高考数学一轮复习三角函数解三角形与平面向量常见题型与求解策略

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三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结.docx

-三角函数三角形平面向量高考常考14种题型解题方法

三角函数三角形平面向量高考常考题型解题方法本专题要特别小心： 1.平面向量的几何意义应用 2. 平面向量与三角形的综合 3. 三角形的边角互化4.向量的数量积问题等综合问题5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.三角形中角的范围7.正余弦定理综合。

【题型方法】（一）考查平面向量基本定理例1. 设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（） A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-【解析】∵3BC CD = ∴AC −−AB =3(AD −−AC ) ∴AD =43AC −−13AB . 选C练习1．设四边形ABCD 为平行四边形，，.若点M ，N 满足，，则（）A ．20B ．15C ．9D ．6【解析】不妨设该平行四边形为矩形，以为坐标原点建立平面直角坐标系则，故练习2. 如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3AB AC=（二）考察数形结合思想（如：向量与圆等图形的结合）例2. 已知点A ,B ,C 在圆上运动，且ABBC ，若点P 的坐标为（2，0），则的最大值为（）A ．6B ．7C ．8D ．9 【解析】由题意，AC 为直径，所以当且仅当点B 为（-1，0）时，取得最大值7选B练习1. 在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足==, = = =–2，动点P ，M 满足=1，=，则的最大值是（）A ．B ．C ．D ．【解析】甴已知易得以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示则设由已知，得又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，选B练习2. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（） A ．3 B ．22 C ．5 D ．2 【解析】如图，建立平面直角坐标系设()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 根据等面积公式可得圆的半径是25，即圆的方程是()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=若满足AP AB AD λμ=+，即21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==- ，所以12xy λμ+=-+设12x z y =-+ ，即102xy z -+-= 点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心到直线的距离d r ≤，即221514z -≤+ ，解得13z ≤≤ 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，选A（三）．考查向量的数量积例3. 已知向量,则ABC =（）A ．30B ．45C ．60D ．120 【解析】由题意，得，所以，选A【小结】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题练习1. 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A ．B ．C ．D ．【解析】以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系则A （0，2），B （﹣2，0），C （2，0），设P （x ，y ）则=（﹣x ，2﹣y ），=（﹣2﹣x ，﹣y ），=（2﹣x ，﹣y ）所以•（+）=﹣x •（﹣2x ）+（2﹣y ）•（﹣2y ）=2x 2﹣4y +2y 2=2[x 2+（y ﹣）2﹣3]所以当x =0，y =时，•（+）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6，选D练习2.在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 . 【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB = 119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==；AE AB BE AB BC λ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+ ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒21172117299218921818λλλλ=++≥⋅+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918BAD C E（四）考查三角形中的边角互化例 4. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ， b ， c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A = 【解析】()sin 2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A练习1. 在中，角，，所对应的边分别为，，.已知，则（）A．一定是直角三角形B．一定是等腰三角形C．一定是等腰直角三角形D．是等腰或直角三角形【解析】由题，已知，由正弦定理可得：即又因为所以即由余弦定理：，即所以所以三角形一定是等腰三角形，选B练习2. 在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】因为，为的角平分线，所以在中，，因为，所以在中，，因为，所以，所以则因为，所以所以，则即的取值范围为,选A练习3. 在锐角三角形ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知,,,则的面积（） A ．B ．C ．D ．【解析】由题，，所以所以又因为锐角三角形ABC ，所以由题，即根据代入可得，，即再根据正弦定理：面积故选D练习4. 在锐角ABC ∆中，角AB C ，，的对边分别为a b c ，，．且cos cos A B a b +=33Ca，23b =a c +的取值范围为_____．【解析】cos cos 33A B C a b a +=23cos cos sin 3b A a B C ∴+= ∴由正弦定理可得： 23sin cos sin cos sin 3B A A B BC +=，可得：23sin()sin sin A B C B C +==，3sin B ∴=，又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭33A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,43]a c ∴+∈.练习5. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C+=+-，且3a b +=，则c 的取值范围为________________．【解析】因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ 所以由正弦定理可得cos cos a B b A c +=，又因为sin cos cos sin sin sin ab C a B b A a A b B c C+=+-，所以由正弦定理可得222abcc a b c =+- 即222a b c ab +-=，所以222c a b =+-2()3ab a b ab =+-，因为3a b +=，所以293c ab =-，因为29()24a b ab +≤=，当且仅当23==b a 时取等号，所以27304ab -≤-<，所以99394ab ≤-<，即2994c ≤<，所以332c ≤<，故c 的取值范围为3[,3)2（五）三角形与向量综合例5. 在△中，为边上的中线，为的中点，则（）A ．B ．C ．D ．【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A .练习1. 已知中，为的重心，则（）A．B．C．D．【解析】因为中，为的重心，所以，由余弦定理可得：且所以=练习2. 下列命题中，①在中，若，则为直角三角形；②若，则的最大值为；③在中，若，则；④在中，，若为锐角，则的最大值为．正确的命题的序号是______【解析】①在中，若，可得或，则为直角或钝角三角形，故①错；②若时，即，即垂直，则的最大值为，故②正确；③在中，若，，即，即，，即为，由，可得，故③正确；④在中，，即为，即为，可得，即，可得锐角，可得时，的最大值为，故④正确故答案为：②③④练习3. 在ABC 中， 60A ∠=︒， 3AB =， 2AC =. 若2BD DC =， ()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________. 【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ 则()1221233493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⎛⎫⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒= ⎪⎝⎭（六）向量与三角函数综合例6. 自平面上一点O 引两条射线OA ，OB ，点P 在OA 上运动，点Q 在OB 上运动且保持PQ 为定值a （点P ，Q 不与点O 重合），已知3AOB π∠=，7a =，则3||||PQ PO QP QOPO QO ⋅⋅+的取值范围为（）A ．1,72⎛⎤⎥⎝⎦B ．7,72⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．1,72⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．7,72⎛⎤- ⎥ ⎝⎦【解析】设OPQ α∠=，则23PQO πα∠=- 322cos 3cos 7cos 3cos 33PQ PO QP QO PQ QP POQO ππαααα⋅⋅⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭()3331337cos cos 7cos 7sin 22ααααααϕ⎫⎫=-=-+=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭其中3tan 9ϕ=，则7sin 14ϕ=20,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴当()sin 1αϕ-=时，原式取最大值7 ()()7sin sin 0sin 14αϕϕϕ->-=-=-，∴()77sin 2αϕ->- 37,72PQ PO QP QO PO QO ⎛⎤⋅⋅+∈- ⎥ ⎝⎦∴，选D练习1. 在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．【解析】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知，，可得，，由可得，（七）三角形中的最值例7. 在中，内角所对的边分别为．已知，，，设的面积为，，则的最小值为_______．【解析】在中，由得，因为利用正弦定理得，再根据，可得，，，由余弦定理得，求得，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等，所以的最小值为。

