023对偶规划 练习题PPT课件
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《运筹学对偶问题》课件 (2)
市场均衡
探索对偶问题在市场均衡中 的应用，实现供需平衡和市 场效率。
投资组合
应用对偶问题来优化投资组 合，并降低风险，提高收益。
结论
总结与回顾
概述《运筹学对偶问题》课程的主要内容和研究成 果。
未来研究方向
展望对偶问题领域的未来研究方向和发展趋势。
《运筹学对偶问题》PPT 课件 (2)
欢迎来到《运筹学对偶问题》PPT课件，本课程将探讨偶问题与对偶问题的定 义、线性、非线性和整数规划的对偶问题，以及对偶理论的应用与经济解释。
对偶问题与对偶问题的定义
什么是对偶问题？
探索如何将原始问题转化为对偶问题，实现问题的 优化与平衡。
对偶问题的定义
详细解释对偶问题的概念和特点，以及与原始问题 之间的关系。
非凸规划的对偶问题
探讨非凸规划问题的对偶性质和求解策略，分析其优缺点。
应用案例
介绍非线性规划对偶问题在实际问题中的应用案例和成果。
Fra Baidu bibliotek数规划的对偶问题
整数规划的对偶问题
讨论整数规划问题的对偶性质和对偶问题的求解方 法。
二进制分解方法
介绍二进制分解方法在整数规划问题中的应用和优 化策略。
对偶理论的应用
1
交通运输规划
2
研究对偶理论在交通运输规划中的应用，
并分析其对交通流的优化作用。
03.对偶问题
14
练习1 练习1 : 写出对偶问题
max z = 5 x1 + 2 x2 x1 + x2 ≤ 2 s.t. 2 x1 + 3 x2 ≤ 5 x , x ≥ 0 1 2
15
练习1 练习1答案
max z = 5 x1 + 2 x2 x1 + x2 ≤ 2 s.t. 2 x1 + 3 x2 ≤ 5 x , x ≥ 0 1 2
≥ 40
2y1 + 2 y2 + 2y3 ≥ 50
原问题， 对偶问题， 原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题，
y1 , y2 , y3 称为影子价格
6
例2
原问题（P 原问题（P）
实际意义
资源分配问题：3 资源分配问题：3 种有限的资源生产 2种产品，决策变 量为2 量为2种产品的产 量，目标函数决策 变量系数为2 变量系数为2种产 品获得的单位利润， 目标为利润最大化。
解：由原问题的结构可知不是对称型对偶问题， 由原问题的结构可知不是对称型对偶问题， 可先化为对称型，再求其对偶规划。 可先化为对称型，再求其对偶规划。
Max
s.t
Z = 5x1 + 6x2 3x1 − 2x2 ≤ 7 3x − 2x ≥ 7 1 2 4x1 + x2 ≤ 9 x1, x2 ≥ 0
W = 7y1 −9y2 3y1 − 4y2 ≥ 5 − 2y1 − y2 ≥ −6 y , y ≥ 0 1 2
练习1 练习1 : 写出对偶问题
max z = 5 x1 + 2 x2 x1 + x2 ≤ 2 s.t. 2 x1 + 3 x2 ≤ 5 x , x ≥ 0 1 2
15
练习1 练习1答案
max z = 5 x1 + 2 x2 x1 + x2 ≤ 2 s.t. 2 x1 + 3 x2 ≤ 5 x , x ≥ 0 1 2
≥ 40
2y1 + 2 y2 + 2y3 ≥ 50
原问题， 对偶问题， 原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题，
y1 , y2 , y3 称为影子价格
6
例2
原问题（P 原问题（P）
实际意义
资源分配问题：3 资源分配问题：3 种有限的资源生产 2种产品，决策变 量为2 量为2种产品的产 量，目标函数决策 变量系数为2 变量系数为2种产 品获得的单位利润， 目标为利润最大化。
解：由原问题的结构可知不是对称型对偶问题， 由原问题的结构可知不是对称型对偶问题， 可先化为对称型，再求其对偶规划。 可先化为对称型，再求其对偶规划。
Max
s.t
Z = 5x1 + 6x2 3x1 − 2x2 ≤ 7 3x − 2x ≥ 7 1 2 4x1 + x2 ≤ 9 x1, x2 ≥ 0
W = 7y1 −9y2 3y1 − 4y2 ≥ 5 − 2y1 − y2 ≥ −6 y , y ≥ 0 1 2
《管理运筹学》03-对偶原理ppt课件
s.t. 0y1+2y2+4y3 ≥ 5
②
①
y1， y2， y3 ≥ 0 ③
3.1 线性规划的对偶关系
关系2：规范形LP问题的对偶关系
(P2):
max z=CTX
AX=b s.t. X≥0
(D2):
min w=bTY
AT Y≥C s.t. Y自在
3.1 线性规划的对偶关系
例1
max z = 3 x1 -1 x2 -2 x3
max z = 3 x1 + 5x2 z* = 42
x1
≤8
s.t.
