七年级数学竞赛讲座：第十五讲 奇数与偶数
奇数偶数ppt课件
奇数。
奇数减奇数等于偶数，如 (2n+1)-(2m+1)=2n-
2m=2(n-m)为偶数；奇数减 偶数等于奇数，如(2n+1)2m=2n-2m+1=2(n-m)+1
为奇数。
奇数乘奇数等于奇数，如 (2n+1)*(2m+1)=4nm+2m +2n+1=2(2nm+m+n)+1为 奇数；奇数乘偶数等于偶数
04
奇偶数的趣味案例
奇偶数在自然界中的表现
总结词
自然界中的奇偶数现象
详细描述
自然界中存在着许多奇偶数现象，如蜂巢的六边形结构、树木的分枝、花瓣的数量等，这些现象都与奇偶数的性 质和规律有关。
奇偶数在艺术创作中的应用
总结词
艺术中的奇偶数之美
详细描述
在艺术创作中，奇偶数也有着广泛的应用。例如，在建筑设计、绘画和雕塑等领域，艺术家们常常利 用奇偶数的规律和美感来营造独特的视觉效果。
奇数与偶数之间存在一些基本的数学 性质，例如奇数加奇数等于偶数，奇 数减奇数也等于偶数等。
探讨奇偶数在各个领域的应用价值
数学领域
奇偶数在数学中有着广泛的应用，如 代数、几何、概率论等。例如，在几 何中，奇数和偶数可以用来描述图形 的对称性。
计算机科学领域
物理学领域
在物理学中，波的振动频率可以用奇 偶数来描述，例如正弦波和余弦波的 振动频率可以用奇偶数来表示。
在计算机科学中，奇偶校验是一种常 用的错误检测方法，用于检测数据传 输过程中的错误。
激发对奇偶数进一步探索的兴趣
01
数的奇偶性讲课逐字稿
数的奇偶性讲课逐字稿同学们，今天我们要一起探讨一个非常有趣的数学概念——数的奇偶性。
这个概念在我们的日常生活中非常常见，比如我们经常会遇到一些需要区分奇数和偶数的情况。
那么，什么是奇数和偶数呢？让我们一步步来揭开这个谜题。
首先，我们来看一个简单的定义。
在自然数中，能被2整除的数被称为偶数，而不能被2整除的数则被称为奇数。
例如，2、4、6、8等都是偶数，而1、3、5、7等则是奇数。
接下来，我们通过一些例子来加深理解。
假设我们有一个班级，里面有30个学生。
如果我们要将这些学生分成两组进行游戏，每组15人，那么我们可以很容易地做到这一点，因为30是一个偶数。
但如果班级里有31个学生，我们就很难平均分成两组了，因为31是一个奇数。
现在，让我们来看一些关于奇偶性的数学性质。
首先，偶数加偶数总是得到一个偶数，奇数加奇数也总是得到一个偶数，而偶数加奇数则得到一个奇数。
同样，偶数乘以偶数、奇数乘以奇数都是偶数，而偶数乘以奇数则是奇数。
为了帮助大家更好地记忆这些性质，我们可以做一个小游戏。
我会随机给出一些数，然后请大家判断它们的奇偶性，并且解释为什么。
比如，数字7，它是奇数，因为它不能被2整除，除以2会余1。
此外，我们还可以探讨一下奇偶性在实际生活中的应用。
比如在计算机科学中，奇偶性可以用来检测数据传输中的错误。
在体育比赛中，奇偶性也可以用来决定谁先发球或者谁先选择场地。
最后，我们来做一个小练习。
我会给大家出几道题目，让大家判断一些数的奇偶性，并解释你们的判断依据。
比如，数字100，它是偶数，因为它可以被2整除，没有余数。
通过今天的学习，希望大家能够掌握奇偶性的基本概念和性质，并能够灵活运用到实际问题中去。
现在，让我们开始今天的练习吧！。
《奇数与偶数》ppt
奇数
偶数
奇＋奇＋奇=奇
而10是偶数
所以不能分
例 ②把11个苹果分给三个小朋友，要求 偶数 每个小朋友分得偶数个苹果，怎样分 ? 偶＋偶＋偶=偶 而11是奇数 所以不能分
第3题 第5题
奇数与偶数在日常生活中 还有很多用处
一起来看看吧！
例 傍晚开电灯，小虎淘气， 一连拉了7下开关. 请你说说 这时灯是亮了还是没亮? 1 2 3 4 5 6 7
第1题
1＋2＋4=7 奇＋偶＋偶=奇
三、知识运用
1.十个自然数1，2，3，……10的和是 奇数还5＋6＋7＋8＋9 ＋10 = 55 55是奇数，即前十个自然数之和是奇数. 解法二： 不用计算 1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，10 两步：1、看其中的奇数 1 3 5 7 9
A
B
C
AB ＋ BC ＝AC
AB＋BC＝AC
偶 ＋ 偶 ＝偶
偶＋ 奇 ＝奇 奇＋ 奇 ＝偶
这三个距离数(即多少米) 中，至少有一个数是偶数 这话是对的
因数与倍数
质数和合数
一、基础乐园
数的王国有两大家族
奇数
个位
1 3 5 7 9
……
偶数
个位 0
2 4 6 8 10 ……
判断一个数是奇数还是偶 数，看个位 个位
判断下列数是奇数还是偶数 21 27 48 63 12656 125 122 90 24 382458 二、想一想，并验证： 奇数与偶数的和是奇数还是偶数？奇数与 奇数的和是奇数还是偶数？偶数与偶数的 和呢？ 奇数?
