波形的函数周期为4，显然当0≤x ≤1时函数单调递增， x ＝0时y ＝0，x ＝1时y ＝1，因此自0开始向右的第一个波峰所对的x 值为1，第二个 波峰对应的x 值为5，所以要区间[0，t ]上至少两个波峰，则t 至少为5. 答案：C6．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为 ( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x ＜π2，∴f (x )max ＝2.答案：B7．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为 ( )A ．－π3B ．－π6 C.5π6 D.2π3解析：由已知得：f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)，由于函数为奇函数，故有θ＋π3＝kπ⇒θ＝kπ－π3(k ∈Z)，可淘汰BC 选项，然后分别将A和D 选项代入检验，易知当θ＝2π3时，f (x )＝－2sin2x 其在区间[－π4，0]上递减． 答案：D8．若向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( )A ．－34 B.34 C ．－14 D.14解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴4sin(α＋π6)＋4cos α－3＝0，∴sin αcos π6＋cos αsin π6＋cos α＝34，∴12sin α＋32cos α＝14，∴sin(α＋π3)＝14，∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14.答案：C9．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则 ( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π2，φ＝5π4解析：T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，ω＝2πT ＝π4令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4. 答案：C10．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图像关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( ) A ．f (x )的图像过点(0，12)B ．f (x )的图像在[5π12，2π3]上递减C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)解析：T ＝π，∴ω＝2.∵图像关于直线x ＝2π3对称，∴sin(2π3ω＋φ)＝±1即2π3×2＋φ＝π2＋kπ，k ∈Z 又∵－π2<φ<π2∴φ＝π6∴f (x )＝A sin(2x ＋π6)．再用检验法．答案：D第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知α是第二象限角，sin α＝12，则sin2a 等于________解析：由已知得cos α＝－32，则sin2α＝2sin αcos α＝2×12×(－32)＝－32.答案：－3212．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如下图所示，则f (7π12)＝________.解析：由图像知，函数的周期为32×T ＝π，∴T ＝2π3.∵f (π4)＝0，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝f (π4＋T 2)＝－f (π4)＝0.答案：013．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. 答案： 214．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.解析：因为图像的对称中心是与x 轴的交点，所以由y ＝2sin(2x ＋π3)＝0，x 0∈[－π2，0]得x 0＝－π6.答案：－π615．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan A tan B的值为________．解析：由a cos B －b cos A ＝35c 及正弦定理可得sin A cos B －sin B cos A ＝35sin C ，即sin A cos B－sin B cos A ＝35sin(A ＋B )，即5(sin A cos B －sin B cos A )＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )，即sin A cos B ＝4sin B cos A ，因此tan A ＝4tan B ，所以tan Atan B＝4. 答案：4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)设函数f (x )＝cos x －sin x ，试求f (α)的值．解：(1)∵cos(β－π4)＝13，∴cos(2β－π2)＝2cos 2(β－π4)－1＝2×19－1＝－79，即sin2β＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2，∴sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0，∴sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35.∴f (α)＝cos α－sin α＝2cos(α＋π4) ＝2cos[(α＋β)－(β－π4)]＝2[cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)]＝2(－35×13＋45×223)＝16－3215.17．(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．解：(1)∵A 的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sin α＝45，cos α＝35，∴1＋sin2α1＋cos2α＝1＋2sin αcos α2cos 2α＝4918.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴cos ∠COB ＝cos(α＋60°)＝cos αcos60°－sin αsin60°＝35×12－45×32＝3－4310， ∴|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |cos ∠COB ＝1＋1－2×3－4310＝7＋435. 18．(本题满分13分)(2010·黄冈模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且lg a－lg b ＝lgcos B －lgcos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝14，求a ，b ，c . 解：由题lg a ＋lgcos A ＝lg b ＋lgcos B ，故a cos A ＝b cos B . 由正弦定理sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B . 又cos A >0，cos B >0，故A ，B ∈(0，π2),2A,2B ∈(0，π)因a ≠b ⇒A ≠B ，故2A ＝π－2B . 即A ＋B ＝π2，故△ABC 为直角三角形．(2)由于m ⊥n ，所以2a 2－3b 2＝0 ① 且(m ＋n )·(－m ＋n )＝n 2－m 2＝14，即8b 2－3a 2＝14 ② 联立①②解得a 2＝6，b 2＝4，故在直角△ABC 中，a ＝6，b ＝2，c ＝10.19．(本小题满分12分)已知a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．解：(1)∵a 与b 共线， ∴32cos x ＋sin x ＝0.∴tan x ＝－32. 故2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013. (2)∵a ＋b ＝(sin x ＋cos x ，12)，∴f (x )＝(a ＋b )·b ＝(sin x ＋cos x ，12)·(cos x ，－1)．∴sin x cos x ＋cos 2x －12＝12(sin2x ＋cos2x )＝22sin(2x ＋π4)． ∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4， ∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴f (x )的值域为[－22，12]． 20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式； (2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰 有两个不同的解，求实数m 的取值范围． 解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得 T ＝11π6 －(－π6)＝2π， 由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2B ＝1. 令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k ＞0，∴k ＝3. 令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]如图sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解的充要条件是s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解的充要条件是m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)． 21．(本小题满分13分)已知函数y ＝|cos x ＋sin x |.(1)画出函数在x ∈[－π4，7π4]上的简图；(2)写出函数的最小正周期和在[－π4，3π4]上的单调递增区间；试问：当x 在R 上取何值时，函数有最大值？最大值是多少？(3)若x 是△ABC 的一个内角，且y 2＝1，试判断△ABC 的形状． 解：(1)∵y ＝|cos x ＋sin x |＝2|sin(x ＋π4)|，∴当x ∈[－π4，7π4]时，其图像如图所示．(2)函数的最小正周期是π，在[－π4，3π4]上的单调递增区间是[－π4，π4]；由图像可以看出，当x ＝kπ＋π4(k ∈Z)时，该函数有最大值，最大值是 2.(3)若x 是△ABC 的一个内角，则有0<x <π， ∴0<2x <2π.由y 2＝1，得|cos x ＋sin x |2＝1⇒1＋sin2x ＝1. ∴sin2x ＝0，∴2x ＝π，x ＝π2，故△ABC 为直角三角形．。
(完整版)三角函数综合测试题(含答案)(3),推荐文档
三角函数综合测试题一、选择题（每小题5分，共70分）1． sin2100 =A ．B ． -C ．D ． -232321212．是第四象限角，，则 α5tan 12α=-sin α=A ． B ． C ．D ．1515-513513-3. ＝12sin12(cos ππ-12sin12(cosππ+ A ．－B ．－C ．D ．232121234． 已知sinθ＝，sin2θ＜0，则tanθ等于53 A ．－ B ．C ．－或D ．43434343545．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再sin(3y x π=-将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是3πA ．B ． 1sin2y x =1sin(22y x π=-C . D .1sin(26y x π=-sin(26y x π=-6. ()2tan cot cos x x x +=A ．B ．C .D . tan x sin x cos x cot x 7.函数y = 的值域是xx sin sin-A. { 0 } B. [ -2 , 2 ]C. [ 0 , 2 ]D.[ -2 , 0 ]8.已知sin cos ,且，则sin +cos 的值为α81=α)2,0(πα∈ααA.B. -C.D.2525±25239. 是2(sin cos )1y x x =--A ．最小正周期为的偶函数B ．最小正周期为的奇函数2π2πC ．最小正周期为的偶函数D ．最小正周期为的奇函数ππ10．在内，使成立的取值范围为)2,0(πx x cos sin >x A ． B ．C ．D ．)45,()2,4(ππππ ),4(ππ45,4(ππ23,45(),4(ππππ 11．已知，函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若| x 1－x 2|的最小值为π，则A ．ω＝2，θ＝B ．ω＝，θ＝C ．ω＝，θ＝D ．ω＝2，θ＝2π212π214π4π12. 设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a <<D ．b a c<<13．已知函数的图象关于直线对称，则可能是()sin(2)f x x ϕ=+8x π=ϕA .B .C .D .2π4π-4π34π14． 函数f (x )＝xxcos 2cos 1- A ．在 、上递增，在、上递减⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23B ．在、上递增，在、上递减⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ，⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，C ．在、上递增，在、 上递减⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，2⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，⎥⎦⎤⎝⎛23ππ，D ．在、上递增，在、上递减⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ⎥⎦⎤⎝⎛ππ2,23⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，⎥⎦⎤⎝⎛ππ,2二.填空题（每小题5分，共20分,）15. 已知，求使sin =成立的= ⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππαα32α16．sin15°cos75°+cos15°sin105°=_________17.函数y=Asin(x+)(＞0,||＜ ,x ∈R )的部分图象如图，ωϕωϕ2π则函数表达式为 18．已知为锐角，且cos = cos = , 则cos =_________βα,α71)(βα+1411-β19．给出下列命题：(1)存在实数,使 (2)存在实数，使α1cos sin=ααα23cos sin=+αα(3)函数是偶函数 （4）若是第一象限的角，且，则)23sin(x y +=πβα、βα>.