2014高考数学复习 必备 集合与简易逻辑 (经典)教案
高三数学复习教案 第一章集合与简易逻辑、第三章数学等复习---学案
第一章集合与简易逻辑复习---学案（2课时）（一） 教学目标： 1. 知识目标：（1）集合的相关概念及运算；含绝对值的不等式、一元二次不等式的解法； （2）命题的相关概念，充要条件； 2. 能力目标：（1）理解概念，掌握解法； （2）集合思想； （二） 教学三点解析：1. 教学重点：知识的网络结构；2. 教学难点：集合在不等式中的应用；3. 教学疑点：知识之间的相互关系及应用； （三） 教学过程设计一. 知识归纳 1. 知识的框架图；2. 集合的概念：集合与元素、有限集与无限集、列举法与描述法、集合元素的三特征、子集与真子集、空集和全集；集合的交、并、补的运算；集合的相关符号； 3. 含绝对值不等式的解法|x|>a 、|x|<a ；一元二次不等式的解法；4. 命题的概念、简单命题与复合命题、复合命题的三种形式、逻辑联结词、真假判断；四种命题、充要条件、反证法。
二. 新课教学1、已知集合A ＝{a 2,a ，a 2－2a ＋1}，B ＝{1,2}且A ∩B ＝{1}，求a 的值。
分析：由A ∩B ＝{1}可得出1∈A ，由集合中元素的确定性可得…，同时还应注意集合中元素的互异性。
【解】2、已知集合U ＝R ，A ＝{x|2>|x －3|}，B ＝{x|xx --42<0}，求A ∩B 、A ∪C U B 。
分析：优先求解A 、B ，再用数轴分析进行集合运算。
【解】3、已知集合A ＝{x|x 2<2x ＋8}，B ＝{x| |x －a|<5}，且A ∩B ＝A ，求a 的取值范围。
分析：由A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；优先化简A 、B ，再数轴分析，得出对端点的要求，列出不等式。
【解】4、已知命题p ：|5x －2|>3，命题q ：53+-x x ≥0,则⌝p 是⌝q 的什么条件？ 分析：先写出命题⌝p 与⌝q ，再判断它们的关系。
【解】5、求方程x 2＋ax ＋1＝0有两个正根的充要条件。
数学高考复习名师精品教案：第05课时：第一章 集合与简易逻辑-简易逻辑
数学高考复习名师精品教案第05课时：第一章集合与简易逻辑——简易逻辑一．课题：简易逻辑二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系．四．教学过程：（一）主要知识：1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题；2．由真值表判断复合命题的真假；3．四种命题间的关系．（二）主要方法：1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；2．通常复合命题“p或q”的否定为“p⌝或⌝”、“p且q”的否定为“p⌝且q⌝”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；q3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p，则q”的形式；4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾．（三）例题分析：例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：（1）菱形对角线相互垂直平分．（2）“23≤”解：(1)这个命题是“p 且q ”形式，:p 菱形的对角线相互垂直；:q 菱形的对角线相互平分，∵p 为真命题，q 也是真命题 ∴p 且q 为真命题．（2）这个命题是“p 或q ”形式，:p 23<；:q 23=，∵p 为真命题，q 是假命题 ∴p 或q 为真命题．注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判断复合命题的真假．例2．分别写出命题“若220x y +=，则,x y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．解：否命题为：若220x y +≠，则,x y 不全为零逆命题：若,x y 全为零，则220x y +=逆否命题：若,x y 不全为零，则220x y +≠注：写四种命题时应先分清题设和结论．例3．命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．解：方法一：原命题是真命题，∵0m >，∴140m ∆=+>，因而方程20x x m +-=有实根，故原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”是真命题；又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题．方法二：原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是“若20x x m +-=无实根，则0m ≤”．∵20x x m +-=无实根∴140m ∆=+<即104m <-≤，故原命题的逆否命题是真命题．例4．（考点6智能训练14题）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．分析：先分别求满足条件p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．解：由命题p 可以得到：2400m m ⎧∆=->⎨>⎩ ∴2m >由命题q 可以得到：2[4(2)]160m ∆=--< ∴26m -<<∵p 或q 为真，p 且q 为假 ,p q 有且仅有一个为真当p 为真，q 为假时，262,6m m m orm >⎧⇒≥⎨≤-≥⎩ 当p 为假，q 为真时，22226m m m ≤⎧⇒-<≤⎨-<<⎩ 所以，m 的取值范围为{|6m m ≥或22}m -<≤．例5．（《高考A 计划》考点5智能训练第14题）已知函数()f x 对其定义域内的任意两个数,a b ，当a b <时，都有()()f a f b <，证明：()0f x =至多有一个实根． 解：假设()0f x =至少有两个不同的实数根12,x x ，不妨假设12x x <，由方程的定义可知：12()0,()0f x f x ==即12()()f x f x =由已知12x x <时，有12()()f x f x <这与式①矛盾因此假设不能成立故原命题成立．注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．例6．（《高考A 计划》考点5智能训练第5题）用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）A.假设,,a b c 都是偶数B.假设,,a b c 都不是偶数C.假设,,a b c 至多有一个是偶数D.假设,,a b c 至多有两个是偶数（四）巩固练习：1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是 （ ）A.若q 不正确，则p 不正确B. 若q 不正确，则p 正确C 若p 正确，则q 不正确 D. 若p 正确，则q 正确2．“若240b ac -<，则20ax bx c ++=没有实根”，其否命题是 （ ）A 若240b ac ->，则20ax bx c ++=没有实根B 若240b ac ->，则20ax bx c ++=有实根C 若240b ac -≥，则20ax bx c ++=有实根D 若240b ac -≥，则20ax bx c ++=没有实根。
集合与简易逻辑教案jiaoan
集合与简易逻辑教案一、教学目标1. 了解集合的概念，能够正确表示集合，并掌握集合的基本运算。
2. 学习简易逻辑的基本概念，能够运用简易逻辑解决问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 集合的概念和表示方法集合的定义集合的表示方法（列举法、描述法）集合的基本运算（并集、交集、补集）2. 简易逻辑的概念和应用简易逻辑的定义简易逻辑的规则（矛盾律、排中律、同一律）简易逻辑在解决问题中的应用三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解和掌握集合和简易逻辑的概念。
2. 使用案例分析和练习题，让学生通过实际应用来加深对集合和简易逻辑的理解。
3. 鼓励学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作能力和交流表达能力。
四、教学评估1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况，评估学生对集合和简易逻辑的理解程度。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确率和解题思路，评估学生对集合和简易逻辑的掌握程度。
3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现和合作能力，以及对集合和简易逻辑的理解和应用能力。
五、教学资源1. 教学PPT：提供集合和简易逻辑的概念、例题和练习题，方便学生理解和巩固知识点。
2. 练习题：提供相关的练习题，帮助学生巩固集合和简易逻辑的知识点。
3. 案例分析：提供相关的案例分析，让学生能够将集合和简易逻辑应用到实际问题中。
六、教学步骤1. 引入集合概念：通过现实生活中的实例，如班级学生、家庭成员等，引导学生理解集合的概念。
2. 表示集合：讲解列举法和描述法的区别和运用，让学生通过具体例子学会表示集合。
3. 集合运算：介绍并集、交集、补集的定义和运算方法，通过例题展示运算过程，让学生分组练习。
七、教学步骤（续）4. 简易逻辑概念：引入简易逻辑的概念，解释矛盾律、排中律、同一律的含义。
5. 逻辑推理：通过逻辑推理题目，让学生运用简易逻辑规则解决问题，增强逻辑思维能力。
《集合与简易逻辑》数学教学教案