亮灭 亮灭 亮 灭亮 所以这时灯是亮的 可是如果拉25下？ 100下呢？还要 这样试吗？
1 2 3 4 5 6 7
亮灭 亮灭 亮 灭亮
第十五讲 奇偶分析法
第十五讲奇偶分析法奇数和偶数除了自身的一些特性(如奇数不可能等于偶数)以外，还有许多运算特性，如两个偶数的和一定还是偶数，两个奇数的积一定还是奇数等。
利用奇偶数的这些特性，可以解决许多数学问题。
例1某班同学参加学校的数学竞赛，试题共50题。
评分标准是：答对一道题给3分，不答给1分，答错倒扣1分。
请说明：该班同学得分总和一定是偶数。
(“从小爱数学”数学竞赛题)解：在未答题前每人都是0分，0是偶数。
做一道题，无论答对、答错或不答，增加或减少的都奇数分(3和1都是奇数)，得分变成奇数，再做一道题，得分又变成偶数，照这样做50道题，得分从偶数开始变50次，最后还是偶数。
全班无论多少人，总分都是若干个偶数的和，所以得分总和一定是偶数。
例2图中圆圈内依次写出前25个质数。
甲顺序计算相邻两个质数之和填在上行方格中；乙顺序计算相邻两个质数之积填在下行方格中。
问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同？为什么？(“华杯赛”试题)解：质数中只有一个偶数，其余都是奇数。
所以甲填的各中除了第一个是奇数5以外，其余的都是不小于8的偶数。
乙填的积数中，除了第一个偶数6以外，其余所填的都是不小于15的奇数。
因此，甲填的数与乙填的数全都不相同。
例3把下图中的圆圈任意涂成红色或蓝色。
问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。
(“华杯赛”试题)解：假设每条线上的红圈都是奇数个，那么，5条线上的红圈数相加仍是奇数。
但是，5条线上的红圈数相加时，由于每一个圈都在两条线上，因而都计算了2次，于是相加的总和应当是偶数。
这就出现了矛盾，所以不可能使同一条线上的红圈数都是奇数。
例4六(1)班全班35名同学。
教室的课桌排成5排，每排7人。
每个座位的前、后、左、右位子称为它的邻座。
为了保护视力，打算改变一下座位，能否做到让每个同学都换到他的邻座？解：奇数和偶数是交互相邻的自然数，这种特性可以用“黑”“白”格子来表示。
画一个5行7列的方格图，并且用“黑”“白”格子区分出邻座关系。
奥数之奇数与偶数.ppt
1、正确理解整数的奇偶性，掌握奇数 和偶数在运算中具有的一些性质。
2、能恰当、灵活地运用奇数与偶数的 不同特征解一些问题。
奇数与偶数性质
（1）偶数±偶数=偶数 （2）奇数±奇数=偶数 （3）奇数±偶数=奇数 （4）奇数×奇数=奇数
奇数）两个整数之和与这两个整数之差的奇 偶性相同。
4、计算 19961997×19971996-19961996×19971997
19.9+19.98+19.997+19.996+0.127
（6）两个整数的和或差是偶数，这两个数 的奇偶性相同。
（7）两个整数的和或差是奇数，这两个数 的奇偶性相反。
（8）偶数个奇数相加得偶数，奇数个奇数 相加得奇数，任意个偶数相加得偶数。
承上页
（9）奇数连乘积是奇数，连乘中，有一个 因数是偶数，积一定是偶数。 （10）奇数的平方除以4余1，偶数的平方除 以4余0。
课堂练习
5、10个小朋友排成一排（站的方向相同），做“向 后转”的游戏，每次其中的3个小朋友做向后转的 动作，能否经过若干次后使10个小朋友全部改变站 的方向？请说明理由。
6、电影院里有10盏电灯，每盏灯由一根灯绳控制， 拉一下亮。10个学生依次进入电影院，第一个学生 把1的倍数的灯绳拉一下，灯全亮了，第二个学生 把2的倍数的灯绳都拉一下，第三个学生把3的倍数 的拉一下，······第10个学生把10的倍数的拉一下， 最后，礼堂里有哪些灯是亮的？
第二种解法
解：把杯口朝上的状态记为+1，口朝下记下-1， 开始时9只杯子的状态都是+1，它们的乘积也为+1， 每次操作翻动4只杯子，相当于把9个数中的4个改 变符号，但把一个乘积的偶数个因数改变符号时， 并不能改变乘积的符号。因此，不管怎么操作都不 能使乘积变为-1，当9只杯子杯口都朝下时，所有的 状态都是-1，它们的乘积是-1，所以不可能通过此 操作把9只杯口都变得口朝下。
奇数偶数的讲解方法
奇数偶数的讲解方法奇数和偶数是数学中的基本概念，我们日常生活中也经常会涉及到奇偶性的问题。
了解奇数和偶数的规律和特点，能够帮助我们更好地理解数学知识和解决实际问题。
本文将从基本概念、性质、判断方法和运算规律等几个方面对奇数和偶数进行讲解。
一、基本概念奇数是指不能被2整除的整数，偶数是指能被2整除的整数。
我们将所有的整数分为两个集合，一个集合包含所有的奇数，另一个集合包含所有的偶数。
例如，1、3、5、7是奇数，2、4、6、8是偶数。
二、性质1. 奇数和奇数相加，结果是偶数；偶数和偶数相加，结果也是偶数。
2. 奇数和偶数相加，结果是奇数。
3. 奇数和奇数相乘，结果是奇数；偶数和偶数相乘，结果是偶数。
4. 奇数和偶数相乘，结果是偶数。
5. 偶数加上1可以得到奇数，奇数减1可以得到偶数。
三、判断方法1. 末位判断法：一个整数，如果它的个位数是0、2、4、6、8中的任意一个，则它是一个偶数；如果它的个位数是1、3、5、7、9中的任意一个，则它是一个奇数。
2. 除2余数法：对一个整数进行除2运算，如果余数为0，则该整数是偶数；如果余数为1，则该整数是奇数。
四、运算规律1. 奇数加（或减）偶数的结果是奇数。
2. 奇数加（或减）奇数的结果是偶数。
3. 偶数加（或减）偶数的结果是偶数。
4. 奇数乘以偶数的结果是偶数。
5. 奇数乘以奇数的结果是奇数。
6. 偶数乘以偶数的结果是偶数。
综上所述，奇数和偶数在数学中具有一定的规律和特点。
通过掌握奇数和偶数的基本概念、性质、判断方法和运算规律，我们能够更加深入地理解数学知识，并能够运用到实际问题中。
在解题过程中，我们可以根据所涉及的问题选择合适的方法和运算规律，提高问题解决的效率和准确性。
希望本文对读者理解奇数和偶数的讲解方法有所帮助，也希望读者能够进一步探索和应用数学知识，提升自己的数学水平和解决实际问题的能力。
让我们一起愉快地学习数学吧！。
奇数与偶数(初中数学竞赛教案)