2024高考数学三角函数平面向量试题分析及备考策略(复习课件)

4、重视知识交汇点，提高解决综合问题的能力
三角函数是一种重要的初等函数，由于其特殊的性质以及与其他代数、几何知识的密切联系，使得它常与其他知识结合在一起考查。比如三角与向量、三角与不等式、三角与数列、三角与导数、三角与解析几何等等。而在知识的交汇点设置综合性、能力型试题，这也是高考数学命题的一贯做法.因此我们在高考备考中需要密切关注三角与其它知识间的联系，在例题讲解和平时测试中多选三角与其它知识结合的综合题，不断提高解决综合问题的能力。
考点八数量积的最值
考点八数量积的最值
考点八数量积的最值数量积的几何意义
第三部分
三角函数
三角函数
解三角形
解三角形
解三角形
平面向量
第四部分
1、夯实基础，形成知识体系
要求学生做到以下几点（1）扎实相关概念，比如三角函数的定义，简谐运动中振幅、频率、相位、初相的概念等；（2）掌握基本图象与性质，能熟练画出三角函数图象，及进行图象的变换；（3）熟练公式，掌握公式的推导，理解公式间的相互关系；（4）正余弦定理要有方程意识，会借助平面向量解决解三角形问题。
考点一三角恒等变换倍角公式、诱导公式
考点一三角恒等变换
弦切互化
考点一三角恒等变换
边化角
考点一三角恒等变换
边化角
考点一三角恒等变换
考点一三角恒等变换
考点一三角恒等变换
考点一三角恒等变换由切求弦，弦化切 1的代换
考点一三角恒等变换切化弦，同角关系
考点二零点、交点问题
中线：中线向量
考点四解三角形角平分线：等面积法
考点四解三角形角平分线：定义加正余弦定理
考点四解三角形

高考数学一轮复习名师专题讲座2 三角函数、平面向量的高考解答题型及求解策略课件文

[题型专练] 2．(2018·宁波统考)在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 csinC－bsinB＝(a－b)sinA. (1)求角 C； (2)若 c＝5，求△ABC 的面积的最大值． [解] (1)由 csinC－bsinB＝(a－b)sinA 及正弦定理，得 a2＋b2 －c2＝ab， ∴cosC＝a2＋2ba2b－c2＝12 又 C∈(0，π)，∴C＝3π.
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(4)已知两边 a，b 及其中一边的对角 A，由正弦定理sianA＝sibnB 可求出另一边 b 的对角 B，由 C＝π－(A＋B)，可求出角 C，再由 sianA＝sincC可求出 c，而通过sianA＝sibnB求角 B 时，可能有一解或两解或无解的情况．
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[解] (1)f(x)＝ 23－ 3sin2ωx－sinωxcosωx ＝ 23－ 3·1－co2s2ωx－12sin2ωx ＝ 23cos2ωx－12sin2ωx＝－sin2ωx－3π. 因为 y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期 T＝4×π4＝π.又 ω>0，所以22ωπ＝π，因此 ω ＝1.
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[审题程序] 第一步：化简 f(x)为“一角一函数”形式；第二步：求 ω 和单调递增区间；第三步：求 f(x)在给定区间上的值域．
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[规范解答] (1)f(x)＝2 3cosωxsinωx＋sin2ωx－cos2ωx＝ 3 sin2ωx－cos2ωx＝2sin2ωx－π6.
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高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题11解三角形的技巧与解题规律(2)文

专题11解三角形的技巧与解题规律(2)一、本专题要特别小心：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2. 三角形与三角函数的综合3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形中的中线问题5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题 7．三角形的综合二．【学习目标】掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式三．【方法总结】三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等．以正弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用．要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理．一般考虑从两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理四．【题型方法】（一）四边形中的三角形例1. 如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，．已知AD =BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．【答案】1BC = 【解析】（Ⅰ）在ABD 中，由正弦定理，得．因为，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，因为，所以．在BCD ∆中，由余弦定理，得．因为所以，即，解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =．练习1. 在平面四边形ABCD 中，内角B 与D 互补.，..（Ⅰ）求AC ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积。

【答案】（Ⅱ）【解析】（Ⅰ），即即1cos 2B =，60B ︒= 故（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，60B ︒=，，sin 2D =四边形ABCD 的面积=（二）三角形与数列的综合例2.已知a ，b ，c 分别是V ABC 内角A ，B ，C 的对边.角A ，B ，C 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列.（Ⅰ）求sin sin A C 的值；（Ⅱ）若a =V ABC 的周长.【答案】（Ⅰ）34（Ⅱ）V ABC 的周长为【解析】（Ⅰ）角A ，B ，C 成等差数列，即60B =︒成等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，即2ac b = 由余弦定理可得：化简得2()0a c -=，即a c ==因此V ABC 的周长为练习1．已知V ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．（1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值；（2）若V ABC 的外接圆面积为π，求V ABC 周长的最大值．【答案】（1）7c =；（2）2.【解析】（1）,,a b c 依次成等差数列，且公差为22b c ∴=-，4a c =-，由余弦定理得：整理得：，解得：7c =或2c =又，则4c >7c ∴=（2）设B θ=，外接圆的半径为R ，则2R ππ=，解得：1R = 由正弦定理可得：可得：2sin b θ=，，c =ABC ∆∴的周长又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴当32ππθ+=，即：6πθ=时，()fθ取得最大值2（三）角的范围问题陷阱例3. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】(1)根据题意，由正弦定理得，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得。