2x2 ≤ 12
3 x1 + 4x2 ≤ 36
x1 ， x2 ≥ 0 X*= (4,6)T
3.1 线性规划的对偶关系
3. 1. 2 对偶关系
关系1：规范对偶关系 (P1): max z = CTX s.t. AX≤b X≥0 (D1): min w = bTY s.t. AT Y≥C Y≥0
8 F (8，6，0，0 ,- 12) 否 54 是 (3,5/2, 0, 0,0)
3.2 线性规划的对偶性质
6. 互补松弛性Ⅰ 设 = ( x1 , x2 , … , xn , xn+1, … , xn+m )T = ( y1 , y2 , … , ym , ym+1, … , ym+n )T 是(P⑴1)x(j Dym1)+的j =一0对，互补j根=本1解, ，2 ,那…么, n
对偶模型 ppt课件
11
【例3-2】写出下列LP问题的对偶模 型
m ax z 5 x1 x2 2 x3
2 x1 x2 3 x3= 5
s
.t
.
3
x1
2
x2
x3
=6
x1 , x2 , x3 0
表3-4【例3-2】的标准线性规划模型的对偶关系表
Ⅱ.min型
Ⅰ.max型
y1自由 y2自由
式号Ⅱ
x1 0 2 3
3.1.2 对偶关系
2 .标 准 型 L P 模 型 的 对 偶 关 系 （ 非 对 称 对 偶 ）
下 面 两 个 L P 问 题 ( P 2) 与 ( D 2) 互 相 对 偶 ：
P2 : max z C T X
D2 : min w bT X
s.t.
A X
X =b 0
ATY C
写出下列线性规划的对偶问题
m ax z 5 x1 2 x2 3 x3
s .t .
4 x1 x1 7
x2 x2
x3 4 5x3 1
x1 , x 2 , x3 0
【解】
m in w 4 y1 y 2
4 y1 y2 5
s
.t
.
y
1 y1
7
y 5
2
y
2
2 3
y 1 0 , y 2 0
【例3-2】写出下列LP问题的对偶模 型
m ax z 5 x1 x2 2 x3
2 x1 x2 3 x3= 5
s
.t
.
3
x1
2
x2
x3
=6
x1 , x2 , x3 0
表3-4【例3-2】的标准线性规划模型的对偶关系表
Ⅱ.min型
Ⅰ.max型
y1自由 y2自由
式号Ⅱ
x1 0 2 3
3.1.2 对偶关系
2 .标 准 型 L P 模 型 的 对 偶 关 系 （ 非 对 称 对 偶 ）
下 面 两 个 L P 问 题 ( P 2) 与 ( D 2) 互 相 对 偶 ：
P2 : max z C T X
D2 : min w bT X
s.t.
A X
X =b 0
ATY C
写出下列线性规划的对偶问题
m ax z 5 x1 2 x2 3 x3
s .t .
4 x1 x1 7
x2 x2
x3 4 5x3 1
x1 , x 2 , x3 0
【解】
m in w 4 y1 y 2
4 y1 y2 5
s
.t
.
y
1 y1
7
y 5
2
y
2
2 3
y 1 0 , y 2 0
《对偶线性规划》PPT课件
– 工厂希望出售资源后所得不应比生产产品所得少
max f (x) x1 2x2 3x3 4x4
s.t.
2x1x12
x2 x2
2 x3 3x3
3x4 2x4
25 15
A 资源 B资源
x1, x2 , x3, x4 0
目标函数 min g(y)=25y1+15y2
y1 2 y2 1 产品1的所得
s.t.