课题：数的整除性、质数和合数的复习与奇偶分析授课时间：2006-10-22一、本课知识点和能力目标1．知识点：①数的整除性、质数与合数的复习；②奇数与偶数.2．能力目标：通过典型例题的分析，提高学生的逻辑思维能力，培养学生的分析、解决问题的能力.二、数学思想与方法分类与讨论、转化与化归、反证法.三、本次授课节次及内容安排第1课时：数的整除性、质数与合数的复习.第2课时：奇数与偶数.第3课时：典型例题剖析.第4课时：课堂反馈.四．课外延伸、思维拓展第一课时【知识要点】1．整数的整除性复习；2．质数与合数的复习.【经典例题】例1 （第六届“汉江杯”数学竞赛）三个质数p、q、r满足p＋q＝r，且1＜p＜q，求p的值.解：∵p＋q＝r，p、q，r均为质数，∴r必为奇数，从而p、q中必有一个为2.又∵1＜p＜q，∴p=2.例2 设n是大于1的正整数，求证：n4+4是合数．证我们只需把n4+4写成两个大于1的整数的乘积即可．n4+4=n4+4n2+4-4n2＝(n2+2)2-4n2＝(n2-2n+2)(n2+2n+2)，因为n2+2n＋2＞n2-2n+2=(n-1)2+1＞1，所以n4+4是合数．例3a、b是整数，求证：a b-、ab中，至少有一个是3的倍数.+、a b证明若a、b中有一个数是3的倍数，则显然ab显然是3的倍数；若a、b被3除余1或余2，则a b-是3的倍数；若a、b被3除的余数不同，则a b+是3的倍数.【尝试练习】1．在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除，但不能被3整除的数的个数是（ B ）A．33；B．34；C．35；D．36.提示：在1，2，3，…，100中，能被2整除的有50个，能被2整除，且能被3整除的有16个，故能被2整除，但不能被3整除的数的个数为34个。
2．若2001是两个质数的和，则这两个质数的乘积是 3998 .3．（第5届希望杯·94）已知199219931994199319941995N =⨯⨯+⨯⨯199419951996199519961997+⨯⨯+⨯⨯，则N 的末位数字是 4 .（提示：第一项的末位数字是4，其他三项的末位数字都是0）4．若a 是正整数，证明：(1)1a a ++不是完全平方数.证明：由于两个连续的正整数的平方数之间，不存在完全平方数. 而22(1)1(1)a a a a <++<+，故(1)1a a ++不是完全平方数.第二课时【知识要点】在整数中能被2整除的数叫做偶数，通常用2k 表示；不能被2整除的数叫做奇数，通常用21k +（或21k -）表示。
奇数和偶数竞赛讲座课件（可编辑）
奇数和偶数竞赛讲座课件竞赛讲座01 －奇数和偶数整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.1.代数式中的奇偶问题例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□□，□-□□，□×□＝□? □÷□＝□.解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.例2? （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q都是偶数（B）p、q都是奇数.（C）p是偶数，q是奇数? （D）p是奇数，q是偶数分析由于1988y是偶数，由第一方程知pxn+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27ym-11x为奇数，所以是yq 奇数，应选（C）例3? 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.分析? 因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992996×1993为偶数? 于是题设的代数和应为偶数.2.与整除有关的问题例4（首届“华罗庚金杯”决赛题）70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？解? 设70个数依次为a1,a2,a3据题意有a10, 偶a21? 奇a33a2-a1,?奇a43a3-a2, 偶a53a4-a3, 奇a63a5-a4,? 奇………………由此可知：当n被3除余1时，an是偶数；当n被3除余0时，或余2时，an是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k2n+1，则a703k+132n+1+16n+4.解设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为b10≤a≤35,10≤b≤35，则a+b45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，22（为什么？）.由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b11即a28，b17.要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+614，偶数位其它三个数字之和只能是17-143，这三个数字只能是2，1，0.故所求的十位数是9876524130.例6（1990年日本高考数学试题）设a、b是自然数，且有关系式123456789（11111+a）（11111-b），①证明a-b是4的倍数.证明? 由①式可知11111（a-b）ab+4×617②∵a＞0,b＞0,∴a-b＞0首先，易知a-b是偶数，否则11111a-b是奇数，从而知ab是奇数，进而知a、b都是奇数，可知11111+a及11111-b都为偶数，这与式①矛盾其次，从a-b是偶数，根据②可知ab是偶数，进而易知a、b皆为偶数，从而ab+4×617是4的倍数，由②知a-b是4的倍数.3.图表中奇与偶例7（第10届全俄中学生数学竞赛试题）在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.解按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个表a中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表b中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.例8（第36届美国中学生数学竞赛试题）将奇正数1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，从左数起是第几列？（此处无表）解由表格可知，每行有四个正奇数，而19854×496+1，因此1985是第497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，所以从左数起，1985在第二列.例9 如图3-1，设线段AB的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中插入n个分点，把AB分成n+1个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红点而另一个为绿点的话，则称它为标准线段.证明? 不论分点如何选取，标准线段的条路总是奇数.分析? n个分点的位置无关紧要，感兴趣的只是红点还是绿点，现用A、B分别表示红、绿点；不难看出：分点每改变一次字母就得到一条标准线段，并且从A 点开始，每连续改变两次又回到A，现在最后一个字母是B，故共改变了奇数次，所以标准线段的条数必为奇数4.有趣的应用题例? 10（第2届“从小爱数学”赛题）图3-2是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.