高考数学一轮总复习专题二三角函数、平面向量与解三角形课件理

PA2＝3＋14－2×
3×12×cos30°＝74.故
PA＝
7 2.
(2)设∠PBA＝α，由已知，得 PB＝sinα.
在△PBA 中，由正弦定理，得sin1350°＝sin3si0n°α－α. 化简，得 3cosα＝4sinα.
所以
tanα＝
43，即
tan∠PBA＝
3 4.
【互动探究】
2．(2015 年浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 tanπ4＋A＝2.
由正弦函数 y＝sinx 在π4，54π上的图象知，当 2x＋4π＝π2，即 x＝8π时，f(x)取最大值 2＋1；当 2x＋4π＝54π，即 x＝π2时，f(x)取最小值 0. 综上可知，f(x)在0，π2上的最大值为 2＋1，最小值为 0.
题型 2 三角函数和解三角形有关三角知识与解三角形的综合是全国各地的高考题中的一种重要题型，对于这类题，通常是先利用正弦定理或者余弦定理，将边的关系转化为只含有角的关系，再利用三角知识来处理．本题考查解三角形、三角形的面积、三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用．
(2)方法一，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA.
而 a＝ 7，b＝2，A＝π3，得 7＝4＋c2－2c，即 c2－2c－3＝0.
因为 c>0，所以 c＝3.
故△ABC

面积为12bcsinA＝3
当 x＋π3＝π，即 x＝23π时，f(x)取得最小值．
∴f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
【规律方法】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、
三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题.解题时

【高三】2021届高考数学三角函数三角变换解三角形平面向量备考复习

【高三】2021届高考数学三角函数三角变换解三角形平面向量备考复习【高三】2021届高考数学三角函数、三角变换、解三角形、平面向量备考复习主题二：三角函数，三角变换，解三角形，平面向量【备考策略】根据近年来高考的特点和规律，复习本课题时应注意以下几个方面：1．掌握三角函数的概念、图象与性质；熟练掌握同角公式、诱导公式、和角与差角、二倍角公式，且会推导掌握它们之间的内在联系。

掌握正弦、余弦定理，平面向量及有关的概念，向量的数量积以及坐标形式的运算。

2.掌握解决以下问题的思路和方法本专题试题以选择题、填空题、解答题的形式出现，因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊方法，如数形结合法、函数法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法等。

另外对有些具体问题还要掌握和运用一些基本结论（如对正弦、余弦函数的图象的对称轴经过最高点或最低点，对称中心为三角函数值为零的点，应熟练的写出对称轴的方程及对称中心的坐标；应用三角函数线解三角方程、比较三角函数值的大小；对三角函数的角的限制及讨论；常数1的代换等）。

3.特别注意（1）与三角函数的图象与性质有关的选择、填空题；（2）三角命题与向量解的交集知识；（3）与测量、距离、角度有关的解三角形问题。

第一讲三角函数的图像和性质【最新考纲透析】1.了解任意角度和弧度系统的概念，并能互动弧度和角度。

2．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

3.能使用单位圆上三角函数线导出的正弦、余弦、正切的归纳公式，画出y=SiNx、y=cosx、y=TaNx的图像，了解三角函数的周期性。

4．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，]的性质（如单调性、最大值和最小值以及图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间的单调性。

5.理解同角度三角函数的基本关系：sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx.6.了解函数y=asin（ωx+φ），了解参数a，ω，φ对函数图像变化的影响。

7．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。

高考数学一轮总复习三角函数与向量解题思路详解

高考数学一轮总复习三角函数与向量解题思路详解【文章正文开始】在高考数学一轮总复习中，三角函数与向量是重要的考点之一。

掌握解题思路对于学生来说至关重要。

本文将详细介绍三角函数与向量的解题思路，帮助学生更好地应对高考数学考试。

一、三角函数解题思路1. 理解基本概念在解题之前，首先需要对三角函数的基本概念有足够的理解。

这包括正弦、余弦、正切等常见的三角函数及其定义、性质等。

只有理解了基本概念，才能更好地应用于解题过程中。

2. 运用特殊角的性质在解题过程中，经常会遇到特殊角的问题。

对于特殊角，我们可以根据其性质进行换算和简化。

例如，利用30°、45°、60°等特殊角的三角函数值可以快速解题，简化计算过程。

3. 利用三角函数的周期性三角函数具有周期性，即在一定区间内函数值呈现循环变化。

在解题过程中，可以利用三角函数的周期性进行变形和化简。

例如，将题目中给定的角度范围转换为同余角范围，或者利用周期性简化计算。

4. 运用三角函数的变角公式和和差公式三角函数的变角公式和和差公式在解题中起到了关键作用。

变角公式可以将一个角的三角函数值转换为另一个角的三角函数值，从而简化计算。

和差公式可以将两个角的三角函数值表示为一个角的三角函数值，从而使得问题的解法更加灵活多样。

5. 结合无理方程求解三角函数在解无理方程时具有重要的应用。

通过将无理方程转化为三角函数方程，再利用三角函数的性质和方程的特点进行求解，可以有效地解决一些复杂的问题。

学生在解题过程中应该灵活应用这一思路。

二、向量解题思路1. 理解向量的基本概念在解向量题目之前，首先需要对向量的基本概念和运算法则有清晰的理解。

这包括向量的定义、向量的加法、减法、数量乘法等基本运算。

只有掌握了基本概念和运算法则，才能进行后续的解题过程。

2. 运用向量的共线、共面和垂直的性质在解题过程中，常常会涉及到向量的共线、共面和垂直的性质。

学生可以根据向量的这些性质进行方程的构建和求解，从而得到问题的解答。

高考数学一轮复习专题讲座2 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略知能训练轻松闯

专题讲座2 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略1．已知|a |＝3，|b |＝2，(a ＋2b )·(a －3b )＝－18，则a 与b 夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 解析：选B.(a ＋2b )·(a －3b )＝－18，所以a 2－6b 2－a·b ＝－18，因为|a |＝3，|b |＝2，所以9－24－a ·b ＝－18，所以a·b ＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝36＝12，所以〈a ，b 〉＝60°. 2．(2016·郑州第一次质量预测)已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图像如图所示，点B ，C 是该图像与x 轴的交点，过点C 的直线与该图像交于D ，E 两点，则(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)的值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．2解析：选D.注意到函数f (x )的图像关于点C 对称，因此C 是线段DE 的中点，BD →＋BE →＝2BC →.又BE →－CE →＝BE →＋EC →＝BC →，且|BC →|＝12T ＝12×2ππ＝1，因此(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)＝2BC →2＝2.3．(2015·高考重庆卷)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________．解析：如图，在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin B ＝ABsin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝22.所以∠ADB ＝45°，所以∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°. 所以∠BAC ＝30°，∠C ＝30°，所以BC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由正弦定理，得ACsin B＝BCsin ∠BAC，所以AC ＝ 6.答案： 6 4．(2015·高考天津卷改编)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内递增，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图像关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2. 答案：π25.已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R 的图像的一部分如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解：(1)由题图知A ＝2，T ＝8，因为T ＝2πω＝8，所以ω＝π4.又图像经过点(－1，0)，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0. 因为|φ|<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝22cos π4x .因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23，所以－3π2≤π4x ≤－π6.所以当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2. 6．(2015·高考陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行． (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3.由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c ＞0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217. 又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cosB sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.1．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )．(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令－π2＋2kπ≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.(2)由f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＋1＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3.因为向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，所以sin A sin B ＝12.由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝9.②联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.2．(2015·高考福建卷)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图像向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，且函数g (x )的最大值为2. ①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0. 解：(1)因为f (x )＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2＝53sin x ＋5cos x ＋5＝10sin(x ＋π6)＋5，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)①将f (x )的图像向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图像，再向下平移a (a＞0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图像．又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.②证明：要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45.由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45. 由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45.因为y ＝sin x 的周期为2π，所以当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x k ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)，使得sin x k ＞45.即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.。