2 y1 y2 2 2 y1 3y2 3
产品 2 的所得 产品 3的所得
3y1 2 y2 4 产品 4 的所得
y1, y2 0
3
2.1.1 线性规划原问题与对偶问题的表达形式
原问题 : max f (x) CX
s.t.
2
y1
3y2
y3
w4
5
y1 0, y2 0, y3 不限
3w1 4w2 w3 w4 4
s.t.
2w1 2w1
3w2 3w2
w3 w3
w4 w4
5 5
w1, w2 , w3, w4 70
表2.1.1 对偶变换的规则
s.t.
管理运筹学第3章对偶规划PPT课件
3.4.4 增加一个新的约束分析
增加一个新的约束后，线性规划的可行域只会变小，不会变大，最优值 只能变差，不会变的更好。因此如果原最优解X*满足新的约束条件，则 X*仍然是最优解；否则继续进行迭代。
【例3.7】 在例3.4中增加一个新的约束 4x12x2≤150 引入松弛变量 4x12x2x6150添加到最终单纯形表中。
2 x1 x2 ≤ 10
s
.t
.
x1 x2 ≤ 8
(1)
x1 ,
x2
≥
0
对偶规划
m in w 8 y1 10 y2
2 y1 y2 ≥ 10
s
.t
.
y1 y2 ≥ 8
(2)
y1 ,
y2
≥
0
设：两种设备单位台时租金分别为 y1,y2
约束一：生产甲产品的利润不大于放弃生 产而出租的租金收入
bi代表第i种资源拥有量 yi 代表第i种资源 的估价，该估价并非市价格，而是在生产中 的单位贡献所做的估价,称为影子价格。其 含义：
（1）资源的市场价格由供求关系决定，而 它的影子价格则有赖于资源的利用情况。
（2）影子价格是一种边际价格。
（3）资源的影子价格实际上又是一种机会 成本。
（4）当影子价格为0时，表明该种资源未得 到充分利用；当影子价格不为0时，表明该 种资源已耗费完毕。
运筹学课件第二章对偶问题
Y ≤0
•约束条件的类型与非负条件对偶
•非标准的约束条件类型对应非正常的非负条件
•对偶变换是一一对应的
例2 写出下面线性规划的对偶规划：
min z 5 x x 3 x
1
2
3
2x 2x x 1
1
2
3
x 3 x 4 x 10
1
2
3
2x 2x x 5
1
2
3
x 0,x 0
1
2
运筹学课件第二章对偶问题
x1 0, x2 0, x3 0
令x2’=-x2，则上式化为：
max z x1 x2 '
x1 x2 'x3 2 s.t. 2x1 x2 'x3 1
x1, x2 ', x3 0
(D) min w 2 y1 y2 min w 2 y1 y2
y1 2 y2 1
s.t.
资源煤的影子价格为0 资源电的影子价格为1.36 资源油的影子价格为0.52
影子价格越高，说明这种资源对生产越重要。
运筹学课件第二章对偶问题
2.3.2 灵敏度分析
一、定义：
灵敏度分析讨论建模时的系数及有关变量变化时对 解的影响。 反映在两个方面
最优性： j C j CB B1Pj
可行性：X B B1b
小结：写一个线性规划问题的对偶问题
•约束条件的类型与非负条件对偶
•非标准的约束条件类型对应非正常的非负条件
•对偶变换是一一对应的
例2 写出下面线性规划的对偶规划：
min z 5 x x 3 x
1
2
3
2x 2x x 1
1
2
3
x 3 x 4 x 10
1
2
3
2x 2x x 5
1
2
3
x 0,x 0
1
2
运筹学课件第二章对偶问题
x1 0, x2 0, x3 0
令x2’=-x2，则上式化为：
max z x1 x2 '
x1 x2 'x3 2 s.t. 2x1 x2 'x3 1
x1, x2 ', x3 0
(D) min w 2 y1 y2 min w 2 y1 y2
y1 2 y2 1
s.t.