其中正确命题的序号是________________________________βαsin sin >三.解答题(每小题12分，共60分,)20.已知函数y =3sin 421(π-x （1）用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象；（2）求此函数的振幅、周期和初相；（3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.21.已知 )cos(2-)sin(πθπθk k +=+Z k ∈求:（1）;（2）θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-θθ22cos 52sin 41+22．设，若的最大值为0，最小值为－4，试求与的值，0≥a b x a x y +-=sin cos 2a b并求的最大、最小值及相应的值．y x 23.已知，，且，求的值.21)tan(=-βα71tan -=β),0(,πβα∈βα-224.设函数（其中>0，），且f (x )的图象在a x x x x f ++=ωωωcos sin cos 3)(2ωR a ∈y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为．6π（1）求的值；ω（2）如果在区间的最小值为，求的值．)(x f 65,3[ππ-3a 测试题答案.一.DDDA,CDDA,DCAD,CA二arcsin1 y=(3)32)48sin(4-ππ+x 21三、解答题：20.已知函数y=3sin 421(π-x （1）用五点法作出函数的图象；（2）求此函数的振幅、周期和初相；（3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.解 （1）列表：x2π23π25π27π29421π-x 02πππ232π3sin 421(π-x 030-3描点、连线,如图所示：…………………………………………………………………………………………5（2）周期T===4，振幅A=3，初相是-. ωπ2212ππ4π………………………………………………………….8(3)令=+k (k ∈Z ),421π-x 2ππ得x=2k +(k ∈Z ),此为对称轴方程.π23π令x-=k (k ∈Z )得x=+2k (k ∈Z ).214ππ2ππ对称中心为)0,22(ππ+k (k ∈Z )…………………………………………………………………………..1221.已知sin(+k )=-2cos(+k ) (k ∈Z ).θπθπ求:（1）;θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-（2）sin 2+cos 2.41θ52θ解：由已知得cos(+k )≠0,θπ∴tan(+k )=-2(k ∈Z ),即tan =-θπθ2..................................................................................................2（1）………………………………………………………………10tan 352tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=+-=+-θθθθθθ…7（2）sin 2+cos 2==………………………………….1241θ52θθθθθ2222cos sin cos 52sin 41++2571tan 52tan 4122=++θθ22．设a≥0，若y ＝cos 2x －asinx ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求出使y 取得最大、最小值时的x 值．解：原函数变形为y ＝－ (2)412(sin 22a b a x ++++∵－1≤sinx≤1，a≥0∴若0≤a≤2，当sinx ＝－时2a y max ＝1＋b ＋＝0①42a 当sinx ＝1时，y min ＝－41)21(22a b a ++++＝－a ＋b ＝－4 ②联立①②式解得a ＝2，b ＝-2…………………………………………………………7y 取得最大、小值时的x 值分别为：x ＝2kπ－(k ∈Z)，x ＝2kπ＋(k ∈Z)2π2π若a ＞2时，∈(1，＋∞)2a ∴y max ＝－＝0 ③b a a b a +=+++-41)21(22y min ＝－ ④441)21(22-=+-=++++b a a b a 由③④得a ＝2时，而＝1 (1，＋∞)舍去 (112)a 故只有一组解a ＝2，b ＝－2 (12)23.已知tan(α－β)＝，β＝-，且α、β∈（0，），求2α－β的值.21tan 71π解：由tanβ＝－ β∈(0，π) 得β∈(, π)① (2)712π由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝ α∈(0，π)∴310＜α＜ (6)2π∴ 0＜2α＜π由tan2α＝＞0∴知0＜2α＜②432π∵tan(2α－β)＝＝1 (10)βαβαtan 2tan 1tan 2tan +-由①②知 2α－β∈(－π，0)∴2α－β＝－ (124)3π24.设函数（其中ω>0，a ∈R ），且f(x)的图象在y a x x x x f ++=ϖϖϖcos sin cos 3)(2轴右侧的第一个最高点的横坐标为．6π（1）求ω的值；（2）如果在区间的最小值为，求a 的值．)(x f 65,3[xπ-3解：(1) f(x)＝cos2x ＋sin2x ＋＋a……………………………….223ω21ω23＝sin(2x ＋)＋＋a…………………………………………………..4ω3π23依题意得2·＋＝解得＝ (6)ω6π3π2πω21(2) 由(1)知f(x)＝sin(2x ＋)＋＋a ω3π23又当x ∈时，x ＋∈…………………………………8⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ3π⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,0π故－≤sin(x ＋)≤1 (10)213π从而f(x)在上取得最小值－＋＋a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ2123因此，由题设知－＋＋a ＝故a ＝ (122)1233213+。
三角函数测试题(含答案)
三角函数测试题一、选择题1．电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数sin()I A t ωϕ=+(0,0,0)2A πωϕ>><<的图象如右图所示，则当1001=t 秒时，电流强度是 （ ） A ．5-安 B ．5安 C ．53安 D ．10安2．已知函数x x f y sin )(=的一部分图象如右图所示，则函数)(x f 可以是（ ）A x sin 2B x cos 2C x sin 2-D x cos 2-3．函数4sin 1)(2xx f +=的最小正周期是 （ ） A ．2πB ．πC ．π2D ．π44．已知函数x x x f sin cos )(=)(R x ∈，给出下列四个命题：①若)()(21x f x f -=，则21x x -= ②)(x f 的最小正周期是π2 ③在区间]4,4[ππ-上是增函数． ④)(x f 的图象关于直线43π=x 对称 其中真命题是 （ ）A ．①②④B ．①③C ．②③D ．③④5．函数2sin(2)2y x π=+是 （ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数6．已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ） A. 4sin(4)6y x π=+B. 2sin(2)23y x π=++C. 2sin(4)23y x π=++ D. 2sin(4)26y x π=++7．若函数)(2sin sin 22sin )(2R x x x x x f ∈⋅-=，则)(x f 是 （ ）A.最小正周期为π的偶函数B. 最小正周期为π的奇函数C. 最小正周期为π2的偶函数D. 最小正周期为2π的奇函数二、填空题 1．若tan 2α=，则2sin cos cos sin cos ααααα++-= .2．设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 。
三角函数综合测试题(卷)(含答案解析)
三角函数综合测试题一、选择题（每题 5 分，共 70 分）1． sin2100 =A ．33 1 12B ． -C ．D ． -2222．是第四象限角， tan5，则 sin12A ．1B ．1 5 555C ．D ．13133. (cossin) (cos 12sin ) ＝1212 12A ．－3B ．－1C ．1D ．322 2 24． 已知 sin θ＝ 3， sin2 θ＜ 0，则 tan θ等于5A ．－3 B ．3 C ．－3 或 3D ． 4444455．将函数 ysin( x) 的图象上全部点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变） ，再3将所得的图象向左平移个单位，获得的图象对应的僻析式是3A ． ysin 1xB ． y sin( 1x)122 2C. yx)D. ysin(2 x)sin(2 6626.tan x cot x cos xA ． tan x． sin xC.cos xD. cot xB7. 函数 y = sinx sin x 的值域是A. { 0 }B. [-2,2]C. [0,2]D.[-2,0]8. 已知 sin cos1 (0, ) ，则 sin+cos 的值为,且82A.5B. 5C.5 32-2D.229. y(sin x cos x)2 1是A ．最小正周期为2πB ．最小正周期为 2π的偶函数的奇函数C ．最小正周期为 π的偶函数D ．最小正周期为 π的奇函数10．在 ( 0,2 ) 内，使 sin xcos x 建立的 x 取值范围为A ．( ,) ( ,5 B ． (, ) C ．( ,5 D ． (, ) 5 3))(, )4 2444444211．已知，函数 y ＝ 2sin( x ω＋ θ)为偶函数 (0＜ θ＜ π )其图象与直线 y ＝ 2 的交点的横坐标为 x 1 ，x 2，若 | x 1－ x 2| 的最小值为 π，则A ．ω＝ 2， θ＝B ． ω＝ 1， θ＝C ． ω＝ 1，θ＝4 D ．ω＝ 2， θ＝22224 12. 设 asin5， b cos2， c tan 2 ，则777A ． a b cB ． a c bC ． b c aD ． b a c13．已知函数 f (x)sin(2 x) 的图象对于直线 x对称，则可能是8A.B.C.34D.24414． 函数 f(x)＝1cos2xcos xA ．在 0，、,223 B ．在0，、 ，22上递加，在 ,3、3, 2上递减22上递加，在, 、 3 ， 上递减222C ．在， 、 3 ， 上递加，在 ，、 3 上递减22 2，2 2 D ．在,3、 3 , 2 上递加，在 0，、,上递减2 222二 .填空题（每题 5 分，共 20 分,）15. 已知, ，求使 sin=2建立的=22316．sin15° cos75° +cos15° sin105° =_________ 17.函数 y=Asin( x+)(＞0,| | ＜ ,x ∈R)的部分图象如图，则2函数表达式为18．已知,为锐角，且 cos1cos () =11则 cos =_________ =,71419．给出以下命题：(1)存在实数,使sin cos1(2)存在实数，使 sin3 cos32(3) 函数y x) 是偶函数（ 4）若、是第一象限的角，且，则sin(2sinsin.此中正确命题的序号是________________________________三 .解答题 (每题 12 分，共 60 分 ,)20.已知函数y=3sin (1x) 2 4（1）用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象；（2）求此函数的振幅、周期和初相；（ 3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.21.已知sin(k ) -2 cos(k ) k Z求 :（ 1）4 sin2 cos;（2）1sin 22cos2 5 cos3sin4522．设a 0，若y cos2x a sin x b 的最大值为0，最小值为－4，试求a与b的值，并求 y 的最大、最小值及相应的x 值．23.已知 tan(1 1 (0, )，求2的值 .)， tan，且 ,2724.设函数 f (x)3 cos 2x sin x cos xa （此中>0， aR ），且 f(x)的图象在y 轴右边的第一个最高点的横坐标为．6（ 1）求的值；（ ）假如 f (x) 在区间[5 ] 的最小值为 3 ，求 a 的值．236测试题答案.一 .DDDA,CDDA,DCAD,CA二 arcsin21y= - 4sin( x ) 1(3)3842三、解答题：120.已知函数y=3sin ( x)24（ 1）用五点法作出函数的图象； （ 2）求此函数的振幅、周期和初相；（ 3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解（ 1）列表：3579x2 2 2 221032x422 23sin( 1x) 030-30 24描点、 ,如所示：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5（ 2）周期 T= 2=2=4，振幅 A=3，初相是 -.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8142(3)令1x=2+k (k∈Z), 24得 x=2k+ 3(k∈ Z),此称方程 . 2令1x-=k(k∈ Z)得 x=+2k(k∈ Z). 242称中心 (2k ,0)(k∈ Z) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..12 221.已知 sin(+k )=-2cos( +k) (k∈ Z).求 :（ 1）4 sin2cos;5 cos3sin（ 2）1sin2+2cos2.45解：由已知得 cos( +k ) ≠0,∴ tan(+k )=-2(k∈ Z),即tan =-2 (2)（1） 4sin 2 cos 4 tan210⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯75 cos3sin 5 3tan（ 2）1sin2+2cos21sin 22cos21tan 227⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.12=45=4545sin2cos2tan 212522． a≥0，若 y＝ cos2x－ asinx＋ b 的最大0，最小－ 4，求 a 与 b 的，并求出使 y 获得最大、最小的x ．解：原函数形y＝－(sin x a)2 1 b a 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯224∵ － 1 ≤ sinx≤1，a≥0∴若 0 ≤a≤2，当 sinx＝－a2max a2＝0①＝ 1＋ b＋4当 sinx＝ 1， y min＝－(1a)21 b a2 24＝－ a＋b＝－ 4②立①②式解得 a＝2， b＝ -2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 y 获得最大、小的x 分：x＝ 2k π－2 (k∈ Z)， x＝2k π＋2 (k∈ Z)若 a＞ 2 ，a∈ (1，＋∞)2∴ y max＝－(1 a )21b a 2a b＝ 0③24a21b a2a b4④y min＝－(1 )42由③④得a＝2，而a＝1(1，＋∞)舍去⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 2故只有一解a＝2， b＝－ 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..1223.