高考热点题型-三角函数,解三角形,平面向量

三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________．答案－152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限。

适合于角度可以化为 απ±2k 的形式都可以利用诱导公式化简或求值，以下是几个常用的公式[问题2] cos 9π4＋tan ⎝⎭⎫－7π6＋sin 21π的值为___________________________．答案22－333．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )，减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π (k ∈Z )；y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )，减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间是________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案－56655．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 答案 45°6．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________．答案 ④ 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向；〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0；〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________．答案1258．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________．答案 ④9．几个向量常用结论：①P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心；②P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心； ③向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；④|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．易错点1 图象变换方向或变换量把握不准致误例1 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)．错解右 π4或右 π12找准失分点 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12. 题目要求是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4→y ＝sin(－3x )．右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12，要由y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12得到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可，因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12个单位．答案左π12易错点2 忽视隐含条件的挖掘致误例2 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，求cos β.错解由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π，则cos(α＋β)＝±1114.由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝437.故cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝7198或12.找准失分点由0<α＋β<π，且sin(α＋β)＝5314<32，∴0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π，又cos α＝17<12，∴π3<α<π2，即α＋β∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，∴cos(α＋β)＝－1114. 正解 ∵0<α<π2且cos α＝17<cos π3＝12，∴π3<α<π2，又0<β<π2， ∴π3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝5314<32， ∴2π3<α＋β<π. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，sin α＝1－cos 2α＝437. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12.易错点3 忽视向量共线致误例3 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．错解 ∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1.因θ为锐角，有cos θ>0， ∴2λ＋15·λ2＋1>0⇒2λ＋1>0，得λ>－12，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 找准失分点 θ为锐角，故0<cos θ<1，错解中没有排除cos θ＝1即共线且同向的情况．正解由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1≠1，∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠21．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.2．(2014·大纲全国)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .3．已知sin θ＋cos θ＝43 (0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13答案 B解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－sin 2θ＝－23. 4．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案 A解析 ∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2， ∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)．又－1≤cos θ≤1，∴0<c 2＋1≤22|c |， ∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1.5.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)等于( ) A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 3答案 B解析由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫π3，2，则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2，即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝－1. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－12答案 C解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.7．(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16. 8．(2014·江苏)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．答案 π6解析由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ω＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，－π2<φ<π2)，其部分图象如图所示．若横坐标分别为－1,1,5的三点M ，N ，P 都在函数f (x )的图象上，记∠MNP ＝θ，则cos 2θ的值是________．答案－725解析由图可知，A ＝1，f (x )的最小正周期T ＝8，所以T ＝2πω＝8，即ω＝π4.又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2<φ<π2，所以－π4<φ＋π4<3π4，即φ＋π4＝π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝sin π4(x ＋1)．因为f (－1)＝0，f (1)＝1，f (5)＝－1，所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)．所以NM →＝(－2，－1)，NP →＝(4，－2)，NM →·NP →＝－6，|NM →|＝5，|NP →|＝25，则cos ∠MNP ＝NM →·NP →|NM →|·|NP →|＝－35，即cos θ＝－35.于是cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725. 10．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.高考数学专题：三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________．2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝ 3，b ＝2，B ＝45°，则A ＝________．4.若将函数f(x)＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．5．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a ，b＝________．6．设0≤x＜2π，且 1－sin 2x ＝sin x －cos x ，则x 的取值范围是________．7．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－32，则λ＝________．8．设D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝________． 9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，则角C ＝________．10．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a·b =____．11．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x＜2π)取得最大值时，x ＝____． 12．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．三、解答题13.已知3tan 44x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（42x ππ<<）. （Ⅰ）求tan x 的值；（Ⅱ）求2sin 22sin cos 2x xx-的值.14.已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12π⎛⎫ ⎪⎝⎭，. （Ⅰ）求实数a 和b 的值；（Ⅱ）若[0]x π∈，，求()f x 的最大值及相应的x 值 .15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知)1tan (tan 3tan tan -⋅=+C A C A ，且7,22ABC b S ∆==．求：（I ）角B ；（II ）a + c 的值．16、在ABC ∆中，角A ，B ，C 分别所对的边为c b a ,,，且C B A A B 2s i n c o s s i n c o s s i n =+，A B C ∆的面积为34.：(Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2=a ，求边长c.17．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2bsin A.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求△ABC 的面积及b.18．已知函数f(x)＝（sin x －cos x ）sin 2x sin x. (1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间．19、设函数=)(x f ⋅p q ,其中向量()s i n ,c o s s i n x x x =+p , ()2cos ,cos sin x x x =-q ,x ∈R .（I ）求)3(πf 的值及函数)(x f 的最大值；（II ）求函数)(x f 的单调递增区间.20．函数f(x)＝6cos 2ωx 2＋3cos ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x 0)＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f(x 0＋1)的值．21．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.(1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．22．已知函数f(x)＝sin x ＋acos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0. (1)求实数a 的值； (2)求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间．23．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x 2，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2，1(x ∈R)，设函数f(x)＝m·n －1.(1)求函数f(x)的值域； (2)已知锐角三角形ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f(A)＝513，f(B)＝35，求f(C)的值．24、在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的三条边分别是a 、b 、c ，且满足2b ac =. （Ⅰ）求证：03B π<≤；（Ⅱ）求函数1sin 2sin cos B y B B +=+的值域.。

2020年高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题20平面向量的解题技法文(含解析)