（1）如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点B，他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么B点是在岸上还是在水中？说明理由.解? （1）连结AP，显然与曲线的交点数是个奇数，因而A点必在水中.（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为2，由于 A点在水中，氢不管怎样走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数，可见B点必在岸上.例11书店有单价为10分，15分，25分，40分的四种贺年片，小华花了几张一元钱，正好买了30张，其中某两种各5张，另两种各10张，问小华买贺年片花去多少钱？分析设买的贺年片分别为a、b、c、d（张），用去k张1元的人民币，依题意有10a+15b+25c+40d100k,k为正整数即 2a+3b+5c+8d20k显然b、c有相同的奇偶性.若同为偶数，b-c10 和ab5，不是整数；若同为奇数，bc5和ad10,k7.例12? 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室（可重复）之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数（重复经过的重复计算）之差总是偶数.证明? 给出入口处展览室记“+”号，凡与“+”相邻的展览室记“-”号，凡与“-”号相邻的展览室都记“+”号，如此则相邻两室的“+”、“-”号都不同.一参观者从出入口处的“+”号室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的“+”号室，他的路线是+-+-…+-+-，即从“+”号室起到“+”号室止，中间“-”、“+”号室为n+1（重复经过的重复计算），即共走了2n+1室，于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了2n+2个门（包括进出出入口门各1次）.设其经过的方形门的次数是r次，经过圆形门的次数是s，则s+r2n+2为偶数，故r-s也为偶数，所以命题结论成立.例13有一无穷小数A0.a1a2a3…anan+1an+2…其中aii1,2是数字，并且a1是奇数，a2是偶数，a3等于a1+a2的个位数…，an+2是an+an+1n1,2…,的个位数，证明A是有理数.证明为证明A是有理数，只要证明A是循环小数即可，由题意知无穷小数A的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字ab重复出现了，即0.…ab…ab…此小数就开始循环.而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：A0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……又a是奇数可取1，3，5，7，9；b是偶数可取0，2，4，6，8.所以非负有序实数对一共只有25个是不相同的，在构成A的前25个奇偶数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证得A是一循环小数，即A是有理数? 练? 习1.填空题（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的多18，这五个偶数之和是____.（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？答____.2.选择题（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（? ）①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.（A）1（B）2（C）3 （D）4（2）若n是大于1的整数，则的值（? ）.（A）一定是偶数? （B）必然是非零偶数（C）是偶数但不是2 （D）可以是偶数，也可以是奇数（3）已知关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c为整数），如果当x0与x1时，二次三项式的值都是奇数，那么a（? ）（A）不能确定奇数还是偶数（B）必然是非零偶数（C）必然是奇数? （D）必然是零3.（1986年宿州竞赛题）试证明11986+91986+81986+61986是一个偶数.4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.7.（1983年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数8.（1909年匈牙利竞赛题）试证：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次幂整除.9.（全俄15届中学生数学竞赛题）在1，2，3…，1989之间填上“+”或“-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？练习参考答案１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．（３）不能．２．Ｂ．Ｂ．Ａ３．１１９８６是奇数１，９１９８６的个位数字是奇数１，而８１９８６，６１９８６都是偶数，故最后为偶数．４．仿例５? １２０３４６５８７９．５．设ａ１，ａ２，…，ａｎ满足题设即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０①ａ１?ａ２……ａｎ＝ｎ②。
初中数学竞赛：奇数与偶数
例2.求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数
证明：设k为整数，那么2k－1是任意奇数， （2k－1）2－1＝4k2－4k＋1－1＝4k(k－1)
∵k(k－1)是两个連续整数的积，必是偶数 ∴4k(k－1)是8的倍数
即任意奇数的平方减去1是8的倍数
例3.已知：有n个整数它们的积等于n，和等 于0
求证：n是4的倍数
证明：设n个整数为x1,x2,x3,…xn 根据题意得
如果n为正奇数，由方程（1）可知 x1,x2,x3,…xn都只能是奇数，而奇数个奇数 的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的 0，所以n一定是偶数；
当n为正偶数时，方程（1）左边的 x1,x2,x3,…xn中，至少有一个是偶数，而 要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必 湏是偶数个，偶数至少有2个。
整数按奇数，偶数分为两类，3个整数中必有 两个同是奇数或同偶数，故它们的和是偶数