资源煤的影子价格为0 资源电的影子价格为1.36 资源油的影子价格为0.52
影子价格越高，说明这种资源对生产越重要。
运筹学课件第二章对偶问题
2.3.2 灵敏度分析
一、定义：
灵敏度分析讨论建模时的系数及有关变量变化时对 解的影响。 反映在两个方面
最优性： j C j CB B1Pj
可行性：X B B1b
小结：写一个线性规划问题的对偶问题
023对偶规划 练习题PPT课件
于是当 rj 0 时,不等式(1)自然成立;
jj r rk jk0(j1 ,2, ,n ) (1)
又因为 r k0 ,k 0 , j 0 (j 1 ,2 , ,n ),
于是当 rj 0 时,不等式(1)自然成立;
否则,当
rj 0 时,要使不等式(1)成立,必须
k j rk rj
0 0 ... 1 m,m1 ... m,n
z0 0 0 ... 0 m1 ... n
概念：正则解
如果原问题(P)的一个基解X 对应的检验数向量满足 条件
( B , N ) (0,CN CB B1N ) 0
则称X为(P)的一个正则解，同时称这一基为正则基.
求解原问题(P)时，可以从(P)的一个正则解开始,迭代 到另一个正则解，使目标函数值增加，当迭代到正 则解满足原始可行性条件(即xi≥0)时，就找到了原问 题(P)的最优解。这一方法称为对偶单纯形法.
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4 ,
x5
0
§2.3 对偶单纯形法
对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方 法，它是根据对偶原理和单纯形法的原理而设 计出来的，因此称为对偶单纯形法。
不要简单地将对偶单纯形法理解为求解对偶问 题的单纯形法。
一、对偶单纯形法的基本思想
二、对偶单纯形法的具体步骤
三、对偶单纯形法的理论解释
jj r rk jk0(j1 ,2, ,n ) (1)
又因为 r k0 ,k 0 , j 0 (j 1 ,2 , ,n ),
于是当 rj 0 时,不等式(1)自然成立;
否则,当
rj 0 时,要使不等式(1)成立,必须
k j rk rj
0 0 ... 1 m,m1 ... m,n
z0 0 0 ... 0 m1 ... n
概念：正则解
如果原问题(P)的一个基解X 对应的检验数向量满足 条件
( B , N ) (0,CN CB B1N ) 0
则称X为(P)的一个正则解，同时称这一基为正则基.
求解原问题(P)时，可以从(P)的一个正则解开始,迭代 到另一个正则解，使目标函数值增加，当迭代到正 则解满足原始可行性条件(即xi≥0)时，就找到了原问 题(P)的最优解。这一方法称为对偶单纯形法.
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4 ,
x5
0
§2.3 对偶单纯形法
对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方 法，它是根据对偶原理和单纯形法的原理而设 计出来的，因此称为对偶单纯形法。
不要简单地将对偶单纯形法理解为求解对偶问 题的单纯形法。
一、对偶单纯形法的基本思想
二、对偶单纯形法的具体步骤
三、对偶单纯形法的理论解释
对偶问题课件ppt
对于约束优化问题，可以通过对 偶算法（如序列二次规划法）求
解对偶问题，得到最优解。
机器学习中对偶问题的应用案例
对偶问题在机器学习中的应用
在机器学习中，许多算法可以转化为对偶问题，如支持向量机、神经网络等。
应用案例
以支持向量机为例，其原始问题是求解一个二次规划问题，而其对偶问题则是求解一系 列线性方程组。通过对偶变换，可以将原始问题转化为对偶问题，从而简化计算过程。
05 对偶问题的发展趋势与展 望
对偶问题在理论上的进一步研究
要点一
深入研究对偶问题的数学原理
要点二
扩展对偶问题的求解方法
深入探讨对偶问题的数学基础，包括对偶定理、对偶映射 等，以揭示其内在规律和性质。
研究和发展新的求解对偶问题的算法和技巧，以提高求解 效率和应用范围。
对偶问题在实际应用中的拓展
总结词：线性规划问题的对偶问题可以简化和加速计算过程，通过对偶变换将原问题转化为对偶问题 ，提高求解效率。
最小二乘问题