专题16 平面向量的解题技法一、本专题要特别小心：1.平面向量的几何意义应用2. 平面向量与三角形的心3. 向量垂直的应用4.向量的数量积问题等综合问题5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用。

二．【学习目标】1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题三．【方法总结】1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.3.几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积a·b＝0，尽量用坐标运算.四．【题型方法】（一）平面向量的几何意义法例1. 如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,选B.练习1. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E是OD的中点，AE的延长线与CD相交于点若，，，则( )A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，为直角三角形，且，，平行行四边形ABCD的对角线相交于点O，E是OD的中点，，，∴，，，故选：D．练习2.已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，且，，则①＝－－；②＝＋；③＝－＋；④＋＋＝0.其中正确的等式的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】①如图可知＝＋＝＋＝－－＝－－，故①正确．②＝＋＝＋＝＋，故②正确．③＝＋＝＋＝＋(－－)＝－＋，故③正确．④＋＋＝－＋＋＝－(＋)＋＋＝－(＋)＋＋－＋＝0，故④正确．故选：D.（二）平面向量坐标法例2. 如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为（）A．B．C．2 D．【答案】C【解析】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；根据三角形面积公式得到，可得到内切圆的半径为可得到点的坐标为：故得到故得到，故最大值为：2.故答案为：C.练习1. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）．E为AB的中点，得设 P（cosθ，sinθ），∴＝（1，1）．再由向量＝λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）＝（+μcosθ，﹣λ+μsinθ ）＝（1，1），∴，∴．由题意得．,得＝0，故λ+μ在[0，]上是增函数，当θ＝0时，即cosθ＝1，这时λ+μ取最小值为，当θ＝时，即cosθ＝0，这时λ+μ取最大值为，故λ+μ的取值范围为[，5]故选：B．练习2. 已知，，，，为外接圆上的一动点，且，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则外接圆的方程为，设的坐标为，过点作垂直轴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，，∵，∴∴，，∴，，∴，其中，，当时，有最大值，最大值为，故选：B．练习3.已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】以A为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C．练习4.如图,原点是内一点,顶点在上, , , , , ,若,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A（2，0），B（﹣，），C（﹣，﹣），因为，由向量相等的坐标表示可得：，得，即＝，故选：D．练习5.点是平行四边形所在平面上一点，且，若，，，则__________．【答案】【解析】方法一：如图，以为轴建立直角坐标系，由题意可得各点坐标如下：，，，，设，因为，所以，所以解得即，所以，，所以．方法二：因为，所以，所以，所以；．所以（三）平面向量基本定理综合应用例3.已知A、B、P三点共线，O为任意一点，若求证；如图所示，已知中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且，DC和OA相交于点设，．若，求实数的值．【答案】（1）见解析；（2）=【解析】证明：、B、P三点共线，可设，，又，，；解：由C、D、E三点共线，可设，，，又，，，，而，，，解得，故实数=．练习1. 如图，在中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N 两点，若，，试问：是否为定值？【答案】见解析.【解析】设，，则，，．所以，.因为与共线，且不共线，所以有即，得，所以为定值．（四）向量综合例4.如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】．∵，，三点共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或（舍）．当时，，当时，．∴当时，取得最小值.故选：D．练习1,。

高考中的三角函数解三角形平面向量解答题

高考中的三角函数、解三角形、平面向量解答题三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一．近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和、差角与倍角公式等．解答题主要考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，一般出现在前两个解答题的位置．平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一．近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义；二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、几何问题中的应用．一、课堂演练1.(2013·安徽卷)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解析： (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2＜2x ＋π4≤5π4，即π8＜x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 2．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x .(1)若f (x )＝2f (－x )，求cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x的值； (2)求函数F (x )＝f (x )·f (－x )＋f 2(x )的最大值和单调递增区间．解析： (1)∵f (x )＝sin x ＋cos x ，∴f (－x )＝cos x －sin x .∵f (x )＝2f (－x )， ∴sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )，且cos x ≠0，∴tan x ＝13， ∴cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x ＝cos 2x －sin x cos x 2sin 2x ＋cos 2x ＝1－tan x 2tan 2x ＋1＝611. (2)由题知F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x =cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，F (x )max ＝2＋1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z ) 得 π8＋k π≥x ≥－3π8＋k π(k ∈Z )，故所求函数F (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．3．(2013·武汉武昌区联合考试)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足2AC →·CB →＝2ab ，c ＝22，f (A )＝12－34，求△ABC 的面积S .解析： (1)∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x . ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，值域为⎣⎡⎦⎤12－32，12＋32. (2)∵2AC →·CB →＝2ab ，∴2ba cos(π－C )＝2ab ，∴cos C ＝－22.∵C ∈(0，π)，∴C ＝3π4. 又f (A )＝12－34，∴12－32sin 2A ＝12－34，∴sin 2A ＝12. 而0＜A ＜π4，∴A ＝π12，B ＝π6. 由正弦定理，得a sin π12＝b sin π6＝c sin 3π4，即a 6－24＝b 12＝2222. ∴a ＝6－2，b ＝2. ∴S ＝12ab sin C ＝12×(6－2)×2×22＝3－1. 4．(2013·湖北八校联考)已知锐角三角形ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，定义向量m ＝(2sin B ，3)，n ＝⎝⎛2cos 2B 2－1，cos 2B )，且m ⊥n . (1)求f (x )＝sin 2x cos B －cos 2x sin B 的单调递减区间；(2)如果b ＝4，求△ABC 面积的最大值．解析： ∵m ⊥n ，∴m·n ＝2sin B cos B ＋3cos 2B ＝sin 2B ＋3cos 2B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3＝0， (1)易知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，由2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )得，f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．(2)由余弦定理知16＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ≥ac ， ∴S △ABC ＝12ac sin π3≤43(当且仅当a ＝c ＝4时取等号)．即△ABC 面积的最大值为4 3. ∴2B ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴B ＝k π2－π6(k ∈Z )，∵0＜B ＜π2，∴B ＝π3二、方法归纳总结1.高考中此类题目经常出现，解决此类题目思路是“一化二求”，即通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)，y ＝Acos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ＞0，ω≠0)的形式，再研究其各种性质．2.研究性质要结合函数图象，学会：（1）函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点；（2）相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期；（3）图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期；（4）熟记正余弦函数的单调区间。