已知 tan( α－β)＝1， tan β＝ -1，且α、β∈（ 0，），求 2α－β的 . 27解：由 tan β＝－1β∈ (0，π)得β∈( 2 , π)①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 7由 tan α＝ tan[( α－β)＋β]＝31α∈ (0，π)∴ 0＜α＜2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6∴ 0＜ 2 α＜π由 tan2 α＝3＞ 0∴知 0＜2α＜②42∵ tan(2－αβ)＝tan 2tan＝1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..10 1tan 2 tan由①②知 2α－β∈ (－π， 0)∴ 2 α－β＝－3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.12 424.函数f (x)3 cos2 x sin x cos x a （此中ω>0，a∈R），且f(x)的象在y 右的第一个最高点的横坐．6（ 1）求 ω的 ；（ 2）假如 f (x ) 在区 [3,5x] 的最小3 ，求 a 的 ．6解： (1) f(x)＝3 cos2 x ＋ 1sin2 x ＋ 3＋ a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.22 22＝ sin(2 x ＋)＋3＋ a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..432依 意得 2· ＋＝2 解得＝1632 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6(2) 由 (1)知 f(x) ＝sin(2 x ＋ )＋3 ＋ a32又当 x ∈, 5， x ＋3∈ 0,7⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8366故－ 1≤ sin(x ＋ ) ≤ 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..102 3进而 f(x)在,5上获得最小 －1 ＋ 3＋ a3622所以，由 知－1 ＋ 3＋ a ＝ 3 故 a ＝3 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.12222。
中考数学《锐角三角函数的综合》专项训练含详细答案
中考数学《锐角三角函数的综合》专项训练含详细答案一、锐角三角函数1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，33米，∵AB=AE-BE=6米，则3，解得：3则BE=（33+3）米．在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+3）米．∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12或33.【解析】【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形；（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴''DC DP DB DF = ， ∴△DP'C ∽△DF'B ；②当∠F′DB=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴'12DF BD =， ∴tan ∠DBF′='12DF BD =；当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意；当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴∠DBF′=30°， ∴tan ∠DBF′=33.【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.4．如图，矩形OABC 中，A(6，0)、C(0，3、D(0，3)，射线l 过点D 且与x 轴平行，点P 、Q 分别是l 和x 轴的正半轴上的动点，满足∠PQO ＝60º．(1)点B的坐标是，∠CAO＝ º，当点Q与点A重合时，点P的坐标为；(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．【答案】（1）（6，23）． 30．（3，33）（2）()()()()243x430x3331333x x3x5S{23x1235x93543x9+≤≤-+-<≤=-+<≤>【解析】解：（1）（6，23）． 30．（3，33）．（2）当0≤x≤3时，如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，可得EF PE DC31==OQ PO DO333==，∴EF=13（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为：EFQO14343S S EF OQ OC 3x x 43233==+⋅=+=+梯形（）（） 当3＜x≤5时，如图2，()HAQ EFQO EFQO 221S S S S AH AQ 243331333 x 43x 3=x x 32232∆=-=-⋅⋅=+---+-梯形梯形。
三角函数测试题及答案
三角函数测试题及答案试题一：一、选择题1. 下列各三角函数式中，值为正数的是 ( )A. B. C. D.2. 若=，且为锐角，则的值等于 ( )A. B. C. D.3. 若=，，则的值为 ( )A. 1B. 2C.D.4. 已知，则 ( )A. B.C. D.5. a=，则成立的是 ( )A. ab>c C. a6. 函数的定义域是( )A. B.C. D.7. 下面三条结论：①存在实数，使成立;②存在实数，使成立;③若cosacosb=0，则其中正确结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 38. 函数的值域是 ( )A. [-2，2]B. [-1，2]C. [-1，1]D. [，2]9. 函数y=-x·cosx的部分图象是( )10. 函数f(x)=cos2x+sin(+x)是( )A. 非奇非偶函数B. 仅有最小值的奇函数C. 仅有最大值的偶函数D. 既有最大值又有最小值的偶函数二、填空题1、函数的最小值等于并使函数y 取最小值的x的集合为2、若函数的图象关于直线对称，则函数的值域为3、已知函数三、解答题1、已知，求的值2、在DABC中，已知三边满足，试判定三角形的形状。
试题二：1、若sinα=-5/13，且α为第四象限角，tanα=?(文.6)A.12/5B.-12/5C.5/12D.-5/12解析：主要考察基础知识。
α是第四象限角，所以cosα为正，tanα为负。
cos2α=1-sin2α，且cosα是正数，所以cosα=12/13，t anα=sinα/cosα=-5/12，选D。
2、已知函数f(x)=10√3sin(x/2)*cos(x/2)+10cos2(x/2)1)求f(x)的最小正周期2)将f(x)的函数图像向右平移π/6个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到g(x)的函数图像，且函数g(x)的`最大值为2.i)求g(x)的解析式ii)证明存在无穷多互不相同个正整数x0，使得g(x0)>0.解析：1)函数的化简，可以看到两个式子都跟两倍角公式有关系，可以考虑先都变成两倍角。
高一数学三角函数综合试题答案及解析
高一数学三角函数综合试题答案及解析1.已知cosα=﹣，，则sin（α﹣）= ．【答案】.【解析】，；则.【考点】两角和的正弦公式.2.，其中、是常数，且满足，是否存在这样的、，使是与无关的定值.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】【解析】假设存在，由于函数的值与无关，故取的多个值函数值相同，为了能够尽可能的寻找的关系，这里取.试题解析：假设存在这样的，使是与无关的定值，可取的值分别为，则:且由此可解得 6分因为，所以所以解得， 10分此时，所以当时，是与无关的定值 14分【考点】存在性问题，任意性问题（特值法）.3.曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1、P2、P3…，则|P2P4|等于______________。
【答案】π【解析】可以利用两角和与差的三角函数化简，然后求出曲线与y=的y轴右侧的交点按横坐标，即可求出|P2P4 |．【考点】三角函数化简.4.函数,的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】这是三角函数图像与性质中的最小正周期问题，只要熟悉三角函数的最小正周期的计算公式即可求出，如的最小正周期为，而的最小正周期为，故函数的最小正周期为，故选C.【考点】三角函数的图像与性质.5.已知.（1）求的最小值及取最小值时的集合；（2）求在时的值域；（3）求在时的单调递减区间.【答案】（1）当，；（2）；（3）.【解析】先根据平方差公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式化简所给的函数.（1）将看成整体，然后由正弦函数的最值可确定函数的最小值，并明确此时的值的集合；（2）先求出的范围为，从而，然后可求出时，函数的值域；（3）将当成整体，由正弦函数的单调减区间中解出的取值范围，然后对附值，取满足的区间即可.试题解析：化简4分（1）当时，取得最小值，此时即，故此时的集合为 6分（2）当时，所以，所以，从而即 9分（3）由解得当时，，而，此时应取当时，，而，此时应取故在的单调减区间为 14分.【考点】1.三角恒等变换；2.三角函数的图像与性质.6.（1）已知f(x)＝sinx＋2sin(＋)cos(＋)．(1)若f(α)＝，α∈(－，0)，求α的值；（2）若sin＝，x∈(，π)，求f(x)的值．【答案】(1);(2).【解析】(1)首先根据三角函数公式对函数进行化简,即,从而,则,再由,又,从而求出的值.(2)由,则,根据同角平方关系,由,得,再由倍角公式,可得,,从而求出函数的值.试题解析：(1)f(x)＝sin x＋2sin(＋)cos(＋)＝sin x＋sin(x＋)＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，由f(α)＝，得sin(α＋)＝.∴sin(α＋)＝.∵α∈(－，0)，∴α＋∈(－，)．∴α＋＝.∴α＝－.(2)∵x∈(，π)，∴∈(，)．又sin＝，∴cos＝.∴sin x＝2sin cos＝，cos x＝－＝－.∴f(x)＝sin x＋cos x＝－＝.【考点】三角函数的公式及化简求值.7.若的值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【解析】因为，所以答案选D．【考点】1．三角函数式的变形、化简、求值．8.求函数y=2-sinx+cos2x的值域。
数学三角函数专题测试题（附答案）
数学三⾓函数专题测试题（附答案）三⾓函数测试题第I 卷（共50分）⼀. 选择题（每⼩题5分，共50分）1、已知sin α=54, 并且α是第⼆象限⾓, 那么tan α的值为 ( ) A －34 B －43 C 43 D 342、若θθθ则⾓且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 ( )A ．第⼀象限B ．第⼆象限C ．第三象限D ．第四象限3、下列函数中，周期为1的奇函数是（）A ．x y π2sin 21-=B ．)32(sin ππ+=x yC ．tan2y x π= D ．x x y ππcos sin =4、函数y = sin(2x+25π)的图象的⼀条对称轴⽅程是 ( )A x = －2πB x = －4πC x = 8πD x =45π5、函数)2(3cos 2cos )(ππ-≤≤-+-=x x x x f 有（）A ．最⼤值3，最⼩值2B ．最⼤值5，最⼩值3C ．最⼤值5，最⼩值2D ．最⼤值3，最⼩值815 6、函数y=asinx －bcosx 的⼀条对称轴⽅程为4π=x ，则直线ax －by+c=0的倾斜⾓是（）A ．45°B ．135°C ．60°D ．120°7、若函数)sin()(?ω+=x x f 的图象（部分）如图所⽰，则?ω和的取值是 ( )A ．3,1πω==B ．3,1πω-==C ．6,21π?ω==D ．6,21π?ω-==8、若f ( x ) = tan (x +4π) ，则 A f (－１) > f ( 0 ) > f (1 ) Ｂ f (1 ) > f (0 )> f ( – 1 ) C f (0 ) > f (1 ) > f ( – 1 ) D f (0 ) > f ( – 1 ) > f ( 1 ) 9、若sin x 是减函数，且cos x 是增函数，则2x是第（）象限⾓ A ⼆ B ⼀或⼆ C ⼆或三 D ⼆或四10、函数y = 12cos 2sin -+x x 的定义域是A [ 0 ,4π] B [ 42,2πππ+k k ] C [4,πππ+k k ] D [432,42ππππ++k k ]第II 卷（共100分）⼆.填空题（每⼩题5分，共25分） 11.已知=-=-ααααcos sin ,45cos sin 则 12.已知等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=13、函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最⼩正周期T= 。
精品解析2022年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数综合测评试题(含详细解析)