《集合与简易逻辑》数学教学教案第一章：集合的概念与表示方法1.1 集合的定义与表示方式集合的定义集合的表示方法：列举法、描述法1.2 集合之间的关系子集、真子集、非子集集合的包含关系1.3 集合的基本运算并集、交集、补集集合的运算规律第二章：逻辑推理与命题2.1 逻辑推理的基本概念推理、归纳推理、演绎推理2.2 命题与命题联结词命题的定义与分类命题联结词：且、或、非2.3 命题的真假判断命题的真假性质真值表与逻辑等价式第三章：简易逻辑3.1 简易逻辑的基本概念逻辑常数、逻辑运算符逻辑等价式与蕴含式3.2 简易逻辑的推理规则蕴含式与等价式的转换推理规则：德摩根定律、分配律、结合律3.3 简易逻辑的应用逻辑判断与推理的应用实例简易逻辑在数学证明中的应用第四章：不等式与不等式组4.1 不等式的定义与性质不等式的概念与表示方法不等式的基本性质：传递性、同向可加性4.2 不等式组的解法不等式组的表示方法解一元一次不等式组、二元一次不等式组4.3 不等式的应用不等式在实际问题中的应用不等式在几何问题中的应用第五章：函数的概念与性质5.1 函数的定义与表示方法函数的概念与要素函数的表示方法：解析法、表格法、图象法5.2 函数的性质函数的单调性、奇偶性、周期性函数的图像特点5.3 函数的应用函数在实际问题中的应用函数在几何问题中的应用第六章：集合的幂集与排列组合6.1 幂集的概念与性质幂集的定义幂集的性质与运算6.2 排列组合的基本概念排列、组合的定义排列数、组合数的计算公式6.3 排列组合的应用排列组合在实际问题中的应用排列组合在排列组合问题中的应用第七章：事件的概率与随机变量7.1 概率的基本概念概率的定义与性质古典概率、条件概率、独立事件的概率7.2 随机变量的概念与性质随机变量的定义与分类随机变量的分布函数与期望值7.3 概率分布的应用概率分布解决实际问题概率分布在不确定性决策中的应用第八章：数列的概念与性质8.1 数列的定义与表示方法数列的概念与要素数列的表示方法：通项公式、列表法、图象法8.2 数列的性质数列的单调性、周期性、收敛性数列的极限概念8.3 数列的应用数列在实际问题中的应用数列在数学分析中的应用第九章：函数的极限与连续性9.1 函数极限的概念与性质函数极限的定义与性质无穷小、无穷大的概念9.2 函数的连续性函数连续性的定义与性质连续函数的运算性质9.3 函数极限与连续性的应用函数极限与连续性在实际问题中的应用函数极限与连续性在数学分析中的应用第十章：集合与简易逻辑的综合应用10.1 集合与逻辑在数学问题中的应用集合与逻辑在数学证明中的应用集合与逻辑在数学分析中的应用10.2 集合与逻辑在其他学科中的应用集合与逻辑在物理学中的应用集合与逻辑在计算机科学中的应用10.3 集合与逻辑在生活中的应用集合与逻辑在日常生活中的应用集合与逻辑在思维训练中的应用重点和难点解析重点环节1：集合的表示方法与之间的关系集合的表示方法：列举法、描述法集合之间的关系：子集、真子集、非子集；集合的包含关系重点环节2：逻辑推理的基本概念与命题联结词推理、归纳推理、演绎推理命题联结词：且、或、非重点环节3：命题的真假判断与真值表命题的真假性质真值表与逻辑等价式重点环节4：简易逻辑的基本概念与推理规则逻辑常数、逻辑运算符推理规则：德摩根定律、分配律、结合律重点环节5：不等式与不等式组的解法与应用不等式的性质：传递性、同向可加性不等式组的解法：一元一次不等式组、二元一次不等式组重点环节6：幂集的概念与性质幂集的定义幂集的性质与运算重点环节7：事件的概率与随机变量的概念概率的定义与性质随机变量的定义与分类重点环节8：数列的性质与应用数列的单调性、周期性、收敛性数列的极限概念重点环节9：函数的极限与连续性函数极限的定义与性质函数的连续性重点环节10：集合与逻辑的综合应用集合与逻辑在数学问题中的应用集合与逻辑在其他学科中的应用全文总结和概括：本文主要分析了《集合与简易逻辑》数学教学教案中的重点环节，包括集合的表示方法与之间的关系、逻辑推理的基本概念与命题联结词、命题的真假判断与真值表、简易逻辑的基本概念与推理规则、不等式与不等式组的解法与应用等方面。
第一章集合与简易逻辑(教案)
高中数学第一册（上）第一章集合与简易逻辑◇教材分析【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．◇学习指导【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想；3．分类思想； 4．数形结合思想．【解题规律】1．如何解决与集合的运算有关的问题？1）对所给的集合进行尽可能的化简；2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．2．如何解决与简易逻辑有关的问题？1）力求寻找构成此复合命题的简单命题；2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题．引言通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。
1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识；2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识．在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了．§集合〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法； (2)初步了解“属于”关系的意义；(3)初步了解有限集、无限集、空集的意义．〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合．〖教学过程〗☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．1、集合的概念：在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”也组成一个集合．我们一般用大括号表示集合，上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员)与4太平洋。
集合与简易逻辑复习教案
高三（上）数学巩固练习（1）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在后面的表格中）1．集合{|,},{|,}2442k k M x x k Z N x x k Z ππππ==+∈==+∈，则 ()A N M = ()B M N ⊃≠ ()C M N ⊂≠ ()D M N φ=2．已知命题p ：若,022=+y x 则x 、y 全为0；命题q ：若a b >，则11a b<．给出下列四个复合命题：①p 且q ，②p 或q ，③p ⌝④ q ⌝，其中真命题的个数为()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 43．,,A B C 是三个集合，那么“B A =”是“A C B C = ”成立的()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件4．已知函数2)(x x f =，集合},)1(|{R x ax x f x A ∈=+=，且++=R R A ，则实数a 的取值范围是()A (0,)+∞ ()B ),2(+∞ ()C ),4[+∞ ()D ),4[)0,(+∞-∞5．已知全集{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，集合{}4,3,2=M ，{}6,3,1=P ，则集合{}5,7,8是 ()A P M ()B P M ()C ()U M P ð ()D ()U M P ð6．设集合},54|{},,1|{22N b b b y y B N a a x x A ∈+-==∈+==，则下列关系中正确的是 ()A A B = ()B B A ⊂≠ ()C A B ⊂≠ ()D φ=B A7．下列命题中，使命题M 是命题N 成立的充要条件的一组命题是()A 22:;:bc ac N b a M >> ()B d b d a N d c b a M ->->>:;,: ()C bd ac N d c b a M >>>>>:;0,0: ()D 0:|;||||:|≤+=-ab N b a b a M 8．不等式()()042222<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是 ()A ()2,2- ()B (]2,2- ()C (],2-∞ ()D (),2-∞-9．如果,,a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是()A ab ac > ()B ()0c b a -> ()C 22cb ab < ()D ()0ac a c -<10．二次函数)(x f 的二次项系数为正数，且对任意项R x ∈都有)4()(x f x f -=成立，若)21()21(22x x f x f -+<-，则x 的取值范围是()A 2>x ()B 2-<x 或20<<x ()C 02<<-x ()D 2-<x 或0>x11．在函数2()f x ax bx c =++中，若,,a b c 成等比数列且(0)4f =-，则()f x 有最大 值（填“大”或“小”），且该值为3-．12．对任意实数)(,x f x 是x 和22-x 中的较大者，则)(x f 的最小值为1-．13．已知定义在闭区间]3,0[上的函数kx kx x f 2)(2-=的最大值为3，那么实数k的取值集合为{}3,1-．14．已知以下四个命题：① 如果12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个实根，且12x x <，那么不等式20ax bx c ++<的解集为{}12x x x x <<； ②若102x x -≤-，则(1)(2)0x x --≤； ③“若2m >，则220x x m -+>的解集是实数集R ”的逆否命题；④若函数()f x 在(,)-∞+∞上递增，且0a b +≥，则()()()()f a f b f a f b +≥-+-．其中为真命题的是 ② ③ ④ （填上你认为正确的序号）．三、解答题（本大题共4小题，共34分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本题7分）解关于x 的不等式2221x a a x a --≤-． 答案：①当0a <或1a >时，)2,x a a ⎡∈⎣； ②当0a =或1a =时，x ∈∅；③当01a <<时， (2,x a a ⎤∈⎦。
高三数学第一章 集合与简易逻辑教案