9.试说明方程2x+10y=77是偶数，x.y不论取什么整 数，都是偶数，而右边是奇数，等式不能成 立
10.求证：两个連续奇数的平方差能被8整除 • (2n+1)2-(2n-1)2=8n
所以n是4的倍数。
例4己知：a,b,c都是奇数
求证：方程ax2+bx+c=0没有整数解
证明：设方程的有整数解x，若它是奇数， 这时方程左边的ax2，bx，c都是奇数，而 右边0是偶数，故不能成立；
若方程的整数解x是偶数，那么ax2,bx,都 是偶数，c是奇数，所以左边仍然是奇数，不 可能等于0。
两个連续整数的和是奇数，积是偶数。
例1.如果|m,n|是质数,且满足3m+5n=-1那么m+n 的值等于(第18届江苏省竞赛题) 【解密】从m,n的奇偶性入手 【解】若m,n均为奇数,则3m,5n均为数,∴3m+5n 为偶数,不合题意故m必有一个数为奇数,另一个 数为偶数.又|m|,|n|是质数,则有两种情况:(1) 若|m|=2,则m=2或-2.当m=2时,3×2+5n=-1. 则,|n| 不为质数,不合题意;当m=-2时,3×(2)+5n=-1.则n=1,n|不为质数,不合题意 (2)若,|n| =2,则=2或一2当n=2时,3m+5×2=1.1m不为质数,不合题意当n=-2时,3m+5×(-2)=1.则m=3,|ml为质数,合乎题意练上所述,m=3,n=2,故m+n=3+(2)=1
奇数和偶数知识点总结偶数与奇数知识点
奇数和偶数知识点总结偶数与奇数知识点奇数和偶数知识点总结奇数和偶数知识点总结奇数和偶数知识点一：什么叫偶数定义：整数中，能够被2整除的数，叫做偶数。
特别提示：偶数包括正偶数、负偶数和0. 偶数=2n ，奇数=2n+1(或-1)，这里n是整数。
所有整数不是奇数(又称单数)，就是偶数(又称双数)。
若某数是2的倍数，它就是偶数，可表示为2n(n为整数);若非，它就是奇数，可表示为2n+1(n为整数)，即奇数除以二的余数是一。
在十进制里，可以用看个位数的方式判定该数是奇数还是偶数：个位为1，3，5，7，9的数是奇数;个位为0，2，4，6，8的数是偶数。
0是一个特殊的偶数。
小学规定0为最小的偶数，但是在初中学习了负数，出现了负偶数时，0就不是最小的偶数了. 50以内且大于等于0的偶数0，2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30，32，34，36，38，40，42，44，46，48，50 总共26个。
奇数和偶数知识点二：什么叫奇数整数中，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数。
奇数包括正奇数、负奇数。
奇数和偶数知识点三：奇数偶数的性质(1)奇数不会同时是偶数;两个连续整数中必是一个奇数一个偶数;(2)奇数跟奇数和是偶数;偶数跟奇数的和是奇数;任意多个偶数的和都是偶数;(3)两个奇(偶)数的差是偶数;一个偶数与一个奇数的差是奇数;(4)除2外所有的正偶数均为合数;(5)相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。
(6)奇数的积是奇数;偶数的积是偶数;奇数与偶数的积是偶数;(7) 偶数的个位上一定是0、2、4、6、8;奇数的个位上是1、3、5、7、9。
偶数也叫双数，用2n表示，n为整数。
如2 、4 、6 、8 、10 、12 、14 、16 、18 、20... ... 偶数其实就是2的倍数，及2乘几的倍数。
偶数和奇数的知识点总结
偶数和奇数的知识点总结一、偶数和奇数的概念1.1 数的分类在数学中，我们常常需要对数字进行分类。
最简单的分类方式就是按照数字的奇偶性进行分类，即将所有的整数分为两个集合：偶数和奇数。
1.2 偶数的定义偶数是指能够被2整除的整数，即可以用2乘以某个整数得到的数。
偶数的集合可以表示为{...-4，-2，0，2，4，...}。
1.3 奇数的定义奇数是指不能被2整除的整数，即不能用2乘以某个整数得到的数。
奇数的集合可以表示为{...-3，-1，1，3，5，...}。
1.4 偶数和奇数的关系偶数和奇数是一对互补的概念。
任何一个整数要么是偶数，要么是奇数，两者之间没有交集。
二、偶数和奇数的性质2.1 奇数相加任何两个奇数相加的结果一定是偶数。
这是由奇数定义决定的。
两个奇数相加，余数是0，因此结果是偶数。
例如：3+5=8，7+1=82.2 偶数相加任何两个偶数相加的结果一定是偶数。
这是由偶数定义决定的。
两个偶数相加，余数是0，因此结果是偶数。
例如：2+4=6, 6+8=142.3 奇数相乘任何两个奇数相乘的结果一定是奇数。
这是由奇数定义决定的。
两个奇数相乘，余数是1，因此结果是奇数。
例如：3*5=15，7*9=632.4 偶数相乘任何两个偶数相乘的结果一定是偶数。
这是由偶数定义决定的。
两个偶数相乘，余数是0，因此结果是偶数。
例如：2*4=8, 6*8=482.5 偶数和奇数的运算偶数和奇数的加法、减法、乘法规则如下：偶数+偶数=偶数偶数+奇数=奇数奇数+奇数=偶数偶数-偶数=偶数偶数-奇数=奇数奇数-奇数=偶数偶数*偶数=偶数偶数*奇数=偶数奇数*奇数=奇数以上规则可以通过偶数和奇数的定义进行简单的证明。
2.6 偶数和奇数的平方任何偶数的平方一定是4的倍数，因为偶数平方的结果中一定包含有一个2。
任何奇数的平方一定是4的倍数加1，因为奇数平方的结果中一定包含有一个1。
2.7 偶数和奇数的除法任何偶数除以2的结果是偶数，因为偶数定义就是能被2整除。
《奇数与偶数》ppt教学提纲
A
B
C
AB ＋BC＝AC
AB＋BC＝AC
偶 ＋ 偶 ＝偶
偶＋ 奇 ＝奇
奇＋ 奇 ＝偶
这三个距离数(即多少米) 中，至少有一个数是偶数 这话是对的
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本 10元=100角，售货员找回的钱 也是个偶数 数也应是个偶数
第6题
可5是奇数
例5 如下页图所示. 在10米长的一段马路的一侧种树，每隔 1米种一棵，两头都种，共种了11棵. 如果把三块“爱护树木” 的小牌任意挂在三棵树上，然后再把每两棵挂牌的树之间的 距离是多少米都算出来，看一看这三个距离数(即多少米)， 至少有一个数是偶数，对吗? 然后把三块小牌再挂在不同的 三棵树上，再算算看.
1--15的和是奇数还是偶数?
1 3 5 7 9 11 13 15
8个 8是偶数
1--15的和是偶数.
例 ①把10个球分成三组，要求每组球的 个数都是奇数 ，怎样分?
奇数
奇数
偶数
奇＋奇＋奇=奇 而10是偶数
所以不能分
例 ②把11个苹果分给三个小朋友，要求 每个小朋友分得偶数个苹果，怎样分?
偶＋偶＋偶=偶 而11是奇数 所以不能分
奇数 偶数
亮
灭
25是奇数，所以灯是亮的
100是偶数，所以灯是不亮的
第2题
例4 小华买了1支铅笔、2块橡皮、2个练习本付 了10元钱，售货员找给他5角钱. 小华看了看1支 铅笔的价钱是8角，就说：“叔叔，您把账算错 啦. ”想一想，小华为什么这么快就知道账算错了?