人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则下列选项正确的是（）A．sin A＝34B．cos A＝45C．cos B＝34D．tan B＝352、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cos B的值等于（）A．34B．43C．45D．353、如图，用一块直径为4的圆桌布平铺在对角线长为4的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A1B．2C．1D14、在科学小实验中，一个边长为30cm正方体小木块沿着一个斜面下滑，其轴截面如图所示．初始状态，正方形的一个顶点与斜坡上的点P重合，点P的高度PF＝40cm，离斜坡底端的水平距离EF＝80cm．正方形下滑后，点B的对应点B'与初始状态的顶点A的高度相同，则正方形下滑的距离（即AA'的长度）是（）cmA ．40B ．60C ．305D ．4055、如图①，5AB =，射线AM BN ∥，点C 在射线BN 上，将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，点P ，Q 分别在射线AM 、BN 上，PQ AB ∥．设AP x =，QD y =．若y 关于x 的函数图象（如图②）经过点()9,2E ，则cos B 的值等于（ ）A ．25B ．12C ．35D ．7106、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折起，使顶点C 落在C ′处，若AB = 4，DE = 8，则sin∠C ′ED 为（ ）A ．2B ．12C D7、如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点O 相距30米的点A 处，测得楼顶B 点的仰角65OAB ︒∠=，则这幢大楼的高度为（ ）A ．30sin 65︒⋅米B ．30cos 65︒米 C ．30tan 65︒⋅米 D ．30tan 65︒米 8、如图，在ABC 中，135ABC ∠=︒，点P 为AC 上一点，且90PBA ∠=︒，12CP PA =，则tan APB ∠的值为（ ）A ．3B ．2C ．13D 9、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则sin A 的值是（ ）A B ．35C ．34D10、如图，过点O 、A (1，0)、B (0作⊙M ，D 为⊙M 上不同于点O 、A 的点，则∠ODA 的度数为（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，则tan EFC ∠的值为_____．2、助推轮椅可以轻松解决起身困难问题．如图1是简易结构图，该轮椅前⊙O 1和后轮⊙O 2的半径分别为0.6dm 和3dm ，竖直连接处CO 1＝1dm ，水平连接处BD 与拉伸装置DE 共线，BD ＝2dm ，座面GF 平行于地面且GF ＝DE ＝4.8dm ，HF 是轮椅靠背，∠ADE 始终保持角度不变．初始状态时，拉伸杆AD 的端点A 在点B 正上方且距地面2.2dm ，则tan∠ADB 的值为 _____．如图2，踩压拉伸杆AD ，装置随之运动，当AD 踩至与BD 重合时，点E ，F ，H 分别运动到点E '，F '，H '，此时座面GF '和靠背F 'H '连成一直线，点H 运动到最高点H '，且H '，F ，O 2三点正好共线，则H 'O 2的长为 _____dm ．3、如图所示，草坪边上有互相垂直的小路m，n，垂足为E，草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘有A，B，C三棵小树．在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从E点沿着小路n往右走，测得∠1＝∠2＝∠3，EQ＝16米，QK＝24米；从E点沿着小路m往上走，测得EP＝15米，BP⊥m，则该圆的半径长为_______米．4、如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为________．5、如图所示，河堤的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，2AD m，点A到BC的距离为4m，斜坡AB的坡度为1：3，斜坡CD的坡角为45°，则四边形ABCD的面积为__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx＋12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：（1）求点A、点B的坐标．（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝14，双曲线y＝mx（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，连结AC，BD交于点E，弦CF⊥BD于点G，连结AG，且满足∠1＝∠2．（1）求证：四边形AGCD为平行四边形．（2）设tan F＝x，tan∠3＝y，①求y关于x的函数表达式．②已知⊙O的直径为y＝34，点H是边CF上一动点，若AF恰好与△DHE的某一边平行时，求CH的长．③连结OG，若OG平分∠DGF，则x的值为．3、如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53︒，观测旗杆底部B 的仰角为45︒，则建筑物BC的高约为多少米？（结果保留小数点后一位）．（参考数据sin530.80︒≈，︒≈）cos530.60︒≈，tan53 1.334、如图，O的弦AB与直径CD交于点G，点C是优弧ACB的中点．（1）AG BG=（2）当AB也为O直径时，连接BC，点K是O内AB上方一点，过点K作KR BC⊥于点R，交OC于点M，连接KA，KC，2∠=∠求证：AKC KAB ABC∠-∠=∠KCB KAB（3）在（2）的条件下，过点B作BN AK∥交KR于点N，连接BK并延长交O于点E，2EK=，BR KN=，求O的半径．:10:135、如图，抛物线()()41y a x x =+-的图像与x 轴的交分别为点A 、点B ，与y 轴交于点C ，且tan 2CBA ∠=．（1）求抛物线解析式（2）点D 是对称轴左侧抛物线上一点，过点D 作DE AO ⊥于点E ，交AC 于点P ，32DP =，求点D 的坐标．（3）在（2）的条件下，连接AD 并延长交y 轴于点F ，点G 在AC 的延长线上，点C 关于x 轴的对称点为点H ，连接AH ，GF 、GH ，点K 在AH 上，GH AK AH =+，12KCH CAO ∠=∠，:3:4GF GH =，过点C 作CR GH ⊥，垂足为点R ，延长RC 交抛物线于点Q ，求点Q 坐标．---------参考答案----------- 一、单选题 1、B【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sin A，cos A，cos B和tan B即可．【详解】解：由勾股定理得：5AB，所以3sin5BCAAB==，4cos5ACAAB==，cos35BCBAB==，4tan3ACBBC==，即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误．故选：B．【点睛】本题主要是考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握每个锐角三角函数的定义，是求解该类问题的关键．2、D【分析】根据题意画出图形，求出AB的值，进而利用锐角三角函数关系求出即可．【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB，∴cos B＝BCAB＝35．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟知余弦函数的定义是解题关键．3、B【分析】作出图象，把实际问题转化成数学问题，求出弦心距，再用半径减弦心距即可．【详解】如图，正方形ABCD是圆内接正方形，4BD=，点O是圆心，也是正方形的对角线的交点，作OF BC⊥，垂足为F，∵直径4BD=，∴2OB=，又∵BOC是等腰直角三角形，由垂径定理知点F是BC的中点，∴BOF是等腰直角三角形，∴sin45OF OB=°∴2x EF OE OF==-=故选：B．【点睛】此题考查了垂径定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是根据题意作出图像，把实际问题转化成数学问题．4、B【分析】根据题意可得：A 与B '高度相同，连接AB '，可得AB EF '∥，利用平行线的性质可得：B AA PEF ''∠=∠，根据正切函数的性质计算即可得．【详解】解：根据题意可得：A 与B '高度相同，如图所示，连接AB '，∴AB EF '∥，∴B AA PEF ''∠=∠， ∴1tan tan 2PF B AA PEF EF ''∠=∠==， ∴301tan 2A B B AA AA AA ''''∠===''， ∴60AA '=，故选：B ．【点睛】题目主要考查平行线的性质及锐角三角函数解三角形，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题关键．5、D【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解．【详解】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ＝x，由图②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，QD=y＝2，如图①所示，∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，∴AC⊥BN，∴BC＝CD＝12BD＝72，∴cos B＝BCAB＝725＝710，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识．理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键．6、B【分析】由折叠可知，C′D=CD=4，再根据正弦的定义即可得出答案．【详解】解：∵纸片ABCD是矩形，∴CD=AB，∠C=90°，由翻折变换的性质得，C′D=CD=4，∠C′=∠C=90°，∴41 sin82C DC EDED''∠===．故选：B．【点睛】本题可以考查锐角三角函数的运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边．7、C【分析】利用在Rt△ABO中，tan∠BAO＝OBAO即可解决．【详解】：解：如图，在Rt△ABO中，∵∠AOB ＝90°，∠A ＝65°，AO ＝30m ，∴tan 65°＝OB AO， ∴BO ＝30•tan 65°米．故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知正切函数为对边比邻边．8、A【分析】过点P 作PD∥AB 交BC 于点D ，因为135ABC ∠=︒，且90PBA ∠=︒，则tan∠PBD =tan45°=1，得出PB =PD ，再有12CP PA =，进而得出tan∠APB 的值． 【详解】 解：如图，过点P 作PD AB ∥交BC 于点D ，∴CPD CAB △∽△， ∴AC AB PC PD=,∵135ABC ∠=︒，且90PBA ∠=︒，∴∠PBD =45°，∴tan tan 451PBD ∠=︒=，∴PB PD =，又∵12CP PA =， ∴3AC PC=， ∴tan 3AB AB AC APB PB PD PC∠====． 故选A ．【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解．9、A【分析】先根据银河股定理求出AB ，根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】解：如图，∵∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，∴AB ==∴sinBC A AB == 故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键．10、D【分析】连接AB ，先利用正切三角函数可得30OBA ∠=︒，再分点D 在x 轴上方的圆弧上和点D 在x 轴下方的圆弧上两种情况，分别利用圆周角定理、圆内接四边形的性质求解即可得．【详解】解：如图，连接AB ，(1,0),A B ，1,OA OB ∴==90AOB ∠=︒，∴在Rt AOB 中，tanOA OBA OB ∠== 30OBA ∴∠=︒，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当点D 在x 轴上方的圆弧上时，由圆周角定理得：30OBAODA∠∠==︒；（2）如图，当点D在x轴下方的圆弧上时，由圆内接四边形的性质得：180150OD BAA O∠=︒-∠=︒；综上，ODA∠的度数为30或150︒，故选：D．【点睛】本题考查了正切、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．二、填空题1、34．【解析】【分析】根据折叠的性质和锐角三角函数的概念来解答即可．【详解】解：根据题意可得：在Rt ABF ∆中，有8AB =，10AF AD ==则在ABF ∆中，6BF =，90AFE D ∠=∠=︒，BAF EFC ∴∠=∠，B C ∠=∠，∴Rt ABF Rt EFC ，EFC BAF ∴∠=∠， 故63tan tan 84EFC BAF ∠=∠==． 故答案是：34．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．2、 310； 7； 【解析】【分析】根据题意求得A 到BD 的距离h ，进而根据正切的定义可得tan h h ADB BD AD∠==;如图2，过点H '作H K GF '⊥交GF 的延长线于点K ，解直角三角形GKH '即可解决问题 【详解】解：拉伸杆AD 的端点A 在点B 正上方且距地面2.2dm ，BD ＝2dm ，⊙O 1半径分别为0.6dm ，竖直连接处CO 1＝1dm ，设A 到BD 的距离为h ，则()2.20.610.6h =-+=dmtan h h ADB BD AD ∠==0.63210== 如图1，连接2O F ，过点2O 作2O M GF ⊥，24.8,3FG O F ==1 2.42FM FG ∴==2Rt MFO 中2 1.8O M == 2 1.83tan 2.44MFO ∴∠== ∠ADE 始终保持角度不变． ∴ADB E DE '∠=∠GF ＝DE ，//GF DE∴四边形GFED 是平行四边形 装置运动后，//GF DE ''E DEF GE ''∴∠=∠如图2，过点H '作H K GF '⊥交GF 的延长线于点K ，则23tan tan 4H FK MFO '∠=∠= 设3H K x '=，则4FK x =，5FH x '=， 3tan tan tan 10H GK E DE ADB ''∴∠=∠=∠= 334 4.810x x =+ 解得0.8x =3 2.4,4 3.2KH x FK x '∴==== 54FH x '∴==2347O H OF FH ''∴=+=+= 故答案为：310，7【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形的应用，两图中有一个角是相等的，找到这个角的并求得它的正切值为310是解题的关键． 3、253##183【解析】【分析】设圆心为O ，过点C 作CF n ⊥，连接OC 交AB 于点D ，//,//BE QA PA n ，根据题意可证明四边形PEFD 是矩形，进而求得PB ,证明ABC QKC ∽，根据tan 2tan 1tan PBE ∠=∠=∠求得DC ，设O 的半径为r ,在Rt OAD 中，222OD DA AO +=，勾股定理即可求解【详解】如图，设圆心为O ，过点C 作CF n ⊥，连接OC 交AB 于点D ，根据题意,m n PB M ⊥⊥//PB n ∴在小路上P ，Q ，K 三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，且∠1＝∠2，//,//BE QA PA n ∴16AB EQ ∴==∠2＝∠3，//BA QKA CBA ∴∠=∠CB CA ∴=OC AB ∴⊥182BD AD AB ∴=== ,,O C F ∴三点共线∴四边形PEFD 是矩形2=3,CF QK ∠∠⊥1122QF QK ∴== 161228EF EQ QF ∴=+=+=28820PB PD BD EF BD ∴=-=-=-=//AB QKABC QKC ∴∽AB DC QK CF ∴=162243== 23CF DC ∴= //PB n1=PBE ∴∠∠153tan 2tan 1tan 204PBE ∴∠=∠=∠== 3tan 24CF QF ∴∠== 12QF =9CF ∴=2963DC ∴=⨯= 设O 的半径为r ,在Rt OAD 中，222OD DA AO +=则()22268r r -+= 解得253r =故答案为：253【点睛】本题考查了两点确定一条直线，三角函数，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，等边对等角，理清各线段长，并添加辅助线是解题的关键．