第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉．例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示．集合分有限集和无限集两种．集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法．例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集．定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆．规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等．如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集．定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集． 定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且．定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成．（1）若)(C B A x ∈，则A x ∈，且B x ∈或C x ∈，所以)(B A x ∈或)(C A x ∈，即)()(C A B A x ∈；反之，)()(C A B A x ∈，则)(B A x ∈或)(C A x ∈，即A x ∈且B x ∈或C x ∈，即A x ∈且)(C B x ∈，即).(C B A x ∈（3）若B C A C x 11 ∈，则A C x 1∈或B C x 1∈，所以A x ∉或B x ∉，所以)(B A x ∉，又I x ∈，所以)(1B A C x ∈，即)(111B A C B C A C ⊆，反之也有.)(111B C A C B A C ⊆定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法．定理3 乘法原理：做一件事分n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法．二、方法与例题1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合．例1 设},,{22Z y x y x a a M ∈-==，求证：（1）)(,12Z k M k ∈∈-；（2）)(,24Z k M k ∈∈-；（3）若M q M p ∈∈,，则.M pq ∈[证明]（1）因为Z k k ∈-1,，且22)1(12--=-k k k ，所以.12M k ∈-（2）假设)(24Z k M k ∈∈-，则存在Z y x ∈,，使2224y x k -=-，由于y x -和y x +有相同的奇偶性，所以))((22y x y x y x +-=-是奇数或4的倍数，不可能等于24-k ，假设不成立，所以.24M k ∉-（3）设Z b a y x b a q y x p ∈-=-=,,,,,2222，则))((2222b a y x pq --=（因为Z ya xb Z ya xa ∈-∈-,）．2．利用子集的定义证明集合相等，先证B A ⊆，再证A B ⊆，则A =B ．例2 设A ，B 是两个集合，又设集合M 满足B A M B A B A M B M A ===,，求集合M （用A ，B 表示）． 【解】先证M B A ⊆)( ，若)(B A x ∈，因为B A M A =，所以M x M A x ∈∈, ，所以M B A ⊆)( ；再证)(B A M ⊆，若M x ∈，则.B A M B A x =∈1）若A x ∈，则B A M A x =∈；2）若B x ∈，则B A M B x =∈．所以).(B A M ⊆ 综上，.B A M =3．分类讨论思想的应用．例3 }02{},01{},023{222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ，若C C A A B A == ,，求.,m a【解】依题设，}2,1{=A ，再由012=-+-a ax x 解得1-=a x 或1=x ，因为A B A = ，所以A B ⊆，所以A a ∈-1，所以11=-a 或2，所以2=a 或3．因为C C A = ，所以A C ⊆，若∅=C ，则082<-=∆m ，即2222<<-m ，若∅≠C ，则C ∈1或C ∈2，解得.3=m综上所述，2=a 或3=a ；3=m 或2222<<-m ．4．计数原理的应用．例4 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若I B A = ，求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数．【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，I B A , 中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个．（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有1024210=个，非空真子集有1022个．5．配对方法． 例5 给定集合},,3,2,1{n I =的k 个子集：k A A A ,,,21 ，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k 的值．【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得12-n 对，每一对不能同在这k 个子集中，因此，12-≤n k ；其次，每一对中必有一个在这k 个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C 1A 与A ，并设∅=1A A ，则A C A 11⊆，从而可以在k 个子集中再添加A C 1，与已知矛盾，所以12-≥n k ．综上，12-=n k ．6．竞赛常用方法与例问题． 定理4 容斥原理；用A 表示集合A 的元素个数，则,B A B A B A -+=C B A C B C A B A C B A C B A +---++=，需要xy 此结论可以推广到n 个集合的情况，即∑定义8 集合的划分：若I A A A n = 21，且),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= ，则这些子集的全集叫I 的一个n -划分．定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数．定理6 抽屉原理：将1+mn 个元素放入)1(>n n 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+m 个元素，也必有一个抽屉放有不多于m 个元素；将无穷多个元素放入n 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素．例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．【解】 记}）2（2,1001{},100,,3,2,1{x x x x A I 记为整除能被且≤≤== ，}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=，由容斥原理，+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A 7430100151001010061005100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡，所以不能被2，3，5整除的数有26=-C B A I 个．例7 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示．由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数．又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==时，恰有912=S ，且S 满足题目条件，所以最少含有912个元素．例8 求所有自然数)2(≥n n ，使得存在实数n a a a ,,,21 满足：【解】 当2=n 时，1,021==a a ；当3=n 时，3,1,0321===a a a ；当4=n 时， 1,5,2,04321====a a a a ．下证当5≥n 时，不存在n a a a ,,,21 满足条件．令n a a a <<<= 210，则.2)1(-=n n a n 所以必存在某两个下标j i <，使得1-=-n j i a a a ，所以1111--=-=-n n n a a a a 或21a a a n n -=-，即12=a ，所以1,2)1(1-=-=-n n n a a n n a 或2)1(-=n n a n ，12=a ． （ⅰ）若1,2)1(1-=-=-n n n a a n n a ，考虑2-n a ，有22-=-n n a a 或22a a a n n -=-，即22=a ，设22-=-n n a a ，则121----=-n n n n a a a a ，导致矛盾，故只有.22=a 考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或33a a a n n -=-，即33=a ，设23-=-n n a a ，则02212a a a a n n -==---，推出矛盾，设33=a ，则2311a a a a n n -==--，又推出矛盾， 所以4,22==-n a a n 故当5≥n 时，不存在满足条件的实数． （ⅱ）若1,2)1(2=-=a n n a n ，考虑2-n a ，有12-=-n n a a 或32a a a n n -=-，即23=a ，这时1223a a a a -=-，推出矛盾，故21-=-n n a a ．考虑3-n a ，有23-=-n n a a或-=-n n a a 33a ，即3a =3，于是123--=-n n a a a a ，矛盾．因此32-=-n n a a ，所以12211a a a a n n -==---，这又矛盾，所以只有22a a n =-，所以4=n ．故当5≥n 时，不存在满足条件的实数．例9 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合i A ，.201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i 求n 的最小值．【解】 .16min =n设B 中每个数在所有i A 中最多重复出现k 次，则必有4≤k ．若不然，数m 出现k 次（4>k ），则.123>k 在m 出现的所有i A 中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，121,,,b m a a }},,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a ，其中61,≤≤∈i A a i ，为满足题意的集合．