高考数学一轮复习专题讲座2三角函数解三角形与平面向量在高考中

高考数学一轮复习专题讲座2三角函数解三角形与平面向量在高考中。

内部文件，版权追溯专题讲座二三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与解决策略1．已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)(a－3b)＝－18，则a与b夹角为()a．30°b．60°c．120°d．150°解析：选b.(a＋2b)(a－3b)＝－18，22所以a－6b－ab＝－18，因为| a |=3和|B |=2，9-24-ab=-18，所以ab=3，ab31所以cos＜a，B＞=，|a||b|62所以＜a，B＞=60°。

2.（2022郑州第一质量预测）已知函数f（x）=asin（πx+）φ），如图B点所示，→→→→C是图像和x轴的交点，通过点C的直线在两点D和E处与图像相交，那么（BD+be）（be-CE）的值为（）a．－11c.21b.－2d．2→→→解析：选d.注意到函数f(x)的图像关于点c对称，因此c是线段de的中点，bd＋be ＝2bc.→→→→→→112π→→→→→2be-CE=be+EC=BC，|BC |=t=×=1，所以（BD+be）（be-CE）=2BC=222π3．(2021高考重庆卷)在△abc中，b＝120°，ab＝2，a的角平分线ad＝3，则ac＝________．解析：如图所示，在△ abd，正弦定理给出=，sinbsin∠ adbadab2所以∠adb＝45°，所以∠bad＝180°－45°－120°＝15°.所以sin∠adb＝所以∠bac＝30°，∠c＝30°，所以bc＝ab＝2.在△abc中，由正弦定理，得acsinb＝1，所以AC=6sin∠bac答案：64（改编自天津2022卷）已知函数f（x）=正弦ωx＋COSωx（ω0），x∈ R.如果函数f（x）在区间（-ω，ω）内，函数y=f（x）的图像相对于直线x=ω对称增加，则ω的值为___解析：f(x)＝sinωx＋cosωxπ??＝ 2分钟？ωx＋4.因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图像关于直线x＝ω对称，πππ2所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ωω＋＝2kπ＋，k∈z，所以ω＝＋四百二十四2kπ，k∈z.2π ω πππ22又ω－(－ω)≤，即ω≤，所以ω＝，所以ω＝.2242π25.已知函数f(x)＝asin(ωx＋φ)a> 0，ω>0，|φ|2??(2)当x∈?－6，－?时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及3??对应X的值解：(1)由题图知a＝2，t＝8，2ππ因为t＝＝8，所以ω＝.ω4然后图像通过点（-1,0），?π?所以2sin?－＋φ?＝0.?4?ππ因为|φ|24π?? π所以f(x)＝2sin?x＋?.4.四(2)y＝f(x)＋f(x＋2)π? ππ?? π? π＝2sin?x＋?＋2sin?x＋＋?4.24?? 4.4π? π? π＝22sin?x＋?＝22cosx.2.4.四2?3πππ?因为x∈?－6，－?，所以－≤x≤－.3?246?ππ2所以当x＝－，即x＝－时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值6；463π当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22.4答案：6.（2022年高考陕西卷）△ ABC的内角a、B和C分别是a、B和C的对边。

高考中常见的三角函数题型和解题方法-数学秘诀

第12讲三角函数高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。

因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。

以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。

一、知识整合1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()y A x ωϕ=+的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．二、高考考点分析20XX 年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。