4、2π【解析】【分析】由正六边形ABCDEF 的边长为2，可得AB =BC =2，∠ABC =∠BAF =120°，进而求出∠BAC =30°，∠CAE =60°，过B 作BH ⊥AC 于H ，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH =CH ，BH =1，在Rt △ABH 中，由勾股定理求得AH AC 的面积【详解】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，()6218021206AB BC ABC BAF -⨯︒∴==∠=∠==︒， =120°，∵∠ABC +∠BAC +∠BCA =180°，∴∠BAC =12（180°-∠ABC ）=12×（180°-120°）=30°，过B 作BH ⊥AC 于H ，∴AH =CH ，BH =12AB=12×2=1，在Rt △ABH 中，AH =∴AC ，同理可证，∠EAF =30°，∴∠CAE =∠BAF -∠BAC -∠EAF =120°-30°-30°=60°，∴(260?2360CAE S ππ==扇形∴图中阴影部分的面积为2π，故答案为：2π．【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．5、40 m 2【解析】【分析】过A 作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 与F ，先证四边形AEFD 为矩形，得出AE =DF =4m ，AD =EF =2m ，根据斜坡AB的坡度为1：3，求出BE =3AE =3×4=12m，根据斜坡CD 的坡角为45°，求出CF =DF =4m ，再求BC =BE +EF +FC =18m ，然后利用梯形面积公式计算即可．【详解】解：过A 作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 与F ，∴∠AEF =∠DFE =90°，∵AD ∥BC ，∴∠ADF +∠DFE =180°，∴∠ADF =180°-∠DFE =180°-90°=90°，∴∠AEF =∠DFE =∠ADF =90°，∴四边形AEFD 为矩形，∴AE =DF =4m ，AD =EF =2m ，∵斜坡AB 的坡度为1：3，∴tan∠ABE =13AEBE ， ∴BE =3AE =3×4=12m，∵斜坡CD 的坡角为45°，∴tan∠C =1DF CF=， ∴CF =DF =4m ，∴BC =BE +EF +FC =12+2+4=18m ，∴四边形ABCD 的面积为()()211421840m 22AE AD BC +=⨯⨯+=． 故答案为40 m 2．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，坡度，坡角，斜坡，锐角正切函数，矩形判定与性质，梯形面积公式，掌握解直角三角形的应用，坡度，坡角，斜坡，锐角正切函数，矩形判定与性质，梯形面积公式，关键是利用辅助线把梯形问题转化为直角三角形和矩形来解．三、解答题1、（1）A（16，0），B（-9，0）；（2）-24；（3）存在，（16，12）或（25，12）或（32，643）或（288384,2525）【解析】【分析】（1）解一元二次方程x2﹣15x﹣16＝0，对称点A（16，0），根据直线BC的解析式为y＝kx＋12，求出与y轴交点C为（0，12），利用三角函数求出tan∠BCO= tan∠OAC=3=4OBOC，求出OB=3312944OC=⨯=即可；（2）过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，利用勾股定理求出AC20 =，BC=，根据三角函数求出tan∠CAD＝1204CD CDAC==，求出12054CD=⨯=，利用三角函数求出DE= CD sin∠BCO=3535⨯=，再利用勾股定理求出点D（-3，8）即可；（3）过点A作AP1与过点C与x轴平行的直线交于P1，先证四边形COAP1为矩形，求出点P1（16，12），再证△P1CA∽△CAB，作P2A⊥AC交CP1延长线于P2，可得∠CAP2=∠BCA=90°，∠P2CA=∠CAB，可证△CAP2∽△ACB，先求三角函数值cos∠CAO=164205COAC==，再利用三角函数值cos∠P2CA= cos∠CAO= 222045ACCP CP==，求出225CP=，得出点P2（25,12）作∠P3CA=∠OCA，在射线CP3截取CP3=CO=12，连结AP3，先证△CP3A≌△COA（SAS）再证△P3CA∽△CAB，设P3（x，y）利用勾股定理列方程()()22222216161212x y y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解方程得出点P 3（2883842525，），延长CP 3与延长线交P 4，过P 4作PH ⊥x 轴于H ，先证△CAP 4∽△ACB ，再证△P 4P 3A ≌△P 4HA （ASA ），利用cos∠P 3CA =34123205PC CACA CP ===，求得4510033CA CP ==即可．【详解】解：（1）x 2﹣15x ﹣16＝0，因式分解得()()1610x x -+=， 解得12161x x ==-，，点A 在x 轴的正半轴上，OA =16，∴点A （16，0），∵直线BC 的解析式为y ＝kx ＋12，与y 轴交点C 为（0，12），∴tan∠OAC =123=164，∠OCA +∠OAC =90°， ∵AC ⊥BC ，∴∠BCO +∠OCA =90°，∴∠BCO =∠OAC ，∴tan∠BCO = tan∠OAC =3=4OB OC ， ∴OB =3312944OC =⨯=，∴点B （-9，0）；（2）过点D 作DE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，在Rt △AOC 中，AC20==，在Rt △BOC 中，∵tan∠CAD ＝1204CD CD AC ==， ∴12054CD =⨯=，∵sin∠BCO =93155OB BC ==， ∴DE = CD sin∠BCO =3535⨯=，∴CE 4=，OE =OC -EC =12-4=8， ∴点D （-3，8），∵双曲线y ＝m x（m ≠0）的一个分支经过点D ， ∴3824m xy ==-⨯=-;（3）过点A 作AP 1与过点C 与x 轴平行的直线交于P 1， 则∠CP 1A =∠P 1CO =∠COA =90°，∴四边形COAP 1为矩形，∴点P 1（16，12），当点P 1（16,12）时，CP 1∥OA，∠P 1CA =∠CAB ，∠ACB =∠CP 1A ，∴△P 1CA ∽△CAB ，作P 2A ⊥AC 交CP 1延长线于P 2，∵∠CAP 2=∠BCA =90°，∠P 2CA=∠CAB， ∴△CAP 2∽△ACB ，∴cos∠CAO =164205CO AC ==， ∴cos∠P 2CA = cos∠CAO =222045AC CP CP ==，∴225CP =，∴点P 2的横坐标绝对值=225CP =，纵坐标的绝对值=OC=12， ∴点P 2（25,12），作∠P 3CA =∠OCA ，在射线CP 3截取CP 3=CO =12，连结AP 3， 在△CP 3A 和△COA 中，33CP CO PCA OCA CA CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CP 3A ≌△COA （SAS ），∴AP 3=OA =16， ∴33124164,155205CP P A CB CA ====， ∴3334,905CP P A CP A BCA CB CA ==∠=∠=︒ ∴△P 3CA ∽△CAB ，设P 3（x ，y ）()()22222216161212x y y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 整理得22223224x y x y x y⎧+=⎨+=⎩， 解得：2882538425x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 3（2883842525，）， 延长CP 3与延长线交P 4，过P 4作PH ⊥x 轴于H ， ∵∠P 4CA =∠CAB ，∠P 4AC =∠BAC =90°， ∴△CAP 4∽△ACB ， ∵∠BAC +∠HAP4=∠CAP 3+∠P 3AP 4=90°，∠CAP 3=∠BAC ， ∴∠HAP4=∠P 3AP 4， ∠P 4P 3A =180°-∠CP 3A =180°-90°=90°=∠P 4HA ， 在△P 4P 3A 和△P 4HA 中， 34444434P AP HAP AP AP P P A P HA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △P 4P 3A ≌△P 4HA （ASA ）， ∴AP 3=AH =16，P 3P 4=P 4H ，∵cos∠P 3CA =34123205PC CACA CP ===， ∴4510033CA CP ==，∴43443100641233P H P P CP CP ==-=-=，OH =OA +AH =OA +AP 3=16+16=32， ∴点464323P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 综合直线CB 下方，使以C 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似．点P 的坐标（16，12）或（25,12）或64323⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(2883842525，)．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，直线与y 轴的交点，反比例函数解析式，锐角三角形函数，勾股定理，三角形全等判定与性质，矩形判定与性质，三角形相似，图形与坐标，解方程组，本题难度大，综合性强，涉及知识多，利用动点作出准确图形是解题关键．2、（1）见解析；（2）①y =1x 2．②245或185．③1或2 【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB =∠DGC =90°，证明AD∥CG ；根据∠1=∠2=∠ACD ，证明AG∥CD ；根据平行四边形的定义判定即可；（2）①如图1，过点A 作AP ⊥CF 于点P ，根据AD ∥CF ，得AF =DC ，四边形APGD 是矩形，△APF≌△DGC，从而得到CG=GP=PF=AD，设CG=GP=PF=AD=a，DE=EG=b，则GF=2a，GD=2b，BG=CG GF GD=2a b ，在Rt△BGC中，tan∠3＝y=CGGB，在Rt△APF中，tan F＝x=APPF，消去a，b即可；②运用勾股定理，确定a，b的值，显然DE与AF是不平行的，故分DH∥AF和EH∥AF两种情形计算即可．③过点O作OM⊥CF于点M，过点O作ON⊥BD于点N，根据OG平分∠DGF，OM=ON，于是BD=CF，从而确定a，b之间的数量关系，代入计算即可．【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，弦CF⊥BD于点G，∴∠ADB=∠DGC=90°，∴AD∥CG；∵∠1=∠2=∠ACD，∴AG∥CD；∴四边形AGCD为平行四边形；（2）①如图1，过点A作AP⊥CF于点P，则四边形ADGP是矩形∵四边形AGCD为平行四边形∴AD∥CF，AD=CG，DE=EG，∠DAC=∠ACF∴AF=DC，AP=DG，∴△APF≌△DGC，∴CG=GP=PF=AD，设CG=GP=PF=AD=a，DE=EG=b，则GF=2a，CF=3a，GD=2b，∵BG GD CG GF⋅=⋅，∴BG=CG GFGD=2ab，在Rt△BGC中，tan∠3＝y=CGGB=2baa⨯=ba，在Rt△APF中，tan F＝x=APPF=2ba，消去a，b即可；∴x=2y，∴y关于x的函数表达式为y=1x2；②∵tan∠3＝y=CGGB=2baa⨯=ba，y＝34，∴ba＝34，∴b＝34 a，∴GD=2b=32 a，∴BG=2ab=43a，∴BD =DG +BG =43a +32a =176a ，∵AB 222AD BD AB +=，∴22217()6a a +=， 解得a =125； 显然DE 与AF 是不平行的，如图2，当DH ∥AF 时，∵AD ∥FH ，∴四边形ADHF 是平行四边形，∴AD =FH =a ，∴CH =2a =245；如图3，当EH ∥AF 时，∵四边形AGCD是平行四边形，∴AE=EC，∴H是CF的中点，∵CF=3a=365，∴CH=185；故CH的长为245或185；③如图4，过点O作OM⊥CF于点M，过点O作ON⊥BD于点N，∵OG平分∠DGF，∴OM=ON，∴BD=CF，∴3a=2b+2ab，整理，得2232a ab b-+=0，解得a=b或a=2b，∵tan F＝x=APPF=2ba，当a=b时，x=2ba=2，当a=2b时，x=2ba=1，故答案为：1或2．【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆心角，弦，弦心距之间的关系，圆周角的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，三角形函数，因式分解，熟练掌握圆的基本性质，灵活掌握三角函数的计算，分类思想是解题的关键．3、建筑物BC的高约为24.2米【解析】【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得BC CD =，设m BC CD x ==，从而可得(8)m AC x =+，再在Rt ACD △中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．【详解】解：由题意得：AC CD ⊥，8m AB =，53ADC ∠=︒，45BDC ∠=︒，Rt BCD ∴是等腰直角三角形，BC CD ∴=，设m BC CD x ==，则(8)m AC x =+，在Rt ACD △中，tan AC ADC CD∠=，即8tan 53 1.33x x +=︒≈， 解得24.2(m)x ≈，经检验，24.2(m)x ≈是所列分式方程的解，且符合题意，∴建筑物BC 的高约为24.2米，答：建筑物BC 的高约为24.2米．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．4、（1）见详解；（2）见详解；（3）OA =【解析】【分析】（1）连结OA 、OB ，根据点C 是优弧ACB 的中点．得出AC BC =，得出圆心角相等，得出∠AOD =180°-∠AOC =180°-∠BOC =∠BOD ，根据等腰三角形性质即可得出AG =BG ；（2）作∠KCB 的平分线交AB 于H ，连结AC ，CK 与AB 交于L ，根据AB ，CH 为直径，AB ⊥CD ，可得AC BC =，∠ACB =90°，得出∠ABC =∠BAC =45°，根据CH 平分∠KCB ，得出∠KCH =∠HCB =11222KCB KAB KAB ∠=⨯∠=∠，可得∠AKL =180°-∠KAL -∠KLA =180°-∠ACH -∠HLC =∠LHC ，利用∠LHC为△HCB 的外角得∠LHC =∠ABC +∠HCB =∠KAB +∠BAC =∠AKC 即可；（3）连结AE ，RK 与AB 交于P ，延长BN 交AC 与Q ，根据CH 平分∠KCB ，得出∠KCS =∠BCS =∠KAB ，根据BN∥AK ，可得∠EKA =∠EBN ，∠KAB =∠ABN ，可证∠BKR =∠SCB ，再证∠KBA =∠NBC ，求出∠EKA =45°，根据等腰三角形性质与勾股定理AE =KE =2，AK=，再证四边形AQNK为平行四边形，可得AK =QN =AQ =KN ,设BR =10m ，KN =13m ，BN =x ，先证△PNB ∽△BNK ，PN BN BN KN =，即213BN BN x PN KN m⋅==，再根据勾股定理Rt △BNR 中，根据勾股定理222+BN NR BR =，求出x =，然后证明△AQB ∽△BNK ，AQ BQ BN KN =即BQ BN AQ KN ⋅=⋅，解得m =△BNR ∽△BQC ，可得1026m BR BQ BC BN ⋅==即可． 