i a 必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以.4≤k 20个i A 中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以16≥n ．当16=n 时，如下20个集合满足要求：{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}． 例10 集合{1，2，…，3n }可以划分成n 个互不相交的三元集合},,{z y x ，其中z y x 3=+，求满足条件的最小正整数.n【解】 设其中第i 个三元集为,,,2,1},,,{n i z y x i i =则1+2+…+∑==n i i zn 1,43 所以∑==+n i i z n n 142)13(3．当n 为偶数时，有n 38，所以8≥n ，当n 为奇数时，有138+n ，所以5≥n ，当5=n 时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以n 的最小值为5．三、基础训练题1．给定三元集合},,1{2x x x -，则实数x 的取值范围是___________．2．若集合},,012{2R x R a x ax x A ∈∈=++=中只有一个元素，则a =___________．3．集合}3,2,1{=B 的非空真子集有___________个．4．已知集合}01{},023{2=+==+-=ax x N x x x M ，若M N ⊆，则由满足条件的实数a 组成的集合P =___________．5．已知}{},2{a x x B x x A ≤=<=，且B A ⊆，则常数a 的取值范围是___________．6．若非空集合S 满足}5,4,3,2,1{⊆S ，且若S a ∈，则S a ∈-6，那么符合要求的集合S 有___________个．7．集合}14{}12{Z k k Y Z n n X ∈±=∈+=与之间的关系是___________．8．若集合}1,,{-=xy xy x A ，其中Z x ∈，Z y ∈且0≠y ，若A ∈0，则A 中元素之和是___________．9．集合}01{},06{2=-==-+=mx x M x x x P ，且P M ⊆，则满足条件的m 值构成的集合为___________．10．集合},9{},,12{2R x x y y B R x x y x A ∈+-==∈+==+，则 =B A ___________．11．已知S 是由实数构成的集合，且满足1）2;1S ∉）若S a ∈，则S a∈-11．如果∅≠S ，S 中至少含有多少个元素？说明理由． 12．已知B A C a x y y x B x a y y x A =+====},),{(},),{(，又C 为单元素集合，求实数a 的取值范围．四、高考水平训练题1．已知集合},,0{},,,{y x B y x xy x A =+=，且A =B ，则=x ___________，=y ___________．2．},9,1{)()(},2{,,},9,8,7,6,5,4,3,2,1{11==⊆⊆=B C A C B A I B I A I}8,6,4{)(1=B A C ，则=)(1B C A ___________．3．已知集合}121{},0310{2-≤≤+=≥-+=m x m x B x x x A ，当∅=B A 时，实数m 的取值范围是___________．4．若实数a 为常数，且=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∈a x ax x A a 则,1112___________． 5．集合}1,12,3{},3,1,{22+--=-+=m m m N m m M ，若}3{-=N M ，则=m ___________．6．集合},27{},,35{++∈+==∈+==N y y b b B N x x a a A ，则B A 中的最小元素是___________．7．集合}0,,{},,,{2222y x y x B xy y x y x A -+=+-=，且A =B ，则=+y x ___________．8．已知集合}04{},021{<+=<-+=px x B xx xA ，且AB ⊆，则p 的取值范围是___________．9．设集合},05224),{(},01),{(22=+-+==--=y x x y x B x y y x A }),{(b kx y y x C +==，问：是否存在N b k ∈,，使得∅=C B A )(，并证明你的结论．10．集合A 和B 各含有12个元素，B A 含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C 的个数：1）B A C ⊆且C 中含有3个元素；2）∅≠A C ．11．判断以下命题是否正确：设A ，B 是平面上两个点集，}),{(222r y x y x C r ≤+=，若对任何0≥r ，都有B C A C r r ⊆，则必有B A ⊆，证明你的结论．五、联赛一试水平训练题1．已知集合A B B x mx x m z z B x x A ⊆∅≠>+-==<=且,},2,11{},0{2，则实数m 的取值范围是___________．2．集合}12,2,,3,2,1{+=n n A 的子集B 满足：对任意的B y x B y x ∉+∈,,，则集合B 中元素个数的最大值是___________．3．已知集合}2,,{},,,{2d a d a a Q aq aq a P ++==，其中0≠a ，且R a ∈，若P =Q ，则实数=q ___________．4．已知集合}1),{(},0,),{(y x xy y x B a a y x y x A +=+=>=+=，若B A 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则=a ___________．5．集合},,,4812{Z n l m l n m u u M ∈++==，集合},,,121620{Z r q p r q p u u N ∈++==，则集合M 与N 的关系是___________．6．设集合}1995,,3,2,1{ =M ，集合A 满足：M A ⊆，且当A x ∈时，A x ∉15，则A 中元素最多有___________个．7．非空集合}223{},5312{≤≤=-≤≤+=x x B a x a x A ，≤则使B A A ⊆成立的所有a 的集合是___________．8．已知集合A ，B ，aC （不必相异）的并集},,2,1{n C B A =, 则满足条件的有序三元组（A ，B ，C ）个数是___________．9．已知集合}1),{(},1),{(},1),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A ，问：当a 取何值时，C B A )(为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？10．求集合B 和C ，使得}10,,2,1{ =C B ，并且C 的元素乘积等于B 的元素和．11．S 是Q 的子集且满足：若Q r ∈，则0,,=∈-∈r S r S r 恰有一个成立，并且若S b S a ∈∈,，则S b a S ab ∈+∈,，试确定集合S ．12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？六、联赛二试水平训练题1．321,,S S S 是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，如果i S x ∈，j S y ∈，则i S y x ∈-．求证：321,,S S S 中必有两个相等．2．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集)117,,2,1( =i A i ，使得（1）每个i A 恰有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和相同．3．某人写了n 封信，同时写了n 个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？4．设2021,,,a a a 是20个两两不同的整数，且整合{120}i j a a i j +≤≤≤中有201个不同的元素，求集合{120}i j a a i j -<≤≤中不同元素个数的最小可能值．5．设S 是由n 2个人组成的集合．求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数．6．对于整数4≥n ，求出最小的整数)(n f ，使得对于任何正整数m ，集合}1,,1,{-++n m m m 的任一个)(n f 元子集中，均有至少3个两两互质的元素．7．设集合S={1，2，…，50}，求最小自然数k ，使S 的任意一个s 元子集中都存在两个不同的数a 和b ，满足ab b a )(+．8．集合+∈=N k k X },6,,2,1{ ，试作出X 的三元子集族&，满足：（1）X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；（2））k 的元素个数表示&&(6&2=． 9．设集合}21{，m ，，A =，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1421,,,A A A ，一定存在某个集合)141(≤≤i A i ，在i A 中有两个元素a 和b 满足43b a b <≤．。
《集合与简易逻辑》数学教学教案
《集合与简易逻辑》数学教学教案第一章：集合的概念与表示方法1.1 集合的定义与性质引导学生理解集合的基本概念，如集合、元素、子集等。
介绍集合的性质，如确定性、互异性、无序性等。
1.2 集合的表示方法介绍集合的表示方法，如列举法、描述法等。
练习如何用不同的方法表示给定的集合。
第二章：集合的关系与运算2.1 集合的关系介绍集合之间的关系，如子集、真子集、并集、交集等。
练习判断给定的集合之间的关系。
2.2 集合的运算介绍集合的运算规则，如并集、交集、补集等。
练习运用集合的运算解决实际问题。
第三章：逻辑推理与命题3.1 逻辑推理的基本概念引导学生理解逻辑推理的基本概念，如前提、结论、推理等。
介绍演绎推理和归纳推理的定义和特点。
3.2 命题与命题公式介绍命题的概念，如简单命题、复合命题等。
练习判断给定的语句是否为命题，并分析命题之间的关系。
第四章：简易逻辑4.1 简易逻辑的基本规则介绍简易逻辑的基本规则，如蕴含式、逆否式、充要式等。
练习运用简易逻辑的规则进行推理。
