高考数学三角函数解答题高考试题汇编

（15北京理科）已知函数2()cos 222

x x x

f x ．

(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；

(Ⅰ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值 解析：(Ⅰ)

2

1

1cos ()sin

cos

sin sin 2

2

2

2

2

x

x

x

x

f x x -=-

=⋅

-⋅

=

sin cos x x =

+-sin()4x π=+- ()f x 的最小正周期为221

T π

π=

=； (2)

30,444x x ππππ-≤≤∴-

≤+≤，当3,424

x x πππ

+=-=-时，

()f x

取得最小值为：12

--

（15年福建理科）已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先

将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右

平移

个单位长度.

(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；

(Ⅰ)已知关于的方程在内有两个不同的解．

（1)求实数m 的取值范围；（2)证明： 试题解析： 解法一：(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到

的图像，再将的图像向右平移

个单位长度后得到

的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为

(2)1) （其中） 依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m 的f()x ()cos

g x x ()g x 2

f()x x f()g()x x m [0,2),

2

2cos )

1.5

m (()

cos g x x y 2cos x y 2cos x 2

y 2cos()2x

f()2sin x x f()2sin x x (k

Z).2

x k

2

1

f()g()2sin cos 5(

sin cos )55

x x x x x x 5sin()x 1

2sin

,cos 55

sin()=

5

m

x [0,2),|1

取值范围是.

2)因为

在区间内有两个不同的解，

所以，. 当时，

当

时,

所以

解法二：(1)同解法一.(2)1) 同解法一. 2) 因为

在区间内有两个不同的解，

所以，. 当时，

当

时,

所以

于是

(5,5),)=m x

[0,2)sin()=

5

m

sin()=

5

m 1m<5+=2(

),2();2

5

),32();2

2

2

22cos )cos 2()2sin (

)12()1 1.55

m m (,

)=m x

[0,2)sin()=

5

m

sin()=

5

m 1m<5+=2(

),+();2

即5

),+3();2

即cos +)cos(

)

(cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin(

)(

（15年福建文科）已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅰ）将函数的图象向右平移

个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2． （Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅰ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅰ）（Ⅰ）；（Ⅰ）详见解析． 【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将化为

，然后利用

求周期；（Ⅰ）由函数的解析式中给减

，再将所得解析式整体减去得的解析式为，当取1的时，取最大值，列方程求得，从而的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，可解不等式，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数

．

试题解析：（I ）因为 2

2

22

2cos (

)sin()sin()

[1()]() 1.5

55m m

m ()2cos 10cos 222

x x x f x =+()f x ()f x 6

π

a 0a >()g x ()g x ()g x 0x ()00g x >2π()10sin 8g x x =-()f x ()10sin 56f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝

⎭2T πω=()f x x 6

π

a ()g x ()10sin 5g x x a =+-sin x ()g x 105a +-13a =()g x 0x ()00g x >()00g x >0x ()2cos 10cos 222

x x x

f x =+

．

所以函数的最小正周期．

（II ）（i ）将的图象向右平移

个单位长度后得到的图象，再向下平移（）个单位长度后得到的图象． 又已知函数的最大值为，所以，解得． 所以．

（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即． 由

知，存在，使得． 由正弦函数的性质可知，当时，均有． 因为的周期为，

所以当（）时，均有． 因为对任意的整数，，

5cos 5x x =++10sin 56x π⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭()f x 2πT =()f x 6

π

10sin 5y x =+a 0a >()10sin 5g x x a =+-()g x 21052a +-=13a =()10sin 8g x x =-0x ()00g x >0x 010sin 80x ->04sin 5

x

>

45<003

πα<<04sin 5α=()00,x απα∈-4

sin 5

x >

sin y x =2π()002,2x k k παππα∈++-k ∈Z 4sin 5

x >

k ()()00022213

k k π

ππαπαπα+--+=->

>