【详解】（1）证明：连结OA ，OB∵点C 是优弧ACB 的中点．∴AC BC =，∴∠AOC =∠BOC ，∴∠AOD =180°-∠AOC =180°-∠BOC =∠BOD ，∵OA=OB，∴OG 平分AB ，∴AG =BG ；（2）作∠KCB的平分线交AB于H，连结AC，CK与AB交于L，∵AB，CH为直径，AB⊥CD，∵AC BC=，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°，∵CH平分∠KCB，∴∠KCH=∠HCB，∵2KCB KAB∠=∠∴∠KCH=∠HCB=11222KCB KAB KAB∠=⨯∠=∠，∵∠KLA=∠HLC，∴∠AKL=180°-∠KAL-∠KLA=180°-∠ACH-∠HLC=∠LHC，∵∠LHC为△HCB的外角，∴∠LHC=∠ABC+∠HCB=∠KAB+∠BAC=∠AKC，∴∠AKC-∠KAB=∠BAC即AKC KAB ABC∠-∠=∠（3）连结AE，RK与AB交于P，延长BN交AC与Q，∵CH平分∠KCB，∴∠KCS=∠BCS=∠KAB，∵BN∥AK，∴∠EKA=∠EBN，∠KAB=∠ABN，∵∠AKL=∠LHC=∠HBC+∠HCB=∠KAB+∠BAC=∠KAC，∴AC=KC=BC，∵CH平分∠KCB，∴CS⊥BK，BS=KS，∴∠SCB+∠SBC=90°，∵KR⊥BC，∴∠RKB+∠RBK=90°，∵∠CBS=∠KBR，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°，∴∠BPR=45°=∠RKB+∠ABP=∠ABN+∠NBC，∵∠RKB=∠ABN，∴∠KBA=∠NBC，∴∠EBN=45°，∴∠EKA=45°，∵∠AEK=90°，∴∠EAK=90°-∠EKA=45°∴AE=KE=2，AK=∵KR⊥BC，∠ACB=90°，∴AC∥KR，AK∥BQ，∴四边形AQNK为平行四边形，∴AK=QN=AQ=KN,设BR=10m，KN=13m，BN=x，∴AQ=KN=13m，∵∠PBN=∠BKN，∠PNB=∠BNK，∴△PNB∽△BNK，∴PN BNBN KN=，即213BN BN xPNKN m⋅==，∵PR⊥BC，∠PBR=45°∴NR =PR -PN =10m-213x m, 在Rt △BNR 中，根据勾股定理222+BN NR BR = 即()2222101013x x m m m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ∴2422222010010013169x x x m m m =-++ 整理得4224429338000x m x m -+=，解得22325x m =舍去，22104x m =∴x =∵PN∥AQ，∴∠BNP =∠BQA ，∠BPN =∠BAQ ，∴△PNB ∽△AQB ，∴△AQB ∽△BNK ，AQ BQ BN KN=即BQ BN AQ KN ⋅=⋅∴(2169x x m +=∴22169x m += ∴2x = ∴222104m =解得m =∴NR∥QC ，∴∠BNR =∠BQC ，∠BRN =∠BCQ ，∴△BNR ∽△BQC ，∴BN BR BQ BC =即1026m BR BQ BC BN ⋅===， ∴AB =BC=，∴OA =1122AB =⨯=【点睛】本题考查等腰三角形性质，角平分线定义，三角形外角性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形相似判定与性质，直径所对圆周角性质，勾股定理，一元高次方程，锐角三角函数，本题难度大，综合性强，图形复杂，利用辅助线构造准确图形，是中考压轴题，掌握多方面知识是解题关键．5、（1）213222y x x =--+；（2）(3,2)D -；（3）325(,)28Q -【解析】【分析】（1）根据tan 2CBA ∠=求出点C 的坐标，把点C 的坐标代入()()41y a x x =+-即可求出a ，即可得出抛物线解析式；（2）先求直线AC 解析式，设23,2)12(2D m m m -+-，则可表示点P 坐标，y 值相减即可得出答案； （3）作CAO ∠的角平分线为AM ，作MN AC ⊥交于点N ，过点K 作KT y ⊥轴交于点T ，由（2）得点D 坐标，求出直线AD 解析式，令0x =，求出F 点坐标，由对称得出点H 坐标，求出直线AH 的解析式，求出AK 、AH 的值，可得GF 、FG ，FH 满足勾股定理，即FG HG ⊥，求出点G 坐标，得出直线FG 解析式，即可得出直线CR 解析式，与抛物线解析式联立，即可求出点Q 的坐标．【详解】（1）由题得：(4,0)A -，(1,0)B ，∴1OB =，∵tan 2CBA ∠=， ∴2OC OB=，即2OC =， ∴(0,2)C ，把(0,2)C 代入()()41y a x x =+-得：12a =-， ∴抛物线解析式为：()()2141213222y x x x x =--=-++-； （2）设直线AC 的解析式为y kx b =+，把(4,0)A -，(0,2)C 代入得：402k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =+， 设23,2)12(2D m m m -+-，则1(,2)2P m m +， ∴2213113(2)(2)222222m m m m m --+-+=--=， 解得：3m =-或1m =-， ∵213222y x x =--+的对称轴为直线332122()2x -=-=-⨯-，点D 是对称轴左侧抛物线上一点， ∴3m =-， ∴2132222m m --+=， ∴(3,2)D -；（3）如图，作CAO ∠的角平分线为AM ，作MN AC ⊥交于点N ，过点K 作KT y ⊥轴交于点T ，由(4,0)A -，(3,2)D -得直线AD 解析式为28y x =+，∴AC =()0,8F ，∵H 是点C 的对称点，∴(0,2)H -，由(4,0)A -，(0,2)H -得直线AH 解析式为122y x =--，∴AH AC ==设(0,)M t ，1(,2)2T n n --，则OM MN t ==，2CM t =-，4CN AC AN AC OA =-=-=，2224)(2)t t +=-，解得：8t =， ∵12KCH CAO ∠=∠，∴KCT MAO ∠=∠，∵90CTK AOM ∠=∠=︒，∴CTK AOM ，CT KT AO MO =，即12(2)24n ++=解得：n =，122n --=K ， 由题知：HTK HOA ，∴HK KT HA AO =54=，解得：8HK =，∴8)8AK ==-∴88GH AK AH =+=-=，∵:3:4GF GH =，∴6GF =，∵8210FH =+=，∴FGH 是直角三角形， 设1(,2)2G x x +，11681022FGH S x =⨯⨯=⨯， 解得：245x =， 122225x +=， ∴2422(,)55G ， 由()0,8F ，2422(,)55G 得直线FG 的解析式为384y x =-+， ∵CR GH ⊥，∴CR FG ∥，∴直线CR 解析式为34y x c =-+，把(0,2)C 代入得：324y x =-+，232413222y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩， 解得：02x y =⎧⎨=⎩或32258x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴325(,)28Q -． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，还涉及了解直角三角形以及相似三角形的判定与性质，属于中考压轴题，掌握用待定系数法求解析式是解题的关键．。
高一数学三角函数综合试题答案及解析
高一数学三角函数综合试题答案及解析1.如图，已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P（m，）．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ） m=﹣；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由于该圆是单位圆，=1，又角α的终边在第二象限，所以m＜0，联立，可得到结果m=﹣；（Ⅱ）由m=﹣得sinα=，cosα=﹣，对式子化简，=得将数值代入，化简可得到答案.试题解析：（Ⅰ）根据题意得：=1，且m＜0，解得：m=﹣；（5分）（Ⅱ）∵sinα=，cosα=﹣，∴原式= === ．（10分）【考点】三角函数化简.2.（本小题满分12分）已知．(1)若,求的取值构成的集合．(2)若,求的值．【答案】(1) ;(2)【解析】(1) 先化简函数f(x),再解即可．(2) 由，即，然后代入即可．(1)由已知可得 (3分)因为,即,有 (5分)．所以取值的集合为 (6分)(2)因为, (9分)所以 (12分)【考点】解三角方程；诱导公式，三角函数式的化简．3.已知，（1）若，且∥（），求x的值；（2）若,求实数的取值范围.【答案】(1) (2) .【解析】(1)先将向量化为代数式，即,；（2）由已知先写出，的坐标，再由则有：当时等式不成立；将写成关于的函数，即，再求函数的值域即是的取值范围为（或解）用表示，即，又因为，可解得的取值范围为.试题解析：（1），，,（2），若则有：当时等式不成立；解得：的取值范围为【考点】本题考查向量的坐标运算；向量共线的；利用三角函数的有界性求参数.4.函数y=++的值域是（）A．{1}B．{1，3}C．{-1}D．{-1，3}【答案】D【解析】由题意知角X的终边不在坐标轴上。
当X为第一象限角时，当X为第二象限角时，当X为第三象限角时，当X为第四象限角时。
所以或【考点】三角函数正负符号问题5.已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(，－1)，m·n＝1，且A为锐角．(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．【答案】(1)A＝.(2)函数f(x)的值域是.【解析】(1)由题意得m·n＝sinA－cosA＝1，2sin＝1，sin＝，由A为锐角得，A－＝，∴A＝.(2)由(1)知cosA＝，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋.因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝时，f(x)有最大值，当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是.【考点】平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质，二次函数的图象和性质。
三角函数、解三角形综合测评试题(含答案)
高中数学阶段综合测评试题测试范围：三角函数、解三角形 (时间：120分钟 满分：150分)温馨提示：1.第Ⅰ卷答案写在答题卡上，第Ⅱ卷书写在试卷上；交卷前请核对班级、姓名、考号.2.本场考试时间为120分钟，注意把握好答题时间.3.认真审题，仔细作答，永远不要以粗心为借口原谅自己．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．终边与单位圆交点的横坐标是－22的钝角为( ) A.2π3 B.3π4 C.5π6 D.5π42．(改编题)点A (sin2 013°，cos2 013°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．(改编题)已知α∈(2 013π，2 014π)，且sin(α＋2 013π)＝33，则cos(α－2 014π)等于( )A ．±63B ．－63 C.33D ．－334．函数y ＝2sin(2x －π)cos[2(x ＋π)]是( ) A ．周期为π4的奇函数B ．周期为π4的偶函数C ．周期为π2的奇函数 D ．周期为π2的偶函数5．(2013·东北三校第一次联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2， 直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 6．(2013·东北四校联考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的图象 如图所示，AB →·BD →＝( ) A ．8 B ．－8 C.π28－8D ．－π28＋87．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525 B.255 C.2525或255D.55或5258．(2013·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5→|等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k π，6k π＋3]，k ∈ZB ．[6k －3,6k ]，k ∈ZC ．[6k,6k ＋3]，k ∈ZD ．无法确定10．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°11．(2013·石家庄一模)若函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0，则( )A ．f (x －2)一定是奇函数B ．f (x ＋1)一定是偶函数C ．f (x ＋3)一定是偶函数D ．f (x －3)一定是奇函数12．(2013·长春调研)在△ABC 中，P 是BC 边的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aP A →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状为 ( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 14．(2013·山西名校联考)已知{x 1，x 2，x 3，x 4}⊆{x >0|(x －3)·sinπx ＝1}，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的最小值为________．15．(2013·东北三校第一次联考)在△ABC 中，2sin 2A2＝3sin A ，sin(B －C )＝2cos B sin C ，则ACAB ＝________.16．(2013·唐山统考)在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，求sin α. 18．(12分)(2013·石家庄质检二)已知f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．19．