4.2 逻辑推理的应用练习运用逻辑推理解决实际问题，如判断真假命题、解决逻辑谜题等。
巩固集合与逻辑的基本概念和运算规则。
5.2 提高解题能力提供一些提高解题能力的练习题，让学生进一步巩固所学知识。
分析解题思路，培养学生的逻辑思维和解题技巧。
第六章：不等式与不等式组6.1 不等式的概念与性质引导学生理解不等式的基本概念，如不等号、不等式等。
介绍不等式的性质，如同向相加、反向相减等。
6.2 不等式组的解法介绍不等式组的解法，如图形法、代数法等。
练习运用不同的方法解给定的不等式组。
第七章：函数的概念与性质7.1 函数的定义与表示方法引导学生理解函数的基本概念，如函数、自变量、因变量等。
介绍函数的表示方法，如解析式、图像等。
7.2 函数的性质介绍函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
练习判断给定的函数具有哪些性质。
第八章：指数函数与对数函数8.1 指数函数的概念与性质引导学生理解指数函数的基本概念，如指数函数、底数、指数等。
集合与简易逻辑教案
集合与简易逻辑教案第一章：集合的概念与性质1.1 集合的定义与表示方法学习集合的基本概念，如元素、集合、子集等。
掌握集合的表示方法，如列举法、描述法等。
1.2 集合的运算学习集合的交集、并集、补集等基本运算。
理解集合运算的性质与规律。
1.3 集合的特殊性质学习集合的无限性、序性、布尔性等特殊性质。
探讨集合的分类与构造。
第二章：逻辑与命题2.1 逻辑的基本概念学习逻辑的基本元素，如命题、联结词、推理等。
理解逻辑与数学的关系。
2.2 命题逻辑学习命题逻辑的基本规则，如蕴含、矛盾、等价等。
掌握命题逻辑的推理方法，如演绎推理、归纳推理等。
2.3 谓词逻辑学习谓词逻辑的基本概念，如个体、谓词、量词等。
掌握谓词逻辑的推理方法，如演绎推理、归纳推理等。
第三章：集合的列举与描述3.1 集合的列举法学习如何用列举法表示集合，如自然数集、整数集等。
掌握列举法的特点与局限性。
3.2 集合的描述法学习如何用描述法表示集合，如素数集、偶数集等。
掌握描述法的特点与优势。
3.3 集合的分类与构造学习集合的分类方法，如代数集合、拓扑集合等。
探讨集合的构造技术与应用。
第四章：集合的运算与性质4.1 集合的交集与并集学习集合的交集与并集的定义与性质。
掌握交集与并集的运算规律。
4.2 集合的补集与子集学习集合的补集与子集的定义与性质。
掌握补集与子集的运算规律。
4.3 集合的特殊性质学习集合的无限性、序性、布尔性等特殊性质。
探讨集合的分类与构造。
第五章：简易逻辑与推理5.1 逻辑的基本概念学习逻辑的基本元素，如命题、联结词、推理等。
理解逻辑与数学的关系。
5.2 命题逻辑的推理方法学习命题逻辑的基本规则，如蕴含、矛盾、等价等。
掌握命题逻辑的推理方法，如演绎推理、归纳推理等。
5.3 谓词逻辑的推理方法学习谓词逻辑的基本概念，如个体、谓词、量词等。
掌握谓词逻辑的推理方法，如演绎推理、归纳推理等。
第六章：元素与集合的关系6.1 元素与集合的包含关系学习元素与集合之间的包含关系，包括属于、不属于等。
高中数学 集合与简易逻辑课时复习教案3
子集目的: 让学生初步了解子集的概念及其表示法,同时了解等集与真子集的有关概念.过程:一提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系.存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系.二“包含”关系—子集1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则说:集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作A⊆B (或B⊇A)也说: 集合A是集合B的子集.2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊄B (或B⊄A)注意: ⊆也可写成⊂；⊇也可写成⊃；⊆也可写成⊂；⊇也可写成⊃。
3. 规定: 空集是任何集合的子集 . φ⊆A三“相等”关系1.实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即： A=B2.①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A⊂≠②真子集：如果A⊆B ,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B③空集是任何非空集合的真子集。
④如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C证明：设x是A的任一元素，则 x∈AA⊆B,∴x∈B 又 B⊆C ∴x∈C 从而 A⊆C同样；如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C⑤如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B四小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号几个性质： A⊆AA⊆B, B⊆C ⇒A⊆CA⊆B B⊆A⇒ A=B。
高中数学 集合与简易逻辑课时复习教案2
第二教时集合与简易逻辑
教材： 1、复习
目的： 复习集合的概念；巩固已经学过的内容，并加深对集合的理解。
过程：
一、 复习：（结合提问）
1．集合的概念 含集合三要素
2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法
3．集合的分类：有限集、无限集、空集、单元集、二元集
4．关于“属于”的概念
二、 例一 用适当的方法表示下列集合：
1． 平方后仍等于原数的数集
解：{x|x 2=x}={0,1}
2． 比2大3的数的集合
解：{x|x=2+3}={5}
3． 不等式x 2-x-6<0的整数解集
解：{x Z| x 2-x-6<0}={x Z| -2<x<3}={-1,0,1,2}
4． 过原点的直线的集合
解：{(x,y)|y=kx}
5． 方程4x 2+9y 2
-4x+12y+5=0的解集
解：{(x,y)| 4x 2+9y 2-4x+12y+5=0}={(x,y)| (2x-1)2+(3y+2)2=0}={(x,y)| (1/2,-2/3)} 6． 使函数y=
612-+x x 有意义的实数x 的集合 解：{x|x 2+x-60}={x|x 2且x 3,x R}。
第一章--集合与简易逻辑复习教案(整理好的很详细)
第一章集合与简易逻辑网络体系总览简易逻辑命题四种命题及其关系充分必要条件逻辑联结词简单命题与复合命题考点目标定位1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义.4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质.复习方略指南本章内容在高考中以考查空集与全集的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，集合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考查内容.逻辑联结词与充要条件这部分，以充要条件为重点考查内容.本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：1.复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面是对集合知识的应用.2.主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对集合中的元素的属性要分清楚.“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，二者相互对照可加深对双方的认识和理解.4.复习逻辑知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题达到理解、掌握逻辑知识的目的.5.集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通.1.1 集合的概念与运算知识梳理2.元素与集合、集合与集合之间的关系（1）元素与集合：“∈”或“∉”.（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系.（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.（3）补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即A⊆S），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集S中的补集（或余集），记为S A，即S A={x|x∈S且x∉A}.点击双基1.已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于A.{x|x＜－2}B.{x|x＞3}C.{x|－1＜x＜2}D.{x|2＜x＜3}A={x∈R|x＜5－2}，B={1，2，3，4}，则（R A）∩B等于A.{1，2，3，4}B.{2，3，4}C.{3，4}D.{4}P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是A.P∩Q=PB.P∩Q QC.P∪Q=QD.P∩Q PU是全集，非空集合P、Q满足P Q U，若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集∅，则这个运算表达式可以是_______________.A＝｛0，1｝，B＝｛x｜x∈A，x∈Ｎ*｝，C＝｛x｜x⊆A｝，则A、B、C之间的关系是___________________.典例剖析【例1】 （2004年北京，8）函数f （x ）=⎩⎨⎧∈-∈,,M x xP x x其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f （P ）={y |y =f （x ），x ∈P }，f （M ）={y |y =f （x ），x ∈M }.给出下列四个判断，其中正确判断有①若P ∩M =∅，则f （P ）∩f （M ）=∅ ②若P ∩M ≠∅，则f （P ）∩f （M ）≠∅ ③若P ∪M =R ，则f （P ）∪f （M ）=R ④若P ∪M ≠R ，则f （P ）∪f （M ）≠RA.1个B.2个C.3个【例2】 已知A ={x |x 3＋3x 2＋2x ＞0}，B ={x |x 2＋ax ＋b ≤0}且A ∩B ={x |0＜x ≤2}，A ∪B ＝｛x ｜x ＞－2｝，求a 、b 的值.