主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。

如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。

第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。

如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。

第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。

如分段函数值，求复合函数值域等。

三、方法技巧1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

三角函数与平面向量问题的求解策略.docx

三角函数与平面向量问题的求解策略类型1三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质是高考的热点,求解这类问题不仅要熟练掌握正弦(余弦)函数的图象与性质，而且要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式以及同角关系进行恒等变换, 这是进一步研究函数性质、三角函数式化简求值的基础. (2015*济南质检)已知函数/(x)=sin wx-cos cox+yl3cos 2cox —^'((t )> 0),直线X=X1，x=x 2是丿=/(x)图象的任意两条对称轴，且\x\—x 2\的最小值为*(1) 求/(X )的表达式；(2) 将函数/(X )的图象向右平移殳个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g (x)的图象，若关于x 的方程g (x)+A=0,在区间卜，劭上有且只有一个实数解，求实数％的取值范围.［思路点拨］⑴先将/(X )的解析式化为f(x) = ^sin(f9x +(P )的形式，再根据周期求妙(2)根据图象变换求g(x),画出图象求k 的取值范围.|规范解答］⑴f 3 =*sin 2必+ £x】+笃2s _¥ = *sin 2必+ ^^cos 2ax =JI 7i2 n n 由题意知T=2X —=—9又T=—=~ ⑵ 将f 3的图象向右平移专个单位后，得到尸55(心一壬)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到尸sin (2x —司的图象•所以g3=sin (2x —冷)JI7T71 5 n . 、 ■一、令 2x ——= t, T—百0乃冬二~・ g(x)+#= 0 在区间OZo, y 上有且只有一个实数解，即函数g &)=sin 广与尸_k 在区间 n 5 n "I一石，上有且只有一个交点.如图所示,【典例1】sin 2 ex+JT所以 ®=2…f{x) =sin【反思启迪】1.解答本题时，利用三角恒等变换得到f{x) = sin (2cox + 是解题的关键所在，应确保化简的准确性.2.研究方程解的个数问题，一般是利用图象法，而画函数y = ^sin(wx +(p)的图象时，可令t= cox + (p,求出『的范围后，只画y = Asin t 的图象.【变式训练1】(2015-南京)已知函数/(x)=2cos 2 ^+sinx.(1)求/(x)的最小正周期和单调递增区间；⑵求/(x)在区间［0,刊上的最大值与最小值.类型2三角形中的三角变换从近两年高考试题看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合运用，求解的关键是边角互化，同时结合三角恒等变形进行化简求值.【典例2】(2015-青岛)在中，a,方分别是锐角儿〃的对边，向量(1)求角/的大小;(2)若〃=?, BC 边上的中线4M=yfj,求的面积.［规范解答］(1)由m//iiy 得方cos 扌-“sin 3 = 0.由正弦定理，ffpin B = sin ^sin By 由于sinBHO,且/为锐角，••• sin/=*,所以/=务2(2)由⑴知力=〃=务・• AC= b = a,且C = J7T.久AM 恥ABC 中〃C 边上的中线，.• MC=*BC =如.在厶AMC 中，AM =朗,由余弦定理得AM 1^AC 2+ MC 2- lACMCcns C,m=(h, sin B),且 nt // n.7 = / + (号)2 - 2tf*ycos 扌TT,解得a = 2.从而a ■ b ■ 2.I ] 2故S A/肚=尹•力sin C = 2X2X2-sin尹=书・【反思启迪】1.以平面向量为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理.2.解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化.【变式训练2】(2013-天津高考)在AABC中，内角B, C所对的边分别是”,2b, c.已知bsin A=3csin B f a=3, cos B=y(1)求b的值；(2)求sin仙一申)的值.类型3平面向量与三角函数的综合应用向量与三角函数交汇创新是近几年高考命题的热点，主要涉及三种情形：①以向量为载体，考查三角变换与求值；②向量与解三角形交汇求边与角；③以三角函数表示向量坐标，研究向量运算及函数的有关性质.【典例3】在平面直角坐标系中，已知点力(1,1), 〃(2,3), C(c,2),且点P(x, y)在ZX/IBC三边围成的区域内.(1)若AB AC=0,求c的值；—►—►—►―►(2)在(1)的条件下，若PA+PB+PC=0f求|OP|；(3)当c=3 时,求sin 2/1+cos 2A的值.—> —►［规范解答］(1) AB= (1, 2), AC=(c-l, 1),⑵记/3)=加・〃，在厶ABC 中，角B, C 的对边分别是“，b, c,且满足 (2<z —c)cosB=bcos C,求函数/(力)的取值范围.由AB^ AC=09 得 1 • (c—l)+lX2=0,解之得 c= — l ・(2) V PA+PB+ PC=Q,又PA + PB+ PC= (1 一石 1-7)+ (2—為 3—劝 + (—1 一爲 2-y) = (2—3石 6—3力,2—3^=0, 6-3y=0.2X=0 解得S3 、尸2.则叫(3)当 c=3 时，曲=(1,2),虫=(2,1),AC=\AB\ • \AC\ • cos J,l 厂43/. 2+2=p5 •寸5cos 力，则 cos A=~ 由 (0, n ),得 sin A=~sin 2力+cos 2J=2sin Acos 力+2cos 》一1 =3125*【反思启迪】1.解本题第(3)问，根据数量积的定义，结合向量的坐标运算，求cos 优化了解题过程；当然在△力〃C 中，亦可根据三边长借助正、余弦定理求解.2.善于借助已获得的结论求解未知结论是常用的策略，此时要分清前面的结果是特殊情况还是普通结论，以防出错.【变式训练3】(2015-扬州质检)已知向量加=(伍in 了，1), ”=(co§予，co 易.(1)若 m • w=l,求cos专题基础达标检测一、选择题（每小题5分，共30分）1. （2014-大纲全国卷）设乙=黑，则z 的共轨复数为（C. l+3iD. l-3i2.已知向量°,方的夹角为即且（2a-b ）丄°,若0|=8, A. 43・函数/(x)=2sin(2x+^)6.若函数（/>0,少>0, |°|V 号）在一个周期内的图象如图4—4—3所示，M, N 分别是这段图象的最高点和最低点，且・=0（0为坐标原点），则力等于（）.B. %C.平兀D.賂二填空题（每小题8分，共32分）7. （2015-潍坊模拟）已知函数金）=2血（如+£）@>0）的图象与夕轴交于P ，与x 轴的相邻两个交点记为力，B,若△刃〃的面积等于兀，则血= ____________ ・8. 在厶ABC 中，A, B, C 的对边分别为“，b, c,若 «sin /I —csin C=（y[2a —b ）sin班级姓名分数/(x)在 0,). A.—诵B. — 1C.4. (2013-课标全国卷I)已知锐角的内角力，B, C 的对边分别为a, b, c, 23COS 2/1+COS 2/4=0, a=7, c=6,贝0 b=(D.)•A. 10B. 9C.D. 55. /XOEF 的外接圆的圆心为O,半径/?=4, 则向量在方向上的投影为（）.A. 2^3B ・6C. D. —6)• A. -l+3i则 14=()•B. 2则角C的值是________ ・9.函数j=tan(x-^) (0<^<TT)的图象如图，点B为图象与x轴的交点，过点〃的直线/与函数的图象交于点E, F,设点0为坐标原点，贝!)(+)•= ______ ・10.函数fix)=sin(2x+0)+V3cos(2x+0)为奇函数，其中〃丘[0,2刊，且在区间一务0上是减函数，贝显= _______ .三、解答题11. (12分)已知函数f (x)=y[3asin x+^cos(x—的图象经过点身，伴，°)・(1)求实数〃的值；(2)求函数f(2x)的周期及单调增区间.12. (13分)(2013-山东高考)设ZVIBC的内角昇，B, C所对的边分别为“，b, c,且 (7)a+c=6, b=2, cos B—g・(1)求a, c的值;(2)求sin(/l-B)的值.13. (2014 •青岛)(13分)在△磁中，角人B、C的对边分别为日、b、c,且满足(^2a—c)・=c ・.(1)求角〃的大小；(2)若|一丨=&,求△磁面积的最大值.达标检测参考答案i ・ ID]由 ^77i=(3?Jx3-i)= 1+3i,得= 1_3L2. |B] 由(2a - b)la,得 a-(2a - A) = 0, 又〈a, b> =p 且姑 8,2|G |2 = a-b = |a|-8cos 申，则\a\ = 2.3・[B] /（x ）的图象向右平移菲个单位，得y = 2$in （2x + 0-申）的图象，依题意，y =2sin2x+ 申为偶函数,4. [D| 由 23COS 2/4 + cos 24 = 0 得 23cos 2/l + 2cos 2A -1=0,解得 cos A = ±£. *.* A 是锐角，・°・cos 力=£・又«2 =+c 213方=5 或方=一丁（舍去），••- h = 5.5. |B|如图所示，由+ + = 0得+=,・•・四边形DEOF 为平行四边形，又|| = || =4, 在△DEF 中，易^ZEDF= 120°, Z£FD =30°,7.令x=0,得y=l,即点 P(0,l),又 S △刃8 =卯昇〃|・|0鬥=兀，\AB\ = 2TT ,,k € ZJ,贝]\(p= - 从而 /(x) = 2_ 一 “It 7T 7T —5 又0 WxW 〒一石W 2x 一石九由正弦定理，得或斤120。

高考数学一轮复习之三角函数与平面向量

2019 高考数学一轮复习之三角函数与平面向量1.三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热门之一。

近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考察三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、引诱公式、和角与倍角公式等。

高考对三角函数与三角恒等变换内容的考察，一是设置一道或两道客观题，考察三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容；二是设置一道解答题，考察三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实质应用，一般出此刻前两个解答题的地点。