最小二乘问题是一种数学优化技术，旨在找到一组数据的最优拟合直线或曲线。对偶问题在最小二乘问题中也有广泛应用， 通过对偶变换，将最小二乘问题转化为对偶问题，简化计算过程，提高求解效率。
总结词：最小二乘问题的对偶问题可以简化和加速计算过程，通过对偶变换将最小二乘问题转化为对偶问题，提高求解效率 。
约束优化问题
解对偶问题，得到最优解。
机器学习中对偶问题的应用案例
对偶问题在机器学习中的应用
在机器学习中，许多算法可以转化为对偶问题，如支持向量机、神经网络等。
应用案例
以支持向量机为例，其原始问题是求解一个二次规划问题，而其对偶问题则是求解一系 列线性方程组。通过对偶变换，可以将原始问题转化为对偶问题，从而简化计算过程。
05 对偶问题的发展趋势与展 望
对偶问题在理论上的进一步研究
要点一
深入研究对偶问题的数学原理
要点二
扩展对偶问题的求解方法
深入探讨对偶问题的数学基础，包括对偶定理、对偶映射 等，以揭示其内在规律和性质。
研究和发展新的求解对偶问题的算法和技巧，以提高求解 效率和应用范围。
对偶问题在实际应用中的拓展
总结词：线性规划问题的对偶问题可以简化和加速计算过程，通过对偶变换将原问题转化为对偶问题 ，提高求解效率。
最小二乘问题
最小二乘问题是一种数学优化技术，旨在找到一组数据的最优拟合直线或曲线。对偶问题在最小二乘问题中也有广泛应用， 通过对偶变换，将最小二乘问题转化为对偶问题，简化计算过程，提高求解效率。
总结词：最小二乘问题的对偶问题可以简化和加速计算过程，通过对偶变换将最小二乘问题转化为对偶问题，提高求解效率 。
约束优化问题
运筹学第3章 对偶模型PPT课件
9
对偶规则 —— 变量、约束与系数 P59表3-5
原问题有m个约束条件，对偶问题有m个变量 原问题的规范约束（max,≤或min，≥）对应对偶问题的变量≥0； 原问题的非规范约束（max,≥或min，≤）对应对偶问题的变量≤0 ； 原问题的等式约束（max,=或min，=）对应对偶问题的变量无限制 。
x1 , x2 , x3 ≥ 0
max z =CTX
st. AX = b
X≥ 0
min w= 5y1 + 6y2
2y1 +3y2 ≥5
st .
y1 + 2y2 ≥1
3y1 + y2 ≥2
min w =bTY ATY ≥ C
st. Y 自由
P58表3-4 8
一般对偶关系（混合对偶）
max z = c1x1 + c2x2 +c3x3
5
对偶关系
规范对偶关系（对称对偶） 标准形LP对偶关系（非对称对偶） 一般对偶关系（混合对偶）
6
规范对偶关系（对称对偶）
max z = CTX
st. AX ≤ b
X≥ 0
其中： C=（c1，c2, … ,cn)T b=（b1，b2, … ,bm)T X=（x1，x2, … ,xn)T Y=（y1，y2, … ,ym)T
a11x1+a12x2+a13x3 ≤ b1
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停
以 kl为主元作基变换
例：用对偶单纯形法计算
min w 2x1 3x2 4x3
cm xm am 0 0 ... 1 m,m1 ... m,n z0 0 0 ... 0 m1 ... n
（2）若 b B1b 0 ,则迭代停止，已求得原问题
（P）的最优解；否则转下一步。
（3）确定换出变量：若
' k
min{
' i
' i
0,1 i
m}
则取相应的变量 xk为换出变量。若
kj 0( j 1,2,, n)
x1
x2
x3
1
2x1 x2 x3 2
x1 0, x2 0
引例：求解线性规划：
min w 2x1 3x2 4x3
x1 2x2 x3 3
2x1 x2 3x3 4
x1
,
x2 ,
x3
0
解：引入松弛 变量x4,x5 ，将 问题变形为：
min w' 2x1 3x2 4x3
x1 2x2 x3 x4 3 2x1 x2 3x3 x5 4
前提条件 最优性检验 换入、出基 变量的确定
原始基本解 的进化
原始单纯形法
所有 b i ≥0
所有 j ≤0？
先确定换入基变量 后确定换出基变量
可行→最优 （对偶问题的解从 不可行到可行）
对偶单纯形法
所有 j ≤0
所有 b i ≥0？
先确定换出基变量 后确定换入基变量
非可行→可行（最优） （原问题的解从不可行
到可行）
二、对偶单纯法的迭代步骤：
（1）找一个正则基B和初始正则解X(0)，将问题（P） 化为关于基B的典式，列初始对偶单纯形表.