评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.深化拓展（上海，19）记函数f （x ）=132++-x x 的定义域为A ，g （x ）=lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B .（1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围. 提示：（1）由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0， ∴x ＜－1或x ≥1，即A =（－∞，－1）∪［1，+∞）. （2）由（x －a －1）（2a －x ）＞0，得（x －a －1）（x －2a ）＜0. ∵a ＜1，∴a +1＞2a .∴B =（2a ，a +1）. ∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2. 而a ＜1，∴21≤a ＜1或a ≤－2. 故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是（－∞，－2］∪［21，1）. 【例3】 （2004年湖北，10）设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是A.P QB.Q PC.P =QD.P ∩Q =Q【例4】 已知集合A ={（x ，y ）|x 2+mx －y +2=0}，B ={（x ，y ）|x －y +1=0，0≤x ≤2}，如果A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围.深化拓展设m ∈R ，A ={（x ，y ）|y =－3x +m }，B ={（x ，y ）|x =cos θ，y =sin θ，0＜θ＜2π}，且A ∩B ={（cosθ1，sin θ1），（cos θ2，sin θ2）}（θ1≠θ2），求m 的取值范围.提示：根据题意，直线y =－3x +m 与圆x 2+y 2=1（x ≠1）交于两点， ∴22)3(1||-+m ＜1且0≠－3×1+m .∴－2＜m ＜2且m ≠3. 答案：－2＜m ＜2且m ≠3. 夯实基础A ={（x ，y ）|x +y =0}，B ={（x ，y ）|x －y =2}，则A ∩B 是 A.（1，－1）B.⎩⎨⎧-==11y xC.{（1，－1）}D.{1，－1}A ={5，log 2（a +3）}，集合B ={a ，b }.若A ∩B ={2}，则A ∪B =______________. A ={x |1＜x ＜2}，B ={x |x ＞a }，若A B ，则a 的取值范围是___________________. A ={x ∈R |ax 2+2x +1=0，a ∈R }只有一个元素，则a 的值为__________________. A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是 A.（I A ）∪B =IB.（I A ）∪（I B ）=IC.A ∩（I B ）=∅D.（I A ）∩（I B ）=I B6.记函数f （x ）=log 2（2x －3）的定义域为集合M ，函数g （x ）= )1)(3(--x x 的定义域为集合N .求：（1）集合M 、N ； （2）集合M ∩N 、M ∪N . 培养能力A ={x ∈R |x 2+2x +p =0}且A ∩{x ∈R |x ＞0}=∅，求实数p 的取值范围.P ={（x ，y ）|（x +2）2+（y －3）2≤4}，Q ={（x ，y ）|（x +1）2+（y －m ）2＜41}，且P ∩Q =Q ，求m 的取值范围.评述：本题选题目的是：熟悉用集合语言表述几何问题，利用数形结合方法解题.探究创新B ={x |x 2－3x +2＜0}，是否存在实数a ，使A ={x |x 2－（a +a 2）x +a 3＜0}且A ∩B =A ？请说明你的理由. 思悟小结1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算.3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.拓展题例【例1】设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M－N={x|x∈M且x N}，则M－（M －N）等于A.NB.M∩NC.M∪ND.M【例2】设集合P={1，a，b}，Q={1，a2，b2}，已知P=Q，求1+a2+b2的值。
集合与简易逻辑教案
集合与简易逻辑教案教学目标：1. 理解集合的概念，掌握集合的表示方法。
2. 学会运用集合的基本运算。
3. 理解简易逻辑的定义和性质。
4. 学会运用简易逻辑解决问题。
教学内容：第一章：集合的概念与表示方法1.1 集合的概念1.2 集合的表示方法1.3 集合的性质第二章：集合的基本运算2.1 集合的并集2.2 集合的交集2.3 集合的补集2.4 集合的幂集第三章：简易逻辑的基本概念3.1 简易逻辑的定义3.2 简易逻辑的性质3.3 简易逻辑的判定方法第四章：简易逻辑的应用4.1 简易逻辑在几何中的应用4.2 简易逻辑在代数中的应用4.3 简易逻辑在概率中的应用第五章：集合与简易逻辑的综合应用5.1 集合与简易逻辑的结合5.2 集合与简易逻辑在实际问题中的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解集合与简易逻辑的基本概念、性质和应用。
2. 利用案例分析，让学生通过具体例子理解集合的基本运算和简易逻辑的判定方法。
3. 引导学生运用集合与简易逻辑解决实际问题，培养学生的逻辑思维能力。
教学评估：1. 课堂练习：每章结束后，安排课堂练习，巩固所学知识。
2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
3. 课后作业：布置课后作业，检验学生对知识的掌握程度。
4. 期中期末考试：评估学生对整个课程的学习效果。
教学资源：1. 教材：《集合与简易逻辑》2. 课件：教师自制课件3. 案例分析：相关实际问题案例4. 练习题库：相关习题和解答教学进度安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：2课时4. 第四章：3课时5. 第五章：2课时集合与简易逻辑教案教学目标：1. 理解集合的概念，掌握集合的表示方法。
2. 学会运用集合的基本运算。
3. 理解简易逻辑的定义和性质。
4. 学会运用简易逻辑解决问题。
教学内容：第六章：集合的分类6.1 集合的分类标准6.2 有序集合与无序集合6.3 集合的划分与覆盖第七章：集合与函数7.1 函数的定义与性质7.2 函数的图像与特征7.3 函数与集合的关系第八章：集合与数系8.1 自然数系8.2 整数系8.3 有理数系8.4 实数系第九章：集合与逻辑推理9.1 逻辑推理的基本形式9.2 集合与逻辑推理的关系9.3 集合逻辑推理的应用第十章：集合与简易逻辑的综合应用10.1 集合与简易逻辑在科学研究中的应用10.2 集合与简易逻辑在日常生活中的应用10.3 集合与简易逻辑在其它学科中的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解集合与简易逻辑的基本概念、性质和应用。
《集合与简易逻辑》数学教学教案
《集合与简易逻辑》数学教学教案章节一：集合的概念与表示方法教学目标：1. 了解集合的概念，理解集合中元素的特点。
2. 学习集合的表示方法，包括列举法和不完全列举法。
3. 能够正确运用集合的表示方法表示给定的集合。
教学内容：1. 集合的概念：集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
2. 集合的表示方法：列举法：将集合中的所有元素按照一定的顺序列举出来，用大括号括起来，如{1, 2, 3}。
不完全列举法：列举集合中的一部分元素，并用省略号表示还有其他元素，如{1, 2, 3, }。
教学活动：1. 引入集合的概念，通过实际例子讲解集合的定义。
2. 讲解集合的表示方法，包括列举法和不完全列举法。
3. 练习题：让学生运用所学的表示方法表示给定的集合。
章节二：集合的运算教学目标：1. 学习集合的运算，包括并集、交集和补集。
2. 理解并集、交集和补集的定义和性质。
3. 能够正确计算给定集合的并集、交集和补集。
教学内容：1. 并集：由两个或多个集合中所有的元素组成的集合。
2. 交集：属于两个或多个集合的元素组成的集合。
3. 补集：在全集之外的部分组成的集合。
教学活动：1. 引入集合的运算，通过实际例子讲解并集、交集和补集的定义。
2. 讲解并集、交集和补集的性质，如交换律、结合律等。
3. 练习题：让学生运用所学的运算方法计算给定集合的并集、交集和补集。
章节三：简易逻辑教学目标：1. 学习简易逻辑的基本概念和定理。
2. 理解简易逻辑中的推理和证明方法。
3. 能够运用简易逻辑解决实际问题。
教学内容：1. 简易逻辑的基本概念：包括命题、定理、公理等。
2. 推理和证明方法：包括直接证明、反证法、归纳法等。
3. 常用逻辑符号：包括且、或、非、蕴含等。
教学活动：1. 引入简易逻辑的基本概念，通过实际例子讲解命题、定理、公理等。
2. 讲解推理和证明方法，通过实际例子演示直接证明、反证法、归纳法等。
3. 练习题：让学生运用所学的逻辑推理和证明方法解决实际问题。
2014高考数学复习 必备 集合与简易逻辑 (经典)教案
(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．
一个区别
否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．
(3)集合法：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．
两条规律
(1)逆命题与否命题互为逆否命题；
(2)互为逆否命题的两个命题同真假．
三种方法
充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件．
(2)等价法：利用p?q与綈q?綈p，q?p与綈p?綈q，p?q与綈q?綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
考向二 集合的基本运算
【例2】?(2011·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝，则集合A∩B＝________.