(12分)(2013·石家庄一模)如图，有两座建筑物AB 和CD 都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A 、C 之间的距离，但只有卷尺和测角仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF ，用卷尺测得EF 的长度为a ，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF ＝α，∠AFE ＝β，∠CEF ＝θ，∠CFE ＝φ，∠AEC ＝γ.请你用文字和公式写出计算A 、C 之间距离的步骤和结果．20．(12分)(2013·安徽联谊中学联考)设函数f (x )＝sin x －3cos x ＋x ＋1. (1)求函数f (x )在x ＝0处的切线方程；(2)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，f ′(B )＝3且a ＋c ＝2，求边长b 的最小值．21．(12分)(2013·湖北八校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积．(1)若4S ＝a 2＋b 2－c 2，求角C ；(2)若43S ＝a 2＋b 2＋c 2，试判断△ABC 的形状．22．(12分)如图，点A ，B 是单位圆O 上的动点，且A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形，记∠COA ＝α.(1)若点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；(2)求|BC →|的取值范围．阶段综合测评 详解答案1．B 所求角为钝角，终边必落在第二象限，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－22，22，该角为3π4，故选B.2．C 由于2 013°＝5×360°＋213°，因此2 013°角终边落在第三象限，于是sin2 013°<0，cos2 013°<0，从而A 点在第三象限，选C.3．A 由α∈(2 013π，2 014π)，知α为第三、四象限的角，而sin(α＋2 013π)＝－sin α＝33，∴sin α＝－33，于是cos(α－2 014π)＝cos α ＝±1－sin 2α＝±63，故选A.4．C y ＝2sin(2x －π)cos[2(x ＋π)] ＝2·(－sin2x )·cos2x ＝－22sin4x ， 因此周期T ＝2π4＝π2，且f (－x )＝－f (x )，函数是奇函数，选C.5．D 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，可知k ＝2，A ＝2，由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，可得ω＝4，由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2. 6．C T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫π12，2，D ⎝⎛⎭⎪⎫712π，－2，∴AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫π4，2，BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫π2，－4，∴AB →·BD →＝π4×π2＋2×(－4)＝π28－8.7．A 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45；又α，β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525，选A.8．B 注意到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋sin2x ，又函数y ＝1＋sin2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin2x 的图象(如图所示)可知，|P 1P 5→|＝2π，选B.9．C 根据分析可得函数的半周期为3， 即12×2πω＝3，得ω＝π3. 函数在x ＝3处取得最大值，即A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×3＋φ＝A ， 即sin φ＝－1，取φ＝－π2.所以函数的解析式为f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π2. 令2k π－π2≤π3x －π2≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得6k ≤x ≤6k ＋3(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间是[6k,6k ＋3]，k ∈Z ，故选C.10．B ∵tan ∠ADC ＝tan ∠DAB ＝6020＝3，tan ∠DCA ＝6050－20＝2，∴tan ∠DAC ＝tan(π－∠ADC －∠DCA )＝－tan(∠ADC ＋∠DCA )＝－tan ∠ADC ＋tan ∠DCA1－tan ∠ADC ·tan ∠DCA＝－2＋31－2×3＝1，∴∠DAC ＝45°.11．D 由f (1)＝0得，A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝0即π2＋φ＝k π(k ∈Z )φ＝k π－π2(k ∈Z )故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋k π－π2＝±A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 为偶函数，f (x －3)＝±A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2(x －3)＝±A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －32π＝±A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 为奇函数．故选D.12．C 依题意得，cAC →＋aP A →＋bPB → ＝cAC →－12a (AB →＋AC →)＋12b (AB →－AC →)＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋b 2AC →－a －b 2AB →＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋b 2·AC →＝a －b 2AB →，又AB →、AC →不共线，∴⎩⎨⎧a －b2＝0，c －a ＋b2＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形，选C.13.17解析：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π且sin α＝35 得cos α＝－1－sin 2α＝－45， 故tan α＝－34，因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17.14．12解析：由题意知{x 1，x 2，x 3，x 4}⊆{x >0|(x －3)·sinπx ＝1}，∴x 1，x 2，x 3，x 4是sinπx ＝1x －3在(0，＋∞)上的实数根．显然x 1，x 2，x 3，x 4均大于0.分别绘出sinπx 和1x －3在(0，＋∞)上的函数图象如图所示，显然，sinπx 和1x －3均关于点(3,0)中心对称．要使x 1＋x 2＋x 3＋x 4最小，x 1，x 2，x 3，x 4应为图象上的前四个交点的横坐标．显然x 1，x 4与x 2，x 3亦关于点(3,0)对称．∴x 1＋x 42＝3，x 1＋x 4＝6，同理x 2＋x 3＝6，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4的最小值为12. 15.1＋132解析：由2sin 2A 2＝3sin A 可得1－cos A ＝3sin A ，cos A ＋3sin A ＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝12，又0<A <π，π6<A ＋π6<7π6，故A ＋π6＝5π6，A ＝2π3，由sin(B －C )＝2cos B sin C ，可得sin B cos C ＝3cos B sin C .设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝b 2＋c 2＋bc ，由sin B cos C ＝3cos B sin C 得b cos C ＝3cos B ，从而b (a 2＋b 2－c 2)2ab ＝3c (c 2＋a 2－b 2)2ca，故可得b 2－bc －3c 2＝0， 从而可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b c －3＝0，从而b c ＝1＋132. 16.11解析：∵S △ABC ＝12AB ×43＝12AC ·BC sin60°，∴12×3×43＝12AC ·BC sin60°，∴AC ·BC ＝83.由余弦定理可知cos60°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC， ∴cos60°＝AC 2＋BC 2－32×83，∴AC 2＋BC 2＝173.又(AC ＋BC )2＝AC 2＋BC 2＋2AC ·BC ＝173＋163＝11，∴AC ＋BC ＝11. 17．解：(1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)，∴T ＝2π3，即f (x )的最小正周期为2π3.(2)∵当x ＝π12时，f (x )有最大值4，∴A ＝4.∴4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝π4.∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＋π4 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝4cos2α. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，得4cos2α＝125， ∴cos2α＝35，∴sin 2α＝12(1－cos2α)＝15， ∴sin α＝±55.18．解：(1)因为f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－2 ＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －2 ＝3sin2x ＋2cos 2x －2＝3sin2x ＋cos2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 所以f (x ) 的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－2.19．解：第一步：在△AEF 中，利用正弦定理，AE sin β＝EF sin (180°－α－β)， 解得AE ＝αsin βsin (α＋β)； 第二步：在△CEF 中，同理可得CE ＝αsin φsin (θ＋φ)； 第三步：在△ACE 中，利用余弦定理，AC ＝AE 2＋CE 2－2AE ·CE cos γ ＝ a 2sin 2βsin 2(α＋β)＋a 2sin 2φsin 2(θ＋φ)－2a 2sin βsin φcos γsin (α＋β)sin (θ＋φ) 20．解：(1)当x ＝0时，f (0)＝1－3，则切点(0,1－3)，∵f ′(x )＝cos x ＋3sin x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1， ∴k ＝f ′(0)＝2sin π6＋1＝2. ∴切线方程l ：y －(1－3)＝2(x －0)，即y ＝2x ＋(1－3)．(2)由(1)可知f ′(B )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋1＝3， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝1，∴B ＝π3.由余弦定理可知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝4－3ac ≥4－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝4－3＝1，当且仅当a ＝c ＝1时取“＝”， ∴b 2≥1，由b >0可知b ≥1，∴b min ＝1.21．解：(1)由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以4S ＝a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝4×12ab sin C ，即tan C ＝1. 而C ∈(0，π)，故C ＝π4.(2)c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，于是43S ＝43×12ab sin C ＝a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C ) 即3ab sin C ＋ab cos C ＝a 2＋b 2，所以2ab sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝a 2＋b 2≥2ab ， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6≥1， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，而C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6， 所以C ＋π6＝π2，即C ＝π3，将C ＝π3代入条件得2ab ＝a 2＋b 2，即a ＝b ，故△ABC 为正三角形．22．解：(1)因为A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45， 所以0<α<π2，sin α＝45，cos α＝35，所以sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1＝20. (2)因为三角形AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝60°，所以cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°)＝cos(α＋60°)， sin ∠COB ＝sin(∠COA ＋60°)＝sin(α＋60°)， 所以B 点坐标为(cos(α＋60°)，sin(α＋60°))．所以|BC →|＝[cos (α＋60°)－1]2＋sin 2(α＋60°) ＝2－2cos (α＋60°).因为点A 、B 分别在第一、二象限，所以30°<α<90°， ∴－32<cos(α＋60°)<0，所以2<|BC →|<2＋ 3.。