不论是客观题还是解答题，从难度来说均属于中低档题目，所占分值在 20 分左右，约占总分值的 13.3%。

2.平面向量是连结代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一。

高考常设置 1 个客观题或 1 个解答题，对平面向量知识进行全面的考察，其分值约为 10 分，约占总分的 7%。

最近几年高考取平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考察向量的观点、性质及其几何意义；二是考察向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用。

1.2019 年高考试题展望(1)剖析近几年高考对三角函数与三角恒等变换部分的命题特色及发展趋向，以下还是此后高考的主要内容：与此刻“教师”一称最靠近的“老师”观点，最早也要追忆至宋元期间。

第1页/共3页有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元期间小学教师被称为“老师”有案可稽。

清朝称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

此刻领会，“教师” 的含义比之“老师”一说，拥有资历和学问程度上较低一些的差异。

辛亥革命后，教师与其余官员同样依法律委任，故又称“教师”为“教员”。

要练说，先练胆。

说话胆寒是少儿语言发展的阻碍。

许多少儿当众说话时显得胆寒：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。

三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结

三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结一、解题思路（一）解题思路思维导图（二）常见题型1.三角恒等变换已知正切值求正弦、余弦齐次式值问题典例1：（2016年3卷）若tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】2cos 2sin 2αα+=25641tan tan 41cos sin cos sin 4cos 2222=++=++ααααααα故选A ．2.三角恒等变换给值求值问题典例2：（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．3．图象法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质典例3：（2017年3卷6）设函数()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知， ()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.4．复合函数法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质π5．求三角函数()B x A y ++=ϕωsin ⎪⎭⎫⎝⎛<>>2,00πϕω，A 解析式典例4：（2015年1卷8）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D. 考点：三角函数图像与性质6．三角函数图象的平移与伸缩变换典例5：（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2()f x cos()x ωϕ+()f x 13(,),44k k k Z ππ-+∈13(2,2),44k k k Z ππ-+∈13(,),44k k k Z -+∈13(2,2),44k k k Z -+∈1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩=ωπ=4πϕ()cos()4f x x ππ=+22,4k x k k Z πππππ<+<+∈124k -x 324k +k Z ∈124k -324k +k Z ∈2π3π6π12写性质根据解出x 的值或范围写出函数对称轴、对称中心、单调区间、最值等性质解题思路及步骤注意事项求A 和B ()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，求ω 先求周期T ，再由求ωπ2=T 求ω 求ϕ代入已知点坐标，根据ϕ的具体范围求出ϕ，一般代入最值点，若代入与B y =的交点，注意区分是在增区间还是减区间上求解析式写出解析式解题思路及步骤注意事项写出变换法则把变换前的函数看成抽象函数()x f y =，根据变换法则写出变换后的抽象函数代入表达式根据原函数解析式写出变换后的解析式，例如：()x f y ==⎪⎭⎫⎝⎛+62sin 3πx 向右平移4π个单位后得函数⎪⎭⎫⎝⎛-=4πx f y =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-32sin 3642sin 3πππx x ，其他变换都按这个方法确定变换后解析式C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2【解析】先变周期：先变相位：选D ．7.解三角形知一求一问题8.解三角形知三求一问题典例6：（2017年2卷17）的内角的对边分别为，已知． (1)求;(2)若，的面积为2，求解析:（1）依题得．因为，所以，所以，得（舍去）或.12π612π122cos sin sin 2sin 2sin 2223122y x x y x y x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⇒=+⇒=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22cos sin sin sin sin 222633y x x y x x y x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⇒=++=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ABC △,,A B C ,,a b c ()2sin 8sin 2B AC +=cos B 6a c +=ABC △.b 21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-22sin cos 1B B +=2216(1cos )cos 1B B -+=(17cos 15)(cos 1)0B B --=cos 1B =15cos 17B =（2）由∵可知，因为，所以，即，得.因为，所以，即，从而，即，解得．9.解三角形知二求最值（或范围）问题典例7：(2013年2卷17)∵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若b=2，求∵ABC面积的最大值.【解析】(1)因为a=bcosC+csinB，所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB，所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB，即cosBsinC=sinCsinB，因为sinC≠0，所以tanB=1，解得B=.4π(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos4π，即4=a2+c2ac，由不等式得a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时，取等号，所以4≥(2)ac，解得，所以∵ABC的面积为12acsin4π≤4+1.所以∵ABC +1.典例8：（2011年1卷16）在中，的最大值为.令AB c=，BC a=，则由正弦定理得【解析】2,sin sin sina c ACA C B====2sin,2sin,c C a A∴==且120A C+=︒，222sin4sinAB BC c a C A∴+=+=+2sin4sin(120)C C=+︒-＝2sin C+14(cos sin)4sin22C C C C+=++)Cϕ=(其中tan2ϕ=∴当90Cϕ+=︒时，2AB BC+取最大值为8sin17B=2ABCS=△1sin22ac B⋅=182217ac⋅=172ac=15cos17B=22215217a c bac+-=22215a c b+-=22()215a c ac b+--=2361715b--=2b=ABC60,B AC==2AB BC+二、知识点总结（一）知识点思维导图（二）常用定理、公式及其变形1.同角三角函数关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．2.诱导公式：对于角α±π2k 与角α的三角函数关系“奇变偶不变，符号看象限”，这句话是对变化前的函数和角来说的. 例如在三角形，∵，∴A B C A B C ++=+=-ππ3.两角和与差公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.4.二倍角公式：（1）升幂公式：sin 2sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，22tan tan 21tan ααα=-（2）降幂公式：221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==5.辅助角公式：sin cos a b αα+=22sin()a b αϕ++(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定，tan b aϕ=).6．正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：7．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：振幅：A ，周期：2πωT =，频率：12f ωπ==T ，相位：x ωϕ+，初相：ϕ．sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴函数性质8．函数x y sin =变换到函数()ϕω+=x A y sin 的两种途径 ∵的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．∵数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．9.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===；化边变形：sin 2a R A =，sin 2bR B =，sin 2c C R=；化角变形：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；比例关系：::sin :sin :sin a b c C =A B .10.余弦定理2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-； 2222cos c a b ab C =+-.边角互化变形：222cos 2b c a bc+-A =，ac b c a B 2cos 222-+=，ab c b a C 2cos 222-+=11.面积公式：（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.（3）()c b a r S ++=21（r 为三角形内切圆半径）。