[审题视点] 先化简集合A，B，再求A∩B.
解析 不等式|x＋3|＋|x－4|≤9等价于
或或
解不等式组得A＝[－4,5]，又由基本不等式得B＝[－2，＋∞)，所以A∩B＝
解析 ①若m<0，则符合题的条件是：直线x＋y＝2m＋1与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，从而≤|m|，解得≤m≤，与m<0矛盾；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二零一三高三总复习第一轮——许老师第1讲集合的概念与运算【2013年高考会这样考】1．考查集合中元素的互异性．2．求几个集合的交、并、补集．3．通过给的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力．【复习指导】1．主要掌握集合的含义、集合间的关系、集合的基本运算，立足基础，抓好双基．2．练习题的难度多数控制在低中档即可，适当增加一些情境新颖的实际应用问题或新定义题目，但数量不宜过多．基础梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅ B(B ≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的基本运算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．(4)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A.一个性质要注意应用A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅这五个关系式的等价性．两种方法韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．三个防范(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．双基自测1．(人教A版教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于()．A．{x|3≤x＜4} B．{x|x≥3}C．{x|x＞2}D．{x|x≥2}解析B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，∴结合数轴得：A∪B＝{x|x≥2}．答案 D2．(2011·浙江)若P ＝{x |x ＜1}，Q ＝{x |x ＞－1}，则( )．A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P解析 ∵∁R P ＝{x |x ≥1}∴∁R P ⊆Q .答案 C3．(2011·福建)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )．A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈S D.2i ∈S 解析 ∵i 2＝－1，∴－1∈S ，故选B.4．(2011·北京)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1] B. [1，＋∞)C ．[－1,1] D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．答案 C5．(人教A 版教材习题改编)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4}，则m ＝________.解析 A ∪B ＝{1,3，m }∪{3,4}＝{1,2,3,4}，∴2∈{1,3，m }，∴m ＝2.考向一 集合的概念【例1】►已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．[审题视点] 分m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3两种情况讨论．解析 因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不合乎题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3合乎题意．所以m ＝－32.答案 －32集合中元素的互异性，一可以作为解题的依据和突破口；二可以检验所求结果是否正确．【训练1】 设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋2}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．解析 若a ＋2＝3，a ＝1，检验此时A ＝{－1,1,3}，B ＝{3,5}，A ∩B ＝{3}，满足题意．若a 2＋2＝3，则a ＝±1.当a ＝－1时，B ＝{1,3}此时A ∩B ＝{1,3}不合题意，故a ＝1.答案 1考向二 集合的基本运算【例2】►(2011·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ＝4t ＋1t －6，t ∈(0，＋∞)，则集合A ∩B ＝________.[审题视点] 先化简集合A ，B ，再求A ∩B .解析 不等式|x ＋3|＋|x －4|≤9等价于⎩⎨⎧ x ≥4，x ＋3＋x －4≤9或⎩⎨⎧ －3<x <4，x ＋3＋4－x ≤9或⎩⎨⎧ x ≤－3，－x －3＋4－x ≤9，解不等式组得A ＝[－4,5]，又由基本不等式得B ＝[－2，＋∞)，所以A ∩B ＝[－2,5]．答案 {x |－2≤x ≤5}集合运算时首先是等价转换集合的表示方法或化简集合，然后用数轴图示法求解．【训练2】 (2011·江西)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )．A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．答案 B考向三 集合间的基本关系【例3】►已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．[审题视点] 若B ⊆A ，则B ＝∅或B ≠∅，故分两种情况讨论． 解 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上：m ≤4.已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．【训练3】 (2011·江苏)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )⎪⎪⎪ m 2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．解析 ①若m <0，则符合题的条件是：直线x ＋y ＝2m ＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，从而|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋22，与m <0矛盾； ②若m ＝0，代入验证，可知不符合题意；③若m >0，则当m 2≤m 2，即m ≥12时，集合A 表示一个环形区域，集合B 表示一个带形区域，从而当直线x ＋y ＝2m ＋1与x ＋y ＝2m 中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即符合题意，从而有|2－2m |2≤|m |或|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋2，由于12>2－22，所以12≤m ≤2＋ 2.综上所述，m 的取值范围是12≤m ≤2＋2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2难点突破1——集合问题的命题及求解策略在新课标高考中，可以看出，集合成为高考的必考内容之一，考查的形式是一道选择题或填空题，考查的分值约占5分，难度不大．纵观近两年新课标高考，集合考题考查的主要特点是：一是注重基础知识的考查，如2011年安徽高考的第8题；二是与函数、方程、不等式、三角等知识相结合，在知识的交汇点处命题，如2011年山东高考的第1题，与不等式相结合；三是在集合的定义运算方面进行了新的命题，如2011年浙江高考的第10题．一、集合与排列组合【示例】►(2011·安徽)设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是()．A．57 B．56 C．49 D．8二、集合与不等式的解题策略【示例】►(2011·山东)设集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N 等于()．A．[1,2) B．[1,2] C．(2,3] D．[2,3]三、集合问题中的创新问题【示例】►(2011·浙江)设a，b，c为实数，f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)，g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)．记集合S＝{x|f(x)＝0，x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是()．A．|S|＝1且|T|＝0 B．|S|＝1且|T|＝1C．|S|＝2且|T|＝2 D．|S|＝2且|T|＝3第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件【2013年高考会这样考】1．考查四种命题的意义及相互关系．2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解．3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判定．基础梳理1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假．三种方法充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．(2)等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．双基自测1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．解析①由2＞－3⇒/ 22＞(－3)2知，该命题为假；②a2＞b2⇒|a|2＞|b|2⇒|a|＞|b|，该命题为真；③a＞b⇒a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c⇒a＞b；∴“a＞b”是“a＋c ＞b＋c”的充要条件为真命题．答案②③2．(2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()．\A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b解析“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．答案 D 3．(2011·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.4．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()．A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.5．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为.答案若a≤b，则有2a≤2b－1考向一命题正误的判断【例1】►(2011·海南三亚)设集合A、B，有下列四个命题：①A⃘B⇔对任意x∈A都有x∉B；②A⃘B⇔A∩B＝∅；③A⃘B⇔B⃘A；④A⃘B⇔存在x∈A，使得x∉B.其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．[审题视点] 对于假命题，举出恰当的反例是一难点．解析①不正确，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，有A⃘B但2∈A且2∈B.②不正确，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，有A⃘B而A∩B＝{2}．③不正确，如A＝{1,2}，B＝{2}，有A⃘B但B⊆A.④正确．答案④正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．【训练1】给出如下三个命题：①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；②设a，b∈R，且ab≠0，若ab＜1，则ba＞1；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中不正确命题的序号是()．A．①②③B．①②C．②③D．①③解析对于①，可举反例：如a，b，c，d依次取值为1,4,2,8，故①错；对于②，可举反例：如a、b异号，虽然ab＜1，但ba＜0，故②错；对于③，y＝f(|x|)＝log2|x|，显然为偶函数，故选B.考向二四种命题的真假判断【例2】►已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()．A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题[审题视点] 分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键．解析f′(x)＝e x－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤e x在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D.