偶＋偶＋偶 =偶
一两 两 支块 个 铅橡 练 笔皮 习
《奇数与偶数》ppt
七年级数学竞赛题：奇数与偶数
七年级数学竞赛题：奇数与偶数整数可以分为奇数与偶数，一个整数要么是奇数，要么是偶数，是奇数就不能是偶数，是偶数就不能是奇数，因此奇偶性是一个整数的固有属性，即奇数≠偶数．由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是整数的一种不变性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析．运用奇偶分析解题，常常要用到奇数和偶数的基本性质：1．奇数≠偶数；2．奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和是偶数；3．若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；4．若a 是整数，则a 与|a|、一a 、a n 有相同的奇偶性；5．设a 、b 是整数，则a+b 、a 一b 、|a ＋b|、|a-b|都有相同的奇偶数．例1三个不同的质数a 、b 、c 满足ab b c+a=2000，则a+b+c=(第十六届江苏省竞赛题)解题思路 运用质数，奇偶性性质，从分析a 、b 、c 的奇偶性入手．例2 如果a 、b 、C 都是正整数，且a 、b 是奇数，则3a +(b —1)2c 是（ ）．(五城市联赛题)(A)只当c 为奇数时，其值为奇数(B)只当c 为偶数时，其值为奇数(C)只当c 为3的倍数时，其值为奇数(D)无论c 为任意正整数，其值均为奇数解题思路 直接运用奇数偶数的性质作出选择．例3在1，2，3，…，1998之前任意添上“+”或“-”号，然后相加，问这些和中最小的正整数是多少?解题思路由于任意添“+”或“一”号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，从考虑代数和的奇偶性人手，先估算出最小的正整数值，再思考如何添“+”或“一”号． 例4在6张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5t 6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上l ～6这6个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．(2001年北京市竞赛题)解题思路从反面入手，即设这6个数两两都不相等，利用i i b a 与i a -i i c b =1，2，3，4，5，6的奇偶性相同，引人字母进行推理证明．例5表甲是一个英文字母电子显示盘，每一次操作可以使某一行4个字母同时改变，或者使某一列4个字母同时改变，改变的规则是：按照英文字母表的顺序，每个英文字母变成它下一个字母(即A 变成B ，B 变成C …最后字母Z 变成A)．问：能否经过若干次操作，使表甲变成表乙?如果能，请写出变化过程，如不能，说明理由．(“祖冲之杯”邀请赛试题)表甲 表乙解题思路 表甲与表乙不很有规律，似不太容易将表甲变为表乙(可以试一试)，看是否能成功?如果是不能，就应找出不能的理由，解题的关键是如何将问题“数学化”，挖掘操作变化过程中的不变量或不变性．1．若按奇偶分类，则11+22+33+…+19991999是 数．2．能不能在下式1口2口3口4口5口6口7口8口9=10的各个方框中分别填入“+”号或“一”号，使等式成立?答： ．3．若质数m 、n 满足5m+7n=129，则m+n 的值为 ．(河北省竞赛题)4．在12，22，32，…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有 个．(全国初中数学联赛试题)5．满足等式1984·x ～1983·y =1985的一组自然数是( )．(A)x=22783，y=22796 (B)x=22784，y=22790(C)x=27764，y=27777 (D)x=27763，y=277856．设a 、b 为整数，给出下列四个结论(“五羊杯”竞赛题)(1)若a+5b 是偶数，则a 一3b 是偶数(2)若a+5b 是偶数，则a 一3b 是奇数(3)若a+5b 是奇数，则a 一3b 是偶数(4)若a+5b 是奇数，则a 一3b 是奇数其中正确结论的个数是( )．(A)0 (B)2 (C)4 (D)1或37．如果a 、b 、c 是三个任意整数，那么2b a +、2c b +、2a c +（ ）． (A)都不是整数(B)至少有两个整数(C)至少有一个整数(D)都是整数(2001年¨杯全国竞赛题)8．将1000到1997这998个自然数任意排成一行，然后依次地求出三个相邻数的和，在这些和数中，奇数的个数至多有( )．(第十二届江苏省竞赛题)(A)499个 (B)496个 (C)996个 (D)995个9．设1a ，2a ，…，1999a 是1，2，3，…，1999的一个排列；求证：(1a —1)( 2a －2)…(1999a —1999)为偶数．10．已知1x 、2x 、…、n x 都是+l 或一l ，n ≥4，并且满足1x 2x 3x 4x ＋2x 3x 4x 5x ＋…n x 1x 2x 3x =0求证：n 是4的倍数．11．求不定方程2x +y=2003的质数解．12．你能找到三个整数a 、b 、c ，使得关系式(a+b +c)·(a 一b+c)·(a+b 一c )·(6b+c 一a)=3388成立吗?如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由．(“希望杯”邀请赛试题)13．有50位学生，男女各半，围坐一圈，是否存在一种座位的安排方法，使得每一位学生左右两侧的学生均为异性学生?请说明你所得结论的理由．(山东省竞赛题)。
数的奇偶性发言稿
数的奇偶性发言稿
《数的奇偶性》
各位老师，亲爱的同学们：
今天我想和大家聊一聊数的奇偶性这个话题。
在数学中，奇数和偶数是我们经常接触到的概念，但是你知道它们之间的特点和联系吗？
首先，让我们来看看奇数和偶数的定义。
奇数是指能被2整除余1的自然数，而偶数则是能被2整除的自然数。
简单点说，奇数就是那些个位数字是1、3、5、7、9的数，而偶数就是那些个位数字是0、2、4、6、8的数。
其实，奇数和偶数之间有很多有趣的关系。
比如，任何一个整数，不管是正数还是负数，都可以被2整除，如果余数是0，
那它就是偶数；如果余数是1，那它就是奇数。
所以说，奇数
和偶数其实是相辅相成的存在。
除了这个定义外，数的奇偶性还在很多数学问题中起到了重要的作用。
在代数中，我们会遇到很多关于奇偶性的题目，例如奇数和奇数相乘得到的是奇数，偶数和偶数相乘得到的是偶数。
在数学中，奇偶性也是很多证明中的重要工具。
另外，奇偶性在我们的日常生活中也有很多的应用。
比如，交通信号灯的倒数计时，商店打折的促销方式，都和奇偶性有关。
所以说，学习和掌握数的奇偶性对我们来说是非常重要的。
总之，数的奇偶性虽然是一个简单的概念，但是却是数学中一个重要的基础知识。
它不仅能够帮助我们更好地理解和运用数学，而且在我们的日常生活中也有着广泛的应用。
希望大家能够多多关注数的奇偶性，从中发现更多有趣的数学之美。
谢谢！。
七年级数学竞赛 第15讲 奇数与偶数
七年级数学竞赛第十五讲奇数与偶数通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，…是奇数，0，±2，±4，±6，…是偶数．用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数．奇数和偶数有以下基本性质：性质1奇数≠偶数．性质2奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．性质3奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．性质4奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．性质5若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．性质6如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．性质7如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．性质8两个整数的和与差的奇偶性相同．性质9 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.性质1至性质6的证明是很容易的，下面我们给出性质7至性质9的证明．性质7的证明设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶．性质8的证明设两个整数为X，y．因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶．性质9的证明若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积是偶数．于是，x2除以8余1．若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是y2=(2t)2=4t2所以，y2是4的倍数．例1在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？解由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+…+1998=999×1999的奇偶性是相同的，即为奇数．例2设1，2，3，…，9的任一排列为a1，a2，…，a9.求证：(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是一个偶数．证法1因为(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(a9-9)＝(a1+a2+...+a9)-(1+2+ (9)=0是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，…，(a9-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4矛盾)，从而由性质5知(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．证法2由于1，2，…，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少有一个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少有一个是偶数，从而(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．例3有n个数x1，x2，…，x n，它们中的每一个数或者为1，或者为-1．如果x1x2+x2x3+…+x n-1x n+x n x1=0，求证：n是4的倍数．证我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．由于x1，x2，…，x n。
奇数偶数的讲解方法
奇数偶数的讲解方法在数学中，奇数和偶数是一对重要的概念。
学好奇数偶数的概念和判断方法，对于学习数学以及解决实际问题都具有重要意义。
本文将为大家介绍奇数和偶数的定义、性质以及判断方法。
一、奇数的定义和性质奇数是自然数中不能被2整除的数，用符号n表示。
奇数的性质有以下几个方面：1. 奇数与2的关系：任何奇数n都可以表示为2k+1的形式，其中k为整数。
例如，3是奇数，可以表示为2×1+1。
2. 奇数的特点：奇数末尾的数字只能是1、3、5、7、9。
3. 奇数相加的结果：任何两个奇数相加，其结果一定是偶数。
例如，3+5=8。
4. 奇数相乘的结果：任何两个奇数相乘，其结果仍然是奇数。
例如，3×5=15。
二、偶数的定义和性质偶数是自然数中可以被2整除的数，用符号n表示。
偶数的性质有以下几个方面：1. 偶数与2的关系：任何偶数n都可以表示为2k的形式，其中k为整数。
例如，4是偶数，可以表示为2×2。
2. 偶数的特点：偶数末尾的数字只能是0、2、4、6、8。
3. 偶数相加的结果：任何两个偶数相加，其结果仍然是偶数。
例如，4+6=10。
4. 偶数相乘的结果：任何两个偶数相乘，其结果仍然是偶数。
例如，2×8=16。
三、奇数偶数的判断方法判断一个数是奇数还是偶数有以下几种方法：1. 末位判断法：直接观察数的末尾数字，如果是1、3、5、7、9，则为奇数；如果是0、2、4、6、8，则是偶数。
2. 除法判断法：用给定的数除以2，如果能整除，则是偶数；如果不能整除，则是奇数。
3. 二进制判断法：将给定数转换为二进制表示形式，如果最后一位是0，则是偶数；如果最后一位是1，则是奇数。
四、奇数偶数在实际问题中的应用奇数偶数的概念和判断方法在实际生活和解决问题中有广泛应用。
以下是一些例子：1. 分组：在分组活动中，可以利用奇数偶数的判断方法将人员或物品分为两组。
例如，将奇数号码分为一组，偶数号码分为另一组。
奇数和偶数ppt课件
奇数和偶数的分解质因数
奇数的质因数分解形式为
(p_1^{a_1} p_2^{a_2} ldots p_n^{a_n})，其中(p_i)是质数，(a_i)是正整数。
偶数的质因数分解形式为
(p_1^{a_1} p_2^{a_2} ldots p_n^{a_n} times 2^m)，其中(p_i)是质数，(a_i) 是正整数，(m)是非负整数。
02
奇数和偶数的应用
日常生活中的应用
01
02
03
建筑学
建筑设计中的对称性常常 涉及到奇数和偶数的概念 ，例如建筑物的中心点、 对称轴等。
交通规则
在道路交通中，车辆的行 驶规则常涉及到奇数和偶 Байду номын сангаас的概念，例如单行道、 限行规则等。
体育比赛
在体育比赛中，比赛结果 常常涉及到奇数和偶数的 概念，例如得分、胜负关 系等。
在密码学中，奇偶性常常被用于加密 和解密算法，例如奇偶校验码等。
算法设计
在算法设计中，奇偶性常常被用于优 化算法的性能，例如快速排序算法中 的奇偶交替下沉等。
03
奇数和偶数的数学性质
奇数和偶数的和与积的性质
奇数与奇数相加得偶数： 如3+5=8
偶数与偶数相加得偶数： 如4+6=10
奇数与偶数相乘得奇数： 如3x4=12
艺术中的奇偶数
01
介绍艺术作品中如何运用奇偶数的元素，如绘画、音乐、建筑
等，探讨它们所表达的美感和意义。
文学作品中的奇偶数
02
解析文学作品中的奇偶数运用，如诗歌、小说等，探讨它们所
传达的思想和情感。
生活中的奇偶数
03
让孩子们观察生活中的奇偶数现象，如物品的排列、建筑的对
《奇数与偶数》ppt
03
奇数与偶数的应用
在数学中的应用
奇偶性分析
在数学中，奇偶性分析是研究整数性 质的重要手段，通过对数字的奇偶性 进行分类和推理，可以解决一系列数 学问题。
代数方程
组合数学
在组合数学中，奇偶性分析用于研究 排列和组合问题，例如通过奇偶性分 析判断一个排列是否为镜像对称。
在解代数方程时，奇偶性分析可以帮 助确定解的存在性和个数，以及解的 性质。
奇偶数在密码学中的应用
在密码学中，奇偶校验是一种常用的错误检测方法，它通 过检查数据中奇数位和偶数位的数量来判断是否有错误。 如果数据中奇数位的数量与偶数位的数量相差超过一个， 则可以认为数据有错误。
在加密算法中，奇偶校验也常被用于检测数据的完整性， 以确保数据在传输过程中没有被篡改。
奇偶数在自然界中的体现
奇偶数与斐波那契数列的关系
斐波那契数列是一个著名的数列，其中每个数字是前两个数 字的和。在斐波那契数列中，奇数和偶数交替出现，例如：1 、1、2、3、5、8、13、21等等。
斐波那契数列中的每个数字都可以表示为前两个数字的和， 这种规律在奇偶数的组合中也有所体现，例如：奇数+奇数= 偶数、奇数+偶数=奇数、偶数+偶数=偶数。
19世纪以来，随着数学的发展，奇偶 数理论在代数、数论、组合数学等领 域得到了广泛的应用和发展。
奇偶数在现代数学中的应用
在计算机科学中，奇偶校验是一种常用的错误检测方法，用于检测数据传输过程 中的错误。
在统计学中，奇偶数分布规律在概率论和统计学中有广泛的应用，如概率计算、 统计推断等。
05
奇数与偶数的趣味知识
偶数集在数学中常用字母"E"表示。
奇偶性的性质
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第十五讲奇数与偶数
通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，…是奇数，0，±2，±4，±6，…是偶数．
用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1(或2k－1)的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数．
奇数和偶数有以下基本性质：
性质1奇数≠偶数．
性质2奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．
性质3奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．
性质4奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．性质5若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．
性质6如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．
性质7如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．
性质8两个整数的和与差的奇偶性相同．
性质9 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.