设正则解 x1, x2 ,, xm的典式为：
max z z0
x m1 m1 n xn
x1 x2 x j 0
x 1(m1) m1 x 2(m1) m1
b
x1 x2 ... xm
xm1 ... xn
c1
x1
a1
1 0 ... 0
1,m1 ... 1,n
c2
x2
a2
0 1 ... 0 2,m1 ... 2,n
cm xm
am
0 0 ... 1 m,m1 ... m,n
z0 0 0 ... 0 m1 ... n
为了求解线性规划，我们也可以从线性规划的一 个基解迭代到另一个基解，在迭代过程中，保持 基解的检验数的非正性，逐步消除基解的不可行 性，即
cm xm am 0 0 ... 1 m,m1 ... m,n z0 0 0 ... 0 m1 ... n
对
找初始正则解X0及可行基B
偶 单 纯
i 0?
N
Y 写出最优解 与最优值
法
确定换出变量x k,
计
k=min{i | i<0}
停
算
框 图
是否有 kj<0
N
无可行解
Y
确m 定in{换 kj入j 变kj量0 x}lkll
（4）确定换入变量：若
min{ j kj
rj
0,1
j m}
l kl
则取x l 为换入变量。以 kl为主元进行换基运算得
到新的正则解，返回（2）
c1 c2 ... cm cm1 ... cn
X B b x1 x2 ... xm xm1 ... xn
c1 x1 a1 1 0 ... 0 1,m1 ... 1,n c2 x2 a2 0 1 ... 0 2,m1 ... 2,n
复习题
1、应用对偶理论，证明下面的线性规划问题 有可行解，但无最优解。
min w x1 x2 x3
x1 x3 4
x1
x2
2x3
3
x1, x2 , x3 0
2、应用对偶理论，证明下面的线性规划 问题的最大值不会超过1。
max z x1 2x2 x3
x1 x2 x3 2
xm x m(m1) m1
j 1, 2, , n
1n xn 1 2n xn 2
mn xn m
将上面的典式转换成前面所学习过的单纯形表：
c1 c2 ... cm cm1 ... cn
X B b x1 x2 ... xm xm1 ... xn
c1 x1 a1 1 0 ... 0 1,m1 ... 1,n c2 x2 a2 0 1 ... 0 2,m1 ... 2,n
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4 ,
x5
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0
§2.3 对偶单纯形法
对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方 法，它是根据对偶原理和单纯形法的原理而设 计出来的，因此称为对偶单纯形法。
不要简单地将对偶单纯形法理解为求解对偶问 题的单纯形法。
一、对偶单纯形法的基本思想
二、对偶单纯形法的具体步骤
三、对偶单纯形法的理论解释
X ( 0 ) 0
(0) N
0
X ( k ) 0
(k ) N
0
c1 c2 ... cm
cm1 ... cn
XB
b
x1 x2 ... xm
xm1 ... xn
c1
x1
a1
1 0 ... 0 1,m1 ... 1,n
c2
x2
a2
0 1 ... 0 2,m1 ... 2,n
cm xm
am
0 0 ... 1 m,m1 ... m,n
z0 0 0 ... 0 m1 ... n
概念：正则解
如果原问题(P)的一个基解X 对应的检验数向量满足 条件
( B , N ) (0,CN CB B1N ) 0
则称X为(P)的一个正则解，同时称这一基为正则基.
求解原问题(P)时，可以从(P)的一个正则解开始,迭代 到另一个正则解，使目标函数值增加，当迭代到正 则解满足原始可行性条件(即xi≥0)时，就找到了原问 题(P)的最优解。这一方法称为对偶单纯形法.
一、对偶单纯形法的基本思想
先回顾一下单纯形算法： 它是从线性规划的一个基可行解迭代到另一个 基可行解的过程，在迭代过程中，保持基解的
可行性，逐步消除基解的检验数的非负性，即
X ( 0 ) 0
(0) N
0
X ( k ) 0
(k ) N
0
c1 c2 ... cm
cm1 ... cn
XB
则迭代停止，原问题无解；否则转下一步。
c1 c2 ... cm cm1 ... cn
X B b x1 x2 ... xm xm1 ... xn
c1 x1 a1 1 0 ... 0 1,m1 ... 1,n c2 x2 a2 0 1 ... 0 2,m1 ... 2,n
cm xm am 0 0 ... 1 m,m1 ... m,n z0 0 0 ... 0 m1 ... n