判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．【训练2】已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，如果f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析由f(x)、g(x)均为奇函数，可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)＝x2是偶函数，但函数f(x)＝x2e x，g(x)＝ex都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确．答案 C考向三充要条件的判断【例3】►指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[审题视点] 结合充分条件，必要条件的定义判断所给命题间的关系．解(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件．(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，显然綈q⇒綈p，但綈p⇒/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q的充分不必要条件．(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A ∪B，所以p是q的必要不充分条件．(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件．判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．【训练3】(2010·山东)设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{a n}递增；反之亦然．答案：C难点突破2——高考中充要条件的求解从近几年课改区高考试题可以看出，高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一般难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查．考查形式主要有两种：一是判断指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．判断充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题虽然属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分．一、充要条件与不等式的解题策略【示例】►(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、充要条件与方程结合的解题策略【示例】►(2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.三、充要条件与数列结合的解题策略【示例】►(2010·山东)设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件四、充要条件与向量结合的解题策略【示例】►(2010·福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件五、充要条件与三角函数结合的解题策略【示例】► (2010·上海)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【2013年高考会这样考】1．考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表述相关的命题．2．考查对全称量词与存在量词意义的理解，叙述简单的数学内容，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【复习指导】复习时应紧扣概念，理清相似概念间的异同点，准确把握逻辑联结词的含义和用法，熟练掌握对含有量词命题的否定的方法．本讲常与其他知识结合，在知识的交汇处命题，试题难度中档偏下．基础梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.一个关系逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．两类否定1．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．2．复合命题的否定(1)綈(p∧q)⇔(¬p)∨(¬q)；(2)綈(p∨q)⇔(¬p)∧(¬q)．三条规律(1)对于“p∧q”命题：一假则假；(2)对“p∨q”命题：一真则真；(3)对“¬p”命题：与“p”命题真假相反．双基自测1．(人教A版教材习题改编)已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则()．A．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 B．¬p：∀x∈R，sin x≥1C．¬p：∃x0∈R，sin x0>1 D．¬p：∀x∈R，sin x>1解析命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题．答案 C 2．(2011·北京)若p是真命题，q是假命题，则()．A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题解析本题考查命题和逻辑联结词的基础知识，意在考查考生对逻辑联结词的理解运用能力．只有¬q是真命题．答案 D3．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要条件．命题q：函数y＝|x－1|－2的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)则()．A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真答案 D4．设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是()．A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为真D．p为真、q为假答案 C5．(2010·安徽)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________．答案存在x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3考向一含有逻辑联结词命题真假的判断【例1】►(2010·新课标全国)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是()．A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4[审题视点] 根据复合函数的单调性判断p1，p2的真假．解析可判断p1为真，p2为假；则q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．答案 C“p∨q”、“p∧q”、“¬q”形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“¬q”形式命题的真假．【训练1】已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论①命题“p∧q”是真命题；②命题“¬p∨¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“p∨¬q”是假命题．其中正确的是()．A．②③B．②④C．③④D．①②③解析命题p是假命题，命题q是真命题，故③④正确．答案 C考向二全称命题与特称命题【例2】►写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.[审题视点] 改变量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．解(1)¬p：∃x0∈R，x20－x0＋14＜0，假命题．(2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题．(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．【训练2】写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：∀x∈R，x不是3x－5＝0的根；(2)q：有些合数是偶数；(3)r：∃x0∈R，|x0－1|＞0.解(1)¬p：∃x0∈R，x0是3x－5＝0的根，真命题．(2)¬q：每一个合数都不是偶数，假命题．(3)綈r：∀x∈R，|x－1|≤0，假命题．考向三根据命题的真假，求参数的取值范围【例3】►(2012·浙大附中月考)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．[审题视点] 先解不等式将命题p与命题q具体化，然后根据“p或q”与“p且q”的条件可以知道命题p与命题q一真一假，从而求出m的取值范围．解 由p 得：⎩⎨⎧Δ1＝m 2－4＞0，－m ＜0，则m ＞2.由q 得：Δ2＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，则1＜m ＜3.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假．①当p 真q 假时，⎩⎨⎧ m ＞2，m ≤1或m ≥3，解得m ≥3；②当p 假q 真时，⎩⎨⎧ m ≤2，1＜m ＜3，解得1＜m ≤2.∴m 的取值范围为m ≥3或1＜m ≤2.含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．【训练3】 已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围． 解 ∵函数y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a ＞1.不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立，∴a ＞0且a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，∴q ：0＜a ＜4.∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，∴p 、q 中必有一真一假．①当p 真q 假时，⎩⎨⎧ a ＞1，a ≥4，得a ≥4.②当p 假q 真时，⎩⎨⎧0＜a ≤1，0＜a ＜4，得0＜a ≤1.故a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．规范解答1——借助常用逻辑用语求解参数范围问题【问题研究】 利用常用逻辑用语求解参数的取值范围主要涉及两类问题：一是利用一些含有逻辑联结词命题的真假来确定参数的取值范围；二是利用充要条件来确定参数的取值范围.求解时，一定要注意取值区间端点值的检验，处理不当容易出现漏解或增解的现象.,【解决方案】 解决此类题目首先是合理转化条件、运用有关性质、定理等得到参数的方程或不等式，然后通过解方程或不等式求得所求问题.【示例】► (本题满分12分)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围．(1)p ，q 真时，分别求出相应的c 的范围；(2)用补集的思想求出¬p ，¬q 分别对应的c 的范围；(3)根据“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为真，确定p ，q 的真假．[解答示范] ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0＜c ＜1.(2分)即p ：0＜c ＜1.∵c＞0且c ≠1，∴¬p ：c ＞1.(3分)又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数， ∴c ≤12.即q ：0＜c ≤12.∵c ＞0且c ≠1，∴¬q ：c ＞12且c ≠1.(6分)又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 真q 假或p 假q 真．(7分)①当p 真，q假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ c ＞12且c ≠1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1；(9分) ②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 0＜c ≤12＝∅.(11分) 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1.(12分)解决此类问题的关键是首先准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．【试一试】 设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围．[尝试解答] 由⎩⎨⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，得m ＜－1.∴p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎨⎧ m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2； 当p 假q 真时，⎩⎨⎧m ≥－1，－2＜m ＜3，此时－1≤m ＜3. ∴m 的取值范围是{m |m ≤－2，或－1≤m ＜3}．。