高考数学三角函数解答题高考试题汇编

（15北京理科）已知函数2()cos 222
x x x
f x ．
(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；
(Ⅰ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值 解析：(Ⅰ)
2
1
1cos ()sin
cos
sin sin 2
2
2
2
2
x
x
x
x
f x x -=-
=⋅
-⋅
=
sin cos x x =
+-sin()4x π=+- ()f x 的最小正周期为221
T π
π=
=； (2)
30,444x x ππππ-≤≤∴-
≤+≤，当3,424
x x πππ
+=-=-时，
()f x
取得最小值为：12
--
（15年福建理科）已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先
将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右
平移
个单位长度.
(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(Ⅰ)已知关于的方程在内有两个不同的解．
（1)求实数m 的取值范围；（2)证明： 试题解析： 解法一：(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到
的图像，再将的图像向右平移
个单位长度后得到
的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为
(2)1) （其中） 依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m 的f()x ()cos
g x x ()g x 2
f()x x f()g()x x m [0,2),
2
2cos )
1.5
m (()
cos g x x y 2cos x y 2cos x 2
y 2cos()2x
f()2sin x x f()2sin x x (k
Z).2
x k
2
1
f()g()2sin cos 5(
sin cos )55
x x x x x x 5sin()x 1
2sin
,cos 55
sin()=
5
m
x [0,2),|1
取值范围是.
2)因为
在区间内有两个不同的解，
所以，. 当时，
当
时,
所以
解法二：(1)同解法一.(2)1) 同解法一. 2) 因为
在区间内有两个不同的解，
所以，. 当时，
当
时,
所以
于是
(5,5),)=m x
[0,2)sin()=
5
m
sin()=
5
m 1m<5+=2(
),2();2
5<m<13+=2(
),32();2
2
2
22cos )cos 2()2sin (
)12()1 1.55
m m (,
)=m x
[0,2)sin()=
5
m
sin()=
5
m 1m<5+=2(
),+();2
即5<m<13+=2(
),+3();2
即cos +)cos(
)
(cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin(
)(
（15年福建文科）已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅰ）将函数的图象向右平移
个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2． （Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅰ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅰ）（Ⅰ）；（Ⅰ）详见解析． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将化为
，然后利用
求周期；（Ⅰ）由函数的解析式中给减
，再将所得解析式整体减去得的解析式为，当取1的时，取最大值，列方程求得，从而的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，可解不等式，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数
．
试题解析：（I ）因为 2
2
22
2cos (
)sin()sin()
[1()]() 1.5
55m m
m ()2cos 10cos 222
x x x f x =+()f x ()f x 6
π
a 0a >()g x ()g x ()g x 0x ()00g x >2π()10sin 8g x x =-()f x ()10sin 56f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭2T πω=()f x x 6
π
a ()g x ()10sin 5g x x a =+-sin x ()g x 105a +-13a =()g x 0x ()00g x >()00g x >0x ()2cos 10cos 222
x x x
f x =+
．
所以函数的最小正周期．
（II ）（i ）将的图象向右平移
个单位长度后得到的图象，再向下平移（）个单位长度后得到的图象． 又已知函数的最大值为，所以，解得． 所以．
（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即． 由
知，存在，使得． 由正弦函数的性质可知，当时，均有． 因为的周期为，
所以当（）时，均有． 因为对任意的整数，，
5cos 5x x =++10sin 56x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭()f x 2πT =()f x 6
π
10sin 5y x =+a 0a >()10sin 5g x x a =+-()g x 21052a +-=13a =()10sin 8g x x =-0x ()00g x >0x 010sin 80x ->04sin 5
x
>
45<003
πα<<04sin 5α=()00,x απα∈-4
sin 5
x >
sin y x =2π()002,2x k k παππα∈++-k ∈Z 4sin 5
x >
k ()()00022213
k k π
ππαπαπα+--+=->
>
所以对任意的正整数，都存在正整数，使得． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．
（15年湖南理科）将函数)(x f 的图象向右平移⎪⎭
⎫
⎝
⎛
<<20πϕϕ个单位后得到函数)(x g 的图象，若对满足2)()(21=-x g x f 的21,x x ，有3
min
2
1π
=-x x ，则ϕ等于（ ）
A.
B. C. D.
【解析】
试题分析：向右平移个单位后，得到，又Ⅰ，Ⅰ
不妨
，，Ⅰ，
又Ⅰ，Ⅰ
，故选D.
（15年新课标2理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分ⅠBAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。

(Ⅰ)求
C
B
∠∠sin sin ;
(Ⅰ) 若AD =1，DC =
2
2
求BD 和AC 的长. k ()002,2k x k k παππα∈++-4sin 5
k x >
0x ()00g x >512π3π4π6π
ϕ)22sin()(ϕ-=x x g 2|)()(|21=-x g x f ππ
k x 22
21+=
ππ
ϕm x 22
222+-
=-πϕπ
)(2
21m k x x -+-=
-12
min
3
x x π
-=
6
3
2
π
ϕπ
ϕπ
=
⇒=
-
(15年陕西理科)的内角，，所对的边分别为，，．向量 与平行． （I ）求； （II ）若
求的面积．
试题解析：（I ）因为，所以，由正弦定理，得
又，从而，由于，所以
(II)解法一：由余弦定理，得而
得，即因为，所以.
故ABC 的面积为
.
C ∆AB A B C a b c ()
,3m a b =()cos ,sin n =A B A a =
2b =C ∆AB //m n sin 3cos 0a B
b A sinAsinB 3sinBcos A 0sin 0B ≠tan 3A
0A π<<3
A π
=
2
222cos a
b c bc A 7b 2,a 3
π
A =
2742c c 2230c c 0c 3c ∆1
33
bcsinA 2
2。