性质1至性质6的证明是很容易的，下面我们给出性质7至性质9的证明．
性质7的证明设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．
同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶．
性质8的证明设两个整数为X，y．因为
(x+y)+(x－y)=2x
为偶数，由性质7便知，x+y与x－y同奇偶．
性质9的证明若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是
x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．
因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积是偶数．于是，x2除以8余1．
若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是
y2=(2t)2=4t2
所以，y2是4的倍数．
例1在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“－”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？
解由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同
1+2+3+…+1998=999×1999
的奇偶性是相同的，即为奇数．
例2设1，2，3，…，9的任一排列为a1，a2，…，a9.求证：(a1－1)(a2－2)…(a9－9)是一个偶数．
证法1因为
(a1－1)+(a2－2)+(a3－3)+…+(a9－9)
＝(a1+a2+...+a9)－(1+2+ (9)
=0
是偶数，所以，(a1－1)，(a2－2)，…，(a9－9)这9个数中必定有一个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4矛盾)，从而由性质5知
(a1－1)(a2－2)…(a9－9)
是偶数．
证法2由于1，2，…，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少有一个是奇数，于是，a1－1，a3－3，a5－5，a7－7，a9－9至少有一个是偶数，从而(a1－1)(a2－2)…(a9－9)是偶数．
例3有n个数x1，x2，…，x n，它们中的每一个数或者为1，或者为－1．如果
x1x2+x2x3+…+x n－1x n+x n x1=0，
求证：n是4的倍数．
证我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．
由于x1，x2，…，x n。
的绝对值都是1，所以，x1x2，x2x3，…，x n x1的绝对值也都是1，即它们或者为+1，或者为－1．设其中有k个－1，由于总和为0，故+1也有k个，从而n=2k．下面我们来考虑(x1x2)·(x2x3)…(x n x1)．一方面，有(x1x2)·(x2x3)…(x n x1)＝(－1)k，另一方面，有
(x1x2)·(x2x3)…(x n x1)=(x1x2…x n)2=1．
所以(－1)k=1，故k是偶数，从而n是4的倍数．
例4设a，b是自然数，且满足关系式
(11111+a)(11111－b)=123456789．
求证：a－b是4的倍数．
证由已知条件可得11111+a与11111－b均为奇数，所以a，b均为偶数．又由已知条件
11111(a－b)=ab+2468，①
ab是4的倍数，2468=4×617也是4的倍数，所以11111×(a－b)是4的倍数，故a－b 是4的倍数.
例5某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．
证我们证明每一个学生的得分都是偶数．
设某个学生答对了a道题，答错了b道题，那么还有40－a－b道题没有答．于是此人的得分是
5a+(40－a－b)－b=4a－2b+40，
这是一个偶数．
所以，不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．
例6证明15块4×1的矩形骨牌和1块2×2的正方形骨牌不能盖住8×8的正方形.
证将8×8正方形的小方格用黑、白色涂色(如图1－62)．每一块4×1骨牌不论怎么铺设都恰好盖住两个白格，因此15块4×1的骨牌能盖住偶数个白格．一块2×2的骨牌只能盖住一个白格或三个白格，总之能盖住奇数个白格．于是15块4×1骨牌和一块2×2骨牌在图上盖住的白格是奇数个．事实上图上的白格数恰为偶数个，故不能盖住8×8的正方形．
练习十五
1．设有101个自然数，记为a1，a2，…，a101．已知a1+2a2+3a3+…+100a100+101a101=s是偶数，求证：a1+a3+a5+…+a9９+a101是偶数．
2．设x1，x2，…，x1998都是+1或者－1．求证：
x1+2x2+3x3+…+1998x1998≠0．
3．设x1，x2，…，x n(n＞4)为1或－1，并且
x1x2x3x4+x2x3x4x5+…+x n x1x2x3=0．
求证：n是4的倍数．
4．(1)任意重排某一自然数的所有数字，求证：所得数与原数之和不等于99…9(共n 个9，n是奇数)；
(2)重排某一数的所有数字，并把所得数与原数相加，求证：如果这个和等于1010，那么原数能被10整除．
5．(1)有n个整数，其和为零，其积为n．求证：n是4的倍数；
(2)设n是4的倍数，求证：可以找到n个整数，其积为n，其和为零．
6．7个杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻转4个杯子(杯口朝下的翻为杯口朝上，杯口朝上的翻为杯口朝下)，问经过若干次这样的翻动，是否能把全部杯子翻成杯口朝上？
7．能否把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5这10个数排成一行，使得两个1中间夹着1个数，两个2之间夹着2个数，…，两个5之间夹着5个数？。