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三角函数综合检测第Ⅰ部分（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α在第几象限（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．函数2sin6x y π=，x ∈R 的最小正周期是（ ） A ．12 B ．6 C ．12πD ．6π 3．下列函数中，既是奇函数又在区间()1,1-上是增函数的是（ ）A ．1y x =B ．tan y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =4．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为( )A ．135平方米B ．270平方米C ．540平方米D ．1080平方米5．已知cos α=，()sin αβ-=，α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ）A BC D ．12 6．已知函数()sin(2)()2f x x x R π=-∈下列结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数()f x 在区间[0,]2π上是增函数7．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．8．函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0,0,2A πωϕ＞＞＜)的部分图象如图所示，若12,,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则12()f x x +=（ ）A ．1B ．12C ．22D ．32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数 B ．在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 C ．最大值为2 D ．其图象关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 10．定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”.已知1sin()4πα+=-，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）A ．15sin β=B ．1cos()4πβ+=C ．tan 15β=D ．15tan β= 11．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |的叙述正确的是（ ）A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 C ．f (x )在[－π，π]有4个零点D ．f (x )的最大值为212．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +） B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x - 第Ⅱ部分（选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 14．函数()sin cos f x ax ax =的最小正周期是π，则实数a =________ 15．函数cos y x π=的单调减区间为__________．16．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称．若1sin 3α=，则sin β=__________，cos 2β=__________． 四、解答题：本小题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知αβ，为锐角，4sin ,cos()55ααβ=+=-. （1）求cos2α的值；（2）求sin β的值．18．（本小题12分）已知函数2()22cos f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 单调递增区间.19．（本小题12分）已知函数()()21cos cos 2f x x x x x R =+-∈ （1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性； 20．（本小题12分） 已知函数()()()()()32cos cos sin sin 222cos 2cos x x x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+. （Ⅰ）化简()f x ；（Ⅱ）若()3f α=-，求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 21．（本小题12分）如图，在平面直角坐标系中，角αβ，的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若712（，）παπ∈，12πβ=，且点A 的坐标为1（，）-A m ．（1）若423tanα=-，求实数m的值；（2）若34tan AOB∠=-，若sin2α的值．22．（本小题12分）某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．（1）设OPAα∠=，将展板所需总费用表示成α的函数；（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α在第几象限（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】因为点(tan ,cos )P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<<所以角α在第二象限2．函数2sin6x y π=，x ∈R 的最小正周期是（ ） A ．12B ．6C ．12πD ．6π 【答案】A 【解析】函数2sin 6xy π=的最小正周期为：2126T ππ==.3．下列函数中，既是奇函数又在区间()1,1-上是增函数的是（ ）A ．1y x =B ．tan y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =【答案】B【解析】A 选项，1y x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 不满足题意； D 选项，余弦函数cos y x =是偶函数，故D 不满足题意；B 选项，正切函数tan y x =是奇函数，且在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故在区间()1,1-是增函数，即B 正确； C 选项，正弦函数sin y x =是奇函数，且在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以在区间()1,1-是增函数；因此sin y x =-是奇函数，且在()1,1-上单调递减，故C 不满足题意.4．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为( )A ．135平方米B ．270平方米C ．540平方米D ．1080平方米【答案】B【解析】根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S 12=lr 12=⨯45242⨯=270（平方米）.5．已知cos 5α=，()sin 10αβ-=-，α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ）A ．2B ．4C D ．12 【答案】A 【解析】解：α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴sin 5α==，,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭()sin 010αβ-=-<， ∴,02παβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.∴()cos αβ-==. ∴()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦ ()()cos cos sin sin ααβααβ=⋅-+⋅-2⎛=+= ⎝⎭. 6．已知函数()sin(2)()2f x x x R π=-∈下列结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数()f x 在区间[0,]2π上是增函数【答案】C【解析】原函数利用诱导公式化简为：()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A,B 正确，函数的对称轴由：()2x k k Z π=∈得到：()2k x k Z π=∈，显然，无论k 取任何整数，4x π≠，所以C 错误，答案为C.7．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令||()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 8．函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0,0,2A πωϕ＞＞＜)的部分图象如图所示，若12,,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则12()f x x +=（ ）A ．1B ．12 C．2 D．2【答案】D 【解析】由图象可知， 1,()2362T A πππ==--=，即T π=，所以2ω=，即()sin(2)f x x ϕ=+， 又因为()03f π=，则sin(2)03πϕ⨯+=，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈， 又由2πϕ＜，所以3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+， 又因为()36212πππ+-=，所以图中的最高点坐标为,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 结合图象和已知条件可知122126x x ππ+=⨯=，所以122()()sin(2)sin 6633f x x f ππππ+==⨯+==，故选D. 三、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数 B ．在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 C ．最大值为2D ．其图象关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 【答案】AD【解析】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 选项A：()2))()f x x x f x -=-==，它是偶函数，正确； 选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，错误； 选项C：()2f x x =，错误；选项D ：函数的对称中心为(,0)24k ππ+，k Z ∈，当0k =，图象关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，错误.10．定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”.已知1sin()4πα+=-，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）A ．sin β=B ．1cos()4πβ+=C ．tan β=D ．tan β= 【答案】AC 【解析】∵1sin()sin 4παα+=-=-，∴1sin 4α=， 若2παβ+=，则2πβα=-.A 中，sin sin cos 2πβαα⎛⎫=-==⎪⎝⎭故A 符合条件； B 中，1cos()cos sin 24ππβαα⎛⎫+=--=-=-⎪⎝⎭， 故B 不符合条件；C 中，tan β=sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，所以sin 4β=±， 故C 符合条件；D 中，tan β=，即sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，所以sin β=， 故D 不符合条件. 11．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |的叙述正确的是（ ） A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 C ．f (x )在[－π，π]有4个零点D ．f (x )的最大值为2【答案】AD【解析】A .∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故正确；B.当x ∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝2sin x ，f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故错误； C.当x ∈[0，π]时，令f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝2sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π，又f (x )在[－π，π]上为偶函数，∴f (x )＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故错误；D.∵sin|x |≤1，|sin x |≤1，当x ＝2π＋2k π(k ∈Z)或x ＝－2π－2k π(k ∈Z)时两等号同时成立， ∴f (x )的最大值为2，故正确．12．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +） B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x - 【答案】BC 【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭第Ⅱ部分（选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=. 故答案为：19. 14．函数()sin cos f x ax ax =的最小正周期是π，则实数a =________【答案】±1 【解析】1()sin cos =sin 22f x ax ax ax =，周期22T a ππ==，解得1a =±. 15．函数cos y x π=的单调减区间为__________．【答案】[]()2,21k k k +∈Z【解析】由22k x k ππππ≤≤+，k ∈Z 得212k x k ≤≤+，k ∈Z ，即函数cos y x π=的单调减区间为[]()2,21k k k +∈Z .16．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称．若1sin 3α=，则sin β=__________，cos 2β=__________． 【答案】13- 79 【解析】因为角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称 所以1sin sin 3βα=-=- 所以2217cos 212sin 1239ββ⎛⎫=-=-⋅-= ⎪⎝⎭ 五、解答题：本小题共6小题，共70分。